GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4. Ecuaciones diferenciales.

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Trayectorias ortogonales. Muchas aplicaciones y problemas de la ciencia, la ingeniería y la economía se formulan en términos de un modelo descrito por una ecuación diferencial, como el que analizaremos a continuación. En esta lección estudiaremos ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Aprenderemos a resolver estas ecuaciones diferenciales e investigaremos las propiedades de sus soluciones. EJEMPLO. Un producto químico se vierte en un recipiente que contiene una solución líquida con una determinada cantidad de ese producto químico disuelto. La mezcla se mantiene homogénea por agitación y, a su vez, sale del recipiente a una velocidad conocida.

En este proceso es importante conocer la cantidad de producto químico que contiene el recipiente en un momento dado. La tasa de cambio de la cantidad de producto es la diferencia entre la velocidad a la que llega el producto y la velocidad a la que sale. Denotemos por y ( x) la cantidad de producto químico que contiene el recipiente en el instante x. Entonces y′( x) = [ velocidad de llegada ] − [ velocidad de salida ] .

Si V ( x) es el volumen total de líquido del recipiente en el instante x, entonces velocidad de salida del producto químico, en el instante x, es el producto de la concentración, en el instante x, por la y ( x) tasa de salida, es decir, [ velocidad de salida ] = ⋅ [ tasa de salida ] . Igualmente V ( x)

[ velocidad de llegada ] = [ concentracion ] ⋅ [ tasa de llegada ] . y ( x) [ tasa de salida ]. Si medimos y( x) V ( x) kilogramos, V ( x) en litros, y x en minutos, las unidades en la ecuación anterior son De acuerdo con lo anterior, y′( x) = [ velocidad de llegada ] −

⎡ kilogramos ⎤ ⎡ kilogramos ⎤ ⎡ litros ⎤ ⎡ kilogramos ⎤ ⎡ litros ⎤ ⎢⎣ minuto ⎥⎦ = ⎢⎣ litros ⎥⎦ ⎢⎣ minuto ⎥⎦ − ⎢⎣ litros ⎥⎦ ⎢⎣ minuto ⎥⎦ . Por ejemplo, en una refinería de petróleo, un tanque de almacenamiento contiene 10.000 litros de gasolina que contiene 100 kilogramos de un aditivo disuelto en ella. En preparación para el invierno, se bombea al tanque gasolina que contiene 0.05 kilogramos de aditivo por litro a una velocidad

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de 40 litros por minuto. La solución bien mezclada se bombea a una velocidad de 45 litros por minuto ¿Qué cantidad del aditivo habrá en el tanque si han transcurrido 20 minutos desde que ha comenzado el proceso de bombeo? Sabemos que el volumen en litros (de gasolina y aditivo) del tanque, en cualquier instante x, es V ( x) = 10.000 + ( 40 x − 45 x ) = 10.000 − 5 x. Entonces

[ velocidad de salida ] =

y ( x) y ( x) 9 y ( x) . ⋅ 45 = [ tasa de salida ] = 10.000 − 5 x 2000 − x V ( x)

Por otra parte, [ velocidad de llegada ] = [ concentracion ] ⋅ [ tasa de llegada ] = 0.05 ⋅ 40 = 2. La ecua-

ción diferencial que modela el proceso de mezcla es y′( x) = 2 − mos que y (0) = 100. La solución de esta ecuación diferencial es

9 y ( x) . Por otra parte, observe2000 − x

y ( x) = 0.25 ( 2000 − x ) − 7.8125 ⋅10−28 ( 2000 − x ) . 9

Por tanto, al cabo de 20 minutos, la cantidad de aditivo será y (20) = 129.593. DEFINICIÓN. Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma y′ = f ( x, y ), siendo f ( x, y ) una función de dos variables definida en una región del plano. Una solución de la ecuación diferencial y′ = f ( x, y ) es una función y = y ( x) derivable en un intervalo I ⊆ \ tal que y′( x) = f ( x, y ( x) ) , para todo x ∈ I . EJEMPLO. 1) Vamos a comprobar que la función y ( x) = x 2 + 5 es solución de la ecuación diferencial y′ = 2 x. Derivando la función y se obtiene que y′( x) = 2 x. 2) La función y ( x) = e 2 x + 5 es solución de la ecuación diferencial yy′ = e 2 x . Derivando la función, se obtiene que y′( x) =

e2 x e +5 2x

y, por tanto, y ( x) y′( x) =

e2 x e +5 2x

e2 x + 5 = e2 x .

