M´ etodos Matem´ aticos de la Ingenier´ıa Qu´ımica. 2009–10. Departamento de Matem´ atica Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Lecci´ on 1.- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejercicios Ejercicios seleccionados del libro de texto (Nagle–Saff–Snider). Recu´erdese que al final del libro aparece la soluci´on de los problemas impares. - Secci´on 1.1: 1 al 12. - Secci´on 1.2: 1c, 2a, 3, 5, 7, 9, 11, 14 y 21. - Secci´on 1.3: 1 y 3. - Secci´on 1.4: 1, 3, 5 y 15. - Secci´on 1.5: 1, 3 y 5. - Secci´on 2.2: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 33 y 38. - Secci´on 2.3: 1, 3, 5, 7, 9, 17, 21, 31, 35 y 37. - Secci´on 2.4: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 21, 27, 29 y 33. - Secci´on 2.5: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14 y 17. - Secci´on 2.6: 9, 11, 15, 21, 25, 27 y 41. - Secci´on 3.2: 1, 3 y 9. - Secci´on 3.3: 1 y 7. - Secci´on 3.4: 1 y 5. Nota: Los cambios de variable que se aplican en la secci´on 2.6 y las ecuaciones que aparecen en los problemas de las secciones 3.2–3.4 no hay que saberlos de memoria para el examen. Errata: la ecuaci´on que debe aparecer en el problema 17a de la Secc. 2.5 es dx + (x − y)dy = 0. Problemas de ex´ amenes de cursos anteriores Curso 2008–09: Ejercicios 1(a) y 1(b) del Parcial; Ejercicios 1(a) y 1(b) del Final de Junio; Ejercicios 1(a) y 1(b) de Septiembre. Curso 2007–08: Ejercicios 1(a) y 1(b) del Parcial; Ejercicios 1(a) y 1(b) del Final de Junio; Ejercicios 1(a) y 1(b) de Septiembre. Curso 2006–07: Ejercicios 1(a) y 1(b) del Parcial; Ejercicios 1(a) y 1(b) del Final de Junio; Ejercicios 1(a) y 1(b) de Septiembre. Curso 2005–06: Ejercicios 1(a) y 1(b) del Parcial; Ejercicios 1(a) y 1(b) del Final de Junio; Ejercicios 1(a) y 1(b) de Septiembre. Curso 2004–05: Ejercicio 1(a) del Parcial; Ejercicios 1(a) y 1(b) del Final de Junio; Ejercicios 1(a) y 1(b) de Septiembre. Curso 2003–04: Ejercicios 1(a) y 1(b) del Parcial; Ejercicios 1(a) y 1(b) del Final de Junio; Ejercicios 1(a), 1(b) y 1(c) de Septiembre. 1

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Lecci´ on 2.- Ecuaciones Lineales de Segundo Orden. Sistemas de Ecuaciones Lineales Ejercicios Ejercicios seleccionados del libro de texto (Nagle–Saff–Snider). Recu´erdese que al final del libro aparece la soluci´on de los problemas impares. - Secci´on 4.2 Operadores diferenciales lineales: 1 a 8, 9, 11, 13, 30. - Secci´on 4.3 Soluciones fundamentales de ecuaciones homog´eneas: 1, 3, 5, 7, 9, 11. - Secci´on 4.4 Reducci´on de orden: 1 a 6. - Secci´on 4.5 Ecuaciones lineales homog´eneas con coeficientes constantes: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 27, 29, 33, 35, 37, 39, 41. - Secci´on 4.6 Ecuaciones auxiliares con ra´ıces complejas: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 21, 33. - Secci´on 4.7 Superposici´on y ecuaciones no homog´eneas: 1, 3, 5. - Secci´on 4.8 M´etodo de coeficientes indeterminados: 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21. - Secci´on 4.9 Variaci´on de par´ametros: 1, 3. - Secci´on 9.4 Sistemas lineales en forma normal: 1, 3, 5. - Secci´on 9.5 Sistemas lineales homog´eneos con coeficientes constantes: 31, 32, 33. - Secci´on 9.6 Valores propios complejos: 1, 3. - Secci´on 9.7 Sistemas lineales no homog´eneos: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 35. - Secci´on 9.8 La funci´on exponencial matricial: 17, 18, 21. Problemas de ex´ amenes de cursos anteriores Curso 2008–09: Ejercicios 2(a) y 2(b) del Parcial; Ejercicios 2(a) y 2(b) del Final de Junio; Ejercicios 2(a) y 2(b) de Septiembre. Curso 2007–08: Ejercicios 2(a) y 2(b) del Parcial; Ejercicios 2(a) y 2(b) del Final de Junio; Ejercicios 2(a) y 2(b) de Septiembre. Curso 2006–07: Ejercicios 2(a), 2(b) y 3(b) del Parcial; Ejercicios 2(a) y 2(b) del Final de Junio; Ejercicios 2(a), 2(b) y 3(a) de Septiembre. Curso 2005–06: Ejercicios 2(a) y 2(b) del Parcial; Ejercicios 2(a), 2(b) y 3(b) del Final de Junio; Ejercicios 2(a) y 2(b) de Septiembre. Curso 2004–05: Ejercicios 1(b), 2(a) y 2(b) del Parcial; Ejercicios 2(a) y 2(b) del Final de Junio; Ejercicios 2(a), 2(b) y 3(b) de Septiembre. Curso 2003–04: Ejercicios 2(a) y 2(b) del Parcial; Ejercicios 1(c) y 2(a) del Final de Junio; Ejercicios 2(a), 2(b) y 2(c) de Septiembre. 1

