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Introducci´ on al An´ alisis de Series Temporales C´ alculo de Tendencias y Estacionalidad Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes: Gr´aficos temporales. Series estacionarias y no estacionarias. Descomposici´ on de una serie: tendencia, estacionalidad y componente irregular. Predicci´ on.
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Introducci´ on al An´ alisis de Series Temporales C´ alculo de Tendencias y Estacionalidad Lecturas recomendadas: Pe˜ na, D. (2005) An´alisis de series temporales, Alianza Editorial. Box, G.E.P., Jenkins,G.M. y Reinsel, G. (1994) Time Series Analysis: Forecasting and Control, Editorial Prentice-Hall. Brockwell, J.P. y Davis, R.A. (1996) Introduction to Time Series and Forecasting, Editorial Springer–Verlag. Pe˜ na, D., Tiao, G.C. y Tsay, R.S. (2005) A Course in Time Series Analysis, Editorial John Wiley. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Introducci´ on Definici´ on 1. Una serie temporal es una sucesi´ on de observaciones de una variable tomadas en varios instantes de tiempo. Nos interesa estudiar los cambios en esa variable con respeto al tiempo. Predecir sus valores futuros. I Ejemplos de series temporales podemos encontrarlos en muchos campos de conocimiento: Econom´ıa: producto interior bruto anual, tasa de inflaci´ on, tasa de desempleo, etc. Demograf´ıa: nacimientos anuales, tasa de dependencia, etc. Meteorolog´ıa: temperaturas m´aximas, medias o m´ınimas, precipitaciones diarias, etc. Medio ambiente: concentraci´ on media mensual de nitratos en agua, alcalinidad media anual del suelo, emisiones anuales de CO2, etc. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Representaci´ on gr´ afica de una serie temporal A menudo, se representa la serie en un gr´ afico temporal, con el valor de la serie en el eje de ordenadas y los tiempos en el eje de abscisas. Ejemplo 1. El siguiente gr´afico temporal muestra la media de los pluvi´ometros peninsulares (Fuente I.N.M.) para el per´ıodo Octubre/1989 a Septiembre/2006.
Pluviometria (mm)
150 120 90 60 30 0 10/89
10/91
10/93
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10/95
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10/01
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Ejemplos de gr´ afico temporal Rio Santa Cruz (Washigton, USA)
Rio Santa Cruz (Washigton, USA) 24
Temperatura (Celsius)
7.2
pH del agua
7
6.8
6.6
6.4
20 16 12 8 4 0
1972
1976
1980
1984
1988
1992
1996
2000
2004
1972
Rio Santa Cruz (Washigton, USA)
1980
1984
1988
1992
1996
2000
2004
Rio Santa Cruz (Washigton, USA)
12.2
141
Conductancia microsiemes/cm
Oxigeno disuelto mg/lt
1976
10.2
8.2
6.2
4.2
121
101
81
61
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Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
1996
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Otros tipos de gr´ aficos temporales Gr´ aficos por per´ıodos de observaci´ on. Ejemplo 2. Distribuci´ on mensual de la precipitaci´ on media en Espa˜ na Tomado de www.hispagua.cedex.es.
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Otros tipos de gr´ aficos temporales Gr´ aficos por per´ıodos de observaci´ on plurianuales. Ejemplo 3. Reserva hidrol´ ogica peninsular. Tomado de www.mma.es.
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Otros tipos de gr´ aficos temporales Boxplot anual. Ejemplo 4. Alcalinidad total (mg/lt). Tomado de www.gemstat.org.
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Otros tipos de gr´ aficos temporales Boxplot por per´ıodos de observaci´ on. Ejemplo 5. Concentraci´ on de sulfatos (mg/lt). Tomado de www.gemstat.org.
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Clasificaci´ on de series temporales Definici´ on 2. Una serie temporal es una sucesi´ on de observaciones de una variable tomadas en varios instantes de tiempo. Estas observaciones provienen de una distribuci´ on que puede ser diferente en cada instante del tiempo.
No somos capaces de tratar cualquier tipo de serie temporal, ya que en cada instante tenemos una variable con distinta distribuci´ on de la que s´ olo observamos un dato. Ignoramos mucho y tenemos poca informaci´ on.
