METODO DEL PUENTE DE WHEATSTONE MEDICION DE RESISTENCIA POR EL METODO DEL PUENTE DE WHEATSTONE

CONTENIDOS El puente de Wheatstone. Sensibilidad del método o del sistema. Alcances del Puente de Wheatstone. Errores que se cometen. Verdadero valor de la resistencia incógnita. OBJETIVOS ! Calcular el valor de una resistencia utilizando el método de medición " Puente de Wheatstone ". ! Determinar los errores sistemáticos y los errores accidentales cometidos con este método. ! Comparar este método respecto de otros.

V.1

FUNDAMENTOS TEORICOS

V.1.1 El Puente de Wheatstone De las formas hasta ahora vistas para medir el valor de una resistencia, los métodos de "cero" o los métodos de puente en general, son los más exactos y precisos, ya que se emplean para su determinación, otras resistencias perfectamente conocidas (calibradas) como patrones de referencia. De todos modos, el valor de resistencia así medido no es más exacto que el valor tomado como base de comparación, por más precisa que sea la medición. Los errores de medida que pueden obtenerse mediante Wheatstone son del orden del 0,1 al 0,01%. En el puente de Thompson, en cambio, la exactitud es mayor si se realizan medidas de resistencias menores de 10 ohms y hasta 0,00001 ohms. El puente de Wheatstone es empleado para mediciones desde 1 a 100.000 ohms; por fuera de estos valores surgen imprecisiones que se atribuyen a los contactos de las resistencias regulables, disminuyendo mucho la exactitud del método. El puente de hilo es un tipo particular del anterior, donde las dos resistencias patrón se encuentran sobre un alambre que divide un contacto móvil conectado al galvanómetro. Un esquema del circuito del puente de Wheatstone y sus referencias es el siguiente:

1

A : Resistencia patrón, calibrada, regulable.

FEM

B : Idem anterior.

I

(2)

R : Resistencia a determinar. IA

S : Resistencia variable, calibrada, para equilibrar el puente.

A

I

G : Galvanómetro.

IB B

Rg

IA

Sh

IB

Rg: Resistencia interna del galvanómetro. G

FEM : Fuente de tensión continua.

(1)

IR

IS

(3)

I : Corriente general del circuito. Ig: Corriente que circula por el galvanómetro.

Ig

R

IS

IR

IA ,IB, IR, IS : Corrientes que circulan por las respectivas resistencias.

S

(4)

Los brazos A y B del puente se denominan "brazos de relación", mientras que al brazo S se lo llama "brazo de comparación". Se dice que el puente está equilibrado, cuando por la rama central que conecta el galvanómetro no circula corriente. Para llegar al equilibrio del puente, primero se debe conectar la llave que da tensión al circuito; luego se cierra la llave de la rama central, regulando la corriente que circula por el galvanómetro para protegerlo de corrientes elevadas. Cuando el puente puede estar lejos del equilibrio y la tensión V24 puede ser grande, el instrumento se protege mediante una resistencia shunt variable, que hace que por el aparato circule solo una fracción de corriente; cuando el contacto deslizante del shunt está en el extremo superior (ver fig. 1), el galvanómetro está completamente protegido y tiene su máxima sensibilidad cuando el contacto está en el extremo inferior. Analizaremos a continuación lo que ocurre con las corrientes en los nudos y las mallas (que nos interesan), por aplicación de las leyes de Kirchoff : Nudo (2)

IA = IB + Ig

(1)

Nudo (4)

IS = IR + Ig

(2)

Malla (2-1-4-2)

V24 = IR R - IA A

(3)

Malla (2-3-4-2)

V24 = IB B - IS S

(4)

Ambas tensiones (ecuaciones 3 y 4) son iguales, dado que los potenciales en los nudos 2 y 4, o su diferencia V24, son únicos, cualquiera sea el recorrido para calcularlos.

2

Ahora bien, supongamos que por variación de las resistencias A, B y S, logramos una condición de equilibrio en la que Ig = 0, lo que se manifiesta por que el galvanómetro no indica ninguna desviación de su posición de reposo; es decir, indica corriente nula. Dado que Ig = V24 / Rg , si Ig = 0 es V24 = 0 y en consecuencia las fórmulas (1), (2), (3) y (4) quedan : IA = IB

(5)

I S = IR

(6)

I R . R = IA . A

(7)

I S . S = IB . B

(8)

dividiendo la (7) por la (8) queda : IR ⋅ R IA ⋅ A = IS ⋅ S IB ⋅ B

(9)

y teniendo en cuenta las (5) y (6), obtenemos : R/ S = A/ B

R=

es decir que

A ⋅S B

(10)

