Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva

Ang´elica Benito Defensa de tesis doctoral para optar al grado de Doctor en Matem´ aticas

Dirigida por

Orlando E. Villamayor U.

Universidad Aut´ onoma de Madrid 22 de Marzo de 2010

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 1 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

´Indice 1

Panorama general y definiciones ´ Algebras de Rees y singularidades ´ Algebras de Rees y transformaciones monoidales ´ Algebra de Rees y estructura diferencial

2

Algunos resultados en caracter´ıstica 0

3

Caracter´ıstica p: Proyecciones y presentaciones locales Proyecciones y ´algebras de eliminaci´ on Pendientes excepcionales y el ´ algebra monomial virtual Aplicaciones de los resultados de la memoria

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 2 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

1

Panorama general y definiciones ´ Algebras de Rees y singularidades ´ Algebras de Rees y transformaciones monoidales ´ Algebra de Rees y estructura diferencial

2

Algunos resultados en caracter´ıstica 0

3

Caracter´ıstica p: Proyecciones y presentaciones locales Proyecciones y ´algebras de eliminaci´ on Pendientes excepcionales y el ´ algebra monomial virtual Aplicaciones de los resultados de la memoria

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 3 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Resoluci´ on de singularidades Dada una variedad algebraica X , una resoluci´ on de singularidades es una variedad no singular junto con un morfismo propio y π birracional X ←− X1 . Birracional ←→ X y X1 son isomorfos en un abierto denso. Propio ←→ Evita trivialidades.

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 4 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Resoluci´ on de singularidades Dada una variedad algebraica X , una resoluci´ on de singularidades es una variedad no singular junto con un morfismo propio y π birracional X ←− X1 . Birracional ←→ X y X1 son isomorfos en un abierto denso. Propio ←→ Evita trivialidades. Herramientas: (Blow-ups)

 π

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 5 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Resultados en el problema: Caracter´ıstica 0: Curvas: Cremona, Noether, Riemann (S. XIX). Superficies: Beppo Levi, Jung, Walker, Zariski (Principios del S.XX). 3-folds: Zariski (1944). Hironaka: dimensi´ on arbitraria sobre cuerpos de caracter´ıstica 0 (1964). Desingularizaci´ on algor´ıtmica: Villamayor, Bierstone-Milmann, Encinas, Hauser, Bravo, Wlodarczyck, ...

Caracter´ıstica p: Abhyankar: superficies y 3-folds para p 6= 2, 3, 5, 7. No inmerso. Lipman: esquemas excelentes de dimensi´ on 2. No inmerso. Patolog´ıas, dimensiones bajas: Giraud, Moh, Cossart, Piltant, Hauser, Cutkosky ... Programas en activo: Hironaka, Kawanoue-Matsuki, Wlodarczyk, Villamayor & co.

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 6 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Resultados en el problema: Caracter´ıstica 0: Curvas: Cremona, Noether, Riemann (S. XIX). Superficies: Beppo Levi, Jung, Walker, Zariski (Principios del S.XX). 3-folds: Zariski (1944). Hironaka: dimensi´ on arbitraria sobre cuerpos de caracter´ıstica 0 (1964). Desingularizaci´ on algor´ıtmica: Villamayor, Bierstone-Milmann, Encinas, Hauser, Bravo, Wlodarczyck, ...

Caracter´ıstica p: Abhyankar: superficies y 3-folds para p 6= 2, 3, 5, 7. No inmerso. Lipman: esquemas excelentes de dimensi´ on 2. No inmerso. Patolog´ıas, dimensiones bajas: Giraud, Moh, Cossart, Piltant, Hauser, Cutkosky ... Programas en activo: Hironaka, Kawanoue-Matsuki, Wlodarczyk, Villamayor & co.

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 6 / 22

Definiciones

V (d)

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

esquema liso de dimensi´ on d sobre k.

Problema X ⊂ V (d) hipersuperficie de multiplicidad m´ axima n. Fn = {x ∈ X | multx (X ) = n}. Definir una sucesi´on de transformaciones monoidales con centros en el conjunto de puntos de multiplicidad n de X (y transformados) X1

X V (d) o

π1

(d)

V1

o

Xr π2

... o

πr

(d)

