Los n´umeros racionales: Q ∗ ¿Qu´e fracci´ on del ´area total est´a coloreada en cada una de las figuras de al lado?

(a)

(b)

∗ Juan ley´ o 2/5 de las p´aginas de un libro el lunes, el martes estaba ocupado y s´olo pudo leer la tercera parte que el lunes, y el mi´ercoles, que ten´ıa m´as tiempo, acabo el libro leyendo 140 p´aginas. ¿Cu´antas p´aginas ten´ıa el libro?

Definici´on de n´umero racional ∗ Una fracci´ on es un cociente de dos n´ umeros enteros, es decir, una expresi´on de la forma ab , con b 6= 0. (Tambi´en se escribe a/b). ∗ Interpretaci´ on: partes de un todo. El “todo” puede ser discreto o continuo. Ejemplo: 2/3 de a) un conjunto de 24 libros. b) una regi´ on rectangular del plano. ∗ Las fracciones 2/3, 4/6, 6/9, . . . representan la misma cantidad, es decir, son el mismo n´ umero racional. ∗ Esta es la definici´on usual de n´ umero racional: un n´ umero racional es un conjunto de fracciones “equivalentes”. El conjunto de n´ umeros racionales se denota por Q.

Fracciones equivalentes. Suma y resta ∗ El concepto de fracciones equivalentes es uno de los m´as importantes de este tema. Se dice que las fracciones a/b y c/d son equivalentes si a · d = b · c (es decir, es decir, si “c/a = d/b”). ∗ Una vez entendidos los conceptos de fracci´on y fracci´on equivalente, la suma y resta deber´ıan ser inmediatas. a) No se pueden sumar (ni restar) fracciones con distinto denominador. b) Lo que hay que hacer es buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. ∗ Ejemplo:

2 3 8 9 17 + = + = 3 4 12 12 12

Fracciones impropias, n´umeros mixtos, divisi´on entera. ∗ La fracci´ on 17/12 (y, en general, las fracciones a/b donde a ≥ b) a veces se llaman fracciones impropias y se pueden representar como n´ umeros mixtos: 17 5 =1 12 12 ∗ En general, si a = q · b + r, la fracci´on a/b se puede r representar tambi´en como q . b ∗ Es importante tener presente que la idea de fracci´on impropia supone una generalizaci´on relevante desde el punto de vista conceptual: ¿qu´e significa ocho s´eptimos de algo?

Multiplicaci´on de fracciones ∗ Desde el punto de vista del algoritmo, multiplicar fracciones es m´as sencillo que sumarlas. Sin embargo, desde un punto de vista conceptual es mucho m´as complicado. ∗ Una buena posibilidad es generalizar desde los naturales, de la siguiente forma: ? 2 · 18 es “el doble de 18” 1 18 ? · 18 es “la tercera parte de 18”, es decir, 3 3 ∗ Aparece aqu´ı una relaci´on fundamental entre las operaciones de multiplicar y dividir: 1 multiplicar por es lo mismo que dividir por n n

Multiplicaci´on de fracciones ∗ Una vez que sabemos multiplicar 1/n por un entero, y entendemos que estamos dividiendo por n, podemos multiplicar 1/n por otra fracci´on: 3 13 1 12 1 13 a) · = b) · = 15 60 4 15 4 15 ∗ Ahora la multiplicaci´on de fracciones ya tiene “significado”: 3 13 1 13 13 3 · 13 · =3· · =3· = 4 14 4 14 4 · 14 4 · 14

Divisi´on de fracciones ∗ Primero, lo que creo que no es una buena alternativa.

Divisi´on de fracciones ∗ Opci´ on 1: Reducir a com´ un denominador. Repartir “cuartos” entre “cuartos” ya es intuitivo. ∗ Opci´ on 2 (para mi, la mejor): la divisi´on y la multiplicaci´on son operaciones inversas o, lo que es lo mismo, dividir es lo mismo que multiplicar por el inverso. ∗ Ya nos hemos encontrado antes la idea: multiplicar por 1/n es lo mismo que dividir por n. ∗ El inverso de un n´ umero racional a es un n´ umero b tal que a · b = 1. ∗ Todo n´ umero racional distinto de cero tiene inverso. a) El inverso de un n´ umero natural n es 1/n. b) El inverso de un n´ umero racional p/q es q/p

Divisi´on de fracciones ∗ Por tanto,

2 7 2 5 10 : = · = 3 5 3 7 21

∗ Por supuesto, una vez definida la operaci´on, la forma de darle sentido es recurrir a problemas. Por ejemplo: Tenemos un barril de 25 l. de agua, y con ´el rellenamos botellas de 1/4 de litro. ¿Cu´antas botellas llenamos? ∗ Una vez asimiladas las operaciones, se pueden abordar problemas como ´este: Una persona deja en herencia 2/3 de su capital a su u ´nico hijo, le deja a un t´ıo lejano 2/5 partes de lo que le ha dejado al hijo, debe pagar a hacienda por impuestos 1/10 de la herencia, y dona el resto, 12000 euros, a una obra de beneficencia. ¿Cu´al era su capital?

Orden en Q ∗ El orden en Q se define igual que en los enteros: dados dos n´ umeros racionales a y b, se dice que a < b si b − a > 0. ∗ Propiedades de monoton´ıa: a) Si a < b entonces a + c < b + c (para cualquier n´ umero racional c). b) Si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c. c) Si a < b, entonces −a > −b. Por tanto, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c ∗ Ejercicio: Determinar los n´ umeros racionales que verifican 2 7 la desigualdad − x < 3 5

Orden en Q ∗ Los racionales son “densos”: en Q se pierde el concepto de “siguiente”. Observaci´ on: entre dos n´ umeros racionales cualesquiera existen infinitos n´ umeros racionales. ∗ Pero no “llenan” toda la recta: √ Teorema: 2 no es un n´ umero racional.