Necesitamos imponer condiciones a la serie Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Clasificaci´ on de series temporales I Una serie es estacionaria si la media y la variabilidad se mantienen constantes a lo largo del tiempo. I Una serie es no estacionaria si la media y/o la variabilidad cambian a lo largo del tiempo. I Series no estacionarias pueden mostrar cambios de varianza. I Series no estacionarias pueden mostrar una tendencia, es decir que la media crece o baja a lo largo del tiempo. I Adem´as, pueden presentar efectos estacionales, es decir que el comportamiento de la serie es parecido en ciertos tiempos peri´ odicos en el tiempo.
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Clasificaci´ on de series temporales - Series estacionarias Definici´ on 3. Una serie temporal es estacionaria en sentido amplio si:
E[Xt] = µ para todo t V ar(Xt) = σ 2 para todo t. Cov(Xt, Xt+k ) = γk para todo t y k.
El ejemplo m´as simple es el RUIDO BLANCO, cuando la media y la covarianza son siempre cero.
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Clasificaci´ on de series temporales - Series estacionarias
¿Por qu´ e es bueno que las series sean estacionarias? Con series estacionarias podemos obtener predicciones f´acilmente. Como la media es constante, podemos estimarla con todos los datos, y utilizar este valor para predecir una nueva observaci´ on. Tambi´en se pueden obtener intervalos de predicci´ on (confianza) para las predicciones asumiendo que Xt sigue una distribuci´ on conocida, por ejemplo, normal.
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos Serie estacionaria: Variaciones anuales de la media de los pluvi´ ometros peninsulares para el per´ıodo Octubre/1990 a Septiembre/2006.
130
Variación anual
90 50 10 -30 -70 -110 10/89 10/91 10/93 10/95 10/97 10/99 10/01 10/03 10/05 10/07
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos Serie no estacionaria: Emisiones mundiales de CO2. 7
Emisiones mundiales de CO2
6 5 4 3 2 1 0 1950
1960
1970
1980
1990
2000
Tendencia Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos ´ Serie no estacionaria: Superficie de hielo en el Artico.
Cambios en la tendencia Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos Serie no estacionaria: Precipitaciones medias (mm). Coopermine (1933 - 1976)
Precipitaciones medias (mm)
120
100
80
60
40
20
0
75 19 T C 73 O 19 L 71 9 JU 1 R 9 P 6 A 19 N 966 JA 1 T 4 C 6 O 19 L 62 JU 19 R 0 P 6 A 19 N 957 JA 1 T 5 C 5 O 9 1 L 53 9 JU 1 R 1 P 5 A 19 N 48 JA 19 T 6 C 4 O 19 L 44 9 JU 1 R 2 P 4 A 19 N 939 JA 1 T C 37 O 19 L 35 9 JU 1 R 3 P 3 A 19 N JA
Fuente de datos: P.C. Baracos, K.W. Hipel & A.I. McLeod (1981) Modeling hydrologic time series from the Arctic, Water Resources Bulletin, Vol. 17. Estacionalidad Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos Serie no estacionaria: Agua embalsada y energ´ıa disponible (hm3). Años hidrológicos 2003/2004 a 2005/2006 44
Reserva total
40 36 32 28 24 20 1
27
53
79
105
131
157
Fuente de datos: Bolet´ın hidrol´ ogico, Ministerio de Medio Ambiente. Tendencia + Estacionalidad
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos Serie no estacionaria: N´ umero mensual de pasajeros de avi´ on, USA, Enero:1949 a Diciembre:1960 Time Series Plot for No. de pasajeros
No. de pasajeros
750 600 450 300 150 0 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
Tendencia, Heteroscedasticidad y Estacionalidad Fuente de datos: Box, G. & Jenkins, G. (1976) Time Series Analysis: Forecasting and Control. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Componentes de una serie temporal En muchos casos, se supone que la serie temporal es la suma de varias componentes: Xt = Tt + St + It Valor observado = Tendencia + Estacionalidad + Irregular
Tendencia: comportamiento o movimiento suave de la serie a largo plazo. Estacionalidad: movimientos de oscilaci´ on dentro del a˜ no. Irregular: variaciones aleatorias alrededor de los componentes anteriores. I En esos casos, es interesante obtener o “aislar” los distintos componentes. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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An´ alisis de la tendencia En algunos casos, se puede suponer una relaci´ on determinista entre Tt y t, por ejemplo una tendencia lineal Tt = a + bt que se estima mediante el m´etodo de m´ınimos cuadrados. Ejemplo 6. Linear trend = 87.6528 + 2.65718 t
Residual Plot for No. de pasajeros
800
200
600
Residual
No. de pasajeros
150
400
100 50 0
200 -50 0
-100 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
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1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 6 Ejemplo 6. En primer lugar, eliminamos la heteroscedasticidad mediante una transformaci´ on logar´ıtmica.
