Matem´ aticas Tema 5: Conceptos b´ asicos sobre matrices y vectores 1
Objetivos
2
Matrices
3
Operaciones con matrices
Departamento de Matem´ atica Aplicada Universidad de Granada
4
Escalonamiento de matrices
[email protected]
5
¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Lecci´on 5.1: Matrices y determinantes Philippe Bechouche
Grado en Finanzas y Contabilidad Curso 2015-2016 Philippe Bechouche
Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
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Philippe Bechouche
Objetivos
Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
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Matrices
Objetivos de esta lecci´on
Primeros conceptos
1
Comprender qu´e es una matriz y qu´e tipos de matriz puede haber.
2
Comprender qu´e es un vector.
3
Realizar operaciones con matrices.
4
Realizar transformaciones elementales por filas en una matriz para llevarla a un tipo determinado.
Matriz de orden m × n Una matriz de orden m × n es un conjunto de m · n n´ umeros reales dispuestos rectangularmente en m filas y n columnas en la forma a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= . .. .. . . . . . . . am1 am2 · · · amn Se dice que A pertenece al conjunto Mm×n de todas las matrices de orden m × n. En el contexto de matrices, es frecuente usar letras may´ usculas para las matrices y min´ usculas para los n´ umeros.
Philippe Bechouche
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Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
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Matrices
Matrices
Primeros conceptos
Primeros conceptos
Ejemplo 1 Matriz de orden 2 × 3: 1 3 −2 A= , 7 0 4
a12 = 3 ,
Ejemplo 3 Matriz de orden 4 × 4:
a21 = 7.
1 0 −2 −2 1 1 2 4 2 , C= 1 7 2 − 11 3 8 −1 19 0
Ejemplo 2 Matriz de orden 3 × 2: 2 1 B = 5 −2 , 10 21
a34 = 11 .
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a31 = 10 .
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Matrices
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Matrices
Diagonal principal
Transposici´on de matrices
Diagonal principal La diagonal principal de una matriz la constituyen los elementos
Matriz traspuesta Sea A ∈ Mm×n una matriz con m filas y n columnas. La matriz transpuesta At se obtiene intercambiando filas por columnas en la matriz A. Es decir, A ∈ Mn×m tiene n filas y m columnas.
{a11 , a22 , a33 , . . . , ann }
Ejemplo Ejemplo La diagonal principal de la matriz 1 2 3 4 2 −1 2 3 A= 7 6 5 7 1 3 5 9
A=
−1 0 5 4 3 6
−1 4 At = 0 3 5 6
=⇒
Cuidado:
Puede haber ambig¨ uedad al escribir At ya que podemos referirnos: la traspuesta de A,
la constituyen los elementos {1, −1, 5, 9}.
“A elevada a t”. El contexto nos dir´a a cu´al nos referimos.
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Matrices
Matrices
Tipos de matrices
Tipos de matrices Matriz columna A es una matriz columna si consta de una u ´nica columna. Este tipo de matriz tambi´en se llama vector columna.
Matriz fila A es una matriz fila si consta de una u ´nica fila. Los valores se pueden escribir separados por comas. Este tipo de matriz tambi´en se llama vector fila.
Ejemplo de matriz columna 1 A = 3 4
Ejemplo de matriz fila A = (1
3
En ocasiones resulta c´omodo escribir una matriz columna como la traspuesta de una matriz fila o al rev´es:
4)
1 3 = (1 4 Philippe Bechouche
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t 2 − 1) = 5 −1
3
4)t
(2
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Matrices
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Matrices
Tipos de matrices
Tipos de matrices Matriz sim´etrica Una matriz cuadrada, A, se dice sim´etrica si coincide con su traspuesta.
Matriz cuadrada A es una matriz cuadrada si tiene igual n´ umero de filas que de columnas, es decir si m = n. Para denotar el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n escribimos Mn en lugar de Mn×n . Ejemplo de matriz cuadrada
1 4 −2 1 A= 3 0 4 −1 1
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Ejemplo
1 3 0 A = 3 2 −1 es una matriz sim´etrica 0 −1 5 1 3 0 A = 3 2 −1 no es una matriz sim´etrica 0 1 5 1 −2 5 1 −2 0 −1 3 A= 5 −1 0 2 es una matriz sim´etrica 1 3 2 3 Philippe Bechouche
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Matrices
Matrices
Tipos de matrices
Tipos de matrices
Matriz identidad A es una matriz identidad si es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a uno
Matriz diagonal A es una matriz diagonal si es una matriz cuadrada con todos los elementos fuera de la matriz diagonal iguales a cero.
