Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce

Las triplas pitagóricas Dr. Álvaro Lecompte Resumen Por métodos experimentales y argumentos sencillos, se discute como el proceso de conseguir triplas pitagóricas corresponde a la factorización en los números complejos de coeficientes enteros, llamados enteros gaussianos. Las triplas se forman a partir de los complejos racionales del círculo unitario, los cuales a su vez se consiguen de cuadrados de enteros gaussianos. Todo el proceso es fácil de programar en la computadora y permite ilustrar varios conceptos del álgebra abstracta moderna de forma muy concreta.

1. Introducción Las triplas pitagóricas están formadas por números enteros (a, b, c) tales que a² + b² = c². Por tanto, existe un triángulo rectángulo con esos números como medidas de sus lados. La más conocida es (3, 4, 5) pero hay infinitas, empezando por los múltiplos de esta y muchas otras como (5, 12, 13), (7, 16, 25) y todas las otras que pronto mostraremos. Puesto que despiertan enseguida la curiosidad, las triplas han sido mencionadas desde tiempos antiguos. En particular, Fermat las estudió y luego intentó encontrar triplas que cumplieran an + bn = cn , para otros exponentes diferentes de 2. No encontrando soluciones más allá de n=2, Fermat dejo escrito que este tipo de triplas no existen para n>2 y que tenía una prueba. La prueba, si existió, no apareció entre sus papeles. Esta afirmación es el famoso Teorema de Fermat, cuya prueba estuvo abierta por varios siglos y sólo se logró a finales del siglo pasado. Se dice que no existen más de 30 personas en el mundo que puedan entender la prueba cabalmente, por lo que sigue abierto el reto de presentarla en forma más sencilla. El estudio de las triplas pitagóricas, así como la búsqueda de una prueba del Teorema de Fermat llevó al desarrollo de buena parte del álgebra abstracta y de la geometría algebraica. Además de Fermat, grandes matemáticos como Gauss, Kummert, Dedekind y otros también estudiaron este tema. Recientemente como proyecto de investigación de un grupo de estudiantes de escuela superior revisamos este tema de las triplas pitagóricas en forma de un experimento computacional. Luego de escribir los programas para generar las triplas, por Revista 360/ No.6/ 2011

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce pura observación, entre todos fuimos encontrando varias propiedades que nos llevaron a redescubrir su misterio, igual que seguramente lo hicieran Fermat y Gauss en su momento. Sin recordar ahora fuente alguna, es muy posible que algunos de estos datos estuvieran en el subconsciente de la memoria de los cursos olvidados de álgebra abstracta del bachillerato. Recuerdo que cuando nos hablaron del Teorema de Fermat mencionaron una prueba falsa del siglo XIX en la cual se factorizaba la ecuación de Fermat en los complejos y se llegaba a una contradicción. La prueba era incorrecta, ya que en el anillo en cuestión, generado por las raíces enésimas complejas de las unidades combinadas con coeficientes enteros, no tenía la propiedad de factorización única, la cual se usaba de forma escondida en los argumentos. Para tratar de corregir la prueba o descartarla, se desarrolló la teoría de anillos y la factorización en estos por medio de ideales, introduciendo los conceptos de dominio euclidiano, dominio de ideales principales y dominio de factorización única. En este trabajo veremos como la factorización en los complejos gaussianos aparece subyacente en la construcción de las triplas pitagóricas, pero sin entrar al álgebra abstracta. Resulta un gozo único cuando tropezamos nuevamente con la unidad de las matemáticas. Detrás de estas triplas se esconde una buena parte del álgebra moderna y se goza viendo como cada hecho encaja en su lugar. Presentamos los resultados que se obtuvieron para el disfrute de los lectores, invitándolos desarrollar por sí mismos estos cálculos. La ciencia de los números sigue siendo la reina de las matemáticas.

