INTERACCIÓN ELÉCTRICA. LEY DE COULOMB.

Existe una propiedad de la materia que influye en la materia que la rodea y que definimos como carga eléctrica, un número con el cuál somos capaces de explicar ciertas “influencias” o interacciones entre cuerpos que poseen este número como indicativo de una de sus propiedades fundamentales. Visto esto, se sabe que hay dos tipos de carga que definimos una como positiva y otra negativa y se sabe que cuando dos cargas están “cerca” se atraen si son de signo contrario o se repelen si son del mismo signo. La unidad de este número llamado carga es el Culombio. Además conocemos el módulo de esta fuerza, Ley de Coulomb: |𝐹⃗ | = 𝐾

𝑞1 𝑞2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑅 12 |

2

2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Donde |𝑅 12 | es la distancia entre ellas (módulo del vector que va desde la posición de una carga a la posición de la otra) y 𝐾 una constante que depende del medio en el que están las cargas. La unidad de fuerza sigue siendo el Newton y la de distancia el metro, Sistema Internacional.

+𝑞1

+𝑞2

−𝑞1

−𝑞2

+𝑞1

−𝑞2

Como se ve en la figura, se cumple la ley de acción y reacción. Hacemos notar algo fundamental: en la fórmula dada como ley de Coulomb recalcamos que dicha fórmula se refiere claramente al Página 1 de 22

MÓDULO de la fuerza eléctrica; NO PONDREMOS POR ELLO EL SIGNO DE LAS CARGAS, quedando reflejado EL CARÁCTER VECTORIAL EN EL DIBUJO y después en los cálculos analíticos. Lo veremos en los ejemplos. La constante K que aparece en la ley Coulomb no es universal, como en la ley de la gravedad la constante G, y su valor depende del medio. En el vacío 𝐾0 = 9 109 Algo a resaltar sobre K es que, por comodidad matemática y otras razones que ahora no vienen al caso, se pone en función de otra constante, 𝜀: 1 𝐾= 4𝜋𝜀 1 1 En el caso del vacio: 𝐾𝑜 = 9109 = → 𝜀0 = 4𝜋𝜀0 4𝜋9109 Se consigue por ejemplo que el teorema de Gauss, fundamental en el estudio de la electricidad, tenga una expresión más sencilla. CAMPO ELÉCTRICO Las cargas eléctricas, como las masas, modifican el espacio en el que están de tal manera que es muy distinto el comportamiento de otras masas y cargas en sus alrededores que fuera de su alcance, lejos de ellas. Cuando un bolígrafo se cae sobre el suelo de la habitación no es porque conozca la ley de Newton evidentemente, sino porque el espacio en el que está tiene unas propiedades muy distintas a las que posee a 10000 Km por encima de la superficie terrestre. Lo mismo ocurre con las cargas eléctricas. Por ello, para explicar ese espacio y sus propiedades SE DEFINE el vector campo eléctrico en un punto cualquiera producido por un sistema de cargas como la fuerza que esas cargas ejercerían en ese punto a la unidad de carga positiva +1C si allí estuviera. Se recalca la necesidad de tener clara la definición.

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CALCULO DEL CAMPO ELECTRICO

Para calcular el vector campo eléctrico en un punto tendremos que utilizar distintos medios matemáticos según sea la distribución de cargas: A) Campo debido a cargas puntuales. Por ser la distribución más sencilla en este caso utilizaremos solamente la ley de Coulomb y sumaremos, vectorialmente claro, el campo ejercido por cada una de las cargas. B) Campo debido a distribuciones de carga continua: una varilla cargada, un anillo o parte de él fundamentalmente. Aquí calcularemos las contribuciones infinitesimales de cargas puntuales infinitamente pequeñas (diferenciales) y la integral nos sumará esas contribuciones infinitesimales. C) Campo debido a planos, hilos o cilindros infinitos y esferas. Aquí utilizaremos siempre uno de los teoremas fundamentales del electromagnetismo, el teorema de Gauss. No nos olvidemos nunca de estas tres distribuciones de carga y de las distintas formas matemáticas utilizadas en cada una de ellas para calcular el campo eléctrico creado por ellas, como vamos a ver en los siguientes ejemplos.

