LIMITACIÓN EN LA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE THÉVENIN Torres Guzmán, Didier

Díaz González, Antonio Evidio

Resumen: El teorema de Thévenin requiere algunas condiciones para su aplicación en los circuitos eléctricos lineales. Al aplicarse, las redes eléctricas deben cumplir dos condiciones, las cuales se encuentran bien definidas en la literatura especializada. Aún así, las condiciones que se señalan para su aplicación no son suficientes debido a que existe una restricción que aún no ha sido abordada ni analizada. En este trabajo se abordan las cuestiones generales del teorema y se analiza esta limitante. Se demuestra la importancia de tenerla en consideración y se concluye que al aplicar el teorema sobre una parte específica de un circuito, independientemente de la estructura de la red, no deben aparecer en ningún caso conexiones eléctricas absurdas, no siendo posible aplicar el teorema de Thévenin a esa parte de la red. Palabras clave: Conexiones eléctricas absurdas/ Teorema de Thévenin.

Abstract: Thévenin´s theorem requires some conditions when applied to linear electric circuits. There are two conditions, which are very well defined in the specialized literature and must be satisfied for its application. However, in spite of the fact that they have been properly defined, there is still a gap which should be bridged: a restriction that has been neither approached nor analyzed before. In this paper the general questions of the theorem are approached and it aims at proving the existence of this restriction, which lies in the fact that when the theorem is applied to an specific part if the circuit, absurd electric connections should not appear, regardless the structure of the network; therefore, if that's the case, it is not possible to apply Thévenin´s theorem to that part of the electric network. Keywords: Absurd Electric Connections/ Thévenin´s Theorem.

I. INTRODUCCIÓN A lo largo de la teoría desarrollada para el análisis de circuitos eléctricos se presentan varias herramientas y métodos que ayudan a resolver redes eléctricas lineales. Estas técnicas son muy útiles y de gran aplicación en muchas ramas de la tecnología, como la electrónica, las telecomunicaciones, el control automático, entre otras. Dentro de estas herramientas cabe destacar, por su gran uso y eficiencia, los métodos generales conocidos como Análisis Nodal y Análisis de Mallas, las conocidas leyes de tensión y corriente de Kirchhoff, las transformaciones de fuentes reales, los divisores de tensión y corriente y el principio de superposición, entre otros. Una red lineal, en particular, puede ser analizada empleando cualquiera de estas técnicas; produciendo, por supuesto, cada una de ellas un resultado lógico y perfectamente interpretable desde el punto de vista físico.

En muchas situaciones reales interesa el análisis de alguna parte específica de un circuito complejo, generalmente relacionada con la carga. Si se pudiera modelar el resto de la red con un circuito equivalente simple, la tarea se haría mucho más sencilla, para esto existen dos teoremas muy importantes dentro de la teoría del análisis de circuitos lineales que permiten hacerlo con precisión: el teorema de Thévenin y el teorema de Norton. A pesar de que ambos teoremas son equivalentes, y que de uno se puede llegar al otro a través de una simple transformación, este artículo centrará su análisis sólo en el teorema de Thévenin. En el artículo primeramente se exponen algunos de los conceptos dados por varios autores sobre el teorema de Thévenin y la interpretación que cada uno hace del teorema inicial. Seguidamente se realiza un estudio del teorema, donde se abordan temáticas importantes como: las formas en las que se aplica el teorema y las condiciones que deben

Manuscrito finalizado en La Habana, Cuba, el 2006/07/10, recibido el 2006/07/31 en su forma final (aceptado) el 2007/03/15. El Ing. Didier Torres Guzmán, desempeña sus actividades en el Instituto de Cibernética, Matemática y Física (ICIMAF) calle 15 Nª 51 entre C y D, Plaza de la Revolución Haban 10.400, Ciudad de La Habana, Cuba, telef. (537) 832-771, fax (537) 833—3373, correos electrónicos [email protected] y [email protected]. El Dr. Antonio Evidio Díaz González es Investigador Auxiliar en el Departamento de Bioingeniería (CEBIO) de l Facultad de Ingeniería Eléctrica del Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría” (CUJAE), Marianao, Apdo. Postal 6028, Ciudad de La Habana, Cuba, telefax (537) 337129, fax (537) 2729*64, correo electrónico [email protected].

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cumplir los circuitos eléctricos para poder aplicar el teorema de Thévenin. Las condiciones que se plantean son las que se han señalado y se señalan aún en la literatura especializada en el tema. Luego se presentan tres ejemplos prácticos, con los que se pretende demostrar que las condiciones de aplicación del teorema, que se señalan y sobre las que se ha trabajado a lo largo de los años, no son suficientes para poder aplicar el teorema en cualquier parte de una red eléctrica. Finalmente se exponen los resultados alcanzados, en un estudio realizado a estudiantes de Ingeniería, donde se demuestra la necesidad de abordar e incluir en el estudio del teorema la tercera condición de aplicación que se propone en este trabajo.

