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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

MULTIPLICACIÓN La multiplicación, a partir de su definición original, representa o es una suma abreviada. Por ejemplo, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 , se abrevia con 2 × 5 . De tal manera que visto a la inversa, la simbología 3 × 4 representa la suma 3 + 3 + 3 + 3 . La simbología anterior puede aplicarse perfectamente a las fracciones. Así, la suma de las fracciones 2 2 2 2 + + + 3 3 3 3

puede abreviarse con la escritura

2 3

× 4 , o bien, puede afirmarse que

2 2 2 2 2 + + + = × 4. 3 3 3 3 3

Al realizar la suma 2 2 2 2 + + + 3 3 3 3

se obtiene por resultado deduce que

8 . Si se escribe la suma anterior con la simbología de la multiplicación, se 3

2 8 , que puede obtenerse de multiplicar el 2 (numerador original) por el 4, × 4 = 3 3

mientras que el 3 (denominador original) permanece inalterado, cuyo equivalente es que se multiplicó por el elemento neutro de la multiplicación, es decir, por el 1. En otras palabras, 2 2 4 8 × 4 = × = 3 3 1 3

-

numerador por numerador denominador por denominador

Por extensión o generalización, de allí sale la conocida regla de la multiplicación de fracciones de que "se multiplican numeradores por numeradores y denominadores por denominadores". Cualquier multiplicación de fracciones hecha así dará un resultado correcto. Sin embargo, si antes de efectuar la operación de multiplicación de fracciones se simplifican éstas, el proceso resulta menos laborioso y más sencillo. Por esta razón, antes de entrar de lleno a la multiplicación de fracciones algebraicas, se verá la simplificación de fracciones.

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SIMPLIFICACIÓN: PROPIEDAD ÚNICA DE LAS FRACCIONES Las fracciones tienen una sola propiedad: "debe multiplicarse el numerador y el denominador por una misma cantidad para que la fracción no se altere". En consecuencia, como la división es simplemente la operación inversa de la multiplicación, se puede hacer extensiva la propiedad de las fracciones hacia la división, es decir que "debe dividirse el numerador y el denominador entre una misma cantidad para que la fracción no se altere". Como es la única propiedad que aceptan las fracciones, quiere decir que la única operación que no altera a una fracción es la multiplicación (o su inversa, la división), pero nunca la suma, ni la resta, ni elevando numerador y denominador al cuadrado, etc. 17 . Si se suma + 5 simultáneamente al numerador y al denominador 27 se obtiene la nueva fracción

Ejemplo 1: Considérese la fracción

17 + 5 22 = 27 + 5 32 17 22 debido a ≠ 27 32 que se utilizó la operación suma (+ 5) al numerador y denominador simultáneamente, la cual no aceptan las fracciones. Por esta razón, es incorrecto hacer simplificaciones de la siguiente forma: Sin embargo, esta última no es igual a la fracción original, es decir que

a+ b a = 2 2 x +b x ya que se está restando b al numerador y al denominador al eliminar dicha literal.

7 . Si se elevan al cuadrado simultáneamente el numerador y el deno11 minador se obtiene la nueva fracción

Ejemplo 2: Considérese la fracción

72 49 = 2 11 121

7 49 debido a ≠ 11 121 que se utilizó la operación "elevar al cuadrado" al numerador y denominador simultáneamente, la cual no aceptan las fracciones. Sin embargo, esta última no es igual a la fracción original, es decir que

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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

4 . Si se multiplican simultáneamente el numerador y el denominador 15 por 6, se obtiene la nueva fracción

Ejemplo 3: Considérese la fracción

4 × 6 24 = 15 × 6 90 4 24 debido a que = 15 90 se utilizó la operación multiplicación al numerador y denominador simultáneamente, la cual es la única que aceptan las fracciones. En este caso, esta última sí es igual a la fracción original, es decir que

Ejemplo 4: Considérese la fracción

24

. Si se dividen simultáneamente el numerador y el denominador 90 entre 6, se obtiene la nueva fracción

24 ÷ 6 4 = 90 ÷ 6 15 24 4 = debido a 90 15 que se utilizó la operación división (inversa de la multiplicación) al numerador y denominador simultáneamente, la cual es la única que aceptan las fracciones.

