MATEMÁTICA. Programa de Estudio. Octavo Año Básico

MATEMÁTICA Programa de Estudio Octavo Año Básico

Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación

MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN

DICIEMBRE 2009

INDICE

Presentación Características del programa de estudio I. Estructura y componentes II. Instrumentos curriculares III. Relación entre objetivos fundamentales, aprendizajes esperados y niveles de los mapas de progreso Fundamentos del programa de estudio I. Orientaciones didácticas para el programa de Matemática, 8º año básico II. Orientaciones para la evaluación en los programas de estudio. III. Oportunidades para el desarrollo de los objetivos fundamentales transversales en el programa Visión Global del Año Objetivos Fundamentales de 8º año básico Contenidos Mínimos Obligatorios Aprendizajes esperados por semestre y unidad: Cuadro sinóptico Semestre 1: Unidad 1: Números Unidad 2: Geometría Semestre 2: Unidad 1: Datos y Azar Unidad 2: Álgebra Orientaciones para planificar con el programa de estudio Anexos: Anexo 1: Objetivos Fundamentales por Semestre y Unidad. Anexo 2: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad. Anexo 3: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO). Bibliografía

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PRESENTACIÓN El presente programa de estudio ha sido diseñado con el propósito de apoyar a las profesoras y profesores en la realización de una enseñanza orientada al logro de los Objetivos Fundamentales definidos en la actualización curricular de Educación Básica y Media del año 20091. Los programas de estudio son un instrumento curricular que busca orientar el trabajo pedagógico que realizan los docentes, y se caracterizan por ser un material flexible y adaptable a los diferentes contextos educativos. Respecto a los programas anteriores del Ministerio de Educación, los presentes contienen algunas innovaciones que buscan responder a la opinión y sugerencias de los docentes, recogidas principalmente a través de estudios de seguimiento a la implementación curricular2: -

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Se organizan en semestres y en unidades dentro del semestre. Muestran la relación entre el programa y los demás instrumentos curriculares. Presentan un cuadro sinóptico de aprendizajes esperados, que permite tener una visión global de la organización propuesta para el año y de los aprendizajes a lograr. Desarrollan el enfoque didáctico y evaluativo del programa.

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Definen indicadores para los aprendizajes esperados de cada unidad, que precisan el alcance de estos y apoyan su evaluación. Proveen, para cada unidad, un ejemplo de experiencia de aprendizaje desarrollado en detalle. Proponen, para cada unidad, una tarea de evaluación que puede corresponder a una actividad completa o a un desafío que puede incluirse como ítem de una prueba, con sus respectivos criterios para evaluarlas. Promueven el uso de estos programas en relación a los mapas de progreso del aprendizaje3, considerando a estos últimos como un referente para describir el crecimiento o mejoramiento del aprendizaje. Ofrecen orientaciones generales para la planificación de la enseñanza y uso de estos programas de estudio.

Se espera que estos programas puedan facilitar, por una parte, la tarea de planificación y evaluación y, por otra, contribuir al desarrollo de prácticas pedagógicas más desafiantes y pertinentes para los alumnos y alumnas, en concordancia con el Marco para la Buena Enseñanza. Los profesores y las profesoras tendrán la responsabilidad y el reto de nutrir esta información inicial, complementándola, enriqueciéndola y adecuándola sobre la base de sus saberes pedagógicos y didácticos y, a sus propios contextos educativos. Estas adecuaciones deben considerar ciertas decisiones estratégicas para un efectivo trabajo pedagógico, como son: la selección de aquellas estrategias didácticas desafiantes, la definición de

Decretos Supremos 254 y 256 de 2009. Desde la implementación de la reforma curricular, el Ministerio ha realizado estudios de seguimiento con diversos propósitos. Entre ellos se pueden citar: estudio de cobertura curricular, estudio de uso de los programas y los textos escolares, estudio de evaluación de aula, estudio cualitativo a través de grupos focales para conocer la opinión de los docentes sobre los programas de segundo ciclo básico. Información disponible en: www.curriculum3 mineduc.cl Disponibles en www.curriculum-mineduc.cl Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009 2

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los procedimientos para realizar la evaluación de los aprendizajes y la comunicación de sus avances y resultados, la selección de los recursos didácticos, el uso de los textos escolares, la planificación concreta de los aprendizajes y actividades, entre otros muchos factores que contempla la operacionalización curricular y que se describen en el Marco recién señalado4. Se espera que este material contribuya a implementar los Objetivos Fundamentales, estimulando el trabajo cooperativo entre los docentes del establecimiento, fortaleciendo la observación y el análisis de los aprendizajes, y promoviendo una enseñanza desafiante y vinculada a las necesidades y fortalezas de los alumnos y alumnas. De este modo, se espera que los programas sean una invitación abierta y flexible para el trabajo individual y colectivo entre docentes, que contribuya a crear oportunidades de aprendizaje que permitan desarrollar al máximo las potencialidades de cada estudiante.

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El Marco para la Buena Enseñanza se encuentra disponible en http://www.docentemas.cl/documentos.php Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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CARACTERÍSTICAS DEL PROGRAMA DE ESTUDIO

I.

ESTRUCTURA Y COMPONENTES

Este programa, como todos los programas de estudio elaborados por el Ministerio de Educación, está articulado en torno a aprendizajes esperados. Los aprendizajes esperados son expectativas de logro que se estima son alcanzables en períodos de tiempo acotados (un semestre o una unidad) dentro de un año escolar. El conjunto de aprendizajes esperados de un año da cuenta de los Objetivos Fundamentales del nivel. Al igual que los programas anteriores, los nuevos programas de estudio proponen una organización didáctica del año escolar que se expresa en una secuencia pedagógica, aprendizajes esperados, y en orientaciones metodológicas y sugerencias de evaluación para apoyar la planificación de la enseñanza y el trabajo docente de aula. No obstante, presentan algunas innovaciones que se describen a continuación:

1. Capítulo de Fundamentos El programa incorpora un capítulo de fundamentos que expone su enfoque didáctico y evaluativo, y las oportunidades para trabajar los Objetivos Fundamentales Transversales, entregando orientaciones para realizar una enseñanza coherente con los propósitos formativos del sector y los Objetivos Fundamentales del nivel.

