LOS NUMEROS REALES Conjunto no vacío designado como ℜ y denominado conjunto de los números reales. En él se define una relación de igualdad “ = ” y dos operaciones algebraicas “ + ” y “ . ” Relación de igualdad Definición:

R = ⎨(a,b) en que a ∧ b ∈ ℜ ∧ a R b ⎬

Propiedades de la relación “ = ” : A1

Reflexividad :

∀a∈ℜ ⇒ a = a

A2

Simetría :

∀ a, b ∈ ℜ, si a = b ⇒ b = a

A3 Transitividad :

∀ a, b, c ∈ ℜ, si a = b ∧ b = c ⇒ a = c

Operaciones en ℜ Definición:

Adición o Suma (+) : (a,b) ∈ ℜ → a + b ∈ ℜ

Multiplicación o producto ( . ) : (a,b) ∈ ℜ → a . b ∈ ℜ Propiedades de las operaciones ( + ) y ( . ) : B1 Conmutatividad : B2 Asociatividad : B3

Existe un elemento identidad para la suma :

B4

Existencia de elementos inversos para la suma :

B5 Conmutatividad : B6 Asociatividad :

a+b = b+a a+(b+c) = (a+b)+a a+0 = 0+a=a a + (-a) = (-a) + a = 0 a.b = b.a a.(b.c) = (a.b).c

B7

Existe un elemento identidad para la multiplicación:

a.1 = 1.a = a

B8

Existencia de inversos para la multiplicación, si a ≠ 0 :

a . a-1 = a-1 . a = 1

B9

Ley distributiva:

a.(b+c) = a.b+a.c

1

La compatibilidad entre estas dos operaciones y la relación de igualdad, se establece mediante las leyes: Si a = b

⇒ a+c = b+c

Si a = b ⇒ a . c = b . c

;

En ℜ, los elementos identidad para la suma y para la multiplicación

Teorema 1.

(neutro aditivo y multiplicativo respec.) son únicos.

Demostración:

Se emplea el Método de Reducción al Absurdo.

Supongamos la

existencia de otro elemento neutro para la suma, designado como 0* ≠ 0. Entonces aplicando B2 se tiene: 0* + 0 = 0

y

0 + 0* = 0*

Por conmutatividad (B1) y aplicando transitividad (A3),

se concluye

que 0 = 0* ⇒⇐ la suposición de la Hipót., luego es falso que 0* ≠ 0 y entonces el neutro para la suma es único.

TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del neutro multiplicativo. En ℜ, los elementos inversos para la suma y para la multiplicación son

Teorema 2.

únicos.

Demostración:

Dado a ∈ ℜ, supongamos ∃ (-a) y a´ elementos inversos de a para la suma en que (-a) ≠ a´. Entonces se cumple:

a + (-a) = 0

y

a + a´ = 0

[ a + (-a) ] + (-a) = [ a + a´ ] + (-a) (-a) = a´

⇒

a + (-a) = a + a´

⇔

⇒ 0 + (-a) = [ a + (-a) ] + a´ luego

⇒⇐ la Hipótesis ⇒ Es falso (-a) ≠ a´ y el inverso aditivo es único.

TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del inverso multiplicativo.

2

Teorema 3:

i) El cero es el inverso aditivo de sí mismo: (-0) = 0 ii) El uno es inverso multiplicativo de sí mismo: 1-1 = 1

Demostración:

i)

a + (-a) = 0 y el inverso aditivo es único, luego si a = 0 entonces: 0 + (-0) = 0 por lo tanto: (-0) = 0

ii)

COROLARIO:

Demostrar de manera análoga.

i) Por unicidad del inverso aditivo, si a + b = 0 ⇒ a = -b y b = -a ii)

Por unicidad del inverso multiplicativo si a . b = 1 ⇒ a = b-1 y b = a-1

Teorema 4:

∀ a ∈ ℜ; a . 0 = 0

Demostración:

Por axioma B3 se tiene que: 0 + 0 = 0, por lo tanto: 0 . a = (0 + 0).a 0 . a = 0.a + 0.a

Distributividad.

(-0 . a) + 0 . a = (-0 . a) + 0 . a + 0 . a 0 = a . 0 + [ (-0 . a) + 0 . a ] 0 = a.0 = 0.a

En particular, por este teorema:

Teorema 5:

i)

0 . 0 = 0

1 . 0 = 0

∀ a , b ∈ ℜ, se cumplen las siguientes propiedades:

- (-a) = a

ii)

(-a) . b = - (ab)

iii)

a . (-b) = - (ab)

Demostración:

y

TAREA

3

∀ a, b ∈ ℜ en que a ≠ 0 y b ≠ 0 se tiene que:

Teorema 6:

i) (a-1)-1 = a

ii) a-1 b = (a . b-1)-1

iii) a . b-1 = (a-1 . b)-1

iv) a-1 . b-1 = (a . b)-1

Demostración: i) (a-1)-1 = (a-1)-1 . 1 = (a-1)-1 . ( a . a-1) = [(a-1)-1 . (a-1)] . a = 1.a = a Tarea:

⇒

(a-1)-1 = a

Demostrar i), ii), iii) e iv).