Vr

de tal forma que el conjunto de puntos de multiplicidad n de Xr sea Fnr = ∅. Observaci´ on: El problema de resoluci´ on se puede reducir a este problema particular. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 7 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Definici´ on Un ´ aL lgebra de Rees es un ´ algebra finitamente generada G = n∈N In W n , donde In es un haz de ideales tal que I0 = OV (d) e In · Im ⊂ In+m para n, m ∈ N; W es una variable muda para recordar el grado. L Definimos el lugar singular de G = In W n como el cerrado Sing(G) = {x ∈ V (d) | νx (In ) ≥ n}. Asociada a cada ´algebra se define una funci´on ord(d) (G) : Sing(G) −→ Q≥0 n ν (I ) o x n para cada x ∈ Sing(G). dada por ord(d) (G)(x) = m´ın n>0 n Definici´ on Un ´algebra de Rees es simple si para cada x ∈ Sing(G) existe n tal que νx (In ) = n, i.e., ord(d) (G)(x) = 1. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 8 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Definici´ on Un ´ aL lgebra de Rees es un ´ algebra finitamente generada G = n∈N In W n , donde In es un haz de ideales tal que I0 = OV (d) e In · Im ⊂ In+m para n, m ∈ N; W es una variable muda para recordar el grado. L In W n como el cerrado Definimos el lugar singular de G = Sing(G) = {x ∈ V (d) | νx (In ) ≥ n}. Asociada a cada ´algebra se define una funci´on ord(d) (G) : Sing(G) −→ Q≥0 n ν (I ) o x n dada por ord(d) (G)(x) = m´ın para cada x ∈ Sing(G). n>0 n Definici´ on Un ´algebra de Rees es simple si para cada x ∈ Sing(G) existe n tal que νx (In ) = n, i.e., ord(d) (G)(x) = 1. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 8 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Definici´ on Un ´ aL lgebra de Rees es un ´ algebra finitamente generada G = n∈N In W n , donde In es un haz de ideales tal que I0 = OV (d) e In · Im ⊂ In+m para n, m ∈ N; W es una variable muda para recordar el grado. L In W n como el cerrado Definimos el lugar singular de G = Sing(G) = {x ∈ V (d) | νx (In ) ≥ n}. Asociada a cada ´algebra se define una funci´on ord(d) (G) : Sing(G) −→ Q≥0 n ν (I ) o x n para cada x ∈ Sing(G). dada por ord(d) (G)(x) = m´ın n>0 n Definici´ on Un ´algebra de Rees es simple si para cada x ∈ Sing(G) existe n tal que νx (In ) = n, i.e., ord(d) (G)(x) = 1. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 8 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Definici´ on Un ´ aL lgebra de Rees es un ´ algebra finitamente generada G = n∈N In W n , donde In es un haz de ideales tal que I0 = OV (d) e In · Im ⊂ In+m para n, m ∈ N; W es una variable muda para recordar el grado. L In W n como el cerrado Definimos el lugar singular de G = Sing(G) = {x ∈ V (d) | νx (In ) ≥ n}. Asociada a cada ´algebra se define una funci´on ord(d) (G) : Sing(G) −→ Q≥0 n ν (I ) o x n para cada x ∈ Sing(G). dada por ord(d) (G)(x) = m´ın n>0 n Definici´ on Un ´algebra de Rees es simple si para cada x ∈ Sing(G) existe n tal que νx (In ) = n, i.e., ord(d) (G)(x) = 1. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 8 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

´ Algebras de Rees y transformaciones monoidales L Sea G = In W n . Dada una transformaci´on monoidal de centro C ⊂ Sing(G), πC (d) V (d) ←− V1 , (1)

existe una factorizaci´on In OV (d) = I (H)n In , donde H = πC−1 (C ). 1

Definici´ on El transformado de G se define como G1 =

L

(1)

In W n .

Observaci´ on Si G es simple, entonces G1 es simple.

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 9 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Una sucesi´on de transformaciones G1

G V (d) o

π1

(d)

V1

o

Gr π2

... o

πr

(d)

Vr

define una resoluci´ on de G si Sing(Gr ) = ∅. El lugar excepcional Er = {H1 , . . . , Hr } tiene cruzamientos normales (d) en Vr .

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 10 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

´ Algebra de Rees y estructura diferencial (I) Sean V (d) , x ∈ V (d) un punto cerrado y {x1 , . . . , xd } un s.r.p. en b (d) = k ′ [[x1 , . . . , xd ]] se define el OV (d) ,x . En el completado O V ,x morfismo de Taylor: k ′ [[x1 , . . . , xd ]] xi 

/ k ′ [[x1 , . . . , xd , T1 , . . . , Td ]] / xi + Ti

Para cualquier f ∈ k ′ [[x1 , . . . , xd ]], X Tay (f ) = gα T α . α∈Nd

Se define ∆α (f ) := gα . Se cumple que: ∆α (OV (d ) ,x ) ⊂ OV (d ) ,x {∆α | α ∈ Nd , 0 ≤ |α| ≤ r } genera Diffkr localmente en x. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 11 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

´ Algebra de Rees y estructura diferencial (II) Definici´ on L G= In W n es un ´ algebra de Rees diferencial si para cada n fW ∈ G y D ∈ DiffVr (d) con r < n, se cumple D(f )W n−r ∈ G. Propiedades Existe una m´ınima ´algebra diferencial G ′ ⊃ G que cumple Sing(G ′ ) = Sing(G). Lema de Giraud: Cualquier sucesi´ on de transformaciones de G induce una sucesi´ on de transformaciones de G ′ (y viceversa). La igualdad de lugares singulares se mantiene: Sing(Gr ) = Sing(Gr′ ). Una resoluci´on de G ′ induce una resoluci´on de G.