En este capítulo se desarrolla con detenimiento el enfoque evaluativo que es común a todos los programas de estudio, y se explica cómo estos se pueden articular con los mapas de progreso del aprendizaje. Estas orientaciones han sido elaboradas de acuerdo con el enfoque de evaluación para el aprendizaje, que considera que el proceso de evaluación es parte constitutiva de la enseñanza y una oportunidad para promover aprendizajes.

2. Organización del año Una novedad importante de estos programas es que se estructuran en semestres, para facilitar la articulación de esta propuesta con la organización del tiempo escolar. Cada semestre se organiza en unidades, que constituyen agrupaciones de aprendizajes en torno a un tema o habilidad que les da sentido, y que tienen una duración acotada, aproximadamente de un mes o mes y medio de tiempo. La secuencia que se propone entre semestres y unidades, ha sido diseñada considerando que los estudiantes avanzan gradualmente en su aprendizaje, y que durante el primer semestre deben abordarse aquellos conocimientos y habilidades que son la base para el logro de los aprendizajes propuestos en el segundo semestre. No obstante lo anterior, y de acuerdo con la naturaleza de las unidades que se proponen, cada docente puede realizar

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modificaciones a esta secuencia si lo considera pertinente. Para tener una visión global de la organización anual se presentan los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos para el nivel, y un cuadro sinóptico, que muestra los aprendizajes esperados del año distribuidos temporalmente en semestres y unidades. 3. Componentes de cada Unidad. Cada unidad se estructura según los siguientes componentes: a) Aprendizajes indicadores:

esperados

e

Cada unidad se organiza en torno a un conjunto de aprendizajes esperados relacionados entre si. Los aprendizajes esperados corresponden a aquellos conocimientos, habilidades y actitudes que se espera que cada estudiante logre durante dicho período de trabajo. Son el norte de la enseñanza y en base a ellos se desarrollan los demás componentes de la unidad.

estos programas ofrecen ejemplos de experiencias de aprendizaje. Estas constituyen situaciones pedagógicas que contemplan una o más etapas de realización, y que están diseñadas para conducir al logro de determinados aprendizajes esperados. Las experiencias de aprendizaje se organizan considerando actividades de inicio, desarrollo y cierre. Las experiencias sugeridas son ejemplos que orientan sobre cómo abordar determinados aprendizajes esperados. Contienen indicaciones al docente que orientan sobre el tratamiento de los contenidos para el logro de los aprendizajes, y muestran oportunidades para abordar los OFT y realizar una evaluación formativa durante la experiencia.

de

Se ha considerado importante que las experiencias de aprendizaje sean detalladas y con orientaciones claras para el desempeño en el aula. En vez de múltiples ideas de actividades, se ha privilegiado esta vez ofrecer unos pocos modelos, pero desarrollados de forma más completa, que sirvan como referencia para que cada docente elabore nuevas actividades que recojan su propia experiencia y sean adecuadas a su realidad. Por tal razón, es importante destacar que las experiencias de aprendizaje no abordan el total de aprendizajes esperados de la unidad, por el contrario para dar cuenta de todos los aprendizajes, el profesor o profesora debe diseñar sus propias actividades, adecuadas a su contexto educativo, su experiencia y los recursos con que cuenta.

A diferencia de los programas anteriores, que presentaban actividades genéricas y ejemplos de actividad,

Para la construcción de las experiencias de aprendizaje se han considerado los siguientes criterios, comunes para todos los sectores, y que los profesores

Para observar los aprendizajes esperados y precisar su alcance, para cada uno de ellos se han definido indicadores, que representan sus componentes constitutivos puntuales. Los indicadores se pueden utilizar de múltiples formas, como recurso para analizar los trabajos de los alumnos y alumnas y como guía para clarificar la extensión y profundidad de los aprendizajes esperados. b) Ejemplos de aprendizaje:

experiencias

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o profesoras pueden aplicar en la construcción de sus propios ejemplos: -

-

-

-

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Coherencia con los aprendizajes esperados de cada semestre, los objetivos fundamentales transversales, el enfoque curricular del sector y las orientaciones didácticas del programa. Énfasis en el desarrollo de habilidades cognitivas que exigen elaboración por parte del alumno o alumna, tales como: investigación, comunicación, resolución de problemas, análisis, interpretación y síntesis. Pertinencia con la edad e intereses de los alumnos y alumnas, y desafiantes en términos cognitivos. Variedad, en cuanto a metodología y recursos didácticos, considerando estrategias centradas en el estudiante y en el docente, trabajo individual y grupal, y recursos diversos que estén a disposición de la mayoría de los establecimientos del país (textos escolares, software, guías didácticas, Internet, etc.). Resguardo en cuanto a sesgo cultural, socioeconómico o de género.

Se busca que sirvan como modelo para que cada docente o equipo de trabajo diseñe nuevas actividades de evaluación. Para su construcción, se han considerado los siguientes criterios, comunes para todos los sectores, y que los docentes pueden aplicar en la construcción de sus propios ejemplos: -

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c) Sugerencias de evaluación: Luego de las experiencias de aprendizaje, se presentan sugerencias de evaluación que orientan sobre cómo observar el aprendizaje de los alumnos y alumnas. Son ejemplos específicos que tienen la forma de actividades, tareas o buenas preguntas que permitan poner en evidencia el logro de los aprendizajes. Al igual que en el caso de las experiencias de aprendizaje, las sugerencias de evaluación no son exhaustivas y no abordan todos los aprendizajes esperados de la unidad.