II. DESARROLLO 1. Teorema de Thévenin El teorema de Thévenin debe su nombre al ingeniero telegrafista francés E. León Thévenin, quien en 1883, en Annales Télégraphiques, formuló el teorema de la siguiente manera: “Assuming any system of lineal conductors connected in such a manner that to the extremities of each one of them is connected at least one other, a system having some electromotive forces, E1, E2,…EN, no matter how distributed, we consider two points A and A' belonging to the system and having actually the potentials V and V'. If the points A and A' are connected by a wire ABA', which has a resistance r, with no electromotive forces, the potentials of points A and A' assume different (other?) values of V and V', but the current i flowing through the wire is given by the equation:

... (1)

In which R represents the resistance of the original system, this resistance being measured between the points A and A', which are considered to the electrodes.” [1] La declaración anterior cubre solamente el caso de corriente directa constante y debe ser entendido de la siguiente manera: si una resistencia lineal RL (carga) es conectada entre dos puntos de una red de resistencias lineales con cualquier número de fuentes independientes, la corriente a través de RL puede ser encontrada reemplazando el resto de la red por un circuito equivalente que consiste en una fuente de tensión independiente en serie con una resistencia. La tensión de la fuente será igual a la tensión de circuito abierto a través de los terminales de carga cuando la misma ha sido

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desconectada de la red y la resistencia es la resistencia interna de la red que se observa desde los terminales de carga con todas las fuentes independientes igualadas a cero. Cuando el concepto de impedancia fue introducido en la Ingeniería Eléctrica, el teorema de Thévenin fue generalizado al caso del estado sinusoidal constante, o lo que se conoce como corriente alterna. Muchos autores en la literatura enuncian el teorema de Thévenin de diferentes maneras. Entre muchos otros ejemplos se tienen los siguientes: a) “Supongamos que nos dan un circuito y que deseamos encontrar la corriente, voltaje o la potencia en alguna resistencia de la red a la cual le llamaremos carga. El teorema de Thévenin nos dice que podemos remplazar toda la red, excluyendo la carga, por un circuito equivalente que contenga sólo una fuente de voltaje independiente en serie con una resistencia de tal forma que la relación corriente-voltaje en la carga se conserve sin cambio.” [2] b) “Todo dipolo activo lineal puede ser sustituido por una fuente real de tensión. El valor y la polaridad de la fuente son iguales a la tensión que existe entre los terminales del dipolo cuando este se encuentra en circuito abierto. El resistor conectado en serie con dicha fuente, tiene una resistencia igual a la equivalente entre los terminales del dipolo cuando se han desactivado todas las fuentes internas, o sea, cuando las fuentes de tensión se han sustituido por cortocircuitos y las de corrientes por circuitos abiertos.” [3] c) “Any d-c linear resistive two-terminal electric network can be replaced by a voltage source E0 in series with an internal resistance Ri, where E0 is the open-circuit voltage between the two terminals of the network and Ri is the resistance of the two-terminal network when the regulated activities of all externally driven source elements in the network are reduced to zero. The reference polarity of E0 must be arranged so that the short-circuit current and the open-circuit voltage of the two-terminal network and the equivalent branch are identical.” [4] En la definición anterior se hace alusión a que cualquier red eléctrica de dos terminales, compuesta por resistencias lineales, puede ser reemplazada por una fuente de tensión E0 en serie con una resistencia Ri, donde E0 es la tensión a circuito abierto entre los dos terminales y Ri es la resistencia de la red cuando las fuentes son reducidas a cero. d) “Given any linear circuit, rearrange it in the form of two networks A and B that are connected together by two resistanless conductors. If either network contains a dependent source, its control variable must be in that same network. Define a voltage Voc as the open-circuit voltage which would appear across the terminals of A if B were disconnected so that no current is drawn from A. Then all the currents and voltages in B will remain unchanged if A is killed (all independent voltages

Torres, D., Díaz, A. Limitación en la aplicación del Teorema de Thévenin

sources and independent current sources in A replaced by short circuits and open circuits, respectively) and an independent voltage source Voc is connected, with proper polarity in series with the dead (inactive) A network.” [5] y [6] En la definición anterior, el autor considera un circuito lineal, el cual se divide en dos redes eléctricas A y B conectadas por conductores ideales. Al separar la red B (carga) de A, entonces en los extremos de A aparecerá una diferencia de potencial Voc o tensión a circuito abierto y todas las tensiones y corrientes en la red B permanecerán constantes si en A se anulan todas las fuentes independientes. Desde cualquier punto de vista, todos los autores, incluso el propio Thévenin, concuerdan en que si se examina cualquier red desde un par de terminales, se sabe que, con respecto a esos terminales toda la red es equivalente a un circuito simple, consistente en una fuente de tensión independiente en serie con una resistencia. Siendo la tensión de la fuente igual a la tensión a circuito abierto, o sea, la tensión entre los terminales cuando se excluye la carga de la red original y la resistencia coincide con la resistencia que se observa desde los propios terminales con las fuentes independientes anuladas.