Log(No. de pasajeros)
6.6 6.2 5.8 5.4 5 4.6 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 6 Ejemplo 6. Sobre la serie transformada estimamos una tendencia lineal.
Linear trend = 4.81367 + 0.0100484 t
log(No. de pasajeros)
6.6
actua 6.2
forec
95.0% 5.8 5.4 5 4.6 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
I Se observa una clara tendencia creciente lineal, adem´as de efectos estacionales. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 6 Ejemplo 6. Obtenemos la serie de residuos, Xt − Tt: 0.49
Residual
0.29
0.09
-0.11
-0.31 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
I Se mantienen los efectos estacionales. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 7 Ejemplo 7. Ox´ıgeno disuelto (ml/lt). Rio Santa Cruz (Washington, USA). Linear trend = -24.9531 + 0.0168516 t
Linear trend = -24.9531 + 0.0168516 t
12.2
3.9 forecast 1.9 95.0% limits
10.2
Residual
Oxigeno disuelto
actual
8.2
-0.1
6.2
-2.1
4.2
-4.1 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
I Una tendencia determinista (lineal) no parece adecuada. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Tendencia evolutiva I A menudo, la tendencia de la serie no sigue una recta y evoluciona a lo largo del tiempo. I En ese caso, un m´etodo general de estimar Tt es suponer que evoluciona lentamente en el tiempo, y que se puede aproximar con una funci´ on sencilla para intervalos cortos del tiempo. Ejemplo 8. Si on v´alida para tres periodos una recta es una representaci´ Tt−1 consecutivos: Tt Tt+1
= = =
Tt − ∆T Tt Tt + ∆T
Si hacemos la media de las tres observaciones consecutivas, mt = tendr´ıamos que: mt = Tt +
xt−1 +xt +xt+1 , 3
It−1 + It + It+1 3
es decir “descubrir´ıamos” la tendencia subyacente.
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Tendencia evolutiva Definici´ on 4. Para instante t, se define la media m´ ovil de orden 3 de la serie como xt−1 + xt + xt+1 mt = . 3 Suponemos que la tendencia Tt satisface Tt = mt −
It−1 + It + It+1 . 3
I Como la media del componente irregular es cero, podemos suponer que la media de los tres valores (It−1, It, It+1) es peque˜ na, de esta manera mt recoge fundamentalmente la tendencia de la serie en el instante t. I Es posible calcular medias m´ oviles de ordenes m´as altos. Cuando crece el orden, el valor de mt cambia m´as suavemente. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 7 Ejemplo 9. Smoothed Time Series Plot for Oxigeno disuelto 12.2
Time Series Plot of Residuals for Oxigeno disuelto 2.6
Oxigeno disuelto
data smooth 1.6
10.2
8.2
0.6
6.2
-0.4
4.2
-1.4 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
I En los residuos no se observa una tendencia clara. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 6 Ejemplo 10. Tendencia evolutiva en el n´ umero de pasajeros.
Simple moving average of 3 terms
Simple moving average of 12 terms 6.6 actual
actual
6.2 forecast
foreca
95.0% limits
95.0%
log(No. de pasajeros)
log(No. de pasajeros)
6.6 6.2 5.8 5.4 5 4.6
5.8 5.4 5 4.6
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
I Con medias m´ oviles de ordenes altos, suavizamos los efectos estacionales. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Diferenciaci´ on de la serie I Es un m´etodo m´as general que consiste en no hacer ninguna hip´ otesis sobre la forma de la tendencia a corto plazo y suponer simplemente que evoluciona lentamente en el tiempo. Asumimos que la tendencia en el instante t es muy pr´ oxima a la tendencia en el instante t − 1, y construimos una nueva serie: yt = xt − xt−1 que denominamos serie diferenciada. I Diferenciar la serie equivale a suponer que la tendencia en t es el valor de serie en t − 1: Tt = xt−1.