En este caso, esta última sí es igual a la fracción original, es decir que

Es interesante analizar, por simple que parezca, los ejemplos 3 y 4. Por una parte, el ejemplo 4 no es más que el inverso del ejemplo 3. Por otra, también el ejemplo 4 no es más que una simplificación de una fracción, porque lo que se le hizo, al dividirlo entre 6, fue sacarle sexta al numerador y al denominador. De tal manera que la simplificación de fracciones no es otra cosa que la aplicación a la fracción que se simplifica de ésta única propiedad, por lo que simplificar es eliminar los mismos factores del numerador y del denominador al mismo tiempo. Hay que recordar (ver página 10) que FACTOR es el nombre que se le da a toda cantidad, ya sea en Aritmética o en Álgebra, que "esté jugando al deporte" llamado MULTIPLICACIÓN. De todo lo anterior es fácil deducir que para poder simplificar una fracción algebraica, ésta debe factorizarse en su numerador y en su denominador. Al eliminar los mismos factores, tanto del numerador como del denominador, lo que se está haciendo es dividir por la misma cantidad simultáneamente el numerador y el denominador, aplicando así la única propiedad de las fracciones. Por eso resulta grave error la tendencia del estudiante a eliminar cantidades iguales en el numerador y en el denominador, cuando pretende simplificar, cuando éstas se están sumando (o restando), como en el siguiente caso:

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¡Falso! ¡Falso!: es que si al numerador 2a + b se le quitó la b, lo que realmente se hizo fue restarle b y la operación resta no es la que aceptan las fracciones. Lo mismo sucedió en el denominador. Por eso no se pueden simplificar las fracciones cuando las cantidades a eliminar se están sumando o restando. Debe tenerse mucho cuidado de que la operación principal del numerador y del denominado sea la multiplicación para que la simplificación sea correcta.

Ejemplo 1: Simplificar la fracción Solución:

a 2 − 2a − 15 a 2 − 25

* Factorizando el numerador a 2 - 2a - 15 (trinomios de la forma x 2 + bx + c, ver página 18): a 2 - 2a - 15 = (a - 5)(a + 3). * Factorizando el denominador a 2 - 25 (diferencia de cuadrados, página 16): a 2 - 25 = (a + 5)(a - 5). * Entonces:

( a − 5 )( a + 3 ) = a 2 − 2a − 15 = 2 a − 25 ( a − 5 )( a + 5 ) =

a+3 a+5

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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Ejemplo 2: Simplificar la fracción Solución:

x3 − 8 x3 + 2x 2 + 4x

* Factorizando el numerador x 3 - 8 (diferencia de cubos, página 31): x 3 - 8 = (x - 2)(x 2 + 2x + 4). * Factorizando el denominador x 3 + 2x 2 + 4x (factor común, página 11): x 3 + 2x 2 + 4x = x(x 2 + 2x + 4). * Entonces:

x3 − 8 = x3 + 2x 2 + 4x =

Ejemplo 3: Simplificar la fracción Solución:

( x − 2 ) ( x 2 + 2x + 4 ) x ( x 2 + 2x + 4)

x−2 x

3ac + 2bc − 12a − 8b 6a 2 − 11ab − 10b 2

* Factorizando el numerador 3ac + 2bc - 12a - 8b (por agrupación, página 13): 3ac + 2bc - 12a - 8b *

= c(3a + 2b) - 4(3a + 2b) = (3a + 2b)(c - 4).

Factorizando el denominador 6a 2 - 11ab - 10b 2, que es un trinomio explicado en la página 26 de la forma ax 2 + bxy + cy 2: 6a 2 - 11ab - 10b 2 = (3a + 2b)(2a - 5b).

