Guía de Trabajos Prácticos Nº2

ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)

ÁLGEBRA II

2011

(L. S. I. – P. I.)

G Guuííaa ddee TTrraabbaajjooss P Prrááccttiiccooss N Nºº 22 Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

Espacios Vectoriales

1.- Dados los vectores u, v, w, r = 2, s = 3 verifique gráficamente: u

v w

a) b) c) d)

u+v=v+u (u + v) + w = u + (v + w) (r + s) w = r w + s w r (v + w) = r v + r w

2.- Sea V = { (x, y) / x, y ∈ R},con la suma habitual de R2 y el producto para λ ∈R definido de la siguiente manera : a) λ (x,y) = (λ x,0) b) λ (x,y) = (λ x,λ y) c) λ (x,y) = (λ + λx – 1,λ + λy - 1) d) λ (x,y) = (λ y,λ x) Diga para cada uno de los casos, si (V, +, R, .) tiene estructura de espacio vectorial. 3.- Sea S el conjunto de todas las sucesiones de números reales. Si x = (x n)n∈N = (x1, x2, x3,...) e y = (y n) n∈N = (y1, y2, y3,...) son elementos de S y λ ∈ R, se definen las sucesiones x + y y λx mediante las fórmulas: x + y = (x n + y n) n∈N = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3,...) λx = (λ x n) n∈N = (λx1, λx2, λx3,...) Pruebe que con las operaciones dadas por estas fórmulas S es un espacio vectorial real. 4.- Sea V = {x / x ∈ R, x > 0} con las siguientes leyes definidas: Suma: Para x ∈ V, y ∈V se define x ⊕ y = x . y r Multiplicación: r ∈ V, x ∈ V se define r ⊗ x = x Muestre que V es un espacio vectorial sobre sí mismo. 5.- Sea el espacio vectorial

z

n 2

sobre el cuerpo Z2.

Observación: n z 2 es el conjunto de todas las n-adas de elementos del cuerpo Z2. Las operaciones suma y multiplicación por un escalar se definen en Verifique que para v = (1,1,0,0,1,0) y w = (0,1,1,0,1,1) en a) v + w = w + v

b) – v = v

z

6 2

c) r . v ∈

z

n 2

como en Rn.

se cumple que:

z

6 2

para todo r en Z2

6.- Sea V = { x ∈ R / x > 0 } con la suma y la multiplicación por escalar definidas como sigue: Suma: Sean x, y ∈ V; entonces x + y = x + y

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Multiplicación: Sean r ∈ R, x ∈ V; entonces rx = r . x Determine si (V, +, R, . ) tiene estructura de espacio vectorial. 7.- Determine si V = { A ∈ R2x2 / a 12 = 3} con la adición matricial y el producto por escalares de R es un espacio vectorial. 8.- Determine si S es un Subespacio vectorial de V en cada caso. 2 2 2 a) Sea V = R y i) S = {(x, y) )∈ R / y = x-2} ii) S ={(x, y)∈ R /y = 3x}. b) Sea V =

R

nxn

t

c) Sea V = CCnxn d) Sea V = CC2 e) Sea V =

3 R

z

3 2

ii) S= { A / A∈ cc }

S = {z ∈ CC2 / z tiene componentes puramente imaginaria} 3

3

y i) S = {P∈ P R / P(0) = 0}

ii) S = { P∈ P R / P tiene grado 2}

1

i) S = {f ∈C[0,1]/ ∫ f ( x)dx = 0 }

f) Sea V = C[0,1] g) Sea V =

nxn

i) S= {A∈ CCnxn / A =A } y

P

ii) S={ (aij) / aij > 0,∀ i,j = 1,2,...,n }

i) S ={(aij)/ aij = 0 ,∀ i,j = 1,2,...,n}

R

0

y S ={(0,0,0), (1,0,0)}.

ii) S = {f ∈C[0,1]/ ∃µ∈R: f(x)< µ } ii) S = {(1,1,0), (0,1,0)}

Observación: Un subconjunto de

z

n 2

se llama código lineal si y solo si es un Subespacio de

z

n 2

9.- Sea V = RR2 x 2 , sean S1 = { A ∈ RR2 x 2 / a11 = 0} y S2 =  A ∈ RR2 x 2 / A =  −b a   a b 





a) Demuestre que S1y S2 son subespacios de V. b) Caracterice el conjunto S = S1 ∩ S2 y muestre que es un subespacio de V.

