Lecci´ on 2: Funciones vectoriales: l´ımite y continuidad. Diferenciabilidad de campos vectoriales 1.1

Introducci´ on

En econom´ıa, frecuentemente, nos interesa explicar la variaci´ on de unas magnitudes respecto de otras. As´ı, por ejemplo, si tenemos dos magnitudes como el coste y la producci´on y queremos analizar las variaciones de una respecto a la otra se puede utilizar el concepto de coste medio y de coste marginal. Para el segundo concepto necesitamos los conceptos matem´aticos de l´ımite y derivada de una funci´on.

1.2

Funciones vectoriales: l´ımites y continuidad

Definici´ on 1.2.1 Una funci´ on vectorial es una aplicaci´ on f : D ⊂ IRn → IRm tal que a cada vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) le hace corresponder un vector y = (y1 , y2 , . . . , ym ), es decir, y = f (x). Utilizaremos la siguiente notaci´on:     y1         y2            ym

=

f1 (x1 , x2 , . . . , xn )

= .. .

f2 (x1 , x2 , . . . , xn )

= fm (x1 , x2 , . . . , xn )

Con f = (f1 , f2 , . . . , fm ). Cada fi son funciones escalares, fi : IRn → IR y les llamaremos funciones componentes o proyecciones de la funci´on vectorial f .

1

Ejemplo 1.2.1 Sea f : D ⊂ IR3 → IR2 , con f (x, y, z) = (ln(xz),

p

y 2 − 4). Las funciones componentes de

f son: f1 : D1 ⊂ IR3 → IR;

f1 (x, y, z) = ln(xz) q

3

f2 : D2 ⊂ IR → IR;

f2 (x, y, z) =

y2 − 4

El estudio de las funciones vectoriales se realiza a trav´es de sus funciones componentes, as´ı si queremos hallar el dominio de definici´on D de la funci´on f , obtenemos los dominios de definici´on de cada una de sus funciones componentes y la intersecci´on de todos ellos nos dar´a el dominio buscado. Ejemplo 1.2.2 Obtener el dominio de definici´ on de la funci´ on f : D ⊂ IR3 → IR2 , f (x, y, z) = (ln(xz), f1 : D1 ⊂ IR3 → IR;

p

y 2 − 4).

f1 (x, y, z) = ln(xz)

Por tanto D1 = {(x, y, z) ∈ IR3 / xz > 0} q

f2 : D2 ⊂ IR3 → IR;

f2 (x, y, z) =

y2 − 4

Por tanto D2 = {(x, y, z) ∈ IR3 / y 2 − 4 ≥ 0}. Entonces el dominio de definici´ on de f es D = D1 ∩ D2 = {(x, y, z) ∈ IR3 / xz > 0; y 2 − 4 ≥ 0} Pasamos a definir el concepto de l´ımite de una funci´on vectorial, como se puede intuir ser´a una adaptaci´on del concepto de l´ımite de una funci´on real de variable real a funci´on vectorial. Definici´ on 1.2.2 Sea f : D ⊂ IRn → IRm y sea c un punto de acumulaci´ on de D, decimos que lim f (x) = l ∈ IRm

x→c

si ∀² > 0, ∃δ > 0 tal que si ||x − c|| < δ ⇒ ||f (x) − l|| < ² Como hemos indicado el estudio del l´ımite de una funci´on vectorial se realizar´a a trav´es del estudio de sus componentes, de ah´ı que enunciemos el siguiente teorema que nos da la base matem´atica para llevarlo a cabo. Teorema 1.2.1 Sea f : D ⊂ IRn → IRm y sea c un punto de acumulaci´ on de D. Son equivalentes 1) ∃ lim f (x) = l = (l1 , l2 , . . . , lm ) x→c

