Inecuaciones lineales y cuadr´aticas

0.1.

Inecuaciones lineales

Una inecuaci´ on lineal tiene la forma ax + b < 0 ´o ax + b > 0 ´o ax + b ≤ 0 ´o ax + b ≥ 0. El objetivo consiste en hallar el conjunto soluci´on de la desigualdad, es decir, hallar el conjunto de valores reales que hacen la desigualdad verdadera. Esta soluci´on en general ser´a un intervalo. Ejemplo 0.1 Las siguientes son desigualdades lineales: 2x + 3 ≤ −3(x + 2) − 1

x+2 ≤ 2x + 3 −5

−3x + 2 ≤ x < 2x + 5

(x + 2)(x − 5) + 2 ≥ (x − 1)(x − 10)

Para solucionar desigualdades lineales, hay que tener en cuenta los tips dados en las ecuaciones lineales. Su soluci´on es an´aloga a solucionar ecuaciones, salvo que el signo de la desigualdad cambia cuando se pasan a multiplicar ´o dividir n´ umeros negativos. 2x − 3 5(3x + 2) +1 < − 2. Hacemos la eliminaci´on de 2 3 2x − 3 1 los par´entesis y la suma de las fracciones de cada lado. Es decir, + < 2 1 15x + 10 2 2x − 3 + 2 15x + 10 2 − . Al sumar las fracciones queda < − . Al sumar 3 1 2 3 1 2x − 1 15x + 10 − 6 2x − 1 15x + 4 a la derecha, < y < . Como los denominado2 3 2 3 res son positivos se pasan a multiplicar a cada lado contrario 3(2x−1) < 2(15x+4). Al eliminar par´entesis, 6x − 3 < 30x + 8. Al pasar la variable a un lado y n´ umeros al otro, queda 6x − 30x < 8 + 3. Al reunir t´erminos semejantes, −24x < 11. Como el factor que multiplica la x es −24 es negativo, lo pasamos a dividir y cambia el 11 11 y as´ı, x > − . Esto nos muestra sentido de la desigualdad y tenemos x > −24 24 Ejemplo 0.2 Resolver

1

Inecuaciones

2

( ) 11 que el intervalo soluci´on es − , ∞ . 24 Ejercicios 1 Con base en lo anterior, resuelve las siguientes desigualdades, y: 1. Expresa su soluci´on en forma de desigualdad, intervalo y representa en la recta. 2(x − 3) < 4 3 − 2x > −6 −3x + 2 ≤ x < 2x + 5 x+2 ≤ 2x + 3 −5 2x + 3 ≤ −3(x + 2) − 1 (x + 2)(x − 5) ≥ (x − 1)(x − 10) 1 (x − 2) ≥ −2(x + 4) 2 2(x − 2) − 3 > 2x − 1 3(2 − 3x) > 4(1 − 4x) 9y + 1 ≤ 2y − 1 4

3y − 1 5(y + 1) < −3 −2 3(2t − 2) 6t − 3 t > + 2 5 10 −(1 − x) ≥ −3x + 1 −20 2 < x (x − 1)(x − 10)

Para resolver una desigualdad cuadr´atica, es necesario que el t´ermino derecho o izquierdo de la desigualdad sea cero. ¿Recuerdas cuando ten´ıas ecuaciones cuadr´aticas? Luego se procede a factorizar y queda lista la expresi´on para comenzar a resolverla. A continuaci´on describimos el m´etodo con el cual se podr´a resolver las ecuaciones cuadr´aticas, similar al procedimiento llevado a cabo para resolver ecuaciones cuadr´aticas. (a) Escribir la desigualdad en la forma b´asica. Esto obliga a eliminar par´entesis, reunir t´erminos semejantes y dejar hacer que uno de los t´erminos de la desigualdad sea cero. Por ejemplo, (x + 2)(−3x + 5) + 29 ≤ 2 + x. Para poder resolverla, debemos eliminar par´entesis y pasar todo los t´erminos a un lado, quedando, −3x2 + 5x − 6x + 10 + 29 ≤ 2 + x. Al reunir t´erminos semejantes, −3x2 − x + 39 ≤ 2 + x. Al pasar todos los t´erminos a un lado queda −3x2 − x + 39 − 2 − x ≤ 0. (b) Reemplazar el signo de desigualdad por un signo = y resolver la ecuaci´on cuadr´atica resultante. Las ra´ıces dividen la recta num´erica en intervalos. Estos valores se denominan valores cr´ıticos.