En consecuencia, llevando el puente a su posición de equilibrio (lo que se manifiesta por que el galvanómetro no indica pasaje de corriente) por variación de las resistencias A, B y S (conocidas y calibradas) podemos conocer el valor de la resistencia R por aplicación de la (10). A los brazos A y B se los llama brazos de relación (o de proporción) y al brazo S se lo llama brazo de comparación. Por lo tanto, conociendo la relación A/B y el valor de S cuando el puente está en equilibrio, puede determinarse R (no es necesario conocer los valores de las resistencias A y B, basta conocer su relación). Es de observar que la determinación de R es independiente de la tensión (E) aplicada al puente, de la resistencia interna de la batería (ri) y de las características y resistencia del galvanómetro, si bien todos estos factores influyen en la sensibilidad del método. Ahora bien : ¿ que tensión debe aplicarse al circuito puente ? Si bien es cierto que cuanto mayor es la tensión aplicada, mayor es la sensibilidad del método, deberá tenerse cuidado que esta fem no afecte las resistencias (A, B, S) ya que por efecto Joule las mismas podrían calentarse demasiado y descalibrarse. Como cada caja (década) de resistencias viene con el dato de la intensidad máxima admisible por cada una de ellas, se tomará en cuenta, de todas las máximas admisibles, la más chica. Con este valor se aplicará la ley de Ohm para las resistencias en serie (A + B) por las cuales circulará dicha corriente y de ahí podrá calcularse la tensión máxima que se puede aplicar al puente, sin dañar ni descalibrar las décadas.

3

V.1.2 Sensibilidad del método o del sistema Si estando el puente en equilibrio (Ig = 0), producimos una pequeña variación de la resistencia incógnita (∆R), se producirá inmediatamente en la rama 2-4 que contiene al galvanómetro, una variación de la corriente (∆ Ig), la que a su vez producirá en la aguja una desviación de la misma en un ángulo ∆α (una pequeña fracción de la división de la escala detectable en el galvanómetro). Se llamará sensibilidad relativa a la relación de la variación de la magnitud directamente medida (∆α) a la variación relativa de la magnitud a medir (∆R/R) Se tiene entonces : s=

∆α R = ∆α ∆R / R ∆R

(11)

En el límite, cuando ∆R/R → 0, la expresión anterior se transforma en : s = lim∆R / R → 0

∆α ∂α =R ∆R / R ∂R

(12)

La sensibilidad del método Puente de Wheatstone depende de tres factores :

a) Del valor de la tensión aplicada (fem) : Mientras mayor sea ésta, más sensible será el método (mayor s). Pero como se dijo anteriormente, este valor debe ser calculado y no podrá excederse de un máximo permitido por las resistencias, principalmente para evitar pérdidas por efecto Joule. b) De la sensibilidad del galvanómetro (sg) : La sensibilidad del instrumento dependerá de la relación entre la variación de la magnitud medida (∆α) y la variación de corriente circulante por el mismo.

sg = ∆g = lím ∆I g → 0

∂α ∆α = ∆I g ∂ Ig

(13)

El instrumento tendrá mucha mayor sensibilidad si ante una mínima variación en la corriente (Ig) se produce una notable desviación de la aguja (que se traduce en un ∆α). ∆Ig

Galvanómetro

∆α

Rg

4

c) De la sensibilidad del circuito : Que se define como la relación entre la variación de la corriente que circula por el galvanómetro(∆Ig), a la variación relativa de la resistencia a medir (∆R/R):

s c = lim∆R / R →0

∆I g ∆R / R

= R

∂ Ig ∂ R

(14)

Si el puente está en equilibrio, y producimos una pequeña variación de R en un ∆R, se producirá inmediatamente una variación de la corriente Ig en ∆Ig . Además puede decirse que, la sensibilidad del circuito dependerá de los valores relativos que tengan A, B, R, S y Rg Suponiendo que la fem tenga una resistencia interna despreciable, se puede llegar a demostrar que la sensibilidad del circuito será máxima cuando se cumpla que : RG =

A. B + A + B

R. S R + S

(15)

Es decir, cuando la resistencia interna del galvanómetro es igual a la resistencia del circuito al que está conectado, y cuando :

A = B = R = S

(16)

Es decir, cuando las resistencias de las cuatro ramas del puente son iguales. Si bien es cierto que hay infinitos conjuntos de valores A, B y S, que satisfacen la ecuación (10) y que por lo tanto nos permiten determinar R, solamente aquel conjunto que satisfaga a la (15) y (16) será el que nos dará la máxima sensibilidad del circuito. Las condiciones (15) y (16) no siempre pueden ser satisfechas en forma exacta (por que no se tienen las resistencias calibradas necesarias), pero debemos seleccionar aquel conjunto de valores de A, B y S que más se aproximan. Observemos que la sensibilidad del sistema o método s, es igual al producto de las sensibilidades del galvanómetro sg y del circuito sc s g sc =

