La l´ogica de los n´umeros infinitos: un acercamiento hist´orico Luis Cornelio Recalde Resumen Se abordan en este art´ıculo dos nociones fundamentales en el desarrollo de las matem´ aticas como lo son n´ umero e infinito. Espec´ıficamente, se intenta establecer el estatuto ontol´ ogico de los llamados n´ umeros infinitos: los infinitesimales y los transfinitos. ¿Merecen estos entes la categor´ıa de n´ umeros? Para abordar este interrogante se hace una revisi´ on de los cambios conceptuales que hist´ oricamente se fueron dando en el concepto de n´ umero. Para ello se rememoran las definiciones de Euclides, se especifican los tratamientos infinitesimales en Newton y Leibniz, se describen los transfinitos de Cantor y, finalmente, se estudia la importancia hist´ orica del an´ alisis no est´ andar planteado por Abraham Robinson. El objetivo central del documento es mostrar que si bien la fundamentaci´ on de los n´ umeros reales, base de la fundamentaci´ on del an´ alisis cl´ asico, se dio a partir de la legalizaci´ on del concepto de l´ımite, la fundamentaci´ on del an´ alisis no est´ andar se soporta sobre la l´ ogica de primer orden.

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El concepto de n´ umero para los antiguos

Desde la antig¨ uedad cl´ asica se discute reiteradamente el estatuto de los n´ umeros y la legitimidad del infinito actual, controversia en la cual Arist´ oteles constituye la primera autoridad hist´ orica. Para este fil´ osofo griego el infinito no es algo acabado, sino aquello por fuera de lo cual siempre hay algo: una especie de despensa inagotable de la que se pueda extraer sin cesar nuevas cosas. Es un infinito potencial. “Una cantidad es infinita si siempre se puede tomar una parte fuera de la que ya ha sido tomada”, dice Arist´ oteles en la F´ısica ([2], p. 138), al mismo tiempo que plantea dos tipos de infinito: por adici´ on y por divisibilidad. El primero se presenta en el proceso de contar, pues aunque para ´el no existe un conjunto infinito de n´ umeros como un todo, siempre se puede obtener un n´ umero m´ as grande que otro agreg´ andole una unidad. El segundo tipo de infinito aparece en el proceso de divisi´ on de magnitudes. Por ejemplo se puede dividir un segmento en subsegmentos que a su vez se pueden dividir en otros m´ as peque˜ nos y as´ı sucesivamente. Euclides, plegado a la concepci´ on de Arist´ oteles, incorpora la definici´ on de n´ umero en el libro VII de los Elementos:

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1. Unidad es aquello en virtud de lo cual cada cosa que existe se llama uno. 2. N´ umero es una pluralidad compuesta de unidades. ([13], p. 829) Definici´ on que no da lugar al conjunto infinito de los n´ umeros [naturales] tomado como un todo, y que nosotros representamos por N. Los n´ umeros [naturales], para Euclides, son infinitos en el sentido potencial aristot´elico. Por m´ as de veinte siglos los matem´ aticos intentaron eludir la autoridad de Euclides, quien hab´ıa establecido abismos insalvables entre los n´ umeros y las magnitudes. Los objetos de cada una de estas teor´ıas ten´ıan diferencias ontol´ ogicas que imped´ıan presentarlos unificadamente. Mientras el concepto de n´ umero se desarrollaba en el proceso de contar, las magnitudes cobraban sentido en el establecimiento de una teor´ıa de la medida, especialmente en lo concerniente a las cuadraturas (dada una figura rectil´ınea, encontrar un cuadrado equivalente) y cubaturas (dada una figura volum´etrica, encontrar un cubo equivalente). Sin embargo, la resoluci´ on de ecuaciones y la extensi´ on de la multiplicaci´ on a los segmentos iba imponiendo un acercamiento entre n´ umero y magnitud; conjunci´ on que s´ olo fue posible hasta el siglo XIX con la construcci´ on del cuerpo de n´ umeros reales por parte de Cantor y Dedekind. Durante el per´ıodo que va de Euclides a Cantor se dan cambios conceptuales que permiten extender cada vez m´ as el universo de los n´ umeros aunque de una manera informal. Las transformaciones se dan no s´ olo atendiendo a la operatividad, sino tambi´en a la representaci´ on geom´etrica. En este sentido es significativo el aporte de Descartes al definir, en su Geometr´ıa, la multiplicaci´ on, la divisi´ on y la ra´ız cuadrada de segmentos. Las cantidades adquieren la categor´ıa de n´ umero en la medida que se incorporen algoritmos que permitan sumarlas, multiplicar´ las y representarlas geom´etricamente. Estos son los aspectos por los cuales, las cantidades negativas, las fracciones y las ra´ıces inexactas empiezan a tener un comportamiento num´erico. Pero estos procesos se aceptan a condici´ on de que respeten el principio regulador de las magnitudes incorporado por Euclides en el libro V de los Elementos: Definici´ on 4: se dice que dos magnitudes tienen raz´ on cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que una supere la otra. ([13], p. 787) A trav´es de este enunciado, Euclides excluye las magnitudes infinitamente grandes y las magnitudes infinitamente peque˜ nas. Se conoce tambi´en como “principio de Eudoxo”, pues habr´ıa sido este matem´ atico de Cnido, quien primero lo us´ o de manera similar en sus tratados. En el libro X de los Elementos Euclides presenta un versi´ on equivalente pero en forma de proposici´ on. Proposici´ on 1: dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad y de lo que queda otra magnitud mayor que su mitad y se repite continuamente este proceso, quedar´ a una magnitud menor que la menor de las magnitud dadas. ([13], p. 861)