La Figura 2 muestra el concepto de tensión a circuito abierto (Vca), la cual no es más que la tensión que aparece entre los terminales de carga cuando esta se ha desconectado del resto de la red.

Figura 2. Carga RL desconectada de la red, y representación de la tensión a circuito abierto.

La Figura 3 representa el concepto de corriente de cortocircuito (Icc), la cual no es más que la corriente que circula desde un terminal de carga “a” hacia el otro “b”, cuando la carga es desconectada de la red y ambos terminales son cortocircuitados.

Este teorema es un resultado muy importante y constituye una herramienta muy potente en el análisis de circuitos eléctricos, tanto en corriente directa como en corriente alterna.

2. Formas en las que se aplica el teorema de Thévenin Antes de entrar a analizar los posibles casos en los que el teorema de Thévenin es aplicado, es necesario definir y representar algunos términos que serán empleados. Se denomina carga, en un circuito eléctrico, a aquella resistencia, en el caso de corriente directa, o a aquella impedancia, en el caso de corriente alterna, a la cual se le desea determinar la corriente que circula por ella y/o la tensión a través de sus terminales. La Figura 1 muestra este concepto para el caso de corriente directa.

Figura 1. Circuito con resistencia RL conectada a los terminales de carga a y b.

Figura 3. Terminales de carga cortocircuitados y representación de la corriente de cortocircuito.

La forma en la que el teorema de Thévenin se aplica depende de la estructura de la red eléctrica original bajo análisis. Para su aplicación, los autores, en correspondencia con la forma en que citan el teorema de Thévenin en sus textos, plantean el análisis para las redes eléctricas que poseen solamente fuentes independientes y todos concuerdan en que: si en la red original sólo existen fuentes independientes, el procedimiento para encontrar el circuito equivalente de Thévenin, entre dos terminales cualesquiera de la red, consiste en determinar la tensión entre los terminales sin carga, o sea, la tensión a circuito abierto (Vca) o tensión de Thévenin (VTh) y determinar la resistencia equivalente de Thévenin (RTh) que se observa entre estos terminales, anulando todas las fuentes (las fuentes de tensión independientes cuando son anuladas se sustituyen por cortocircuitos y las de corrientes por circuitos abiertos). Para estos casos el circuito equivalente (Figura 4) consistirá en una fuente de tensión independiente, de valor VTh, conectada en serie con la resistencia equivalente de valor RTh.

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Figura 4. Circuito equivalente de Thévenin de una red que sólo contiene fuentes independientes (carga RL conectada).

Cuando Thévenin expuso su teorema, siglo XIX, no se conocían, entonces, los modelos matemáticos (fuentes dependientes) por los que son representados, hoy en día, elementos que surgieron en el siglo XX, como los transistores bipolares, de efecto de campo, amplificadores operacionales, entre otros. Sin embargo el teorema ha sido extendido, por diversos autores, al caso en que la red bajo análisis contenga elementos que se representan por fuentes dependientes o controladas. Para estos casos también es aplicable el teorema de Thévenin, la diferencia radica en la manera en que este se emplea. Si en el circuito original bajo estudio están presentes los dos tipos de fuentes, el circuito equivalente de Thévenin es el mismo que en el Figura 4. La diferencia con el caso de los circuitos que solo poseen fuentes independientes está en el modo de encontrar la resistencia equivalente de Thévenin. Para este caso, la resistencia equivalente de Thévenin se obtiene a partir de la expresión:

los dos casos vistos anteriormente, la red eléctrica original y la carga deben cumplir algunos requisitos, sin los cuales no se podría utilizar este teorema. Estos requisitos son: 1) La red eléctrica original, sin la carga, y que puede contener tanto fuentes dependientes como independientes, debe ser una red completamente lineal, es decir, todos los elementos circuitales que la componen deben ser elementos lineales. Dentro de los más conocidos están las resistencias, capacitores o condensadores y los inductores o bobinas. 2) Si la red eléctrica original contiene al menos una fuente dependiente, el teorema no podrá ser aplicado a aquella parte del circuito donde se encuentren tanto la incógnita del problema como la variable de dependencia de la fuente dependiente. Es decir, no se podrá separar la variable de dependencia, de la cual depende el valor de una fuente dependiente en particular, de la porción de la red que contiene dicha fuente. Los requisitos anteriores son los que se plantean en la literatura especializada y sobre la base de los cuales se ha desarrollado, utilizado y demostrado el teorema de Thévenin. Por cuanto, cuando se formule el teorema, deben exponerse también las condiciones sobre las que se puede utilizar. Sin embargo el teorema, desde el punto de vista del autor de este análisis, no está completo, pues existe un requisito que no se ha tenido en consideración desde los propios inicios del teorema ni por los subsiguientes autores que lo han tratado de manera eficiente; sobre la base de este planteamiento… ¿será aplicable el teorema de Thévenin en cualquier parte de una red eléctrica lineal cualquiera?

