El número real

MATEMÁTICAS I

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1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL

1.1. El conjunto de los números reales. Como ya sabes los números naturales surgen de la necesidad de contar, expresar medidas, para calcular y ordenar. El conjunto de los números naturales se simboliza mediante la letra ℕ.. Una deficiencia de los números naturales es que no siempre se puede restar ni dividir con ellos. Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que no pueden expresarse mediante números naturales, como por ejemplo, la temperatura ambiente. Los números positivos y negativos sirven para expresar cantidades o posiciones fijas. También sirven para expresar variaciones de cantidad (subir-bajar, gasto-ingreso,...). Por este motivo, se amplia el conjunto de los números naturales con un nuevo conjunto numérico que es el de los números enteros, que se simboliza con la letra ℤ . Para medir suele ser necesario fraccionar la unidad. El conjunto de los números enteros no sirve para expresar cantidades inferiores a la unidad: medio kilo, tres cuartos de un trayecto,... Con lo cual se introduce un nuevo conjunto, el de los números racionales.

Los números racionales: Se caracterizan porque pueden expresarse: − En forma de fracción, es decir, como cociente de dos números enteros. − En forma decimal: O bien son enteros o bien tienen expresión decimal finita o periódica. Todo número racional tiene asociada una expresión decimal exacta o periódica, para obtenerla basta dividir el numerador entre el denominador. Una característica que tienen los números racionales es que entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales. Por ello, se dice que el conjunto de los números racionales es denso: Dados dos números racionales cualesquiera, tomando la media aritmética de ambos obtenemos un número racional comprendido entre los dos. a  ℚ =  / a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0  b  

No obstante, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. Pueden encontrarse números que tienen una expresión decimal infinita no periódica. Ejemplo :

- La diagonal de un cuadrado de lado a. - La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, el número π = 3,1415926535... - La razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular, el número φ = 1,6180339887....  

1 n

n

- El número e, que es el límite de la sucesión an =  1 +  : e = 2,71828845904…

Los números con infinitas cifras decimales no periódicas reciben el nombre de irracionales y su conjunto se representa con la letra I. Al conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama conjunto de los números reales y se simboliza con la letra ℝ. Luisa Muñoz

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Este conjunto engloba a todos los conjuntos de números estudiados hasta ahora.

      Racionales Reales        Irracionales

  Naturales  Enteros   Enteros negativos    Decimales exactos  Puros  Decimales periódicos    Mixtos

N⊂Z⊂Q R = {números racionales}∪ {números irracionales} = Q ∪ I

1.2. Representación sobre la recta Una recta graduada es aquella en la que se han fijado dos elementos, el cero u origen, y la unidad, que representa al número 1. Existe un método exacto para representar geométricamente los números irracionales de la forma

n.

Ejemplo :

Representamos

2.

Trazamos sobre la recta real un triángulo de catetos 1 cm., en el que la hipotenusa, por el teorema de Pitágoras es

2 . Con la ayuga de un compás lo situamos sobre la recta real.

C

A

C

B 1

0

A

C

B 1

0

A

B 1

0

De forma parecida podemos representar todos los números irracionales de la forma en el teorema de Pitágoras.

2

n , basándonos

Ejemplo :

A continuación representamos de forma gráfica los números

2

0

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1

1

0

4

1

3 2

3,

1

2

2

3

0

1

2

3 2

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Aunque no seamos capaces de representar exactamente, por métodos geométricos, la mayor parte de los números irracionales, la representación aproximada a partir de la expresión decimal será siempre fiable y suficiente para nuestras necesidades. Es fácil situar, sobre la recta real, los números enteros y los decimales exactos. Por ejemplo, para representar el número 3,47 procederemos del siguiente modo: 0

1

2

3

4

3´4

3´47

3´5

Si el número es irracional, habría que repetir este proceso “infinitas veces” para situarlo exactamente en su sitio. Si sólo lo efectuamos dos o tres veces, habremos aproximado el número hasta la segunda o tercera cifra decimal. Ejemplo :

Veamos algunos pasos para situar el número

2 = 1,4142135623730950488016887242097....

El número está situado en el tramo 1,4 y 1,5. Dividiendo este tramo en 10 partes iguales no situaríamos en el segundo tramo, ya que está situado entre los números 1,41 y 1,42. Volviendo a repetir el proceso, nos situaríamos ahora en el 5º tramo ya que estaríamos entre los números 1,414 y 1,415 1

2

1´4

1´41

1´5

1´42

1.3. Propiedades Propiedades de la suma La suma de números reales verifica las siguientes propiedades: Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c Conmutativa: a + b = b + a Elemento neutro: a + 0 = a Elemento opuesto: a + (– a) = 0 Propiedades del producto El producto de números reales verifica las siguientes propiedades: Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c Conmutativa: a · b = b · a Elemento neutro: a · 1 = a 1 a

Elemento inverso: a · = 1 Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a · (b + c) = a · b + a · c Luisa Muñoz

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1.4. Relación de orden Dados dos números a y b, decimos que: a < b (a menor que b) si a – b < 0 a > b (a mayor que b) si a – b > 0 a ≤b a ≥ b La relación de orden entre números cumple las siguientes propiedades: Si a < b y b < c, entonces a < c Si a < b, para cual quier valor real c, se verifica a + c < b + c. Si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c Si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c

2. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

La ordenación de los números reales permite hablar del conjunto de números comprendidos entre dos números determinados Hemos podido ver que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números reales. Para referirnos a todos estos números se utilizan los intervalos.

2.1. Tipos de desigualdades x > a : representa todos los números que son mayores que a. x < a: representa todos los números que son menores que a x ≥ a: representa todos los números mayores o iguales que a. x ≤ a : representa todos los números menores o iguales que a.

Una desigualdad es doble cuando aparecen dos signos de desigualdad: a < x < b: representa los números x tales que x > a y x < b a > x > b: representa los números x tales que x>b y x 7 ⇒ Todos los números mayores que 7 x ≤ −2 → Todos los números menores o iguales que -2

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2.2. Intervalos Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real. Cada intervalo viene determinado por sus extremos, siendo dos extremos en el caso de los segmentos o un extremo en el caso de semirrecta. Según incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados. Nombre

Desigualdad

Intervalo

x>a

(a, + ∞ )

x