Enero 2015: Juegos de azar (publicado en la revista SUMA, nº 73, 2013) Escrito por Grupo Alquerque Jueves 01 de Enero de 2015 00:00

Introducción

En casi todos los juegos llamados de sobremesa influye en alguna medida el azar. Es verdad que en los juegos de estrategia el resultado puede depender de quién comience el juego, es decir, si comienza el primer o el segundo jugador, pero si tenemos que elegir de un montón una serie de fichas de dominó o de Scrabble, si nos reparten una mano de cartas, si lanzamos un dado o una moneda o hacemos girar una ruleta, nuestro siguiente movimiento depende bastante de la suerte que hayamos tenido en esos repartos previos.

En los juegos que dependen del azar, después de enfrentarnos a la aleatoriedad del juego en sí, podemos estudiar las posibilidades que se han puesto en juego, lo que los hacen valiosos para ser utilizados en nuestras clases. La mayoría de los juegos que pueden usarse didácticamente en el área de probabilidad pertenecen a lo que nuestra amiga Ana García Azcárate llama juegos preinstruccionales, es decir, juegos que pueden realizarse antes de haber estudiado los conceptos propios que se utilizan e incluso pueden utilizarse de motivación para esa investigación.

Existen muy diversos materiales que se pueden utilizar en este tipo de juegos: cartas, dados, ruletas, monedas, etc. Ya en la revista SUMA número 51 presentamos en esta sección un artículo sobre juegos de azar, “La carrera de caballos”, en él mostrábamos un par de juegos basados en dados y en los distintos resultados obtenidos al lanzar dos dados y sumar o restar los resultados. En esta ocasión vamos a ver juegos que se basan en el mismo proceso; en cierta forma, este artículo es continuación lógica de aquel, pues vamos a seguir con los mismos supuestos.

Los juegos que vamos a incluir en esta ocasión se pueden encontrar en diversas versiones, incluso cualquier profesor puede adaptarlos a situaciones más cercanas y cotidianas, pero hemos preferido presentarlos tal y como los conocimos, especialmente los del Grupo Cero de Valencia, que elaboró una excelente relación de actividades para trabajar el azar de las que hemos bebido todos posteriormente. En cierta manera queremos dedicar un homenaje a todos los compañeros del Grupo Cero y en especial al recordado Eliseo Borrás, por eso utilizaremos su misma presentación.

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Una característica de estos juegos es que se si juegan sin ningún estudio previo se pueden considerar que son propiamente de azar, pero en cuanto se hace un estudio de las posibilidades y se vuelve a jugar se convierten, en muchos casos, en juegos de estrategia, pues los jugadores pueden aplicar los conocimientos realizados en el estudio para anticipar sus posibilidades en el juego. Vamos a resaltar este aspecto en los casos en que lo consideramos interesante.

Pero hay que tener claro que estamos trabajando con azar y por ello, a pesar del estudio teórico que realicemos, siempre nos podemos encontrar con sorpresas, como vamos a intentar dejar en evidencia en los distintos juegos.

La travesía del río

Este es un juego para dos jugadores y se necesitan 12 fichas para cada uno, dos dados cúbicos y un tablero como el siguiente:

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Reglas del juego: 1. Cada jugador coloca sus 12 fichas en un lado del tablero de la forma que quiera, es decir, no es necesario colocar una ficha en cada casilla, sino que se pueden quedar casillas vacías y colocarse varias fichas en una misma casilla. 2. Cada jugador, en su turno, lanza los dos dados y suma el valor obtenido. Si el resultado obtenido coincide con una casilla en la que hay ficha, se lanza una ficha, de esa casilla al río, como si fuese “pan” para los patos. 3. Gana el primer jugador que consigue lanzar todas sus fichas al centro del río.

Hay veces en que lanzar todas las fichas al río es complicado y la partida se hace larga y pesada, pues quedan pocas fichas en casillas cuyos valores tardan en salir. Para sortear esto se puede sustituir la tercera regla por la de que gana el jugador que después de 15 ó 20 jugadas tengan menos fichas en su orilla.