Supondremos que en V (d) el ´ algebra G es diferencial y simple. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 12 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

1

Panorama general y definiciones ´ Algebras de Rees y singularidades ´ Algebras de Rees y transformaciones monoidales ´ Algebra de Rees y estructura diferencial

2

Algunos resultados en caracter´ıstica 0

3

Caracter´ıstica p: Proyecciones y presentaciones locales Proyecciones y ´algebras de eliminaci´ on Pendientes excepcionales y el ´ algebra monomial virtual Aplicaciones de los resultados de la memoria

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 13 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Resoluci´ on en caracter´ıstica 0 Existencia de hipersuperficies de contacto maximal L G= In W n diferencial y simple. Sea x ∈ Sing(G). Entonces, existe gW 1 ∈ G tal que νx (g ) = 1. V = V (g1 ) es un subesquema liso (hipersuperficie de contacto maximal). Argumento inductivo L Sea G = I n W n , donde I n denota la restricci´ on de In a V (G es el ´ algebra de coeficientes). 1−1

Sing(G) ←→ Sing(G) y Sing(G) ⊂ V . La propiedad anterior es estable por explosiones. Una sucesi´ on de transformaciones de G induce una suc. de transf. de G, π V ←− V r , y el lugar excepcional de π tiene cruzamientos normales. Resoluci´ on de G en V (d) ⇐⇒ Resoluci´ on de G en V . ¿C´ omo se llega a resoluci´ on? 1

Monomializaci´ on de G.

2

Resoluci´ on combinatoria del monomio. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 14 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Resoluci´ on en caracter´ıstica 0 Existencia de hipersuperficies de contacto maximal L G= In W n diferencial y simple. Sea x ∈ Sing(G). Entonces, existe gW 1 ∈ G tal que νx (g ) = 1. V = V (g1 ) es un subesquema liso (hipersuperficie de contacto maximal). Argumento inductivo L Sea G = I n W n , donde I n denota la restricci´ on de In a V (G es el ´ algebra de coeficientes). 1−1

Sing(G) ←→ Sing(G) y Sing(G) ⊂ V . La propiedad anterior es estable por explosiones. Una sucesi´ on de transformaciones de G induce una suc. de transf. de G, π V ←− V r , y el lugar excepcional de π tiene cruzamientos normales. Resoluci´ on de G en V (d) ⇐⇒ Resoluci´ on de G en V . ¿C´ omo se llega a resoluci´ on? 1

Monomializaci´ on de G.

2

Resoluci´ on combinatoria del monomio. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 14 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Resoluci´ on en caracter´ıstica 0 Existencia de hipersuperficies de contacto maximal L G= In W n diferencial y simple. Sea x ∈ Sing(G). Entonces, existe gW 1 ∈ G tal que νx (g ) = 1. V = V (g1 ) es un subesquema liso (hipersuperficie de contacto maximal). Argumento inductivo L Sea G = I n W n , donde I n denota la restricci´ on de In a V (G es el ´ algebra de coeficientes). 1−1

Sing(G) ←→ Sing(G) y Sing(G) ⊂ V . La propiedad anterior es estable por explosiones. Una sucesi´ on de transformaciones de G induce una suc. de transf. de G, π V ←− V r , y el lugar excepcional de π tiene cruzamientos normales. Resoluci´ on de G en V (d) ⇐⇒ Resoluci´ on de G en V . ¿C´ omo se llega a resoluci´ on? 1

Monomializaci´ on de G.

2

Resoluci´ on combinatoria del monomio. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 14 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

1

Panorama general y definiciones ´ Algebras de Rees y singularidades ´ Algebras de Rees y transformaciones monoidales ´ Algebra de Rees y estructura diferencial

2

Algunos resultados en caracter´ıstica 0

3

Caracter´ıstica p: Proyecciones y presentaciones locales Proyecciones y ´algebras de eliminaci´ on Pendientes excepcionales y el ´ algebra monomial virtual Aplicaciones de los resultados de la memoria

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 15 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

¿Qu´e hacer en caracter´ıstica positiva? En char p, G dif. y simple 6⇒ hip. cont. mxl. (ej. de Narasimhan). Se sustituye la restricci´ on por proyecciones transversales: β V (d) −→ V (d−1) algebra de eliminaci´ on. Existe un ´ algebra RG,β ⊂ OV (d −1) [W ], el ´ En char 0, se identifican RG,β y G. 1−1

Si G es diferencial, Sing(G) ←→ β(Sing(G))= Sing(RG,β ) (*). π

(d)

C Para cada transformaci´ on monoidal V (d) ←− V1 , C ⊂ Sing(G):

G

V (d) o β



RG,β V (d−1) o

π

(d)

V1

π e

(d−1)

V1

⊃U

   β  1

G1 (RG,β )1 = RG1 ,β1

G1 es diferencial relativo a β1 , pero no diferencial absoluto. (*) no es estable por explosiones, pero β1 (Sing(G1 )) ⊂ Sing((RG,β )1 ). Bravo-Villamayor: Existe una sucesi´ on de transformaciones tal que ˆ` ´ ˜ (RG,β )r = OV (d −1) I (H1 )α1 . . . I (Hr )αr W s es monomial. r

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 16 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

¿Qu´e hacer en caracter´ıstica positiva? En char p, G dif. y simple 6⇒ hip. cont. mxl. (ej. de Narasimhan). Se sustituye la restricci´ on por proyecciones transversales: β V (d) −→ V (d−1) algebra de eliminaci´ on. Existe un ´ algebra RG,β ⊂ OV (d −1) [W ], el ´ En char 0, se identifican RG,β y G. 1−1

