INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N° FECHA DURACION 2 10 3 ABRIL 4 DE 2016 9 UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO 1. Halla la pendiente y la ecuación de una línea recta en sus diferentes formas para hacer uso adecuado de algoritmos. 2. Resuelve situaciones propuestas con la línea recta con base en algunos parámetros dados. 3. Soluciona problemas planteados para emplear el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas. 4. Escucha y respeta la opinión de sus compañeras. 5. Realiza las actividades de clase enriqueciendo sus conocimientos.

LA FUNCIÓN LINEAL: Ecuaciones y aplicaciones de la línea recta. Algunas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardiaco y la locomoción, son funciones biológicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. Existen estudios biomatemáticos que analizan los mecanismos de tales oscilaciones y su interacción con el medio ambiente. Los modelos de función han servido para explicar y predecir muchos de estos fenómenos, tanto de la vida científica como de la vida social. La función exponencial, por ejemplo, explica y predice fenómenos de crecimiento de bacterias o del fenómeno de desintegración radiactiva. Las funciones trigonométricas seno y coseno se utilizan en electricidad, por ejemplo, para entender los fenómenos de voltaje y corriente eléctrico, y en física para entender la parte cinemática del movimiento armónico simple. Otro tipo de función es la función lineal que vas a estudiar con mucho entusiasmo en la presente guía, la cuál tiene muchas aplicaciones no sólo en el área de matemáticas, sino en otras áreas como economía y costos en las cuales los conceptos de oferta y demanda pueden relacionarse mediante una función lineal; además, la función lineal representa gráficamente una línea recta, la cuál tiene dos parámetros importantes como lo son la dirección y la pendiente y que son de gran importancia en las obras de ingeniería civil, minas y geología, entre otras. Has escuchado además que la distancia más cerca entre dos puntos es una línea recta. De aquí radica la importancia que tú le puedas dar al estudio que hoy comienzas a realizar de la línea recta y sus aplicaciones, y que estoy seguro que lo abordarás con el mismo interés y entusiasmo como trabajaste los contenidos de la guía anterior. ¡ADELANTE!

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ECUACIÓN GENERAL DE LA LÍNEA RECTA: Una ecuación dada corresponde a la de una línea recta cuando el único exponente de la variable x y de la variable y es 1, además ambas variables no pueden aparecer en el mismo término. La ecuación general de una recta es: ax + by + c = 0. La variable x recibe el nombre de variable independiente (porque le podemos dar el valor que deseemos) y la variable y se denomina variable independiente (porque su valor depende del valor que se le asigne a x).

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INCLINACIÓN (Ó DIRECCIÓN) Y PENDIENTE de una línea recta. 

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La inclinación ó dirección de una recta es el ángulo que dicha recta forma con el eje horizontal “equis” (a la derecha de éste) y la pendiente (representada con la letra m) se ha definido como la tangente de dicho ángulo o de dicha inclinación, es decir, m = tan siendo  la inclinación de la recta. Cuando la inclinación es un ángulo agudo la pendiente es positiva pero si la inclinación es un ángulo obtuso (entre 90º y 180º) la pendiente es negativa. Cuando la recta es horizontal su inclinación es 0º y por lo tanto su pendiente m = 0 (m = tan0º entonces m = 0) Cuando la recta es vertical su inclinación es 90º y por lo tanto su pendiente no existe porque: m = tan90º y tan90º no existe, luego su pendiente no existe. Por la geometría euclidiana es bien sabido que para que una recta quede completamente definida, es necesario conocer como mínimo dos puntos por donde pase dicha recta. Además, cuando se conocen dos puntos por donde pasa la recta (digamos (x1,y1) y (x2,y2) ), su pendiente se puede calcular mediante la siguiente expresión que tu profesor demostrará en clase:

m 

y2  y1 x2  x1

OBSERVA las gráficas que tu profesor realizará en la clase.

® FUNCIÓN LINEAL: La ecuación general de la recta vista anteriormente se puede llevar a la forma: y = f(x) = mx + b, llamada función lineal o afín, donde m es la pendiente de la recta y corresponde al coeficiente de x después de haber despejado a la variable y. El parámetro b se denomina intercepto con el eje Y y corresponde al punto (0,b) que es el punto donde la recta corta al eje Y. Si la recta no tiene el parámetro b entonces ésta pasa por el origen del plano cartesiano.

