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APUNTES II 4º ESO

Vectores: Vamos a distinguir dos tipos de magnitudes: •

Magnitudes escalares, son aquellas que quedan definidas por una sola cantidad que denominaremos valor del escalar. Ej: Si decimos que la masa de un cuerpo es de 3kg, definimos perfectamente la cantidad de masas de dicho cuerpo.

•

Magnitudes vectoriales, son aquellas que tienen un módulo, una dirección y un sentido. Ej: Si decimos que un avión tiene una velocidad de 30m/s, no sabemos su dirección ni su sentido, así que la información no es completa; lo sería si aclaramos, 30m/s en dirección N-S, y sentido Sur.

Es por esto, que para expresar magnitudes vectoriales correctamente necesitamos una nueva identidad matemática, que es el vector. Un vector es un segmento orientado en el plano o en espacio. En nuestro caso, nos centraremos en el plano bidimensional (2D) para el nivel que nos ocupa. Y nada mejor para representarlos gráficamente que un sistema de coordenadas cartesianas.

Por lo tanto, para representar un vector utilizaremos un segmento orientado, a modo de flecha, cuyo módulo será su longitud, su dirección, la línea recta sobre la que se asienta el segmento, y el sentido el que señala la punta de flecha.

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origen

extremo

Si desplazamos el punto origen hasta el origen de coordenadas, A=(0,0), el nuevo vector es semejante al inicial, ya que tiene el mismo módulo, dirección y sentido, y serán las coordenadas de B las que definan el vector.

A este vector se le llamará AB , se definirá con sus componentes, que serán los valores de su proyección horizontal y vertical, es decir, 3 y 2, de este modo
AB = (3,2) = 3i + 2 j . La primera forma de indicarlo, AB = (3,2) , es como coordenadas del extremo si el origen está en el (0,0).


La segunda forma, AB = 3i + 2 j , como la suma de dos vectores perpendiculares, uno de módulo 3 en sentido positivo de las X y el otro de

módulo 2 en sentido positivo del eje Y (los vectores i y j reciben el nombre de vectores unitarios, es decir, de módulo 1, el primero sobre el eje OX y el segundo sobre el eje OY).

Vemos así en este otro ejemplo:

=2 +

y

=- +

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Para calcular el módulo del vector AB = 3i + 2 j (su longitud), podemos usar el teorema de Pitágoras, ya que sabemos cuanto mide su proyección horizontal, 3, y la vertical, 2, (que serán los catetos), las cuales describen un triángulo rectángulo para el cual su hipotenusa es precisamente la longitud que buscamos, su módulo:

AB = 32 + 2 2 = 13 Otra forma de definirlos es con su módulo y el ángulo que forma con respecto a uno de los ejes.


Ej: V = 5 y formando un ángulo de 60º con el eje OX

Para poder calcular sus componentes a partir de esta información, debemos hacer una pequeña incursión en la trigonometría. Trigonometría: Supongamos que tenemos una circunferencia de radio R=1:

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Definiremos tres razones fundamentales para el triángulo rectángulo formado por el radio, que será la hipotenusa de valor 1, el cateto horizontal y el cateto vertical: Coseno del ángulo α:

OA OA = = OA hipotenusa 1

cos α =

Seno del ángulo α:

senα =

AP AP = = AP hipotenusa 1

Tangente del ángulo α:

tgα =

AP = BQ OA

Estas razones están tabuladas, para los distintos valores de α, y así podemos generalizar los valores de las componentes horizontal y vertical si la hipotenusa no vale 1, ya que serán triángulos semejantes y sólo habrá que multiplicar por las dimensiones de la nueva hipotenusa: 0º

30º

45º

sin

0

1 /2

√2/2 √3/2

cos

1

√3/2 √2/2

tag

0

√3/3

1

60º

90º 180º 270º 360º

1

0

-1

0

1/2

0

-1

0

1

√3

∞

0

-∞

0

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Y los signos de las razones según el cuadrante donde nos encontremos: sin cos tag 1º Cuadrante

+

+

+

2º Cuadrante

+

-

-

3º Cuadrante

-

-

4º Cuadrante

-

+

+ coseno

seno

-

tangente


Retomemos el ejemplo anterior: V = 5 y formando un ángulo de 60º con el eje

OX.

Vox = 5·cos 60º = 5·(1/2)= 2.5 V0y = 5·sen 60º = 5·(√3/2)= 4.33




V = ( 2.5,4.33) = 2.5i + 4.33 j

También podemos obtener el ángulo que forma un vector con la horizontal si nos dan sus componentes gracias a la tangente:

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Ej:


Sea el vector A = (3,−3) = 3i − 3 j ¿Cuál será el ángulo que forma este vector con el eje OX?