3) La función y ( x) = e −2 x es solución de la ecuación diferencial y′ = −2 y en el intervalo ( −∞, ∞ ) . En este caso la variable x no aparece explícitamente en la ecuación. 4) Consideremos la ecuación diferencial y′ = 1 − e − x . En este caso sólo aparece la variable independiente x, así que las soluciones de la ecuación diferencial son las primitivas de 1 − e − x , es decir, las funciones y ( x) = x + e − x + C , donde C es la constante de integración. Esta expresión se conoce como solución general ya que todas estas funciones son soluciones de la ecuación, pues verifican que y′( x) = 1 − e − x y, por otro lado, cualquier solución de la ecuación debe ser de esa forma. La aparición de una constante es inevitable en la resolución de una ecuación diferencial ya que siempre hay que realizar el cálculo de una primitiva. Habitualmente será el conocimiento de una condición inicial lo que nos permita determinar el valor de la constante de integración en nuestro problema. Consiste en fijar el valor y0 que debe tomar la función y ( x) en un punto dado x0 . Esto se conoce como condición inicial ya que suele venir determinada por el punto de partida de la situa-

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ción física o geométrica que se estudia. La condición inicial nos permite hallar el valor de la constante C que corresponde a la solución concreta que se busca. DEFINICIÓN. Una solución del problema de valor inicial y′ = f ( x, y ), con y ( x0 ) = y0 , es una función y = y ( x) definida en un intervalo que contiene a x0 que es solución de la ecuación diferencial y′ = f ( x, y ) y tal que y ( x0 ) = y0 . OBSERVACIÓN. Si especificamos una condición inicial y ( x0 ) = y0 , para la solución y = y ( x) de la ecuación diferencial y′ = f ( x, y ), la curva solución (la gráfica de la función y = y ( x) ) pasa por el punto ( x0 , y0 ) con pendiente y′( x0 ) = f ( x0 , y0 ). Podemos representar gráficamente esta situación dibujando un pequeño vector con pendiente f ( x, y ) en algunos puntos ( x, y ) que hayamos seleccionados en el dominio de la función f . Cada vector tiene la misma pendiente que la curva solución. La imagen resultante se llama campo de direcciones y ofrece una visualización de la forma general de las curvas soluciones. Observa el siguiente gráfico donde mostramos el campo de direc1 ciones de la ecuación diferencial y′ = y − x y la solución y ( x) = x + 1 − e x , que verifica la con3 2 dición inicial y (0) = . 3

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EJEMPLO. El problema de valores iniciales y′ = y 5 , con y (0) = 0, tiene más de una solución. Una x5 . Ambas soluciones verifican 55 la condición inicial. Se pueden encontrar más soluciones que verifiquen la condición inicial.

solución es la función constante y ( x) = 0. Otra solución es y ( x) =

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En las aplicaciones es deseable conocer que existe una única solución de un problema de valores iniciales. El teorema de Picard que enunciamos a continuación da condiciones que garantizan la existencia y unicidad de la solución. TEOREMA (PICARD). Supongamos que f ( x, y ) y su derivada parcial f y ( x, y ) son continuas en un disco centrado en ( x0 , y0 ). Entonces, el problema de valores iniciales y′ = f ( x, y ), con y ( x0 ) = y0 , tiene solución única y = y ( x) definida en un intervalo centrado en el punto x0 . Ecuación diferencial de una familia de curvas: trayectorias ortogonales. El conjunto de soluciones (o solución general) de una ecuación diferencial de primer orden es una familia de curvas que depende de un parámetro, la constante de integración. Recíprocamente, dada una familia de curvas que dependen de un parámetro c, descritas por la ecuación F ( x, y ) = c, existe una ecuación diferencial de primer orden de la cual esta familia es la solución general. Si y = y ( x) es una de las curvas de esta familia, entonces F ( x, y ( x) ) = c, para todo x ∈ I , siendo I un intervalo donde está