( 3a + 2b )( c − 4 ) = 3ac + 2bc − 12a − 8b = 2 2 6a − 11ab − 10b ( 3a + 2b )( 2a − 5b ) *

Entonces:

=

c−4 2a − 5b

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Ejemplo 4: Simplificar la fracción

Solución:

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2 a + 3 ( a − 1)

( 2a + 3 )( 5a − 3 )

¡Atención a este ejemplo! El alumno descuidado intentará simplificar de la siguiente manera:

2 a + 3 ( a − 1)

( 2a + 3 )( 5a − 3 )

=

2a + 3 ( a − 1)

( 2a + 3 )( 5a − 3 )

=

a −1 5a − 3

lo cual es falso, ya que el numerador no está factorizado porque la operación principal es la suma

La operación principal ⎫⎪ es LA SUMA, ⎬ por lo tanto NO está factorizada ⎪⎭

  P 2 a + 3 ( a − 1)

5a − 3 ) ( 2a + 3 )  (   

La operación principal ⎫ ⎪ es LA MULTIPLICACIÓN, ⎬ por lo tanto SÍ está factorizada ⎪⎭ y se insistió al inicio de este tema en que la única propiedad que aceptan las fracciones es la de multiplicar (o dividir) numerador y denominador por la misma cantidad. Simplificar no es otra cosa que dividir numerador y denominador entre la misma cantidad y al eliminar 2a + 3 en el numerador no se eliminó ningún factor, puesto que 2a + 3 (del numerador) no es un factor. De manera que lo primero que debe hacerse en este caso es efectuar la multiplicación que está indicada en el numerador, de lo cual resulta

2 a + 3 ( a − 1) 2a + 3a − 3 5a − 3 = = ( 2a + 3 ) ( 5a − 3 ) ( 2a + 3 )( 5a − 3 ) ( 2a + 3 )( 5a − 3 ) Como el número 1 es el elemento neutro de la multiplicación, cualquier cantidad puede considerarse multiplicada por la unidad, o lo que es lo mismo, factorizada con el factor 1. De esta manera, el numerador 5a − 3 = 1 ( 5a − 3 ) . Y como el denominador ya está factorizado, ahora sí se puede simplificar eliminando el factor ( 5a − 3 ) del numerador y del denominador al mismo tiempo, de lo cual se obtiene

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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

1 ( 5a − 3 ) 5a − 3 = ( 2a + 3 )( 5a − 3 ) ( 2a + 3 ) ( 5a − 3 )

=

1 2a + 3

Otro aspecto interesante de este ejemplo es que cuando aparentemente todo queda simplificado, ya sea en el numerador o en el denominador, en realidad allí queda la unidad por lo que se acaba de afirmar, esto es que como el número 1 es el elemento neutro de la multiplicación, cualquier cantidad puede considerarse multiplicada por la unidad, o lo que es lo mismo, factorizada con el factor 1. Ese factor 1 es el que queda. En este ejemplo, cuando aparentemente todo el numerador se eliminó, en el resultado final obsérvese que apareció un 1 en el numerador.

EJERCICIO 18 Simplificar las siguientes fracciones:

1)

15a − 21 30a + 48

2)

a 4 + 3a 2 a 5 + 3a 4 + 11a 3

3)

6 x 2 − 13 x + 6 3x 2 − 2 x 3

4)

x 3 + 27 5 x − 15 x + 45

5)

25a 2 − 20a + 4 25a 2 − 4

6)

2bc + 10c − 3b − 15 3b 3 + 15b 2

7)

64 + a 3 16 − a 2

8)

2

2x + 3( x + 4)

( 2 x + 3 )( 5 x + 12 )

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9)

11)

( 2a − 5 ) 4 − 7 a ( a − 20 )( 4 − 7a ) 2x + 3 ( x + 4 ) x + 4 ( x + 4)

página 75

10)

12)

ab + 5 ( 3ab − 1)

( ab + 5 )(16ab − 5 ) 2m + 7 ( 4m − 5 )

4m − 5 ( 2m + 7 )

13)

8x 3 − x 2 x − 5x − 6

14)

3y3 + 9 y 2 y2 + 6y + 9

15)

ac 2 3a c − 3ac 2

16)

a2 − b2 a 2 + 2ab + b 2

17)

f2 −4 5cf + 10c

18)

8a 3 − 125 4a 2 − 20a + 25

19)

r2 + r − 6 r 2 − 2r − 15

20)

8h 3 − 27 4h 2 − 12h + 9

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES La regla práctica de la multiplicación de fracciones consiste en la unión de las dos reglas particulares antes mencionadas. Esto es:

Para multiplicar fracciones: 1) 2)

Se simplifican las fracciones (al principio o al final); Se multiplican numerador por numerador, por una parte, y denominador por denominador, por otra parte.

