Identificación de las propiedades de los cuadriláteros Cuadrilátero. Es un polígono de cuatro lados. Se le representa con sus cuatro vértices. Características

Dado este cuadrilátero ABCD, se tiene:

Clasificación. Los cuadriláteros se pueden dividir de acuerdo a las siguientes características: Trapecio. Cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos.

Lados. Posee 4 lados que son ̅̅̅̅, representados por los segmentos: 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 , 𝐶𝐷 y 𝐷𝐴. Vértice. Posee 4 vértices, a saber: ∠𝐴, ∠𝐵, ∠𝐶 y ∠𝐷. Lados opuestos. Son los lados no adyacentes: ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 con ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 con ̅̅̅̅ 𝐷𝐴 Lados adyacentes. Lados que comparten un mismo ángulo. Rectángulo. Cuadrilátero que tiene 4 ángulos rectos y sus lados opuestos iguales.

Además se tiene que la diagonal de un cuadrilátero es el segmento que une dos vértices opuestos. Dibuja en la figura las dos diagonales ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 y ̅̅̅̅. 𝐷𝐵

Trapezoide. Cuadrilátero que ningún lado de los 4 es igual.

Cuadrado. Cuadrilátero que tiene 4 lados iguales y sus ángulos rectos.

Propiedades: * En un paralelogramo sus diagonales se bisecan mutuamente. * El cuadrado, el rectángulo y el Rombo. Cuadrilátero con sus 4 lados Paralelogramo. Cuadrilátero que rombo son paralelogramos. iguales. tiene sus dos pares de lados * En un paralelogramo dos ángulos opuestos paralelos. consecutivos son suplementarios. * En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales. * La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es de 360°. Cálculo de perímetro y área Perímetro. Es la distancia alrededor de una figura Área. El área de una figura plana es la extensión de la figura bidimensional. plana, medida en unidades cuadradas de longitud. La unidad SI de área es el metro cuadrado (m2), que es el área de un Ejemplo: el perímetro de este rectángulo es: cuadrado cuyos lados miden 1 metro. a+b+a+b = 2(a+b)= 2a+2b.

El perímetro de un círculo se llama circunferencia.

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Fórmulas para el cálculo de perímetro y área.

Ejercicios a) En el siguiente paralelogramo 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 4°, ̅̅̅̅ , 𝐸𝐷 ̅̅̅̅ y 𝑚∠𝐶𝐷𝐵 halla 𝐶𝐷

A

74 31 E

C

b)

B

D

En el siguiente paralelogramo determina las variables:

7x 6x+y

10y-1

5x+19 c)

d)

Calcula el número de ladrillos cuadrados que hay en un salón rectangular de 6 m de largo y 4.5 m de ancho si cada ladrillo mide 30 cm de lado. Determina la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de esta granja, sabiendo que se gastan 0.8 kg de pintura por cada metro cuadrado. 2 cm

11 cm

2 cm

2

5 cm 10 cm 8 cm

Procedimiento

Respuesta

Identificación de las propiedades de los polígonos de más de cuatro lados. Polígono. Figura cerrada limitada por una cantidad finita de segmentos. Estos segmentos se llaman lados del polígono y los puntos donde dos de ellos coinciden son sus ángulos.

Clasificación.  Por sus lados  Por sus ángulos  Por la relación entre sus lados y ángulos Por sus lados. Por el número de sus lados se subdividen en: No. De lados Nombre Tres Triángulo Cuatro Cuadrilátero Cinco Pentágono Seis Hexágono

Por sus ángulos. Se debe a sus ángulos internos que poseen:

Por la relación entre sus lados y ángulos:

Convexo. Donde cada ángulo interno es obtuso. 𝑚∠𝐴, 𝑚∠𝐵, 𝑚∠𝐶, 𝑚∠𝐷, 𝑚∠𝐸 < 180° Cóncavo. Tiene uno o más ángulos internos mayores a 180° 𝑚∠𝐸𝐷𝐶 > 180°

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Irregular. Tienen sus lados y ángulos diferentes. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≠ ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ≠ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ≠ ̅̅̅̅ 𝐷𝐸 ≠ 𝐷𝐴 𝑚∠𝐴 ≠ 𝑚∠𝐵 ≠ 𝑚∠𝐶 ≠ 𝑚∠𝐷 ≠ 𝑚∠𝐸 Regular. Tienen sus lados y ángulos iguales. ̅̅̅̅ = 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ = 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ = 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝐷𝐴 𝐴𝐵 𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝐷 = 𝑚∠𝐸

Siete Ocho Nueve Diez Once Doce Trece Catorce Quince Veinte

Heptágono Octágono Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono Tridecágono Tetradecágono Pentadecágono Icoságono

Elementos asociados a polígonos regulares: Diagonal. Segmento de recta que une 2 vértices no consecutivos del polígono. (d) ̅̅̅̅ 𝑬𝑩 RADIO. Segmento de recta que une el centro del polígono con uno de sus vértices. (r) ̅̅̅̅̅ 𝑶𝑫 Apotema. Segmento de recta perpendicular que va del centro del polígono a uno de sus lados. (a) ̅̅̅̅ 𝑶𝑮 Ángulo central. Es el ángulo formado por dos radios del polígono. (𝜶) ∠𝑫𝑶𝑪 Ángulo interior. Es el ángulo formado por dos lados del polígono. ( 𝜷) ∠𝑬𝑨𝑩 Ángulo exterior. Es el ángulo formado por un lado y por la prolongación de su lado adyacente en un polígono. (𝜸) ∠𝑨𝑩𝑭

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Ejercicios:

Finalidad. Determinar el área de poligonos irregulares con el método de DESCOMPOSICIÓN EN TRIÁNGULOS O TRIANGULACIÓN. Consiste. En dividir el polígono en diferentes triángulos conocidos para determinar el área de cada uno y así, al sumarlos, obtener el área total del polígono. Esta división se hace mediante líneas. ¿De cuántas formas se hará la división? Cuando se realiza la triangulación de un polígono de n lados desde un solo vértice con el uso de diagonales, la cantidad de triángulos divisores es de n-2.

