INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR

EDUCACIÓN BÁSICA

CICLO SECUNDARIA GRADO 11°

ÁREA DE MATEMÁTICAS GEOMETRIA 1º Periodo ELABORADO POR CARLOS HUMBERTO BALAGUERA MONTOYA 2014

Institución Educativa Ciudadela Del Sur EDUCACIÓNBÁSICASECUNDARIA ÁREA DE MATEMATICAS

11°

Primer periodo UNIDAD DIDÁCTICA 1: “REPASO DE GEOMETRIA” LOGRO: recuerdo y afianzo los principales conceptos y propiedades de la

geometría adquiridos en grados anteriores. COMPETENCIAS:  Identifica y aplica fórmulas matemáticas para hallar área de figuras planas.  Encuentra el área de figuras planas.  Contribuyo a que los conflictos entre personas y entre grupos se manejen de manera pacífica y constructiva mediante la aplicación de estrategias basadas en el dialogo y la negociación.  Cumplo los compromisos asumidos de acuerdo con las condiciones de tiempo y formas acordadas con las otras partes. CONTENIDOS ESTADISTICA

    

Conceptos de geometría. Ángulos formados por dos rectas cortadas por una transversal Líneas y puntos notables del triángulo. Cuadriláteros. Áreas de figuras planas.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Competencias en cada momento: Momento A: Apropiación de conceptos, Momento B: Análisis y propuesta de solución de problemas Momento C: Práctica en el contexto Momento D: capacidad de hacer nuevas propuestas e inventiva). Cumplimiento y responsabilidad con trabajos y tareas Participación activa - Puntualidad - Asistencia.

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GUÍANo.01 ” RESUMEN DE GEOMETRIA” (8 SEMANAS) Recuerdo y afianzo los principales conceptos y propiedades de la geometría adquiridos en grados anteriores.

Pregunta problematizadora: ¿para qué sirve la geometría hoy en día? MOTIVACIÓN: Lectura Importancia de la geometría. La geometría ha sido desde los inicio de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas. La geometría es una parte importante de la cultura del hombre, no es fácil encontrar contextos en que la geometría no aparezca de forma directa o indirecta. Actividades tan variadas como el deporte, la jardinería o la arquitectura por citar algunas se sirven de la utilización, consciente o no, de procedimientos geométricos. Se admite de forma universal la importancia de la geometría como formadora del razonamiento lógico. Ante todo, los maestros de obra de las logias de constructores medievales eran expertos geómetras. Con la única ayuda de figuras geométricas básicas, como el círculo, el cuadrado y el triángulo, eran capaz de diseñar las plantas y alzados más complejos, además de los Diseños de figuras humanas y animales representadas en esculturas y vidrieras. Por este motivo, no es extraño que en numerosos edificios veamos representados algunos de los “atributos” que les identificaban, como el compás, la escuadra o el nivel. Estos símbolos corporativos fueron más tarde heredados por la masonería especulativa, que aún hoy los utiliza en sus templos e indumentaria. Euclides, padre de la Geometría Hace más de 6,000 años ya se utilizaba la geometría para medir terrenos y construir edificaciones. En el año 323 antes de Cristo, Euclides escribió su trabajo de geometría llamado Los Elementos. La geometría euclidiana se basa en las definiciones y axiomas descritos por Euclides (c.325 - c.265 a.C.) en su tratado Elementos, que es un compendio de todo el conocimiento sobre geometría de su tiempo. Principalmente comprende puntos, líneas, círculos, polígonos, poliedros y secciones cónicas, que en secundaria se estudian en Matemáticas y en Educación Plástica y Visual.

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La geometría sólida que fue desarrollada por Arquímedes (287 - 212 a.C.) y que comprende, principalmente, esferas, cilindros y conos. Las secciones cónicas fueron el tema de los estudios de Apolonio en la misma época (c.260 - 200 a.C.). La geometría analítica que fue inventada por René Descartes (1596 - 1650), trabaja problemas geométricos a base de un sistema de coordenadas y su transformación a problemas algebraicos. Se subdivide en geometría analítica plana, para ecuaciones con dos variables, y geometría analítica sólida, para ecuaciones con tres variables. 2. PRESABERES. (trabajo individual) De acuerdo a los conocimientos adquiridos en grado anteriores, responda las siguientes preguntas en el cuaderno de matemáticas 1) Los ángulos según su amplitud se clasifican en ángulos: agudo, recto, obtuso, llano, de una vuelta, complementarios y suplementarios. Defina y represente graficamente cada uno de ellos. 2) Los ángulos según su posicion se clasifican en ángulos: opuestos por el vertice, adyacentes, colaterales. Defina y grafique cada uno de ellos. 3) De acuerdo a los conocimientos adquiridos, que propiedades se dan en los ángulos y triángulos.

CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO. GEOMETRIA: Es la ciencia que estudia la extension de las figuras geometricas y las define teniendo en cuenta las relaciones que hay en ellas, las cuales se pueden presentar mediante axiomas, postulados y teoremas. Geometria Plana: estudia las propiedades de las figuras cuyos elemetos estan situados en un mismo plano. Geometria del espacio: estudia las propiedades de las figuras cuyos elementos no estan situados en un mismo plano. Axioma: es una verdad evidente por si misma, y por lo tanto no requiere demostracion. Postulado: es una proposicion evidente que no se ha podido demostrar Teorema: es una proposicion cuya verdad necesita demostracion para hacerla evidente. Corolario: es una verdad que se deduce facilmente de otra. ELABORADO POR CARLOS HUMBERTO BALAGUERA

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Ángulos Formados Por Dos Rectas Cortadas Por Una Transversal Si dos rectas son cortadas por una transversal se forman ángulos alternos internos, alternos externos, opuestos por el vértice, correspondientes, colaterales internos y colaterales externos:

b 2

a

1 3

4 6

B

5 7

8

c Alternos Internos: Son dos ángulos internos situados a uno y otro lado de la secante, no adyacente. Ellos son: 3y5; 4y6 Alternos Externos: Son dos ángulos externos situados a uno y otro lado de la secante, no adyacente. Ellos son: 1y7; 2y8 Correspondientes: Son dos ángulos situados a un mismo lado de la secante, uno interno y otro externo y además no adyacente. Ellos son: 1y5; 2y6; 3y7; 4y8 Colaterales Internos: Son dos ángulos internos situados a un mismo lado de la secante, no adyacentes. Ellos son: 3y6; 4y5 Colaterales Externos: Son dos ángulos externos situados a un mismo lado de la secante, no adyacentes. Ellos son: 1y8; 2y7 LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIANGULO ALTURA: es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o su prolongación. Todo triangulo tiene tres alturas; una correspondiente a cada lado, las cuales concurren a un mismo punto, que se llama Ortocentro MEDIANA: es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Todo triangulo tiene tres medianas; una correspondiente a cada lado, las cuales concurren a un mismo punto, llamado Baricentro o Centro De Gravedad BISECTRIZ: es el segmento que divide cada ángulo en dos ángulos iguales. Todo triangulo tiene tres bisectrices; una para cada ángulo, las cuales concurren a un mismo punto, llamado Incentro y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. MEDIATRIZ: es la perpendicular trazada por el punto medio de cada lado. Todo triangulo tiene tres mediatrices que concurren a un mismo punto, llamado Circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triangulo.

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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS CUADRADO

RECTÁNGULO

PARALELOGRAMO

a

l

h

b

TRAPECIO

b

TRIANGULO RECTANGULO

b

TRIANGULO b

c c

h

b B

a a

Donde: ROMBO

POLÍGONO REGULAR

TRAPEZOIDE

h

a

h1

a

b

, Donde: P es perímetro a es apotema CIRCULO

ELIPSE

CORONA CIRCULAR a

R

b

TRABAJO COLECTIVO Reúnanse en grupos de cuatro estudiantes, resuelva los siguientes ejercicios estadísticos, deje constancia en el cuaderno, presente como trabajo escrito. ELABORADO POR CARLOS HUMBERTO BALAGUERA

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1. Utilizando las herramientas apropiadas construya: Ortocentro, Baricentro, Incentro y Circuncentro 2. Construir las gráficas para hallar el área de: un sector circular y segmento circular. 3. Se tiene dos rectas cortadas por una secante, donde uno de los ángulos mide 35.5°, encontrar la mediada de los otros ángulos.

TRABAJO EXTRA CLASE Reúnanse en grupos de cuatro estudiantes resuelva los siguientes ejercicios, deje constancia en el cuaderno, presente como trabajo escrito. 1. Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular: a) Las hectáreas que tiene. b) El precio del campo si el metro cuadrado cuesta $150. 2. Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura. 3. Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada uno. 4. El perímetro de un triángulo equilátero mide 0.9 dm y la altura mide 25.95 cm. Calcula el área del triángulo. 5. Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m 2 . 6. El área de un trapecio es 120 m 2 , la altura 8 m, y la base menor mide 10 m. ¿Cuánto mide la otra base? 7. Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces más que su altura. 8. Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal menor es la mitad de la mayor. A = (10 · 5) : 2 = 25 cm 2