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Lecci´ on 3.- Transformada de Laplace Ejercicios Ejercicios seleccionados del libro de texto (Nagle–Saff–Snider). Recu´erdese que al final del libro aparece la soluci´on de los problemas impares. - Secci´on 7.2 Definici´on de la transformada de Laplace: 1, 3, 5, 9, 13, 15, 29. - Secci´on 7.3 Propiedades de la transformada de Laplace: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17. - Secci´on 7.4 Transformadas inversas de Laplace: 1, 3, 5, 7, 9, 21, 23, 25, 27. - Secci´on 7.5 Soluci´on con problemas de valores iniciales: 1, 3, 5, 11, 35. - Secci´on 7.6 Transformadas de funciones discontinuas y peri´odicas: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 33, 37, 39. - Secci´on 7.7 Convoluci´on: 1, 3, 5, 7, 15, 17, 19. - Secci´on 7.9 Soluci´on de sistemas lineales mediante transformadas de Laplace: 1, 3.

Problemas de ex´ amenes de cursos anteriores Curso 2008–09: Ejercicios 3(a) y 3(b) del Parcial; Ejercicios 3(a) y 3(b) del Final de Junio; Ejercicios 3(a) y 3(b) de Septiembre. Curso 2007–08: Ejercicios 3(a) y 3(b) del Parcial; Ejercicios 3(a) y 3(b) del Final de Junio; Ejercicios 3(a) y 3(b) de Septiembre. Curso 2006–07: Ejercicio 3(a) del Parcial; Ejercicios 3(a) y 3(b) del Final de Junio; Ejercicio 3(b) de Septiembre. Curso 2005–06: Ejercicio 3(a) del Parcial; Ejercicio 3(a) del Final de Junio; Ejercicio 3(a) de Septiembre. Curso 2004–05: Ejercicios 3(a) y 3(b) del Parcial; Ejercicios 3(a) y 3(b) del Final de Junio; Ejercicio 3(a) de Septiembre. Curso 2003–04: Ejercicio 1(c) del Parcial; Ejercicios 2(b) y 2(c) del Final de Junio; Ejercicios 3(a) y 3(b) de Septiembre.

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Lecci´ on 4.- Ecuaciones en Derivadas Parciales Ejercicios Ejercicios seleccionados del libro de texto (Nagle–Saff–Snider). Recu´erdese que al final del libro aparece la soluci´on de los problemas impares. - Secci´on 10.2 M´etodo de separaci´on de variables: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. - Secci´on 10.3 Series de Fourier: 1 a 6, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21. - Secci´on 10.4 Series de senos y cosenos de Fourier: 1 a 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15. - Secci´on 10.5 La ecuaci´on del calor: 1, 3, 5, 7(*), 9(*), 10(*), 11, 13(*), 19. - Secci´on 10.6 La ecuaci´on de onda: 1, 3, 5, 7(*), 9, 10(*). - Secci´on 10.7 La ecuaci´on de Laplace: 1, 3, 5, 7, 9. (*) Notas. En los ejercicios 7, 9, 10 y 13 de la Secci´on 10.5 realice el cambio u(x, t) = v(x) + w(x, t), eligiendo v(x) para que w(x, t) verifique la ecuaci´on del calor homog´enea con condiciones de contorno homog´eneas. En el ejercicio 7 de la Secci´on 10.6 realice el cambio u(x, t) = tv(x) + w(x, t), eligiendo v(x) para que w(x, t) verifique la ecuaci´on de ondas homog´enea con condiciones de contorno homog´eneas. En el ejercicio 10 de la Secci´on 10.6 realice el cambio u(x, t) = v(x) + w(x, t), eligiendo v(x) para que w(x, t) verifique la ecuaci´on de ondas homog´enea con condiciones de contorno homog´eneas. EJERCICIO 1. (Parcial Enero 2004, E3a) Encontrar el desarrollo en serie de Fourier de la funci´on f (t) = t − 1 en el intervalo [−π, π]. Dibujar la funci´on a la que tiende la serie obtenida en el intervalo [−5π, 5π]. EJERCICIO 2. a) (Junio 2004, E3b) Encontrar los valores de λ ∈ R para los que el problema de contorno X 00 (x) + λX(x) = 0,