-

Coherencia con los aprendizajes esperados de cada semestre, los objetivos fundamentales transversales, el enfoque curricular del sector y las orientaciones didácticas del programa. Coherencia con el enfoque de evaluación para el aprendizaje. Variedad, permitiendo que los estudiantes expresen sus aprendizajes a través de distintos tipos de desempeños. Énfasis en habilidades cognitivas que exigen elaboración por parte del alumno o alumna. Énfasis en situaciones y preguntas que permitan a los estudiantes mostrar diversos niveles de desempeño. Interesantes y desafiantes para los alumnos y alumnas, considerando temáticas y estrategias pertinentes con la edad de los niños y niñas o jóvenes del nivel. Entrega de información individual aunque la tarea sea grupal. Resguardo en cuanto a sesgo cultural, socioeconómico o de género.

4. Anexos Para quienes se interesen por conocer la forma en que se han considerado los Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) de los Marcos Curriculares, en los anexos se incluyen tres cuadros: el

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primero muestra en qué semestre unidad se abordan los distintos OF; segundo muestra en qué semestre unidad se abordan los CMO;

y el y y,

finalmente, se presenta un cuadro que detalla para cada aprendizaje esperado los OF y CMO que lo originan.

ESQUEMA GRÁFICO DE LA ESTRUCTURA Y COMPONENTES DEL PROGRAMA

CAPÍTULO FUNDAMENTOS Indicadores Indicadores didácticas para el sector y nivel Orientaciones Orientaciones sobre la evaluación Oportunidades para trabajar los OFT VISIÓN GLOBAL DEL AÑO ESCOLAR Objetivos Fundamentales Contenidos Mínimos Obligatorios

Cuadro sinóptico con Aprendizajes esperados por semestre y unidad

SEMESTRE 1 Unidad 1

Aprendizajes Esperados

Ejemplos de Experiencias de Aprendizaje.

SEMESTRE 2 Unidad 2

Unidad 1

Unidad 2

Indicadores

Indicaciones al docente Oportunidades de Evaluación OFT

Ejemplos de tareas de evaluación ANEXOS y BIBLIOGRAFÍA

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II. INSTRUMENTOS CURRICULARES Los programas de estudio forman parte de un conjunto de instrumentos curriculares que el Ministerio de Educación pone a disposición de los docentes, directivos y sostenedores para apoyar la implementación del currículum. Los marcos curriculares de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios definen el aprendizaje que se espera que todos los alumnos y alumnas del país desarrollen a lo largo de su trayectoria escolar. Tienen un carácter obligatorio y son el referente en base al cual se construyen los planes de estudio, los programas de estudio, los mapas de progreso, los textos escolares y se elaboran las pruebas SIMCE. Los Planes de estudio definen la organización del tiempo de cada nivel escolar. Consignan las actividades curriculares que los alumnos y alumnas deben cursar y el tiempo semanal que se les dedica. Los Programas de estudio entregan una organización didáctica del año escolar para el logro de los Objetivos Fundamentales definidos en los marcos curriculares. En los programas de estudio del Ministerio de Educación se definen aprendizajes esperados, por semestre o por unidades, que corresponden a objetivos de aprendizajes acotados en el tiempo. Se ofrecen además, ejemplos de actividades de enseñanza y orientaciones metodológicas y de evaluación para apoyar el trabajo docente de aula. Estos ejemplos y orientaciones tienen un carácter flexible y general para que puedan adaptarse a las diversas

realidades de educacionales.

los

establecimientos

Los Mapas de Progreso describen el crecimiento típico de las competencias consideradas fundamentales en la formación de los estudiantes dentro de cada sector curricular, y constituyen un marco de referencia para observar y evaluar el aprendizaje promovido por el curriculum nacional. Los mapas describen en 7 niveles de progreso las competencias señaladas, en palabras y con ejemplos de desempeño y trabajos de alumnos y alumnas ilustrativos de cada nivel. Los Niveles de logro del SIMCE son descripciones de los desempeños que exhiben los alumnos y alumnas en los sectores curriculares evaluados por el SIMCE al final de cada ciclo escolar. Los niveles de logro se han construido en base a los desempeños efectivos de los alumnos y alumnas en la prueba, en relación a los Objetivos Fundamentales del marco curricular y las competencias descritas en los Mapas de Progreso. Los Textos Escolares desarrollan los Contenidos Mínimos Obligatorios definidos en los marcos curriculares para apoyar el trabajo de los alumnos y alumnas en el aula y fuera de ella, y les entregan explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación. Para los profesores y profesoras, los textos constituyen una propuesta metodológica para apoyar la implementación del currículum en el aula, y los orientan sobre la extensión y profundidad con que pueden ser abordados los contenidos del marco curricular.

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REFERENTES PARA LA EVALUACIÓN

APOYOS A LA IMPLEMENTACIÓN

CURRICULUM NACIONAL

INSTRUMENTOS CURRICULARES

Marcos Curriculares

Definen el aprendizaje que se espera que todos los alumnos y alumnas del país desarrollen a lo largo de su trayectoria escolar.

Planes de Estudio

Definen la organización del tiempo de cada nivel escolar.

Programas de estudio

Entregan una organización didáctica del año escolar para el logro de los Objetivos Fundamentales definidos en los marcos curriculares.

Mapas de progreso

Describen el crecimiento de las competencias consideradas fundamentales en la formación de los estudiantes y constituyen un marco de referencia para observar y evaluar el aprendizaje promovido por los marcos curriculares.

Textos escolares

Desarrollan los contenidos definidos en los marcos curriculares para apoyar el trabajo de los alumnos y alumnas en el aula y fuera de ella.