−3 tgα = = −1 3

Si miramos en la tabla antes presentada y los signos de las razones según los cuadrantes, el ángulo será -45º o lo que es lo mismo (360º-45º) = 315º, también podría ser 135º, pero como la componente y es negativa, debe estar por debajo del eje X.

Si el resultado de la tangente no estuviera en la tabla, podemos recurrir a la calculadora usando la tecla tan −1

, es decir calcular la arcotangente (arctg), el

ángulo cuya tangente nos da el número resultante del cociente.

Suma de vectores: Matemáticamente sólo tenemos que sumar por un lado las dos componentes horizontales y por el otro las dos verticales, el resultado será otro vector.
A=
B=
R=



Ax i + A y j

Bx i + B y j





A + B = ( Ax + B x )i + (Ay + B y ) j = R x i + R y j

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Gráficamente, debemos poner el origen de B en el extremo de A y el resultado


R será la unión del origen de A con el extremo de B .

Resta de vectores: Matemáticamente es similar que antes, sólo tenemos que restar por un lado las dos componentes horizontales y por el otro las dos verticales, el resultado será otro vector.
A=
B=
R=



Ax i + A y j

Bx i + B y j





A − B = ( Ax − B x )i + (Ay − B y ) j = R x i + R y j



Gráficamente, debemos poner el origen de B en el origen de A y el resultado


R será la unión de los extremos desde B hacia A .

Comparación de ambas operaciones:

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Producto de un vector por un escalar: El resultado será un nuevo vector con la misma dirección y sentido, de tamaño tantas veces más grande que el original, como indique el número por el que lo hemos multiplicado:

Producto escalar de dos vectores:







Si tenemos dos vectores u = u x i + u y j y v = v x i + v y j , el producto escalar de ambos será el producto de sus componentes horizontales más el producto de

sus componentes verticales, u ⋅ v = (u x ⋅ v x ) + (u y ⋅ v y ) , por lo tanto, el resultado será un escalar. También podemos calcularlo como el producto de ambos módulos y por el coseno del ángulo que forman entre ellos.





u ⋅ v = (u x ⋅ v x ) + (u y ⋅ v y ) = u ⋅ v ⋅ cos α

Esto nos puede permitir calcular el ángulo si conocemos sus componentes:

cos α =

(u x ⋅ v x ) + (u y ⋅ v y )

u ⋅v

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También podemos comprobar si dos vectores no nulos son perpendiculares, ya que dada la definición de producto escalar





u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α Si son perpendiculares, el ángulo que forman es de 90º y el coseno de 90º es 0, lo cual nos indica que son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es igual a cero.



u ⋅ v = (u x ⋅ v x ) + (u y ⋅ v y ) = 0

Obtención de un vector unitario en la misma dirección y sentido que un vector:







Se el vector u = u x i + u y j ; para calcular un vector unitario en la misma dirección y sentido que él, bastara dividir dicho vector por su módulo, es decir:





uunitario







uxi + u y j uxi + u y j uy ux = = = + i j
2 2 2 2 2 2 u ux + u y ux + u y ux + u y

Ejercicios ejemplo: 1) Calcular la suma de los vectores de la figura adjunta. Para sumar varios vectores hay que determinar las componentes cartesianas de cada vector y sumarlas. A = 10 i B = 12. cos 60 i + 12. sen 60 j = 6 i + 10'39 j C=-6i D = - 8. cos 40 i - 8. sen 40 j = - 6'13 i - 5'14 j E=-9j

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R = A + B + C + D + E = (10 + 6 - 6 - 6'13) i + (10'39 - 5'14 - 9) j = 3'87 i - 3'75 j | R | = (3'872 + 3'752)1/2 = 5'39 α= arc tg (- 3'75 / 3'87) = - 44'1 º = 315'9 º, cuarto cuadrante 2) Da dos l os ve c tor e s l os ve c tor e s

y

=(2 , k ) y

s ea n:

1 P e r pe ndi c ula r es . 2 P a ra l el os . 3 For m e n un á ngul o de 60 °. 1 P e rpe n d icu la re s .

2 P a ra le lo s .

= (3 , - 2 ), c a l c ula k pa r a que

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3 Fo rme n u n á n gu lo d e 6 0 °.

3 ) Ha l l a r un ve c t or uni ta r i o ve c tor : .

de l a m i s m a di re cc ión de l