Finalidad. Determinar el área de poligonos irregulares con el empleo de DIAGONALES. ¿Cómo determinar el # de diagonales? Cuando se realiza el trazo de diagonales de un POLÍGONO REGULAR de n lados desde un solo vértice o las diagonales totales que se pueden trazar desde todos los vértices, la cantidad de diagonales divisores es de n-3, así como los valores de sus ángulos internos y externos y la suma de estos.

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Cuando el polígono es irregular de n lados, entonces: * Número de diagonales d que se pueden trazar desde un vértice es: d=n-3 * El numero de diagonales D que se pueden trazar 𝑛(𝑛−3) en total desde todos los vértices es de D= 2

* El valor de cada ángulo central ∠𝑐 es m∠𝑐 = * El valor de cada ángulo externo ∠𝑖 es m∠𝑒 = * El valor de cada ángulo interno ∠𝑖 es m∠𝑖 = 180°(𝑛−2) 𝑛

* Se satisface que ∠𝑒 + ∠𝑖 = 180°

360° 𝑛 360° 𝑛

Ejercicio 1. En un pentágono determina: a) La cantidad de diagonales de un sólo vértice

b)

La cantidad total de diagonales que se pueden trazar

c)

El valor del ángulo central

d)

El valor del ángulo interno

Ejercicio 1. La empresa “Super ventas fabrica sombrillas de playa, y requiere usar tela cortada en forma de polígono regular. Entonces, ¿Qué cantidad de tela se necesita para fabricar 150 sombrillas en forma de decágono? Cada lado mide 18.2cm y apotema 28cm

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Ejercicio 2. ¿A qué polígono regular se le puede trazar un total de 104 diagonales? Tip: usar la fórmula general:

Cálculo de perímetro y área.

Lado: 3cm Apotema: 2.6 cm Perimetro: 6 lados*3cm

Donde: P: perímetro = nl n = lados a = apotema A: área =

Ejercicio 2. La torre de una antigua fortificación es de planta hexagonal. Se ha medido el área de la planta inferior y se ha obtenido un resultado de 166.27 m2. Si cada una de sus paredes mide 8 m de anchura, ¿Cuánto mide la apotema de su planta?

𝑃 (𝑎) 2

Identificación de los elementos y de las propiedades del círculo

Círculo.

Circunferencia.

Porción de plano delimitado por una circunferencia

Curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro.

Entonces el perímetro del círculo es la circunferencia y el círculo es un área. Elementos:

Tarea. Investigar la definición de cada uno de los elementos mencionados anteriormente y pegar en apunte.

Círculos concéntricos. Aquellos con el mismo centro.

Segmento circular. Porción delimitada por el arco intersecado y la cuerda comprendida.

Ángulos en la circunferencia

INSCRITO. Es el que se forma con dos cuerdas que se cortan en un mismo punto de la circunferencia. Su valor es la ̂ 𝐴𝐵

mitad del arco intersecado. 𝑚∠𝐴𝐶𝐵= CENTRAL. Se forma entre dos radios. Su valor es igual al del arco intersecado.

̂ 𝑚∠𝐴𝑂𝐵 = 𝐴𝐵

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SEMIINSCRITO. Se forma con una cuerda y una tangente que se cortan en un solo punto de la circunferencia. Su valor es la mitad del arco intersecado.

𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 180 - 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 ̂ 𝐵𝑂

𝑚∠𝐵𝑂𝐴=

2

2

EXINSCRITO. Formado por una cuerda y una secante que se cortan en un mismo punto de la circunferencia. Su valor es el supemento del ángulo inscrito formado.

INTERIOR. Formado por dos cuerdas que se intersecan. Su valor es la mitad de la suma de sus dos arcos intersecados.

̂ −𝐸𝐵 ̂ 𝐴𝐷

𝑚∠𝐴𝐶𝐷=

2

̂ −𝐴𝐵 ̂ 𝐴𝐶𝐵

𝑚∠𝐴𝐷𝐵=

2

EJEMPLO

EJERCICIO

EJERCICIO

CÁLCULO DE PERÍMETRO Y ÁREA

Ejemplo

Ejercicio

El Perímetro P de la circunferencia de radio r es: P=2𝜋r

El Área A de un círculo de radio r es: A = 𝜋r2

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EXTERIOR. Existen tres opciones: * Es el que se forma por 2 secantes que se intersecan exteriormente. * Es el que se forma con una secnate y una tangente que se intersecan exteriormente. * Es el que se forma con dos tangentes que se intersecan exteriormente. Su valor es la mitad de la resta de los arcos intersecados

̂ −𝐴𝐵 ̂ 𝐴𝐶

𝑚∠𝐴𝐷𝐶=

2