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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Ejemplo 1: Multiplicar las fracciones Solución:

2a 2 − 10a a+5 × 2 2 a + 7 a + 10 6a b − 30ab

* Factorizando el primer numerador 2a 2 - 10a, (factor común, página 11): 2a 2 - 10a = 2a(a - 5) * Factorizando el primer denominador, perteneciente a trinomios de la forma x 2 + bx + c, vistos en la página 18: a 2 + 7a + 10 = (a + 5)(a + 2). * Factorizando el segundo denominador 6a 2b - 30ab (factor común, página 11): 6a 2b - 30a = 6ab(a - 5). * Entonces:

2a ( a − 5 ) 2a 2 − 10a a+5 a+5 × = × 2 2 a + 7 a + 10 6a b − 30ab ( a + 5 )( a + 2 ) 6ab ( a − 5 ) =

=

2a ( a − 5 )

( a + 5 )( a + 2 )

×

a+5 6ab ( a − 5 )

2a ( a − 5 )( a + 5 )

6ab ( a + 5 )( a + 2 )( a − 5 ) 3b

=

=

Ejemplo 2: Multiplicar las fracciones Solución:

1 3b ( a + 2 ) 1 3ab + 6b

8x 3 + 1 30 x − 15 × 4 x 2 − 1 60 x 2 − 30 x + 15

* Factorizando el primer numerador 8x 3 + 1, (suma de cubos, página 27): 8x 3 + 1 = (2x + 1)(4x 2 - 2x + 1). * Factorizando el primer denominador 4x 2 - 1, (diferencia de cuadrados, página 16):

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4x 2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1). * Factorizando el segundo numerador 30x - 15, (factor común, página 11): 30x - 15 = 15(2x - 1). * Factorizando el segundo denominador 60x 2 - 30x + 15, (factor común, página 11): 60x 2 - 30x + 15 = 15(4x 2 - 2x + 1). * Entonces:

8x 3 + 1 30 x − 15 × = 2 4 x − 1 60 x 2 − 30 x + 15

=

=

Ejemplo 3: Multiplicar las fracciones Solución:

( 2 x + 1) ( 4 x 2 − 2 x + 1) ( 2 x + 1)( 2 x − 1)

×

15 ( 2 x − 1)

15 ( 4 x 2 − 2 x + 1)

15 ( 2 x + 1) ( 4 x 2 − 2 x + 1) ( 2 x − 1) 15 ( 2 x + 1)( 2 x − 1) ( 4 x 2 − 2 x + 1)

1

=

2a 2 − 2a + 5ab − 5b 6a 2 − 8a − 15ab + 20b × 3a 2 + a − 4 a + 11

* Factorizando el primer numerador 2a 2 - 2a + 5ab - 5b (agrupación, página 13): 2a 2 - 2a + 5ab - 5b

= 2a(a - 1) + 5b(a - 1) = (a - 1)(2a + 5b).

* Factorizando el primer denominador que pertenece a los trinomios de la forma ax 2 + bx + c, vistos en la página 20: 3a 2 + a - 4

= 3a 2 + 4a - 3a - 4 = a(3a + 4) - 1(3a + 4) = (3a + 4)(a - 1).

* Factorizando el segundo numerador 6a 2 + 8a - 15ab - 20b, (agrupación, página 13) 6a 2 + 8a - 15ab - 20b = 2a(3a + 4) - 5b(3a + 4) = (3a + 4)(2a - 5b). * Entonces:

página 78

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

2a 2 - 2a + 5ab − 5b 6a 2 − 8a − 15ab + 20b × = 3a 2 + a − 4 a + 11

=

( a − 1)( 2a + 5b ) ( 3a + 4 )( a − 1)

=

( a − 1)( 2a + 5b )( 3a + 4 )( 2a − 5b ) ( 3a + 4 )( a − 1)( a + 11)