2

2) ∃ lim fi (x) = li ∈ IR x→c

i = 1, 2, . . . m

Ejemplo 1.2.3 Sea f : IR3 → IR2 definida por f (x, y, z) = (exyz , x2 + y + 2z). Est´ a claro que ambas componentes existen en el conjunto de los n´ umeros reales, por lo tanto el dominio de la funci´ on ser´ a todo IR3 . Por otra parte, si queremos calcular el l´ımite de la funci´ on cuando (x, y, z) tiende al origen (0, 0, 0), aplicando el teorema anterior calcular´ıamos los l´ımites en el origen de las funciones componentes, es decir l1 = l2 =

lim

(x,y,z)→(0,0,0)

lim

(x,y,z)→(0,0,0)

f1 (x, y, z) =

f2 (x, y, z) =

lim

(x,y,z)→(0,0,0)

lim

(x,y,z)→(0,0,0)

exyz = 1

(x2 + y + 2z) = 0

Por tanto el l´ımite buscado es l = (1, 0). Nuestro siguiente paso ser´a definir cuando una funci´on vectorial es continua en un punto, esta definici´on es an´aloga a la dada para funciones escalares. on es continua en c ∈ D si ∃ lim f (x) = Definici´ on 1.2.3 Sea f : D ⊂ IRn → IRm decimos que la funci´ x→c

f (c). Hay que observar que en realidad esta definici´on implica que (1) ∃f (c) (2) ∃ lim f (x) y sea finito x→c

(3) lim f (x) = f (c) x→c

Pasamos a ver la continuidad de una funci´on a trav´es de la continuidad de sus componentes. Teorema 1.2.2 Una funci´ on vectorial es continua en un punto si y solo s´ı sus funciones componentes son continuas en dicho punto. Definici´ on 1.2.4 Una funci´ on vectorial ser´ a continua en un conjunto cuando sea continua en todos los puntos de ese conjunto. √ Ejemplo 1.2.4 Estudiar la continuidad de la funci´ on f : D ⊂ IR2 → IR2 definida por f (x, y) = (x2 + y, x + 2). Las funciones componentes son f1 (x, y) = x2 + y ⇒ D1 = IR2 3

f2 (x, y) =

√ x − 2 ⇒ D2 = {(x, y) ∈ IR2 / x ≥ 2}

Por tanto D = D1 ∩ D2 = D2 . Por otra parte sabemos que f1 es continua en IR2 y que f2 es continua en D2 , por lo tanto la funci´ on vectorial f es continua en D2 .

1.3

Diferencial de una funci´ on real de variable real

Recordemos que una funci´on real de variable real es derivable en un punto c cuando existe y es finito el siguiente l´ımite: f (c + h) − f (c) h→0 h lim

A dicho l´ımite lo representamos por f 0 (c). En ese caso, la recta tangente a la funci´on en el punto c ten´ıa la expresi´on: y − f (c) = f 0 (c)(x − c) Si tenemos una funci´on real de variable real y queremos estudiar su comportamiento local alrededor de un punto c, tratamos de encontrar una funci´on de naturaleza m´as sencilla que la dada y que en un entorno del punto aproxime a la funci´on dada f . Parece l´ogico adoptar la clase de las funciones lineales y = λx para tal aproximaci´on local. Usualmente se opta por comparar el cociente de la diferencia de ordenadas relativas a f y a la funci´on lineal aproximante con la variaci´ on h de la abscisa, es decir el cociente: f (c + h) − f (c) − λh h de modo que el numerador sea despreciable frente al denominador. En el caso de que la funci´on sea derivable en c tomamos λ = f 0 (c) y en realidad lo que hemos dicho se resume matem´aticamente con la expresi´on: f (c + h) − f (c) − f 0 (c)h =0 h→0 h lim

La funci´on aproximante f 0 (c)h es una funci´on lineal de IR en IR, y se le llama diferencial de la funci´on f en el punto c y se representa por Df (c). Damos, ahora, la definici´on. on f : I ⊂ IR → IR con I abierto en un punto c ∈ I, Definici´ on 1.3.1 Llamamos diferencial de la funci´ a la aplicaci´ on lineal Df (c) : IR → IR tal que Df (c)(h) = f 0 (c)h 4