2. Triplas irreducibles y sus generadores Las triplas pitagóricas

se pueden generar mediante el siguiente truco bien

conocido. Si factorizamos uno de los catetos de la forma: b² = c² – a² = (c + a) (c – a) = m n con m= c + a y n = c – a, la búsqueda se reduce a la de dos enteros m y n cuyo producto sea un cuadrado. La solución es:

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce m = f² h, n = g² h

Para enteros f, g y h. Esta solución es general, ya que f es la parte cuadrática de m, g la de n y h un factor libre de cuadrados que debe repetirse en m y n. Sustituyendo, en a, b y c se obtiene: a = (f² – g²) h /2 b=fgh c = (f² + g²) h /2

El número h aparece como un factor común de la tripla y podemos dejarlo fuera, ya que cualquier múltiplo de un tripla pitagórica sigue teniendo la propiedad. Igualmente, cualquier factor común de f y g aparece como un factor cuadrático de la tripla y se puede omitir. Por tanto, las triplas irreducibles se consiguen si f > g, son primos entre sí.

Si f y g son de distinta paridad, a y c en esta fórmula resultan ser semi-enteros. En ese caso restituimos un factor de 2 y usamos en su lugar: a = f² – g² b=2fg c = f² + g²

Si f y g son ambos impares, usamos las primeras fórmulas. Los estudiantes prepararon un programa en el lenguaje “Mathematica” para estos dos conjuntos de fórmulas, logrando la Tabla 1 para los valores más pequeños de f y g. En la computadora se prepararon tablas mucho más extensas, pero esta es suficiente para discutir las observaciones. Para cada f, a g se le dan todos los valores posibles, de menor a mayor.

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce f

g

a

b

c

2

1

3

4

5

3

1

4

3

5

3

2

5

12

13

4

1

15

8

17

4

3

7

24

25

5

1

12

5

13

5

2

21

20

29

5

3

8

15

17

5

4

9

40

41

6

1

35

12

37

6

5

11

60

61

7

1

24

7

25

7

2

45

28

53

7

3

20

21

29

7

4

35

56

65

7

5

12

35

37

8

1

63

16

65

8

3

55

48

73

8

5

39

80

89

8

7

15

112

113

Tabla 1

3. Simetría de los catetos En primer lugar, se puede apreciar en la Tabla 1 como la tripla (a, b, c) aparece con ciertos valores de la pareja (f , g) y más adelante aparece la tripla (b, a, c) con otra pareja de f y g. Es natural preguntarse cuál es la relación entre una y otra pareja. La respuesta se logra tras algunos ensayos. Si (f, g) produce (a, b, c) de primera en la lista, entonces (f + g, f - g) produce la tripla simétrica (b, a, c) más adelante. La primera tripla en aparecer siempre ocurre con f y g de distinta paridad, la segunda aparece con f y g Revista 360/ No.6/ 2011

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce ambos impares. Efectivamente, si se cumplen las segundas fórmulas para f y g, entonces con las primeras fórmulas para f + g y f – g se obtiene: ((f + g)² - (f – g)²) / 2 = 2 f g = b (f + g) (f – g) = f² - g² = a ((f + g)² + (f – g)²) / 2 = f² + g² = c Esta observación nos llevó a dos conclusiones: en primer lugar no es necesario usar el primer grupo de fórmulas, ya que la tripla que se produce con f y g ambos impares aparece más tarde con los catetos en distinto orden. Es decir, para generar las triplas irreducibles una sola vez, usamos las segundas fórmulas con f > g, primos entre sí y de distinta paridad. En segundo lugar, si se itera el método, es decir si se sigue haciendo (f + g, f – g) con los valores ya obtenidos, se llega a la pareja (2 f, 2 g), que produce un múltiplo de (a, b, c). Si se sigue iterando se repite la tripla de catetos invertidos y así sucesivamente. Esta propiedad nos llevó a pensar que debe haber alguna explicación geométrica detrás de la simetría. Buscando la relación, se preparó una segunda tabla para los ángulos formados por los vectores (a, b) y (f, g) en el plano cartesiano, enfocada en las parejas simétricas, obteniendo la Tabla 2. En esta, ang1 es el ángulo de (a, b) y ang2 el de (f, g). Los ángulos están en radianes. f