Niveles de logro

Describen los desempeños que exhiben los alumnos y alumnas en los sectores curriculares que al final de cada ciclo escolar evalúa el SIMCE

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III. RELACIÓN ENTRE OBJETIVOS FUNDAMENTALES, APRENDIZAJES ESPERADOS Y NIVELES DE LOS MAPAS DE PROGRESO

Una pregunta frecuente de las profesoras y los profesores es por la relación que existe entre los Objetivos Fundamentales de los marcos curriculares, los aprendizajes esperados e indicadores de los programas de estudio, y los niveles y ejemplos de desempeño de los mapas de progreso del aprendizaje. La respuesta es simple, se trata de descripciones del aprendizaje con distinto grado de detalle, y que tienen distintos usos que son complementarios. Los Objetivos Fundamentales (OF) corresponden a los conocimientos, habilidades y actitudes que se espera que los alumnos y alumnas aprendan año a año. Los OF van acompañados de Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO), que definen con mayor detalle los conocimientos, habilidades y actitudes que se debe enseñar para que los alumnos y alumnas puedan lograr los objetivos de aprendizaje. Aunque se sabe que no todos los alumnos y alumnas logran los objetivos de un año determinado, los OF ofrecen un organización que ordena el sistema escolar nacional. El mapa de progreso es la descripción más gruesa: en siete niveles, y en una página, describe la trayectoria de los estudiantes en los 12 años de escolaridad obligatoria en un ámbito o dominio relevante del sector. Se trata de un continuo que los estudiantes recorren a diferentes ritmos, y por ello, no corresponden exactamente a lo que todos los alumnos logran en un determinado grado escolar.

de progreso están asociados a una expectativa, que corresponde a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de Segundo Básico; el nivel 2 corresponde al término de Cuarto Básico, y así sucesivamente. El nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”, es decir, va más allá de la expectativa para Cuarto Medio, que describe el nivel 6 en cada mapa. Los mapas describen competencias, es decir desempeños de los alumnos y alumnas que articulan conocimientos, habilidades y actitudes. Los ejemplos de desempeño de los mapas ilustran el tipo de actividades que los alumnos y alumnas realizan cuando tienen logrado el nivel de aprendizaje o competencia descrita, son ejemplos que ayudan a visualizar la complejidad o exigencia del nivel. Son una selección no exhaustiva que podría incluir otras evidencias del aprendizaje. Como herramienta cotidiana orientan sobre la expectativa nacional y le ofrecen un marco global para conocer cómo crece el aprendizaje y observar el progreso de sus alumnos y alumnas5. Los mapas se han elaborado asumiendo que en un mismo curso los alumnos y alumnas muestran distintos niveles de logro, y que una pedagogía para ser

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En la página web del Ministerio de Educación se encuentra disponible el documento “Orientaciones para el uso de los Mapas de Progreso del Considerando la diversidad en el Aprendizaje” y otros materiales que buscan apoyar el trabajo con los mapas (http://www.curriculumcrecimiento del aprendizaje, los mapas mineduc.cl/ayuda/documentos/). Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación 11 Ministerio de Educación Diciembre 2009

efectiva, debe diversidad.

responder

a

esta

Los aprendizajes esperados de los programas de estudio son más puntuales. Corresponden a conocimientos, habilidades y actitudes que se logran en semestres y unidades acotadas en el tiempo. El conjunto de aprendizajes esperados de un año da cuenta de los Objetivos Fundamentales de los marcos curriculares.

Los indicadores de los aprendizajes esperados son sus elementos constitutivos. A diferencia de los ejemplos de desempeño de los mapas, pretenden ser exhaustivos, y se han elaborado para observar el logro del aprendizaje esperado que describen. Estas relaciones se ilustran en el cuadro que sigue:

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Marco Curricular

Objetivo Fundamental 8º Básico Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias, y utilizar las medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra de datos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan.

Programa de estudio

Semestre 1 Aprendizaje esperado 1 Aprendizaje esperado 2 Aprendizaje esperado 3 Aprendizaje esperado 4

Mapa de progreso de Datos y Azar Semestre 2

Aprendizaje esperado 1 Aprendizaje esperado 2 Aprendizaje esperado 3 Aprendizaje esperado 4

Aprendizaje esperado: Comprenden el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias.

Indicadores: • Establecen estrategias para escoger muestras, en forma aleatoria de un determinado tamaño, desde una población específica. • Utilizan un recurso tecnológico, por ejemplo una calculadora, para generar números aleatorios y usarlos para extraer una muestra desde una población específica. • Argumentan acerca de la importancia de extraer muestras en forma aleatoria para las conclusiones que se puedan realizar acerca de una población.

Nivel 7 Usa modelos probabilísticos para resolver… … Nivel 6 Produce información aplicando la distribución… Nivel 5 Organiza información a través de histogramas… … Nivel 4 Organiza datos en gráficos y tablas, reconociendo las aplicaciones, ventajas y desventajas de distintos tipos de representación. Extrae e interpreta información desde tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Comprende los conceptos de representatividad y aleatoriedad de una muestra y sus efectos en conclusiones e inferencias acerca de una población determinada. Comprende que a través del modelo de Laplace es posible predecir el valor de la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, sin realizar el experimento aleatorio. Resuelve problemas simples de probabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y también las frecuencias relativas. Nivel 3 Reconoce aquellas variables que aportan… Nivel 2 Organiza datos simples relativos a situaciones… Nivel 1 Organiza datos simples acerca de objetos…

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FUNDAMENTOS DEL PROGRAMA DE ESTUDIO

I.

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA EL PROGRAMA DE MATEMÁTICA, 8º AÑO BÁSICO