4. Será siempre aplicable el teorema de Thévenin …(2)

Es decir, se obtendrá a partir del cociente entre la tensión a circuito abierto (Vca) o tensión de Thévenin (VTh) y la corriente de cortocircuito (Icc).

3. Condiciones para aplicar el teorema de thévenin En la sección anterior se expusieron los diferentes casos para los cuales el teorema de Thévenin es aplicado en dependencia de la estructura de la red original. Pero, cabe la pregunta, ¿existen condiciones de aplicación del teorema de Thévenin? Como teorema al fin, este no está exento de restricciones, bien definidas todas por los autores en la literatura especializada en el tema. Muchos plantean y exigen, independientemente de que la carga sea lineal o no lineal, que para el uso del teorema de Thévenin en cualquiera de

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Para explicar lo que se pretende en este apartado se propone el análisis de los siguientes ejemplos. En los ejemplos que se proponen las redes eléctricas utilizadas contienen los dos tipos de fuentes pues es el caso más general. Ejemplo 1. Dada la red eléctrica de la Figura 5, se desea determinar el valor de la tensión V utilizando el teorema de Thévenin.

Figura 5. Circuito correspondiente al ejemplo 1.

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Lo primero que se debe hacer es comprobar si las condiciones de aplicación del teorema se satisfacen: 1) La red eléctrica bajo estudio contiene una fuente dependiente (V1) y una fuente independiente (V2) y es una red completamente lineal pues todos los elementos circuitales que la conforman son lineales (resistencias). 2) La red contiene una fuente de tensión dependiente de la corriente Ix, que circula por la resistencia R4, y la variable que se desea encontrar es la tensión V a través de los terminales de la resistencia R3. Por tanto la resistencia R3 será la carga en este caso, y al desconectarla del circuito la dependencia entre la fuente dependiente y su variable permanece dentro de la red a analizar (Figura 6). Después de comprobar que las condiciones se satisfacen, se procede a identificar el caso en cuestión. Como se observa en la Figura 5 el circuito a analizar contiene los dos tipos de fuentes, por lo que la metodología que se seguirá para su solución es la que se describió en la sección anterior.

Segundo: Se escribe una LKV en la malla CBFE. Notar que al desconectar la carga R3, las resistencias R2 y R4 quedan conectadas en serie.

…(1.3) Donde:

...(1.4)

Ahora se igualan las expresiones (1.2) y (1.4), y se obtiene que Ix =5.0 mA. Con este valor de Ix se calcula Vca en (1.2) o en (1.4) y se obtiene que Vca=10.0 V. Una vez determinada la tensión a circuito abierto se procede a hallar la corriente de cortocircuito (Icc), según la Figura 7, para luego determinar la resistencia equivalente de Thévenin usando la expresión (2).

El objetivo entonces es encontrar un circuito equivalente de Thévenin entre los puntos a y b (ver Figura 5) para simplificar la red original. En la solución, primero se desconecta la carga del resto de la red (Figura 6) y se determina la tensión a circuito abierto (Vca).

Figura 7. Circuito con carga desconectada y representación de la corriente de cortocircuito.

Primero: Se escribe una LKV en la malla DHGED. Figura 6. Circuito con carga desconectada y representación de la tensión a circuito abierto. …(1.5) Para determinar la tensión a circuito abierto se usará la Ley de Kirchhoff de Voltaje (LKV), a partir de la siguiente metodología.

Donde: Ix = 0 Al ser Ix = 0 se tiene que:

Primero: Se escribe una LKV en la malla DHGED.  En la resistencia R4 no existe caída de tensión pues según la Ley de Ohm: …(1.1)  La fuente dependiente V1, cuyo valor de tensión depende de Ix, es cero y una fuente de tensión cero se puede sustituir por un cortocircuito.

Donde: …(1.2)

Por tanto el circuito de la Figura 7 se puede redibujar como se muestra en la Figura 8.

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Sustituyendo los valores en la expresión (1.6) se obtiene que V = 6.0 V. Como se puede observar en este ejemplo el circuito equivalente de Thévenin entre los terminales de carga en la red de la figura 5 fue encontrado sin dificultades y se obtuvo un resultado lógico e interpretable desde el punto de vista físico. Este mismo resultado se puede obtener si se aplica cualquiera de las restantes técnicas de análisis de circuitos eléctricos lineales. Figura 8. Circuito resultante al considerar Ix = 0 en el circuito de la Figura 7

Ejemplo 2. Dada la red eléctrica de la Figura 10, se desea encontrara el valor de la tensión V utilizando el teorema de Thévenin.