Teorema 7:

Leyes de Cancelación: i) a + b = a + c ⇔ b = c

Demostración:

ii) a . b = a . c ⇔ b = c a ≠ 0

ii) Si a ≠ 0 ⇒ ∃ a-1 entonces si: a . b = a . c

por la

compatibilidad de la igualdad con la multiplicación: a-1 . (a . b) = a-1 . (a . c) (a-1 . a) . b = (a-1 . a) . c ⇒ b = c. El recíproco corresponde a la compatibilidad igualdad-multiplicación. Tarea:

Demostrar i)

Teorema 8:

∀ a, b ∈ ℜ si a . b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0

Demostración: Si a ≠ 0 entonces ∃ a-1 por lo tanto: (a-1 . a) . b = 0 ⇒ b = 0.

Teorema 9:

a-1 . (a . b) = 0 . a-1

Demostrar para a = 0.

i) La ecuación a + x = b tiene única solución: x = b + (-a) ii) La ecuación a . x = b tiene única solución: x = a-1 b ( a ≠ 0 )

Tarea:

Demostrar

4

Definición 9:

Se define a + (-b) como la diferencia entre a y b ; a – b

Teorema 10: ∀ a, b ∈ ℜ se cumple: i)

a – (-b) = a + b a–b=0 ⇔ a=b

ii)

iii) a – (b + a) = a – b - a Demostración:

i) a – (-b) = a + [- (-b)] = a + b

por T5 i)

ii) a – b = 0 ⇒ a + (-b) = 0 ⇒ a + b + (-b) = 0 + b ⇒ a+0 = b ⇒ iii) a = a

a=b

⇒ a+0 = a+0

⇒

a + (a + b) + [-(a + b)] = a + a + (-a)

⇒

a + a + (-a) + b + (-b) + [-(a + b)] = a + a + (-a) + (-a) + (-b)

⇒

a + 0 + 0 + [-(a + b)] = a + 0 + (-a) + (-b)

⇒

a + [-(a + b)] = a + (-b) + (-a)

⇒

a – (a + b) = a – b – a

Por def. 9

Definición 10: Dados a, b ∈ ℜ ∧ b ≠ 0 se define a a . b-1 como

a o bien b

a : b expresándose cuociente entre a y b o bien a dividido

por b. Teorema 11: Dados a, a1 , a2 , b, b1, b2 ∈ ℜ entonces se cumplen: i)

a =a 1

ii) Si a ≠ 0 ⇒

iv) Si a2 ≠ 0 ∧ b2 ≠ 0 ⇒

1 = a-1 a a1 b = 1 a 2 b2

iii) Si a ≠ 0 ⇒

a =1 a

⇔ a 1 . b2 = b 1 . a2

5

LOS REALES COMO CUERPO ORDENADO Sea ℜ+ ⊂ ℜ, este subconjunto satisface los siguientes axiomas: 1. ℜ+ es cerrado para la suma. Si a, b ∈ ℜ+ ⇒ a + b ∈ ℜ+. 2. ℜ+ es cerrado para la multiplicación. Si a, b ∈ ℜ+ ⇒ a . b ∈ ℜ+. 3. Axioma de Tricotomía. ∀ a ∈ ℜ se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones: i) a = 0 ii) a ∈ ℜ+ iii) -a ∈ ℜ+ Definición 1:

Teorema 1:

i)

ab

⇔

a – b ∈ ℜ+

Dados los reales a y b se cumple una y solo una afirmación:

i) a = b

ii) a < b

iii) a > b

Demostración: Aplicando el axioma de Tricotomía al número b – a, se tiene una y solo una propiedad: i) ii) iii) i) Por T 10 ii):

b–a=0 b – a ∈ ℜ+ –(b – a ) ∈ ℜ+ si b – a = 0 ⇒ a = b

ii) Por definición 1 i): si iii) Por definición 1 :

b – a ∈ ℜ+ ⇒ a < b

si - (b – a) ∈ ℜ+ ⇒ a – b ∈ ℜ+ ⇒ a > b

6

Teorema 2:

