1

solucionejerc.nb

INTRODUCCION A MATHEMATICA Ejercicios

1- Utilice Table para hacer una lista conjunta de los cuadrados y los cubos de los números pares del uno al nueve. Tablei^ 2, i ^ 3, i, 2, 9, 2 2- Utilice Table para crear una lista con las potencias de x de 2 a 9 con paso 3. t  Tablex ^ i, i, 2, 9, 3

3- Seleccione de la lista anterior x^5 y evalúelo para x = 2. t2 . x  2

Ejercicios

1- Representar una matriz 3x3 tal que aij =xi y j . Tomar un vector p, de dimensión 3x1, que sea la evaluación de la 1ª fila de la matriz para x=2,y=3. m  Tablex ^i y ^ j, i, 3, j, 3 p  m1 . x  2, y  3 2- Construir una matriz m, cuadrada de orden 3 con los siguientes elementos: {{a,b,c},{d,e,f},{g,h,i}}. Extraer el vector m1 , como la 1º fila de la matriz m. Extraer m2 , que sea la 2ª columna de la matriz m. Idem m3 , como la diagonal principal. Idem m4 , como la otra diagonal. Obtener m5 , una matriz 2x2 formada por los elementos esquina de m . Asociar también a m6 , la matriz 2x2 adjunta al elemento (3,3). n  a, b, c, d, e, f, g, h, i MatrixForm% m1  n1 m2  Tableni, 2, i, 3 Transposen2 m3  Tablenk, k, k, 3

2

solucionejerc.nb

m4  Tablen4  i, i, i, 3 m5  n1, 1, n1, 3, n3, 1, n3, 3 m6  Tablenh, k, h, 2, k, 2

3- Sea un vector v1={a,b,c}. Sea v2={d,e,f}. En Mathematica el producto elemento a elemento de vectores o matrices se realiza utilizando el simbolo consigue usando el operador

(.).

(*).

Sin embargo el producto matricial o el escalar de vectores se

Multiplicar los 2 vectores elemento a elemento y escalarmente. Repetir los cálculos con una matriz 3x2. En su caso utilizar la función Transpose[ ], cuando se necesite transponer un operando. v1  a, b, c; v2  d, e, f; v1  v2 v1.v2 A  1, 2, 3, 4, 5, 6 B  7, 8, 9, 10, 11, 12 AB A.TransposeB  1 3 1 2     2 4 1 3    . 4- Sea A=   5 1 2 3   3 5 4 1  a)Hallar el valor del determinante de A. b) Hallar el rango de A. DetA RowReduceA  MatrixForm

MinorsA, 3 MinorsA, 2

3

solucionejerc.nb

2 1 1    5- Hallar la inversa de la matriz A=  4 2 0  .    3 1 1  2 1 1       4 2 0 Inverse     3 1 1  6- Calcular los valores y vectores propios de las matrices:  1 2 2   m 0 2  m      0  A=  2 1 2  B= 0 4     2 2 1   m 0 2  m  1 2 2      A 2 1 2     2 2 1  a  EigensystemA 1 2 2      2 1 2 Eigenvalues     2 2 1   1 2 2       Eigenvectors   2 1 2  2 2 1    m 0 2m   0 4 0 B   m 0 2  m 

      

b  EigensystemB  1 0 1 0     1 1 4 0    hallar la matriz J que sea su forma canónica de Jordan, así como la 7- Dada la matriz A=   1 0 3 0     1 0 4 1  matriz P que relaciona ambas matrices ClearA A  1, 0, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 4, 1; descomp  JordanDecompositionA formcan  descomp2; MatrixFormformcan P  descomp1; MatrixFormP

4

solucionejerc.nb

P.formcan.InverseP  MatrixForm

Expresiones algebraicas (polinómicas / racionales) Ejercicios

1- Representar como f(x) la función ( x+2 )x  12 x  23 . fx_ : x  2 x  1 ^ 2 x  2^ 3

1 2- Descomponer en fracciones simples la expresión   fx

Apart1  fx

3- Desarrollar la expresión de f(x) hasta obtener un polinomio de grado 6 en x. Expandfx 4- Factorizar la expresión que se acaba de obtener. Factor% 5- Definir una función f(x,y)=1+4xy+6x3 y2 +4x2 y3 +xy4 . Hallar las soluciones de la ecuación para el caso de x=1, utilizando el comando Factor. Clearf fx_, y_ : 1  4x y  6x^ 3 y ^2  4x ^2 y ^3  x y ^ 4 f1, y  Factor