Estudio posterior:

Igual que pasaba en las “Carreras de caballos” este juego se fundamenta en que no todas las casillas son equiprobables, por eso no es lo mismo colocar una ficha en una casilla con el 12 que en la del 8. Para saber cuál es más conveniente hay que estudiar todas las posibilidades que se pueden dar al lanzar dos dados y sumar, algo que pueden hacer con facilidad los alumnos de Secundaria y de último ciclo de Primaria y que podemos ver en la tabla 1.

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Tabla 2

Como se puede apreciar, el número que aparece más veces es el 7, seguido del 6 y el 8 y así sucesivamente hasta los extremos. Si se vuelve a jugar ahora entra en juego la estrategia que elija cada jugador a la hora de repartir las fichas. Siempre aparece el “listo” que coloca sus 12 fichas en la casilla 7 y observa, con desespero, cómo las fichas del contrario, más repartidas, se lanzan mucho más rápidamente al centro del tablero, ya que aunque el 7 sea el resultado que, teóricamente, más veces sale, solo aparece una de cada seis veces.

Lo usual es colocar varias fichas en las casillas centrales e ir colocando cada vez menos a medida que nos acerquemos a los extremos. De todos modos, por muy buena estrategia que se plantee, no olvidemos que estamos en un juego en el que interviene poderosamente el azar y por ello, dos jugadores con exactamente la misma distribución de fichas pueden tener una marcha en el juego muy diferente.

El estudio de los casos posibles al lanzar los dos dados seleccionando qué resultado tiene más posibilidades de salir lleva de una manera intuitiva a la Regla de Laplace, y el hecho de que el azar interviene incluso cuando se utiliza una determinada estrategia nos puede dar pie para introducir la Ley de los grandes números.

La descarga del carro

Igual que hicimos con los caballos, ahora vendría el turno de utilizar la diferencia entre los dos dados para ver las posibilidades de las jugadas. Para este caso utilizamos el presente juego.

Es un juego para dos jugadores en el que se necesitan 18 fichas y un tablero como el siguiente, para cada uno de los dos jugadores, además de dos dados cúbicos.