Ejemplo de matriz identidad Matriz identidad de orden 3:
Ejemplo de matriz diagonal
3 0 0 A = 0 −2 0 0 0 5
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1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1
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Matrices
Matrices
Tipos de matrices
Tipos de matrices
Matriz triangular superior o inferior A es una matriz triangular superior (resp. inferior) si todos los elementos por debajo (resp. encima) de la diagonal son nulos.
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Matriz nula A es una matriz nula si tiene todos sus elementos iguales a cero. Ejemplo de matriz nula
Ejemplo de matriz triangular superior 2 4 0 T = 0 −1 7 0 0 5
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0 0 0 0 A= 0 0 0 0 0 0 0 0
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Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Suma de matrices Definici´on de A+B Dadas dos matrices A a11 a12 a21 a22 A= . .. .. .
Suma de matrices y B de igual orden m × n: · · · a1n b11 · · · a2n b21 .. B = .. .. . . .
am1 am2 · · ·
amn
··· ··· .. .
b1n b2n .. .
bm1 bm2 · · ·
bmn
b12 b22 .. .
la suma de A y B se define sumando elemento a elemento: a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n A+B = .. .. .. .. . . . . am1 + bm1 am2 + bm2 · · ·
Ejemplo
1 3 3 −2 A= 1 0 4 8
A+B =
−1 2 1 2 B= 10 −2 4 5 0 5 4 0 11 −2 8 13
amn + bmn
La suma de matrices es conmutativa, es decir: A + B = B + A. Philippe Bechouche
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Operaciones con matrices
Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
Operaciones con matrices
Producto de un n´umero real por una matriz
Producto de matrices
Definici´on de α · A Dado el n´ umero α y la matriz a11 a21 A= . ..
Producto de fila por columna ··· ··· .. .
a1n a2n .. .
am1 am2 · · ·
amn
a12 a22 .. .
el producto de α por A se define multiplicando cada elemento de A por α αa11 αa12 · · · αa1n αa21 αa22 · · · αa2n αA = . .. .. . . . . . . . αam1 αam2 · · · αamn
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Dadas una matriz fila A = (a1 a2 . . . an ) y una matriz columna B = (b1 b2 . . . bn )t se define su producto como b1 b2 A B = (a1 a2 . . . an ) . = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn .. bn Observaciones: La fila y la columna deben tener el mismo n´ umero de elementos, en otro caso no se podr´an multiplicar. Esta definici´on es para fila por columna en ese orden. El producto de columna por fila tendr´a otra definici´on.
El producto de un n´ umero por una matriz tambi´en es conmutativo, es decir: αA = Aα. Philippe Bechouche
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Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo: 1 2 3 −1 0 = 2 · 1 + 3 · 0 + (−1) · 7 = −5 . 7
Definici´on de AB Dadas dos matrices A ∈ Mm×p (con m filas y p columnas) y B ∈ Mp×n (con p filas y n columnas), el elemento cij de la matriz producto C = AB se define como
0 3 0 = 0. 2
cij = producto de fila i de A por columna j de B
Ejemplo:
Observaci´on Las filas de A se deben poder multiplicar por las columnas de B, por eso se considera A con p columnas (el tama˜ no de cada fila) y B con p filas (el tama˜ no de cada columna).
¡¡El producto de dos matrices puede ser 0 sin que ninguna de las 2 matrices sea nula!! Ejemplo: 1 2 3 1 3 2 0
Veamos un ejemplo para comprender mejor este proceso.