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Enunciado incorporado por Arqu´ımedes en De la cuadratura de la par´ abola como postulado y que constituye la base fundamental de su famoso m´etodo exhaustivo. El m´etodo exhaustivo se reconoce como una de las ra´ıces del c´ alculo moderno; en ´el se prefigura el concepto del l´ımite como salida conceptual que permite encapsular los procesos infinitos para obtener resultados espec´ıficos. El m´etodo exhaustivo involucra, de manera soterrada, un tratamiento infinitesimal, constituy´endose en el primer paso hacia la adopci´ on del infinito como concepto matem´ atico. La definici´ on V. 4 o, su equivalente, la proposici´ on X.1, se conoce como el “principio de Arqu´ımedes”. Hist´ oricamente se le consider´ o como soporte ontol´ ogico de cualquier sistema n´ umerico. Justamente, se apelaba a este principio para no concederles el estatuto num´erico a las cantidades infinitamente grandes y a los infinitesimales.

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Lo infinitamente peque˜ no en Newton y Leibniz

Durante m´ as de 1500 a˜ nos los matem´ aticos trataron de fundamentar el uso de indivisibles, infinitesimales o de cantidades infinitamente peque˜ nas. Contradicciones aparec´ıan por doquier. Espec´ıficamente se discut´ıa el uso de las cantidades evanescentes por parte de Newton y el uso de los diferenciales por parte de Leibniz. A pesar de que las cantidades infinitamente peque˜ nas, usadas por parte de Newton y Leibniz, involucraban el infinito actual, ninguno de los dos intentaba revelarse; todo lo contrario, ellos buscaron ser congruentes con la tradici´ on del infinito aristot´elico. La salida de Newton fue a trav´es del m´etodo de las primeras yu ´ltimas razones, que expuso en su libro Elementos matem´ aticos de la filosof´ıa natural. Leibniz, a su vez, intenta una fundamentaci´ on te´ orica s´ olida a trav´es de la noci´ on de tri´ angulo caracter´ıstico, retomado de los trabajos de Pascal. Ninguna de estas dos salidas resolv´ıa los problemas de fundamentaci´ on. La cr´ıtica m´ as fuerte proven´ıa de Berkeley. En su libro El Analista, publicado en 1734, Berkeley desnudaba los problemas de rigor del c´ alculo. En este texto plantea serios reparos al uso de aquellos aspectos ligados a la palabra infinito, espec´ıficamente al infinito en acto. Para Berkeley los infinitesimales y los infinitesimales de los infinitesimales llevaban a inconsistencia. La contradicci´ on a la que se refiere Berkeley tiene relaci´ on con el “principio de Arqu´ımedes”, el cual no se cumple para los infinitesimales. Para Berkeley los matem´ aticos no eran coherentes, pues al comienzo usaban los infinitesimales en los denominadores por ser diferentes de cero, pero al final, cuando aparec´ıan como sumandos, simplemente los hac´ıan iguales a cero por tener un valor despreciable. Berkeley los denominaba jocosamente “los fantasmas de las cantidades evanescentes”. Al respecto, son famosos los debates, acaecidos entre 1700 y 1706, en la Acad´emie des Sciences de Par´ıs sobre la validez de los procesos del nuevo c´ alculo. El debate se torn´ o candente con la aparici´ on del libro An´ alisis de los in-

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finitamente peque˜ nos para el estudio de las l´ıneas curvas, en el cual el Marqu´es de l’Hospital intentaba formalizar el concepto intuitivo y la operatividad de los infinitesimales. ¿Cu´ al era la posici´ on de Leibniz en torno a este debate? Sabemos que a pesar de la confianza que pon´ıa en los resultados, dudaba de su rigurosidad. En sus manuscritos se deja entrever sus esfuerzos por encontrar una salida: a veces trata los infinitesimales como magnitudes no arquimedianas, en ocasiones los utiliza intuitivamente como entes potenciales; alude reiteradamente al m´etodo exhaustivo e intenta postular la sustituci´ on de las relaciones entre infinitesimales y cantidades finitas; introduce nociones cercanas al concepto de l´ımite incorporando una manera propia de ver lo continuo. Su testamento intelectual, escrito en septiembre de 1716, poco antes de morir, resume su posici´ on: En cuanto al c´ alculo de los infinitesimales yo no estoy del todo satisfecho con las expresiones del se˜ nor Herman en su respuesta al se˜ nor Nieuwentijt, ni de otros amigos. Tambi´en M. Naud´e tiene raz´ on de hacer oposici´ on. Cuando discut´ıa en Francia con el Abat Gallois, el padre Gouge y otros, les manifest´e que no cre´ıa que hubiera magnitudes verdaderamente infinitas ni verdaderamente infinitesimales: que s´ olo eran ficciones, pero ficciones u ´tiles para abreviar y hablar universalmente. Pero como el se˜ nor Marqu´es de L’Hospital cre´ıa que por ello yo traicionaba la causa, me rogaron que no dijera nada, aparte de lo que hab´ıa dicho en un lugar de las Actas de Lepzing; con placer acced´ı a ese ruego. (Tomado de [22], p. 263) De esta forma, para Leibniz los esfuerzos se deb´ıan redoblar en asegurar la confiabilidad del uso de las cantidades infinitesimales y no en demostrar su existencia.