Notar que los resistores R1 y R2 quedan conectados en paralelo con la fuente V2, la cual es la encargada de fijar la tensión en cada una de las ramas del circuito; por tanto VR2=5.0 V y por la Ley de Ohm se tiene que:

Ahora con Vca y con Icc se procede al cálculo de la resistencia equivalente de Thévenin según la expresión (2).

Figura 10. Circuito correspondiente al ejemplo 2

Por tanto el circuito equivalente de Thévenin entre los terminales de la carga R3 (terminales a y b) de la red de la Figura 5 es:

Notar que la red de la Figura 10 es la misma que la del ejemplo 1 (Figura 5). La única diferencia está en que ahora la carga es R1 y no R3 como en el caso anterior y por tanto los terminales de carga (terminales a y b) también han cambiado. Lo primero que se debe hacer es comprobar si las condiciones de aplicación del teorema se satisfacen. 1) Esta condición es idéntica a la condición 1) del ejemplo 1.

Figura 9. Circuito equivalente de Thévenin de la red de la figura 5 (ejemplo 1).

Como las resistencias R3 y RTh están conectadas en serie en el circuito equivalente (figura 9) se puede determinar el valor de la tensión V (tensión en R3) aplicando un divisor de tensión. Esto es: …(1.6)

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2) En esta condición lo que varía, con respecto al ejemplo 1, es que la carga ahora es R1, y al desconectarla del circuito la dependencia entre la fuente dependiente y su variable permanece dentro de la red a analizar (Figura 11). El objetivo entonces es encontrar un circuito equivalente de Thévenin entre los puntos a y b (ver Figura 10) para simplificar la red original. En la solución, primero se desconecta la carga del resto de la red (Figura 11) y se determina la tensión a circuito abierto o tensión de Thévenin.

Torres, D., Díaz, A. Limitación en la aplicación del Teorema de Thévenin

Después de resolver el sistema de ecuaciones formado por (2.4), (2.6) y (2.7), se obtiene que Ix = mA. Sustituyendo este valor de Ix en la expresión (2.2) se obtiene que Vca = 10.0 V. Una vez determinada la tensión a circuito abierto se procede a hallar la corriente de cortocircuito, según la Figura 12, para luego determinar la resistencia equivalente de Thévenin usando la expresión (2).

Figura 11. Circuito con carga desconectada y representación de la tensión a circuito abierto.

Para encontrar la tensión a circuito abierto se usará la Ley de Kirchhoff de Voltaje (LKV) y la Ley de Kirchhoff de Corriente (LKC), a partir de la siguiente metodología. Primero: Se escribe una LKV en la malla ABCDA.

…(2.1) Donde:

…(2.2)

Segundo: Se escribe una LKV en la malla DHGED.

…(2.3) Donde:

…(2.4)

Figura 12. Circuito con carga desconectada y representación de la corriente de cortocircuito.

Al cortocircuitar los terminales de carga las fuentes de tensión V1 y V2 queden conectadas en paralelo, lo cual no es posible, debido a que sólo pueden estar conectadas en paralelo, teóricamente, si son iguales. Si no son iguales aparece, como en este caso, una conexión absurda. En el caso de dos fuentes de tensión independientes, conectadas en paralelo y de diferente valor cada una, es evidente que la conexión que aparece es totalmente absurda. Cuando existen, como en este caso, una fuente de tensión dependiente en paralelo con una fuente de tensión independiente, la conexión absurda no resulta tan evidente. Se podría pensar que si las fuentes V1 y V2 están en paralelo, entonces entregarían la misma tensión. Esto se haría planteando que:

Tercero: Se escribe una LKV en la malla CBFEC. …(2.8) …(2.5)

Donde:

Donde:

…(2.9)

…(2.6) De donde se obtiene que Ix = 1.25 mA.

Cuarto: Se escribe una LKC en el nodo F. …(2.7)

O sea, se podría asumir que como las fuentes están en paralelo, ellas entregan la misma tensión, de manera que al

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igualarse se determina la variable de dependencia de la fuente dependiente. Ahora es necesario comprobar si el valor obtenido para Ix es cierto o no: Primero: Se escribe una LKV en la malla DHGED.

…(2.10)

Donde: …(2.11)

Segundo: Se escribe una LKV en la malla CBFEC.

