Laboratorio de Física Universitaria A. Autor: Enrique Sánchez y Aguilera. Unidad: Errores e incertidumbres en mediciones. Agosto 1999

OBJETIVO: Ser capaz de determinar la incertidumbre de un aparato de medición. Ser capaz de calcular la incertidumbre en mediciones directas. Ser capaz de calcular la incertidumbre en mediciones indirectas.

Medir es una actividad común en el hombre, desde tiempo inmemorial ha medido la longitud de distancias; para saber que tan lejos está un lugar de otro, para determinar el tamaño de las cosas. Ha medido la cantidad de líquido que cabe en un recipiente. Sin embargo, el hecho de medir no es dar una cantidad numérica. Medir, en el trabajo científico y en la ingeniería, significa dar un resultado numérico acompañado de una incertidumbre o error y las unidades que especifican el tipo de cantidad física. Algunos ejemplos de constantes físicas medidas se dan en la siguiente tabla. Constante Velocidad de la luz en el vacío (m/s) Carga elemental (C) Constante de Avogadro (mol)-1 Constante de gravitación universal (m3/s2kg)

Símbolo C

Valor del cálculo 3.00 X 108

Mejor valor 1986 2.99792458 X 108

Incertidumbre exacto

e

1.60 X 10-19

1.60217733 X10-19

0.00000030 X10-19

Na

6.02 X 1023

6.0221367 X10-11

0.00000059 X1023

G

6067 X10-11

6.67259 X10-11

0.000128 X10-11

En la tabla 1. la incertidumbre de cada una de las cantidades físicas, indica con que precisión se ha hecho la medición. No sabemos cuál es el valor verdadero, pero si tenemos un indicador de que tan confiable es el resultado obtenido. Por ejemplo la constante de la gravitación universal es confiable hasta la quinta cifra significativa.

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Unidad: Errores e incertidumbres en mediciones. Agosto 1999 Los investigadores de las ciencias exactas y los ingenieros han acordado expresar toda medición, por ejemplo, la constante de la gravitación universal se expresa como sigue G = (6.67259 ± 0.000128) X 10-11 m3/s2 kg Lo que significa, que el valor de la constante G se encuentra entre G+ = 6.672718 X 10

-11

m3/s2 kg

y G- = 6.672462 X 10-11 m3/s2 kg

En esta práctica aprenderás a calcular la incertidumbre implícita en un aparto de medición como por ejemplo; un vernier, una regla graduada en milímetros, una probeta, etc. Aprenderás a distinguir entre mediciones directas, mediciones indirectas, y mediciones reproducibles, y como calcular sus incertidumbres.

Mediciones directas e incertidumbre. En aparatos de medición como una regla, vernier, una balanza mecánica, etc. se define la incertidumbre absoluta o máximo error posible como la mitad de la escala más pequeña. Por ejemplo, en un vernier con el cual podemos medir hasta un décimo de milímetro (0.1 mm), la incertidumbre absoluta será de medio décimo de milímetro, esto es 0.05 mm. Existen aparatos como el tornillo micrométrico con el cuál se puede medir hasta 2 milésimas de milímetro (0.002 mm), en este caso la incertidumbre absoluta del micrómetro es de una milésima de milímetro (0.001 mm). Considérese una balanza granataria con la que se puede medir la masa de objetos hasta una décima de gramo, ¿cuál es su incertidumbre absoluta? δabs = El profesor pedirá que se describa como se usan algunos aparatos de medición y que se determine la incertidumbre absoluta respectiva. En la bitácora de clase describe (de que partes consta, cual es la graduación más pequeña, cual es su incertidumbre, en que unidades está graduado) cada uno de los aparatos de medición que utilizarán en esta clase, así como la manera de usarlos. Elabora una tabla como la mostrada a continuación y registra el error absoluto (incertidumbre absoluta) de cada uno de ellos. Tabla 1. Listado de aparatos de medición, en donde se indica la incertidumbre absoluta de cada uno. Aparato de medición

Graduación o escala más pequeña

Unidades

Incertidumbre absoluta o máximo error posible

La incertidumbre relativa de una medición se define como el cocinete de la incertidumbre absoluta entre la medición, δ = δabs/medición, y la incertidumbre porcentual como el producto de la inceridumbre relativa multiplicada por cien.

δ% = δr X 100.