Si G es diferencial, Sing(G) ←→ β(Sing(G))= Sing(RG,β ) (*). π

(d)

C Para cada transformaci´ on monoidal V (d) ←− V1 , C ⊂ Sing(G):

G

V (d) o β



RG,β V (d−1) o

π

(d)

V1

π e

(d−1)

V1

⊃U

   β  1

G1 (RG,β )1 = RG1 ,β1

G1 es diferencial relativo a β1 , pero no diferencial absoluto. (*) no es estable por explosiones, pero β1 (Sing(G1 )) ⊂ Sing((RG,β )1 ). Bravo-Villamayor: Existe una sucesi´ on de transformaciones tal que ˆ` ´ ˜ (RG,β )r = OV (d −1) I (H1 )α1 . . . I (Hr )αr W s es monomial. r

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 16 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

¿Qu´e hacer en caracter´ıstica positiva? En char p, G dif. y simple 6⇒ hip. cont. mxl. (ej. de Narasimhan). Se sustituye la restricci´ on por proyecciones transversales: β V (d) −→ V (d−1) algebra de eliminaci´ on. Existe un ´ algebra RG,β ⊂ OV (d −1) [W ], el ´ En char 0, se identifican RG,β y G. 1−1

Si G es diferencial, Sing(G) ←→ β(Sing(G))= Sing(RG,β ) (*). π

(d)

C Para cada transformaci´ on monoidal V (d) ←− V1 , C ⊂ Sing(G):

G

V (d) o β



RG,β V (d−1) o

π

(d)

V1

π e

(d−1)

V1

⊃U

   β  1

G1 (RG,β )1 = RG1 ,β1

G1 es diferencial relativo a β1 , pero no diferencial absoluto. (*) no es estable por explosiones, pero β1 (Sing(G1 )) ⊂ Sing((RG,β )1 ). Bravo-Villamayor: Existe una sucesi´ on de transformaciones tal que ˆ` ´ ˜ (RG,β )r = OV (d −1) I (H1 )α1 . . . I (Hr )αr W s es monomial. r

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 16 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

¿Qu´e hacer en caracter´ıstica positiva? En char p, G dif. y simple 6⇒ hip. cont. mxl. (ej. de Narasimhan). Se sustituye la restricci´ on por proyecciones transversales: β V (d) −→ V (d−1) algebra de eliminaci´ on. Existe un ´ algebra RG,β ⊂ OV (d −1) [W ], el ´ En char 0, se identifican RG,β y G. 1−1

Si G es diferencial, Sing(G) ←→ β(Sing(G))= Sing(RG,β ) (*). π

(d)

C Para cada transformaci´ on monoidal V (d) ←− V1 , C ⊂ Sing(G):

G

V (d) o β



RG,β V (d−1) o

π

(d)

V1

π e

(d−1)

V1

⊃U

   β  1

G1 (RG,β )1 = RG1 ,β1

G1 es diferencial relativo a β1 , pero no diferencial absoluto. (*) no es estable por explosiones, pero β1 (Sing(G1 )) ⊂ Sing((RG,β )1 ). Bravo-Villamayor: Existe una sucesi´ on de transformaciones tal que ˆ` ´ ˜ (RG,β )r = OV (d −1) I (H1 )α1 . . . I (Hr )αr W s es monomial. r

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 16 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

¿Qu´e hacer en caracter´ıstica positiva? En char p, G dif. y simple 6⇒ hip. cont. mxl. (ej. de Narasimhan). Se sustituye la restricci´ on por proyecciones transversales: β V (d) −→ V (d−1) algebra de eliminaci´ on. Existe un ´ algebra RG,β ⊂ OV (d −1) [W ], el ´ En char 0, se identifican RG,β y G. 1−1

Si G es diferencial, Sing(G) ←→ β(Sing(G))= Sing(RG,β ) (*). π

(d)

C Para cada transformaci´ on monoidal V (d) ←− V1 , C ⊂ Sing(G):

G

V (d) o β



RG,β V (d−1) o

π

(d)

V1

π e

(d−1)

V1

⊃U

   β  1

G1 (RG,β )1 = RG1 ,β1

G1 es diferencial relativo a β1 , pero no diferencial absoluto. (*) no es estable por explosiones, pero β1 (Sing(G1 )) ⊂ Sing((RG,β )1 ). Bravo-Villamayor: Existe una sucesi´ on de transformaciones tal que ˆ` ´ ˜ (RG,β )r = OV (d −1) I (H1 )α1 . . . I (Hr )αr W s es monomial. r

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 16 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

¿Qu´e hacer en caracter´ıstica positiva? En char p, G dif. y simple 6⇒ hip. cont. mxl. (ej. de Narasimhan). Se sustituye la restricci´ on por proyecciones transversales: β V (d) −→ V (d−1) algebra de eliminaci´ on. Existe un ´ algebra RG,β ⊂ OV (d −1) [W ], el ´ En char 0, se identifican RG,β y G. 1−1

Si G es diferencial, Sing(G) ←→ β(Sing(G))= Sing(RG,β ) (*). π

(d)

