´ Algebra y Ecuaciones Diferenciales Lineales y Matem´aticas II E.T.S. Ingenieros de Telecomunicaci´on I.T. Telecomunicaci´on Esp. Telem´atica y Sistemas de Telecomunicaci´on Curso 2009-2010 Tema 9: Introducci´on a los problemas de contorno Jorge Mozo Fern´andez Dpto. Matem´atica Aplicada

Tema 9

Introducci´ on a los problemas de contorno

9.1.

Introducci´ on

Dedicaremos un breve cap´ıtulo a la introducci´on de un tipo de problemas diferentes de los llamados de valor inicial que hemos estudiado en el tema anterior. Estos son los problemas de contorno, en los que se fijan los valores de la soluci´ on en los extremos de un intervalo. Comencemos con un ejemplo que nos permitir´a ilustrar algunos de los problemas que vamos a tratar. Ejemplo 9.1 Una cuerda el´ astica de longitud L, sujeta por sus dos extremos, est´a sometida a vibraci´on. Su posici´ on en el instante inicial viene dada por la funci´on f (x) (x ∈ [0, L]), y su velocidad inicial, por g(x). Sea u(x, t) la funci´ on de dos variables que denota la posici´on de la cuerda en el instante t. Consideraciones f´ısicas que no corresponde detallar aqu´ı muestran que la funci´on u(x, t) verifica la ecuaci´ on utt = α2 uxx , α > 0 (donde denotamos las derivadas parciales con sub´ındices). Las condiciones anteriores se expresan por dos conjuntos de ecuaciones: u(0, t) = u(L, t) = 0,

∀t ≥ 0

u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x)

(condiciones de contorno), (condiciones iniciales).

Una t´ecnica cl´ asica para tratar este tipo de ecuaciones es el m´etodo de separaci´on de variables. Consiste en buscar soluciones en la forma u(x, t) = X(x)T (t), que satisfagan la ecuaci´on diferencial y las condiciones de contorno, es decir, X(x)T 00 (t) = α2 X 00 (x)T (t); Si operamos, escribimos

X(0) = 0,

X(L) = 0.

X 00 (x) 1 T 00 (t) = 2· = −λ, X(x) α T (t)

ya que tenemos una igualdad entre una funci´on de x y una funci´on de t. Tenemos planteada, pues, la ecuaci´ on diferencial siguiente: X 00 (x) + λX(x) = 0; 9-1

X(0) = 0;

X(L) = 0.

´ A LOS PROBLEMAS DE CONTORNO TEMA 9. INTRODUCCION

9-2

Esto no es un problema de valores iniciales, puesto que no imponemos en un punto los valores de la funci´ on inc´ ognita y su derivada. Al contrario, imponemos valores de la soluci´on en dos puntos, los extremos del intervalo [0, L]. El problema anterior se denomina problema de contorno: nos interesa hallar valores de la constante λ tales que el problema anterior tenga alguna soluci´on no nula. Nos dedicaremos en este tema al estudio de algunos problemas b´asicos de contorno para ecuaciones de segundo orden. La teor´ıa de estos problemas es muy rica, y nos limitaremos aqu´ı a considerar algunos casos particulares que precisaremos en temas posteriores. As´ı pues, consideremos una ecuaci´ on diferencial de segundo orden a(x)y 00 (x) + b(x)y 0 (x) + c(x)y(x) = f (x),

(E)

con a(x) 6= 0 en el intervalo I = [a, b]. Llamamos problema de valores en la frontera al de hallar las soluciones del siguiente sistema:  a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = f (x)   a11 y(a) + a12 y 0 (a) + b11 y(b) + b12 y 0 (b) = c1   a21 y(a) + a22 y 0 (a) + b21 y(b) + b22 y 0 (b) = c2 , donde las dos u ´ltimas condiciones son las llamadas condiciones de contorno. Si c1 = c2 = 0, dichas condiciones se llaman homog´ eneas. Hay distintos tipos de condiciones de contorno: 1. Condiciones separadas: a1 y(a) + a2 y 0 (a) 0

b1 y(b) + b2 y (b)

= c1 = c2 .

2. Condiciones de tipo Dirichlet: son aquellas en las que s´olo intervienen los valores de y(x) en los extremos del intervalo, no las derivadas: y(a) = c1 ;

y(b) = c2 .

3. Condiciones de tipo Neumann. S´ olo intervienen las derivadas y 0 (a) = c1 ;

y 0 (b) = c2 .