Nota 1.3.1

• Observar que la derivada de una funci´ on en un punto es un n´ umero real, en cambio la

diferencial de una funci´ on en un punto es una aplicaci´ on lineal. • Como el l´ımite expuesto previamente es cero, esto quiere decir que f (c + h) es aproximadamente igual a f (c) + f 0 (c)h en valores de h pr´ oximos a cero, esto es, cuando estamos pr´ oximos al punto c, la funci´ on se aproxima por la recta tangente f (c) + f 0 (c)h. • la diferencial de una funci´ on en un punto es una aplicaci´ on lineal que existe si y solo s´ı existe la derivada en dicho punto. Enunciamos un teorema que nos relaciona los conceptos de derivabilidad y diferenciabilidad de una funci´on en un punto. Teorema 1.3.1 f : I ⊂ IR → IR con I abierto en un punto c ∈ I, se verifica: f es derivable en c ⇔ f es diferenciable en c on real de variable real f (x) = e2x−2 que es derivable en todo IR, cuya funci´ on Ejemplo 1.3.1 Sea la funci´ derivada es f 0 (x) = 2e2x−2 y el valor de la derivada en c = 1 es f 0 (1) = 2. La diferencial de la funci´ on en c = 1 viene dada por Df (1)(h) = 2h. Si queremos obtener, ahora, la diferencial de la funci´ on en c = 0, Df (0), calculamos f 0 (0) = 2e−2 y por tanto Df (0)(h) = 2e−2 h.

1.4

Derivadas direccionales. Diferenciabilidad de funciones escalares

Si tenemos una funci´on real de variable real y queremos acercarnos a un punto a trav´es de la funci´on, solo podemos hacerlo en la direcci´on de crecimiento del eje de abscisas (de menos a m´as), pero si tenemos una funci´on escalar (definida de IRn en IR) hay infinitas direcciones para acercarnos a un punto. De ah´ı nace el concepto de derivada direccional. Definici´ on 1.4.1 Sean f : D ⊂ IRn → IR con D abierto, c ∈ D, u un vector de IRn , tal que ||u|| = 1, y λ ∈ IR suficientemente peque˜ no para que c + λu ∈ D. Llamamos derivada direccional de f en el punto c y en direcci´ on u al l´ımite. f (c + λu) − f (c) λ→0 λ

Du f (c) = f 0 (c; u) = lim

5

Ejemplo 1.4.1 Sea la funci´ on f : IR2 → IR definida como f (x, y) = x2 + y 2 , sea c = (2, 3). Calcular las ³

derivadas direccionales de f en el punto c en las direcciones de los vectores u =

3 4 5, 5

´

y v = (2, 1).

||u|| = 1; µ

µ

f (c + λu) = f (2, 3) + λ

3 4 , 5 5

¶¶

¶2

µ

3 = 2+ λ 5

µ

¶2

4 + 3+ λ 5

= λ2 +

36 λ + 13 5

f (c) = f (2, 3) = 22 + 32 = 13 Por tanto

36 λ2 + λ f (c + λu) − f (c) 5 = 36 Du f (c) = f 0 (c; u) = lim = lim λ→0 λ→0 λ λ 5

Para calcular la derivada direccional en la direcci´ on del vector v, lo primero ser´ a normalizar el vector, para ³ ´ √ √ ello calculamos su norma: ||v|| = 22 + 1 = 5 Consideramos entonces el vector normalizado v = √25 , √15 . µ

µ

2 1 f (c + λv) = f (2, 3) + λ √ , √ 5 5

¶¶

µ

2 = 2+ √ λ 5

¶2

µ

1 + 3+ √ λ 5

¶2

14 = λ2 + √ λ + 13 5

f (c) = f (2, 3) = 22 + 32 = 13 Por tanto

14 λ2 + √ λ 14 f (c + λv) − f (c) 5 = lim =√ Dv f (c) = f 0 (c; v) = lim λ→0 λ→0 λ λ 5

Nota 1.4.1 Recordar que cuando se toman como direcciones los vectores de la base can´ onica de IRn las derivadas direccionales pasan a llamarse derivadas parciales, y que la matriz columna formada por las derivadas parciales de la funci´ on en un punto se le llama el vector gradiente de la funci´ on en el punto y se representa ∇f (x).