Dado un real a, se cumple una y solo una proposición:

i) a = 0

ii) a > 0

iii) a < 0

Demostración: Consecuencia del Teor. 1 haciendo b = 0

Teorema 3:

La relación “ b. iii) Transitiva:

Si a > b ∧ b > c ⇒ a > c

Demostración: i) Si a > a ⇒ a – a ∈ ℜ+ ⇒ 0 ∈ ℜ+ ⇒ ⇐ Ax. Tric. ii) Si a > b ⇒ a – b ∈ ℜ+ por Ax. Tric. b – a ∉ ℜ+ iii) Si a > b ⇒ a – b ∈ ℜ+ ∧ si b > c ⇒ b – c ∈ ℜ+ por lo tanto dado que ℜ+ es cerrado para la suma: (a – b ) + (b – c ) ∈ ℜ+ ⇒ a – c ∈ ℜ+ ⇒ a > c Definición 2: Llamaremos conjunto de los números negativos al conjunto: ℜ- = ⎨ x ∈ ℜ : - x ∈ ℜ+ ⎬ OBSERVACIÓN: El 0 ∉ ℜ- por lo tanto, no es positivo ni negativo, además

ℜ+ ∩ ℜ- = φ pero como todo real pertenece a uno y solo uno de los conjuntos ℜ+, ℜ-, ⎨0⎬ entonces: ℜ = ℜ+ ∪ ℜ- ∪ ⎨0⎬ en que 0 representa una frontera entre positivos y negativos.

7

i)

a ≤ b ⇔ (a < b) ∨ (a = b)

ii)

a ≥ b ⇔ (a > b) ∨ (a = b)

Definición 3:

Teorema 4:

La relación “≤” tiene las siguientes propiedades: Reflexiva: a≤ a, ∀a ∈ℜ Antisimétrica: Si a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b Transitiva: Si a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c

i) ii) iii) Demostración:

a< b ∧ b< c

i)

Como a = a entonces a ≤ a

ii)

Si a ≤ b ⇒ (a < b) ∨ (a = b). Si b ≤ a ⇒ (b < a) ∨ (a = b). Por Teor. 1 solo es posible a = b

iii)

Se tienen aquí las siguientes posibilidades:

⇒ a < c por Teor. 3

a < b ∧ b = c ⇒ b – a ∈ ℜ+ y c – b = 0 ; por lo tanto: b – a + (c – b) = c – a ∈ ℜ+ luego a < c a=b ∧ b< c

⇒ Similar a la anterior.

a=b ∧ b =c

⇒ La igualdad es transitiva y de la definición de la relación “ ≤ ”.

Teorema 5:

a≤ b ⇔ a+c ≤ b+ c

Demostración:

Si a ≤ b ⇒

a < b ∨ a = b.

Si a < b ⇒ b – a ∈

ℜ+

⇒ (b – a) + 0 ∈ ℜ+

⇒

(b + c) – (a + c) ∈ ℜ+ ⇒ a + c < b + c ⇒

a + c ≤ b + c.

⇒ (b – a) + (c – c) ∈ ℜ+

Si a = b ⇒ a + c = b + c

8

i) Si a ≤ b y c es positivo, entonces: a . c ≤ b . c

Teorema 6:

ii) Si a ≤ b y c es negativo, entonces: a . c ≥ b . c

i) Si a ≤ b

Demostración:

⇒

a < b ∨ a = b.

Si a < b ⇒ b – a ∈ ℜ+ como c ∈ ℜ+ ⇒ (b – a ) . c ∈ ℜ+ ⇒ a . c < b . c Dado que a = b , por compatibilidad igualdad-multiplicación ⇒ a . c = b . c a.c ≤ b.c

Por lo tanto:

ii)

Si a ≤ b

c ∈ ℜ-

⇒

⇒

a < b ∨ a = b.

- c ∈ ℜ+,

Si a < b ⇒ b – a ∈ ℜ+

como

luego: - c (b – a) ∈ ℜ+ ⇒ - bc + ac > 0 ⇒

Por compatibilidad igualdad-multiplicación ⇒ a . c = b . c

a . c > b . c. Por lo tanto:

a.c ≥ b.c

Teorema 7:

i) Si a > 0 ⇒ - a < 0

ii) Si a < 0 ⇒ - a > 0

iii) Si a > 0 ⇒ a-1 > 0

iv) Si a < 0 ⇒ a-1 < 0

Demostración:

iii) Si a > 0

i)

Si a > 0

⇒

a ∈ ℜ+

⇒ -a ∈ ℜ- ⇒ -a < 0

ii)