10.- Dados los vectores u = (1,0), v = (0,1), w = (1,-1). Determine gráfica y analíticamente cada uno de ellos como combinación lineal de los otros. 11.- Determine si el/los siguientes vectores se encuentran en el subespacio generado por A. a) u = (1,-5,0) y v = (1,1,1) con A = {(2,-1,3),(1,1,2)}

 1 2  3 2   − 3 2 0 0 b) B =  y N = con A =  ,     − 4 1  0 0  − 2 1   − 1 1   c) P(x) = 2x+x2

y Q(x) = 2 – 3x + 4x2 + x3 con A = {x + x2, x + x3, x + x2 + x3}

1  2    3  4 d) v =   , w =   , con A =  ,     5 6 1  4   e) H (x) = cos 2x definida en R, con A = { cos2(x) , sen2(x)}

12.- Determine el subespacio generado por los siguientes conjuntos. 2 http://algebra-lineal.blogspot.com

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a) A ={(1,2),(3,4)} en R2

1  2  b) A=  ,   en R2x1 1  2 

 2   3   5        c) A =  0 ,  1 ,  1  en R3x1  1   2   3       

d) A = {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}en R1x3

e) A = {1-x, 3 – x2}en

P

2

f) A = {3 – x2, x, 1-x}en

R

P

2

R

2 1  0 0 3 − 1 0 0  1 0 1 2 2 − 1  2x2 g) A=  , , , h) A =   en R     ,  ,    en  0 0   2 1  0 0  3 1   1 0 0 0 3 0   2

13.- R2x2Sea V = P R y u = 3x,

v = 2 x2,

w = 6x – 4x2. Muestre que el Subespacio generado

por A = {u, v, w} es el mismo que el generado por B = {u, v}. Justifique.

14.- Si A = {v1, v2, v3,...,vn}generan un espacio VF y si a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 +...+ an vn = 0v, en donde a1 ≠ 0 ponga en manifiesto que { v2, v3,...,vn } también generan VF. 15.- Dadas las siguientes matrices, determine el espacio fila y el espacio columna. 3 1  1 1 3 − 2 1   A = − 1 − 5 , B=  , C=       − 1 2 0  2 − 1  0 − 2 16.-Demuestre que A = {1, x2} genera los polinomios pares de

P

3 R

.

Observación: Se dice que un polinomio es par si sus términos son constantes multiplicadas por potencias pares de x.

17.- De los siguientes conjuntos de vectores determine cuales son linealmente independientes, en caso de dependencia lineal, exprese un vector como combinación lineal de los demás. a) A ={(2,0), (0, 1) } en R2

b) A = {(1,-3), (-2, 6)} en R2

c) A ={(1, i, 0), (0, 1, i), (i, i-1, -1)}en C3

d) A = {(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)}en R3

e) A ={x + 1, x2 – 2, x – 1, 3} en

P

1 2 − 2 3 − 1 5  g) A =  ,  ,   0 3  2 0  2 3  2

2 R

.

f) A = {1+ x, 2 - x}en

1

P

R

.

− 3 0 1 1 2 2 1 1  2x2 h)A =  , 0 0, 2 0, 1 1  en R 0 0         2

2

18.- Demuestre que los vectores (1, a, a ), (1, b, b ) y (1, c, c ) son linealmente independientes si a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c. 3 http://algebra-lineal.blogspot.com

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19.- Determine, si existen, los valores reales de c para que A = {(1 – c , 1+ c), (1+ c, 1 – c )} sea l.i.  0 1  0 − i  1 0   ,  ,    , muestre que S es l. i. en 1 0  i 0  0 − 1 

20.- Dado el conjunto S = 

c

2x2 c

.

Observación: El conjunto S se denomina conjunto de las matrices de espín de Pauli, que es empleado en el estudio del espín del electrón en mecánica cuántica. La independencia lineal de este conjunto es muy importante para este estudio.

21.- Determine si en los siguientes conjuntos de vectores en C [0,1] son linealmente dependientes o independientes

{

b) A = x, x , 3 x

a) A = { sen x, cos x}

}

22.- Sean f y g elementos de las funciones derivables en [0,1]. El Wronskiano de f y g está definido por W(f, g)(x) = f ( x)

g ( x)

. Demuestre que si f y g son l.d., entonces W(f, g)(x)=0

f ' ( x) g ' ( x)

23.- En cada uno de los casos del ejercicio 12 y 17 diga cuáles de los conjuntos dados pueden o no, ser base del espacio vectorial respectivo. Justifique. 24.- Determine si los siguientes conjuntos forman una base del espacio indicado. a) V=