4. Condiciones peri´ odicas. y(0) = y(T ), ´o y 0 (0) = y 0 (T ). Haremos algunas reducciones para simplificar la situaci´on. En particular consideraremos en este tema u ´nicamente condiciones homog´eneas (f (x) = 0). Si (E) es una ecuaci´on de segundo orden, la multiplicamos por una funci´ on g(x) no nula: g(x)a(x)y 00 + g(x)b(x)y 0 + g(x)c(x)y = 0. Igualamos (g(x)a(x))0 = g(x)b(x), es decir, g 0 (x)a(x) + g(x)(a0 (x) − b(x)) = 0. Despejando, Z  1 b(x) g(x) = C · exp dx . a(x) a(x) As´ı, podemos suponer que (E) es de la forma p(x)y 00 + p0 (x)y 0 + q(x)y = 0, o lo que es lo mismo, (py 0 )0 + qy = 0. Supondremos en adelante que la ecuaci´on (E) est´a en esta forma, que llamaremos forma autoadjunta, y que las condiciones de contorno son separadas y homog´eneas. Adem´as, p(x) > 0 en I = [a, b]. Supondremos asimismo que p(x) ∈ C 1 [a, b], y q(x) ∈ C[a, b].

´ 9.1. INTRODUCCION

9-3

Proposici´ on 9.2 El conjunto de soluciones del problema de contorno (p(x)y 0 (x))0 + q(x)y(x) = 0 a1 y(a) + a2 y 0 (a) = 0;

b1 y(b) + b2 y 0 (b) = 0.

es un R-espacio vectorial de dimensi´ on a lo m´as dos. Demostraci´ on : La comprobaci´ on de que es un espacio vectorial es evidente. Como las soluciones del problema de contorno constituyen un subespacio de las de la ecuaci´ on (E), la dimensi´ on es menor o igual que dos.

Inciso: Algunas cuestiones sobre funciones con valores complejos De manera general, vamos a considerar funciones complejas definidas en [a, b]. Si f : [a, b] → C, identificando C con R2 podemos escribir f (x) = u(x) + iv(x), donde u, v : [a, b] → R. La funci´ on f es continua si y s´ olo si lo son u y v. Asimismo, f es derivable en un punto x0 ∈ (a, b) si lo son u(x), v(x), y en ese caso, f 0 (x0 ) = u0 (x0 ) + iv 0 (x0 ). Las reglas de derivaci´on habituales se aplican aqu´ı sin modificaci´ on. As´ı, por ejemplo, si f (x) = eix = cos x + i sen x, entonces f 0 (x) = ix ie = i(cos x + i sen x) = −i sen x + i cos x, lo que es lo mismo que decir que (cos x)0 = − sen x, (sen x)0 = cos x. Si f : [a, b] → C, decimos que es integrable en [a, b] si lo son u(x), v(x). En ese caso, Z

b

b

Z f (x)dx =

Z

b

u(x)dx + i

a

a

v(x)dx. a

De nuevo, las reglas habituales de integraci´on, as´ı como los resultados fundamentales, se verifican aqu´ı sin variaciones. En particular, si f es continua a trozos en [a, b], es integrable. Asimismo, tambi´en se verifica el teorema fundamental del c´alculo: si f : [a, b] → C es continua, la funci´on Z x F (x) := f (t)dt a

es derivable, y F 0 (x) = f (x). De aqu´ı,

Rb a

f 0 (x)dx = f (b) − f (a).

Recordemos que si f, g : [a, b] → R son dos funciones continuas, hemos definido su producto escalar como Z b hf, gi = f (x)g(x)dx. a

An´ alogamente, si f, g : [a, b] → C son complejas, por analog´ıa con lo que hicimos con los vectores de Cn , definimos su producto escalar como Z hf, gi =

b

f (x)g(x)dx. a

Si f , g son s´ olo continuas a trozos, podemos definir an´alogamente hf, gi, aunque en este caso no 2 es un producto escalar, puesto que puede haber funciones f , no id´enticamente nulas, con ||f || = hf, f i = 6 0. Para evitar este problema, consideraremos identificadas dos funciones continuas a trozos que difieran entre s´ı s´ olo en un n´ umero finito de puntos. En este caso, las propiedades del producto escalar siguen verific´ andose sin cambios. Asimismo, si r : [a, b] → R es una funci´on continua, y r(x) > 0 en [a, b], siempre se puede definir, para f, g : [a, b] → C continuas, su r(x)-producto escalar, como Z b hf, gir = f (x)g(x)r(x)dx. a

´ A LOS PROBLEMAS DE CONTORNO TEMA 9. INTRODUCCION

9-4

De nuevo, se puede definir an´ alogamente el r(x)-producto escalar de dos funciones continuas a trozos, con las salvedades hechas anteriormente. Nos interesa en particular recordar la propiedad siguiente: si f1 , . . . , fn : [a, b] → C son funciones no nulas y r(x)-ortogonales (es decir, si i 6= j, Rb hfi , fj ir = a fi (x)fj (x)r(x)dx = 0), entonces son linealmente independientes. Dada una ecuaci´ on (py 0 )0 + qy = 0, con lo anteriormente expuesto, denotemos por L el operador, 2 actuando sobre C ([a, b]), dado por L[u] = (pu0 )0 + qu. Proposici´ on 9.3 (Identidad de Lagrange) hu, L[v]i − hL[u], vi = p(b)w(u, v¯)(b) − p(a)w(u, v¯)(a), donde

u(t) v¯(t) . w(u, v¯)(t) = 0 u (t) v¯0 (t)