Si a < 0

⇒

-a ∈ ℜ+ ⇒ -a > 0

Supongamos que a-1 < 0 por T.6 i)

ii) : a-1 ( a . a ) < 0 ⇒

(a-1 . a) . a < 0

a.a > 0

y por T.6

⇒ a < 0 ⇒⇐ Hip., por lo

tanto: a-1 > 0 iv)

Tarea

9

Teorema 8:

a . b > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)

Demostración:

(⇒)

a > 0 ⇒ a-1 > 0 ⇒ a-1 (a . b) > 0 Si a < 0 ⇒ a-1 < 0

⇒ a ≠ 0 y b ≠ 0 (T8., Nºs ℜ) . Si

Si a . b > 0

⇒

b>0

⇒ a-1 (a . b) < 0 ⇒ b < 0

(⇐) Tarea Teorema 9:

a.b 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)

Demostración: (⇒) Si a . b < 0 ⇒ Si a > 0 ⇒ a-1 > 0 ⇒ a-1 (a . b) < 0 ⇒ b < 0 Si a < 0 ⇒ a-1 < 0 ⇒ a-1 (a . b) > 0 ⇒ b > 0

Sean a, b ∈ ℜ, si a < b ⇒

Teorema 10:

a<

a+b 0

a+b 0,

a ≤ b

⇔

vii)

Si b > 0,

a ≥ b

⇔

viii)

a+b ≤

a + b

iii) - a ≤ a ≤ a v) a . b = a . b

-b ≤ a ≤ b a ≥ b ∨ a ≤ -b

Demostración: i) Por Tricotomía: a > 0 ; a = 0 ; a < 0. Analizando cada una: Si a > 0 entonces

a = a > 0

Si a = 0 entonces

0 = 0

Si a < 0 entonces - a > 0 , luego: - a > a > 0 Por lo tanto:

a ≥ 0

11

ii)

a = −a

Aplicamos Tricotomía:

Si a > 0 ⇒ - a < 0, por lo tanto: Luego se cumple

a = a y −a = - ( - a ) = a

Si a = 0 ⇒ entonces: 0 = − 0 = 0 Se cumple Si a < 0 ⇒ entonces - a > 0, por lo tanto: Se cumple

iii)

- a ≤ a ≤ a

a = -a y

− a = -a

Aplicamos Tricotomía:

Si a ≥ 0 ⇒ a = a , además - a ≤ 0. Puesto que : a > - a

a ≥ a>-a ≥ - a Si a < 0 ⇒

a = -a

- a =a 0.

Por lo tanto a < - a. ⇒

a ≥ a ≥ - a

a =0 ⇔ a=0 ⇐

Si a = 0 , por definición a = 0 = 0

⇒ a ∈ ℜ, por tricotomía a > 0 ∨ a < 0 ∨ a = 0. Descartando las dos primeras posibilidades por contradicciones con la hipótesis por ej: Si a > 0 ⇒

a = a > 0 contradice la hipótesis.

resta la única posibilidad a = 0

12

a.b = a . b

v)

Por Tricotomía:

a.b>0

;

a.b=0

; a.b 0 ⇒ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0). Por definición

a . b = a . b y para la primera posibilidad:

de valor absoluto:

a > 0 ∧ b > 0 ⇒ a = a ∧ b = b. Por lo tanto a . b = a . b

Luego:

a.b = a . b ⇒ a = 0 ∨ b = 0 entonces:

¾ Si a . b = 0

a.b = 0 = 0 = a . b

¾ Si a . b < 0

vi)

Si b > 0,

⇒

Tarea

a ≤ b

Si a ≥ 0

⇔

⇒

como b ≥ 0

a =a ⇒

Si a < 0 ⇒

⇐

-b ≤ a ≤ b

-b < 0.

Aplicando Tricotomía

Por Hipót., Luego:

-b≤ a ≤ b

a = - a Por Hipót. – a ≤ b y como - a ≥ 0

y -b ≤ 0

⇒

-b ≤ a ≤ -a ≤ b

Si a ≥ 0

⇒

a = a , por Hipót.,

Si a < 0 ⇒

a ≤ b ⇒ a ≤ b

⇒ -b≤ a ≤ b

a

≤ b

a = - a . por Hipót., – a ≤ b luego a ≤ b

13

vii)

a ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ -b

Si b > 0,

⇒

Supongamos a ≥ b. Si a ≥ 0 entonces a = a y por lo tanto a ≥ b.

Si en cambio a < 0 entonces a = - a y en este caso

– a ≥ b luego: a ≤ - b

⇐

viii)

Tarea

Tarea

AXIOMA DEL SUPREMO

Definición 1:

Si ∀ x ∈ A ⊂ ℜ, ∃ y tal que y ≥ x entonces y es cota superior de A.

