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MATEMÁTICAS I

LECCIÓN 13

Lección 13: Pr oporcionalidad y algunos por centajes Proporciones directas Con frecuencia se oye hablar de proporciones o de que algo está proporcionado o no lo está. Para comprender esas expresiones correctamente es conveniente precisar algunos términos. Empezaremos con algunos ejemplos. La señora Boni vende comida para llevar. Una comida corrida cuesta $17.50 e incluye sopa aguada, arroz y guisado. Para poder cobrar rápido cuando hay muchos clientes hizo una tablita de precios según el número de comidas que le pidan. Complete la tabla. Comidas Costo

1

2

3

4

5

6

7

8

$17.50 $35.00 $52.50 En este ejemplo el costo varía en la misma proporción que la cantidad de comidas: para el doble de comidas tenemos el doble del costo, para el triple de comidas tenemos el triple del costo, etc. En este caso decimos que tenemos una variación directamente proporcional o que el costo es directamente proporcional a la cantidad de comidas. Para calcular el costo de una cierta cantidad de comidas se multiplica esa cantidad por el costo de una comida; por ejemplo para calcular el costo de ocho comidas se multiplica 8 ´ 17.50 = 140. El número por el que multiplicamos se llama

136

LECCIÓN constante de proporcionalidad. Si quisiéramos calcular el costo de 31 comidas, multiplicamos 31 por la constante de proporcionalidad, 31 ´ 17.50 = 542.50. Observe que podemos escribir una regla para saber cuánto hay que pagar según el número de comidas: si c es la cantidad de comidas y p es lo que tenemos que pagar, la regla es c ´ 17.50 = p. Si no conocemos la constante de proporcionalidad la podemos calcular si contamos con otros datos. Por ejemplo, supongamos que llegamos un día con la señora Boni y le compramos 14 comidas; ella nos cobra $245. Al dividir 245 entre 14 sabremos que cada comida nos costó $17.50 y esta cantidad es aquí la constante de proporcionalidad. Veamos otro ejemplo. Un tubo roto tira 90 litros de agua cada 6 minutos. ¿Cuántos litros de agua tira cada minuto? ¿Cuántos litros de agua tira en una hora? ¿Cuántos litros de agua habrá tirado dentro de dos días? Si cada 6 minutos se tiran 90 litros de agua, cada minuto se tiran 90 ¸ 6 = 15 litros de agua. Si nos interesa calcular por minutos el agua que se tira, en este ejemplo tenemos que 15 es la constante de proporcionalidad y para cualquier número de minutos podemos calcular el número de litros de agua que se tira. Como en una hora hay 60 minutos, entonces en una hora se tiran 60 ´ 15 = 900 litros de agua. También aquí

137

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LECCIÓN 13

podemos escribir una fórmula para calcular la cantidad de agua que se tira conforme al tiempo que pasa en minutos. Minutos t

1

Agua (litros) a

15

2

6

3

15

30

75 90 225

60 900

120

2880 4500 43200

Si t es el tiempo en minutos y a es la cantidad de agua que se tira, la fórmula es t ´ 15 = a. Complete la tabla. Sabemos también que en un día hay 24 horas, y en dos días hay 48 horas. Como en una hora se tiran 900 litros de agua, en 48 horas se tiran 48 ´ 900 = 43200 litros de agua. Si nos interesa calcular por horas el agua que se tira, en este ejemplo tenemos que 900 es la constante de proporcionalidad y para cualquier número de horas podemos calcular el número de litros de agua que se tira. Si aquí llamamos s al tiempo en horas y g a la cantidad de agua que se tira, la fórmula Horas s Agua (litros) g

1 900 1800

3

5 3600 4500

6

48

55

13500 21600 43200 49500

s ´ 900 = g nos permite calcular cuánta agua se tira si conocemos cuántas horas han pasado o el tiempo si sabemos cuánta agua se ha tirado. Complete la tabla. ¡Cuidado! No todas las variaciones son proporcionales y hay que tener cuidado al decidir si una variación es proporcional o no lo es porque podríamos llegar a resultados absurdos. Veamos un ejemplo. Juan acaba de entrar a la primaria, tiene 6 años y usa pantalones