1.4.1

Diferenciabilidad de funciones escalares

Vamos a introducir el concepto de diferenciabilidad de una funci´on escalar, que ser´a an´alogo al que hemos desarrollado para funciones reales de variable real. Definici´ on 1.4.2 Sean f : D ⊂ IRn → IR con D abierto, c ∈ D, decimos que la funci´ on es diferenciable en c si existe una aplicaci´ on lineal Df (c) : IRn → IR tal que lim

h→θ

f (c + h) − f (c) − Df (c)(h) =0 ||h||

Nota 1.4.2 Hay que observar que h ∈ IRn por lo tanto h = (h1 , h2 , . . . , hn ), luego h tender´ a al vector nulo θ y no a 0 como pasaba en IR. Adem´ as el denominador es la norma de h que es un n´ umero real. 6

Teorema 1.4.1 (condici´ on necesaria de diferenciabilidad) Sea f : D ⊂ IRn → IR con D abierto, si f es diferenciable en c ∈ D, entonces f es continua en c ∈ D Nota 1.4.3 Este teorema nos indica que es condici´ on necesaria para que una funci´ on sea diferenciable en un punto es que sea continua en dicho punto, por lo tanto si una funci´ on no es continua en un punto no puede ser diferenciable en dicho punto. Como se puede intuir de la definici´on de diferenciabilidad en un punto c no es posible obtener mucha informaci´on pr´actica sobre la aplicaci´on lineal Df (c), el siguiente teorema nos abre el camino para obtener la matriz que lleva asociada dicha aplicaci´on lineal. Teorema 1.4.2 Sea f : D ⊂ IRn → IR con D abierto, si f es diferenciable en c ∈ D, entonces para cada vector u ∈ IRn con u 6= θ existen todas las derivadas de f en el punto c y en la direcci´ on u y adem´ as se verifica que: Du f (c) = Df (c)(u) on lineal, por tanto tiene asociada una matriz respecto a la Consecuencia 1.4.1 1. Df (c) es una aplicaci´ base can´ onica {e1 , e2 , . . . , en } de IRn . Sea x ∈ IRn , entonces x es combinaci´ on lineal de los vectores de la base can´ onica, es decir, x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en , por tanto: Df (c)(x) = Df (c)(x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en ) = x1 Df (c)(e1 ) + x2 Df (c)(e2 ) + · · · + xn Df (c)(en ) ya que la aplicaci´ on es lineal. Aplicando el teorema anterior a cada uno de los sumandos tenemos: Df (c)(e1 ) = De1 f (c) =

∂f (c) = D1 f (c) ∂x1

Df (c)(e2 ) = De2 f (c) =

∂f (c) = D2 f (c) ∂x2

.. . Df (c)(en ) = Den f (c) =

∂f (c) = Dn f (c) ∂xn

Por lo tanto Df (c)(x) = x1 D1 f (c) + x2 D2 f (c) + · · · + xn Dn f (c) = 



     = (D1 f (c), D2 f (c), . . . , Dn f (c)) ·      

7





x1 

x1 

x2 .. .