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Reglas del juego: 1. lona del Cada carruaje) jugador en coloca la forma en que su tablero quiera. fichas repartidas entre las casillas (situadas en la 2. ficha, mayor se En se “descarga” su le resta turno, el cada menor); del carro. jugador si en lanza la casilla los dos correspondiente dados yode resta al los resultado valores de la resta (al hay valor alguna 3. Gana fichas el en jugador su tablero. que antes se quede sin fichas que después de 30 jugadas tenga Si interés puede quiere conseguir del juego, que la con partida menos es estudiar sea fichas. más cuál rápida de los se resultados puede reducir tiene el más número posibilidades fichas de ya salir, que el se Estudio posterior: Aquí menos debemos evidentes estudiar que los los de resultados la suma. En posibles la tabla que 2que tenemos resultan al todos restar los los casos dos posibles. dados, que son Igual ya que llevan ya que existe una en el decisión una juego estrategia anterior, previa que del una jugador aplicar vez realizado asus de la dónde distribución el estudio, es más de rentable las las nuevas fichas situar entre partidas más las fichas, casillas. que se por realicen loen En ysecuencia obtienen, cada casilla resultados el nuestros describen observaciones hay 2se los que resultado, ya ya juegos el casillas juegos esté para el metodológica posibles. teóricos; 1, comportamiento conforme aunque de vacía. ello es incluso solo vacías, caballos muy se por De realizamos De teóricamente le grande. aquellos todos ejemplo, pide interesa similar: esta que al forma modos estudiamos alumnado una en un puede hacer no los número les vez puede debería que aumenta un sale ser que que en estudio no que pequeño una ocurrir estemos el vaya ser puedan en anterior pirámide, el así. experimental número la que anotando descarga aproximadamente Conviene eliminar los artículo lanzamientos aproximadamente, resultados de en ensayos una del sobre yaclarar una en carro de los tabla no los yde las yobtenidos los a éste nos en el se resultados los fichas las número resultados la ajusten salga mantenemos alumnos con veces mitad porque los más de adel que los teóricos que veces juego, la se sale una Par e impar Este hace de Matemática, juego, ya años que en concretamente se la basa revista en de los nuestros mismos en el número colegas principios 3 de portugueses los juegos de la precedentes, Associação de lo localizamos Professores Educação e Matemática aunque lamentamos no tener los datos de autores ni el nombre exacto del artículo. de julio 1987, Es un juego para dos jugadores y solo se necesitan dos dados cúbicos. Reglas del juego: 1. Se lanza una moneda y el jugador que gane elige ser PAR o IMPAR. 2. conseguidos. caso contrario A continuación, Si pasa el resultado el en turno. su turno, tiene la el misma jugador paridad lanza los que dos él ha dados elegido, y suma se anota los valores un punto, en 3. profesor Gana estime el jugador oportuno. que tenga más puntos después de haber jugado 20 turnos, o los que el Variantes: Se los puede dados o hacer bien el juego producto con de las esos mismas valores. reglas pero calculando los valores de Estudio posterior: Una trata en esos vez de Para un casos realizados juego ello sí basta es equitativo, los unutilizar distintos juego es equitativo. ladecir, juegos tabla si 1que la para los pregunta dos lalas suma jugadores que yde laelelegir 2alumnado tienen para la la diferencia misma debe probabilidad yde comprobar es si de se que El que ahora forma condiciones ganar. problema en que es este pedir sea caso habría sea un plantea los el juego que jugador alumnos en imponer equitativo. elque producto. que para elija modifiquen EsPAR decir, Basta los tiene en hacer dos lugar más condiciones jugadores laposibilidades tabla 3tengan del para entre juego, de comprobar la PAR ganar. misma con econtestar IMPAR, el Lo posibilidad fehacientemente producto, interesante qué de de x1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 10 12 3 6 9 15 18 4 8 12 16 20 24 5 10 15 25 30 6 12 18 24 36 Tabla 3de A más segundo entonces sola producto sorprendentes. partir de 11, sería es un frente la pero equitativo. jugador tabla de aelvarios 17/39. que se problema elige puede el Pero Una resultado la pueden ver posibilidad es posibilidad que que del el aparecer una producto primer de de buena que juego caso otras al tenga idea realizar equitativo tiene propuestas sería dos una elcifras. conseguir producto sería, probabilidad muy De interesantes este menos elnecesitan resultado modo dede 19/36 el11 el 1dos ytenga yjuego omientras elconseguir 36una del y el Tableros a elegir Este juego está adaptado de uno que encontramos en laque revista UNO. Es cúbicos. uncifra, juego para jugadores, pongamos como ejemplo tres, ydespreciar se dados Debemos siguientes: tener varios tableros, uno para cada jugador, podrían ser, por ejemplo, los