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Cauchy y las cantidades infinitas

La primera salida conceptual propiamente dicha a los infinitesimales aparece en el Curso de An´ alisis de August´ın-Louis Cauchy de 1821, mediante la institucionalizaci´ on del concepto de l´ımite. Desde el punto de vista de la b´ usqueda de rigor, el aporte m´ as importante de Cauchy consisti´ o en haber escogido las definiciones y los procesos de demostraci´ on que libraran al an´ alisis de todo referente geom´etrico. Cauchy cimenta su programa fundamentador sobre los conceptos de n´ umero, cantidad, l´ımite y funci´ on. A trav´es del l´ımite incorpora las cantidades infinitamente peque˜ nas e infinitamente grandes, el concepto de funci´ on continua y la convergencia de series. Fue precisamente Cauchy el primero en introducir una definici´ on de l´ımite que prefigura su tratamiento en t´erminos de inecuaciones; lo acertado de esta escogencia de lenguaje en el c´ alculo, se pondr´ıa luego de presente en lo que se ha denominado el movimiento de aritmetizaci´ on del an´ alisis del siglo XIX. En este sentido los trabajos de Cauchy son muy importantes, pues conforman el marco necesario para la completa rigorizaci´ on del an´ alisis por la escuela de Weierstrass.

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En los preliminares del Curso de An´ alisis, Cauchy presenta los presupuestos te´ oricos que le servir´ an de base a su programa te´ orico. En primer lugar, establece diferencias entre n´ umero y cantidad. Cauchy aclara que tomar´ a los n´ umeros en el sentido empleado en aritm´etica, como referentes de la medida absoluta de las magnitudes, los cuales cumplen el “principio de Arqu´ımedes”. Aplica el apelativo cantidad a los reales positivos o negativos, en otras palabras, los n´ umeros precedidos de signos. A continuaci´ on, Cauchy define cantidad variable, uno de los conceptos para entonces m´ as problem´ aticos: una cantidad variable, para Cauchy, es aquella que recibe sucesivamente varios valores diferentes los unos de los otros. El concepto de cantidad variable le permite introducir su definici´ on de l´ımite: Cuando los valores que va tomando sucesivamente una variable particular, se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de tal manera que acaban por diferir de ´el tan poco como queramos, entonces este u ´ltimo valor, recibe el nombre de l´ımite de todos los anteriores. ([8], p. 76) Al igual que Euler, Cauchy inicia su Curso de An´ alisis presentando su definici´ on de funci´ on: Cuando las cantidades variables est´ an de tal modo relacionadas entre s´ı que, dado el valor de una de ellas, es posible concluir los valores de todas las dem´ as, expresamos ordinariamente diversas cantidades por medio de una de ellas, la cual toma entonces el nombre de variable independiente, y a las otras cantidades expresadas por medio de la variable las llamamos funciones de esta variable ([8], p. 77) En seguida, Cauchy entiende que debe relacionar las nociones de l´ımite e infinito. Para ello su trabajo de fundamentaci´ on debe pasar por darle ciudadan´ıa matem´ atica al infinito. En este sentido, el cap´ıtulo 2 inicia con la incorporaci´ on de definiciones para lo infinitamente peque˜ no y lo infinitamente grande. Cuando los valores num´ericos sucesivos de una misma variable decrecen indefinidamente, de manera que desciende por debajo de cualquier n´ umero dado, esta variable deviene lo que suele llamar un infinitamente peque˜ no o una cantidad infinitamente peque˜ na. Una variable de esta especie tiene al cero por l´ımite. ([8], p. 76) Cuando los valores num´ericos sucesivos de una misma variable crecen m´ as y m´ as, de manera que ascienden por encima de cualquier n´ umero dado, esta variable tiene por l´ımite al infinito positivo, indicado por el signo ∞, si se trata de una variable positiva, y al infinito negativo, indicado por la notaci´ on −∞, si se trata de una variable negativa. ([8], p. 76) La aplicaci´ on de estos conceptos en la definici´ on de las funciones continuas produjeron algunas contradicciones, las cuales fueron contrarrestadas en la escuela de Weierstrass con la definici´ on de l´ımite que evitaba la noci´ on confusa 5