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A) CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS PUNTUALES: A1) Calcular el campo eléctrico en el punto P por las cargas de la figura 𝐸⃗⃗+3𝜇𝐶 𝑷 𝐸⃗⃗−3𝜇𝐶

0,2 𝑚

+1𝐶

60° 60° +3𝜇𝐶

−3𝜇𝐶

En la figura se han exagerado los tamaños de las cargas, recordar que son “puntuales”, y lo que queremos es calcular el campo eléctrico creado por ambas, que están en la base del triángulo equilátero de 𝟎, 𝟐 𝒎 de lado, en el punto P. Para ello calculamos, aplicando la definición de campo eléctrico, la fuerza que en ese punto se ejercería a +1C por cada una de las cargas: 𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐸⃗⃗+3𝜇𝐶 𝑐𝑟𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 + 3𝜇𝐶 Primero, calculamos el módulo de ese vector (figura) −6

𝑞 𝑞 310 ∗1 27 𝑁 |𝐸⃗⃗+3𝜇𝐶 | = 𝑘𝑜 𝑑1 22 = 9109 0,22 = 4 105 𝐶 .

Sabiendo el módulo, estamos ya en condiciones de: Segundo, tenemos que calcular sus componentes. Lo hacemos claramente sabiendo que el vector forma 60 grados con la horizontal (ver figura), por lo tanto: 𝐸𝑥 = 𝐸𝑦 =

27 5 27 5 1 27 5 10 𝑐𝑜𝑠60 = 10 = 10 2 2 2 4

27 5 √3 27√3 5 27 5 10 𝑠𝑒𝑛60 = 10 = 10 2 2 2 4

Quedándonos ya en forma vectorial: Página 4 de 22

⃗𝑬 ⃗⃗𝟑𝝁𝑪 =

𝟐𝟕 𝟓 𝟐𝟕√𝟑 𝟓 𝟏𝟎 𝒊⃗ + 𝟏𝟎 𝒋⃗ 𝟒 𝟒

𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐸⃗⃗−3𝜇𝐶 𝑐𝑟𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 − 3𝜇𝐶 El campo creado por la carga negativa como antes, calculamos primero su módulo y después sus componentes: −6

310 27 𝑁 |𝐸⃗⃗−3𝜇𝐶 | = 𝐾0 0,22 = 4 105 𝐶

Como se ha dicho, fijarse que no hemos puesto el signo de la carga (es negativa) porque ésta fórmula, insistimos, nos da el módulo del campo y no tiene sentido que digamos que el módulo de un vector es negativo. SÍ tenemos en cuenta cuál es el vector en el dibujo y para calcular sus componentes tenemos que ver claramente, en el dibujo insistimos, que forma 60 grados con la horizontal pero hacia abajo. Por lo tanto: 𝐸𝑥 =

27 5 27 5 1 27 5 10 𝑐𝑜𝑠60 = 10 = 10 2 2 2 4

𝐸𝑦 = −

27 2

105 𝑠𝑒𝑛60 = −

27√3 4

105

Donde el signo menos viene simplemente de que, según se ve en la figura y se ha dicho, este vector va hacia abajo. Por lo tanto, en forma vectorial: ⃗⃗⃗−𝟑𝝁𝑪 = 𝑬

𝟐𝟕 𝟓 𝟐𝟕√𝟑 𝟓 𝟏𝟎 𝒊⃗ − 𝟏𝟎 𝒋⃗ 𝟒 𝟒

Y el campo total la suma de ambos: ⃗𝑬 ⃗⃗ = 𝑬 ⃗⃗⃗𝟑𝝁𝑪 + 𝑬 ⃗⃗⃗−𝟑𝝁𝑪 =

𝟐𝟕 𝟓 𝟐𝟕√𝟑 𝟓 𝟐𝟕 𝟓 𝟐𝟕√𝟑 𝟓 𝟏𝟎 𝒊⃗ + 𝟏𝟎 𝒋⃗ + 𝟏𝟎 𝒊⃗ − 𝟏𝟎 𝒋⃗ 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒

Quedándonos finalmente: ⃗⃗⃗ = 𝟐 𝟐𝟕 𝟏𝟎𝟓 𝒊⃗ 𝑬 𝟒

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Veamos ahora otro ejemplo que generaliza al anterior y que utilizaremos cuando no tengamos ángulos conocidos o el problema se complique (Por ejemplo si estamos en tres dimensiones). Para ello, consultar conceptos básicos sobre vectores, sobre todo en cuanto a vector unitario en la dirección de otro se refiere. A2) CAMPO CREADO EN EL PUNTO P por las cargas 𝑞1 , 𝑞2 𝑦 𝑞3 DE LA FIGURA 𝑷(𝟑, 𝟑)

𝐸⃗⃗3

𝐵(0,3) • 𝐸⃗⃗1

𝑞3 = +4𝜇𝐶

𝑂 • 𝑞2 = +6𝜇𝐶

𝐸⃗⃗2

• 𝐴(2,0)

𝑞1 = −2𝜇𝐶

Queremos calcular el campo eléctrico en el punto P creado por las tres cargas 𝑞1 = −2𝜇𝐶 𝑞2 = +6𝜇𝐶 𝑦 𝑞3 = +4𝜇𝐶 Lo primero que hacemos, como siempre, es dibujar los tres vectores campo eléctrico creado por cada una de ellas, teniendo en cuenta que en el punto P hay +1C y el signo de cada una de las cargas: 𝑞1 atrae a +1C porque es negativa. Las otras dos lo repelen porque son positivas. El segundo paso es calcular los vectores unitarios en las direcciones y sentidos indicados por esos tres vectores: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2 − 3,0 − 3) = (−1, −3) → |𝑃𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √(−1)2 + (−3)2 𝑞1 : 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑃𝐴 1 𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝟏, −𝟑) = 𝒖 ⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 = √10 → ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 = 𝑃𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| √𝟏𝟎 |𝑃𝐴

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Este último vector ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 es el vector unitario en la dirección del campo creado por la carga q1, que llamaremos evidentemente ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 . Para calcular el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 basta con calcular su módulo: 2 10−6

2 10−6 = 9 10 = 18 102 𝑁/𝐶 10 (√10)2

⃗⃗⃗⃗⃗1 | = 𝑘 |𝐸

9

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 = 18 102 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 = 18 102

Y multiplicarlo por ⃗⃗⃗⃗⃗: 𝒖𝟏

1 √10

(−1, −3)

⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 = 𝟏, 𝟖√𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐 (−𝟏𝒊⃗ − 𝟑𝒋⃗) 𝑬 Análogamente se calculan los otros dos vectores campo eléctrico producidos por las otras dos cargas: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 𝑞2 : vector unitario según ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸2 : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃 = (3 − 0,3 − 0) = (3,3); |𝑂𝑃 1 1 1 (3,3) = ( , ) = √32 + 32 = √18 = 3√2 → ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 = 3√2 √2 √2

⃗⃗⃗⃗⃗2 | = 𝐾 Módulo de |𝐸

610−6 (√18)2

=𝐾

10−6 3

Por lo tanto:

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑬𝟐 = 𝑲

𝟏𝟎−𝟔 𝟏 𝟏 ( , ) 𝟑 √𝟐 √𝟐

De la misma forma se calcula el tercer vector campo eléctrico y el problema termina sumando esos tres vectores (se aconseja acabarlo).

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B.-CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA. VARILLAS Y AROS Cuando tenemos una distribución continua de cargas, una varilla cargada por ejemplo, es evidente que no podemos aplicar la ley de Coulomb ya que no tenemos cargas puntuales y no podemos hablar de una distancia única al punto donde queremos calcular el campo. La idea fundamental es la siguiente (se utiliza en muchos casos en física): elegimos un trozo muy pequeño (infinitesimal) genérico definido por su posición (normalmente para definir esa posición será suficiente con una variable en nuestros problemas) y calculamos el campo eléctrico creado por esa carga infinitesimal (ya es puntual) y después sumaremos las contribuciones de todas esas cargas infinitesimales por medio de una integral. Esta es la idea que con varios ejemplos creemos quedará clara. Veamos: B1). CAMPO CREADO POR UNA VARILLA: Campo en P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝐸 𝑌 𝑃(0, 𝑦) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑃 𝑄(𝑥, 0) −