∂α ∂ α R∂ I g ⋅ = R =s ∂ R ∂ R ∂ Ig

Por lo tanto, la sensibilidad máxima del sistema se obtendrá seleccionando un galvanómetro de sensibilidad elevada y de acuerdo a su resistencia interna Rg seleccionar los valores de A, B y S de manera de satisfacer las (15) y (16). Dado un galvanómetro de resistencia interna Rg conocida, se pueden representar las curvas de sensibilidad del sistema, tomando como parámetro la relación A/B y asignando valores a la resistencia desconocida (o a medir) en función de B :

5

SENSIBILIDAD DEL SISTEMA O METODO S

A/B=1 104 A/B=10-1

A/B=101

103

102

10 10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

R/B

Del gráfico se puede observar que la sensibilidad del puente o sistema toma su valor máximo para A = B = R = S . Al disminuir o aumentar R la sensibilidad es máxima cuando al mismo tiempo se disminuye o aumenta A/B; sin embargo, para valores de R/B menores que 10-3 o mayores que 103, los valores de la sensibilidad que corresponden a un puente típico descienden por debajo de 103 (aún para A/B = 1); el valor de sensibilidad, s = 103, puede considerarse como límite para uso del puente. Se tiene así un margen de medición de 106 ohm dentro del cual se puede trabajar con una sensibilidad adecuada. La sensibilidad del método tiene mucha importancia para disminuir el error de la determinación de R.

V.1.3 Alcances del Puente de Wheatstone En los puentes de Wheatstone usados comunmente existen varios juegos de resistores de distintos valores para ser usados en los brazos A y B. Los valores más comunes van de 1 ohm a 1000 o 10000 ohm, obteniéndose así márgenes de medición muy amplios (ya que A/B puede variar desde 10-3 hasta 103).

6

El límite superior de medición está fijado por la reducción de sensibilidad del puente, y por las pequeñas corrientes de pérdidas que aparecen al medir grandes resistencias cuando se aumenta la tensión (para tener mayor sensibilidad). El límite inferior está fijado por los errores introducidos por las resistencias de contacto. El resistor S es generalmente un resistor variable en forma casi continua por medio de un conjunto de selectores puestos en serie, cada uno de ellos 10 veces más que el anterior. Debido a que el efecto de las resistencias de contacto es siempre superior a 0,01 ohm, los pasos del último selector generalmente no son menores de 0,1 ohm. Por esta última razón, cuando se desean mediciones de cierta exactitud, las resistencias en los brazos de relación se toman mayores que 10 ohm, y se usan valores de A/B y de R/B que no se aparten mucho de la unidad, por lo que la exactitud será mayor cuando se midan resistencias comprendidas entre 10 y 10000 ohm. En cuanto a la posición del galvanómetro, la sensibilidad será mayor si el mismo está conectado de la siguiente forma : por un lado a la unión de los dos brazos de mayor resistencia, y por el otro lado a la unión de los dos brazos de menor resistencia. Con esta disposición se tiende a hacer que A/B valga 1. La conexión adecuada del galvanómetro cobra importancia a medida que aumenta la desigualdad en los valores de las resistencias de los cuatro brazos.

V.1.4 Errores que se cometen 1) Error sistemático debido a la calibración de las resistencias A, B y S Las resistencias A, B y S tienen errores de calibración dados por el fabricante, normalmente expresados en forma relativa y pocentual; por ejemplo : tolerancia ± 0,1 % implica decir que si hemos colocado el selector o clavija en la caja para tener A = 1000 ohm, el fabricante nos está diciendo que debemos admitir una tolerancia ∆A en el valor de A de : ∆A =

0,1 0,1 ⋅A = ⋅ 1000 = 1 ohm 100 100

o en otras palabras, el valor de A está comprendido entre 999 y 1001 ohm. Como una vez alcanzado el equilibrio del puente, leemos para qué valores de A, B y S se ha producido, y calculamos R = (A/B).S, el valor de R así calculado vá a estar afectado de los errores ∆A, ∆B y ∆S que se traducirán en el R.. Para calcular como trasladar estos errores al valor de R procedemos como sigue : Calculamos el incremento ∂R que experimenta la función R = (A/B).S, para incrementos ∂A, ∂B y ∂S en sus variables independientes, es decir, calculamos la diferencial total