Demostraci´ on : En efecto, b

Z hu, L[v]i − hL[u], vi =

u((pv 0 )0 + q¯ v )dt −

a b

Z = a

Z

b

((pu0 )0 + qu)¯ v dt

a

 d  p(t)(u(t)¯ v 0 (t) − u0 (t)¯ v (t)) , dt

de donde se concluye.

La identidad anterior nos servir´ a para mostrar los principales resultados sobre problemas de contorno que vamos a abordar.

9.2.

Problemas de autovalores y autofunciones de Sturm-Liouville

Generalizando el problema planteado al principio del tema, con frecuencia en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales se debe resolver la siguiente cuesti´on: Hallar los valores λ para los que el problema   (pu0 )0 + qu + λr · u = 0 a1 u(a) + a2 u0 (a) = 0  b1 u(b) + b2 u0 (b) = 0 admite alguna soluci´ on u : [a, b] → R no nula, donde r : [a, b] → R es una funci´on continua con r(x) > 0. Supongamos (a1 , a2 ) 6= (0, 0) y (b1 , b2 ) 6= (0, 0). El problema anterior se denomina problema de autovalores y autofunciones de Sturm-Liouville. Un escalar λ para el que exista u 6= 0 verificando lo anterior se denomina un autovalor y la funci´ on u una autofunci´ on. La identidad de Lagrange mostrada anteriormente permite probar los resultados b´ asicos sobre autovalores y autofunciones que precisaremos. Proposici´ on 9.4 Consideremos un problema de contorno de Sturm-Liouville. Entonces se tiene: 1. Los autovalores del problema son reales. 2. Si λ, µ son dos autovalores distintos, y u, v autofunciones respectivas, entonces u, v son r(x)ortogonales.

9.2. PROBLEMAS DE AUTOVALORES Y AUTOFUNCIONES DE STURM-LIOUVILLE

9-5

Demostraci´ on : Observemos en primer lugar que si u, v verifican las condiciones de contorno, esto se traduce en que    
u(b) v¯(b)

u(a) v¯(a)
b1 b2 a1 a2 = 0 0 , = 0 0 ; 0 0 0 0 u (b) v¯ (b) u (a) v¯ (a) lo cual implica que w(u, v¯)(a) = w(u, v¯)(b) = 0. La identidad de Lagrange se traduce en hu, L[v]i − hL[u], vi = 0. Sean λ, µ dos autovalores, y u, v autofunciones respectivas del problema de Sturm-Liouville. Entonces 0 = hu, L[v]i − hL[u], vi = hu, −µr(x)vi − h−λr(x)u, vi Z b u(t)v(t)r(t)dt. = (λ − µ ¯) a

Si λ = µ y u = v, la igualdad anterior es ¯ · 0 = (λ − λ)

b

Z

r(t) |u(t)|2 dt. a

¯ = 0, de donde λ ∈ R. Como u(t) 6= 0 y r(t) > 0, se deduce que λ − λ Si λ 6= µ, la igualdad anterior es Z b u(t)v(t)r(t) = 0, a

es decir, hu, vir = 0.

Sea ahora λ un autovalor, y u(x), v(x) dos autofunciones asociadas a λ, que podemos suponer reales, en virtud de lo anterior. As´ı,  
u(a) v¯(a)
a1 a2 = 0 0 , u0 (a) v¯0 (a) con lo que w(u, v)(a) = 0. Por lo tanto, u, v son linealmente dependientes. Es decir, el conjunto de autofunciones asociadas al autovalor λ tiene dimensi´on 1. Es posible demostrar tambi´en el resultado siguiente, que no haremos aqu´ı: Proposici´ on 9.5 El conjunto de autovalores de un problema de Sturm-Liouville es una sucesi´on λ1 < λ2 < · · · < λn < · · · , con l´ım λn = +∞. n→∞