1. Dadas las siguientes ecuaciones correspondientes a líneas rectas:

a. x - 3y = 0 b. 3x + y = - 5 c. 4y – 12 = 3 d. 10x + 5y = - 2 f. - 2x – 6y – 1 = 0 g. 4x – 3 = 0. h. 5y = 6x Indico: a. ¿Cuáles pasan por el origen. b. ¿Cuáles son paralelas al eje Y? c. ¿Cuáles son paralelas al aje X?. d. ¿Cuáles no pasan por el origen?. e. Halla la pendiente y el intercepto con el eje Y de las rectas anteriores.

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e. 3x + 2 = 0

f.

¿Cuáles de las rectas dadas tienen como inclinación un ángulo agudo (están inclinadas hacia la derecha)?, ¿Un ángulo obtuso (están inclinadas hacia la izquierda)?, ¿su pendiente es cero?, ¿su pendiente no existe?. g. Halla la inclinación o dirección de cada una de las rectas anteriores. 2.

a. b. b. c.

Halla la pendiente de la recta de acuerdo con la condición dada: Su inclinación es 135°. De la recta que pasa por los puntos P(3, - 7) y Q(- 4, - 5). De la recta que pasa por los puntos M(- 4/3, 3/5) y N(- 2/7, 5) De la recta cuya ecuación es y/5 - x/3 = - 7.

De acuerdo con los conceptos de inclinación y pendiente determino la pendiente de las rectas cuyas condiciones se dan a continuación. Determina también el intercepto con el eje y en los casos que sea posible. a. De la recta cuya inclinación es 45º. b. De la recta cuya inclinación es 30º. c. De la recta cuya inclinación es 0º. d. De la recta cuya inclinación es 90º. e. De la recta cuya ecuación es y = 5x - 1 f. De la recta cuya ecuación es y = - 7x + 2/5 g. De la recta cuya ecuación es y = (5x + 1) / 3 h. De la recta cuya ecuación es: - 2y + 3x + 5 = 0 i. De la recta cuya ecuación es 3x – 2y = - 8 j. De la recta que pasa por los puntos: D (3, 5) y E (- 2, 5). k. De la recta que pasa por los puntos M(3, 5) y N(3, - 2). l. De la recta que pasa por los puntos C(- 3/4, - 1/2) y M(2, - 3) m. De la recta cuya ecuación es y/2 - x/3 = - 1.

Yo solita en mi casita

* FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA:  Ecuación punto pendiente: Es aquella forma que se emplea cuando me piden la ecuación de la recta que pasa por un punto dado (digamos (x 1,y1)) y conocemos además el valor m de su pendiente. En este caso se emplea la ecuación:

y  y1  m( x  x1 )  Ecuación punto - punto: Es aquella forma que se emplea cuando me piden la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados digamos (x 1,y1) y (x2,y2). En este caso se emplea la ecuación:

y  y1 

y2  y1 ( x  x1 ) x23  x1

 Ecuación de una recta paralela al eje x: Toda recta que sea paralela al eje x tiene el mismo valor de su ordenada (y) en todos sus puntos; por lo tanto la ecuación de una recta que es paralela al eje x y que pasa por el punto (x 1 , y1) es: y = y1 Su ecuación no tiene la variable x.  Ecuación de una recta paralela al eje y: Toda recta que sea paralela al eje y tiene el mismo valor de su abscisa (x) en todos sus puntos; por lo tanto la ecuación de una recta que es paralela al eje Y y que pasa por el punto (x 1 , y1) es: x = x1 Su ecuación no tiene la variable Y. *

PUNTOS COLINEALES: Son aquellos que están sobre la misma línea recta; por lo tanto por ser colineales la recta que los contiene tiene la misma pendiente.

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RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES:

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-

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma inclinación, es decir, cuando sus pendientes son iguales: m1 = m2 Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a –1, es decir, sus pendientes son recíprocas y con signos contrarios: m1 . m2 = - 1 (m1 = - 1/m2)

I.

Hallo la ecuación de la recta de acuerdo con la condición dada:

a. b. c. d. e. f. g. h.

Pasa por el punto (5, - 3) y su pendiente es – 7. Pasa por el punto (- 1/2, 3) y su inclinación es 135º. Pasa por los puntos Q(- 1, 8) y (- 4, 3) Pasa por los puntos M(-2/5,1) y N(- 3/2, - 1). Pasa por el punto (- 5, 7) y es paralela al eje y. Pasa por el punto (- 3/4, - 2/7) y es paralela el eje x. Pasa por el punto (- 3, 5) y es paralela a la recta cuya ecuación es 4x - y + 9 = 0. Pasa por le punto (- 8, 3) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x – 3y = 4.

II. Dado el triángulo cuyos vértices son los puntos A(2, -1), B(4, 4) y C(7, - 2), hallo: a. b.

La ecuación de cada unos de sus tres lados expresada en forma general. La ecuación de la mediana que parte del vértice B.