LECCIÓN talla 6. Si consideramos que esta relación es proporcional, cuando Juan tenga 20 años usará pantalones talla 20, cuando tenga 34 años usará talla 34, cuando tenga 45 años usará talla 45 y su abuelito que tiene 87 años debe usar talla 87. ¡No!, ¿verdad? La forma en que varía la talla de pantalones que usamos en relación con la edad no es proporcional. Hay

relación directamente proporcional cuando al aumentar una cantidad aumenta la otra cantidad en la misma proporción que la primera. Complete las siguientes tablas con la fórmula de variación proporcional que se da en cada una: a) k ´ 7 = d k

1

3

d

10 28

49

12

15

20

84

b) m ´ 4.5 = b m

2

4

b

10 27

36

12

14

54

72

c) 0.2 ´ p = f p f

7

12 3

25 3.6

45

100

6

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LECCIÓN 13

d) a ´ 3.5 = z a

3

6

12

18

21

24

z 28 49 Complete las siguientes tablas, para cada una encuentre una regla y escríbala como una operación con números y las letras que se dan. Diga en cada tabla si la variación es proporcional o no lo es. a) e

1

3

5

r

8

24

40

w

2

4

6

t

3

6

9

u

3

6

9

x

4

7

7

9

13

15

88

b) 8

10

14 18

24

18

24

c)

140

12 16

22

LECCIÓN

d) y

4

8

20 a

12

28 2

6

14

22

32 La señora Berna vende tacos de canasta. Da cinco tacos por $2 pero no todos los clientes quieren tantos tacos. Para poder cobrar rápido quiere hacer una tablita con los precios de distintas cantidades de tacos. a) Complete la tabla y construya una fórmula para calcular cuánto se debe cobrar según la cantidad de tacos que compre un cliente. Dormitorio

tacos

1

2

3

5

6

0.5 cm = 1 m

Dormitorio

8

9 precio en $ $2.80

$1.60 $2

Patio

Baño

$4

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

Estancia Cocina

141

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LECCIÓN 13

c) ¿Cuánto cuesta cada taco? medida real en metros

1

medida en el dibujo en centímetros 0.5

2 1

3

4

6

2

2.5

3

8 3.5

9

10

4.5

d) ¿En cuánto salen 8 tacos? e) ¿Cuántos tacos se pueden comprar con $6?

Proporcionalidad y dibujos Don Jorge dibujó su departamento con las mismas proporciones que tienen los cuartos en la realidad. Habitación Dormitorios Largo en la realidad

Cocina 4.5 m

Largo en el dibujo

2.25 cm

1 cm 1.5 m

Fondo en la realidad

2m

1.5 m

Fondo en el dibujo

1 cm

0.75 cm

Cada metro lo dibujó como 0.5 cm. Para saber cómo poner

142

Patio

Estancia

Baño

3m

2.5 m

1.75 cm

LECCIÓN las otras medidas hizo una tabla con las medidas que podía calcular fácilmente. Complete la tabla. Se dio cuenta que tenía que dividir entre dos, o multiplicar por 0.5, el largo en metros y usar esa cantidad de centímetros. Calculó la constante de proporcionalidad y construyó la fórmula r ´ 0.5 = d, en donde r es la medida real en metros y d es la medida en centímetros que debe poner en el dibujo. Use la fórmula para completar la siguiente tabla y conocer las medidas de la casa de don Jorge. Haga un plano de su casa que sea proporcional a la realidad y ubique en él algunos objetos con la misma proporción.

Precio sin descuento ($)

10

30

35

50

70 100

185

Descuento de 20% ($)

6

10

20

18

Precio con descuento ($)

24

40

80

168

284 40

54 216 227.20

Proporciones y porcentajes En una tienda de ropa pusieron un letrero anunciando que toda la mercancía tiene un 20% de descuento. ¿Qué significa? La expresión 20% se lee “20 por ciento” y significa 20 de cada 100, o bien, en la proporción que está 20 con respecto a 100. Es decir, con constante de proporcionalidad 20 ¸ 100 = 0.2. Complete la siguiente tabla en la que el primer renglón son precios de distintos artículos antes del descuento, el segundo renglón es el descuento de 20% que ofrece la tienda y el tercer renglón es el precio de los artículos una vez hecho el descuento. Para calcular cada descuento hay que multiplicar por la constante de proporcionalidad que es 20 ¸ 100 = 0.2.