          = ∇t f (c) ·           

x2 .. .

xn

xn

         

En resumen: La matriz asociada a la aplicaci´ on lineal Df (c) respecto a la base can´ onica es el gradiente traspuesto de la funci´ on en c. 2. Si f es diferenciable en c, entonces: Du f (c) = Df (c)(u) = ∇t f (c) · u on u, entonces f no es diferenciable en c. En particular, 3. Si no existe la derivada de f en alguna direcci´ si no existe alguna derivada parcial de f en c tendremos que f no es diferenciable en c. Enunciamos, ahora, un teorema que nos permitir´a estudiar la diferenciabilidad de una funci´on escalar sin necesidad de aplicar la definici´on. Teorema 1.4.3 (condici´ on suficiente de diferenciabilidad) Sea f : D ⊂ IRn → IR con D abierto, si existen todas las derivadas parciales de f y son continuas en D, entonces f es diferenciable en cualquier punto de D y se dice que f continuamente diferenciable en D. 1 . + y2 La funci´ on existe y es continua en el conjunto D = IR2 − {(0, 0)}, por lo tanto estudiaremos la diferen-

Ejemplo 1.4.2 Estudiar la diferenciabilidad de la funci´ on f : IR2 → IR dada por f (x, y) =

x2

ciabilidad en el conjunto D. Calculamos las derivadas parciales ∂f 2x =− 2 ; ∂x (x + y 2 )2

2y ∂f =− 2 ∂y (x + y 2 )2

Vemos que ambas son continuas en D, por lo tanto la funci´ on es diferenciable en D.

1.4.2

Aplicaciones de la diferenciabilidad

• Dada una funci´on real de variable real, sabemos que la ecuaci´on de la recta tangente a la funci´on en un punto viene expresada a trav´es de la derivada en dicho punto. De forma an´aloga se puede definir la ecuaci´on del plano tangente a una superficie a trav´es de la definici´on de diferencial. As´ı, el plano tangente a la funci´on z = f (x, y) en el punto (a, b) es: 



 x−a   

z = f (a, b) + ∇t f (a, b) ·  

8

y−b

• Sea f : D ⊂ IRn → IR y sea c ∈ D. Queremos buscar cual es la direcci´ on de m´ aximo crecimiento de la funci´on a partir de c. La funci´on crecer´a m´as r´apido donde la derivada direccional sea m´axima: Du f (c) = ∇t f (c) · u = ||∇t f (c)|| ||u|| cos(α) donde α es el ´angulo formado por los vectores ∇f (c) y u. Como ||u|| = 1 por ser una derivada direccional, tendremos que: Du f (c) = ∇t f (c) · u = ||∇t f (c)|| cos(α) Como |cos(α)| ≤ 1, la expresi´on anterior obtendr´a el m´aximo valor cuando cos(α) = 1, es decir, cuando α = 0, lo que nos dice que la direcci´on de m´aximo crecimiento se obtiene cuando el vector u tenga la misma direcci´on que el vector gradiente. Adem´as como debe ser unitario, se toma: u=

1.5

∇f (c) ||∇f (c)||

Matriz Jacobiana. Diferenciabilidad de funciones vectoriales

Como hemos visto con anterioridad cuando tenemos una funci´on vectorial, el estudio de la existencia del l´ımite y la continuidad de la funci´on se reduce a analizar que ocurre con sus funciones componentes. La diferenciabilidad no va a ser diferente, a´ un cuando demos la definici´on formal, su estudio se realizar´a a trav´es de sus funciones componentes. Definici´ on 1.5.1 Sea f : D ⊂ IRn → IRm una funci´ on vectorial con D abierto, sea c ∈ D y u ∈ IRn con ||u|| = 1, definimos derivada direccional de f en c y en la direcci´ on u como f (c + λu) − f (c) = λ→0 λ

Du f (c) = f 0 (c; u) = lim

(f1 (c + λu), f2 (c + λu), . . . , fm (c + λu)) − (f1 (c), f2 (c), . . . , fm (c)) = λ→0 λ

= lim

µ

=

f1 (c + λu) − f1 (c) f2 (c + λu) − f2 (c) fm (c + λu) − fm (c) , lim , · · · , lim λ→0 λ→0 λ→0 λ λ λ lim

