LECCIÓN 9 Toluca

–3º

7º

–2º

Guadalajara

6º

20º

9º

Monterrey

–4º

0º

–1º

Distrito Federal

2º

13º

4º

Acapulco

18º

29º

21º

a) ¿En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a las 7 de la mañana? b) ¿En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a las 10 de la noche? c) ¿Cuánto aumentó la temperatura en cada ciudad entre las 7 de la mañana y las 3 de la tarde? d) ¿Cuánto disminuyó la temperatura en cada ciudad entre las 3 de la tarde y las 10 de la noche?

Lección 9: Fracciones decimales Sistema de numeración No siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con frecuencia tenemos que partir lo que tenemos para usarlo. En esta lección veremos una manera de expresar partes de una unidad a través del sistema de numeración decimal, que ya hemos empezado a estudiar. Recuerde que nuestro sistema de numeración es decimal porque agrupa de diez en diez las unidades, decenas, etc.; y es posicional porque el lugar que ocupa una cifra nos dice de qué tamaño son los grupos que estamos contando. Para

93

GUÍA

DE

MATEMÁTICAS I R tres décimos

}?

un entero

contar cuántos grupos de cada tamaño tenemos, este sistema utiliza diez símbolos, que son los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal vamos a partir la unidad en diez partes iguales; cada una de esas partes se llama décimo. Si con una primera partición no R tres décimos

} siete centésimos

un entero

94

LECCIÓN 9 podemos todavía expresar la cantidad que tenemos, partimos los pedacitos en diez partes, etc. Veamos un ejemplo. Queremos expresar la cantidad de área que tenemos sombreada en la siguiente figura, utilizando como unidad el cuadrado R. El área sombreada es una unidad y un trozo. Para saber qué parte de la unidad es ese trozo, o sea lo que queda en el segundo rectángulo, partimos el rectángulo en diez partes. Cada una de esas “rebanadas” es un décimo del área. Tenemos 3 décimos sombreados y hay un pedazo sombreado que sobra, que es más chico que un décimo. Para saber de qué tamaño es el pedazo que nos falta medir, partimos los décimos en diez partes cada uno. El rectángulo nos queda partido en 10 ´ 10 = 100 pedazos iguales, y cada uno de estos pedacitos es un centésimo. Con siete de ellos, ahora sí abarcamos exactamente el área sombreada. Sabemos entonces que toda esa área es: 1 unidad, 3 décimos y 7 centésimos. Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la que acabamos de obtener vamos a usar posiciones como en el caso de los enteros. Primero ponemos un punto que sirve para separar los enteros de las fracciones y que se llama punto decimal. A la izquierda del punto escribimos los enteros como siempre. A la derecha del punto escribimos la cantidad de pedazos que tenemos de cada tamaño empezando con los pedazos más grandes, los décimos, y luego los centésimos. En nuestro ejemplo tenemos un entero, tres décimos y siete centésimos: entonces escribimos 1.37. Este número lo podemos leer también como un entero treinta y siete centésimos. Observe en el último dibujo que los tres décimos que contamos inicialmente quedaron partidos en 30 centésimos. Si partimos los centésimos en diez partes iguales cada uno, la unidad nos queda dividida en 100 ´ 10 = 10 ´ 10 ´ 10 = 1000 pedacitos y cada uno de ellos se llama milésimo. La cantidad

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GUÍA

DE

MATEMÁTICAS I de milésimos que tengamos se escribe a la derecha de los centésimos y leemos esa parte fraccionaria como si fuera un entero pero al final decimos el nombre de los pedazos más chicos, es decir del menor orden que tenemos. Por ejemplo, trescientas cuarenta y dos unidades, 4 décimos, 6 centésimos y 9 milésimos se escribe 342.469 y se lee trescientas cuarenta y dos unidades cuatrocientos sesenta y nueve milésimos. Si partimos en milésimos el rectángulo de nuestro ejemplo, el área sombreada será equivalente a 1.370, es decir, una unidad con trescientos setenta milésimos. Observe que entonces tenemos que 1.37 = 1.370. Se puede seguir partiendo tanto como se necesite; el nombre del orden dice en cuántas partes se dividió el entero. Observe que cada vez que partimos en diez, obtenemos la cantidad de pedacitos multiplicando por diez. Aquí vamos a multiplicar muchas veces por diez; conviene entonces

