Electrónica y Microelectrónica para Científicos

Puente de Wheatstone El puente de hilo (o puente de Wheatstone) es un instrumento de gran precisión que puede operar en corriente continua o alterna y permite la medida tanto de resistencias óhmicas como de sus equivalentes en circuitos de corriente alterna en los que existen otros elementos como bobinas o condensadores (impedancias). Muchos instrumentos llevan un puente de Wheatstone incorporado, como por ejemplo medidores de presión (manómetros) en tecnología de vacío, circuitos resonantes (LCR) para detectar fenómenos como la resonancia paramagnética, etc. Para determinar el valor de una resistencia eléctrica bastaría con colocar entre sus extremos una diferencia de potencial (V) y medir la intensidad que pasa por ella (I), pues de acuerdo con la ley de Ohm, R=V/I. Sin embargo, a menudo la resistencia de un conductor no se mantiene constante –variando, por ejemplo, con la temperatura y su medida precisa no es tan fácil. Evidentemente, la sensibilidad del puente de Wheatstone depende de los elementos que lo componen, pero es fácil que permita apreciar valores de resistencias con décimas de ohmio. El circuito inicialmente descrito en 1833 por Samuel Hunter Christie (17841865). No obstante, fue el Sr. Charles Wheatestone quien le dio muchos usos cuando lo descubrió en 1843. Como resultado este circuito lleva su nombre. Es el circuito más sensible que existe para medir una resistencia La figura 1 esquematiza un puente de Wheatstone tradicional. El puente tiene cuatro ramas resistivas, junto con una fuente de fem (una batería) y un detector de cero, generalmente un galvanómetro u otro medidor sensible a la corriente. Figura 1

Análisis del circuito Para el análisis del puente vamos a considerar que todas las ramas están formadas por elementos resistivos. Podremos conocer su forma de utilización a través del análisis del

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circuito. Aplicando la ley de Kirchhoff a los nodos a, b, y d I  I1  I 2  0 I1  I 3  I5  0 I3  I4  I  0

Como hay cuatro nodos en el puente de Wheatstone, estas tres ecuaciones de las intensidades serán independientes, por lo que no utilizaremos la cuarta que correspondería al nodo c. Aplicando la ley de Kirchhoff para las mallas abdefa, acba, y bcdb, las ecuaciones son  I 1 R1  I 3 R 3  V  0  I 2 R 2  I 5 R5  I 1 R1  0 I 5 R5  I 4 R 4  I 3 R 3  0

Téngase bien en cuenta las polaridades indicadas de las distintas caídas óhmicas de tensión que se encuentran al recorrer cada malla. Como hay seis intensidades desconocidas, 6 - 4 + 1 = 3 serán las ecuaciones necesarias y las demás serán superabundantes. Las ecuaciones anteriores constituyen un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas. Por tanto, para aplicar la regla de Cramer será necesario, para calcular cada intensidad, calcular dos determinantes de sexto orden. La solución total implica siete determinantes diferentes. Aun cuanto el cálculo de un determinante de sexto orden no ofrece dificultades pues existen varios métodos para reducir su orden antes de alcanzar el cálculo final, la solución completa de siete determinantes de sexto orden resulta muy laboriosa. Por tanto, aun cuando la solución del sistema de ecuaciones no ofrezca dificultades en principio, será útil buscar otros métodos.

Método de corrientes circulantes El análisis de redes complejas puede simplificarse mediante el empleo de las corrientes circulantes. Esta técnica, conocida con el nombre de método de Maxwell en honor a JAMES CLERK MAXWELL, aplica simultáneamente las dos leyes de Kirchhoff, con lo que reduce el número de ecuaciones necesarias. Las corrientes circulantes se dibujan recorriendo cada malla, tal como se indica con las tres representadas en la figura 2.

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Se señalan las caídas óhmicas de tensión de acuerdo con los sentidos de las corrientes y se escriben las ecuaciones de las tensiones a lo largo de cada malla. V  R1 I a  I b   R3 I a  I c   0 R2 I b  R5 I b  I c   R1 I b  I a   0 R4 I c  R3 I c  I a   R5 I c  I b   0 Aquí también deberemos observar la polaridad de las caídas óhmicas de tensión y los sentidos de las corrientes. Reagrupando V  I a  R1  R3   R1 I b  R3 I c 0   I a R1  I b ( R2  R5  R1 )  R5 I c 0   I a R3  I b R5  I c R3  R4  R5  De las ecuaciones podemos despejar una intensidad cualquiera, por ejemplo, Ib, formando una fracción cuyo denominador sea el determinante de los coeficientes de las intensidades y cuyo numerador sea el determinante que se obtiene remplazando en el anterior los coeficientes de la intensidad incógnita por los segundos miembros de las ecuaciones. Así pues, despejando Ib se tiene R1  R3 V