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PRUEBA SABER ONCE Recuerde que puede encontrar dos opciones validas para solucionar el problema planteado; usted debe seleccionar entre las opciones dadas solo una, la que considere relaciona de manera mas estructurada los conceptos matemáticos con las condiciones particulares de la situación problema. Los Pentominós son figuras que se forman con 5 cuadrados, que se unen siempre por los bordes, teniendo al menos lado en común. A Continuación se presentan algunos de ellos:

(I)

(II)

(III)

(IV)

(V)

1. ¿Cuál de las siguientes figuras es un pentominó? a)

b)

c)

d)

2. Analizando los pentominós del contexto inicial, ¿cuál de las siguientes afirmaciones NO es verdadera? a) El pentominó (I) es el que tiene mayor área b) El pentominó ( IV) es el que tiene menor perímetro c) Todos los pentominós tienen la misma área d) Todos los pentominós tienen igual perímetro 3. Se quiere formar con pentominós, un rectángulo de 15 unidades cuadradas. ¿Cuál de las siguientes agrupaciones harías? a) (I), (II) y (III) b) (II), (IV) c) (I), (IV) y (V) d) (IV), (III) y (II) DE ACUERDO CON EL TEXTO RESPONDA LAS PREGUNTAS 4 A 7 Don Carlos compro un terreno que tiene las siguientes dimensiones

45m 13 m

4. Sobre el área del terreno es válido afirmar que: a) Es igual a 90 m² b) Esta entre 50 m y 59 m c) Es igual a 585 m² d) Esta entre 110 m y 117 m ELABORADO POR CARLOS HUMBERTO BALAGUERA

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5. Don Carlos utilizo del terreno para sembrar zanahorias, ¿Cuántos metros cuadrados utilizo don Carlos para sembrar las zanahorias? a) 1170 m² b) 585 m² c) 234 m² d) 5 m² 6. Don Carlos necesita cercar el terreno, para ello necesita saber cuántos metros debe comprar si quiere darle 3 vueltas al terreno, ¿Cuántos metros de alambre debe comprar don Carlos? a) 116 m b) 118 m c) 348 m d) 585 m 7. Si don Carlos vende un medio del terreno del área. a) Se mantienen b) Se duplica c) Se reduce en 2 m

d) Se reduce a la mitad

DE ACUERDO CON EL TEXTO RESPONDA LAS PREGUNTAS

8

A 10

Listón Longitud del listón 1 120 cm 2 15 m 3 8 dm 4 7.8 m

Don José tiene cuatro listones de madera, sus medidas se representan en la siguiente tabla:

8. Si se ordenan los listones de la menor a la mayor longitud, el orden es: a) 2, 1, 4, 3 b) 3, 1, 4, 2 c) 1, 3, 4, 2 d) 4, 3, 1, 2 9. Don José corto del listón 2, ¿Cuántos cm del listón le sobra? a) Más de 100 cm b) Menos de 80 cm c) Más de 140 cm

d) Menos de 110 cm

10. Don José afirma que si corta el listón 1 en trozos de 4,5cm cada uno no le sobra madera. La afirmación de don José es: a) Verdadera, porque 4 es un divisor de 120. b) Falsa, porque 4.5 no es un número entero y 120 si lo es. c) Verdadera, porque al dividir un entero entre un decimal siempre el resultado es otro entero. d) Falso, porque le sobran 3 cm al listón.

PROFUNDIZACIÓN TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD. Si se traza una paralela a un lado de un triángulo, determina segmentos proporcionales en los otros dos lados. (Consultar su demostración)

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TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR): Si una recta corta a dos lados de un triángulo y determina segmentos proporcionales en los otros dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado. (Consultar su demostración) TEOREMA DE THALES: Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos de una transversal son proporcionales a sus correspondientes en la otra.

Donde t1 y t2 son transversales

TEOREMA: En todo triangulo la bisectriz de un ángulo interno divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

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TEOREMA: La bisectriz de un ángulo exterior de un triangulo no isósceles, divide a la prolongación del lado opuesto al ángulo en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes.

ACTIVIDADES DE REFUERZO Resuelva los siguientes problemas de aplicación de figuras planas 1) En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín.

2) Calcula el área del cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los lados de un rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm.

3) Cuánto vale el área de la parte subrayada de la figura, si el área del hexágono es de 96 cm 2 .

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4) Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda. 5) Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín. 6) Dado el cuadrado ABCD, de 4 m de lado, se une E, punto medio del segmento BC, con el vértice D. Calcular el área del trapecio formado.

7) Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de este edificio sabiendo que se gastan 0.5 kg de pintura por m 2 .

8) Hallar el perímetro y el área de la figura:

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