de “aproximaci´ on indefinida” a trav´es del uso de los epsilon-delta ( − δ), como la conocemos actualmente: Definici´ on: la funci´ on f tiende al l´ımite L en x0 si para todo  > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que, para todo x, si 0 < |x − x0 | < δ, entonces |f (x) − L| < . Esta definici´ on di´ o lugar a una nueva perspectiva respecto a la naturaleza del continuo que re˜ n´ıa con la tradici´ on aristot´elica; a trav´es de ella se part´ıa del presupuesto de que la constituci´ on ´ıntima del continuo eran los indivisibles puntos sin la presencia de las cantidades infinitamente peque˜ nas. Los corrosivos infinitesimales parec´ıan haber sido expulsados del reino de las matem´ aticas hacia los confines de la metaf´ısica. Justo de esta ´epoca datan los primeros trabajos de Georg Cantor, quien adopta el continuo weierstrassiano.

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La fundamentaci´ on de los n´ umeros reales

Tanto Cantor como Dedekind entendieron que los racionales constitu´ıan la materia prima indispensable para la construcci´ on de la totalidad del conjunto de los n´ umeros reales. Dado que los racionales se pod´ıan establecer rigurosamente a partir de los naturales, la dificultad proven´ıa de los irracionales, cuya identidad num´erica estaba en entredicho. La gran idea de Cantor y Dedekind fue formalizar y generalizar el proceso de aproximaci´ on de algunos irracionales t´ıpicos a partir de los racionales. Dedekind lo hace a partir del concepto de cortadura, mientras Cantor hace lo propio a trav´es de la noci´ on de sucesi´ on fundamental. Dedekind entiende que para fundamentar el dominio de n´ umeros reales era menester producir una teor´ıa rigurosa del continuo. Para ello, parte de un presupuesto conceptual que ri˜ ne con la tradici´ on aristot´elica, al visualizar la recta como un agregado de puntos. El hecho de tomar la l´ınea recta como formada por puntos, al igual que Bolzano, le permite a Dedekind identificar cualquier “cortadura” producida en ´esta por un punto particular, el cual se anexa a una de las partes. Desde esta visi´ on no hay ning´ un problema, pero si no se toma la recta formada por puntos como postulado primario, no se puede realizar directamente esta “operaci´ on”, porque sencillamente tales entes (los puntos) no constituyen la naturaleza ´ıntima de la recta. Para Dedekind los n´ umeros reales forman un dominio de una sola dimensi´ on, que cumple las siguientes leyes ([11]): 1. Si α > β y β > τ , entonces α > τ ; en este caso se dir´ a que el n´ umero β est´ a entre α y τ . 2. Si α y τ son n´ umeros diferentes cualesquiera, entonces existen infinitos n´ umeros entre α y τ . 3. Si α es un n´ umero cualquiera, entonces todos los n´ umeros del sistema R son de dos clases U1 y U2 , cada una de las cuales contiene infinitos n´ umeros individuales. La primera clase U1 comprende los n´ umeros α1 , que son menores que α. La segunda U2 comprende todos los n´ umeros α2

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que son mayores que α. El n´ umero puede asignarse a la primera o a la segunda clase y es respectivamente el mayor o el menor. En cada caso la separaci´ on del sistema R en dos clases U1 y U2 , es tal que, cada n´ umero de la primera clase U1 es menor que cada n´ umero de la segunda clase U2 y decimos que esta separaci´ on es producida por el n´ umero. El dominio R posee tambi´en continuidad, lo cual significa que cumple el siguiente teorema: 4. Si el sistema R de todos los n´ umeros reales se divide en dos clases U1 y U2 tal que cada n´ umero α1 , de la clase U1 es menor que cada n´ umero α2 de la clase U2 , entonces existe uno y s´ olo un n´ umero que puede producir esta separaci´ on. La propiedad (4) es la que realmente caracteriza el dominio de los reales y muestra la diferencia fundamental entre este conjunto y el conjunto de los racionales que satisface las tres primeras propiedades pero no la u ´ltima. Para Cantor lo m´ as importante era desarrollar una teor´ıa satisfactoria de los n´ umeros irracionales, evitando caer en el c´ırculo vicioso de definir los n´ umeros reales como l´ımites de sucesiones convergentes sin haber definido de antemano un conjunto al cual pertenezcan dichos l´ımites. Cantor se˜ nala de manera expl´ıcita las objeciones a los intentos previos de definir n´ umeros irracionales en t´erminos de series infinitas. En este sentido, se propone desarrollar una teor´ıa de los irracionales sin presuponer su existencia. Para ello toma como punto de partida los n´ umeros racionales. Cantor empieza por definir una sucesi´ on fundamental: La sucesi´ on infinita a1, a2 , . . . , an , . . . se llama una sucesi´ on fundamental si existe un entero N tal que para cualquier valor positivo real , se cumple que: |an +m − an | < , para todo m y todo n mayores que N . Si una sucesi´ on {an } satisface la anterior condici´ on, Cantor dice que que la ´ “sucesi´ on infinita {an } tiene un l´ımite definido b”. Esta era estrictamente una convenci´ on para significar, no que la sucesi´ on alcanza el l´ımite actual b, o que se presum´ıa que b fuese el l´ımite, sino u ´nicamente que cada una de tales sucesiones {an } ten´ıa asociado un s´ımbolo definido b. Cantor fue bien expl´ıcito en usar la palabra “s´ımbolo” para describir el papel de b. Luego defini´ o relaciones de orden entre sucesiones. Sean las sucesiones {an } asociada con b1 , {bn } asociada con b2 . i. b1 = b2 , si para todo n´ umero racional  > 0, existe un n´ umero natural N , tal que |an − bn | < , para todo n ≥ N ii. b1 > b2 , si existe un n´ umero racional  > 0 y un n´ umero natural N , tal que an − bn > , para todo n ≥ M . Un n´ umero racional p se identifica con la sucesi´ on constante {p} y adem´ as, como se puede comparar esta sucesi´ on con cualquier otra sucesi´ on {an } la cual tiene asociada el s´ımbolo b, se tendr´ a que p = b, p < b o ´ p > b. El conjunto de estos s´ımbolos es un nuevo sistema B, que al ser dotado de una estructura de cuerpo ordenado constituye el conjunto de los n´ umeros 7