7

∂ R=

∂R ∂R ∂R ⋅∂ A + ⋅∂ B + ⋅∂ S ∂ A ∂B ∂S S B

∂ R= ⋅∂ A −

A⋅ S A ⋅∂ S 2 ⋅∂ B + B B

En realidad ∂A, ∂B y ∂S son errores sistemáticos, pero no conocemos el signo, en consecuencia nos colocamos en el caso más desfavorable, es decir, todos los errores de igual signo, y adoptamos el (+) por lo cuál es :

S B

∂ R = ± ⋅ ∂ A +

 A A⋅ S ⋅∂ S 2 ⋅∂ B +  B B

Este es el error absoluto, el error relativo vale :

ec =

∂R

∂ A ∂ B ∂ S  = ± + +  A R B S 

Pasando a los incrementos finitos, el error relativo ec que se comete en la determinación de R, debido a los errores de calibración ∆A, ∆B y ∆S, vale :

ec =

∆ A ∆ B ∆ S ∆R  = ± + +  A R B S 

(17)

teniendo en cuenta que : ∆A / A = eA , ∆B / B = eB y ∆S / S = eS son los errores relativos de calibración de las respectivas resistencias, tendremos :

ec = ± ( eA + eB + eS )

(18)

El error relativo total ec cometido en la determinación de R es igual a la suma de los errores relativos de cada una de las resistencias calibradas.

2) Error sistemático debido a la sensibilidad del sistema, o error de regulación Al mencionar la sensibilidad del sistema hemos dicho que a un cierto ∆R le corresponde un cierto ∆α ; si en el límite ∆α es el error de lectura (que se comete inclusive para desviación nula), el correspondiente valor de ∆R representa una incertidumbre en el conocimiento de R. El mismo se calcula de la siguiente manera : Primero llevamos el puente a su condición de equilibrio por variación de la resistencia S; sea entonces R el valor calculado con la (10),

R = (A / B) . S . Luego provocamos la variación más pequeña posible y detectable en la aguja del galvanómetro mediante una variación ± ∆S en la posición de la resistencia S, y sea (R + ∆R) el nuevo valor calculado mediante la (10)

R ± ∆R = ( A / B ) . ( S ± ∆S ) 8

R ± ∆R = ( A / B ) . S ± ( A / B ) .∆S

± ∆R = ± ( A / B ) .∆S , pero como A/B = R/S , se tiene ± ∆R = ± ( R / S ) .∆S ±

∆R ∆S = ± S R

(19)

luego calculamos el error de regulación : eReg = ±

∆R ∆S = ± R S

(20)

Es conveniente tener la sensibilidad más elevada posible a fin de minimizar el error de regulación .

3) Errores casuales o accidentales Finalmente, ya acotados los errores derivados de las tolerancias de calibración de las resistencias A, B y S, y el de regulación, nos quedan esos errores de magnitud variable pero siempre pequeña, que unos aparecen en un sentido y otros en otro, y cuya consecuencia es introducir una cierta incertidumbre en los resultados de las medidas. Para acotarlos necesitamos hacer varias lecturas de R y determinar el valor medio y el error medio del promedio:

R=

∑R

ER =

i

(21)

n

∑( R − R )

2

i

(22)

n( n −1)

y calculamos entonces el error accidental relativo :

eacc =

ER R

(23)

V.1.5 Verdadero valor de la resistencia incógnita El valor de la resistencia quedará expresado por :

R = R ± R ( eA + eB + eS ) ± R ( ereg ± eacc )

[

]

R = R 1 ± ( eA + eB + eS + ereg + eacc )

9

(24)

(25)

V.2

PROCEDIMIENTOS

TRABAJO EN LABORATORIO

V máx.adm = Imáx. adm ..(A+B) =.......................V= Imáx . (A + B) Fuente de tensión a utilizar: ..........................V Resistencia incógnita : ..................................Ω Caja de resistencias : A Tolerancias

Imáx admisibles

Resit. A:..................%

...............................A

...................%

.............................A

...................%

............................A

Resit. B:...................%

..............................A

...................%

.............................A

...................%

............................A

Resit. S:...................%

...............................A

...................%

.............................A

...................%

............................A

Galvanómetro o Amperímetro :

clase : .................... Rg

:....................Ω

Tabla de valores obtenidos :

nº

A(Ω)

B(Ω)

S(Ω)

R=(A/B).S

S=

R=

( R − Ri )

( R − Ri )2

1. 2. … … 10

10

∑( R − R )

2

i

Cálculo de los errores 1) Errores de calibración : ∆A = .......................... A ∆B = ........................... B ∆S = ........................... S

2) Error de regulación ∆S = ................................ ∆S = ................................... S

3) Errores casuales o accidentales

Valor verdadero de R :

11