Organización curricular Los Programas de Matemática están organizados en cuatro unidades por nivel. Cada una de ellas atiende a los aprendizajes esperados de uno o más ejes del Marco Curricular. Cada una de las unidades presenta los aprendizajes esperados, un conjunto de indicadores para evaluar dichos aprendizajes y experiencias de aprendizaje diseñadas con el objeto de ejemplificar la forma en que se sugiere organizar las situaciones de aprendizaje. Este programa se complementa con los Mapas de Progreso del aprendizaje, otro instrumento que se recomienda tener presente, tanto al planificar el trabajo de aula como al evaluar el progreso de los alumnos y alumnas. A continuación se presenta una descripción de los cuatro ejes que conforman el currículum de matemática para los doce niveles de la educación básica y media. Los ejes del currículum: • Números. Este eje incluye los aprendizajes referidos a la cantidad y el número, las operaciones aritméticas, los diferentes sistemas numéricos y sus propiedades. Se organiza en torno a los diferentes ámbitos y sistemas numéricos. Avanza en completitud, abstracción y complejidad desde los números naturales hasta los números complejos, pasando por enteros, racionales y reales. Se busca que los alumnos y alumnas comprendan que cada uno de estos sistemas permite abordar un conjunto amplio de problemas y situaciones de la matemática. El pasaje de un sistema de números a otro se motiva a partir de los problemas que un sistema no logra resolver. De este modo, el desarrollo de los números acompaña, y encuentra sus motivaciones, en el desarrollo de las operaciones: la operación inversa a la suma motiva el cero y los negativos; el cuociente y la medición, los racionales; la extracción de raíz, motiva los irracionales y los reales y los números complejos. Así, se relacionan números, operaciones y campos de aplicación de la matemática, permitiendo avanzar en el sentido de la cantidad, en el razonamiento matemático y precisar la forma en que la matemática contribuye a la descripción y comprensión de la realidad. • Álgebra. Este eje introduce al alumno y alumna en el uso de símbolos constituyéndose como un lenguaje formal con el cual se pueden desarrollar la abstracción y la generalización. El uso de símbolos y la generalización se desarrolla de manera continua y se inicia con la incorporación de los primeros números. La representación de los números y la notación decimal son pasos importantes en el desarrollo de la abstracción. Las operaciones son procedimientos generales, independientes de los números particulares sobre las que actúan. A partir del quinto nivel se introducen en forma explícita nociones del álgebra mediante la expresión de relaciones generales y abstractas de la aritmética y la medición. “El orden de los factores no altera el producto”, “qué número sumado con n tiene como resultado m”, Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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son situaciones que permiten poner en contacto con el lenguaje algebraico a cada estudiante desde los primeros niveles del currículo escolar. El álgebra provee de un lenguaje a la matemática, por ende, contribuye a, y se nutre del desarrollo de los ejes de números, geometría y datos y azar. Este eje introduce, también, la noción de función y el estudio de algunas de ellas en particular. • Geometría. Este eje se orienta en los primeros niveles, a la comprensión del espacio, al desarrollo de la imaginación espacial, y al conocimiento de objetos geométricos básicos y algunas de sus propiedades. En particular propone relacionar formas geométricas en dos y tres dimensiones, la construcción de figuras y de transformaciones de figuras. Se introduce también, en los primeros niveles, la noción de medición en figuras planas. La geometría avanza, también, en proponer diferentes tratamientos del espacio y la medición. En efecto, el estudio de la geometría se inicia en primer ciclo básico con una representación euclidiana del espacio, para introducir, en el segundo ciclo, la noción de posición e iniciar a los alumnos y alumnas en la geometría cartesiana. En enseñanza media se introducen nociones y procedimientos de la geometría vectorial y de trasformaciones. A lo largo de toda la trayectoria escolar, el eje se relaciona con el de números, a partir de la medición y la representación en el plano cartesiano de puntos y figuras, y con los ejes de álgebra y datos y azar, a partir del uso de fórmulas y la representación gráfica de funciones y de distribución de datos. Progresivamente se introduce el concepto de demostración, a partir de los argumentos que pueden justificar construcciones o relaciones. • Datos y Azar. Este eje introduce el tratamiento de datos y modelos para el razonamiento en situaciones de in certeza. El tratamiento de datos estadísticos se inicia en primero básico y el estudio del azar comienza en quinto año. El eje incluye los conocimientos y las capacidades para recolectar, organizar, representar y analizar datos, el desarrollo de modelos para realizar inferencias a partir de información muestral en variados contextos, y la capacidad de interpretar situaciones en las que interviene el azar. Desde la Educación Básica, se busca desarrollar habilidades de lectura, análisis crítico e interpretación de información presentada en tablas y gráficos. A su vez, se intenciona la habilidad para recolectar, organizar, extraer conclusiones y presentar información. Son también temas de estudio algunos conceptos básicos que permiten analizar y describir procesos aleatorios, así como cuantificar la probabilidad de ocurrencia de eventos equiprobables. En Educación Media, el estudio de Datos y Azar se propone desarrollar conceptos y técnicas propias de la estadística y la teoría de probabilidades que permitan realizar inferencias a partir de información de naturaleza estadística, y distinguir entre los fenómenos aleatorios y los deterministas. El razonamiento matemático es un aspecto central, que se aborda transversalmente en los cuatro ejes curriculares del sector. Resolver problemas, representar y modelar situaciones diversas, formular y verificar conjeturas, y verificar la validez de procedimientos y relaciones, está en el núcleo de los aprendizajes esperados y, por tanto, debe ser intencionado en el diseño pedagógico. Por tal razón, se sugiere organizar las experiencias de aprendizaje en torno a problemas, modelamiento de situaciones o proposición y exploración de relaciones, que desafíen a los y las estudiantes a buscar distintas estrategias, interpretar y comunicar Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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procedimientos y resultados, así como verificar, argumentar o demostrar cuando corresponda. Respecto al lenguaje matemático, cabe señalar que el lenguaje de conjuntos se utiliza sólo en aquellos casos en que su aporte es pertinente o necesario. Se promueve su uso como una eficaz y precisa herramienta para comunicar tanto ideas como conceptos matemáticos, en tanto sea de utilidad para el logro de algún Objetivo Fundamental. En este sentido, es importante precisar que, de manera coherente con el marco curricular, el programa de estudio no prescribe aprendizajes esperados relacionados con teoría de conjuntos, sino que solo incorpora el aprendizaje de símbolos y conceptos pertenecientes al lenguaje conjuntista que permiten ampliar el vocabulario matemático de los alumnos y alumnas. Orientaciones y recomendaciones didácticas Este sector está concebido como una oportunidad para que los alumnos y alumnas desarrollen aprendizajes para la vida, ya que la Matemática constituye un área de la cultura poderosa en la comprensión, explicación y predicción de situaciones y fenómenos. Nociones como número, forma, probabilidades, entre otras, se introducen para el modelamiento y el análisis de esas situaciones y fenómenos. El papel que desempeña el conocimiento y el razonamiento matemático en el desarrollo del pensamiento y las capacidades del ser humano para interactuar de un modo consciente con su entorno, es una componente importante del rol que juega la matemática en el currículum escolar. De este modo de pensar se derivan algunas de las orientaciones que articulan los programas de estudio: a. El uso del contexto. Es importante que la matemática sea presentada como una disciplina culturalmente situada, con historia, con impacto en otras áreas del conocimiento científico o tecnológico, con consecuencias y aplicaciones. La pregunta acerca del origen de los modelos matemáticos y su ubicación histórica en el desarrollo del pensamiento de la humanidad, son anclas importantes del conocimiento que proponemos a nuestros alumnos y alumnas. El uso de metáforas y representaciones cercanas a los y las estudiantes, son un recurso didáctico altamente recomendado, especialmente en las etapas de exploración. A su vez, se sugiere el uso de las aplicaciones de la matemática a otras áreas del conocimiento y en la vida diaria, como un apoyo en la construcción del conocimiento matemático. Este enfoque puede ser complementado con el necesario regreso o acceso al contexto matemático, enfatizando el poder de la generalización y la importancia de los modelos abstractos: la Matemática tiene muchas aplicaciones, precisamente, por su abstracción e independencia de situaciones concretas.