P

3 R

; B = {x3-x + 2, x2 , 2}

 2 0 0 − 3 0 0  0 0  b) V = R2x2 ; B =  ,  ,  ,     0 0  0 0  0 1   − 1 0  

25.- Muestre que un conjunto de dos vectores de R3 no puede generar R3. 26.- Sean u = ( 2, -3), v = (4, -2), w = (-4, 3) vectores de R2. Sin realizar ningún cálculo diga porque A = {u, v, w} es linealmente dependiente. Justifique. 27.- Determine en cada caso una base y la dimensión del Subespacio fila y del Subespacio columna calculados en el ejercicio 15. ¿Qué conclusión extrae? 28.- Establezca si el siguiente conjunto es base del espacio de las matrices simétricas de orden 2 con traza cero.  0 1  1 0   A=   ,    1 0 0 − 1  29.- Determine una base y la dimensión de los siguientes subespacios. a) S = {(x, y, z) ∈ R3/ y = 2z} b) S = {ax 2 + bx + c ∈ PR 2 / a = −3c}  a b   2x2 ∈ R / a = d = −c    c d  

c) S = 

2

30.- Sea V= P R y B = {1, 1+x, 1+x2} y B’ = {1, x, x2} bases de V 4 http://algebra-lineal.blogspot.com

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a) Calcule las coordenadas del vector P(x) = 2 – 3x + 5x2 respecto de la base B. b) Calcule las coordenadas del vector P(x) = 2 – 3x + 5x2 respecto de la base B’. 1 1   c) Determine Q(x) y R(x) sabiendo que: [Q(x)]B = 2 , [R(x)]B’ =  2      − 3 − 3

31.- Sean U = {(x, y, z)/ x = y = 0}, V={(x, y, z)/ x = z}, W = {(0, 0, z)/ z∈ R} subespacios de R3. a) Caracterice U∩V y U∩W. Determine su dimensión b) Caracterice U+V y U +W. Determine su dimensión c) Verifique el teorema de las dimensiones. d) ¿Es R3 = U⊕V? Justifique. e) ¿Es R3 = U⊕W? Justifique. 32.- Sean U el subespacio de las matrices triangulares superiores y V el subespacio de las matrices triangulares inferiores de R3x3. ¿Es R3x3 = U⊕V? Justifique.

5 http://algebra-lineal.blogspot.com

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Á LG EB R A I I

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G Guuííaa C Coom mpplleem meennttaarriiaa N Nºº 22 EJERCICIOS RESUELTOS Espacios Vectoriales. Subespacios.

1- Sea F un cuerpo y sea F = {(a1, a2, ...,an) / ai ∈ F ∀ i=1,2,...,n). Se definen las siguientes leyes: Si (a1,a2,...,an), (b1,b2,...,bn) ∈ Fn y α ∈ F se tiene: (a1, a2 ,..., an) + (bl,b2,...,bn) = (a1 + b1, a2 + b2 , ..., an + bn) y α (a1, a2, ..., an) = (α a1, α a2 ,..., α an) Pruebe que (Fn,+,F,.) es un espacio vectorial Respuesta Sea V ≠ ∅ y F un cuerpo. Sean + : V x V→ V y • : F x V → V leyes interna y externa respectivamente. (V,+,F, .) es un espacio vectorial sii verifica los siguientes axiomas: V1) + es asociativa V2) Existe neutro en V con respecto a + V3) Todo elemento de V admite opuesto V4) + es conmutativa. V5) ∀ u, v ∈ V, ∀ a ∈ F: a (u + v) = a u + a v. V6)∀ v ∈ V, ∀ a,b ∈ F: (a + b)v = a v + b v. V7)∀ v ∈ V, ∀ a,b ∈ F: (ab)v = a(bv). V8) ∀ v ∈ V, 1 v = v Para que Fn sea un espacio vectorial sobre F, deben verificarse los 8 axiomas: V1) Sean (a1,...,an),(b1,...,bn),(cl,...,cn) ∈ F , entonces: [(a1,...,an) + (b1,...,bn)] + (c1,...,cn) =(1) =(a1+b1,…,an+bn)+(c1,…,cn)=((a1+b1)+c1,…,(an+bn)+cn)=(2) =(a1+(b1+c1),…,an+(bn+cn))=(a1,…,an)+(b1+c1,…,bn+cn)=(1) =(a1,…,an)+[(b1,…,bn)+(c1,…,cn)] Luego + es asociativa. V2) El vector nulo Ov = (0,0,...,0) es el neutro donde 0 es el neutro con respecto a + del cuerpo F. En efecto: Sea (a1, a2,..., an) ∈ Fn (l)

(2)