= (Du f1 (c), Du f2 (c), . . . , Du fm (c)) 9

¶

=

Es decir, la derivada direccional de una funci´on vectorial, es un vector cuyas componentes son las derivadas direccionales de las funciones componentes de la funci´on. De aqu´ı: para que exista Du f (c) deben existir Du fi (c), i = 1, 2, . . . , m. Como sabemos que las derivadas parciales de una funci´on escalar son un caso particular de las derivadas direccionales de una funci´on escalar, de la definici´on anterior deducimos que las derivadas parciales de una funci´on vectorial son un caso particular de las derivadas direccionales de una funci´on vectorial. Es decir: para calcular las derivadas parciales de una funci´ on vectorial nos basta con calcular las derivadas parciales de cada una de las funciones componentes. on f : D ⊂ IRn → IRm , con D abierto, en Definici´ on 1.5.2 Definimos la matriz jacobiana de una funci´ c ∈ D, como



  D1 f1 (c)    D f (c)  1 2 Jf (c) =   ..  .   

D2 f1 (c)

···

D2 f2 (c) .. .

··· ..

.

Dn f1 (c) 

  Dn f2 (c)     ..  .   

D1 fm (c) D2 fm (c) · · · Dn fm (c)

Nota 1.5.1 Observar que otra manera m´ as f´ acil de escribir la matriz jacobiana es 



∇t f1 (c)

    ∇t f (c)  2 Jf (c) =   ..  .   

∇t fm (c)

          

Pasemos a definir el concepto de diferenciabilidad de una funci´on vectorial en un punto que ser´a an´alogo al de funci´on escalar Definici´ on 1.5.3 Sea f : D ⊂ IRn → IRm , con D abierto, en c ∈ D, decimos que la funci´ on es diferenciable en c si existe una aplicaci´ on lineal Df (c) : IRn → IRm tal que ||f (c + h) − f (c) − Df (c)(h)|| =0 h→θ ||h|| lim

Enunciamos, ahora, una serie de teoremas que nos ayudar´ an en la aplicaci´on pr´actica del concepto de diferenciabilidad. Teorema 1.5.1 (condici´ on necesaria y suficiente de diferenciabilidad) Sea f : D ⊂ IRn → IRm , con D abierto, en c ∈ D, f es diferenciable en c si y solo si sus funciones componentes son diferenciables en c. 10

Teorema 1.5.2 (condici´ on necesaria de diferenciabilidad) Sea f : D ⊂ IRn → IRm , con D abierto, en c ∈ D, Si f es diferenciable en c entonces f es continua en c. Teorema 1.5.3 Sea f : D ⊂ IRn → IRm , con D abierto, en c ∈ D, Si f es diferenciable en c entonces existen las derivadas direccionales de f en c para cualquier vector unitario u ∈ IRn y adem´ as se verifica que: Du f (c) = f 0 (c; u) = Df (c)(u) Como Df (c) : IRn → IRm es una aplicaci´on lineal tendr´a asociada una matriz respecto a la base can´onica. Utilizando el teorema anterior y recordando que la diferencial de una funci´on vectorial se descompone en las diferenciales de cada una de sus funciones componentes y razonando de forma an´aloga a como hicimos para las funciones escalares, podemos deducir que la matriz buscada es la matriz jacobiana y adem´as 



 

 D1 f1 (c)    D f (c)  1 2 Df (c)(h) = Jf (c) · h =   ..  .   

D2 f1 (c)

···

D2 f2 (c) .. .

··· ..

Dn f1 (c)   h1 

     Dn f2 (c)    ·   ..   .      

.