𝐿

𝑥

2

𝐿

𝑑𝑥

2

𝑋

El punto 𝑃 tiene de coordenadas (0, 𝑦) Aquí tenemos una distribución continua de cargas (varilla roja) sobre el eje 𝑋 que va desde 𝑥 =

−𝐿 2

ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 =

𝐿 2

La varilla tiene por lo tanto una longitud L. Empezamos definiendo una carga puntual genérica en una posición genérica definida por, en este caso, la variable 𝑥 (en el dibujo el origen de coordenadas está en el medio de la varilla roja) y, como tiene que ser puntual o muy pequeña, su longitud es dx. El punto donde está lo Página 8 de 22

llamaremos Q. Una vez definida la carga puntual procedemos como en los casos anteriores: Primero, vector unitario en la dirección del campo: → Vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ QP(misma dirección y sentido que el campo): ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0 − 𝑥, 𝑦 − 0) = (−𝑥, 𝑦); |𝑄𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √(−𝑥)2 + 𝑦 2 = √𝑥 2 + 𝑦 2 → 𝑄𝑃 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝑢 ⃗⃗ = 𝑄𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑄𝑃| ⃗⃗ = 𝒖

𝟏 √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

(−𝒙, 𝒚)

Segundo, módulo del campo creado por la carga infinitesimal de longitud 𝒅𝒙 𝑑𝑞 = 𝛾𝑑𝑥 (𝛾 es la carga que hay por unidad de longitud: densidad de carga) Aplicando la ley de Coulomb a esta carga puntual: 𝑑𝑞 𝛾𝑑𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝑘 = 𝑘 |𝑑𝐸 𝑟2 𝑥2 + 𝑦2 Sabiendo el módulo del campo y su vector unitario nos queda:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑑𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑢 ⃗⃗ = 𝑘 𝑑𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒌 𝒅𝑬

𝛾𝑑𝑥 1 (−𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗) 𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝜸𝒅𝒙

(𝒙𝟐 +

𝟑 𝒚𝟐 ) 𝟐

⃗⃗⃗⃗ (−𝒙𝒊⃗ + 𝒚𝒋)

Sólo queda sumar estas contribuciones infinitesimales para calcular el campo total. No preocuparse: LA INTEGRAL NOS SUMA TODAS LAS CONTRIBUCIONES INFINITESIMALES: idea FUNDAMENTAL. Tendremos entonces:

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𝐿 2

𝛾𝑑𝑥

𝐸⃗⃗ = ∫ 𝑘 −

𝐿 2

(𝑥 2

+

3 𝑦 2 )2

(−𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗)

𝐿 2

𝛾𝑑𝑥

=∫ 𝑘 𝐿 2 𝐿 2

−

(𝑥 2

(−𝑥𝑖⃗)

𝛾𝑑𝑥

+∫ 𝑘 𝐿 − 2

+

3 𝑦 2 )2

(𝑥 2

+

3 𝑦𝑗⃗ 2 𝑦 )2

𝐿 2

= −𝑘𝛾𝑖⃗ ∫

−

𝐿 2

𝑥𝑑𝑥

𝐿 2 2 (𝑥

+

3 2 𝑦 )2

+ 𝑘𝛾𝑦𝑗⃗ ∫

−𝐿 2 2 (𝑥

𝑑𝑥 +

3 2 𝑦 )2

Donde se han sacado fuera de la integral las constantes (fijarse que “y” es la altura del punto P y por lo tanto una constante, la variable es x). El problema físico ya está acabado. Queda integrar pero eso no es la intención de este capítulo (además hay muchos programas que las hacen muy bien)

B2). CAMPO CREADO POR UN ARO O PARTE DE ÉL EN SU CENTRO

𝒅𝜶 5𝜋

𝒅𝒒 en el punto 𝑷

𝛼

6

𝑂 𝑑𝐸⃗⃗ El arco es de 5π/6 5 𝜋⁄6 𝑅𝑑 , su radio es R y su densidad de carga es 𝜇

𝐶

𝑚

Vamos a utilizar, en esencia, el mismo método que en las varillas: vamos a coger un elemento infinitesimal de carga (podremos Página 10 de 22