no se puede operar ya que la cantidades de elementos no coinciden. Philippe Bechouche
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Operaciones con matrices
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 -1 1 3 0 3 0 4 1 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 5 4 1 −1 3 1 −1 1
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3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 -1 1 3 0 3 0 4 1 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 5 4 1 −1 3 1 −1 1
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Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 -1 1 3 0 4 1 3 0 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 5 4 1 -1 3 1 −1 1
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1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
3
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1 2 -1 1 3 0 4 1 3 0 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 5 4 1 −1 3 1 −1 1
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0
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 −1 1 3 0 3 0 4 1 25 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 5 4 1 −1 3 1 −1 1
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3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
Operaciones con matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
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3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 −1 1 3 0 3 0 4 1 25 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 5 4 1 −1 3 1 −1 1
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Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 −1 1 3 0 4 1 3 0 25 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 5 4 1 -1 3 1 −1 1
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1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
3 4
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1 2 −1 1 3 0 4 1 3 0 25 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 5 4 1 −1 3 1 −1 1
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 −1 1 3 0 3 0 4 1 25 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 34 5 4 1 −1 3 1 −1 1
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3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
Operaciones con matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
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3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 −1 1 3 0 3 0 4 1 25 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 34 5 4 1 −1 3 1 −1 1
Philippe Bechouche
Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
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Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 −1 1 3 0 4 1 3 0 25 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 34 5 4 1 -1 3 1 −1 1
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1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
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1 2 −1 1 3 0 4 1 3 0 25 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 34 5 4 1 −1 3 1 −1 1
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Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 −1 1 3 0 3 0 4 1 25 4 1 2 2 1 = AB = 2 8 34 5 4 1 −1 3 1 -1 1 6
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3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
Operaciones con matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
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9 0 8 15 19 25
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3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 −1 1 3 9 0 3 0 4 1 3 0 4 1 2 2 1 = 25 4 8 15 AB = 2 8 5 34 21 19 25 4 1 −1 3 1 -1 1 6 -1
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Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
1 2 −1 1 3 9 0 3 0 4 1 3 0 4 8 15 1 2 2 1 = 25 4 AB = 2 8 34 21 19 25 5 4 1 -1 3 6 −1 1 1 -1 1
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1 2 −1 1 3 9 0 3 0 4 1 3 0 4 8 15 1 2 2 1 = 25 4 AB = 2 8 34 21 19 25 5 4 1 −1 3 6 −1 1 3 1 -1 1
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Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo 1 Sean las matrices
Ejemplo 2 Sean las matrices
3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
A=
0 1 3 4 −1 2
1 2 B = 0 −1 4 −3
Entonces,
Entonces,
1 2 −1 1 3 9 0 3 0 4 1 3 0 4 8 15 1 2 2 1 = 25 4 AB = 2 8 5 34 21 19 25 4 1 −1 3 1 −1 1 6 −1 1 3
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3 0 4 1 B= 1 2 2 1 4 1 −1 3
Entonces,
Operaciones con matrices
1 2 −1 3 0 4 A= 2 8 5 1 −1 1
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AB =
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0 1 3 4 −1 2
1 2 0 −1 = 12 4 −3
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Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejemplo 2 Sean las matrices
Ejemplo 2 Sean las matrices
A=
0 1 3 4 −1 2
1 2 B = 0 −1 4 −3
Entonces,
A=
0 1 3 4 −1 2
1 2 B = 0 −1 4 −3
Entonces, AB =
0 1 3 4 −1 2
Philippe Bechouche
1 2 12 -10 0 -1 = 4 -3
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AB =
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0 1 3 4 -1 2
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Producto de matrices
Ejemplo 2 Sean las matrices
Ejemplo 2 Sean las matrices
A=
0 1 3 4 −1 2
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
1 2 12 −10 0 −1 = 12 4 −3
Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
Operaciones con matrices
1 2 B = 0 −1 4 −3
Entonces,
A=
0 1 3 4 −1 2
1 2 B = 0 −1 4 −3
Entonces, AB =
Philippe Bechouche
0 1 3 4 -1 2
1 2 0 -1 = 12 −10 12 3 4 -3
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AB =
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0 1 3 4 −1 2
1 2 0 −1 = 12 −10 12 3 4 −3
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Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Propiedades de la suma y del producto de matrices Si A, B, C son matrices del mismo orden, entonces
¡El producto de matrices no es conmutativo!
(A + B) + C = A + (B + C) A+B =B+A
AB 6= BA
Para 0 la matriz nula: A + 0 = A Ejemplo: 1 0 2 −1
2 −1 1 1 0 0
1 2
1 1 = 0 −2 1 2 = 2 −1
1 0
Si A, B, C son matrices de orden tal que se puedan realizar las siguientes operaciones, entonces
4 −1
(A B) C = A (B C) Para I la matriz identidad: A I = I A = A
A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA
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Escalonamiento de matrices
Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
Escalonamiento de matrices
Transformaciones elementales por filas
Transformaciones elementales por filas
Llamamos transformaciones elementales por filas en una matriz a cualquiera de las siguientes operaciones:
Ejemplos
1
2
3
Intercambiar la posici´ on de dos filas: Fi ↔ Fj (intercambio de las filas i y j). Multiplicar todos los elementos de una fila por un n´ umero real no ˜ nulo: Fi = αFi (multiplicar la fila i por el n´ umero α 6= 0). Sumar a una fila otra multiplicada por un n´ umero real: F˜i = Fi + αFj (suma a la fila i la fila j multiplicada por α).
Diremos que dos matrices A y B son equivalentes por filas, y lo denotamos por A ∼ B, si se puede obtener una a partir de la otra por medio de transformaciones elementales por filas.