g

a

b

c

ang1

ang2

2

1

3

4

5

0.9273

0.4637

3

1

4

3

5

0.6435

0.3217

3

2

5

12

13

1.1760

0.5880

5

1

12

5

13

0.3948

0.1974

4

1

15

8

17

0.4900

0.2450

5

3

8

15

17

1.0808

0.5404

4

3

7

24

25

1.287

0.6435

7

1

24

7

25

0.2838

0.1419

Tabla 2

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Se observa, como debe ser, que las parejas simétricas tienen ángulos que suman π /2 = 1.5708, es decir complementarios. Mientras, las de (f, g) tiene ángulos que suman π /4 = 0.7854. Por allí empezaron los descubrimientos que siguen. Una segunda mirada a la tabla nos da la explicación de los ángulos: el ángulo de (f, g) siempre es la mitad del ángulo de (a, b). Este resultado se observa para todas las triplas, pero necesita de alguna prueba. Vamos a la trigonometría, si: Cos( ang2) = f / (f² + g²)1/2 Sin( ang2) = g / (f² + g²)1/2

Resulta: Cos(ang1) = Cos(2 ang2) = Cos²(ang2) – Sin²(ang2) =( f² - g²) /(f² + g²) = a /c Sin(ang1) = Sin(2 ang2) = 2 Sin(ang2) Cos(ang2) = 2 f g / (f² + g²) = b /c

Esto prueba la afirmación.

La propiedad anterior nos lleva a un método geométrico para producir las triplas pitagóricas, como sigue: 1) Tome un punto del plano (f, g), con coordenadas enteras. 2) Busque la intersección del radio hacia ese punto con el círculo unitario del plano. Se obtiene el punto de coordenadas (f, g) / (f² + g²)1/2. Observe que aquí no necesita preocuparse porque f y g sean primos entre sí, ya que cualquier múltiplo lleva al mismo punto. 3) Duplique el ángulo de ese radio y obtenga el punto con coordenadas (f² – g², 2 f g) / (f² + g²). Este es un punto de coordenadas racionales sobre el círculo unitario. 4) Prolongando el radio que pasa por el último punto, va a llegar a algún punto de coordenadas enteras (a, b). Para ello, si (s/t , u/v) son las razones irreducibles de las coordenadas, multiplique el vector por c = mínimo común múltiplo de t y u.

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 5) Este mínimo común múltiplo es la hipotenusa buscada, las coordenadas enteras (a, b) son los catetos. De allí en adelante se consiguen muchas otras triplas múltiplos de la anterior.

4. Factorización prima de las hipotenusas Otra exploración de la Tabla 1 lleva a observar que muchas de las hipotenusas irreducibles son números primos, como 5, 13, 17, 29, 41, 53, etcétera, pero no están todos los primos. Los otros valores de la tabla, como 25, 65, 85, etcétera, parecen ser números que se descomponen en los primos anteriores.

Con una tabla más extensa es fácil

verificar estos hechos, pero ¿por qué pasa esto? Los primos señalados se descomponen como suma de dos cuadrados, p = f² + g². No hemos encontrado que estos primos tengan un nombre pero los podemos llamar primos pitagóricos. El único primo que se descompone como suma de dos cuadrados y no aparece en la lista es 2 = 1 + 1, pero esta es una excepción que va con la pareja f =1, g =1 la cual produce la tripla degenerada (0, 1, 1) usando las primeras fórmulas para f y g ambos impares. Vamos a dejar 2 fuera de la definición de primo pitagórico, ya que no encaja con la factorización. En la lista no aparecen hipotenusas pares. La reflexión sobre esta propiedad de factorización en términos de estos primos pitagóricos nos llevó a buscar alguna operación de producto subyacente. Con la ayuda del método geométrico de la sección anterior, no fue difícil darse cuenta que esta debía ser la multiplicación compleja en el círculo unitario. Es decir, la multiplicación es la del grupo U(1). En el círculo unitario complejo la multiplicación se reduce a la suma de los ángulos polares de cada complejo. Cada tripla pitagórica, irreducible o no, lleva al complejo de coordenadas racionales a/c + i b/c, de norma 1 y, viceversa, los complejos de U(1) de parte real e imaginaria racional forman un subgrupo multiplicativo de U(1), que da origen a las triplas pitagóricas. La multiplicación debe entonces ser: (a/c+ i b/c) (a‟/c‟ + i b‟/c‟) = ( a a‟ – b b‟)/ „(c c‟) + i (b a‟+ a b‟)/(c c‟)