entonces tratarla como puntual y aplicar la ley de Coulomb) y después calcularemos su contribución al campo. Para finalizar sólo tendremos que sumar las contribuciones infinitesimales por medio de una integral (vieja idea que no nos importa repetir). La diferencia con la varilla es que la posición genérica de la carga infinitesimal está definida por el ángulo 𝜶 y la carga infinitesimal está encerrada en un ángulo también infinitesimal 𝒅𝜶. El siguiente proceso es similar al de la varilla y anteriores: 1º Dibujamos el campo eléctrico creado por la carguita en el punto O, vector llamado 𝑑𝐸⃗⃗ en la figura y el vector unitario en su dirección, la del ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Para ello calculamos el punto P vector 𝑃𝑂

𝑷

𝑅

𝒅𝒒 en el punto 𝑷

𝛼

𝑂 𝑑𝐸⃗⃗ Coordenadas del punto P 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝑎; 𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼. → 𝑃(𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝑎, 0 − 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑎) = (−𝑅𝑐𝑜𝑠𝑎, −𝑅𝑠𝑒𝑛𝑎) 𝑃𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 𝑅 |𝑃𝑂 𝑢 ⃗⃗ =

1 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝑅𝑐𝑜𝑠𝑎, −𝑅𝑠𝑒𝑛𝑎) 𝑃𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 𝑅 |𝑃𝑂 ⃗⃗ = (−𝒄𝒐𝒔𝒂, −𝒔𝒆𝒏𝒂) 𝒖

Vector unitario en la dirección del campo Página 11 de 22

Ahora calculamos el modulo del vector 𝑑𝐸⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝑘 |𝑑𝐸

𝜇𝑅𝑑𝑎 𝑅2

Donde 𝑅𝑑𝑎 es la longitud infinitesimal abarcada por el ángulo 𝑑𝛼 y 𝜇 la densidad lineal de carga por lo que 𝑑𝑞 = 𝜇𝑅𝑑𝛼. Sólo nos queda ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ multiplicando su módulo por el vector unitario en su expresar el vector 𝑑𝐸 dirección y sentido: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒌 𝝁𝑹𝒅𝒂 (−𝒄𝒐𝒔𝒂𝒊⃗ − 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒋⃗) 𝒅𝑬 𝟐 𝑹

De donde, integrando: 5𝜋

5𝜋

5𝜋

𝜇𝑑𝑎 ⃗⃗⃗⃗ = −𝑘 𝜇 𝑖⃗ ∫ 6 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑑𝑎 − 𝑘 𝜇 𝑗⃗ ∫ 6 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝐸⃗⃗ = ∫06 𝑘 (−𝑐𝑜𝑠𝑎𝑖⃗ − 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑗) 0 0 𝑅

𝑅

𝑅

Las integrales son muy sencillas.

B3) CAMPO CREADO POR UN ANILLO EN PUNTOS DE SU EJE PERPENDICULAR

𝑃(0,0, 𝑧)

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑄 𝑋

𝛼

𝑌

𝑑𝛼

Sea el anillo de radio 𝑅 situado en el plano 𝑋𝑌. Queremos hallar el campo eléctrico generado por dicho anillo en el punto 𝑃 a una altura z en el eje 𝑍 como se ve en la figura. Como en el caso anterior empezamos posicionando una carga infinitesimal 𝑑𝑞 por medio del ángulo α que empieza en el eje 𝑋 y acaba en el punto Q del anillo donde tenemos Página 12 de 22

la carga 𝑑𝑞 entre dos líneas que forman 𝑑𝛼. Dibujamos el vector d𝐸⃗⃗ que tiene su origen en el punto P como indica la figura y continuamos como en los ejemplos anteriores. El punto 𝑄, como se desprende de la figura, tiene de coordenadas: 𝑄(𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼, 0) Primero calculamos el vector unitario en la dirección de 𝑑𝐸⃗⃗ : un vector que va en su misma dirección y sentido es el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,0, 𝑧) − (𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼, 0) = (−𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼, −𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼, 𝑧) 𝑄𝑃 De módulo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √(−𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + (−𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼)2 + 𝑧 2 = √𝑟 2 + 𝑧 2 |𝑄𝑃 Por lo tanto, el vector unitario en la dirección del campo es: ⃗⃗ = 𝑢