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Diferenciaci´ on de la serie - Ejemplo 6 Ejemplo 11. Obtener la serie diferenciada para los datos del Ejemplo 6. 0.27 0.17 0.07 -0.03 -0.13 -0.23 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
I La serie diferenciada no muestra una tendencia clara y mantiene los efectos estacionales. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Diferenciaci´ on de la serie - Ejemplo 7 Ejemplo 12. Obtener la serie diferenciada para los datos del Ejemplo 7. Residual Plot for Oxigeno disuelto Random walk 3.8
1.8
-0.2
-2.2
-4.2 1972
1976
1980
1984
1988
1992
1996
2000
2004
I La serie diferenciada no muestra una tendencia clara. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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An´ alisis de la estacionalidad I Un m´etodo de estimar el efecto estacional (v.g., de cada mes) es considerar c´ omo var´ıa la media del per´ıodo (mes) respecto de la media global.
Meses
enero febrero ... noviembre diciembre Medias
1 x11 x21 ... x11 1 x12 1 x ¯•1
A˜ nos 2 ··· x12 · · · x22 · · · ... ··· x11 2 · · · x12 2 · · · x ¯•2 · · ·
n x1n x2n ... x11 n x12 n x ¯•n
Medias x ¯1• x ¯2• ... x ¯11• x ¯12• x ¯••
S S1 S2 ... S11 S12
I Los coeficientes estacionales son: Si = x ¯i• − M
para i = 1, . . . , 12.
I Suponemos que el efecto estacional St satisface: St = St+12 = St+24 = . . . Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Ejemplo 13. Volvemos al Ejemplo 6. El gr´afico muestra los coeficientes estacionales. Seasonal Index Plot for log(No. de pasajeros) 0.28
seasonal index
0.18 0.08 -0.02 -0.12 -0.22 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
season
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Ejemplo 13. Obtenemos la serie desestacionalizada, Xt − St: Seasonally Adjusted Data Plot for log(No. de pasajeros) 6.7 6.3 5.9 5.5 5.1 4.7 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
I No muestra efectos estacionales.
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Ejemplo 14. Obtener los coeficientes estacionales de la serie mensual de pluvi´ometros peninsulares (Fuente I.N.M.) para el per´ıodo Octubre/1989 a Septiembre/2006 (Ejemplo 1). Seasonal Indices for Pluviometria Seasonal decomposition method: Additive
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31 21
seasonal index
Season Index -----------------------1 29.0565 2 21.1044 3 18.8623 4 5.59299 5 -7.70493 6 -4.37706 7 4.22346 8 4.78362 9 -19.1383 10 -28.394 11 -23.1034 12 -0.905707
Seasonal Index Plot for Pluviometria
11 1 -9 -19 -29 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
season
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Ejemplo 14. Obtenemos la serie desestacionalizada, Xt − St: Seasonally Adjusted Data Plot for Pluviometria 140 110 80 50 20 -10 10/89 10/91 10/93 10/95 10/97 10/99 10/01 10/03 10/05 10/07
I No muestra efectos estacionales.
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Ejemplo 15. Obtener los coeficientes estacionales de la serie mensual de Ox´ıgeno disuelto (ml/lt). Rio Santa Cruz (Washington, USA). (Elaboraci´ on propia a partir de http://waterdata.usgs.gov). Seasonal Indices for Oxigeno Seasonal decomposition method: Additive
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2.2 1.2
seasonal index
Season Index -----------------------1 1.75095 2 1.82438 3 1.66915 4 1.45595 5 -0.989603 6 -1.57851 7 -2.56157 8 -2.76155 9 -1.56786 10 -0.657377 11 1.23205 12 2.184
Seasonal Index Plot for Oxigeno
0.2 -0.8 -1.8 -2.8 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
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Ejemplo 15. Obtenemos la serie desestacionalizada, Xt − St: Seasonally Adjusted Data Plot for Oxigeno
seasonally adjusted
15 12 9 6 3 0 1/72
1/76
1/80
1/84
1/88
1/92
1/96
1/00
1/04
1/08
I Todav´ıa muestra efectos estacionales.
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Diferenciaci´ on estacional de la serie I Es un m´etodo m´as general que consiste en no hacer ninguna hip´ otesis sobre la forma general de la estacionalidad a corto plazo y suponer simplemente que evoluciona lentamente en el tiempo. Construimos una nueva serie: yt = xt − xt−s que denominamos serie diferenciada estacionalmente. I Diferenciar estacionalmente la serie equivale a suponer que la estacionalidad en t es el valor de serie en t − s: St = xt−s.