definida la función y = y ( x). Ahora derivamos implícitamente en la igualdad F ( x, y ( x) ) = c y obtenemos Fx ( x, y ( x) ) + Fy ( x, y ( x) ) ⋅ y′( x) = 0, para todo x ∈ I . Es decir, la función y = y ( x) es soluFx ( x, y ) en el intervalo x ∈ I . Esta ecuación diferencial se Fy ( x, y ) llama ecuación diferencial de la familia de curvas F ( x, y ) = c. En el siguiente ejemplo desarrollamos este proceso en varios casos concretos.

ción de la ecuación diferencial y′ = −

EJEMPLO. Vamos a determinar la ecuación diferencial de las siguientes familias de curvas. En cada uno de los casos siguientes supondremos siempre que y es una función que depende de x.

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1) La familia xy − c( x − 1) = 0. Observemos que esta ecuación es equivalente a con respecto a x y simplificando se tiene que y′ =

xy = c. Derivando x −1

y . Es fácil comprobar que su solución x( x − 1)

general es xy − c( x − 1) = 0. 2) La familia de parábolas y = cx 2 . Observemos que esta ecuación se puede escribir como Derivando con respecto a x y simplificando queda la ecuación diferencial y′ =

y = c. x2

2y . Es fácil comx

probar que su solución general es la familia de parábolas y = cx 2 . DEFINICIÓN. Dadas dos curvas C1 y C2 que se cortan en un punto ( x, y ), diremos que se cortan ortogonalmente si sus rectas tangentes en dicho punto son ortogonales. Dada una familia de curvas que depende de un parámetro f ( x, y, c) = 0, diremos que una curva C es una trayectoria ortogonal a dicha familia si en cada punto en que C corta a una curva de la familia lo hace ortogonalmente, es decir, las dos rectas tangentes en el punto de corte son perpendiculares. Asimismo, dadas dos familias de curvas ϒ1 y ϒ 2 , diremos que la familia de curvas ϒ 2 son las trayectorias ortogonales a la familia ϒ1 si cada curva de la familia ϒ 2 corta ortogonalmente a la familia ϒ1 y toda curva ortogonal a esta última familia pertenece a ϒ 2 .

Dada una familia de curvas uniparamétrica h( x, y, c) = 0 nos planteamos cómo obtener la familia de sus trayectorias ortogonales. Supongamos que conocemos la ecuación diferencial y′ = f ( x, y ) de la familia h( x, y, c) = 0. Fijamos un punto ( x, y ) de una de las curvas de la familia h( x, y, c) = 0. La pendiente de su recta tangente es f ( x, y ). Recordemos que dos rectas de pendientes m1 y m2 , respectivamente, son ortogonales si, y sólo si, m1m2 = −1. Por tanto, la pendiente de cualquier curva

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ortogonal a ella en el punto ( x, y ) es −

1 . Y esta nueva curva debe ser solución de la ecuaf ( x, y )

1 . En resumen, si disponemos de la ecuación diferencial de una famif ( x, y ) lia de curvas, la ecuación diferencial de la familia de curvas ortogonales se obtiene sustituyendo en 1 la ecuación anterior y ′ por − . y′

ción diferencial y′ = −

EJERCICIO 1. Halla la ecuación diferencial de las siguientes familias de curvas. Asimismo, halla la ecuación diferencial de la familia de curvas ortogonales.

1) La familia de todas las circunferencias con centro en el origen. 2) La familia de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas y que, además, tienen su centro sobre el eje OY . 3) La familia de parábolas x = cy 2 . 4) La familia de hipérbolas xy = c. 5) La familia de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas y que, además, tienen su centro sobre el eje OX . 6) La familia de las circunferencias que pasan por los puntos (−1, 0) y (0,1).

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