1 𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝒓𝒄𝒐𝒔𝜶, −𝒓𝒔𝒆𝒏𝜶, 𝒛) = 𝒖 ⃗⃗ 𝑄𝑃 𝟐 𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑄𝑃| √𝒓 + 𝒛

Segundo, como siempre insistimos, calculamos el módulo del vector ⃗⃗⃗| = 𝑲 |𝒅𝑬

𝝁𝒓𝒅𝜶 (√𝒓𝟐 +𝒛𝟐 )

𝟐

Donde 𝑑𝑞 = 𝜇𝑑𝑙 = 𝜇𝑟𝑑𝛼 Estando ya en condiciones de escribir el vector 𝑑𝐸⃗⃗ : 𝑑𝐸⃗⃗ = 𝐾

𝜇𝑟𝑑𝛼 1 (−𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼, −𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼, 𝑧) ∙ 𝑟 2 + 𝑧 2 √𝑟 2 + 𝑧 2

Quedándonos integrar ésta expresión para sumar todas las contribuciones infinitesimales y calcular el campo total:

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2𝜋

𝐸⃗⃗ = ∫

𝐾

𝜇𝑟𝑑𝛼 (𝑟 2 +

0

3 (−𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖⃗ − 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼𝑗⃗ + 2 𝑧 )2 2𝜋 2

𝜇𝑟

= −𝑘 (𝑟 2

+ 𝜇𝑟 2

−𝑘 (𝑟 2

+

3 𝑖⃗ ∫ 2 𝑧 )2 0

⃗⃗ ) 𝑧𝑘

𝑐𝑜𝑠𝛼𝑑𝛼

2𝜋

3 𝑗⃗ ∫ 2 𝑧 )2 0

𝑠𝑒𝑛𝛼𝑑𝛼 + 𝑘

𝜇𝑟𝑧

2𝜋

⃗⃗ 3 𝑘 ∫ 𝑑𝛼

(𝑟 2 + 𝑧 2 )2

0

Donde se han sacado fuera de la integral las constantes (no olvidar que la “z” del punto es constante). Además las dos primeras integrales valen cero (resultado que no está mal recordar) quedando el campo sólo en dirección vertical (si en un principio nos hubiéramos dado cuenta que la componente paralela al plano XY del vector 𝑑𝐸⃗⃗ queda contrarrestada por la que crea la carguita infinitesimal situada en frente de la nuestra podíamos habernos ahorrado parte del cálculo pero intentamos no presuponer ninguna característica del ojo del lector. Finalizando, el campo nos queda: 𝐸⃗⃗ = 𝐾

2𝜋 𝜇2𝜋𝑟𝑧 ⃗⃗ ⃗⃗ |𝜇2𝜋𝑟 = 𝑄𝑎𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜 | 𝑘 ∫ 𝑑𝛼 = 𝐾 3 3𝑘 = (𝑟 2 + 𝑧 2 )2 0 (𝑟 2 + 𝑧 2 )2 𝑄𝑎 𝑧 ⃗⃗ =𝐾 3𝑘 (𝑟 2 + 𝑧 2 )2

𝜇𝑟𝑧

⃗⃗⃗ = 𝑲 𝑬

𝑸𝒂 𝒛 (𝒓𝟐 +

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𝟑 𝒛𝟐 )𝟐

⃗⃗ 𝒌

3.-CAMPOS CREADOS POR PLANOS Y PLACAS INFINITAS, HILOS Y CILINDROS INFINITOS Y ESFERAS. TEOREMA DE GAUSS. TEOREMA DE GAUSS: Introducción Veamos un ejemplo familiar pero que encierra la misma idea y que nos puede ayudar a entender mejor el teorema. Sea la tubería de la figura en cuyo interior no hay fuentes de producción de agua (no hay “grifos” ni “sumideros”)

Evidentemente la cantidad de agua que entra por la izquierda es la misma que la que sale por la derecha en la unidad de tiempo (recordar que en el interior de la tubería no hay fuentes ni sumideros de agua). Vamos a definir una magnitud matemática que nos permita, según sea su valor, saber si dentro de la tubería hay “productores” de caudal o no. Esta magnitud la vamos a llamar flujo en una superficie y se define de la siguiente manera: Vector superficie:

Vector superficie𝑆⃗: perpendicular a La Superficie y de módulo el valor De su área (en 𝑚2 ) Si por esa superficie “pasa” una cantidad de agua o viento o ⃗⃗ cualquier característica vectorial definida por el vector 𝑄 Página 15 de 22

𝑆⃗

⃗⃗ 𝑄 ⃗⃗ Ángulo 𝛼 que forman 𝑆⃗ 𝑦 𝑄

⃗⃗⃗ a través de la superficie 𝑺 ⃗⃗ Se define el flujo ∅ del vector 𝑸 como el producto escalar de ambos vectores: ⃗⃗⃗ ∙ 𝑺 ⃗⃗ = |𝑸 ⃗⃗⃗| ∙ |𝑺 ⃗⃗| ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶 ∅=𝑸 Si el ángulo que forman es 90 el flujo será cero porque realmente no entra ni sale nada hacia adentro o hacia afuera de la superficie pues el vector Q pasa “de perfil” por la superficie; imaginemos ⃗⃗ representa la dirección del aire y la superficie es una vela, que el vector 𝑄 si el ángulo es 90 el flujo será cero y el aire no moverá la vela. Si la superficie es cerrada convenimos que el vector superficie va siempre hacia afuera y de esta manera podemos distinguir el flujo de entrada que será negativo del flujo de salida que será positivo. Veámoslo con el ejemplo de la tubería:

Vector superficie

Vector caudal entrada

Vector superficie

vector caudal salida

Flujo de entrada: ∅𝑒 = 𝑄 ∙ 𝑆 ∙ 𝑐𝑜𝑠180 = −𝑄 ∙ 𝑆 Flujo de salida: ∅𝑠 = 𝑄 ∙ 𝑆 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 = 𝑄 ∙ 𝑆 Donde, como hemos dicho antes, al no haber fuentes en el interior de la tubería los vectores Q son iguales. Por lo tanto vemos en este ejemplo que el flujo total es cero porque lo que entra es igual a lo que sale por no haber fuentes de producción de agua en el interior. El teorema de Gauss diría en este caso que si la suma de los flujos no es Página 16 de 22

cero es porque hay una fuente de producción de agua en el interior de esa tubería. Hemos intentado con este ejemplo explicar dos cosas importantes: Primero la definición de flujo por una superficie y segundo que cuando dentro de una tubería, superficie cerrada, no hay fuentes de producción de agua el flujo total es cero. Pretendemos con ello que el teorema de Gauss del que vamos a hablar ahora no nos parezca tan abstracto como suele ocurrir en los libros. Veamos. Sea una superficie cerrada cualquiera como la de la figura

En cuyos puntos puede haber un campo eléctrico representado por los vectores azules de la figura. Los vectores pequeños representan los vectores superficie, perpendiculares a ella en cada punto y hacia afuera como hemos quedado. Para calcular el flujo a través de esa superficie calculamos los flujos infinitesimales de cada vector campo eléctrico sobre una superficie pequeña en donde están aplicados. El flujo total será la suma de todos los “flujitos”, o sea su integral. El teorema de Gauss nos dice que si el flujo total no es cero es que hay productores de campo eléctrico, cargas eléctricas, en su interior (igual que en la tubería de la que hemos hablado). La fórmula expresa la dependencia entre el flujo total en una superficie cerrada y la carga en su interior:

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⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗∙ 𝒅𝑺 ∅ = ∫𝑬

𝒒𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝜺

Fórmula que representa al teorema de Gauss Veamos con varios ejemplos como se utiliza para calcular campos eléctricos producidos por: a) b) c)

planos o cortezas planas infinitas hilos o cilindros infinitos Bolas

PAUTAS PARA LA APLICACIÓN DEL Tª DE GAUSS Es fundamental seguir unas pautas para llegar al resultado. Vamos a decirlas primero y después las aplicaremos a rajatabla en los ejemplos: 1º Por el punto en el que queramos calcular el campo eléctrico hacemos pasar una superficie cerrada (llamada gaussiana) en la cual se cumpla que el módulo del campo sea constante (aunque obviamente desconocido) o bien en alguna de sus partes el flujo sea cero. Esto es necesario como vamos a ver para poder calcular el flujo primero por la definición. Estas superficies serán siempre cilindros excepto en las esferas que también serán esferas. 2º Se calcula el flujo aplicando la definición 3º Se calcula el flujo aplicando el teorema de Gauss 4º Se igualan ambas expresiones y es entonces cuando podremos deducir el valor del módulo del campo eléctrico.