Siendo VA y VB los potenciales en los punto A y B, en el circuito de a figura 12 y RAB la resistencia eléctrica en la rama AB del propio circuito. Importante resulta destacar que los conductores que unen cada uno de los puntos (nodos) del circuito son conductores ideales, por lo que su resistencia es despreciable o tan pequeña que puede no tenerse en cuenta. Esto es sólo en el análisis teórico de los circuitos eléctricos y con vistas a utilizar las herramientas de análisis, pues desde el punto de vista práctico los conductores si poseen un valor de resistencia quizás no despreciable en algunos casos puntuales. Por esta razón se puede considerar la variable RAB ≈ 0. Por otro lado, al quedar conectadas las fuentes V1 y V2 en paralelo, al cortocircuitar los terminales de carga, el potencial en los puntos A y B es el mismo (ver figura 12); por lo que VA=VB y entonces la diferencia de potencial VA - VB = 0. Si se toman estas consideraciones en la expresión 2.15 se tiene que:

...(2.12) Donde: …(2.13)

Tercero: Se escribe una LKC en el nodo F.

...(2.14)

Como se aprecia, la corriente de cortocircuito está indeterminada ya que, tanto el numerador como el denominador, en la expresión anterior, son cero. Esto demuestra que no es posible encontrar un valor finito para la variable Icc y por tanto que no se pueda encontrar la resistencia equivalente de Thévenin por la relación 2 ya que también estaría indeterminado su valor, según:

Después de resolver el sistema de ecuaciones formado por (2.11), (2.13) y (2.14), se obtiene que Ix =1.364 mA.

Como se aprecia, los resultados obtenidos para la variable de dependencia Ix son totalmente diferentes, por lo que se demuestra que no es posible asumir que V1 = V2 ya que esto es un error conceptual. Además de este resultado contradictorio obtenido para la variable Ix es posible probar la no existencia de la corriente de cortocircuito Icc, con lo cual se tendría una razón más para plantear que no es posible encontrar un circuito equivalente de Thévenin entre los puntos a y b para el circuito de la figura 10. En términos de la Ley de Ohm, la variable Icc puede ser expresada de la siguiente manera:

...(2.15)

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Al no poder encontrarse un valor finito para la resistencia equivalente de Thévenin, no es posible entonces plantear un circuito equivalente de Thévenin, entre los puntos a y b, para la red de la figura 10 y por tanto no es posible darle solución al problema inicial. Por esta razón, no se puede realizar el análisis para encontrar la corriente de cortocircuito Icc, quedando evidenciado que para casos como estos, donde cortocircuitar los terminales de carga para hallar Icc conduce a una conexión absurda, no es válido aplicar el teorema de Thévenin, pues no es posible obtener un circuito equivalente entre los terminales de carga de la red eléctrica bajo estudio. Notar que en ambos casos (ejemplo 1 y ejemplo 2) el circuito bajo análisis es el mismo, la diferencia está en el lugar donde se desea obtener el circuito equivalente de Thévenin. En el primer caso se obtuvo sin dificultades el circuito equivalente no siendo así en el segundo caso; por tanto: el teorema de Thévenin no se puede aplicar en cualquier parte de una red eléctrica cualquiera.

Torres, D., Díaz, A. Limitación en la aplicación del Teorema de Thévenin

No sólo al desconectar la carga y determinar la corriente de cortocircuito se pueden encontrar conexiones absurdas. También al cortocircuitar los terminales de carga para determinar la tensión de circuito abierto pueden aparecer conexiones absurdas. Ejemplo 3. Para la red eléctrica que se muestra en la figura 13, se desea encontrar el valor de la corriente I utilizando el teorema de Thévenin

Al desconectar la carga del resto de la red, el punto “F”, que en el circuito de la Figura 13 es un nodo, deja de serlo en la Figura 14, esto hace que las fuentes de corriente I1 e I2 queden conectadas en serie, lo cual no es posible, debido a que solo pueden estar conectadas en serie, teóricamente, si son iguales. Si no son iguales aparece, como en este caso, una conexión absurda. En el caso de dos fuentes de corriente independientes, conectadas en serie y de diferente valor cada una, es evidente que la conexión que aparece es totalmente absurda. Cuando existen, como en este caso, una fuente de corriente dependiente en serie con una fuente de corriente independiente, la conexión absurda no resulta tan evidente. Se puede pensar que si las fuentes I1 e I2 están en serie, entonces ellas entregarían la misma corriente. Esto se haría planteando que:

...(3.1) Figura 13. Circuito correspondiente al ejemplo 1. Donde: Lo primero que se debe hacer es comprobar si las condiciones de aplicación del teorema se satisfacen: 1) La red eléctrica bajo estudio contiene una fuente dependiente (I2) y dos fuentes independientes (I1 y V1) y es una red completamente lineal pues todos los elementos circuitales que la conforman son lineales (resistencias). 2) La red contiene una fuente de corriente dependiente de la tensión Vx a través de los terminales de la resistencia R3 y la variable que se desea encontrar es la corriente I que circula por la resistencia R1. Por tanto la resistencia R1 será la carga en este caso, y al desconectarla del circuito la dependencia entre la fuente dependiente y su variable permanece dentro de la red a analizar (Figura 14). El objetivo entonces es encontrar un circuito equivalente de Thévenin entre los puntos a y b (ver Figura 13) para simplificar la red original. En la solución, primero se desconecta la carga del resto de la red (Figura 14) y se determina la tensión a circuito abierto o tensión de Thévenin.