reales. Los s´ımbolos de B s´ olo adquieren sentido num´erico cuando son puestos en correspondencia uno a uno con los puntos de la l´ınea recta A. Ello no ofrece dificultades para los n´ umeros racionales. En el caso de los irracionales, Cantor sab´ıa que dado un punto sobre la l´ınea, si ´este no tiene una relaci´ on racional con la unidad entonces podr´ıa ser aproximado por una sucesi´ on de puntos racionales a1, a2 , . . . , an , . . . , cada uno de los cuales corresponde a un elemento en A. La sucesi´ on {an } es una sucesi´ on fundamental que se aproxima tanto como se quiera al punto dado. Cantor expresaba esta condici´ on como sigue: “la distancia del punto a ser determinado al origen “o” es igual a b, donde b es el n´ umero correspondiente a la sucesi´ on {an }”. Dado que cada elemento de A tiene un u ´nico correspondiente en B, la unicidad de la representaci´ on de los puntos de la recta en B estaba garantizada. Pero Cantor no pudo garantizar la correspondencia inversa: que a cada elemento b de B le correspondiera un punto de la recta. Para esto tuvo que invocar el siguiente axioma: A cada n´ umero le corresponde un punto en la l´ınea recta, cuya coordenada es igual al n´ umero. (tomado de [14], p. 238) Tomadas como conjuntos num´ericos, se puede demostrar que las construcciones de Dedekind y Cantor son equivalentes; adem´ as cumplen con el “principio de Arqu´ımedes”. Modernamente decimos que el conjunto de n´ umeros reales forman un campo arquimediano, totalmente ordenado.

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Los n´ umeros infinitamente grandes: transfinitos

Durante el per´ıodo que va de 1879 a 1897, Cantor establece los elementos conceptuales b´ asicos que le permitir´ an la instauraci´ on de los ordinales y cardinales transfinitos. Estos aspectos giran alrededor de las nociones de conjunto derivado y de potencia. En primer lugar, Cantor aprovecha el teorema de Bolzano-Weierstrass para clasificar los conjuntos infinitos de puntos en intervalos acotados. De hecho, el teorema como tal ya establece una aceptaci´ on del infinito actual, al tomar un conjunto infinito de puntos como un todo en un intervalo finito. El concepto de punto de acumulaci´ on constituye el soporte de la teor´ıa de conjuntos de Cantor. Con base en ´el, Cantor define los conjuntos derivados. Dado un conjunto arbitrario P , Cantor establece las siguientes convenciones: 1. Se denomina P 0 el conjunto de puntos de acumulaci´ on de P o primer derivado; 2. Se denomina P 00 el conjunto de puntos de acumulaci´ on de P 0 o segundo derivado; y as´ı sucesivamente ...