Gráficos Ejercicios

Nota: Las salidas gráficas ocupan mucha memoria, por eso, una vez que se ha comprobado que es correcta, conviene suprimir la salida para que el fichero no tenga un tamaño mayor que el que cabe en el disquette. 1- Dibujar la función sen(x)/x así como la función sen(x) en el intervalo (-10,10) . PlotSinx  x, x, 10, 10 PlotSinx, x, 10, 10

5

solucionejerc.nb

2- Dibujar la función x*y . Plot3Dx y, x, 5, 5, y, 5, 5 3- Dibujar la función paramétrica

x = 4 Cos(-11t / 4)+7 Cos(t) y = 4 Sin(-11t / 4)+7 Sin(t)

Desde 0 a 8Pi.

ParametricPlot 4Cos11t  4  7Cost, 4Sin11t  4  7Sint, t, 0, 8 Pi 4- Dibujar la función x= Cos(u)Sin(v) y= Cos(u)Cos(v) z=v

ParametricPlot3DCosu Sinv, Cosu Cosv, v, u, 0, 2 Pi, v, Pi, Pi 5- Dibujar la función : 4x^2+y^2=1. ParametricPlot3DCosu Sinv, Cosu Cosv, v, u, 0, 2 Pi, v, Pi, Pi  Graphics`ImplicitPlot` ImplicitPlot4x^ 2  y ^ 2  1, x, 1, 1, y, 1, 1, AxesOrigin  0, 0

Resolución de ecuaciones y Sistemas

Ejercicios

1- Hallar las raices de la ecuación x^4-3x^3+2=0. Asignar a x1 y x2, respectivamente, los valores de las raices reales y a x3, x4 los de las raices complejas. Comprobar que x3 y x4 son raices complejas conjugadas sol  NSolvex ^ 4  3x ^ 3  2  0, x

x1  x . sol3; x2  x . sol4; x3  x . sol1; x4  x . sol2; x4  Conjugatex3

solucionejerc.nb

6

2- Hallar las raices de la ecuación ax^3-bx^2+x+1=0 para los diferentes valores de a y b Con el comando Reduce la solución es más compleja pero se ven todas las posibilidades de los parámetros. En este caso son a=0 y b0, o bien, a=0 y b=0 Reducea  x ^ 3  b  x^ 2  x  1.  0, x

ecu  a  x^ 3  b  x ^ 2  x  1  0; ecu1  ecu . a  0 Solveecu1, x ecu2  ecu . a  0, b  0; Solveecu2, x Solveecu, x  Simplify 3- Hallar las raices de la ecuación ex +x4  x  2  0 en el intervalo [-2,2] PlotExpx  x ^4  x  2, x, 2, 2 SolveExpx  x^ 4  x  2  0, x FindRootExpx  x ^4  x  2  0, x, 1.3 FindRootExpx  x ^4  x  2  0, x, .4 1 x 2    4- Hallar el valor de x para que el determinante de la matriz  x  1 3 4  valga 0.   6 x  5 mat  1, x, 2, x  1, 3, 4, 5, 6, x; NSolveDetmat  0, x

solucionejerc.nb

7

 1 2  5- Dada la matriz A=  . Hallar el conjunto de matrices B que: 3 4  a) Conmuten con la matriz A. b) Cumplan A.B=(0). c) Cumplan A.B=I. B  b11, b12, b21, b22; A  1, 2, 3, 4; ReduceA.B  B.A, b11, b12, b21, b22 2 b21 Bconm  B . b11  b21  b22, b12    3  LinearAlgebra`MatrixManipulation` cero  ZeroMatrix2, 2 ReduceA.B  cero, b11, b12, b21, b22 I2  IdentityMatrix2 SolveA.B  I2, b11, b12, b21, b22

6- Hallar las soluciones del siguiente sistema: ax+ay+z=a x+2y+az=1 y+(1+a)z=a+3 según los valores del parámetro a Solvea x  a y  z  a, x  2 y  a z  1, y  1  a  z  a  3, x, y, z Reducea x  a y  z  a, x  2 y  a z  1, y  1  a  z  a  3, x, y, z  Simplify Explicación: con a-1, las soluciones son : a 3a x=5  a  a2    1a 2 y=3  2 a  a a 3a z=   1a Con el comando RowReduce se ve que para a = -1 la matriz de los coef. tiene rango 2 mientras que la ampliada tiene rango 3, sistema incompatible. Para los demás valores de a el sistema es compatible y determinado.