C Para cada transformaci´ on monoidal V (d) ←− V1 , C ⊂ Sing(G):

G

V (d) o β



RG,β V (d−1) o

π

(d)

V1

π e

(d−1)

V1

⊃U

   β  1

G1 (RG,β )1 = RG1 ,β1

G1 es diferencial relativo a β1 , pero no diferencial absoluto. (*) no es estable por explosiones, pero β1 (Sing(G1 )) ⊂ Sing((RG,β )1 ). Bravo-Villamayor: Existe una sucesi´ on de transformaciones tal que ˆ` ´ ˜ (RG,β )r = OV (d −1) I (H1 )α1 . . . I (Hr )αr W s es monomial. r

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 16 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

¿Qu´e hacer en caracter´ıstica positiva? En char p, G dif. y simple 6⇒ hip. cont. mxl. (ej. de Narasimhan). Se sustituye la restricci´ on por proyecciones transversales: β V (d) −→ V (d−1) algebra de eliminaci´ on. Existe un ´ algebra RG,β ⊂ OV (d −1) [W ], el ´ En char 0, se identifican RG,β y G. 1−1

Si G es diferencial, Sing(G) ←→ β(Sing(G))= Sing(RG,β ) (*). π

(d)

C Para cada transformaci´ on monoidal V (d) ←− V1 , C ⊂ Sing(G):

G

V (d) o β



RG,β V (d−1) o

π

(d)

V1

π e

(d−1)

V1

⊃U

   β  1

G1 (RG,β )1 = RG1 ,β1

G1 es diferencial relativo a β1 , pero no diferencial absoluto. (*) no es estable por explosiones, pero β1 (Sing(G1 )) ⊂ Sing((RG,β )1 ). Bravo-Villamayor: Existe una sucesi´ on de transformaciones tal que ˆ` ´ ˜ (RG,β )r = OV (d −1) I (H1 )α1 . . . I (Hr )αr W s es monomial. r

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 16 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

¿Qu´e hacer en caracter´ıstica positiva? En char p, G dif. y simple 6⇒ hip. cont. mxl. (ej. de Narasimhan). Se sustituye la restricci´ on por proyecciones transversales: β V (d) −→ V (d−1) algebra de eliminaci´ on. Existe un ´ algebra RG,β ⊂ OV (d −1) [W ], el ´ En char 0, se identifican RG,β y G. 1−1

Si G es diferencial, Sing(G) ←→ β(Sing(G))= Sing(RG,β ) (*). π

(d)

C Para cada transformaci´ on monoidal V (d) ←− V1 , C ⊂ Sing(G):

G

V (d) o β



RG,β V (d−1) o

π

(d)

V1

π e

(d−1)

V1

⊃U

   β  1

G1 (RG,β )1 = RG1 ,β1

G1 es diferencial relativo a β1 , pero no diferencial absoluto. (*) no es estable por explosiones, pero β1 (Sing(G1 )) ⊂ Sing((RG,β )1 ). Bravo-Villamayor: Existe una sucesi´ on de transformaciones tal que ˆ` ´ ˜ (RG,β )r = OV (d −1) I (H1 )α1 . . . I (Hr )αr W s es monomial. r

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 16 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p


  (RG,β )r = OV (d−1) I (H1 )α1 . . . I (Hr )αr W s es monomial, pero r

βr (Sing(Gr )) ( Sing((RG,β )r ). Objetivo: Estudiar la contribuci´on real de los excep. Hi en Gr . Teorema (presentaci´ on local) G simple y dif. relativa a β. Para cualquier fn W n ∈ G de orden n, G ∼ OV (d) [fn W n , ∆j (fn )W n−j ]1≤j≤n−1 ⊙ RG,β . De hecho n = p e y fpe (z) = z

pe

+ a1 z

p e −1

(1)

+ · · · + ape ∈ OV (d−1) [z].

Objetivo: Fijada H excepcional, encontrar una expresi´on ´optima G ⊂ hziW ⊙ I (H)h W s para cierta secci´ on z y

h s

∈ Q≥0 . Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 17 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p


  (RG,β )r = OV (d−1) I (H1 )α1 . . . I (Hr )αr W s es monomial, pero r

βr (Sing(Gr )) ( Sing((RG,β )r ). Objetivo: Estudiar la contribuci´on real de los excep. Hi en Gr . Teorema (presentaci´ on local) G simple y dif. relativa a β. Para cualquier fn W n ∈ G de orden n, G ∼ OV (d) [fn W n , ∆j (fn )W n−j ]1≤j≤n−1 ⊙ RG,β . De hecho n = p e y fpe (z) = z

pe

+ a1 z

p e −1

(1)

+ · · · + ape ∈ OV (d−1) [z].