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3. P n es el conjunto de puntos de acumulaci´ on de P n−1 o en´esimo derivado. En seguida, Cantor define los conjuntos de puntos de primera especie, como aquellos para los cuales existe un n tal que P n = ∅. En el caso que P n 6= ∅ para todo n, los denomin´ o de segunda especie. A continuaci´ on Cantor define el concepto de potencia como medio para comparar conjuntos de acuerdo con el n´ umero de elementos. Se dice que dos conjuntos M y N son de la misma potencia si a todo elemento de M corresponde un elemento de N, y rec´ıprocamente, a todo elemento de N corresponde un elemento de M . ( tomada de [14], p. 246) Cantor denomina conjuntos numerables a los conjuntos cuya potencia es igual a la potencia del conjunto N de los n´ umeros naturales. Los continuos, conjuntos no numerables, tendr´ıan la potencia de los n´ umeros reales. El terreno estaba preparado para que en 1882, en su manuscrito Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Cantor le diera carta de legitimidad a los n´ umeros transfinitos. Sin embargo, los n´ umeros transfinitos aparecen por primera vez en un corto art´ıculo de 1880 en el cual Cantor enuncia el transfondo de la construcci´ on de los n´ umeros infinitos a trav´es de los conjuntos derivados de segunda especie. All´ı expresa que su teor´ıa es: [...] una generaci´ on dial´ectica de conceptos que continua siempre adelante, y est´ a as´ı libre de cualquier ambig¨ uedad. (Tomado de [14], p. 247) Esa generaci´ on dial´ectica part´ıa de la propiedad de los conjuntos P de segunda especie mediante el siguiente planteamiento: T∞ Si P n 6= ∅, para todo n, se puede definir P ∞ = n=1 P n . Si P ∞ = 6 ∅ es infinito se puede definir la cadena: P ∞ , P ∞+1 , P ∞+2 , . . . , P ∞+∞ , . . . A estas alturas los s´ımbolos infinitos eran tomados por Cantor s´ olo como “s´ımbolos de referencia” que le serv´ıan para el estudio de conjuntos de segunda especie. Sin embargo, no tard´ o mucho tiempo en comprender que la designaci´ on de los conjuntos a partir de P ∞ exig´ıa la ampliaci´ on el universo de los n´ umeros de contar m´ as all´ a de los naturales. La mesa estaba servida para la incorporaci´ on de los n´ umeros infinitos. Los transfinitos con una identidad num´erica aparecen por primera vez en 1882 en su manuscrito Grundlagen o Fundamentos de una teor´ıa general de conjuntos. Los Grundlagen estructuraban la teor´ıa sobre la noci´ on de infinito actual. Desde el comienzo Cantor plantea las diferencias entre el infinito actual y el infinito potencial. Cantor era consciente de que la incorporaci´ on pr´ actica del infinito actual en sus trabajos le permit´ıa extender el concepto de n´ umero m´ as all´ a de los 9

niveles existentes. Ahora se trataba de formalizarlos: “definir´e a continuaci´ on los n´ umeros enteros reales infinitos, a los que me vi conducido durante los u ´ltimos a˜ nos sin caer en la cuenta de que eran n´ umeros concretos con un significado real” (tomado de [14], p. 251). Cantor entonces, define dos principios de generaci´ on Primer principio: Este principio consiste en producir nuevos ordinales mediante la adici´ on sucesiva de unidades. Segundo principio: Cuando se tenga una sucesi´ on ilimitada de n´ umeros, se define un nuevo n´ umero como el m´ınimo n´ umero mayor que cualquier componente de la sucesi´ on. El segundo principio permite definir el n´ umero transfinito ω como el primer n´ umero que sigue a la sucesi´ on completa de los n´ umeros naturales {n}. Teniendo este n´ umero ω, Cantor aplica el primer principio y obtiene la secuencia: ω, ω + 1, ω + 2, · · · . Luego, el segundo principio le permite definir el elemento m´ aximo de esta sucesi´ on 2ω. Al continuar de esta forma combinando los dos principios, obtiene cadenas como: ω2 + 1, ω2 + 2, ω2 + 3, · · · , ω2 + n, · · · , Tomando los naturales como la primera clase de n´ umeros y a partir del transfinito ω la segunda clase, Cantor se dio cuenta que deb´ıa poner cierto tipo de cotas que permitieran diferenciar las distintas clases. A este respecto escribe: Definimos por tanto la segunda clase de n´ umeros (II) como la colecci´ on de todos los n´ umeros (en una sucesi´ on creciente determinada) que pueden formarse por medio de los dos principios de generaci´ on: ω, ω + 1, . . . , υ0 ω µ + υ1 ω µ−1 + . . . + υµ , ω ω , . . . , α, . . . , con la condici´ on de que todos los n´ umeros que preceden a α (del 1 en adelante) constituyen un conjunto de potencia equivalente a la de la primera clase de n´ umeros (I). (tomado de [14], p. 253) El concepto fundamental empleado para diferenciar las clases, es el de potencia. Cantor prob´ o incluso no solo que las potencias de las clases de n´ umeros I y II son diferentes, sino que la potencia de los n´ umeros de clase II es precisamente la que sigue a la potencia de los n´ umeros de clase I. En una extensa carta del 5 de noviembre de 1882 a Dedekind, Cantor le plantea la necesidad del principio de limitaci´ on a trav´es del concepto de potencia. Adem´ as le explica algo que resulta muy importante para entender el procedimiento mental utilizado: ha decidido darle el tratamiento de n´ umeros reales de segunda especie a los objetos ω, ω + 1, . . . que hab´ıa llamado simplemente s´ımbolos de infinidad, porque entre ellos se pod´ıa establecer una cierta extensi´ on de los n´ umeros finitos.