Inecuaciones

4

(c) En cada intervalo elegir un valor de prueba y determinar el signo que asume cada factor en ese intervalo. (d) Hallar el signo de la expresi´on resultante a trav´es de los signos de cada factor. (e) Para una desigualdad estricta, en el conjunto soluci´on no se incluyen los extremos del intervalo. Para una desigualdad no estricta se incluyen los extremos. (f ) Expresar la soluci´on en forma de intervalo. Ejemplo 0.4 Hallar el conjunto soluci´on de la desigualdad 9x2 + 30x > −25. Dejamos a un lado cero, 9x2 +30x+25 > 0. Al factorizar queda (3x+5)(3x+5) = (3x + 5)2 . Pero si observas, esta expresi´ on est´a elevada al cuadrado, por lo que no importa cual n´ umero real asuma la variable x, su resultado siempre ser´a positivo. Por lo tanto, el conjunto soluci´on es R Ejemplo 0.5 Hallar el conjunto soluci´on de la desigualdad x2 ≥ −2x + 15. Dejamos a un lado cero, x2 + 2x − 15 ≥ 0. Al factorizar queda (x + 5)(x − 3) ≥ 0. ¿Cu´antos factores tiene el t´ermino izquierdo de la desigualdad? Bueno, entonces ubicamos en la recta num´erica los valores cr´ıticos, es decir, aquellos valores en los cuales cada factor de la desigualdad se hace cero. Esto es, x = −5 y x = 3. Estos valores dividen la recta num´erica en tres franjas, que son: (−∞, −5), (−5, 3) y (3, ∞). Debemos hallar el signo de cada factor en cada franja, tomando como referencia un valor de prueba. Veamos: Intervalo (−∞, −5) (−5, 3) (3, ∞) Valor de prueba -5 1 4 (x + 5) + + (x − 3) + Signo de (x + 5)(x − 3) + + El valor de prueba puede ser cualquiera, nosotros hemos tomado uno arbitrario para determinar el signo del resultado. Si observas en la u ´ltima l´ınea, esta muestra el conjunto soluci´on. Queremos determinar cuando (x+5)(x−3) es∪mayor o igual que cero, por lo que el intervalo en donde es positivo es (−∞, −5) (3, ∞). Pero, tambi´en indica la desigualdad inicial que puede ser cero, por ∪ lo que podemos incluir los extremos, de tal forma que la soluci´on es (−∞, −5] [3, ∞) Ejercicios 2 Hallar el conjunto soluci´on de las siguientes desigualdades: 1. x2 + 2x − 15 > 0

4. 9x > 2x2 − 18

2. 3x2 − x − 2 < 0

5. x2 − 5x ≤ 0

3. 12x2 > 27x + 27

6. 3x2 − 27 ≥ 0

7. x2 + 6x ≤ −9 8. 4x2 + 7x ≤ 0

Inecuaciones

0.3.

5

Inecuaciones polin´ omicas y soluci´ on

Una desigualdad polin´omica es una desigualdad cuyo grado es mayor que dos. El de grado dos lo abordamos anteriormente, pero de grado 3 o mas lo trabajamos a continuaci´on. La forma como se resuelven las desigualdades polin´omicas es an´aloga a las cuadr´aticas, salvo que tenemos mas factores y as´ı, mas valores cr´ıticos por ubicar en la recta. El procedimiento es el mismo. Se escoge un valor de prueba en cada intervalo para determinar el signo de cada factor y finalmente, se determina el signo de la expresi´on completa. Vemos un ejemplo en donde se emplea el m´etodo y luego se proponen algunos ejercicios para que el estudiante resuelva. Ejemplo 0.6 Hallar el conjunto soluci´on de (x + 1)(x − 1)(2x + 3) > 0. (−∞, − 32 ) (− 23 , −1) (−1, 1) (1, ∞) -4 -1.2 0 3 + + + + + + + + ∪ Esto nos muestra que el intervalo soluci´on es (− 23 , −1) (1, ∞). Intervalo Valor de prueba (x + 1) (x − 1) (2x + 3) Signo de (x + 1)(x − 1)(2x + 3)

x−2 ≤ 1. Para x+3 proceder con la soluci´on, se debe pasar a restar el 1, realizar la suma de fracciones que queda y luego factorizar si es posible.

Ejemplo 0.7 Hallar el conjunto soluci´on de la desigualdad

Ejercicios 3 Hallar el conjunto soluci´on de las siguientes desigualdades: 1. (x + 2)(x − 2)(x + 5) < 0

3. (x + 1)2 (x − 4)(x + 4) ≥ 0

2. x(x − 1)(x + 4) ≤ 0

4.

x(x + 1)(x − 2) ≥0 x(x − 4)

Elaborado por Jaime Andr´es Casta˜ no 2016-1 Universidad del Valle