b. Un conocimiento integrado. Los programas de estudio son una invitación a la construcción de un “árbol de conocimiento” integrado y con conexiones múltiples en cada uno de los y las estudiantes. Frente a cada nuevo objetivo o aprendizaje esperado es posible preguntarse: ¿desde dónde venimos?, ¿para dónde vamos?, ¿cómo se aplica?, ¿con qué se relaciona?, etc. A más conectado, mayores son las probabilidades de que ese conocimiento, modelo o procedimiento esté disponible en el momento que la vida del que aprende lo requiera.

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Se puede pensar que el aprendizaje esperado es el centro desde el cuál se pueden mirar el resto de los aprendizajes matemáticos de cada estudiante. Desde allí, hay un antes, un después y múltiples conexiones. El currículum ha sido elaborado considerando que en cada eje el aprendizaje progresa desde lo más simple a lo más complejo, y que los entendimientos y habilidades desarrolladas en un nivel son la base y requisito para lo que los alumnos y alumnas aprenderán en el nivel siguiente. De este modo, el docente puede mirar el antes y el después y generar situaciones de aprendizaje que – con centro en lo que se busca ofrecer al estudiante – actualizan conocimientos anteriores y anticipan formas y oportunidades posteriores. La integración de los aprendizajes matemáticos también se expresa en las articulaciones y relaciones que el o la docente puede establecer entre aprendizajes de distintos ejes curriculares, y en las aplicaciones a situaciones o fenómenos provenientes de otros sectores de aprendizaje. c. Razonamiento matemático y resolución de problemas. La matemática se construye a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas. Esta propuesta curricular enfatiza el razonamiento por sobre la acción mecánica. Se recomienda hacer uso frecuente de preguntas y situaciones que inviten a buscar regularidades, a analizar los procedimientos por medio de los cuales se resuelve un problema, a justificar y cuando sea adecuado, de acuerdo con el nivel e interés de los estudiantes, demostrar las proposiciones y modelos matemáticos. No es la resolución de largas listas de problemas, que se pueden resolver utilizando un procedimiento entregado en clases, lo que se valora como aprendizaje del sector. Por el contrario, es central generar situaciones donde se requiera desarrollar la noción de estrategia, hacerlas explícitas, comparar diversas formas de abordar problemas, así como generar situaciones en las que sea natural que los y las estudiantes formulen y verifiquen conjeturas acerca del comportamiento de los elementos y relaciones con que se trabaja. Desde este punto de vista, la argumentación, la comunicación de resultados y relaciones, la demostración y la búsqueda de patrones, son situaciones que favorecen la reflexión y el razonamiento matemático. La dimensión modelamiento de la matemática ofrece múltiples oportunidades para comprender el sentido de las relaciones y conceptos que se propone al estudiante. La física, la economía, la administración, entre otras disciplinas, hacen uso abundante de modelos matemáticos. Estos modelos pueden servir, tanto de contexto para las relaciones de la matemática como de situaciones en las que se puede aplicar el conocimiento matemático en elaboración. d. Uso del error. Asociado a un ambiente de búsqueda y de creación, está el uso adecuado del error. Desde este punto de vista, un error es una oportunidad magnífica para poner en la situación de aprendizaje una relación posible entre lo que se busca enseñar y el estado del conocimiento del aprendiz. En un clima de construcción, un error puede, en manos de un educador, ser una oportunidad para aprendizajes especialmente significativos. e. Aprendizaje matemático y desarrollo personal. La clase de matemática ofrece abundantes oportunidades para el auto conocimiento y las interacciones sociales. Es una oportunidad para la meta cognición: ¿cómo lo hice?, ¿cómo lo hicieron?, ¿de qué otra manera es posible? Adicionalmente, el concepto que cada uno de nosotros tiene acerca de su capacidad para aprender y hacer matemática se ha construido a través de la retroalimentación que la experiencia nos ha brindado. En este aspecto, el reconocimiento, tanto de los esfuerzos como de los logros, es un instrumento poderoso en manos del educador o la educadora. A su vez, la valoración de las diferencias, la Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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aceptación de los logros o acciones de los pares, un clima de confianza y la forma que cada uno enfrenta las situaciones de éxito o fracaso, tanto propias como las de los demás, contribuyen a desarrollar en cada alumno o alumna la confianza en sí mismos. De este modo, la clase de matemática puede ser una oportunidad para la formación de los niños, niñas y jóvenes. f. Tecnologías digitales y aprendizaje matemático. El programa propone el uso de software y ambientes creados con tecnologías digitales para ampliar las oportunidades de aprendizaje de los alumnos y alumnas. Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a través de modelos en los que es posible experimentar con ideas matemáticas, y crear situaciones en las que los alumnos y alumnas pueden explorar las características, límites y posibilidades de conceptos, relaciones o procedimientos matemáticos. Los procesadores geométricos, simbólicos y de estadística son laboratorios para explorar relaciones y ponerlas a prueba. Con un procesador simbólico, grandes números o números muy pequeños pueden ser analizados y dotados de sentido, y se puede estudiar el comportamiento de funciones, incluso de alta complejidad. Internet ofrece múltiples ambientes en los que se puede encontrar representaciones dinámicas de una gran cantidad de objetos matemáticos. Los procesadores geométricos, en tanto, permiten la experimentación con nociones y relaciones, sea de la geometría euclidiana, cartesiana o vectorial. Todo esto, en un espacio de alto interés para los niños, niñas y jóvenes, y de alto impacto en cuanto a su formación para una vida cada vez más influida por las tecnologías digitales. g. Clima de la situación de aprendizaje. Apartarse de un modelo de enseñanza frontal y preferentemente expositiva donde el profesor o profesora es quien expone los conocimientos y el estudiante los escucha pasivamente y acercarse a situaciones de alta interactividad entre docentes y estudiantes, entre alumnos y alumnas y entre cada estudiante y el conocimiento que se le propone, exige un clima caracterizado por la confianza y el desafío. Tanto la comunicación de resultados, la formulación de conjeturas, la comunicación de procesos, logros y dudas, supone ese clima y, a la vez, es un ambiente en que los resultados del aprendizaje tienden a ser valorados por los que aprenden y a ser percibidos como aprendizajes significativos y con impacto en las vidas individuales. h. Motivaciones intrínsecas. Muy relacionado con lo anterior, está el tema de las razones por las que estudiamos. Las motivaciones extrínsecas pueden mostrar cierta efectividad en el corto plazo, pero no tienen consecuencias profundas y duraderas. Aprender por temor a la mala nota o al castigo, apunta al miedo a la matemática que luego inhibe la continuación de aprendizajes en esa línea. “Aprender para la prueba” hace que el conocimiento sea desechable una vez que haya cumplido su propósito. A la inversa, el aprendizaje con base en la curiosidad y la búsqueda interna y personalmente conducida, tiende a lograr aprendizajes con mayor permanencia, conectados con un mayor número de situaciones o señales que luego permiten su recuperación y disponibilidad en diversas situaciones en las que puede ser útil. Por último, la enseñanza de la matemática es una invitación a la innovación, a la búsqueda de formas efectivas de interesar a los alumnos y alumnas y detonar en ellos la energía que el aprendizaje requiere. Una matemática para la vida, con historia y consecuencias, el razonamiento matemático, la comprensión de los procesos por medio de los cuales operamos y razonamos, la meta cognición, el complemento de un ambiente en el que las tecnologías digitales amplían las oportunidades, las Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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representaciones que apelan al interés de los y las estudiantes, y la búsqueda de motivaciones intrínsecas, invitan a formas de enseñanza que se apartan de la clase eminentemente expositiva, para abrir espacio a la exploración y la conjetura, pasando de motivaciones centradas en la prueba y en la calificación a situaciones que atraen la atención de niños, niñas y adolescentes. En síntesis, a prácticas de aula generadoras y centradas en el aprendizaje significativo de todos los alumnos y alumnas.