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Sin embargo, estos n´ umeros no cumpl´ıan las mismas propiedades de los n´ umeros finitos; por ejemplo no cumpl´ıan la ley conmutativa: sea ω 1+ω

= (a1 , a2 , . . . , an , an+1 , . . .), = (1, a1 , a2 , . . . , an , an+1 , . . .)

diferente a la secuencia ω + 1 = (a1 , a2 , . . . , an , an+1 , . . . , 1), 2ω

= (a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , . . .)

diferente a la secuencia (a1 , b1 , a2 , b2 , . . . , an , bn , . . .) = ω2. El hecho de que ω y ω + 1 fueran dos n´ umeros ordinales distintos, pero con igual cardinalidad llev´ o a Cantor a establecer una diferencia importante entre los n´ umeros finitos y los transfinitos. En los n´ umeros finitos no hay diferencia entre su ordinal y su cardinal, mientras que en los transfinitos hay diferencias sustanciales. Esta distinci´ on proviene para Cantor de la diferencia conceptual entre “Zahl” y “Anzahl”. El t´ermino Zahl se refiere a un conjunto sin importar el orden. Anzahl toma en cuenta el orden. Partiendo de esta diferencia, Cantor define en su trabajo Beitr¨ age zur Begr¨ undung der transfiniten Mengenlehre (Contribuciones a la fundamentaci´ on de la teor´ıa de conjuntos transfinitos), los cardinales transfinitos. Los Beitr¨ age es un libro en el cual Cantor busca sistematizar y fundamentar su teor´ıa de n´ umeros transfinitos. Es all´ı donde introduce por primera vez el s´ımbolo alef para la representaci´ on de los cardinales transfinitos. En el apartado §1 de los Beitr¨ age, despu´es de su bien conocida definici´ on, seg´ un la cual un conjunto (Menge) es una “colecci´ on cualquiera M de objetos definidos y distinguidos de nuestra percepci´ on o nuestro pensamiento” ([7], p. 85), Cantor introduce la definici´ on de n´ umero cardinal: Damos el nombre de “potencia” o “n´ umero cardinal” de M a aquel concepto general, que surge de la facultad activa de nuestro pensamiento, acerca del conjunto M cuando hacemos abstracci´ on de la naturaleza de sus diversos elementos m y del orden en el cual son dados. ([7], p. 86) En el apartado §2 de los Beitr¨ age, Cantor relaciona los cardinales de acuerdo a su tama˜ no: Los conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad o el mismo n´ umero cardinal, que modernamente se designa como |A| = |B|, si existe una bisecci´ on de A a B (Cantor escribe A en lugar de |A|; las dos barras denotan el doble proceso de abstracci´ on impl´ıcito en los cardinales). En este sentido, todo conjunto infinito numerable tiene la cardinalidad del conjunto N, de todos los ordinales de la primera clase (I), que Cantor denota como ℵ0 (alef cero). Para Cantor, |A| < |B| si existe una inyecci´ on de A en B, pero no existe una 11

inyecci´ on de B en A. Para probar que |A| = |B| se demuestra que |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|; enunciado conocido como “teorema de Cantor-Schr¨ oder-Bernstein” pues fue demostrado tambi´en, de manera independiente, por Felix Bernstein y E. Schr¨ oder. A partir del teorema de Cantor-Schr¨ oder-Bernstein no es complicado demostrar que el conjunto 2N , de infinitas sucesiones de ceros y unos, tiene la misma cardinalidad |R| de los n´ umeros reales. Ello significa que |R| = 2ℵ0 = |P(N)| , donde P(N) es el conjunto de partes de N. Como Cantor ya ha demostrado antes que el conjunto de los n´ umeros reales no es numerable, se tiene la desigualdad: ℵ0 < 2ℵ0 . Por otro lado, Cantor retoma el hecho (demostrado por ´el mismo en 1882, como se dijo antes) de que el conjunto de n´ umeros ordinales de la primera clase (I) tiene una potencia menor que el conjunto de ordinales de la segunda clase (II). Denotando por ℵ1 , a la potencia del conjunto de ordinales de la segunda clase (II) se tendr´ a que ℵ0 < ℵ1 ; adem´ as Cantor ha demostrado que ℵ1 es el cardinal transfinito siguiente a ℵ0 . Aunque Cantor no lo desarrolla en los Beitr¨ age, establece los elementos te´ oricos necesarios para el establecimiento de la secuencia inagotable de los cardinales transfinitos: ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , . . . , ℵω , ℵω+1 , . . . , ℵℵω , . . . Uno de los aspectos que m´ as atorment´ o a Cantor fue determinar el cardinal transfinito que correspond´ıa a la potencia del continuo. Cantor conjetur´ o que correspond´ıa a ℵ1 . En este sentido enunci´ o dos versiones de la denominada Hip´ otesis del Continuo que se detallan a continuaci´ on. Versi´ on de 1878: todo conjunto no numerable de n´ umeros reales tiene cardinalidad 2ℵ0 . Versi´ on de 1883: 2ℵ0 = ℵ1 . Concretamente, la Hip´ otesis del Continuo indica que si X ⊆ R, entonces, |X| es finito, o ´ |X| = |N| = ℵ0 o ´ |X| = |R| = 2ℵ0 . La determinaci´ on de |R| corresponde al primero de los famosos problemas planteados en 1900 por David Hilbert a la comunidad matem´ atica del siglo XX. En 1939, Kurt G¨ odel demostr´ o que la Hip´ otesis del Continuo no puede ser refutada en ZF E, es decir en la axiom´ atica de Zermelo-Fraenkel (ZF ) m´ as el axioma de elecci´ on. En 1963, Paul Cohen, demostr´ o la independencia de la Hip´ otesis del Continuo en ZF E. Mediante el m´etodo del “forcing”, Cohen muestra la existencia de un modelo para ZF E, en el cual se puede admitir cualquier valor ℵ1 , ℵ2 , . . . , ℵω , ℵω+1 , . . . , ℵℵω para 2ℵ0 .