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MATEMÁTICAS I

LECCIÓN 13

También podemos expresar con fórmulas los cálculos que se acaban de hacer. Si llamamos p al precio sin descuento, v al descuento de 20% y c al precio con descuento, podemos expresar el descuento como v = p ´ 0.2 y el precio con Compra sin descuento ($) Descuento de 10% ($)

5

10

15

0.50

1

1.50

25 2

30

40

45

3.50

descuento como c = p - (p ´ 0.2). De la tabla anterior sabemos también que 6 es el 20% de 30, que 10 es el 20% de 50, que 18 es el 20% de 90, etc. Esto podemos saberlo también al calcular la constante de proporcionalidad. Por ejemplo, dividiendo 6 ¸ 30 = 0.2 obtenemos dos décimos, que es equivalente a veinte centésimos, es decir a veinte de cien.

Veamos ahora otro ejemplo. Al dueño de una tienda de abarrotes le parece buena idea dar descuentos para tener más clientes pero sólo puede descontar un 10%. Para que los clientes puedan saber cuánto van a ahorrar puso en la puerta una tabla. Observe la tabla, encuentre la constante de proporcionalidad y los números que faltan. Observe que la expresión 100%, que se lee "cien por ciento" significa cien de cada cien, es decir todo. El 100% es el total de lo que tenemos en cada caso. Construya una fórmula que permita encontrar el ...

144

5

LECCIÓN

a) 20% de cualquier número. b) 10% de cualquier número.

c) 50% de cualquier número. d) 25% de cualquier número.

¿Cuánto es ... a) el 10% de 75?

b) c) d) e) f) g) h)

el el el el el el el

10% 10% 10% 20% 20% 20% 20%

de de de de de de de

750? 2354? 100? 45? 2897? 5.6? 543.80?

i) el 20% de 100? 50% de 100? j) el 25% de 12? 50% de 1000? k) el 25% de 786? ¿Qué porcentaje es a) 100 de 200? g)3 de 6? b) 100 de 1000?

l) el 25% de 9876.40?

m) n) o) p) q) r) s)

el el el el el el el

25% 25% 50% 50% 50% 50% 50%

de de de de de de de

1000? 100? 40? 125? 896? 4536? 543.80?

t) el u) el

d) 25 de 250? e) 30 de 150?

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LECCIÓN 14

h)3 de 12? c) 50 de 200?

f) 175 de 350?

i) 3 de 15?

Para realizar cierto trabajo, Tomás pasó el siguiente presupuesto: $954 de materiales y $1 200 más IVA (15%) de mano de obra. Pidió el 40% del total como anticipo. a) ¿A cuánto asciende el importe total del presupuesto? b) ¿Cuánto deberá cobrar Tomás al terminar el trabajo? Josefa aprovecha el 20% de descuento para comprar una plancha cuyo precio con IVA incluido es de $238 y una licuadora en cuya etiqueta dice $325 más IVA. a) ¿Cuánto deberá pagar Josefa por los dos artículos? b) ¿Cuánto dinero le descontaron?

peso

precio por peso

empaque

costo total por paquete

hasta 10 gr

$0.30

$0.50

$0.30 + $0.50 = $0.80

Más de 10 gr

hasta 20 gr

2 ´ $0.30 = $0.60

$0.50

$0.60 + $0.50 = $1.10

Más de 20 gr

hasta __ gr

3 ´ $0.30 = $0.90

$0.50

$0.90 + $0.50 = $1.40

Más de __ gr

hasta 40 gr

Más de 40 gr

hasta 50 gr

Más de 50 gr

hasta __ gr

Más de __ gr

hasta 70 gr

Más de 70 gr

hasta __ gr

Más de __ gr

hasta 90 gr

9 ´ $0.30 = $2.70

$0.50

$2.70 + $0.50 = $3.20

Más de 90 gr

hasta 100 gr

10 ´ $0.30 = $3

$0.50

$3 + $0.50 = $3.50

146

$0.50 5 ´ $0.30 = $1.50

$0.50

= $2

$0.50

= $2.30

= $2.90

146