...(3.2)

De donde se obtiene que Vx = 0.5 V. O sea, se podría asumir que como las fuentes están en serie, ellas entregan la misma corriente, al igualarse se puede determinar la variable de dependencia de la fuente dependiente. Ahora es necesario comprobar si el valor obtenido para Vx es cierto o no. Las resistencias de 1.0 Ω (R3 y R4), al desconectar la carga del resto de la red, quedan conectadas en serie (Figura 14), por tanto se puede aplicar un divisor de tensión sencillo para determinar Vx.

...(3.3)

Como se aprecia, los resultados obtenidos para la variable de dependencia Vx son totalmente diferentes, por lo que se demuestra que no es posible realizar el análisis para encontrar la tensión a circuito abierto Vca ya que conduce a contradicciones; quedando evidenciado que para casos como estos, donde desconectar la carga del resto de la red conduce a una conexión absurda, no es válido aplicar el teorema de Thévenin.

Figura 14. Circuito con carga desconectada y representación de la tensión a circuito abierto.

En cualquiera de los ejemplos 2 o 3, no es posible determinar las variables en cuestión aplicando el teorema de Thévenin. Sin embargo, si cualquiera de estos ejemplos se intenta resolver empleando cualquiera de las restantes

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técnicas de análisis de circuitos eléctricos lineales, los métodos generales: Análisis de Malla o Análisis Nodal o las propias leyes de Kirchhoff, es posible hallarlas y darles una interpretación desde el punto de vista físico. Pero precisamente lo que se pretende es probar la necesidad de una nueva reformulación de las condiciones bajo las cuales el teorema podrá ser aplicado, por lo que los ejemplos no serán resueltos utilizando otros métodos.

que las herramientas de computación no emplean el teorema de Thévenin para la resolución numérica de los circuitos eléctricos sino las leyes de Kirchhoff. Ahora se tratará de hacerlo por separado, como si se estuviese aplicando el teorema de Thévenin. Esto es, primero se desconecta la carga del resto de la red y se determina la tensión a circuito abierto utilizando el simulador, para ello se emplea el esquema de la Figura 16.

Ejemplos como los analizados existen, generalmente, en una gran infinidad de aplicaciones reales, lo cual puede ser catastrófico pues se podrían dañar equipos y componentes. Desde el punto de vista teórico-práctico se debe tener mucho cuidado a la hora de aplicar este importante teorema, pues, como se trata en la literatura especializada, las condiciones sobre las que se puede aplicar el teorema no están completas. Además de las dos condiciones señaladas se debe agregar al estudio del teorema una tercera: 3) Al desconectar la carga del resto de la red, con vistas a determinar la tensión a circuito abierto y/o al cortocircuitar los terminales de carga, con vista a determinar la corriente de cortocircuito, el circuito resultante no debe contener ninguna conexión absurda. Entiéndase por conexión absurda aquellas que se forman cuando quedan conectadas, en serie, al menos dos fuentes ideales de corriente de diferentes valores y, en paralelo, al menos dos fuentes ideales de tensión de diferentes valores.

5. Simulación Se simuló el circuito del ejemplo 2 utilizando herramientas de computación. El esquema es el que se muestra en la figura siguiente:

Figura 16. Carga R1 desconectada y representación de un voltímetro para el cálculo de la tensión a circuito abierto (Vca).

Como se observa en al Figura 16, la tensión entre los terminales de carga a y b, cuando esta ha sido desconectada de la red, fue calculada sin dificultades por el simulador y su valor coincide con la obtenida teóricamente en la resolución del ejemplo 2; o sea 10 V. Esto indica que si se estuviese aplicando el teorema de Thévenin se estaría trabajando por el camino correcto. Ahora se cortocircuitan los terminales de carga con vistas a encontrar la corriente de cortocircuito (Figura 17).

Figura 15. Circuito utilizado para la simulación del ejemplo 2.

Como se observa en la Figura 15, la tensión en la resistencia de carga (R1) es de 10 V y su valor fue obtenido por el simulador sin dificultades y sin obtener contradicciones ya

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Figura 17. Terminales de carga cortocircuitados y representación de un amperímetro para el cálculo de la corriente de cortocircuito (Icc).

