Leyes de Kirchoff El puente de Wheatstone

30 de marzo de 2007

Objetivos Aprender el manejo de un mult´ımetro para medir resistencias, voltajes, y corrientes. Comprobar las leyes de Kirchoff. Medir el valor de varias resistencias desconocidas. Medir la resistividad del material de un alambre.

Material

Figura 1: Montaje del puente de Wheatstone. 1 mult´ımetro digital. 1 fuente de alimentaci´ on de corriente continua. 1 tablero de resistencias (hilos). 1 tablero de resistencia variable (hilo con una regleta corredera). 5 resistencias de 10 Ω, 100 Ω, 1 KΩ, 10 KΩ y 100 KΩ. 5 resistencias de valor desconocido. 1 caja para conectar resistencias. Cables. 1

Teor´ıa En circuitos el´ectricos con ramificaciones, en condiciones estacionarias, la primera ley de Kirchoff establece que, en cada nudo del circuito X

Ii = 0,

(1)

i

donde Ii son los valores de las corrientes que llegan o salen del punto de uni´on. Normalmente se toman como positivas aquellas corrientes que llegan al punto de uni´on y negativas las que salen de ´el. La segunda ley de Kirchoff establece que, en cualquier circuito cerrado de una red, X

Vi −

X

Ij Rj = 0,

(2)

j

i

donde Vi son las fuentes de potencial a lo largo del circuito cerrado, Rj las resistencias, e Ij las intensidades que pasan por ellas. Aplicando esta segunda ley al circuito de la figura 2, obtenemos la ley de Ohm: V = IR. (3)

R

A

I V

Figura 2: Circuito VR con un amper´ımetro. Igualmente, aplicandola al circuito de la figura 3 se obtiene la regla de suma de resistencias en serie V = IR1 + IR2 = I(R1 + R2 ) ⇒ R = R 1 + R2 , (4)

R1

R2

I

V Figura 3: Resistencias en serie.

2

Y aplicando la primera ley de Kirchoff al nodo marcado con un c´ırculo en la figura 4, y la segunda ley a los circuitos cerrados que pasan por la fuente de voltaje y por cada una de las resistencias, obtenemos la regla para resistencias en paralelo: V

= I 1 R1

V

= I 2 R2

V V I = I 1 + I2 = + =V R1 R2

I1 I I2



1 1 + R1 R2



=

⇒

1 1 1 = + R R1 R2

(5)

R1 R2

V

Figura 4: Resistencias en paralelo.

V

Rx

R A

R1

R2

l1

l2

Figura 5: Circuito del puente de Wheatstone. En el puente de Wheatstone (figura 5), aplicando la segunda ley de Kirchoff a dos circuitos cerrados que pasan por las resistencias superiores y por las inferiores (y en ambos por la fuente) V = Isup (Rx + R) = Vx + VR V = Iinf (R1 + R2 ) = V1 + V2

3

Cuando la intensidad que pasa por el amper´ımetro es igual a cero, el potencial en sus dos extremos debe ser el mismo, de modo que Vx = V1 : Vx V1 = V V

⇒

Rx R1 = Rx + R R1 + R 2

⇒

Rx = R

R1 l1 =R . R2 l2

(6)

En la u ´ltima igualdad se ha usado que la resistencia de un hilo viene dada por R=ρ

l A

(7)

donde l es la longitud, A = π(d/2)2 es la secci´on (´area), d es el di´ametro, y ρ es la resistividad del material del hilo.