En particular, por ejemplo, todos los autovalores son positivos de uno en adelante. En muchos de los casos que encontraremos podemos precisar a´ un m´as: Proposici´ on 9.6 Consideremos el problema de Sturm-Liouville en [a, b],   (pu0 )0 + qu + λru = 0 a1 u(a) + a2 u0 (a) = 0  b1 u(b) + b2 u0 (b) = 0, donde suponemos que q(x) ≤ 0 en [a, b], a1 a2 ≤ 0 y b1 b2 ≥ 0 (y como siempre p(x) > 0, r(x) > 0). Entonces, si λ es un autovalor, λ ≥ 0. Demostraci´ on : Sea u una autofunci´ on no nula asociada a λ. Se tiene que (pu0 )0 + qu + λru = 0. Multiplicando por u e integrando, Z b Z b 0= u(pu0 )0 dt + (q + λr)u2 dt = a

a

b = p(t)u(t)u0 (t) a −

b

Z a

p(t)u0 (t)2 dt +

b

Z

(q + λr)u2 dt. a

´ A LOS PROBLEMAS DE CONTORNO TEMA 9. INTRODUCCION

9-6 As´ı, b

Z

r(t)u(t)2 dt =

λ a

Z

b

p(t)u0 (t)2 dt −

a

Z

b

q(t)u(t)2 dt + p(a)u(a)u0 (a) − p(b)u(b)u0 (b).

a

Los dos primeros t´erminos del segundo miembro son positivos (¿por qu´e?). De la primera condici´ on de contorno obtenemos que a1 a2 u(a)u0 (a) ≤ 0. Si u(a)u0 (a) < 0, entonces a1 a2 ≥ 0, y as´ı, a1 a2 = 0. En ese caso, u(a) = 0 o ´ bien u0 (a) = 0, en contra de 0 0 las hip´ otesis. As´ı, u(a)u (a) ≥ 0. An´ alogamente, u(b)u (b) ≤ 0, y en conclusi´ on, b

Z

r(t)u(t)2 dt ≥ 0,

λ a

de donde λ ≥ 0.

Ejemplo 9.7 Calculemos los autovalores y las autofunciones de  00  u + λu = 0 u(0) = 0  u(L) = 0. Por el resultado anterior, λ ≥ 0. Si λ = 0, u00 = 0 tiene por soluciones u(x) = a + bx. Si u(0) = 0, debe ser a = 0; si u(L) = 0, b = 0, y λ = 0 no es autovalor. Sea λ = µ2 > 0. Las soluciones de u00 + µ2 u = 0 son C1 cos µx + C2 sen µx. Si u(0) = 0, C1 = 0; si u(L) = C2 sen µL = 0, debe ser µL = nπ (n > 0), y as´ı, nπ n2 π 2 ; λ= . L L2  nπ  n2 π 2 Los autovalores son λn = , y u (x) = sen x es una base de autofunciones asociada a λn . n L2 L µ=

Ejemplo 9.8 Calcular autovalores y autofunciones de  00  u + λu = 0 u0 (0) = 0  u0 (L) = 0. Al igual que antes, λ ≥ 0. Si λ = 0, u(x) = a + bx, y u0 (x) = b. Las condiciones de contorno implican que u(x) = a. Tomamos u0 (x) = 1 como base de autofunciones asociada a este autovalor. Si λ = µ2 > 0, u(x) = C1 cos µx + C2 sen µx n2 π 2 , y las autofunciones como antes. Razonando de manera an´ aloga obtenemos los autovalores λn = L2  nπ  generadas por un (x) = cos x . L

9.3. EJERCICIOS

9.3.

9-7

Ejercicios

1. Calcula la soluci´ on, si existe, de los siguientes problemas de contorno, de manera directa. a) y 00 + 2y 0 + 26y = 0; y(0) = 1; y(π) = −e−π . 1 b) y 00 − y = x; y(0) = 3; y 0 (1) = 2e − − 1. e c) y 00 + y = x; y 0 (0) = 0; y 0 (π) = 0. 4 d ) x2 y 00 + xy 0 + y = ; y(1) = 2; y(eπ ) = 2e−π . x 2. Escr´ıbanse las siguiente ecuaciones diferenciales de segundo orden en forma autoadjunta, multiplic´ andolas por una funci´ on no nula conveniente: a) y 00 + 6y 0 + 10y = 0. b) y 00 + y 0 + y = 0. c) x2 y 00 + 3xy 0 + 2y = 0. 3. Calcula autovalores y autofunciones de los siguientes problemas de Sturm-Liouville: a) y 00 + λy = 0; y(0) = 0; y 0 (1) = 0. b) y 00 + λy = 0; y 0 (0) = 0; y(b) = 0 (b > 0). c) (x3 y 0 (x))0 + λxy(x) = 0; y(1) = 0; y(e) = 0. 4. Considera el problema de contorno y 00 − 2y 0 + (1 + λ)y = 0;

y(0) = 0;

y(1) = 0.

a) Realiza un cambio de variable y(x) = u(x)z(x) de tal manera que la nueva ecuaci´on, en z(x), no tenga t´ermino en z 0 (x). b) Resuelve el nuevo problema de contorno resultante, y deduce los autovalores y autofunciones del problema original.