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1. Medición directa de una longitud. En esta actividad se medirán algunas longitudes como el largo de un lápiz, el diámetro de una esfera, el diámetro de una placa circular, el espesor de una placa metálica, la altura de un cilindro, etc. Elabora en la bitácora una tabla como la que se muestra a continuación y calcula la incertidumbre relativa y la incertidumbre porcentual de cada dimensión medida. Escribe tus resultados con el número de cifras significativas que permita leer cada aparato de medición, tomando en cuenta su incertidumbre absoluta. Elemento medido

Longitud medida

Aparato utilizado

δabs (unidades)

Medición (unidades)

δr

δ%

Lápiz Lado de una escuadra Varilla

Algunos aparatos de medición traen de fabrica una marca donde se especifica la tolerancia o incertidumbre absoluta. En la siguiente tabla se dan algunos ejemplos, completa la tabla escribiendo la tolerancia de los instrumentos de medición listados y agrega algún otro aparato de medición, como por ejemplo un multímetro, un esferómetro, etc. Aparato Probeta de 25 ml Probeta de 50 ml Probeta de 250 ml Cronómetro digital Vaso de precipitados de 500 ml Vaso de precipitados de 1000 ml Vernier (escala milimétrica) Vernier (escala en pulgadas) Tornillo micrométrico o palmer (escala milimétrica)

Tolerancia o incertidumbre

2. Medición directa del tiempo. ¿Cuál es tu tiempo de respuesta? El uso de cronómetros, ya sea analógicos o digitales, requiere de cierta habilidad para hacer una buena medición del tiempo. En cualquiera de los dos tipos de cronómetros existe un botón que acciona el mecanismo de medición, esto implica que hay un tiempo que no forma parte de la medición y esta relacionado con la rapidez del operador para prender el cronómetro al iniciar un evento y apagarlo cuando este termina. El intervalo de tiempo entre prender el cronómetro e inmediatamente apagarlo se llama tiempo de respuesta del operador.

Laboratorio de Física Universitaria A. Autor: Enrique Sánchez y Aguilera. Unidad: Errores e incertidumbres en mediciones. Agosto 1999 ¿Cuál es la diferencia entre un cronómetro analógico y uno digital? En la siguiente tabla registra tu tiempo de respuesta para cinco intentos y calcula el valor promedio. El promedio de estas mediciones será tu tiempo de respuesta. Cronómetro analógico (medición) 1 2 3 4 5 promedio

Tiempo de respuesta (segundos)

Cronómetro digital (medición) 1 2 3 4 5 promedio

Tiempo de respuesta (segundos)

Tolerancia cronómetro digital ______________ s Tolerancia cronómetro analógico ___________ s Para registrar la medición del tiempo que dura un evento, es necesario restar el tiempo de respuesta al tiempo medido. Mide el tiempo que tarda una pelota en recorrer una distancia horizontal de 10 metros cuando se lanza con velocidad constante. Lanzamiento 1 2 3 4 5

Tiempo (s)

Lanzamiento 6 7 8 9 10

TP (promedio de los tiempos de lanzamiento) ________________ s TPR (Promedio menos tiempo de respuesta) _________________ s Medición T PR

± Tolerancia = ___________ ± ________

s

Tiempo (s)

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3. Medición directa de un área. La medición directa del área de una superficie se puede hacer comparando la cuadrícula de una hoja de papel milimétrico con la superficie del cuerpo en investigación. En este experimento se utilizarán hojas tamaño carta. Este método solo se aplica a superficies planas regulares e irregulares, como un cubo, una hoja de árbol. También se puede medir el área de una superficie cilíndrica rodando el cilindro sobre el papel milimétrico. Sobre una hoja de papel milimétrico coloca un cuerpo con caras planas. Traza el perímetro del cuerpo y determina su área. ¿Cuál es la graduación más pequeña en una hoja de papel milimétrico? ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la escala que estas utilizando?

Elemento medido

Área en mm2 medición

δr

δ%

Area ±

δ%

Hoja de árbol Calculadora Cilindro (área lateral)

Determinar la incertidumbre en una medición indirecta Una medición indirecta es aquella en la cual no se compara directamente el objeto medido con el patrón de medición correspondiente, por ejemplo, el área de la superficie de la cubierta de una mesa, el área de la superficie de una esfera, el área de un campo de fútbol, etc. Se dice que una medición es indirecta cuando se efectúa un cálculo a partir de mediciones directas. Como ejemplos de mediciones indirectas tenemos la determinación de la velocidad de la luz, la medición de la masa de un electrón, etc. Da otros ejemplos de mediciones indirectas