El programa de 8º año básico. En este nivel, en la unidad de números se amplía el tratamiento de los números enteros introduciendo la multiplicación y división de éstos. Se propone además, procedimientos para trabajar con productos y cuocientes de potencias de base entera y exponente natural. En álgebra se introduce la noción de función, de variables independientes y dependientes, así como los conceptos de dominio, recorrido, imagen y pre-imagen. En particular, se propone el reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad tanto directa como inversa, y la comparación con variables cuya relación no es proporcional. En el tratamiento de la geometría se trabaja con transformaciones rígidas en el plano, incluyendo la construcción de teselaciones regulares y semi-regulares. Se usa la noción de lugar geométrico para definir la circunferencia y se introduce el número π, que luego se usará para los cálculos de perímetro de la circunferencia, área del círculo y el área y volumen de cuerpos. En datos y azar, se introduce el análisis de información mediante el uso y la interpretación de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. Se trabaja con medias aritméticas y moda de algunas distribuciones y se propone el uso combinado de esas representaciones con situaciones en las que es posible conjeturar acerca de medidas de tendencia central de una población a partir de datos de una muestra. La noción de probabilidad se expresa mediante el modelo de Laplace y se aplica a situaciones experimentales simples. Como en otros niveles, se enfatiza el uso de situaciones contextuales significativas para los conceptos, modelos y procedimientos tratados. También se enfatiza la integración entre lo tratado en cada eje con los aprendizajes provenientes de los otros ejes, de modo de generar aprendizajes integrados. El uso de tecnologías digitales es, nuevamente, ampliamente recomendado, ya sea en la representación de datos en gráficas, el estudio de funciones o en la generación de construcciones geométricas, incluidas teselaciones y transformaciones en el plano.

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II.

ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN EN LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO.

Un supuesto de los programas de estudio elaborados por el Ministerio de Educación es que una evaluación que ayuda a mejorar el aprendizaje es un proceso planificado y articulado con la enseñanza, que ayuda a profesoras y profesores a reconocer qué han aprendido sus estudiantes, conocer sus fortalezas y debilidades y a partir de esto retroalimentar la enseñanza y el proceso de aprendizaje de los alumnos y alumnas. La información que proporcionan las evaluaciones, es útil para que los y las docentes en forma individual y en conjunto reflexionen sobre sus estrategias de enseñanza, identificando aquéllas que han resultado eficaces, las que puedan necesitar algunos ajustes y aquéllas que requieren de más trabajo con los alumnos y alumnas. Este programa de estudio cuenta con indicaciones para la evaluación que se señalan en el desarrollo de las experiencias de aprendizajes, además en cada unidad se ofrecen sugerencias para evaluar los aprendizajes de los alumnos y alumnas en situaciones y contextos desafiantes y variados. Ellas buscan orientar una práctica evaluativa coherente con los aprendizajes del currículum. Las sugerencias de evaluación que se incluyen en este programa no agotan las estrategias ni las oportunidades que cada profesor, profesora o equipo de docentes pueden utilizar para evaluar y calificar el desempeño de sus alumnos y alumnas. Por el contrario éstas deben ser complementadas con otras tareas y actividades de evaluación para obtener una visión completa y detallada del aprendizaje de sus estudiantes. De este modo, los docentes pueden recoger información relevante para observar el logro de aprendizaje de sus alumnos y alumnas durante el desarrollo de cada una de las unidades o semestres. A continuación se explica brevemente la lógica con que están construidas estas sugerencias y se dan orientaciones para su uso.