(a1, a2,..., an) + (0,0,...,0) = (a1 + 0, a2 + 0,..., an + 0) = (a 1, a 2,.., an) V3) v ∈ Fn, - v e F n/ v + (- v) = (- v) + v = Ov Efectivamente, si v = (a1, a2,...,an) entonces -v = (-a1,-a2,…,-an) donde cada componente de - v es la opuesta de la respectiva componente de v, por lo que: (1)

(2)

v + (-v) = (a1, a2,..., an) + (-a1, -a2,..., -an) = (a1- a1, a2 - a2,..., an - an) = (0, 0,..., 0) V4) Pruebe el alumno la conmutatividad. V5) Sean: u = (a1,a2,…,an), v = (b1,b2,…,bn) ∈ Fn y a ∈ F entonces: 6 http://algebra-lineal.blogspot.com

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(1)

(2)

a (u + v) = a ((a1, a2,..., an)+(b1, b2,..., bn)) = a (aj + bj, a2 + b2,.--, an + bn) = (3)

= (a (a1 + b1), a (a2 + b2),…, a (an + bn)) = (a a1 + a b1, a a2 + a b2,…, a an + a bn) = (1)

= (a a1, a a2,…,a an)+(a b1, a b2,…, a bn) = a (a1, a2…, an) + a (b1, b2,…, bn) = a u + a v Verifique el alumno los axiomas restantes. Nota (1) Por definición de + (2) Como las componentes, son elementos del cuerpo F, son válidas todas las propiedades para las leyes + y . definidas en F. (3) Por definición de la ley externa.

2- Sea K un subcuerpo del cuerpo F. Demuestre que F es un espacio vectorial sobre K. Respuesta Como F es un cuerpo se tiene que (F,+) es un grupo abeliano, luego se verifican los axiomas V1, V2, V3 y V4. Falta ver entonces, si se verifican los restantes. V5) Se debe probar que ∀ u, v ∈ F y ∀ a ∈ K: a(u + v) = au + av Pero si a ∈ K entonces a ∈ F por ser K ⊂ F, luego se trata de tres elementos del cuerpo F, en el que vale la distributividad del producto con respecto a la suma (se trataría de la distributividad por izquierda). V6) Ídem al anterior (en este caso se trataría de la distributividad en F por derecha). V7) Se debe probar que ∀ α, β ∈ K y ∀ v ∈ F: (α β) v = α (β v). Pero si α, β ∈ K entonces α, β ∈ F (por hipótesis), luego se tiene el producto de tres elementos de F, y por ser F un cuerpo el producto es asociativo. V8) 1 ∈ K por ser K un subcuerpo de F Luego ∀ v ∈ F: l.v = v, por ser 1 la unidad del cuerpo F. Observación; Analizando los ejercicios (1) y (2) y trabajando de forma análoga se puede demostrar que si K es un subcuerpo del cuerpo F, entonces (Fn ,+,K,.) es un espacio vectorial. De estas generalizaciones se desprenden algunas particularizaciones, lo que nos permite afirmar que: (R,+,R,.), (R,+,Q,.), (Rn,+,R,.), (Cn,+,C,.), (Cn,+,R,.) y otros son espacios vectoriales. Encuentre el alumno otros ejemplos.

3 - Sea V = R3R (espacio vectorial R3 sobre el cuerpo R). Determine si W es un subespacio de V donde: i) W= {(a,b,0)/a, b ∈ R} ii) W= {(a,b,c)/a=b2}

Respuesta Recordando las condiciones necesaria s y suficientes para que W sea subespacio de V: Sea V un despacio vectorial sobre el cuerpo F y sea W ≠ ∅ tal que W⊂V, entonces: (W,+,F, .) < (V,+,F,.) ⇔ i) ∀u,v∈W: u+v ∈ W ii) ∀a∈F , ∀ u∈W: au ∈ W 7 http://algebra-lineal.blogspot.com

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I)

II)

W ≠ ∅ pues (0,0,0) ∈ W (1). Además W ⊂ V por definición de W (2). Ahora bien, sean u = (a,b,0), v=(a',b',0) ∈ W y a ∈ F se tiene que: u + v = (a,b,0) + (a',b',0) = (a+a’,b+b’,0)∈W (3) a u = a (a, b, 0) = (a a, a b, 0) e W (4) De (1), (2), (3) y (4) se tiene que W es un subespacio de R3 W ≠ ∅ pues (0,0,0) ∈ W ya que 0 = 02 W ⊂ V por definición de W. Ahora bien, sean u=(a, b, c), v = (a’, b’, c’) ∈ W y a ∈ F esto implica que a = b2 y a'= b'2 (*) Ahora bien: u + v = (a, b, c) + (a’, b’, c’) = (a + a’, b + b’, c + c’) para que u + v pertenezca a W debe ocurrir que a + a’ = (b + b’)2 pero por (*) resulta que: a + a’ = b2 + b'2 ≠ (b + b’)2 luego u + v ∉ W y por lo tanto W no es un subespacio de V.