Si se parte en

10

el entero queda dividido en 10

cada parte se llama

su lugar a la derecha del punto decimal es el

se escribe

décimo

1o.

0.1

centésimo

2o.

0.01

milésimo

3o.

0.001

100 = 102

100

1 000 = 103

1 000

10 000 = 104

10 000

diezmilésimo

4o.

0.0001

100 000 = 105

100 000

cienmilésimo

5o.

0.00001

1 000 000 = 106

1 000 000

millonésimo

6o.

0.000001

10 000 000 = 107

10 000 000

diezmillonésimo

7o.

0.0000001

100 000 000 = 108

100 000 000

cienmillonésimo

8o.

0.00000001

detenernos un momento para hacer un acuerdo de notación.

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LECCIÓN 9 Recuerde que si multiplicamos un número por sí mismo, para abreviar la escritura, escribimos un 2 pequeño en la parte superior del número. Por ejemplo 10 ´ 10 = 102. Si multiplicamos un número por sí mismo varias veces podemos abreviar la escritura de esta operación haciendo lo mismo. Se pone en la parte superior derecha del número la cantidad de veces que multiplicamos en pequeño. Por ejemplo, 10 ´ 10 ´ 10 = 103, 10 ´ 10 ´ 10 ´ 10 = 104, etc. Se dice que obtuvimos la tercera potencia de 10, la cuarta potencia de 10, etc. También se dice que elevamos 10 a la tercera potencia, etc. El número pequeño, nos indica cuántas veces se multiplica el número que tenemos por sí mismo, se llama exponente. Regresemos a las fracciones decimales. Para recordar los nombres, significados y escritura de los órdenes más usuales de las fracciones decimales, ponemos una tabla y algunos ejemplos. Observe que un décimo es igual a diez centésimos y a cien milésimos y a mil diezmilésimos, etc: 0.1 = 0.10 = 0.100 = 0.1000 = 0.10000 = ……. Análogamente, un centésimo es igual a diez milésimos y a cien diezmilésimos y a mil cienmilésimos, etc: 0.01 = 0.010 = 0.0100 = 0.01000 = 0.010000 = ……. En general, podemos agregar todos los ceros que queramos a la derecha de la última cifra de un número decimal sin alter ar el número. Combinando las partes que aparecen en la tabla y contando cuántas tenemos de cada tamaño podemos escribir y leer cualquier número decimal. Por ejemplo, 13.765438 se lee trece unidades setecientos sesenta y cinco mil cuatrocientos treinta y ocho millonésimos. Aunque no sepamos cómo se llaman las partes en que se divide el entero, podemos dividir todas las veces que queramos en diez partecitas. Se pueden escribir decimales

97

GUÍA

DE

MATEMÁTICAS I

con cualquier cantidad de cifras. Por ejemplo, 890.3049586732, 1.22223349939392223, etc. Todo lo que va a la derecha del punto decimal de un número se llama la expansión decimal del número. Hay números que tienen una expansión decimal que no se termina; se dice que tienen expansión decimal infinita. Por ejemplo: 2.333.... Los puntos suspensivos en este número significan que sigue 3 un número infinito de veces. Cuando la expansión decimal de un número se acaba, aunque sea muy larga, se dice que tiene expansión decimal finita. Por ejemplo: 2.33, 5.9833, 84.55555888883939222939, 29888.9393939222929399932221929292475751. Esto último no incluye a los ceros que se pueden agregar a la derecha de la última cifra; por ejemplo, 6.7705000000… es un número con expansión decimal finita, porque es igual a 6.7705. Recuerde que en cada posición sólo podemos escribir un dígito. Si juntamos diez partes de un mismo tamaño las agrupamos para formar una unidad del orden inmediato superior. Por ejemplo, si tenemos quince centésimos, los reagrupamos y tenemos un décimo y cinco centésimos. Si tenemos 56 décimos, los reagrupamos y formamos 5 unidades y 6 décimos, etc. Escriba con notación decimal los números que le damos