Definición 2:

Si y ∈ ℜ ∧ A ⊂ ℜ, entonces y es el supremo de A si y solo si: i)

y es cota superior de A.

ii)

Si ∀ z, cota superior de A, se tiene y ≤ z.

El supremo es la menor de las cotas superiores.

Teorema 1:

Si A ⊆ ℜ, entonces y es el supremo de A ⇔ y es una cota

superior de A y ∀ ε ∈ ℜ+, ∃ x ∈ A tal que y - ε < x.

14

Demostración:

⇒

Si y es supremo de A ⇒ y es cota superior de A,

por definición de supremo. Sea ε ℜ+, supongamos, por reducción al absurdo, que ∃ x ∈ A tal que y - ε < x, luego se puede afirmar que x ≤ y - ε ∀ x ∈ A, por lo tanto y - ε es una cota superior, pero y - ε < y ⇒⇐ la hipót., que y es supremo de A (y es la menor de las cotas superiores). Por lo tanto debe existir al menos un x ∈ A mayor que y - ε. ⇐

Por Hipót., y es una cota superior de A, será supremo si es la menor de las cotas superiores. Supongamos, al absurdo, que existe una cota superior de A, z < y luego x < z ∀ x ∈ A.

Como z < y

⇒

y – z > 0 aplicando la hipót., con ε = y – z, ∃ x ∈ A, x > y – (y – z). Luego ∃ x ∈ A tal que x > z ⇒⇐ con hipót., que z es cota superior de A. En consecuencia es falso suponer que existe una cota superior de A menor que y, luego y es la menor cota superior de A y por tanto su supremo.

Teorema 2:

Un conjunto de números reales puede tener a lo más un supremo.

Demostración:

Supongamos que en A ⊆ ℜ existen dos supremos y, z en que y ≠ z , supongamos además que z < y, lo cual significa que y – z > 0. Si tomamos este número positivo como ε particular, por definición de supremo concluimos que ∃ x ∈ A tal que: x > y – (y – z), luego x > z

⇒⇐ que z sea

supremo de A. Por lo tanto existe a lo más un supremo en un conjunto de números reales. 15

El conjunto vacío es acotado superiormente por cualquier número real, puede demostrarse por reducción al absurdo. Luego, el supremo de vacío es - ∞

Axioma del Supremo. Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota superior, entonces tiene supremo en ℜ.

Definición 3:

Si ∀ x ∈ A ⊂ ℜ, ∃ y tal que y ≤ x entonces y es cota inferior de A.

Definición 4:

Si y ∈ ℜ ∧ A ⊂ ℜ, entonces y es el ínfimo de A si y solo si: iii)

y es cota inferior de A.

iv)

Si ∀ z, cota inferior de A, se tiene y ≥ z.

El ínfimo es la mayor de las cotas inferiores.

Teorema 3:

Si A ⊂ ℜ, entonces y es el ínfimo de A ⇔ y es una cota inferior de A y ∀ ε ∈ ℜ+, ∃ x ∈ A tal que x < y + ε

TAREA:

Demostrar en forma análoga a Teor 1.

Teorema 4:

Un conjunto de números reales puede tener a lo más un ínfimo.

16

TAREA:

Demostrar en forma análoga a Teor 2.

El conjunto vacío es acotado inferiormente por cualquier número real, el ínfimo de vacío es +∞

Teorema 5:

Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota inferior, entonces tiene ínfimo en ℜ

TAREA:

Demostrar

NUMEROS NATURALES E INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Definición 1:

Sea I ⊂ ℜ, diremos que I es inductivo si se cumple: i)

Teorema 1:

Demostración:

1∈ I

ii) Si k ∈ I

⇒ k+1 ∈I

Si A, B son conjuntos inductivos, entonces A ∩ B es inductivo.

Sean A y B dos conjunto inductivos de ℜ. Por propiedad i) de la def., 1 ∈ A ∩ B. Si k∈ A ∩ B ⇒ k ∈ A ∧ k ∈ B pero como A y B son inductivos, entonces k + 1 ∈ A y k + 1 ∈ B

⇒ k + 1 ∈ A ∩ B. Entonces A ∩ B es

inductivo.

17

Definición 2:

Llamaremos conjunto de los números naturales ℵ, al menor conjunto inductivo de ℜ , es decir:

ℵ = ∩ { I : I ⊂ ℜ, I es inductivo } Teorema 2:

Principio de Inducción Sea k ∈ ℵ y P( k) una propiedad satisfecha por k. Si se cumplen:

i) ii)

P( 1 )

∀ k, si P( k ) entonces P( k + 1)

Entonces la propiedad P( k) se satisface para todo k ∈ ℵ.