Philippe Bechouche
Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
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1 2 4 3 −6 3 1 2 4 3 −6 3 1 2 4 3 −6 3
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−1 0 1 2 5 0 −1 0 1 2 5 0 −1 0 1 2 5 0
F1 ↔F3
F˜2 =2F2
F˜3 =F3 +4F1
-
−6 3 5 4 3 1 1 2 −1 1 2 −1 8 6 2 −6 3 5 1 2 −1 4 3 1 −2 11 1
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0 2 0 0 4 0 0 2 0
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Escalonamiento de matrices
Escalonamiento de matrices
Matrices escalonadas
Matrices escalonadas por filas
Pivote de una fila El pivote de una fila es el primer elemento no nulo de dicha fila. Matriz escalonada por filas Una matriz A es escalonada por filas si se verifican las siguientes condiciones: Si A tiene filas nulas (cuyos elementos son todos cero), estas est´an agrupadas en la parte inferior de la matriz. El pivote de cada fila no nula est´a a la derecha del pivote de la fila anterior.
Matrices escalonadas 4 2 −1 0 3 1 0 0 2 1 2 −1 0 1 3 0 0 0 1 2 −1 0 0 0 0 0 0
Matrices no escalonadas 4 2 −1 0 0 3 1 1 0 2 0 1 1 2 −1 0 0 0 2 −1 0 1 3 1 1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 1 0 0 1 2 0 3 0
(los pivotes son los elementos en los recuadros). Philippe Bechouche
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Lecci´ on 5.1: Matrices y determinantes
Escalonamiento de matrices
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Escalonamiento de matrices
Matrices escalonadas reducidas
Matrices escalonadas reducidas por filas
Matriz escalonada reducida por filas Una matriz A es escalonada reducida por filas si se verifican las siguientes condiciones: Si A tiene filas nulas (cuyos elementos son todos cero), estas est´an agrupadas en la parte inferior de la matriz. El pivote de cada fila no nula est´a a la derecha del pivote de la fila anterior. El pivote de cada fila no nula es igual a 1. Los elementos de la misma columna que el pivote de una fila son nulos.
Matrices escalonadas reducidas 1 0 0 0 0 1 0 1 0
0
1
0
1 0 −1 0 0 1 3 0 0 0 0 1 1 2 −0.52 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Matrices escalonadas no reducidas 1 2 0 0 0 1 0 −2 0 0 1 0 1 0 −1 0 0 1 3 0 0 0 0 2 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0
(los pivotes son los elementos en los recuadros). Philippe Bechouche
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Philippe Bechouche
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Escalonamiento de matrices
Escalonamiento de matrices
Escalonamiento de matrices
Escalonamiento de matrices M´etodo: 1 Elegimos entre los elementos no nulos de la primera columna, cual ser´a el pivote e intercambiamos filas para que ´este se quede en la primera fila. 2 Hacemos ceros en las posiciones debajo del pivote mediante transformaciones elementales del tipo:
Idea del m´ etodo Consiste en ir eligiendo el pivote de cada columna e ir haciendo 0 por debajo del pivote, empezando desde el primero hasta el u ´ltimo: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −→ 0 ∗ ∗ ∗ −→ 0 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ (∗: elementos cualesquiera salvo −→ 0 0 ∗ ∗ los pivotes que son no nulos) 0 0 0 ∗
Cada fila se cambia por: ella misma + una proporcional a la fila de dicho pivote
3
mediante transformaciones elementales por fila. Philippe Bechouche
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La fila y columna del pivote elegido ya estar´an en la forma adecuada. Se hace el mismo proceso pero solo con la parte de la matriz por debajo de la primera fila y a la derecha de la primera columna. La parte de la matriz que “ya est´e escalonada” no se ve afectada en este proceso. Se repite el proceso hasta que quede escalonada.
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Escalonamiento de matrices
Escalonamiento de matrices
Escalonamiento de matrices Ejemplo:
2 1 3 −2 2 −1 5 2 1 1 1 1
Excepciones en el procedimiento: Si al buscar el pivote nos encontramos con esa columna llena de ceros (no podr´ıamos elegir un pivote), esa columna ya no cambiar´a y se continua con la elecci´ on del pivote en la siguiente columna. Si una fila se ha quedado formada solo por 0, ´esta pasa a ser la u ´ltima fila.