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Diferenciaci´ on estacional de la serie - Ejemplos Ejemplo 16. Obtener la serie desestacionalizada mediante diferenciaci´ on estacional para las series de los datos 15 y 6. Time Series Plot for SDIFF(log(No. de pasajeros),12) Time Series Plot for SDIFF(Oxigeno, 12)
0.44
10
0.34 7
0.24
4
0.14 0.04
1
-0.06 -2
-0.16 -5 1/721/741/761/781/801/821/841/861/881/901/921/941/961/981/001/021/041/061/08
-0.26 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
I En ambas no se observan efectos estacionales. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
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Descomposici´ on de la serie en componentes Ejemplo 17. Con los datos del Ejemplo 6, obtenemos los siguientes gr´aficos: Time Series Plot for log(No. de pasajeros)
Time Series Plot for TREND
6.6
6.6
6.2
6.2
5.8
5.8
5.4
5.4
5
5
4.6
4.6 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
Time Series Plot for INDICES 0.28
Time Series Plot for IRREGULAR 0.12 0.08
0.18
0.04
0.08
0 -0.02
-0.04
-0.12
-0.08
-0.22
-0.12 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
I La componente irregular parece aproximadamente estacionaria y sin patrones de tendencia o estacionalidad. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Descomposici´ on de la serie en componentes Ejemplo 18. Con los datos del Ejemplo 1, obtenemos los siguientes gr´aficos: Time Series Plot for Pluviometria
Time Series Plot for TREND
150
150
120
120
90
90
60
60
30
30
0
0 10/89
10/93
10/97
10/01
10/05
10/89
Time Series Plot for INDICES
10/93
10/97
10/01
10/05
Time Series Plot for IRREGULAR
31
80
21
50
11 20 1 -10 -9 -40
-19 -29
-70 10/89
10/93
10/97
10/01
10/05
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10/01
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I La componente irregular parece aproximadamente estacionaria y sin patrones de tendencia o estacionalidad. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Predicci´ on de una serie temporal I Una vez que hemos obtenido la descomposici´ on de la serie temporal: Xt = Tt + St + It
I Podemos obtener predicciones de los valores futuros mediante los valores para t + 1, t + 2, . . . , t + h de las componentes Tt y St. Ejemplo 19. Si Tt = a + bt y St se obtuvo mediante ´ındices estacionales trimestrales, i.e., tenemos S1, S2, S2, y S4, entonces: S1 si t + 1 = Q1 S2 si t + 1 = Q2 Tt+1 = a + bt y St+1 = . S si t + 1 = Q3 3 S4 si t + 1 = Q4 Las predicciones para t + 2, t + 3, . . . , t + h se obtienen de manera an´aloga. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Predicci´ on de una serie temporal - Ejemplos Ejemplo 20. Con los datos del Ejemplo 1 obtenga las predicciones para el a˜ no hidrol´ ogico 2006/2007 con los siguientes procedimientos: Tendencia lineal, Tt = a + bt, e ´ındices estacionales. Medias m´ oviles de orden 3, mt =
Xt−3 +Xt−2 +Xt−1 , 3
e ´ındices estacionales.
Indices estacionales. Diferencia estacional. Xt = Xt−1 − Xt−12.