Demostración:

Sea I =

{ k ∈ ℜ : P(k ) se satisface }.Veremos

que I es

inductivo • 1 ∈ I, pues P(1) se satisface por i) • Si k ∈ I entonces P(k) y por ii) se tiene P(k + 1), por lo tanto k + 1 ∈ I Como I es inductivo, por definición 2 ℵ ⊂ I, es decir, P(k) se cumple ∀ k ∈ ℵ.

FUNCIONES DE VARIABLE CONTINUA

Definición 1:

Sea x perteneciente a un intervalo I. Si mediante una cierta

regla tal que a cada x ∈ I le corresponda un único y ∈ ℜ, decimos que y es una función numérica de x denotada:

y = f(x) ; x se denomina variable

independiente e y variable dependiente.

18

Definición 2:

Se define dominio de la función f(x) al conjunto: D( f ) = ⎨ x ∈ I : ∃ y ∈ ℜ tal que y = f(x) ⎬ Se define recorrido de la función f(x) al conjunto: R( f ) = ⎨ y ∈ ℜ : ∃ x ∈ D( f ) : y = f(x) ⎬ Se define gráfico de f(x) al conjunto: G( f ) = ⎨ (x, y) ∈ D( f ) × R( f ) : y = f(x) ⎬

Ejemplos de funciones: Función constante: ∀ x ∈ I le corresponde un mismo elemento

•

c; f(x) = c Función lineal: ∀ x ∈ I le corresponde el número ax + b con a,

•

b constantes y a ≠ 0

Función cuadrática: ∀ x ∈ I le corresponde el número ax2 + bx

•

+ c con a, b, c constantes y a ≠ 0. Función polinomial: ∀ x ∈ I le corresponde el número anxn +

•

.....+ a1x + a0 en que los ai son constantes. •

Función racional: Aquella que se obtiene mediante cuocientes de polinomios:

Definición 3:

f ( x) =

p( x) q( x)

en que

D( f ) = ℜ - ⎨ x : q(x) = 0 ⎬

Dadas dos funciones numéricas f

y

g, se definen las

siguientes funciones cuyo dominio es D( f ) ∩ D( g )

i)

( f ± g ) ( x ) = f( x ) ± g( x )

ii)

( fg )( x ) = f( x ) . g( x )

iii)

( f / g )( x ) = f( x ) / g( x )

19

Definición 4: i) ii)

Dadas dos funciones numéricas f y g, se dice que:

f = g si D( f ) = D( g ) y f( x ) = g( x ) ∀ x ∈ D( f ) ∩ D( g ) f < g si y f( x ) < g( x ) ∀ x ∈ D( f ) ∩ D( g )

Definición 5: Diremos que la función f es acotada, si su recorrido es un conjunto acotado, es decir, si ∃, M > 0 : f (x) ≤ M, ∀ x ∈ D( f ).

Definición 6:

Sea f una función numérica no constante, I un intervalo

contenido en el dominio de f y x0 un punto de I. Se dice que f tiene: i)

Un cero en x0 cuando f( x0 ) = 0.

ii)

Un máximo en x0, con valor f( x0 ), cuando ∀ x ∈ I, f( x ) ≤ f( x0 )

iii)

Un mínimo en x0, con valor f( x0 ), cuando ∀ x ∈ I, f( x ) ≥ f( x0 )

iv)

Un extremo en x0 cuando f tiene un máximo o un mínimo en x0.

Definición 7: i) Una función se dice periódica, si existe un T ∈ ℜ, tal que: f(x + T) = f( x ) ii) Una función f se dice par si f(-x) = f(x), ∀ x ∈ D( f ) iv) Una función f se dice impar si f(-x) = - f(x), ∀ x ∈ D( f )

Definición 8:

Sean I y J intervalos. Sean f y g funciones numéricas tales

que D( f ) = I, D( g ) = J y R( f ) ⊂ J. Entonces la función compuesta de f con g, denotada g D f está definida por:

i)

D(g D f) = I

ii) ( g D f )(x) = g( f(x)), ∀ x ∈ I

20

Definición 9:

Una función f : I → J se dice sobreyectiva si y solo si:

R( f ) = J

Definición 10:

Una función f se dice uno a uno o inyectiva sobre un

intervalo I, si ∀ x1, x2 ∈ I, con x1 ≠ x2 se tiene f( x1 ) ≠ f( x2 ). Equivalentemente: f( x1 ) = f( x2 ) entonces x1 = x2

Ejemplos: 1. Sea f(x) = (x – 2)(8 – x) para 2 ≤ x ≤ 8. Encontrar: a) f(6) y f(-1) b) El dominio de f(x). c) f(1 – t) y su dominio d) f [ f(3) ] e) Su representación gráfica. f)

Determinar si esta función es acotada superior e inferiormente y si es así determine las cotas.