D1 fm (c) D2 fm (c) · · · Dn fm (c) µ

Ejemplo 1.5.1 Sea f : IR2 −→ IR2 definida por: f (x, y) = x + y,

1 x+y

h2 .. . hn

         

¶

y el punto P (1, 2)

1. Determinar el conjunto en el que f es diferenciable. 2. Obtener la matriz jacobiana de f en un punto gen´erico. 3. Calcular la diferencial de f en un punto gen´erico y, si es posible, en el punto P . Para resolver el primer punto lo primero ser´ a analizar la funci´ on dada a trav´es de sus componentes (condici´ on necesaria y suficiente de diferenciabilidad para funciones vectoriales). Una vez centrados en las funciones componentes (que son funciones escalares) estudiamos donde van a ser continuas (recordar la condici´ on necesaria de diferenciabilidad para funciones escalares). Por u ´ltimo analizaremos la continuidad de las derivadas parciales de dichas funciones componentes (recordar la condici´ on suficiente de diferenciabilidad de las funciones escalares). f1 : IR2 −→ IR; f1 (x, y) = x + y ⇒ f1 es continua en todo IR2 Calculamos sus derivadas parciales y vemos donde son continuas. ∂f1 (x, y) = 1; ∂x 11

∂f1 (x, y) = 1 ∂y

Ambas son continuas en IR2 . Por lo tanto f1 es diferenciable en todo IR2 y su vector gradiente en un punto gen´erico es: 



 1   

∇f1 (x, y) =  

f2 : IR2 −→ IR; f2 (x, y) =

1

1 ⇒ f2 es continua en el conjunto A2 = {(x, y)/ x + y 6= 0} x+y

Calculamos sus derivadas parciales ∂f2 1 ; (x, y) = − ∂y (x + y)2

∂f2 1 ; (x, y) = − ∂x (x + y)2 Ambas son continuas en el conjunto A2 .

Por tanto f2 es diferenciable en A2 y su vector gradiente en un punto gen´erico es    

∇f2 (x, y) = 

1 − (x + y)2 1 − (x + y)2

    

En resumen, f ser´ a diferenciable en la intersecci´ on de los conjuntos en que sean diferenciables cada una de sus componentes, en este caso f es diferenciable en A2 = {(x, y)/ x + y 6= 0}. Pasemos, ahora, al segundo punto de nuestro ejercicio: la jacobiana de f en un punto gen´erico (x, y) ∈ A2 es



 

Jf (x, y) =  

∇t f1 (x, y) ∇t f2 (x, y)



  =  



1 1 − (x + y)2

1    1 − 2 (x + y)

Por u ´ltimo, obtengamos la diferencial en un punto gen´erico y en el punto P . Debemos recordar que Df (c)(h) = Jf (c) · h En nuestro caso consideramos primero c = (x, y) 

 

1  Df (x, y)(h) = Jf (x, y) · h =   1 − (x + y)2 En el punto dado, c = (1, 2) ∈ A2 y tenemos que  

Df (1, 2)(h) = Jf (1, 2) · h =  

12

 

1 1 − 9



1   h1  ·     1 − h2 2 (x + y)



1   h1  ·   1   − h2 9

1.6

Regla de la cadena

1.6.1

Introducci´ on

Antes de enunciar el teorema de la regla de la cadena que nos va a permitir obtener, cuando sea posible, la diferencial de una funci´on compuesta, es importante recordar algunos conceptos b´asicos en IR. 1. Sean f : A ⊂ IR → IR y g : B ⊂ IR → IR, con f (A) ⊂ B, definimos g ◦ f : A ⊂ IR → IR como (g ◦ f )(x) = g (f (x)) Ejemplo 1.6.1 Sean f (x) = x2 + 1; g(x) =

√ 3 4x, entonces

(g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g(x2 + 1) =

q 3

4(x2 + 1)

An´ alogamente √ √ √ 3 3 3 (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( 4x) = ( 4x)2 + 1 = 16x2 + 1 2. (Regla de la cadena para funciones reales de variable real) Sean f : A ⊂ IR → IR y g : B ⊂ IR → IR, con A y B abiertos y f (A) ⊂ B, sean c ∈ A y f (c) ∈ B, entonces si f es diferenciable en c y g es diferenciable en f (c) tendremos que g ◦ f : A ⊂ IR → IR es diferenciable en c y adem´as se verifica que (g ◦ f )0 (c) = g 0 [f (c)] · f 0 (c) Ejemplo 1.6.2 Considerando las funciones del ejemplo anterior 0