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Realizo muy ordenadamente los siguientes ejercicios (los que no termine en la clase, los haré en la casita: a. Empleando pendientes determino si los puntos P(3,4), Q(8,5) y R(13,6) son o no colineales. b. Determino el valor de k para que la recta 3x – 7ky = 10 pase por el punto (- 1,1). c. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3,2). La abscisa de otro punto de la recta es 4; hallo su ordenada. d. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto R(- 3, 2); la ordenada de otro punto de la recta es 4. Hallo su abscisa. f. Hallo el valor de K para que la recta cuya ecuación es 3x – 4ky + 1 = 0 pase por el punto (- 3 ,1) g. Hallo el valor de b para que la recta cuya ecuación es bx – 3y = 4b tenga una inclinación de 45°. h. Hallo el valor de K para que la recta que pasa por los puntos N(3k, 2) y S(5 , -2) tenga una inclinación de 0°.

Con toda mi responsabilidad e interés trabajo en mi casa los siguientes ejercicios (lo que no entienda lo debo consultar).

Oye Manuela Uribe... no saldré esta semana porque estaré juiciosa en mi casa haciendo esta actividad. Haz tú lo mismo.

1. Del texto GLIFOS 10 que encuentro en el bibliobanco, en la biblioteca o en la fotocopiadora, resuelvo de la pág. 95 los numerales: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11. 2. Del mismo texto anterior soluciono de la pág. 91 los numerales 1, 5, 6 y 14. 3. Verifico si las rectas 3x + 5y + 7 = 0 y 5x – 3y – 2 = 0 son perpendiculares, paralelas o transversales 4. Empleando pendientes demuestro que los puntos A(- 3,-2), B(4,-2) y C(4,5) son los vértices de un triángulo rectángulo.

5. Encuentro la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 3) y es paralela a la recta 3x – 5y + 1 = 0. 6. El mismo numeral anterior pero perpendicular a la recta dada. 7. Encuentro la ecuación de la recta que pasa por el punto (- 5, 4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (- 2, 3) y (2, -1). 8. El mismo ejercicio anterior pero siendo las rectas perpendiculares.

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* DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: Sea la ecuación general de una recta Ax + By + C = 0 el punto (x1,y1) que no está en la recta, la distancia D de dicho punto a la recta se halla mediante la siguiente expresión:

D

Ax1  By1  C A2  B2

Una de las aplicaciones que tiene esta fórmula es en el cálculo de la altura de un triángulo, así por ejemplo, si conocemos los tres vértices de un triángulo cualquiera, para hallar su altura se halla la ecuación de la recta donde está la base del triángulo y la altura será la distancia del vértice opuesto a dicha base a la recta cuya ecuación se ha hallado.

Las siguientes preguntas son de selección múltiple con única respuesta. (Justifico mi elección). 1. Una recta paralela a la recta: 3x – 5y = 7, es: A. 5x – 3y = 8.

B. 3x + 5y = 4.

C. – 3x – 5y = 1

D. 6x – 10y = - 7.

2. Dadas las rectas: 3x – 5y + 9 = 0 y 5x = - 3y, puedo decir que son: A. Paralelas.

B. Perpendiculares.

C. Oblicuas.

D. No se cortan.

3. La ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 1) y que es paralela a la recta 2x – 3y – 3 = 0, es: A. 2x – 3y = 3.

B. 2x – 3y – 1 = 0.

C. y – 2x = - 1

D. y = 2x – 3.

4. De la recta que tiene como ecuación: 3x – 2y + 12 = 0, puedo afirmar que: A. B. C. D.

Su pendiente es – 3/2 y su intercepto con el eje y es (0, 6). Su pendiente es 3/2 y su intercepto con el eje y es (0, 6). Su pendiente es – 3/2 y su intercepto con el eje y es (0, - 6). Su pendiente es 3/2 y su intercepto con el eje y es (0, - 6).

5. Dadas las rectas L1, L2 y L3 cuyas ecuaciones generales son: L1: 3x – 2y – 8 = 0

L3: 3y + 2x – 3 = 0

L2: - 6x + 4y + 1 = 0

Y se dan además las siguientes condiciones: I. L1

L2

II. L1 // L2

C. L1

L3

De acuerdo a las condiciones dadas se cumple: A. B. C. D.

Sólo la condición I. Sólo las condiciones I y II. Sólo las condiciones II. y III. Sólo las condiciones I. y III. “EL CONOCIMIENTO SIN TRANSFORMACIÓN NO ES SABIDURÍA” 6