solucionejerc.nb

8

matcoef  1, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 0; matamp  1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 2; RowReducematcoef  MatrixForm RowReducematamp  MatrixForm 7- Hallar las soluciones del sistema: x+ y+ z=3 2x + 3y - z = 4 x + 2y - 2z = 1.

mat  1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2; b  3, 4, 1; matamp  1, 1, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 1; RowReducemat  MatrixForm RowReducematamp  MatrixForm Solvemat.x, y, z  b, x, y, z Reducemat.x, y, z  b, x, y, z Explicación: La matriz de coeficientes y la ampliada tienen rango 2, el sistema es compatible e indeterminado. La solución es : x=5-4 z y =-2+3 z 8- Hallar las soluciones del sistema: 1 1 3   1   x       a 3     4   2  y  =    3 3 4     7     z     5 a  b 7  8b según los diferentes valores de los parámetros a,b Cleara, b mat  1, 1, 1, 2, a, 3, 3, 3, 4, 5, a  b, 7; indep  3, 4, 7, 8  b; matamp  1, 1, 1, 3, 2, a, 3, 4, 3, 3, 4, 7, 5, a  b, 7, 8  b;

solucionejerc.nb

9

Reducemat.x, y, z  indep, x, y, z Con a=4 y b=3 el sistema es compatible e indeterminado (Se comprueba con RowReduce en la matriz de coeficientes y ampliada. Ambas tienen rango 2). La solución es: x=5-7y, z=2(-1+3y)

mat1  mat . a  4, b  3; indep1  indep . a  4, b  3; matamp1  matamp . a  4, b  3; RowReducemat1  MatrixForm RowReducematamp1  MatrixForm Con a=4 y b3, ambas matrices tienen rango 3 y el sistema es compatible y determinado, y la solución es: x=12, y=-1, z=-8 mat2  mat . a  4; indep2  indep . a  4; matamp2  matamp . a  4; RowReducemat2  MatrixForm RowReducematamp2  MatrixForm Con a4 y b=3 ambas matrices tienen rango 3 y el sistema es compatible y determinado, y la solución es: x=5, y=0, z=-2 mat3  mat . b  3; indep3  indep . b  3; matamp3  matamp . b  3; RowReducemat3  MatrixForm RowReducematamp3  MatrixForm

Bucles Ejercicios

1-Utilizando Do, representar sucesivamente las gráficas de sen(nx) para n desde 1 hasta 5

10

solucionejerc.nb

DoPlotSinn x, x, , , n, 5 2º.-Siendo Sn la suma de los n primeros números naturales. ¿Cúal es el mayor valor de n tal que Sne

Logx3 f1x_  x  Logx; f2x_    ; x fx_ ; 0  x    f1x; fx_ ; x    f2x; Limitfx, x  0, Direction  1 Limitf1x, x  0, Direction  1 Limitf1x, x  0 f10 Plotfx, x, 0, .5, PlotRange  All

13

solucionejerc.nb

Limitfx, x  , Direction  1 Limitf1x, x  , Direction  1 Limitf2x, x  , Direction  1 b) Dibujar la gráfica aproximada de f. Plotfx, x, 0, 5 c) Calcular el área limitada por f, el eje X, y las rectas x=0, x=10. Plotfx, x, 0, 1.5, PlotRange  .01, .01 1º. En el intervalo [0,1] 1

i1  Abs f1x x  N 0

2º. En el intervalo [0,] 

i2   f1x x  N 1

3º. En el intervalo [,10] i3  

10



f2x x  N

total  i1  i2  i3

Funciones de dos variables Ejercicios

1- Dada la función f(x,y)=sen(x+y): - Dibujar la función en el recinto [0,4]x[0,4] - Calcular x f x, y, x,y f x, y, x,y3 f x, y - Calcular df(x,y)

14

solucionejerc.nb

fx_, y_  Sinx  y; Plot3Dfx, y, x, 0, 4, y, 0, 4 f1x_, y_  x fx, y

f2x_, y_  x,y fx, y

x,y,y,y fx, y Dtfx, y

2- Calcular las parciales de la funcion f(x,y) = Logxx  2yy   ( 4 , 4 )

fx_, y_  Logxx  2 yy 

 Sinx  y en el punto

 Sinx  y ;

x fx, y . x    4, y    4  N y fx, y . x    4, y    4  N x,y fx, y . x    4, y    4  N

3- Dada la función f(x,y,z)=sen(x+y+z) calcular el gradiente de f y dibujar su campo. En el paquete