1
Elegimos entre los elementos de la primera columna, cual de ellos va a ser el pivote. En este caso elegimos el de la primera fila y hacemos 0 los elementos debajo del pivote: 2 1 3 −2 2 1 3 −2 F˜2 =F2 −F1 2 −1 5 2 - 0 −2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 F˜3 =F3 − 12 F1
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2 0 0
1 −2 1 2
3 2 − 21
−2 4 2
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Escalonamiento de matrices
Escalonamiento de matrices
Escalonamiento de matrices
Ejemplo (continuaci´ on):
Ejemplo (continuaci´on):
2
Escogemos el segundo pivote y hacemos cero los elementos debajo de ´el: F˜3 =F3 + 41 F2 2 1 3 −2 2 1 3 −2 0 −2 0 −2 2 4 2 4 1 1 0 −2 2 0 0 0 3 2 Con esto tenemos una matriz escalonada por filas.
2
Escogemos el segundo pivote y hacemos cero los elementos debajo de ´el: F˜3 =F3 + 41 F2 2 1 3 −2 2 1 3 −2 0 −2 0 −2 2 4 2 4 1 1 0 −2 2 0 0 0 3 2 Con esto tenemos una matriz escalonada por filas.
Observaci´ on: Se podr´ıa escalonar usando otro camino, por ejemplo haber empezado intercambiando las filas F1 ↔ F3 , o en el segundo paso dividir la fila 2 entre 2, para tener en el pivote un ±1 (lo que hace algunas cuentas m´as sencillas). La matriz resultante ser´ıa diferente, pero ¿qu´e tendr´an en com´ un? Philippe Bechouche
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Escalonamiento de matrices
Escalonamiento reducido de matrices Idea del m´ etodo
Ejemplo para clase Escalonar la matriz:
Una vez que tenemos la matriz escalonada, habr´a que hacer 0 por encima de cada pivote, trabajando en las columnas desde la u ´ltima hasta la primera. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 ∗ ∗ −→ 0 0 ∗ 0 −→ 0 0 ∗ 0 0 0 0 ∗ 0 0 0 ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 ∗ 0 0 (∗: elementos cualesquiera salvo −→ 0 0 ∗ 0 los pivotes que son no nulos) 0 0 0 ∗
1 2 3 0 −2 −4 2 2 −3 −6 7 4
mediante transformaciones elementales por fila. Philippe Bechouche
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Escalonamiento de matrices
Escalonamiento reducido de matrices
Escalonamiento reducido de matrices
M´etodo: Una vez escalonada 1
Se coge el u ´ltimo pivote y se hace 0 por encima con transformaciones elementales del tipo: Cada fila se cambia por: ella misma + una proporcional a la fila de dicho pivote
2
Se pasa al pivote anterior y se opera de la misma forma,
3
hasta que lleguemos al primer pivote.
4
Los pivotes deben terminar siendo 1, lo que se consigue dividiendo la fila entre el pivote. Esto se puede hacer en el momento que m´as convenga.
Ejemplo Obtener la matriz escalonada reducida de 2 1 3 −2 2 −1 5 2 1 1 1 1 1
Esta matriz la escalonamos anteriormente 2 1 3 −2 2 2 −1 5 2 −→ 0 1 1 1 1 0
y obtuvimos 1 3 −2 −2 2 4 0 0 3
Observaci´ on: Al hacer estas transformaciones, la “parte escalonada reducida” de la matriz no se ve afectada. Philippe Bechouche
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Escalonamiento reducido de matrices
Escalonamiento de matrices
Ejemplo (continuaci´ on) 2
2 1 3 −2 F˜3 = 31 F3 2 1 0 −2 2 4 - 0 −2 0 0 0 3 0 0 1 3 −2 F˜1 =F1 +2F3 2 F˜2 =F2 −4F3 2 - 0 −2 2 0 - 0 0 0 0 1 0 F˜2 =− 12 F2 2 1 3 0 F˜1 =F1 −F2 2 - 0 1 −1 0 - 0 0 0 0 1 0 F˜1 = 21 F1 1 0 2 0 - 0 1 −1 0 0 0 0 1 Philippe Bechouche
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3 −2 2 4 0 1
Ejemplo para clase Encontrar una matriz escalonada reducida 1 2 3 −2 −4 2 −3 −6 7
0 0 1 4 0 −1 0 0 1
1 3 −2 2 0 0 0 1 0
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de la matriz: 0 2 4
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¿Qu´ e hemos aprendido hoy?
¿Que hemos aprendido?
Hemos aprendido que las matrices son conjuntos de n´ umeros reales dispuestos rectangularmente. Hemos estudiado los distintos tipos de matrices que existen. Hemos aprendido a sumar y multiplicar matrices. Y hemos visto que el producto de matrices no es conmutativo. Hemos estudiado las transformaciones elementales por filas y c´omo usar ´estas para transformar cualquier matriz en una matriz escalonada reducida.
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