Reglas del juego: 1. tablero Se entre sortea los el que turno en ese de juego momento yla cada queden uno de sin los elegir. jugadores elige, según ese turno, un 2. punto Cada si el resultado jugador en de su la suma turno no está los en dos su dados, tablero. suma los valores obtenidos yanterior. se anota 3. Gana el primer jugador que consigue llegar a diez puntos. Estudio posterior: Este posibles alguna estudio juego partida correspondiente. al lanzar lo hay planteamos sin de dos haber dados hecho salga una cúbicos, vez cada el estudio que uno con se de yha loque los que realizado resultados. nos el alumno sirva el estudio de ya Aunque justificación tiene de una también la suma idea de se de realizar puede los cuántas valores el realizar Como posibilidades cada tablero es evidente, de salir el al alumno lanzar de los los números dos puede dados, que elegir están por intenta lo incluidos que escoger deben en él. el estudiar tablero los que probabilidades tiene menos de Si elegir los de realizamos 12/36 dos sería dados = 1/3. el el tercero es estudio de 11/36, ya para que mientras los probabilidad tres que tableros los de otros que que dos hemos apareciera tableros, seleccionado uno tienen de una esos el más probabilidad valores interesante alcon lanzar para yEl grupos duren puntúa ampliando propio excesivamente, de poco. si profesor hay tres oen disminuyendo más oelfunción cuatro puede jugadores especialmente jugadores modificar la se cantidad puede ya los que si tableros reducir alguien las jugadores partidas cambiando el tiene número la suelen que mala de participan. los ser puntos suerte números rápidas de a Solemos alcanzar elegir que ypara apasionantes, forman un jugar para tablero parte que que no de él Nosotros aunque juegan siguiente que sucesivamente. haya distintas se preferimos sería obtenido pueden partidas, orden menos establecer que inverso los una puntuación tableros vez también alanza terminada puntuación tengan elige tableros el la una primero, primera, con que probabilidad mucha hayan después el orden obtenido diferencia. similar el de segundo elegir en de En la conseguir ese partida los por tableros caso, la cola puntos, si para se y igual así El laun Tres ruletas Hay mucho un mayor. juego, que Ya no recuerda depende levemente de dados, al si anterior, no de las pero propias en el que ruletas la dificultad que hacen del de estudio tablero. es Suele estar previsto para dos jugadores yde sólo se necesitan tres ruletas como las siguientes:

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1. sortea el orden de y, según ese orden, cada jugador elige una ruleta. 2. se anota hacen punto. rodar las dos a la vez yque el jugador que consiga una puntuación mayor 3. Se juegan cinco turnos yaruletas se vuelven asiempre elegir las ruletas. 4. de veinte tiradas). el jugador que tenga más puntuación al terminar cuatro manos (es decir, un total Estudio posterior: El jugador ganar. que estudio esGana se Insistimos un estudian obtengan que, de juego independientemente este según que, posteriormente en loen de las teoría, que teóricamente probabilidades simple tiene al de efectuar la una vista ruleta porque estrategia teóricas es el experimento. similar como elija no ganadora. siempre tienen al elen anterior, otro que jugador, que Es coincidir nos decir, interviene depara puede siempre con el la “teóricamente” las azar, sorpresa hay frecuencias los casos de En ruleta hacer encontramos este un que caso, diagrama gane, con el segundo repetimos lajuego, de siguiente árbol jugador que yjuego tabla. estudiar en en teoría, elegir las a posibilidades la ruleta tiene elegida ventaja que por gana el ya otro que una jugador. puede ruleta a elegir Para otra. ello una Nos basta Ruleta Gana aun la ruleta con la ruleta 1 3 con probabilidad de 5/9 frente a 4/9 2Pierde 1/3 2/3 3 2 2/3 1/3 1 con probabilidad de 4/9 frente a 5/9 Tabla 4 Por la 2, tanto, el segundo si el primer le gana jugador tomando elige la la 3, ruleta y si el 1, primero basta que coge el la segundo 3, el segundo elija 2; debe si el primero elegir la elige 1. Nosotros yelige parejas en qué una y orden presentamos se ruleta les y pide juegan ha que elegido el una busquen juego, mano. esa inicialmente, ruleta. la Al estrategia acabar Una formando vez se ganadora. compara puesto grupos en cuál común de ha tres sido se pasa jugadores, la ruleta al juego que cada ha por uno ganado Ya creemos lo que que ocurre hemos que signifique si estudiado juegan tres. un qué reto ocurre, muy complicado al menos de para forma nuestros teórica, lectores si juegan hacer dos un jugadores, estudio sobre no Cinco monedas Dado publicamos aquel que, pero como que hace se dijimos años juega sobre al con principio, monedas la Carrera este en de artículo lugar caballos, de es con queremos una dados. continuación incluir aquí lógica un del juego que parecido Este distancia juego sobre lo encontramos juegos. en un material elaborado por Mauricio Contreras para un curso Es unpor cuatro. color juego Sejugador. disponen para varios de cinco jugadores. monedas, Pueden un tablero jugar hasta como6 el jugadores, de la imagen peroylouna ideal ficha sondetres distinto oa a