Objetivo: Fijada H excepcional, encontrar una expresi´on ´optima G ⊂ hziW ⊙ I (H)h W s para cierta secci´ on z y

h s

∈ Q≥0 . Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 17 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Definici´ on e

e

Fijado fpe (z) = z p + a1 z p −1 + · · · + ape , se define la pendiente excepcional relativa a z: ˘ νξH (aj ) ¯ SlH (fpe , z) := m´ın e . 1≤j≤p j Posibilidades: 1. SlH (fpe , z) = 2. SlH (fpe , z) = 3. SlH (fpe , z) =

νξ (an ) H

, n < pe .

n νξ (ap e ) H pe νξ (ap e ) H

pe

< <

νξ (an ) H

n νξ (an ) H n

y InH (ape ) no es potencia p e . y InH (ape ) es potencia p e .

on (dados por Queremos optimizar SlH (fpe , z) para los cambios de la secci´ uz + α, para u, α ∈ OV (d −1) , u unidad). Proposici´ on • Si se da 1 ´ o 2, ning´ un cambio uz + α aumenta la pendiente. Diremos que a escrito en forma normal. fpe (z) est´ • Si se da 3, existe un algoritmo de limpieza (cambios de secci´ on) finito que aumenta la pendiente y que lleva a un caso 1 ´ o 2 (forma normal). Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 18 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Definici´ on e

e

Fijado fpe (z) = z p + a1 z p −1 + · · · + ape , se define la pendiente excepcional relativa a z: ˘ νξH (aj ) ¯ SlH (fpe , z) := m´ın e . 1≤j≤p j Posibilidades: 1. SlH (fpe , z) = 2. SlH (fpe , z) = 3. SlH (fpe , z) =

νξ (an ) H

, n < pe .

n νξ (ap e ) H pe νξ (ap e ) H

pe

< <

νξ (an ) H

n νξ (an ) H n

y InH (ape ) no es potencia p e . y InH (ape ) es potencia p e .

on (dados por Queremos optimizar SlH (fpe , z) para los cambios de la secci´ uz + α, para u, α ∈ OV (d −1) , u unidad). Proposici´ on • Si se da 1 ´ o 2, ning´ un cambio uz + α aumenta la pendiente. Diremos que a escrito en forma normal. fpe (z) est´ • Si se da 3, existe un algoritmo de limpieza (cambios de secci´ on) finito que aumenta la pendiente y que lleva a un caso 1 ´ o 2 (forma normal). Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 18 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Definici´ on e

e

Fijado fpe (z) = z p + a1 z p −1 + · · · + ape , se define la pendiente excepcional relativa a z: ˘ νξH (aj ) ¯ SlH (fpe , z) := m´ın e . 1≤j≤p j Posibilidades: 1. SlH (fpe , z) = 2. SlH (fpe , z) = 3. SlH (fpe , z) =

νξ (an ) H

, n < pe .

n νξ (ap e ) H pe νξ (ap e ) H

pe

< <

νξ (an ) H

n νξ (an ) H n

y InH (ape ) no es potencia p e . y InH (ape ) es potencia p e .

on (dados por Queremos optimizar SlH (fpe , z) para los cambios de la secci´ uz + α, para u, α ∈ OV (d −1) , u unidad). Proposici´ on • Si se da 1 ´ o 2, ning´ un cambio uz + α aumenta la pendiente. Diremos que a escrito en forma normal. fpe (z) est´ • Si se da 3, existe un algoritmo de limpieza (cambios de secci´ on) finito que aumenta la pendiente y que lleva a un caso 1 ´ o 2 (forma normal). Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 18 / 22

Definiciones

Fijamos V

Caracter´ıstica 0 (d)

β

−→ V

(d−1)

Caracter´ıstica p

y una presentaci´ on local (digamos Pℓ) e

G ∼ OV (d ) [fpe (z)W p , ∆j (fpe )W p

e

−j

]1≤j≤pe −1 ⊙ RG,β .

Definici´ on La pendiente excepcional de G relativa a z respecto de Pℓ es ¯ ˘ νξH (aj ) , ord(RG,β )(ξH ) . SlH (G, Pℓ, z) := m´ın e 1≤j≤p j

Teorema El c´ alculo de la pendiente se puede reducir a: ¯ ˘ νξH (ape ) , ord(RG,β )(ξH ) . SlH (G, Pℓ, z) = e p

Observaci´ on La informaci´ on relevante est´ a centrada en RG,β y ape . Este Teorema es, en cierto modo, un an´ alogo a la reducci´ on al caso puramente inseparable en ξH . Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 19 / 22

Definiciones

Fijamos V

Caracter´ıstica 0 (d)

β

−→ V

(d−1)

Caracter´ıstica p

y una presentaci´ on local (digamos Pℓ) e

G ∼ OV (d ) [fpe (z)W p , ∆j (fpe )W p

e

−j

]1≤j≤pe −1 ⊙ RG,β .