Torres, D., Díaz, A. Limitación en la aplicación del Teorema de Thévenin

Cuando se simula el circuito de la Figura 17 los resultados son los que se muestran:

1- Los simuladores no emplean el teorema de Thévenin en la resolución numérica de las redes eléctricas, sino herramientas generales como las leyes de Kirchhoff. 2- Los simuladores no admiten la presencia de “conexiones eléctricas absurdas” en al resolución de los circuitos eléctricos. 3- Los simuladores son muy útiles a la hora de tratar de entender situaciones que pudieran presentarse en la práctica. 6. Resultados en estudiantes El teorema de Thévenin es estudiado por los estudiantes de las carreras de perfil eléctrico y electrónico como: Ingeniería Eléctrica, Bioingeniería, Ingeniería en Telecomunicaciones e Ingeniería Automática en la Facultad de Ingeniería Eléctrica en el Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría” de Ciudad de La Habana, Cuba.

Figura 18. Foto tomada al programa de simulación cuando se intenta simular el circuito de la Figura 17. Como se observa en la Figura 18, el amperímetro colocado en el simulador no refleja valor alguno para la corriente que debe circular entre los puntos a y b (corriente de cortocircuito, Icc), y si advierte la ocurrencia de un error en la simulación, originado por la conexión en paralelo de dos nodos con diferentes valores de tensiones. Esto, como ya se había planteado, no puede tener lugar pues se estaría en presencia de una conexión eléctrica absurda. Los resultados anteriores confirman que:

Este estudio se realiza en las asignaturas Circuitos Eléctricos I y Circuitos Eléctricos II dentro del plan de asignaturas básicas. Los estudiantes reciben el contenido tal y como aparece en la literatura especializada en el tema y en correspondencia con los estudios en otras universidades de Cuba y del mundo. Para este estudio fueron seleccionados 25 estudiantes de las especialidades de Ingeniería en Telecomunicaciones e Ingeniería Automática (total 50), a los cuales se les pidió que resolvieran el circuito del ejemplo 2 en un tiempo de 45 minutos. Los resultados fueron los siguientes:

Tabla I. Resultados alcanzados por los 50 estudiantes en el examen aplicado sobre el ejemplo 2. Curso 2005-2006.

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Volumen 11, Nº 42, marzo 2007 pp 21-32

Como se puede observar en la Tabla I los resultados obtenidos no son todo lo alentadores que se quisieran. Esto es debido a que no se aborda el estudio del teorema de Thévenin con la profundidad que requiere. Es preciso incorporar en el estudio de este importante teorema la tercera condición que se propone en este trabajo para así lograr una mayor comprensión del problema y poder dar soluciones eficientes a situaciones similares, tanto teóricas como prácticas.

III. CONCLUSIONES De manera general se puede concluir que: 1) Para aplicar el teorema de Thévenin, después de desconectar la carga del resto de la red, con vistas a determinar la tensión de circuito abierto, no deben existir conexiones absurdas en la red resultante. 2) Para aplicar el teorema de Thévenin, al cortocircuitar los terminales de carga, con el objetivo de encontrar la corriente de cortocircuito, no deben existir conexiones absurdas en la red resultante. 3) El teorema de Thévenin no puede ser aplicado en cualquier parte de un circuito eléctrico lineal. 4) Aunque no sea posible aplicar el teorema de Thévenin para encontrar el valor de una variable específica en un circuito dado, si se puede aplicar el teorema para determinar el valor de otra variable en cualquier otro lugar del propio circuito. 5) Es válido aplicar cualquiera de las restantes técnicas y/o métodos de análisis de circuitos eléctricos lineales para

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encontrar el valor de una variable específica en un circuito dado, cuyo valor no haya sido posible determinar aplicando el teorema de Thévenin. 6) Al aplicar técnicas computacionales para la resolución de los ejemplos mostrados se obtienen resultados correctos y lógicos, debido a que estas herramientas de simulación emplean las Leyes de Kirchhoff en la resolución numérica de los circuitos eléctricos.

IV. REFERENCIAS 1) James Ley, B., Luts G., Samuel & Rehberg F., Charles: Linear Circuit Analysis. Asociación de Estudiantes de Tecnología, New York University, USA, pp. 501-542, 1963. 2) David Irwin, J.: Análisis Básico de Circuitos en Ingeniería. 5ta Edición, México, Ed. Prentice-Hall, Inc., 1997, pp. 184-195. 3) Montó Olivera, A.: Fundamentos de la Teoría de Circuitos I, Ciudad de La Habana, Cuba, Ed. Pueblo y Educación, 1989, pp. 116-123. 4) Neal P., J.: Electrical Engineering Fundamentals. New York, USA, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1960, pp. 372-380. 5) William H., Hayt & Jack E., Kemmerly: Engineering Circuit Analysis. 4ta Edición, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, USA, 653p, 1986. 6) William H., Hayt & Jack E., Kemmerly: Análisis de Circuitos en Ingeniería. 3ra Edición en español, McGraw-Hill Book Company, Inc., México, 706p, 1993.