4- Sea AX = 0v un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas y sea W su conjunto solución. Pruebe que W es un subespacio de Rnx1 sobre R. Respuesta Si el sistema es determinado entonces W = {Ov } y se trata del subespacio trivial nulo. Si el sistema es indeterminado existen entonces infinitas soluciones de la forma:

‫ݔ‬ଵ ‫ݔ‬ଶ x = ൦ ⋮ ൪ ∈ Rnxl, ‫ݔ‬௡

luego W ⊂ Rnxl y además W ≠ ∅ pues W contiene al menos la solución trivial del sistema. Ahora bien: sean X' y X" dos soluciones cualesquiera del sistema y k ∈ R es decir: A X' = Ov y AX"=OV (a) se debe probar que X'+ X" ∈ W y k X' ∈ W Probar que X'+ X" ∈ W significa probar que X'+ X" satisface el sistema dado, es decir debe verificarse que A (X'+ X") = Ov (1)

(2)

Entonces: A (X'+ X") = A X’ + A X’’ = Ov + Ov = Ov luego X' + X" ∈ W (3)

(2)

(4)

Análogamente: A (k X') = k (A X') = k Ov = Ov luego k X' ∈ W Nota: (1) Por distributividad del producto con respecto a la suma de matrices (2) Por (a) (3) Por propiedad del producto de matrices por escalar. (4) Por propiedad del producto por escalares.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1- Determine en el siguiente paralelogramo a. b.

¿Qué flechas representan el mismo vector? ¿Qué flechas representan vectores opuestos?

2- Dados los vectores u, v, w, tales que: u = (3, 2), v =( -1,2), w =(2,-3 ), r =2 y s = -3 , muestre gráficamente que: a) u+v=v+u b) (u + v) + w = u + (v + w) c) (r+s) v =rv +sv d) r (u + v) = r u + r v 3- El agua de un río fluye de norte a sur a una velocidad de 4 km/h (1 kilómetro = 0,6412 millas). Un bote está cruzando el río a una velocidad de 12 km/h y con dirección 30° sureste. Emplee un diagrama a escala para aproximar la dirección y la velocidad del bote con relación a tierra. 4- Dado el vector v = OA A v O a.

b.

3 1 Dibuje v, − v, 2v, − v 2 2 ¿Qué figura geométrica determina el conjunto de los puntos extremos de los múltiplos escalares de v, si los puntos iniciales están todos en O?

5- a) Sea Pn(x) el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes en un cuerpo F. Pruebe que este conjunto con la suma usual de polinomios y el producto de un escalar por un polinomio constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo F. b) Pruebe que el conjunto de los polinomios de grado igual a n no es un espacio vectorial. 6- Determine si el siguiente conjunto es espacio vectorial junto a las operaciones indicadas. El conjunto de todos los pares de números reales (x, y) con las operaciones: (x, y) + (x’, y’)=(x+x’+1, y+y’+1) k (x, y) = (k x, k y) con k ∈ R 7- Sea V = FnxnF . Pruebe que W es un subespacio de V en cada caso. i) W = {(aij) / aij=O ∀ i >j con i, j=l,2,...,n } Matrices triangulares superiores. ii) W es el conjunto de las matrices diagonales. iii) W es el conjunto de las matrices escalares. 8- Sea V = Fnxn F . Pruebe que W no es un subespacio de V i ) W = { A ∈ Fnxn / A 2 = A } ii) W={ A∈ Fnxn / D(A) = O } donde D(A) es el determinante de la matriz A. 9 http://algebra-lineal.blogspot.com

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9- Sea V=R2x2. Determine si W es un subespacio de V.

0 ܹ = ቄቀ ܾ

ܽ ቁ / ܽ, ܾ ∈ ℝቅ 0

10- Sea V = ℝℝℝ = ሼf/f: ℝ → ℝሽ Muestre que W es un subespacio de V, donde: i) W={f /f(7) = f(l)} ii) W consta de todas la funciones pares ( f: R → R / f (-x) = f (x)) iii) W consta de todas las funciones impares (f: R → R / f (-x) = -f (x)). iv) W consta de todas las funciones continuas. v) W consta de todas las funciones derivables. 11- Sea V = Pn(x) (polinomios de grado menor o igual que n). Determine si W es un subespacio de V, donde: i) W consta de todos los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes enteros. ii) W consta de todos los polinomios de grado menor a igual que 3 (Considerar para este caso n