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Predicci´ on de una serie temporal - Ejemplos Time Sequence Plot for Pluviometria
Time Sequence Plot for Pluviometria
Linear trend = 51.6349 + -0.0091951 t
Simple moving average of 3 terms
150
160 actual
120
forecast
actual 120
forecast
95.0% limits
90
95.0% limits 80
60 40 30 0
0 -30
-40 10/89
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10/01
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Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
10/89
10/93
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Andr´es M. Alonso
Predicci´ on de una serie temporal - Ejemplos Time Sequence Plot for Pluviometria
Time Sequence Plot for Pluviometria
Constant mean = 46.3064
ARIMA(0,0,0)x(0,1,0)12 with constant
150
190 actual
120
forecast 95.0% limits
90
actual 150
70
30
30
0
-10
-30
-50 10/93
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10/01
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Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
95.0% limits
110
60
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forecast
10/89
10/93
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10/01
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Andr´es M. Alonso
Predicci´ on de una serie temporal - Resultados Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4 Observado Octubre 74.42 77.46 75.36 93.11 85.3 Noviembre 66.46 69.51 67.41 73.01 89.9 Diciembre 64.21 67.26 65.17 46.21 45.2 Enero 50.93 53.99 51.90 47.21 33.9 Febrero 37.62 40.70 38.60 46.41 58.5 Marzo 40.94 44.02 41.93 61.31 50.3 Abril 49.53 52.62 50.53 37.81 64.9 Mayo 50.08 53.18 51.09 22.01 61 Junio 26.15 29.26 27.17 21.61 Julio 16.89 20.01 17.91 13.21 Agosto 22.17 25.30 23.20 19.21 Septiembre 44.36 47.50 45.40 60.11 Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Media S.D. ECM
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4 0.128 0.092 0.116 0.092 0.261 0.227 0.250 0.188 0.421 0.488 0.442 0.022 0.502 0.593 0.531 0.393 0.357 0.304 0.340 0.207 0.186 0.125 0.166 0.219 0.237 0.189 0.221 0.417 0.179 0.128 0.162 0.639 0.284 0.131 0.098
0.268 0.183 0.105
0.279 0.147 0.099
0.272 0.200 0.114
Andr´es M. Alonso
Otra alternativa para la predicci´ on de una serie temporal Alisados Exponenciales Se emplean fundamentalmente para predecir nuevos valores de la serie. Se basan en modelos param´etricos deterministas que se ajustan a la evoluci´ on de la serie. Las observaciones m´as recientes tienen m´as peso en la predicci´ on que las m´as alejadas. Se resuelven por m´etodos recursivos. Pueden ser poco realistas para explicar la evoluci´ on de la serie.
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Alisado exponencial simple, se emplea para series sin tendencia ni estacionalidad: ˆ T = αXT + (1 − α)X ˆ T −1, X XT −1 ˆT = α (1 − α)tXT −s, X t=0
ˆ T +k = X ˆ T , para todo k. X Alisado exponencial lineal de Holt: se emplea para series con tendencia lineal y sin estacionalidad: ˆ T = αXT + (1 − α)(X ˆ T −1 + BT −1), X ˆbT = β(X ˆT − X ˆ T −1) + (1 − β)BT −1, ˆ T +k = X ˆ T + BT k, X ˆ 1 = X1 , X ˆ 2 = X2 , B1 = 0 y B2 = X2 − X1 . con X
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Alisado exponencial estacional de Holt-Winters: se emplea para series con tendencia y estacionalidad. XT ˆ ˆ T −1 + BT −1), XT = α + (1 − α)(X St−s ˆbT = β(X ˆT − X ˆ T −1) + (1 − β)BT −1, XT + (1 − δ)ST −s, SˆT = δ ˆ XT ˆ T +k = (X ˆ T + BT k)ST −s+k . X I El factor estacional no es constante como en los ´ındices estacionales.
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Alisado exponencial - Efecto y selecci´ on de los pesos Time Sequence Plot for Oxigeno disuelto
Time Sequence Plot for Oxigeno disuelto
Time Sequence Plot for Oxigeno disuelto
Simple exponential smoothing with alpha = 0.1
Simple exponential smoothing with alpha = 0.9
Simple exponential smoothing with alpha = 0.7992
12.2
10.2
13.1
13.5
actual
actual
actual
11.1 forecast
11.5 forecast
forecast
95.0% limits
95.0% limits
95.0% limits
9.1
9.5
7.1
7.5
5.1
5.5
3.1
3.5
8.2
6.2
4.2 1970
1980
1990
2000
2010
1970
1980
1990
2000
2010
1970
1980
1990
2000
2010