Definici´ on La pendiente excepcional de G relativa a z respecto de Pℓ es ¯ ˘ νξH (aj ) , ord(RG,β )(ξH ) . SlH (G, Pℓ, z) := m´ın e 1≤j≤p j

Teorema El c´ alculo de la pendiente se puede reducir a: ¯ ˘ νξH (ape ) , ord(RG,β )(ξH ) . SlH (G, Pℓ, z) = e p

Observaci´ on La informaci´ on relevante est´ a centrada en RG,β y ape . Este Teorema es, en cierto modo, un an´ alogo a la reducci´ on al caso puramente inseparable en ξH . Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 19 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Definici´ on a en forma Sea Pℓ una presentaci´ on local, z una secci´ on de β tal que fpe (z) est´ normal. Se define la pendiente virtual de H como el n´ umero racional hH := SlH (G, Pℓ, z). s Teorema El n´ umero racional hsH es independiente de la elecci´ on de β, Pℓ y z con las aximo valor que puede dar una propiedades anteriores. De hecho, hsH es el m´ e Pℓ f ye pendiente excepcional, i.e., para cualesquiera β, z se cumple hH f e ≥ SlH (G, Pℓ, z ). s

Corolario La pendiente virtual de H,

hH s

, define una inclusi´ on ´ optima

G ⊂ hziW ⊙ I (H)hH W s . De hecho, la definici´ on de la pendiente virtual es global. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 20 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Teorema El ´ algebra monomial definida de forma global por las pendientes virtuales de cada hipersuperficie excepcional Hi : Mr W s = OV (d −1) [I (H1 )h1 . . . I (Hr )hr W s ] es tal que, localmente en cada punto, existe una secci´ on z ∈ OV (d ) , G ⊂ hziW ⊙ Mr W s y es ´ optima para esta inclusi´ on, i.e., es el ´ algebra m´ as peque˜ na que contiene a RG,β y a los coeficientes aj W j (j = 1, . . . , p e ). Esta ´ algebra Mr W s recibe el nombre de ´ algebra monomial virtual. Proposici´ on La resoluci´ on combinatoria de Mr W s en OV (d −1) induce un alargamiento de la sucesi´ on de transformaciones: Gr+1 GN G Gr V (d) o

... o

(d)

Vr

o

(d) Vr+1 o

... o

(d)

VN

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 21 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Teorema El ´ algebra monomial definida de forma global por las pendientes virtuales de cada hipersuperficie excepcional Hi : Mr W s = OV (d −1) [I (H1 )h1 . . . I (Hr )hr W s ] es tal que, localmente en cada punto, existe una secci´ on z ∈ OV (d ) , G ⊂ hziW ⊙ Mr W s y es ´ optima para esta inclusi´ on, i.e., es el ´ algebra m´ as peque˜ na que contiene a RG,β y a los coeficientes aj W j (j = 1, . . . , p e ). Esta ´ algebra Mr W s recibe el nombre de ´ algebra monomial virtual. Proposici´ on La resoluci´ on combinatoria de Mr W s en OV (d −1) induce un alargamiento de la sucesi´ on de transformaciones: Gr+1 GN G Gr V (d) o

... o

(d)

Vr

o

(d) Vr+1 o

... o

(d)

VN

Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 21 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Aplicaciones de los resultados de la memoria 1

2

A. Benito, The τ -invariant and elimination. Preprint 2009. 24 pp. http://arxiv.org/abs/1001.3126 A. Benito, O. E. Villamayor U., Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic. Preprint 2010. 66 pp. Se define una funci´ on inductiva v − ord (d−1) : Sing(Gr ) −→ Q≥0 extendiendo la definici´ on de pendiente a puntos arbitrarios. Se generaliza la definici´ on de Mr W s . Se caracteriza un ´ analogo al caso monomial en caracter´ıstica positiva (caso fuertemente monomial) en t´erminos de Mr W s y v − ord (d−1) . Este caso implica resoluci´ on de singularidades. ?? Caso monomial _ _ _ _ _ _ +3 Monomial fuerte Pero... para dimensi´ on 2, se presenta una demostraci´ on sencilla alternativa a la de Cossart-Jannsen-Saito de resoluci´ on inmersa.

3

A. Benito, O. E. Villamayor U., The inductive function and Hironaka’s weak equivalence. En preparaci´ on. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 22 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Aplicaciones de los resultados de la memoria 1

2

A. Benito, The τ -invariant and elimination. Preprint 2009. 24 pp. http://arxiv.org/abs/1001.3126 A. Benito, O. E. Villamayor U., Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic. Preprint 2010. 66 pp. Se define una funci´ on inductiva v − ord (d−1) : Sing(Gr ) −→ Q≥0 extendiendo la definici´ on de pendiente a puntos arbitrarios. Se generaliza la definici´ on de Mr W s . Se caracteriza un ´ analogo al caso monomial en caracter´ıstica positiva (caso fuertemente monomial) en t´erminos de Mr W s y v − ord (d−1) . Este caso implica resoluci´ on de singularidades. ?? Caso monomial _ _ _ _ _ _ +3 Monomial fuerte Pero... para dimensi´ on 2, se presenta una demostraci´ on sencilla alternativa a la de Cossart-Jannsen-Saito de resoluci´ on inmersa.

