LECCIÓN 1

Lección 1: Números en teros . Orden, suma y resta En esta lección se hará un repaso de los temas abordados en las lecciones 7 y 8 del curso anterior.

Los números enteros Como usted recordará, en el curso de primer año se estudiaron los números naturales, que son aquellos que sirven para contar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... En aquella ocasión, se trabajó con el orden de estos números, con sus operaciones: suma, resta, multiplicación y división, y se estudiaron también sus propiedades. Más adelante se explicó, que con frecuencia los números naturales no son suficientes para representar algunas situaciones, como la siguiente: Licha compró una batería de cocina que costaba $160 en cuatro pagos de $40. Hasta el momento lleva hechos dos pagos, así que debe $80.

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DE

MATEMÁTICAS II Para poder representar situaciones en las cuales “se debe” una cantidad y otras situaciones similares, se introdujeron los números enteros. Éstos pueden ser de dos clases: los enteros positivos y el cero, que coinciden con los naturales, y los enteros negativos. Los números enteros se pueden comprender más fácilmente si los representamos utilizando una recta:

-3

-2

-1

0

1

2

3

Al igual que los números naturales, los números enteros se pueden comparar, sumar, restar, multiplicar y dividir. A continuación recordaremos cómo comparar, sumar y restar enteros. En la siguiente lección estudiaremos el producto y la división de enteros.

Comparación de números enteros Para comparar dos números enteros se puede usar la recta numérica: el entero más grande es el que aparece a la derecha del otro. Otra manera de comparar los enteros sin necesidad de usar la recta es recordar que: • El cero y los enteros positivos son mayores que cualquier número negativo. • Dos números enteros positivos se pueden comparar como se hace con los naturales. El mayor es el que tiene más cifras. Si ambos tienen el mismo número de cifras se comparan éstas de izquierda a derecha, y la primera que sea mayor pertenece al mayor de los dos naturales. • Dos números negativos se pueden comparar considerando sus valores absolutos: el número de mayor valor absoluto corresponde al menor entero negativo. Recordemos que el valor absoluto de un número es el número con signo

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LECCIÓN 1 positivo, por ejemplo, el valor absoluto de -3 es 3, y el valor absoluto de 3 es 3. Veamos unos ejemplos: 4578 es mayor que 999,

porque tiene más cifras

3467 es menor que 5327,

porque tienen el mismo número de cifras pero 3 es menor que 5.

1345 es mayor que 1278,

porque tienen el mismo número de cifras y la primera de la izquierda coincide en ambos números, sin embargo en la siguiente 3 es mayor que 2.

-456 es menor que 12,

porque 12 es positivo y los positivos son mayores que los negativos.

-234 es mayor que -456,

porque en valor absoluto 234 es menor que 456.

Recuerde que para representar las expresiones “es mayor que” o “es menor que” se utilizan dos símbolos que se muestran a continuación: -456 < -120

se lee:

-456 es menor que -120

212 > -10

se lee:

212 es mayor que -10

825 < 1100

se lee:

825 es menor que 1100

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Inserte el signo según corresponda: a) 23 ____ -23

e) -111 ____ -101

b) -1289 ____ 1

f) -3 ____ -6

c) 44 ____ 40

g) -1098 ____ -1089

d) -13 ____ -75

h) 547 ____ -1000

Suma de enteros Para recordar la suma de enteros consideremos el siguiente ejemplo. Ismael es obrero y cobró su sueldo semanal. En su talón de pago dice:

PAGOS

DEDUCCIONES

Sueldo

$300

Impuesto

Despensa

$80

Pago préstamo - $25

Ayuda para guardería $25

Seguro médico - $10

NETO A PAGAR:

6

$340

- $30

LECCIÓN 1 Ismael piensa que el dinero que aparece en la primera columna puede considerarse como positivo, mientras que los descuentos serían números negativos. Al hacer la suma: 300 + (-30) +80 + (-25) + 25 + (-10) = 340 se obtiene la cantidad de dinero neta que Ismael recibe cada semana. Para sumar enteros se pueden seguir procedimientos distintos. • Si se trata de los enteros positivos y el cero se procede igual que con los números naturales. • Cuando se suman dos números negativos, lo que se hace es sumar sin considerar el signo y al resultado se le pone signo negativo. • Si se trata de sumar un entero positivo y un negativo, restamos al número de mayor valor absoluto el de menor valor absoluto y al resultado le ponemos el signo de aquel que tiene mayor valor absoluto. Una manera de realizar la suma del ejemplo de Ismael es sumar todos los positivos primero: 300 + 80 + 25 = 405, y después sumar los negativos: -30 + -25 + -10 = - 65. Después sumamos 405 + (-65), esto es, restamos 65 a 405, obteniendo 340 que queda positivo, pues el número de mayor valor absoluto es 405, que es positivo. Resolvamos otro ejemplo para ilustrar la suma de enteros con diferente signo, digamos que queremos realizar la suma (-765) + 123. Entonces, consideramos los números sin signo, esto es, su valor absoluto: 765 y 123. Luego, restamos el menor al mayor, esto es 765 - 123 = 642. Como el número con mayor valor absoluto es -765, que es negativo, también el resultado lleva signo negativo. De modo que (-765) + 123 = -642.

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Realice las siguientes sumas: a) 1605 + 362

e) 217 + (-1054)

b) -1279 + (-203)

f) -631 + 502

c) 638 + (-17)

g) -3803 + (-7122)

d) -13 + 409

h) 547 + 648

Resta de enteros Para restar dos enteros negativos, una buena manera es convertir la resta en una suma, ya que, como recordará: • Restar un número entero positivo a otro número entero cualquiera, es igual a sumarle su negativo. • Restar un número entero negativo a otro número entero cualquiera es igual a sumarle su positivo. Veamos unos ejemplos: - 20 - 17 = - 20 + (-17) = -37 128 - 45 = 128 + (-45) = 83 18 - (-6) = 18 + 6 = 24 -24 - (-16) = -24 + 16 = -8

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LECCIÓN 1

Realice las siguientes restas: a) 1605 - 362

e) 217 - (-1054)

b) -1279 - (-203)

f) -631 - 502

c) 638 - (-17)

g) -3803 - (-7122)

d) -13 - 409

h) 547 - 648

Resuelva las siguientes operaciones: a) 345 + (-271) - (-13) b) -112 - (-54) + 16 - 103 c) -21 + 18 - (-26) + (-34) d) 58 + (-64) - (-30) - 17 e) 162 - 230 + (-230) - (-162) f) 17 + (-85) - (+23) - 11

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Para cada una de las siguientes situaciones, resuelva el problema y represente la solución en una recta numérica. a) El submarino amarillo llegó a -134 metros en su primera inmersión y después se desplazó -75 metros más. ¿Cuántos metros debe subir para volver a la superficie? b) Raúl le pagó al tendero $345 y éste le dijo que ahora su cuenta quedaba en -$78. ¿Cuál era el saldo de Raúl antes de hacer el pago? c) El lunes, la temperatura en Loma Fría era de 15º C, el martes descendió seis grados, el miércoles descendió otros seis grados y el jueves otros seis. Si el viernes aumentó un grado, ¿qué temperatura registraba el termómetro en Loma Fría ese día?

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