I Los pesos determinan el peso que damos a las componentes de la predicci´ on, un peso cercano a la unidad le asigna m´as peso a las observaciones recientes. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Predicci´ on de una serie temporal - Ejemplos Ejemplo 21. Con los datos del Ejemplo 1 obtenga las predicciones para el a˜ no hidrol´ ogico 2006/2007 utilizando los m´etodos de alisados simple, de Holt TimeHolt–Winters. Sequence Plot for Pluviometria Time Sequence Plot for Pluviometria Time Sequence Plot for Pluviometria y de Simple exponential smoothing with alpha = 0.0089 160
150
Winter's exp. smoothing with alpha = 0.0033, beta = 0.0001, gamma = 0.3079 180 actual 140 forecast
actual
130
actual 120 forecast
100
95.0% limits 90
95.0% limits 100
95.0% limits
70
60
60
40
30
20
10
0
-20
-20
-30
-60
10/89
10/93
10/97
10/01
10/05
Holt's linear exp. smoothing with alpha = 0.0491 and beta = 0.044
10/09
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
10/89
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10/01
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10/09
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forecast
10/93
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10/01
10/05
10/09
Andr´es M. Alonso
Predicci´ on de una serie temporal - Resultados Modelo 1 Alisado 1 Alisado 2 Alisado 3 Observado Octubre 74.42 46.01 39.98 97.54 85.3 Noviembre 66.46 46.01 39.82 71.98 89.9 Diciembre 64.21 46.01 39.66 58.19 45.2 Enero 50.93 46.01 39.50 43.86 33.9 Febrero 37.62 46.01 39.35 48.38 58.5 Marzo 40.94 46.01 39.19 56.09 50.3 Abril 49.53 46.01 39.03 47.15 64.9 Mayo 50.08 46.01 38.87 40.58 61 Junio 26.15 46.01 38.72 21.87 Julio 16.89 46.01 38.56 14.26 Agosto 22.17 46.01 38.40 21.94 Septiembre 44.36 46.01 38.24 50.16 Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Media S.D. ECM
Modelo 1 Alisado 1 Alisado 2 Alisado 3 0.128 0.461 0.531 0.144 0.261 0.488 0.557 0.199 0.421 0.018 0.123 0.287 0.502 0.357 0.165 0.294 0.357 0.213 0.327 0.173 0.186 0.085 0.221 0.115 0.237 0.291 0.399 0.273 0.179 0.246 0.363 0.335 0.284 0.131 0.098
0.270 0.166 0.101
0.336 0.160 0.138
0.228 0.080 0.058
Andr´es M. Alonso
Ejemplo con datos faltantes Ejemplo 22. Temperatura media en la superficie y en el fondo en Lago Murray - Carolina del Sur, Octubre/1992 a Septiembre/2006. Lago Murray, Carolina del Sur
35
Temperatura media Temperatura media en el fondo 30
25
20
15
10
5
0
12
24
36
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
48
60
72
84
96
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120
132
144
156
168
Andr´es M. Alonso
Ejemplo con datos faltantes ¿Podemos “predecir” la temperatura del fondo? Lago Murray, Carolina del Sur
24
Temperatura media en el fondo
22
20
18
16
14
12
10
8
5
10
15
20
25
30
35
Temperatura media
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Interpolaci´ on de los datos faltantes La relaci´ on entre Temperatura y Temperatura en el fondo es no lineal Multiple Regression Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Temperatura Fondo ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 3.6386 1.22333 2.97435 0.0035 Temperatura 0.982518 0.144872 6.78196 0.0000 Mes -1.21715 0.155993 -7.80261 0.0000 Temperatura^2 -0.0363928 0.00396844 -9.17058 0.0000 Temperatura*Mes 0.10833 0.0092613 11.697 0.0000 ----------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance ----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value ----------------------------------------------------------------------------Model 1446.01 4 361.502 208.78 0.0000 Residual 219.905 127 1.73154 ----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 1665.91 131 R-squared = 86.7997 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 86.384 percent
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Interpolaci´ on de los datos faltantes
Plot of Temperatura Fondo 23
observed
20 17 14 11 8 8
11
14
17
20
23
predicted
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Interpolaci´ on de los datos faltantes Lago Murray, Carolina del Sur
35
Temperatura media Temperatura media en el fondo 30
25
20
15
10
5
0
12
24
36
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
48
60
72
84
96
108
120
132
144
156
168
Andr´es M. Alonso
Interpolaci´ on - Una alternativa basada en series temporales Winter's exp. smoothing with alpha = 0.3343, beta = 0.0001, gamma = 0.1693 80 actual 60
forecast 95.0% limits
40 20 0 -20 -40 10/92
10/94
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
10/96
10/98
10/00
10/02
10/04
10/06
Andr´es M. Alonso
Interpolaci´ on - Una alternativa basada en series temporales Lago Murray, Carolina del Sur
35
Temperatura media Temperatura media en el fondo Ajuste e interpolación 30