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Podemos volver a las triplas de enteros: las hipotenusas, se multiplican directamente. Los catetos se comportan como las partes reales e imaginarias de un producto de complejos: (a, b, c) * (a‟, b‟, c‟) = ( a a‟ – b b‟, b a‟ + a b‟, c c‟)

Para estar seguros, veamos un ejemplo:

(3, 4, 5) * (5, 12, 13) = (-33, 56, 65)

En este ejemplo el producto sale un signo negativo en uno de los catetos. Pero en U(1) debemos incluir coordenadas negativas, así que esto es razonable. Si esta tripla es pitagórica, también lo es la convencional (33, 56, 65) que se factoriza como:

(33, 56, 65) = (-3, 4, 5) * (5, -12, 13)

También hay otras dos asociadas con los catetos en otro orden. Las hipotenusas las tomamos siempre positivas, pero para los catetos podemos jugar con las combinaciones de signos.

Multiplicando las triplas anteriores en el otro orden de los catetos, resulta:

(4, 3, 5) * (5, 12, 13) = (-16, 63, 65)

La cual es la otra tripla de hipotenusa 65. Esa es la razón por la cual el valor de 65 aparece en la tabla en dos triplas diferentes. Los cálculos se hacen más fáciles en el anillo de los complejos de parte real e imaginaria entera. Así podemos dejar de lado los racionales y también las hipotenusas. Este anillo se conoce como enteros gaussianos, aunque no son enteros sino complejos. Cada tripla pitagórica la escribimos como a + i b, donde la hipotenusa se recupera como la norma del complejo. Un entero gaussiano es pitagórico si su norma es un entero.

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Los enteros gaussianos pitagóricos forman un subgrupo multiplicativo de los enteros gaussianos (dejando fuera el cero). La segunda parametrización de la tripla (a, b, c) en términos de la pareja (f, g) corresponde a la factorización:

(a + i b) = (f + i g)²

Es decir, (a + b i) es pitagórico irreducible si y solo si es un cuadrado perfecto en los enteros gaussianos.

5. Los enteros gaussianos Rebuscando en un texto de álgebra abstracta encontramos varios ejercicios que pedían probar propiedades muy relacionadas a las de nuestras triplas pitagóricas para los enteros gaussianos. Estas son las siguientes. En primer lugar, los enteros gaussianos forman un dominio euclidiano. Es decir, forman un anillo con una valuación y con un algoritmo de división para la valuación. Una valuación o grado es una función del anillo con valores en los enteros no negativos, tal que la valuación de un producto de factores no nulos, es mayor que la de los factores. El algoritmo de división debe ser tal que dados dos elementos del anillo, s y t, con t no nula, el primero se descompone como:

s = q t + r con V(r ) < V(t)

En los enteros gaussianos podemos tomar como valuación la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria. En estos anillos se pueden introducirlos conceptos de factorización similares a los de los enteros, como el concepto de elementos primos y la factorización única en factores primos. Por ejemplo, los polinomios tienen algoritmo de división, usando como valuación el grado. En particular, en los enteros gaussianos hay elementos primos, que no tienen factores propios, y existe el teorema de factorización única en términos de los primos del anillo, salvo productos por los invertibles, que en este caso son ±1 y ± i .

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Surge entonces la pregunta de cuales son los primos del anillo de los gaussianos y como se logra la factorización en este anillo. El programa “Mathematica” incluye la división y factorización con enteros gaussianos, usando una opción en los comandos. Si desea puede practicar algunos ejemplos. Por lo que a nosotros respecta, resulta que la descripción de los primos gaussianos está muy relacionada las triplas pitagóricas. Si un primo p de los enteros es la suma de dos cuadrados: p = f² + g², es decir si es pitagórico, entonces se puede factorizar en los enteros gaussianos de la forma: p = (f + i g)(f – i g)

y, por tanto, no es un primo gaussiano.

Por el contrario, si un primo de los enteros tiene alguna factorización en los enteros gaussianos, también debe tener como factor al conjugado y se escribe como: p = (f + i g)(f – i g) h = (f² + g²) h.