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CAMPO ELECTRICO PRODUCIDO POR UN PLANO INDEFINIDO Sea la superficie plana de la figura cargada con una densidad superficial de carga 𝜎 𝐶⁄ 2 𝑚 Queremos calcular el campo en el punto P de la figura situado a una distancia h de él. 1º paso: por él hacemos pasar el cilindro cerrado que se muestra. 𝑆⃗

P

𝐸⃗⃗

h

𝐸⃗⃗ 𝑆⃗ Veamos como en dicho cilindro se cumplen las pautas de las que hemos hablado y por ello podemos calcular el flujo aplicando la definición: En las dos tapas el campo es vertical (no puede estar “torcido” hacia la derecha o hacia la izquierda porque el plano es infinito y hay la misma carga a la derecha que a la izquierda) y su módulo ha de ser el mismo (aunque desconocido) porque ambas está a la misma distancia del plano. En la superficie lateral del cilindro el flujo es cero porque al ser el campo vertical pasa de perfil por la superficie y no entra ni sale de ella.

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2º paso: calculamos ya el flujo aplicando la definición: ∅𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝐸 ∙ 𝑆 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 = 𝐸 ∙ 𝑆 ∅𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝐸 ∙ 𝑆 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 = 𝐸 ∙ 𝑆 ∅𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝑬𝑺 3º paso: calculamos el flujo aplicando Gauss

∅=

𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝜀 = |𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜, 𝑒𝑛 𝑟𝑜𝑗𝑜 𝝈∙𝑺 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = 𝜎 ∙ 𝑆| = 𝜺

4º paso: igualamos ambos flujos y despejamos 𝐸 2𝐸𝑆 =

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𝜎𝑆 𝝈 →𝑬= 𝜀 𝟐𝜺

CAMPO ELECTRICO CREADO POR UN HILO INDEFINIDO 𝐶

Sea el hilo de la figura cargado con una densidad de carga 𝛾 . 𝑚

Queremos calcular el campo en el punto P de la figura definido por su distancia “r” al cable:

∙𝑃 𝑟

Por el punto P hacemos pasar una superficie cerrada que cumpla las condiciones, otro cilindro de longitud L y radio r: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 P ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸2

A

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸3

r

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸4

Q

⃗⃗⃗⃗⃗5 𝐸 L

Para dibujar el campo en la superficie del cilindro se han cogido los puntos de la semicircunferencia PQ que vista mirando al cilindro desde la derecha y de frente a su tapa queda: Página 21 de 22

P

Q

Como vemos, el campo eléctrico en cada punto de la superficie lateral del cilindro es perpendicular a la superficie y de módulo constante por lo que no tendremos que integrar para calcular el flujo y su valor será 𝐸 ∙ 𝑆. Por las tapas del cilindro el flujo será cero porque el campo pasa “de perfil” y es perpendicular al vector superficie. Por lo tanto, estamos en condiciones de calcular el flujo total por el cilindro aplicando la definición: ∅𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑆.

𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙

⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 = 𝐸 ∫ 𝑑𝑠 = 𝐸 ∙ 𝑆| = |∫ 𝐸⃗⃗ 𝑑𝑠

= 𝐸 ∙ 𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝐸 ∙ 2𝜋𝑦𝐿 Ahora, en un segundo paso, calculamos el flujo aplicando el teorema de Gauss ∅𝑔𝑎𝑢𝑠 =

𝑞𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝛾𝐿 = 𝜀 𝜀

En donde la carga interior al cilindro (en rojo) está en la longitud 𝐿 del cable y será, con 𝛾 la densidad lineal de carga del cable, 𝛾𝐿 Por último, igualamos ambas expresiones: 𝐸 ∙ 2𝜋𝑦𝐿 =

𝛾𝐿 𝜀

De donde despejando E, nos queda: 𝑬=

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𝜸 𝟐𝝅𝜺𝒚