3

A. Benito, O. E. Villamayor U., The inductive function and Hironaka’s weak equivalence. En preparaci´ on. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 22 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Aplicaciones de los resultados de la memoria 1

2

A. Benito, The τ -invariant and elimination. Preprint 2009. 24 pp. http://arxiv.org/abs/1001.3126 A. Benito, O. E. Villamayor U., Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic. Preprint 2010. 66 pp. Se define una funci´ on inductiva v − ord (d−1) : Sing(Gr ) −→ Q≥0 extendiendo la definici´ on de pendiente a puntos arbitrarios. Se generaliza la definici´ on de Mr W s . Se caracteriza un ´ analogo al caso monomial en caracter´ıstica positiva (caso fuertemente monomial) en t´erminos de Mr W s y v − ord (d−1) . Este caso implica resoluci´ on de singularidades. ?? Caso monomial _ _ _ _ _ _ +3 Monomial fuerte Pero... para dimensi´ on 2, se presenta una demostraci´ on sencilla alternativa a la de Cossart-Jannsen-Saito de resoluci´ on inmersa.

3

A. Benito, O. E. Villamayor U., The inductive function and Hironaka’s weak equivalence. En preparaci´ on. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 22 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Aplicaciones de los resultados de la memoria 1

2

A. Benito, The τ -invariant and elimination. Preprint 2009. 24 pp. http://arxiv.org/abs/1001.3126 A. Benito, O. E. Villamayor U., Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic. Preprint 2010. 66 pp. Se define una funci´ on inductiva v − ord (d−1) : Sing(Gr ) −→ Q≥0 extendiendo la definici´ on de pendiente a puntos arbitrarios. Se generaliza la definici´ on de Mr W s . Se caracteriza un ´ analogo al caso monomial en caracter´ıstica positiva (caso fuertemente monomial) en t´erminos de Mr W s y v − ord (d−1) . Este caso implica resoluci´ on de singularidades. ?? Caso monomial _ _ _ _ _ _ +3 Monomial fuerte Pero... para dimensi´ on 2, se presenta una demostraci´ on sencilla alternativa a la de Cossart-Jannsen-Saito de resoluci´ on inmersa.

3

A. Benito, O. E. Villamayor U., The inductive function and Hironaka’s weak equivalence. En preparaci´ on. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 22 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Aplicaciones de los resultados de la memoria 1

2

A. Benito, The τ -invariant and elimination. Preprint 2009. 24 pp. http://arxiv.org/abs/1001.3126 A. Benito, O. E. Villamayor U., Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic. Preprint 2010. 66 pp. Se define una funci´ on inductiva v − ord (d−1) : Sing(Gr ) −→ Q≥0 extendiendo la definici´ on de pendiente a puntos arbitrarios. Se generaliza la definici´ on de Mr W s . Se caracteriza un ´ analogo al caso monomial en caracter´ıstica positiva (caso fuertemente monomial) en t´erminos de Mr W s y v − ord (d−1) . Este caso implica resoluci´ on de singularidades. ?? Caso monomial _ _ _ _ _ _ +3 Monomial fuerte Pero... para dimensi´ on 2, se presenta una demostraci´ on sencilla alternativa a la de Cossart-Jannsen-Saito de resoluci´ on inmersa.

3

A. Benito, O. E. Villamayor U., The inductive function and Hironaka’s weak equivalence. En preparaci´ on. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 22 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Aplicaciones de los resultados de la memoria 1

2

A. Benito, The τ -invariant and elimination. Preprint 2009. 24 pp. http://arxiv.org/abs/1001.3126 A. Benito, O. E. Villamayor U., Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic. Preprint 2010. 66 pp. Se define una funci´ on inductiva v − ord (d−1) : Sing(Gr ) −→ Q≥0 extendiendo la definici´ on de pendiente a puntos arbitrarios. Se generaliza la definici´ on de Mr W s . Se caracteriza un ´ analogo al caso monomial en caracter´ıstica positiva (caso fuertemente monomial) en t´erminos de Mr W s y v − ord (d−1) . Este caso implica resoluci´ on de singularidades. ?? Caso monomial _ _ _ _ _ _ +3 Monomial fuerte Pero... para dimensi´ on 2, se presenta una demostraci´ on sencilla alternativa a la de Cossart-Jannsen-Saito de resoluci´ on inmersa.

3

A. Benito, O. E. Villamayor U., The inductive function and Hironaka’s weak equivalence. En preparaci´ on. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 22 / 22

Definiciones

Caracter´ıstica 0

Caracter´ıstica p

Aplicaciones de los resultados de la memoria 1

2

A. Benito, The τ -invariant and elimination. Preprint 2009. 24 pp. http://arxiv.org/abs/1001.3126 A. Benito, O. E. Villamayor U., Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic. Preprint 2010. 66 pp. Se define una funci´ on inductiva v − ord (d−1) : Sing(Gr ) −→ Q≥0 extendiendo la definici´ on de pendiente a puntos arbitrarios. Se generaliza la definici´ on de Mr W s . Se caracteriza un ´ analogo al caso monomial en caracter´ıstica positiva (caso fuertemente monomial) en t´erminos de Mr W s y v − ord (d−1) . Este caso implica resoluci´ on de singularidades. ?? Caso monomial _ _ _ _ _ _ +3 Monomial fuerte Pero... para dimensi´ on 2, se presenta una demostraci´ on sencilla alternativa a la de Cossart-Jannsen-Saito de resoluci´ on inmersa.

3

A. Benito, O. E. Villamayor U., The inductive function and Hironaka’s weak equivalence. En preparaci´ on. Invariantes de singularidades en caracter´ıstica positiva 22 / 22