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INCERTIDUMBRE DEL PRODUCTO DE DOS MEDICIONES. Sean dos mediciones A y B, obtenidas al medir las longitudes de los lados de una lámina rectangular. A = 7± 0.5 mm

y B = 3 ± 0.5 mm

La pregunta es: ¿cuál es la incertidumbre relativa y cuál la incertidumbre porcentual del área de la lámina? Sea Z la magnitud del área de la lámina rectangular, entonces Z = A B, en esta ecuación

por tanto

A=Ao ± δA y B = Bo ± δB z = Z o ± δZ , siendo Zo = Ao Bo y δZ la incertidumbre absoluta en donde Ao = 7 mm y su incertidumbre absoluta δA es 0.5 mm. Para el caso de B se tiene Bo = 3 mm y δB = 0.5 mm

La incertidumbre relativa del área Z esta dada por

δZ/Zo = δA/Ao + δB/Bo Ahora bien

Zo = 21 mm2 y su incertidumbre relativa es δZ/Zo = 0.5/7 + 0.5/3 fijate que la incertidumbre relativa no tiene unidades. La incertidumbre porcentual será (δZ)r * 100 = 24 % Se puede calcular la incertidumbre absoluta, la cuál está dada por

δZ/ = (δA/Ao + δB/Bo)Zo de donde δZ = 5.04 mm2 Con estos resultados se puede escribir el área de la lámina rectangular Z = 21 ± 5.04 mm2

En esta actividad se determinará la incertidumbre relativa y porcentual de algunas cantidades que son el resultado de una medición indirecta. El encargado del laboratorio te proporcionará algunos objetos para que determines el área de su superficie o bien su volumen. Llena las siguientes tablas anotando la cantidad medida en la columna correspondiente, según sea el caso. En la bitácora efectúa los cálculos necesarios

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Cuerpo

Aparato utilizado

Ancho

Largo

Altura

Diámetro

Esfera Prisma rectangular Libro Cuaderno Cilindro Cubo

Cuerpo

Area ± incertidumbre porcentual

Incertidumbre absoluta

Volumen ± incertidumbre porcentual

Esfera Prisma rectangular Libro Cuaderno Cilindro Cubo

Determinar la incertidumbre de medidas reproducibles. A un alumno del curso de Química General se le pide que determinar la masa de una muestra de tapones de goma del No 5. Cuál sería su sorpresa, al darse cuenta de que no todos los tapones tienen la misma masa. En la siguiente tabla se ha registrado los datos de las mediciones. Tapón No Masa (g)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Se puede asociar una incertidumbre a cada medición considerando el error absoluto de la balanza. Después de una inspección cuidadosa de los datos se ve que la mayoría de las masas no están dentro del intervalo de la masa promedio ± la incertidumbre absoluta. La pregunta es ¿qué hacer en este caso? Lo más adecuado es calcular la masa promedio y obtener la diferencia con cada una de las masa. La máxima de las diferencias será la incertidumbre de una medición reproducible. ¿Qué se entiende por medida reproducible?

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Unidad: Errores e incertidumbres en mediciones. Agosto 1999 Con los datos de la tabla anterior, calcula lo siguiente. i) Masa promedio de los tapones de hule del No. 5

M promedio = ii) Llena la siguiente Tabla Tapón # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Masa del tapón

Masa del tapón – masa promedio

iii) En el siguiente espacio escribe el valor absoluto de la Máxima de las diferencias

iv) |Masa del tapón - Masa promedio I máxima = La masa más representativa de un tapón de hule del No. 5 es M = Masa promedio ± la máxima de las diferencias. M=

Determinar la incertidumbre de una constante Como se muestra en la introducción, toda constante que sea una cantidad física tiene una incertidumbre. En esta actividad se medirá el diámetro, la circunferencia y el radio del círculo máximo de una pelota de softball y de una esfera de madera. Con un cordón, rodea la pelota de softball y la esfera y marca este en el lugar donde se cierra el circulo. Con una regla de 30 cm de longitud mide la longitud del cordón. ¿Cómo medirías el diámetro de la pelota y de la esfera? Explica

Laboratorio de Física Uníversítaría A Autor: Enrique Sánchez y Aguilera.

Unidad: Errores e incertidumbres en mediciones. Agosto 1999 Los griegos descubrieron que la relación entre el diámetro de un círculo y la longitud de su circunferencia está dad por

π = (longitud de la circunferencia del círculo)/(diámetro del círculo) El valor de π se ha determinado con cierta precisión y se considera como valor aceptado 3.1416 (este número se tomará como el valor verdadero)

Cuerpo Pelota de softball Esfera de madera

Diámetro

Longitud de la circunferencia

Promedio del valor del número pi

πexp = Calcula la incertidumbre relativa del número

π

δπ/π =|πexp - π|/π = ¿cuáles son las unidades del número π? Da una explicación.

Valor de π calculado