Ib 

 R3

 R1

0

 R5

 R3

0

R3  R4  R5



R1  R3

 R1

 R3

 R1

R2  R5  R1

 R5

 R3

 R5

R3  R 4  R5

V R1 R3  R4  R5   R3 R5  

Donde  representa al denominador. análogamente, Ic es

Ic 

3

R1  R3

 R1

V

 R1  R3

R2  R5  R1  R5

0 0

R1  R3  R1

 R1 R2  R5  R1

 R3  R5

 R3

 R5

R3  R 4  R5



V R3 R2  R5  R1   R1 R5  

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Para que el puente este en equilibrio la corriente I5=0, entonces: I5  Ib  Ic  0 V R1 R3  R 4  R5   R3 R5  V R3  R2  R5  R1   R1 R5  V R1 R4  R 2 R3       R1 R4  R2 R3 I5 

Esta última ecuación presenta una importancia extraordinaria para el puente de Wheatstone. Observe que sí R1 R3  R2 R4 Como se puede observar I5 será nula, independientemente de cual sea la tensión aplicada. Si las resistencias de las ramas del puente cumplen la proporción indicada en la última ecuación, se dice que el puente esta en equilibrio. Si tres de las resistencias tienen valores conocidos, la cuarta puede establecerse a partir de la ecuación anterior. De aquí, si R4 es una resistencia desconocida, su valor Rx puede expresarse en términos de las resistencias restantes como sigue:

R x  R3

R2 R1

La resistencia R3 se denomina rama patrón del puente, y las resistencias R2 y R1, se les nombra ramas de relación. La medición de la resistencia desconocida Rx es independiente de las características o de la calibración del galvanómetro detector de cero, puesto que el detector de cero tiene suficiente sensibilidad para indicar la posición de equilibrio del puente con el grado de precisión requerido.

Ejemplo: Si R1 y R2 = 1 KΩ y R3 = 5 KΩ, Rx deberá de 5 KΩ para lograr que el voltaje entre A y B (VAB) sea cero (corriente igual a cero) Así, basta conectar una resistencia desconocida (Rx) y empezar a variar R3 hasta que la corriente entre B y C sea cero. Cuando esto suceda, el valor de RX será igual al valor de R3

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Una aplicación muy interesante del puente Wheatstone en la industria es como sensor de temperatura, presión, etc. (dispositivos que varían el valor de su resistencia de acuerdo a la variación de las variables antes mencionadas). Es en el amperímetro donde se ve el nivel o grado de desbalance o diferencia que hay entre el valor normal a medir y la medida real. También se utiliza en los sistemas de distribución de energía eléctrica donde se lo utiliza para detectar roturas o fallas en las líneas de distribución.

Medida de resistencias de alta precisión En la Figura siguiente se esquematiza el circuito correspondiente a un puente (de corriente continua), el cual consta de un hilo conductor de longitud total L sobre el que se desliza un terminal que permite efectuar la conexión eléctrica en el punto conveniente del mismo. Si la resistividad del hilo es ρ y la sección (supuesta uniforme) es S, la resistencia de una porción del hilo de longitud λ será: R

L S

(1) 

Si, como en el dibujo, denotamos como D al punto donde se efectúa el contacto, el hilo queda dividido en dos resistencias R y R que, según la 1

expresión (1), valen R1  

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L1 L y R2   2 con L  L1  L2 y, por lo tanto: S S

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R1 L  1 ( 2) R 2 L2 R es una resistencia conocida o resistencia patrón y R es la resistencia 3

x

problema. Se dice que el puente está equilibrado cuando la diferencia de potencial entre los puntos C y D es nula. En este momento no circulará corriente por el galvanómetro intercalado entre éstos. En estas condiciones, la misma intensidad I pasa por AC y CB; análogamente, I pasará por AD y BD, 1

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pudiéndose escribir: V A  VC  V A  V D

(3)

es decir: I 1 R3  I 2 R2

( 4)

e igualmente: VC  V B  V D  V B I 1 R x  I 2 R1 ( 6)

(5)

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (4) y (6) se tiene:

Rx R1  (7 ) R3 R2 y, sustituyendo el resultado de (2), se llega a: Rx  R3

L1 L2

(8)

que proporciona el valor de la resistencia problema en función de datos conocidos.

Errores de medición El puente de Wheatstone.se emplea ampliamente en las mediciones de precisión de resistencias desde 1Ω hasta varios megaohms. La principal fuente de errores de medición se encuentra en los errores límites de las tres resistencias conocidas. Otros errores pueden ser los siguientes: a) Sensibilidad insuficiente en el detector de cero. b) Cambios en la resistencia de las ramas del puente debido a efectos de calentamiento por la corriente a través de las resistencias. El efecto de calentamiento (I2R) por las corrientes en las ramas del puente puede cambiar la resistencia en cuestión. El aumento de la temperatura no sólo

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afecta la resistencia durante la medición, sino que, las corrientes excesivas pueden producir un cambio permanente en el valor de la resistencia. Estos puede obviarse y no ser detectado a tiempo y las mediciones subsecuentes resultar erróneas. La disipación de potencia de las ramas del puente se debe calcular previamente, en particular cuando se van a medir valores de resistencia bajos y la corriente debe ser limitada a un valor seguro. c) Las fem térmicas en el circuito del puente o en el circuito de galvanómetro pueden causar problemas cuando se miden resistencias de valor bajo. d) Los errores debidos a la resistencia de los contactos y terminales exteriores al circuito puente intervienen en la medición de valores de resistencia muy bajos. Estos errores se pueden reducir mediante el uso del puente Kelvin.

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