(g ◦ f ) (x) =

1.6.2

¶0

µq 3

4(x2

+ 1)

2 1 = (4x2 + 4)− 3 · 8x 3

Regla de la cadena para funciones vectoriales

Teorema 1.6.1 Sean f : A ⊂ IRn → IRm y g : B ⊂ IRm → IRp , con A y B abiertos y f (A) ⊂ B, sean c ∈ A y f (c) ∈ B, si f es diferenciable en c y g es diferenciable en f (c) tendremos que g ◦ f : A ⊂ IRn → IRp es diferenciable en c y adem´ as se verifica que D(g ◦ f )(c) = Dg [f (c)] ◦ Df (c), por tanto: J(g ◦ f )(c) = Jg [f (c)] · Jf (c) Ejemplo 1.6.3 Sean f : A ⊂ IR2 → IR3 , f (x, y) = (ex+y , x − y, x2 ) y sea g : B ⊂ IR3 → IR2 , g(u, v, w) = (uw , sen(v + w)). Probar que g ◦ f es diferenciable en (0, 0) y calcular J(g ◦ f )(0, 0).

13

Empezamos estudiando la diferenciabilidad de f a trav´es de sus funciones componentes: f1 (x, y) = ex+y es continua en todo IR2 ∂f1 (x, y) = ex+y ; ∂x

∂f1 (x, y) = ex+y son continuas en todo IR2 ∂y

Por tanto f1 es diferenciable en todo IR2 y en particular en (0, 0). f2 (x, y) = x − y es continua en todo IR2 ∂f2 (x, y) = 1; ∂x

∂f2 (x, y) = −1 son continuas en todo IR2 ∂y

Por tanto f2 es diferenciable en todo IR2 y en particular en (0, 0). f3 (x, y) = x2 es continua en todo IR2 ∂f3 (x, y) = 2x; ∂x

∂f3 (x, y) = 0 son continuas en todo IR2 ∂y

Por tanto f3 es diferenciable en todo IR2 y en particular en (0, 0). Por tanto f es diferenciable en todo IR2 y en particular en (0, 0). Adem´ as:     Jf (x, y) =    



ex+y 1 2x

ex+y

   −1    

0





 1 1       Jf (0, 0) =  1 −1      

0

0

Estudiamos, ahora, la diferenciabilidad de g a trav´es de sus funciones componentes: g1 (u, v, w) = uw es continua en B1 = {(u, v, w)/ u > 0} ∂g1 ∂g1 ∂g1 (u, v, w) = wuw−1 ; (u, v, w) = 0; (u, v, w) = uw ln(u) son continuas en B1 ∂u ∂v ∂w Por tanto g1 es diferenciable en B1 y en particular en f (0, 0) = (1, 0, 0). g2 (u, v, w) = sen(v + w) es continua en todo IR3 ∂g2 ∂g2 ∂g2 (u, v, w) = 0; (u, v, w) = cos(u + w); (u, v, w) = cos(v + w) son continuas en todo IR3 ∂u ∂v ∂w Por tanto g2 es diferenciable en todo IR3 y en particular en f (0, 0) = (1, 0, 0). 14

Por tanto g es diferenciable en B1 y en particular en f (0, 0) = (1, 0, 0). Adem´ as:  

Jg(u, v, w) =  



wuw−1 0

uw ln(u)

0

cos(v + w) cos(v + w) 

  0

Jg(1, 0, 0) =  

  

0 0 

0 1 1

 

A continuaci´ on aplicamos la regla de la cadena en el punto (0, 0): 

 



 0

J(g ◦ f )(0, 0) = Jg(1, 0, 0) · Jf (0, 0) =  

0

0 1

 1 0    · 1    1 

0

15

    0  −1  =  1 

1 

0



0  −1

 