Solución: a) f(6) = (6 – 2)(8 – 6) = 4 . 2 = 8 ; f(-1) = (-1 – 2)(8 - -1) = - 27 b) Df(x) = ⎨x ∈ ℜ : 2 ≤ x ≤ 8 ⎬ c) f(1 – t) = [(1 – t) - 2] [8 – (1 – t) ] = - t2 - 8 t – 7 d) f [ f(3) ] = f(5) = 9 e) y = (x – 2)(8 – x) para 2 ≤ x ≤ 8

y 9

0

2

5

8

x

21

f) La función es creciente para 2 < x < 5 pero es decreciente para 5 < x < 8, por lo tanto su cota superior es 9 (para x = 5) y en los extremos 2 y 8, la función presenta su mínimo valor por lo tanto es acotada inferiormente y su cota inferior es x = 0.

2. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

a)

(3 − x)( 2 x + 4)

b)

x−2 x2 − 4

c)

sen 3 x

d) log10 (x3 – 3x2 – 4x + 12)

Solución: a) Df(x) = ⎨ x ∈ ℜ : -2 ≤ x ≤ 3 ⎬ b) ∀ x ∈ ℜ : x ≠ ± 2 c) 2m π ≤ 3x ≤ (2m + 1) π

⇒ 2m π /3 ≤ x ≤ (2m + 1) π /3 con

m = 0, ±1, ±2,…. d) (x – 3)(x2 – 4) > 0

⇒

x > 3, -2 < x < 2

SUCESIONES

Definición 1:

Una sucesión es una función f: ℵ → ℜ tal que a cada n le asigna f(n) = an. También se denota como ⎨ an ⎬ en que an es el término general de la sucesión o término enésimo.

22

Ejemplo:

an = n2 ; ⎨ n2 ⎬ = 12, 22, 32,......, n2 an = 1/(2n – 1) para n = 1, 2, 3,...... los términos de la sucesión son 1, 1/3, 1/5, 1/7,..........

Definición 2: Se dice que una sucesión es acotada si existe un número M tal que a n < M, ∀ n ∈ ℵ

Definición 3: Una sucesión es: i)

Estrictamente creciente si an < an+1 , ∀ n

ii)

Creciente si an ≤ an+1 , ∀ n

iii)

Estrictamente decreciente si an > an+1 , ∀ n

iv)

Decreciente si an ≥ an+1 , , ∀ n

v)

Monótona si satisface cualquiera de las condiciones anteriores.

Formas Indeterminadas i)

∀ x ∈ ℜ, en que -∞ < x < ∞

ii)

(+∞) + a = +∞ , ∀ a ∈ ℜ

iii)

(-∞) + a = (-∞) , ∀ a ∈ ℜ

iv)

(+∞) . a = +∞ , si a > 0

v)

(-∞) . a = - ∞, si a > 0

vi)

(-∞) . a = + ∞, si a < 0

vii)

(+∞). a = - ∞, si a < 0

Las operaciones con estos símbolos que no están explícitamente definidas no tienen sentido, nada se puede concluir, por tal razón se denominan formas indeterminadas, por ejemplo: (+∞) + (- ∞) ; (+∞) . 0 ; (- ∞) . 0 ; etc.

23

Límite de una sucesión El número L es el límite de la sucesión ⎨an⎬ si dado un

Definición 4:

número positivo ε, existe un número N ∈ ℵ tal que si n ≥ N, se cumple que: a n − L < ε , es decir, L - ε < an < L + ε,

lim a n = L o que la sucesión converge hacia L.

En este caso se expresa:

Ejemplo:

∀ n ≥ N.

n→∞

Aplicando la definición de limite de una sucesión, verifique que el limite de la sucesión u n =

3n −1 es ¾. 4n + 5

Solución: Debemos mostrar que para cada ε > 0 (no importa cuan pequeño) existe un número N (dependiente de ε) tal que u n − Ahora: n >

3n −1 3 − 4n + 5 4

⎞ 1 ⎛ 19 ⎜⎜ − 5 ⎟⎟ 4 ⎝ 4ε ⎠

− 19 < ε 4(4n + 5)

=

3 < ε ∀ n > N. 4

cuando

19 N, por lo tanto nlim →∞

o bien un −

3 < ε 4

3 4

Teorema 1:

an = A Si nlim →∞

y

lim bn = B entonces:

n→∞

(an + bn ) = 1. nlim →∞

n→∞

(an − bn ) = 2. nlim →∞

n→∞

(an .bn ) = 3. nlim →∞

n→∞

lim an + lim bn = A + B n→∞ lim an -

lim an

.