=

Ejemplo 4: Multiplicar las fracciones Solución:

×

( 2a + 5b )( 2a − 5b ) a + 11

( 3a + 4 )( 2a − 5b ) a + 11

=

4a 2 − 25b 2 a + 11

81b 4 − 1 16b − 40 × 2 3 6b + 13b − 5 27b + 9b 2 + 3b + 1

* Factorizando el primer numerador 81b 4 - 1 (diferencia de cuadrados, página 16): 81b 4 - 1 = (9b 2 + 1)(9b 2 - 1) = (9b 2 + 1)(3b + 1)(3b - 1). * Factorizando el primer denominador de la forma ax 2 + bx + c, vistos en la página 20: 6b 2 + 13b - 5 = 6b 2 + 15b - 2b - 5 = 3b(2b + 5) - 1(2b + 5) = (3b - 1)(2b + 5). * Factorizando el segundo numerador 16b - 40 (por factor común, página 11): 16b - 40 = 8(2b - 5) * Factorizando el 2º denominador 27b3 + 9b2 + 3b + 1 (agrupación, página 13): 27b 3 + 9b 2 + 3b + 1 = 9b 2(3b + 1) + 1(3b + 1) = (9b 2 + 1)(3b + 1) * Entonces:

81b 4 − 1 16b − 40 × = 2 3 6b + 13b − 5 27b + 9b 2 + 3b + 1

=

=

( 3b − 1)( 3b + 1) ( 9b 2 + 1) ( 3b − 1)( 2b + 5 )

×

( 9b

8 ( 2b − 5 ) 2

+ 1) ( 3b + 1)

8 ( 3b − 1)( 3b + 1) ( 9b 2 + 1) ( 2b − 5 )

( 3b − 1)( 2b + 5 ) ( 9b 2 + 1) ( 3b + 1)

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=

=

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8 ( 2b − 5 ) 2b + 5 16b − 40 2b + 5

EJERCICIO 19 Multiplicar las siguientes fracciones:

1)

15a − 21 5a + 8 × 30a + 48 7

2)

a 4 + 3a 2 2a 2 + 6a + 22 × a 5 + 3a 4 + 11a 3 a2 + 3

3)

6 x 2 − 13x + 6 5x 3 × 3x 2 − 2 x 3 4 − 6x

4)

x 3 + 27 20 x − 60 × 2 5 x − 15 x + 45 x2 − 9

5)

25a 2 − 20a + 4 3a + 3 × 2 5a + 3a − 2 25a 2 − 4

6)

2bc + 10c − 3b − 15 2abc + 3ab × 3b 3 + 15b 2 5a

7)

64 + a 3 2b × 2 16 − a 16a − 4a 2 + a 3

8)

x 2 − 2x − 3 3xy + 9 × 2 x + x−6 2 x 2 − 5x − 3

9)

4a 2 − 25 18ax − 54 x × 2 2a − a − 15 a2 + 1

10)

2a 2b − 6ab 2 a2 − b2 × a 2 + 4ab + 3b 2 2a 2 − 6ab − a + 3b

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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

11)

y3 − 8 ax + 3a × 2 xy − x + 6 y − 3 6a 2 y − 12a 2

12)

5a 2b − 5ab 2 20a 2b + 20ab 2 × 10a 3 + 10a 2b 10ab 2 − 10b 3

13)

16bx − 8by 5x + 5 y × 10 x + 5 y 16bx − 8by

14)

3y3 + 9 y 2 y 3 + 27 × y 2 + 6 y + 9 3 y 3 − 9 y 2 + 27 y

15)

ac a2 − c2 × 3a 2 c − 3ac 2 4ax + 2cx

16)

a2 − b2 2a − 2b × 2 2 a + 2ab + b 6a + 6b

17)

f2 −4 10 f 2 + 20 f + 40 × 5cf + 10c f +3

18)

8a 3 − 125 3a 2 x × 4a 2 − 20a + 25 2ax + 5 x

19)

r2 + r − 6 r x3 + 9x3 × r 2 − 2r − 15 r x 3 + 5 x 3

20)

8h 3 − 27 2h 2 − h − 3 × 4h 2 − 12h + 9 h − 25