Reglas del juego: 1. número Se de sortean caras los turnos se obtienen ysea cada al jugador, lanzar las por cinco turno, monedas elige una yAsalto de coloca las soluciones su ficha. posibles del 2. independientemente en la casilla Ahora correspondiente cada jugador de que en al su número turno la ficha lanza de del caras jugador las cinco obtenidas que monedas. ha avanza lanzado La ficha un las lugar, monedas. del jugador esté 3. Gana el primer jugador que consigue llegar ade la meta. Estudio posterior: Basta pueden hay último, resultados 5terminar oportunidades hacer para resultar tienen obtener un mero alque las lanzar dos mismas diagrama conseguir ofichas. cinco tres probabilidades caras, monedas, en una árbol hay cara, para en un las que solo total comprobar mismas las un del caso 10 juego que posibilidades que de de obtienen conseguir las 32 en ninguna situaciones cada cuatro caso. oque caras. posibles Los Por que al castillo, estudiamos en el artículo del nº 51 de SUMA. ya La colmena Para condición, el juego vamos puede a incluir pasar un de juego ser en meramente el que comprobaremos de azar, atiene ser un que, juego cambiando de estrategia una sola Es imagen defecto un juego yse un puede para conjunto dos construir jugadores de una ruleta Además en la con que se los cada dispone valores uno de de del ellos un 1se al dado 10. con un diez tablero caras, como ocinco en elque de sucaras;

Reglas del juego: 1. Calcula Cada laLas suma jugador, de los en valores su turno, obtenidos lanza dos en veces las dos elde ocasiones. dado ofichas hace rodar dosjuego veces lajugador ruleta. 2. suma Coloca solo si está una libre. ficha en No la puede casilla haber correspondiente más de una de ficha su por tablero casilla. al valor resultante de laese 3. contrario resultado. En debe el caso retirar de que la ficha su casilla de su esté tablero ocupada que estuviese no puede en colocar la casilla su ficha, correspondiente pero el alo 4. cinco casillas. Gana el primer jugador que consigue completar con una diagonal cuatro oque Variante: Con quiere quien estas tenga jugar reglas, más con esas diagonales la partida condiciones, tiene de dificultad jugar casillas una para completas. serie terminar, tiradas, por eso por se ejemplo puede 20, plantear, yde entonces si se gana Como posibilidad interese. se plantea se puede es fichas cambiar seleccionar apreciar se la colocan regla por dónde las 3que aleatoriamente de reglas, colocar forma todo las que fichas el el según proceso juego para nos depende adelantar indiquen convierta una los en azar, dados. diagonal un ya que Por que de ello, no estrategia. nos tenemos La nueva redacción de la regla 3tres sería la siguiente: En posibilidades el caso de siguientes: que su casilla ocupada, el jugador puede optar por una de las tres a) número Hacer obtenido que el otro al sumar jugador los retire de su tablero de los dados la ficha ose que las ruletas. tenga en la casilla del b) Poner una ficha en una de las siete casillas centrales que esté desocupada. c) Volver a lanzar los dados oesté las ruletas. Para salir una no entrar casilla en ocupada un bucle tiene sin fin en elegir la opción forzosamente c, si el jugador la selecciona adel o b. la opción cMadrid. yun Bibliografía ALQUERQUE (2006): “La carrera de caballos", Suma, pp. 61-63. nº 51, Febrero, Madrid, GRUPO CERO (Valencia) (1995): Matemáticas para la Educación M.E.C. y Edelvives. Madrid. 3vuelve vol. HERNÁN, FRANCISCO yresultados ELISA (1988): matemáticas Recursos en el aula de mismo Colección Matemáticas: cultura yCARRILLO, nº 34. .Secundaria. Síntesis, de vista LAKONA, diacrónico”. EWA (1999): “Del cálculo probabilístico al opción razonamiento estocástico: puntoa UNO, nºaprendizaje, 22, pp. 55–61.

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