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LA FUNCION LOGARITMO

En tu calculadora hay dos teclas que todavía no has usado, son las designadas por log y Ln. Si haces 100 log el resultado es 2, si haces 1000 log el resultado es 3, si haces 1 log el resultado es 0, si haces 3 log el resultado es 0.4771212. • ¿ Cómo se llaman estas funciones y que hacen? log es una función llamada logaritmo decimal, y Ln es la función llamada logaritmo neperiano. Lo que hacen es sencillo de ver , mira: 1000=103, es decir, para poner 1000 en base 10 necesito el exponente 3, ¿verdad?. Bueno, pues el logaritmo decimal del número 1000 es 3, dicho de otra manera log (1000)=3, es decir el logaritmo decimal de un número es el exponente al que debo elevar el 10 para lograr mediante esa potencia el número en cuestión. Por ejemplo: 10 =101, así pues log(10) = 1, log(100)=2 ya que 102=100, log(10000)=4 ya que 104=10000, log(0.1)=-1 ya que 10-1=1/10=0.1 log(0.001)=-3 ya que 10-3=0.001 y otros mas difíciles log(3)=0.4771212 ya que 100.4771212=3. Así podrías, usando la calculadora, hallar los logaritmos decimales de todos los números reales positivos (observa que no se puede hallar el logaritmo decimal del número -12 porque cuando elevo el número 10 a cualquier exponente el resultado siempre es positivo, así pues log(-12),log(-2),log(-9.7), etc.. no existen. • ¿Que quiere decir esto cuando hablamos de funciones? Ya lo sabes: El dominio de la función log(x) son solamente los números reales positivos. Al igual que hemos hecho con la función logaritmo decimal, también puedo hacer con otras funciones logaritmo, basta tomar base de potencia diferente para tener distintas funciones logaritmo. Por ejemplo

IES DIONISIO AGUADO Fuenlabrada 3

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2 =8 entonces log2 8=3; 2 =16 entonces log2(16)=4, 2 =0.5 entonces log2(0.5)=-1, y así tendríamos la función log2(x). igualmente podríamos hacerlo con log3(x). Incluso con números menores que 1 pero siempre positivos por ejemplo con el número 1/2 podríamos hacer la función log1/2(x). Para ir entrenándote completa algunos logaritmos en base 1/2 (log1/2(x)) de estos números: 2, 1/2, 4, 8, 1, 16, 1/16, 1/8, 1/32, 64. Haz lo mismo con los números anteriores pero con la base de logaritmos 2 (log2(x) ). Antes hablamos de dos teclas en la calculadora una era la tecla log y otra era la tecla Ln, esta tecla era una tecla de logaritmos pero la base de log. en esta ocasión es el número e, si , ya sabes, el número e =2,7182818, que es el límite de la sucesión n

1   1+  estos logaritmos se llaman logaritmos naturales o logaritmos neperianos.  n

Representa tu algunas funciones logaritmo con diferentes bases y verás las características de ellas. Halla, según la representación y con los cálculos que hagas, los límites en el infinito y los límites cuando x se acerca a cero.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. Así como otras operaciones, los logaritmos tienen unas propiedades interesantes: 1.-

Sea cual sea la base de log. el logaritmo de un producto de dos números es igual al producto de los dos logaritmos de esos números. L OG a ( X • Y ) = LOG a (X) + LOG a (Y)

En efecto, por ejemplo

2.-

Otra propiedad:

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X ) = LOG a (X) - LOG a (Y) Y 243 ejemplo : log3 ( ) = log3 (243) - log3 (27) = 5 - 3 = 2 27 LOG a (

3.-

Y otra más: Y LOG a ( X ) = Y • LOG a (X) ejemplo : log 2 ( 8 4 ) = 4 • log 2 (8) = 4 • 3 = 12

4.-

Y otra más: 1 LOG a (X) n 1 1 1 64 = log 2 (64) = log 2 ( 26 ) = • 6 = 2 3 3 3 n LOG a X =

ejemplo : log2 3

Esta propiedad está basada en la anterior.

Suponiendo que ya sabemos hallar logaritmos en diferentes bases hay alguna regla que permita pasar por ejemplo del logaritmo en base 3 del número 9 al logaritmo en base 4 del número 9?. Puesss,... estamos de suerte, si existe dicha regla: LOG a N . LOG a b log 2 (64) Ejemplo : log4 (64) = log2 4 LOG b N =

log4 (64) = 3 ya que 4 3 = 64 log2 (64) = 6 ya que 26 = 64 log 2 4 = 2 3=

Otras definiciones de interés:

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a.- Se llama CARACTERÍSTICA de un número real al mayor número entero que es menor o igual que el número, por ejemplo la CARACTERÍSTICA de 5,4673 es 5 y se llama mantisa de un número a la parte decimal, por ejemplo la MANTISA de 5,4673 es 0,4673. Otro ejemplo, la característica de -1,543 es -2, y la mantisa es 0,543. b)¿Para que sirve esto?

EJERCICIOS

1.- Calcula los logaritmos que se indican: 1 a) log24 , log2 8, log3 9, log2 , log5 0.20 4

b) log 100,log 1000,log 0.0001,log5 3125,log3 c) log6 7776, Ln e2 , Ln e3 , Ln e5 , log6 1296, log3

2.-

27 243

Calcula el valor de x:

a) log x 25 = 2b) log x 216 = 3 c) log x 81 = 4d) log x 4 = _ e) log x 64 = _6 f) log x

3.-

1 2

1 =_ 2 100

Calcular el valor de las siguientes expresiones siguiendo el ejemplo

3

log2

1024 74

2

64

= log2 ( 3 1024 ) - log 2 ( 27 4 64 ) = 10

6

= log 2 ( 2 3 ) - ( log 2 ( 27 ) + log 2 ( 2 4 ) = =

10 6 40 - 84 - 18 62 -7 - = =3 4 12 12

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4.-

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Conociendo los valores de log 2 y log 3, halla los valores de las siguientes expresiones:

6

a) log2

5.-

64 42

3 25 512

b) log3

27. 729 813 27

Resolver las siguientes ecuaciones atendiendo al ejemplo y a las propiedades de los logaritmos:

ej. log

3x + 4 + 1 2

log (3x + 4 ) +

1 log (5x + 1) = 1 + log 3 2

1 log (5x + 1) = log 10 + log 3 2

1 ( log ((3x + 4)(5x + 1)) = log (30) 2 log (15 x 2 + 23x + 4) = 2 log 30 = log ( 30 2 ) 15 x 2 + 8x + 4 = 30 2 ;15 x 2 + 8x + 4 = 900, x = 7 y x = _

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a)( x 2 - 5x + 9) log 2 + log 125 = 3 b)( x 2 - 4x + 7) log 5 + log 16 = 4

c)3 log x - log 32 =

d)2 log x = log

e)2logx = 3 log

f)5 log

x 2

x -1 2 x 10

x x 32 + 2 log = 3 log x - log 2 3 9

g)2 log x - log (x - 16) = 2 h) log

3x + 1 - log

2x - 3 = 1 - log 5

i) log (5x - 3 ) 2 + log (2x + 3 ) 2 = 2

j)

log 3 + log (11 - x 3 ) = 2 log (5 - x)