en español: a) doce unidades doce centésimos b) cuarenta y siete décimos c) doscientos treinta y cinco milésimos d) dos unidades quince milésimos

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LECCIÓN 9 e) ciento seis milésimos f) diecinueve milésimos g) cinco centésimos h) cinco décimos i)

dos diezmilésimos

j) ciento treinta centésimos k) diez mil doscientas unidades, ochocientos veintisiete mil quinientos trece millonésimos l)

seis millones setecientas unidades, un millón veintisiete mil once diezmillonésimos

Escriba en español los siguientes números: a) 354.7

e) 123.321

i) .00315

b) 32.007

f) 4702.0934

j) .772

c) 302.07

g) 2791.579

k) .039

d) 9.777

h) 0.550

l) .630038

Orden en los números decimales Para saber si un número decimal es mayor que otro comparamos primero los enteros. Si la parte entera es mayor, el número es mayor. Por ejemplo, 134.123 es mayor que 67.987 porque 134 es mayor que 67; escribimos 134.123 > 67.987. Otro ejemplo: 56.87954 es menor que 108.13 porque 56 es menor que 108; escribimos 56.87954 < 108.13. Si las partes enteras de dos decimales son iguales, nos fijamos en los décimos, que son las fracciones decimales más grandes. El número que tiene más décimos es más grande. Por ejemplo: 43.75 es mayor que 43.69; escribimos 43.75 > 43.69.

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GUÍA

DE

MATEMÁTICAS I 12.8 es mayor que 12.299; escribimos 12.8 > 12.299. 52.103 es menor que 52.4; escribimos 52.103 < 52.4. Si tanto la parte entera como los décimos de dos números son iguales, nos fijamos en los centésimos. El número que tiene más centésimos es más grande. Por ejemplo: 3.12 es mayor que 3.11; escribimos 3.12 > 3.11. 98.567 es mayor que 98.5589; escribimos 98.567 > 98.5589. 47.547 es menor que 47.06; escribimos 47.0547 < 47.06. 16.28 es mayor que 16.2, porque 16.2 = 16.20; escribimos 16.28 > 16.2. Este proceso de comparación se puede seguir siempre. A continuación lo planteamos para todos los números decimales: Para saber si un decimal es mayor que otro, cuando sus partes enteras son iguales, nos fijamos en la primera cifra de izquierda a derecha en la que son distintos y el número que tiene esa cifra más grande es el mayor de los dos. Recuerde que si faltan cifras decimales para poder hacer esta comparación, siempre se pueden agregar ceros a la derecha sin alterar el número, como en el último ejemplo. También los números decimales se representan en la recta numérica, partiendo cada unidad en el dibujo en diez, cada décimo en diez, etc. Por ejemplo: para representar en la recta el número 3.7, dividimos la unidad que va de 3 a 4 en diez partes iguales y en la séptima división estará 3.7.

3

100

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4

4.1 4.2

LECCIÓN 9 Si queremos representar en la recta el número 12.43, dividimos en diez partes el segmento que va de 12 a 13, localizamos 12.4 y la siguiente división, 12.5; dividimos en diez partes el segmento que va de 12.4 a 12.5 y en la tercera división estará 12.43.