lim bn = A - B

n→∞

lim bn = A . B

n →∞

24

4.

lim a n

a lim n n→∞ b n

n→∞

=

lim bn

A B

=

n→∞

bn = B ≠ 0 en que nlim →∞

Si B = 0 y A ≠ 0 entonces el límite no existe, pero si A = 0 y B = 0, entonces el límite puede existir o no. p

5. lim a n n→∞

p

= ⎛⎜ lim a n ⎞⎟ = Ap ⎝ n→∞ ⎠ lim an

p an = p n → ∞ 6. nlim →∞

∀ p ∈ ℜ si Ap existe.

∀ p ∈ ℜ si pA existe.

= pA

Demostración: a n = A y lim bn = B entonces: 1. Si nlim →∞ n →∞

lim (an + bn ) =

n→∞

lim a n + lim bn = A + B

n→∞

n→∞

Debemos demostrar que ∀ ε > 0, podemos encontrar N > 0 tal que (a n + bn ) − ( A + B) < ε

a+b ≤ a + b

resulta:

a n − A + bn − B .

∀ n > N.

De la desigualdad con módulo

(a n + bn ) − ( A + B ) = (a n − A) + (bn − B ) ≤

Por hipótesis, dado ε > 0 podemos encontrar N1 y

N2 tal que: an − A <

1 ε 2

de la desigualdad:

∀ n > N1

y

bn − B <

(a n + bn ) − ( A + B) <

1 ε 2

∀ n > N2

1 1 ε + ε = ε 2 2

∀n>N

en que

se debe considerar a N como el mayor de N1 y N2

25

Teorema 2.

Toda sucesión convergente está acotada

a n = A, debemos demostrar que existe un número Demostración: Dado nlim →∞ positivo P tal que a n < P ∀ n > N.

an = an − A + A ≤ an − A + A

Por hipót., se sabe que podemos encontrar N tal que: Por desigualdad con módulo:

a −b ≥ a − b ⇒

an − A < ε

∀n>N

an < ε + A

∀n>N

Por lo tanto se cumple a n < P ∀ n > N si escogemos P como el mayor de los números: a1, a2, a3,......., an, ε + A .

TAREA: Demostrar los restantes.

Ejercicios:

1. Calcular los límites de las siguientes sucesiones aplicando los teoremas de límites: a)

d)

lim

n→∞

lim 3

n→∞

4 − 2n − 3n 2 2n 2 + n

(3 −

b)

n ) ( n + 2) 8n − 4

lim

3n 2 − 5n + 4

n→∞

e)

lim

n→∞

2n − 7

( n 2 + n − n) c) nlim →∞

4 .10 n − 3.10 2 n 3.10 n − 1 + 2 .10 2 n − 1

( 2 n + 3 n )1 / n f) nlim →∞

2. Aplicando la definición de límite de una sucesión, demuestre que: lim

n→∞

4 − 2n −2 = 3n + 2 3

26

LIMITE DE FUNCIONES.

Sea y = f(x) una función numérica. Decimos que L es el límite

Definición:

de esta función en x = a, con a ∈ ℜ, si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que, si 0 < x − a < δ entonces

f ( x) − L < ε , se expresa:

lim f ( x) = L

x→a

Y L+ε L

y = f(x)

L-ε

O

a-δ

a

a+δ

X

x2 − 1 Ejemplo: Si f(x) = x +1

ε

>

0

f ( x) = − 2 . Significa que dado entonces xlim → −1 queremos

que

f ( x) − L =

x 2 −1 − (−2) = x −1+ 2 = x − (−1) < ε x +1

27

DERIVADA DE UNA FUNCION

Definición:

Sea y = f(x) una función definida en todo punto x0 del

intervalo abierto (a, b). Se define la derivada de la función en el punto x = x0 al límite: lim = h→0

Si este límite existe.

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h

d dy f ( x) = ⎜ dx dx x = x0

Se denota como:

Interpretación Geométrica

Y

B Q

P

θ δ

S

f ( x0 + h ) – f ( x0 )

R

Δx = h

f(x0)

A

X x0

x0 + h

Sea la curva APQB la representación de la función y = f(x) de la figura, el cuociente

f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) QR = tg θ = PR Δx

es la pendiente de la secante

que une los puntos P y Q de la curva. Cuando Δx → 0 la secante se aproxima a la tangente a la curva en el punto P, es decir PS entonces: lim = x→0

f ( x0 + Δx ) SR = = tg δ Δx PR

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