6.

Cantor y los n´ umeros infinitamente peque˜ nos

Hacia 1891, Cantor se dio cuenta que su definici´ on de conjunto como una colecci´ on arbitraria de elementos discernibles por nuestra intuici´ on, daba lugar a contradicciones. La principal paradoja aparec´ıa al tomar el conjunto C de todos los conjuntos como un conjunto, y asignarle un n´ umero cardinal α. Si tomamos partes de C, P(C), y designamos por β a su respectivo cardinal, por

12

la inecuaci´ on fundamental de la teor´ıa de conjuntos tenemos que α 0, existe n tal que  > n1 . Por lo tanto, el n´ umero i pertenece a un universo mucho m´ as amplio que R. Robinson simboliza al nuevo campo num´erico, denominado universo no est´ andar de los reales, por ∗ R. Este universo contiene a los n´ umeros reales est´ andar y a los elementos infinitesimales i, que pueden ser usados de manera consistente. M´ as a´ un, tambi´en acoge a los n´ umeros infinitamente grandes. De esta manera, si un n´ umero a ∈∗ R puede suceder que sea un n´ umero finito, un infinitesimal o un n´ umero infinito: 1. a es un n´ umero finito si a ∈ R. 2. a es un infinitesimal si |a| < m, para todo m perteneciente a los reales est´ andar positivos (cero, por ejemplo es un infinitesimal). 15

3. Si a es un infinitesimal, a 6= 0, entonces a−1 es un n´ umero infinito. De esta forma el universo ∗ R del an´ alisis no est´ andar involucra a los n´ umeros finitos (pertenecientes a R), los n´ umeros infinitamente peque˜ nos y los n´ umeros infinitamente grandes (inversos de los infinitesimales).

8.

El universo num´ erico no est´ andar y el continuo

No es nuestro prop´ osito aqu´ı analizar a fondo el modelo no est´ andar de los n´ umeros reales. Tenemos un objetivo modesto. Se trata de brindar una idea intuitiva de los cambios que se dar´ıan a nivel de las concepciones del continuo y de los sistemas num´ericos, todo esto en relaci´ on con el infinito. En este sentido, es pertinente recordar que la estructura de los n´ umeros reales, caracterizada como campo ordenado y completo, es un producto moderno que nos permite visualizar el continuo geom´etrico como un agregado de puntos. As´ı lo entendieron matem´ aticos como Weierstrass, Cantor y Dedekind, quienes se propusieron la construcci´ on del continuo aritm´etico. La idea fundamental se basaba en partir de los n´ umeros racionales y, a trav´es de ellos, construir los irracionales. Hay que entender que esa necesidad se torna perentoria al comprobar que los infinitos racionales no llenan la totalidad de la recta geom´etrica. La idea general, entonces, consiste en construir un conjunto num´erico de tal suerte que sus elementos “llenen” completamente los puntos de la l´ınea recta, prototipo de continuo. Sin embargo sabemos que este paso result´ o ser una quimera; tanto Cantor como Dedekind, al final, debieron acudir a la autoridad de un axioma para establecer esta correspondencia. Como vemos, los presupuestos te´ oricos, las t´ecnicas utilizadas y finalmente la axiom´ atica, llevan a un copamiento total de la recta por los elementos del conjunto num´erico. Pero ´este es, en el fondo, un acto discriminatorio; es una manera de expulsar los infinitesimales y los transfinitos por una v´ıa jur´ıdica. Para entender un poco la extensi´ on de Robinson analicemos un ejemplo esclarecedor. Es un hecho elemental para nosotros que el n´ umero 0.999999... y el 1, coinciden. La demostraci´ on nos parece sencilla: tomemos x = 0,999999..., 10x = 9,999999... y rest´emolos 10x −x 9x

= = =

9,999999... −0,999999... 9,0000000000...

obteniendo x = 9/9 = 1. En el fondo para lograr el resultado estamos utilizando el concepto de convergencia de una serie, que es una noci´ on del continuo est´ andar, es decir, la serie: 9 9 9 + + +... 10 100 1000

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converge al l´ımite 1, lo cual significa que la sucesi´ on de sumas parciales „

1−

1 10n

«ff



9 (1 10

− 101n ) 1 1 − 10

tiene como l´ımite 1, cuando n tiende a infinito, o si queremos ex-

presarlo en lenguaje de inecuaciones: (∀ > 0)(∃N ∈ N)(∀n ≥ N ) 1 − 1 −

1 10n