Entonces, h debe ser 1 porque p es un primo y p debe ser una suma de cuadrados. En otras palabras, los primos pitagóricos son los que no son primos gaussianos, excepto 2 que, como ya explicamos, es un caso especial. 2 = (1 + i) (1 – i) no es primo en los enteros gaussianos. Los otros primos, como 3, 7, 11, 19, etcétera son primos en los enteros gaussianos. ¿Qué otros números complejos son primos gaussianos? Suponga que f + i g es primo gaussiano. Entonces f y g deben ser primos entre sí, para que no exista un factor real. Además, se tiene: f² + g² = (f + i g)(f – ig) Como la factorización de f² + g² es única en los enteros gaussianos y (f + i g) y (f – ig) ambos ya son primos gaussianos , se concluye que f² + g² es un primo de los enteros. Es

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce decir, f² + g² es un primo que es una suma de dos cuadrados, o es 2 o es un primo pitagórico. Tenemos entonces dos tipos de primos gaussianos: los primos enteros que no son suma de cuadrados, como 3, 7, 11, 19, etc. y los números de la forma f + i g, con f y g primos entre sí donde f² + g² es primo, como 1 + i, 2 + i, 3 + i, 3 + 2 i, 5 + i, 4 + 3 i, 5 + 3 i, etc. . Cada uno va con 4 asociados cambiando el rol de las partes real e imaginaria y los signos. Precisamente estas son las parejas (f, g) de la tabla 2 con hipotenusa prima. Los primos gaussianos elevados al cuadrado llevan a las triplas pitagóricas irreducibles de hipotenusa prima. Los demás números gaussianos elevados al cuadrado llevan a triplas pitagóricas reducibles o de hipotenusa compuesta por productos de primos pitagóricos.

6. Factorización de las triplas pitagóricas Regresando a las triplas pitagóricas irreducibles, suponga que c = f² + g². Entonces, se tiene c = f² + g² = (f + ig) (f – i g)

Si (f + i g) no es un primo gaussiano, entonces tiene un factor de la forma (u + i v) que si es primo gaussiano. Entonces (u – i v) es factor del conjugado (f – i g) y llegamos a alguna factorización de la forma: c = (u² + v²) (s + i t) (s – i t) = (u² + v²) (s² + t²)

para algún entero gaussiano s + i t . Por lo que hemos dicho, u² + v² es primo en los enteros, ya que u + i v es primo en los enteros gaussianos. El otro factor de c también es suma de cuadrados. Debe estar en la lista de hipotenusas y se factoriza nuevamente en términos de primos pitagóricos. Así que, finalmente, llegamos a la conclusión de que c factoriza solamente con factores primos que son pitagóricos.

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 7. Primos pitagóricos En el mencionado libro de álgebra abstracta se resalta el siguiente resultado descubierto por Fermat: los primos que son suma de cuadrados, excepto 2, son aquellos congruentes a 1 módulo 4. Esta propiedad se observa en la Tabla 2: 5 = 4 + 1, 13 = 4 * 3 + 1, 17= 4 * 4 +1, etc., pero la observación no es una prueba. La propiedad es necesaria: si p = f² + g² y p no es 2, uno de los dos números, digamos f, debe ser par y el otro, g, impar. Entonces, f = 2 k y g = 2 l + 1, para enteros k y l. Sustituyendo, se obtiene:

p = (2 k)² + (2 l + 1)² = 4 (k² + l² + l) + 1

Para mostrar que esta propiedad es suficiente, necesitamos trabajar con mayor detalle la ecuación p = f² + g² que define los primos pitagóricos. Una forma de analizar las ecuaciones con enteros es llevarlas a ecuaciones con congruencias módulo p. Este es el método principal de las ecuaciones con números enteros. Si es un p primo que se descompone como suma de dos cuadrados, llegamos a:

p = f² + g² = 0 (mod p)

Como los enteros módulo p, Zp, forman un campo, podemos multiplicar por el inverso de g² para obtener: (f g-1 )² + 1 = 0

(mod p)

Es decir, si p es primo pitagórico, en Zp la ecuación x² + 1 tiene la solución x = f g-1 y posiblemente otras. La solución es una especie de raíz de -1 módulo p. Para estos campos no hay que inventar números imaginarios. No hay contradicciones, ya que los cuadrados negativos van en contra de la relación de orden de los enteros, pero en Zp no hay relación de orden compatible con las operaciones. Al revés, si en Zp existe un entero n (n