X 0 (0) = X(L) = 0,

tiene soluci´on no trivial. Determinar para dichos valores de λ las soluciones correspondientes. b) (Parcial Enero 2004, E3b) Encontrar los valores de λ ∈ R para los que el problema de contorno X 00 (x) + λX(x) = 0, X(0) = X 0 (L) = 0, tiene soluci´on no trivial. Determinar para dichos valores de λ las soluciones correspondientes. 1

EJERCICIO 3. a) (Parcial Enero 2004, E3c) Consid´erense el problema de contorno, en el rect´angulo [0, π] × [0, π/2], ∂ 2u ∂2u + = cos y(2 sen x + x2 − 2), ∂x2 ∂y 2 u(0, y) = u(π, y) = u(x, 0) = u(x, π/2) = 0, y el cambio de variables u(x, y) = v(x, y) + cos y φ(x). Determinar las funciones φ(x) que transforman la ecuaci´on de Laplace no homog´enea para u en la misma ecuaci´on, pero homog´enea, para v. Entre dichas funciones φ(x), elegir la que conduzca al mayor n´ umero de condiciones de contorno homog´eneas para v. b) (Junio 2004, E3c) Consid´erense el problema de contorno  2 2 2  4 ∂∂xu2 − ∂∂t2u = 4(x 0 < x < π2 , t > 0, ¡ π +¢ 2) sen(2t), u(0, t) = 0, u 2 , t = 0, t > 0,  u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 2x2 , 0 < x < π2 , y el cambio de variables u(x, t) = v(x, t) + Φ(x) sen(2t). Determinar las funciones Φ(x) que transforman la ecuaci´on de ondas no homog´enea para u en la misma ecuaci´on, pero homog´enea, para v. Entre dichas funciones Φ(x), elegir la que conduzca al mayor n´ umero de condiciones de contorno homog´eneas para v. c) (Septiembre 2004, E3c) Consid´erense el problema de contorno  2  ∂u = ∂∂xu2 + e−t sen(3x), 0 < x < π, t > 0, ∂t u(0, t) = 0, u (π, t) = 0, t > 0,  u(x, 0) = 0, 0 < x < π, y el cambio de variables

v(x, t) = u(x, t) + e−t Φ(x). Determinar las funciones Φ(x) que transforman la ecuaci´on del calor no homog´enea para u en la misma ecuaci´on, pero homog´enea, para v. Entre dichas funciones Φ(x), elegir la que conduzca al mayor n´ umero de condiciones de contorno homog´eneas para v. Problemas de ex´ amenes de cursos anteriores Curso 2008–09: Ejercicios 4(a) y 4(b) del Parcial; Ejercicios 4(a) y 4(b) del Final de Junio; Ejercicio 4 de Septiembre. Curso 2007–08: Ejercicios 4(a) y 4(b) del Parcial; Ejercicio 4 del Final de Junio; Ejercicio 4 de Septiembre. Curso 2006–07: Ejercicios 4(a) y 4(b) del Parcial; Ejercicios 4(a) y 4(b) del Final de Junio; Ejercicio 4 de Septiembre. Curso 2005–06: Ejercicios 3(b), 4(a) y 4(b) del Parcial; Ejercicio 4 del Final de Junio; Ejercicios 3(b), 4(a) y 4(b) de Septiembre. Curso 2004–05: Ejercicios 4(a) y 4(b) del Parcial; Ejercicio 4 del Final de Junio; Ejercicio 4 de Septiembre. Curso 2003–04: Ejercicio 4 del Parcial; Ejercicio 4 del Final de Junio; Ejercicio 4 de Septiembre. 2