ley de Gauss

interpretación física

Ley de Gauss Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL

2 de junio de 2015

ecuación de Poisson

ley de Gauss

interpretación física

ecuación de Poisson

enunciado

ley de Gauss

ley de Gauss S superficie cerrada en R3 entonces ZZ S

ZZ S

~r .n dS = 0 r3 ~r .n dS = 4π r3

si ~0 ∈ / int S

si ~0 ∈ int S

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interpretación física

demostración

demostración

demostración X =

~r r3

es C 1 y div X ≡ 0 en R3 \ 0

recordar: rx = xr , ry = yr , rz = zr
3 2r x = ⇒ rx3 x = r −3xr r6 div X =

r 2 −3x 2 r5 2 2 2 2 3r −3(x +y +z ) =0 r5

ecuación de Poisson

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interpretación física

ecuación de Poisson

demostración

demostración

demostración - caso ~0 ∈ / int S S superficie cerrada tal que ~0 ∈ / int S por Gauss: ZZ

ZZZ X .n dS = S

div X dV = 0 int S

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ecuación de Poisson

demostración

demostración

demostración - caso ~0 ∈ int S S superficie cerrada tal que ~0 ∈ int S ε > 0 tal que Bε (0) ⊂ int S probaremos que ZZ

ZZ X .n dS =

S

X .n dS ∂Bε (0)

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demostración

demostración demostración - caso ~0 ∈ int S

ecuación de Poisson

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interpretación física

demostración

demostración demostración - caso ~0 ∈ int S

realizamos un corte

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

demostración

demostración demostración - caso ~0 ∈ int S

vectores normales RR RRR Gauss: S1 X .n dS = V1 div X dV = 0 RRR RR V div X .ndV = 0 S2 X .n dS = RR RR2 ⇒ S1 X .n dS + S2 X .n dS = 0

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demostración

demostración demostración - caso ~0 ∈ int S

RR

RR X .n dS = S∪−∂Bε (0) X .n dS RR RR ⇒ S X .n dS − ∂Bε (0) X .n dS = 0 S1 ∪S2

ecuación de Poisson

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interpretación física

ecuación de Poisson

demostración

demostración demostración - caso ~0 ∈ int S x último, calculamos ZZ ∂Bε (0)

RR

∂Bε (0) X .N

~r .N dS = r3

dS

∂Bε (0)

~r ~r dS r3 r

∂Bε (0)

ε2 dS ε4

ZZ ZZ

= = ⇒

1 1 área(∂Bε (0)) = 2 4πε2 2 ε ε

ZZ X .N dS = 4π S

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interpretación física

interpretación

interpretación física

carga eléctrica flujo eléctrico a través de la superficie

ecuación de Poisson

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interpretación física

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interpretación

interpretación física

carga puntual q en ~0 q 4πr

ψ(x, y , z) =

campo eléctrico correspondiente E = −∇ψ =

q ~r 4π r 3

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interpretación física RR S

E.n dS flujo eléctrico total saliente de S

x ley de gauss:  ZZ q~r q .ndS = 3 0 S 4πr

si carga dentro int S si carga fuera de int S

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ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física interpretación física - carga continua distribución de carga continua en int S ρ densidad de carga entonces div E = ρ x teorema de gauss ZZ S

~ dS = E.N

ZZZ ρ dV = Qtotal int S

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interpretación física

carga total carga total en el interior de una superficie = flujo saliente del campo eléctrico a través de la superficie

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ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson aparece en: problemas electrostáticos ingeniería mecánica problemas de potencial gravitatorio

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

ecuación de Poisson

ρ densidad de carga sobre un abierto W potencial eléctrico en ~x :

potencial eléctrico ψ(~x ) =

ZZZ W

ρ(~y ) dV 4πk~x − ~y k

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson ψxx + ψyy + ψzz = −ρ

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

probaremos primero:

fórmula ZZ

ZZZ ∇ψ.n dS = −

∂W

ρ dV W

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ecuación de Poisson

ecuación de Poisson

ecuación de Poisson ecuación de poisson ρ(~y ) ~ W 4πk~x −~y k dV (y )

RRR

potencial eléctrico ψ(~x ) =

ZZZ

∇ψ(~ x)

= W

−

=

ZZ ∇ψ.n dS

=

−

∂W

(x Fubini)

=

1

ZZZ

4π

1

ρ(~ y) W

ZZ

4π ZZZ

ρ(~ y)

− W

4π

ZZZ =

−

ρ dV W

4πk~ x −~ yk ~ x −~ y k~ x −~ y k3

ZZZ ∂W

!

1

ρ(~ y ).∇~x

ρ(~ y) W

dV (~ y)

~ x −~ y k~ x −~ y k3

~ x −~ y

ZZ ∂W

dV (~ y)

k~ x −~ y k3

! dV (~ y)

dS(~ x)

! dS(~ x)

dV (~ y)

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ecuación de Poisson

ecuación de Poisson

ecuación de Poisson ecuación de poisson RR

RRR ∇ψ.N dS = − ρ dV WRRR RR gauss ∂W ∇ψ.N dS = W div ∇ψ dV ∂W

⇒ para toda región W : ZZZ ZZZ div ∇ψ dV = − W

ρ dV W

por TVM div ∇ψ = −ρ

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laplaciano

laplaciano se llama laplaciano a la divergencia del gradiente 4ψ = div ∇ψ = ψxx + ψyy + ψzz

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