12

12.1

12.2 12.3

12.4

7.6

1

7.53

0.7

7.5

0

12.5

12.6

12.7

12.8

12.9

13

12.4 12.41 12.42 12.43 12.44 12.45 12.46 12.47 12.48 12.49 12.5

Como antes, en la recta numérica los números son más grandes mientras más se alejan del cero en la dirección del

uno. Con el dibujo en esta posición, los números son más grandes si están más a la derecha. En algunas ocasiones la recta numérica no se coloca en posición horizontal sino en posición vertical, y la dirección del cero hacia el uno es de abajo hacia arriba. En estos casos los números son más grandes si están más arriba, como se muestra en los ejemplos:

101

GUÍA

DE

MATEMÁTICAS I

En cada par de números indique cuál es el mayor: a) 14.27 y 12.98

g) 126.44 y 126.4491

b) 364.846 y 325.787

h) 8.66 y 8.656

c) 90.13 y 90.95

i) 7.02 y 7.002

d) 6.328 y 6.32

j) 0.00637 y 0.0063

e) 51.1 y 51.01

k) 4.49 y 4.5

f) 0.014 y 0.14

l) 87.3 y 87.03

En cada par de números indique cuál es el menor: a) 50.4 y 30.43

g) 71.9 y 71.900

b) 46.793 y 46.79326

h) 0.0016 y 0.001

c) 518.628 y 192.475

i) 55.55 y 55.555

d) 6.57 y 4.75

j) 6.14 y 6.104

e) 59 y 59.9

k) 3.87 y 3.087

f) 28.2 y 28.02 l) 9.34 y 9.3040 Entre cada par de números coloque el símbolo =, el símbolo > o el símbolo < según corresponda:

102

a) 2.21

2.214

i) 27.430000

b) 6.12

6.1200

j) 0.001

c) 12.9

12.09

k) 2.71013

27.43 0.0001 2.72

LECCIÓN 9 d) 152.09

152.1

e) 185.824

183.924

l) 5.039 m) 0.003314

f) 0.219

0.22

n) 15.1890

g) 1.13

1.0130

o) 67.44000

h) 346.77802

5.042 0.0031 15.18 67.44

346.7782

Escriba un número: a) mayor que 2.1 b) mayor que 17.53 c) menor que 12.33

d) menor que 0.01 e) mayor que 0.2194 y menor que 1 f) dos décimos mayor que 2.5

103

GUÍA

DE

MATEMÁTICAS I g) un centésimo menor que 0.068 h) tres unidades y un décimo mayor que 1.42 i)

dos décimos y un centésimo mayor que 9.73

j) un décimo y un milésimo menor que 9.614 k) un décimo menor que 9.059 l)

entre 3.6 y 3.7

m) entre 0.557 y 0.5572

n) entre 7.88 y 7.808 Dibuje en rectas numéricas los números: a) 1.5, 1.7, 1 y 2 d) 1.190, 1.195 y 1.2 b) 100, 50, 70 y 60 e) 8.88, 8.882 y 8.885 c) 22.43, 22.44 y 22.435 f) 0.1, 0.01 y 0.05 a) En una tienda cuesta $2.50 un carrete de hilo y en otra cuesta $2.05. ¿En cuál tienda es más barato el hilo? b) En una casa de cambio venden el dólar en $10.49 y lo compran seis centavos más bajo. ¿En cuánto compran el dólar? c) Para ir a trabajar, Don

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LECCIÓN Luis puede usar dos rutas distintas. En la primera ruta el recorrido es de 17.7 Kms. y la segunda es dos kilómetros y cinco décimos más corta. ¿De cuánto es el recorrido en la segunda ruta? Don Pedro repartió un terreno entre sus dos hijos. El terreno que le tocó a Lupercio mide de frente 18 m. y 8 décimos, y el que le tocó a Gumesindo tiene un frente de 18 m. y 55 centésimos. a) Exprese con números decimales las medidas de los frentes de los dos terrenos b) ¿A quién le tocó el terreno de mayor frente?

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