25
20
15
10
5
0
12
24
36
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
48
60
72
84
96
108
120
132
144
156
168
Andr´es M. Alonso
Ejemplo con datos faltantes Ejemplo 23. Ox´ıgeno disuelto media en la superficie y en el fondo en Lago Murray - Carolina del Sur, Octubre/1992 a Septiembre/2006. Lago Murray, Carolina del Sur
14
Oxígeno disuelto Oxígeno disuelto en el fondo 12
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
48
60
72
84
96
108
120
132
144
156
168
Andr´es M. Alonso
Ejemplo con datos faltantes ¿Podemos “predecir” los datos faltantes? Lago Murray, Carolina del Sur
14
Oxígeno disuelto en el fondo (mg/lt)
12
10
8
6
4
2
0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Oxígeno disuelto (mg/lt)
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Interpolaci´ on de los datos faltantes ¿Podemos “predecir” los datos faltantes? Multiple Regression Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Oxigeno Fondo ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 6.29991 10.4769 0.601317 0.5492 Oxigeno 0.830319 1.67511 0.495681 0.6214 Oxigeno^2 -0.106926 0.0698998 -1.52971 0.1297 Mes -0.483242 1.01006 -0.478427 0.6335 Oxigeno*Mes 0.0205182 0.110638 0.185454 0.8533 ----------------------------------------------------------------------------R-squared = 8.5047 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 4.29802 percent Multiple Regression Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Oxigeno Fondo ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------CONSTANT -9.22845 8.81297 -1.04714 0.2979 Oxigeno 0.882918 0.893172 0.98852 0.3256 Temperatura 0.509903 0.388381 1.31289 0.1926 Oxigeno*Temperatu -0.0330939 0.0419215 -0.789424 0.4320 ----------------------------------------------------------------------------R-squared = 9.61981 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 6.53866 percent
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Interpolaci´ on - Una respuesta basada en series temporales Random walk + Seasonal adjustment 12
O2 interpolado
actual forecast
10
95.0% limits
8
6
4 10/92
10/94
10/96
10/98
-----------------------------------------------------------------------------Lower 95.0% Upper 95.0% Period Forecast Limit Limit -----------------------------------------------------------------------------9/99 6.67861 5.13383 8.22338 10/99 6.0107 4.04454 7.97686 ------------------------------------------------------------------------------
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Interpolaci´ on - Una respuesta basada en series temporales Simple exponential smoothing with alpha = 0.9126 14
O2F interpolado
actual 11
forecast 95.0% limits
8 5 2 -1 12/96
12/97
12/98
12/99
12/00
-----------------------------------------------------------------------------Lower 95.0% Upper 95.0% Period Forecast Limit Limit -----------------------------------------------------------------------------11/00 6.64211 4.35922 8.925 12/00 7.85614 4.76551 10.9468 ------------------------------------------------------------------------------
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Interpolaci´ on de los datos faltantes Lago Murray, Carolina del Sur
14
Oxígeno disuelto Oxígeno disuelto en el fondo 12
10
8
6
4
2
0
0
20
40
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
60
80
100
120
140
160
180
Andr´es M. Alonso
Datos faltantes al inicio de la serie Predicci´ on inversa (backcasting)
ARIMA(0,0,0)x(0,1,0)12 with constant 15 Observado
O2F inverso
12
Ajuste Pronóstico
9 6 3 0 0
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
60
120
180
Andr´es M. Alonso
Datos faltantes al inicio de la serie Predicci´ on inversa (backcasting) Lago Murray, Carolina del Sur
14
Oxígeno disuelto Oxígeno disuelto en el fondo 12
10
8
6
4
2
0
0
20
40
Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
60
80
100
120
140
160
180
Andr´es M. Alonso
Recapitulaci´ on
Introducci´ on al An´ alisis de Series Temporales C´ alculo de Tendencias y Estacionalidad Gr´aficos temporales. Series estacionarias y no estacionarias. Descomposici´ on de una serie: tendencia, estacionalidad y componente irregular. Predicci´ on. Interpolaci´ on. Introducci´on al An´alisis de Series Temporales
Andr´es M. Alonso
Grupo de investigaci´ on en an´ alisis de series temporales
M Andr´es M. Alonso M Jos´e R. Berrendero M Ana E. Garc´ıa M Carolina Garc´ıa M Adolfo Hern´andez M Ana Justel M Julio Rodr´ıguez M Mar´ıa J. S´anchez