Experimentos 1. Col´oquese el mult´ımetro en la posici´on “R” para medir resistencias. P´ongase una de las resistencias conocidas en la caja de conexiones y con´ectense sus extremos con cables a los bornes del mult´ımetro. Aj´ ustese la escala del mult´ımetro al menor valor posible que sea superior al de la resistencia a medir, y obt´engase el valor de ´esta, que deber´ıa ser parecido al nominal. Rep´ıtase con todas las resistencias conocidas y desconocidas. 2. Col´oquese el mult´ımetro en las posici´ones “V” y “DC” para medir voltajes de corriente continua. Con´ectense sus bornes con los de la fuente de voltaje. Aj´ ustese la escala del mult´ımetro al valor en que tenga la m´axima sensibilidad, sin superar el valor a medir. Obt´engase el voltaje de la fuente, que deber´ıa ser parecido al nominal. 3. Col´oquese el mult´ımetro en las posici´ones “I” y “DC” para medir intensidades de corriente continua. Con´ectese el mult´ımetro, la fuente de voltaje, y una de las resistencias conocidas, como en la figura 2. Aj´ ustese la escala del mult´ımetro para obtener la m´axima sensibilidad y m´ıdase la intensidad de corriente que pasa por el circuito. Mediante la ecuaci´on 3, calc´ ulese la resistencia, que deber´ıa ser parecida a la nominal y a la obtenida directamente con el mult´ımetro. Rep´ıtase con todas las resistencias conocidas y desconocidas. La diferencia entre los valores nominales y medidos nos dar´a una estimaci´on de los errores de medida. 4. M´ontese el circuito de la figura 5, donde Rx es una de las resistencias de valor desconocido y R una de las de valor conocido. Aj´ ustense, mediante la regleta del tablero de resistencia variable, los valores de R1 y R2 de modo que la intensidad que mida el mult´ımetro sea nula. Puesto que los valores m´as exactos se obtienen cuando la regleta se encuentra cerca de su posici´on central, aj´ ustese el valor de R de modo que se verifique esta condici´on. Mediante la ecuaci´on (6), obtener de esta forma los valores de todas las resistencias desconocidas, y compararlos con los obtenidos en los apartados anteriores. 5. Procediendo como en el primer apartado, obt´enganse los valores de los siguientes conjuntos de resistencias: R1 en serie con R13 R1 en serie con R13 en serie con R16 R1 en paralelo con R13 R1 en paralelo con R13 en paralelo con R16 (R1 en serie con R13 ) en paralelo con R16 Comparar estos resultados con los esperados usando las ecuaciones (3) y (4) y los valores de Ri obtenidos en el primer apartado. 4

6. Procediendo como en el primer apartado, obt´enganse los valores de las resistencias de cada uno de los alambres del tablero de resistencias. Usando un calibre y una cinta m´etrica, m´ıdanse sus di´ametros y longitudes, y est´ımense los errores de estas medidas. Mediante la ecuaci´on 7, hallar la resistividad de cada hilo, poniendo atenci´on a los cambios de unidades. Propagando los errores de la longitud, del di´ametro, y de la resistencia, obtener el error de la resistividad de cada hilo. A partir de las medidas de la resistividad de los distintos hilos, obtener un valor final de la resistividad del material “konstantan”, y una estimaci´on de su error. De forma similar, obtener la resistividad del material “messing”.

Medidas Etiqueta 10 Ω 100 Ω 1 KΩ 10 KΩ 100 KΩ R1 R3 R8 R13 R16

R ± ∆R (Ω)

Cuadro 1: Resistencias medidas con el mult´ımetro en modo resistencia.

V ± ∆V (V) = Etiqueta I ± ∆I (A) 10 Ω 100 Ω 1 KΩ 10 KΩ 100 KΩ R1 R3 R8 R13 R16

R ± ∆R (Ω)

Cuadro 2: Voltaje e intensidades medidas con el circuito VR, y resistencias obtenidas a partir de ellas. El c´alculo del error de las resistencias puede posponerse al informe final. Todos los dem´as valores y errores deben completarse durante la toma de datos.

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Longitud (l1 + l2 ) = l ± ∆l (cm) = Etiqueta R ± ∆R (Ω) l1 ± ∆l1 (cm) R1 R3 R8 R13 R16

Rx ± ∆Rx (Ω)

Cuadro 3: Longitudes l1 medidas con el puente de Wheatstone, y resistencias obtenidas a partir de ellas. El valor y error de las resistencias conocidas R se obtiene de los valores nominales y/o de los medidos en los apartados anteriores. El c´alculo del error de las resistencias puede posponerse al informe final.

Combinaci´on R1-R13 R1-R13-R16 R1|R13 R1|R13|R16 (R1-R13)|R16

R ± ∆R medida (Ω)

R ± ∆R calculada (Ω)

Cuadro 4: Combinaciones de resistencias medidas y calculadas a partir de las ecuaciones (3) y (4). Los signos (-) y (|) indican “en serie” y “en paralelo”, respectivamente. El error de las resistencias calculadas puede posponerse al informe final.

Hilo l ± ∆l (cm) d ± ∆d (mm) Konstantan 1.0 Konstantan 0.7 Konstantan 0.5 Konstantan 0.35 Messing 0.5 Resistividad del konstantan ρ ± ∆ρ (Ωm) =

R ± ∆R (Ω)

ρ ± ∆ρ (Ωm)

Cuadro 5: Resistividades de diversos hilos obtenidas mediante la ecuaci´on (7), a partir de su longitud, di´ametro, y resistencia. El error de las resistividades puede posponerse al informe final.

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