1) ¿Qué se evalúa en las tareas y actividades de evaluación que propone este programa? Las tareas y actividades incluidas en el programa contribuyen a evaluar el desarrollo de determinados aprendizajes esperados de cada unidad o semestre. Y de este modo, observar el logro de los Objetivos Fundamentales definidos en el marco curricular para este nivel. Más que ayudar a evaluar si los y las estudiantes conocen algunos conceptos puntuales o saben utilizar determinados procedimientos específicos de forma aislada, proponen desafíos que requieren integrar conocimientos y habilidades establecidos en los aprendizajes esperados, en situaciones significativas para los y las estudiantes, a fin de lograr los propósitos formativos del sector. Para evaluar el logro de los aprendizajes esperados las tareas señalan los indicadores que se recomienda utilizar para analizar los desempeños de los alumnos y alumnas y construir el juicio evaluativo. Estos indicadores se pueden utilizar integrados en listas de Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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cotejo, rúbricas, como criterios de una pauta de observación o como criterios para asignar puntajes totales o parciales. 2) ¿Qué características tienen las tareas y actividades de evaluación en este programa? Las tareas y actividades de evaluación que se presentan en este programa han sido elaboradas considerando los siguientes elementos como base: •

Ofrecen estímulos variados, como por ejemplo preguntas, desafíos o ítems, que en sí mismos, pueden constituirse en un escenario o instrumento de evaluación o integrarse a uno mayor complementado con otros estímulos.

•

El conjunto de tareas y sugerencias de evaluación busca ilustrar una variedad de estímulos y situaciones oportunas para que los alumnos y alumnas se desempeñen y puedan dejar evidencias del logro de los aprendizajes esperados.

•

Se desarrollan en situaciones que desafían a los estudiantes a poner en juego sus aprendizajes en forma integrada en contextos cotidianos potencialmente significativos.

•

Presentan situaciones abiertas y que pueden ser resueltas de distintas maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes puedan resolverlas evidenciando sus distintos niveles de aprendizaje.

•

Las tareas ofrecen orientaciones para analizar el desempeño de los alumnos y alumnas, utilizando los indicadores que dan cuenta del aprendizaje esperado que está siendo evaluado. El conjunto de tareas presenta diferentes formas de utilizar los indicadores, tales como listas de cotejo, rúbricas, y pautas de observación.

•

Buscan ser eficientes en el sentido de entregar información relevante y abundante a partir de un estímulo sencillo.

•

Son realizables en cualquier lugar del país y no involucran mayores costos de materiales y tiempo, buscando su mayor utilidad.

Debido a que cada docente utiliza distintas estrategias y frecuencias para evaluar y calificar el desempeño de sus estudiantes, se recomienda que tengan en cuenta las consideraciones anteriores al elaborar otras tareas que complementen las que se presentan en este programa de estudio. 3)

¿Cómo aprovechar mejor las tareas y actividades de evaluación que se proponen en el programa?

Las sugerencias para la evaluación y las tareas que se presentan en el programa, adquieren su mayor potencial si los profesores y las profesoras tienen las siguientes consideraciones en su uso: Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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-

Informar a alumnos y alumnas sobre los aprendizajes que se evaluarán. Compartir con los alumnos y alumnas las expectativas de aprendizaje y los indicadores de evaluación que se aplicarán, favorece su logro, ya que así tienen claro que se espera de ellos y ellas.

-

Analizar los desempeños de sus alumnos y alumnas para fundar juicios evaluativos y retroalimentar la práctica pedagógica. Un análisis riguroso de los trabajos de los y las estudiantes en términos de sus fortalezas y debilidades, individuales y colectivas, ayuda a elaborar un juicio evaluativo más contundente sobre el aprendizaje de su grupo curso. El análisis de esta información es una oportunidad para la reflexión docente sobre las estrategias utilizadas en el proceso de enseñanza, y para tomar decisiones pedagógicas dirigidas a mejorar resultados durante el desarrollo de una unidad, de un semestre o al finalizar el año escolar y planificar el siguiente.

-

Retroalimentar a sus alumnos y alumnas sobre sus fortalezas y debilidades. La información que arrojan las evaluaciones es una oportunidad para involucrar a los alumnos y alumnas con sus aprendizajes y analizar sus estrategias de aprendizaje. Compartir esta información con los y las estudiantes en forma individual o grupal, es una ocasión para consolidar aprendizajes y orientarlos acerca de los pasos que deben seguir para avanzar. Este proceso reflexivo y metacognitivo de los alumnos y alumnas puede fortalecerse si se acompaña de procedimientos de autoevaluación y coevaluación, que los impulsen a revisar sus logros, identificando sus fortalezas y debilidades y revisando sus estrategias de aprendizaje.

-

Construir nuevas tareas que complementen las que aquí se presentan, de modo que se articulen con la propuesta pedagógica de los programas de estudio, sin dejar de lado las necesidades particulares de su curso. Utilizar otros instrumentos para evaluar, tales como pruebas escritas, guías de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas conceptuales, informes de laboratorio, investigaciones, entre otros, ayudará a que los alumnos y alumnas cuenten con más oportunidades para que evidencien lo que han aprendido; y a que los y las docentes cuenten con mayor evidencia para inferir el logro de los aprendizajes esperados de cada unidad.

-

Planificar las evaluaciones. Para que la evaluación apoye el aprendizaje, es necesario contar con un plan que se diseñe en forma integrada con la planificación de la enseñanza. En este plan se debe especificar los procedimientos más pertinentes y las oportunidades en que se recolectará la información respecto al logro de los aprendizajes esperados, determinando las tareas que necesita construir y el mejor momento para aplicarlas para retroalimentar el proceso de aprendizaje.

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Analizar en el tiempo el mejoramiento del aprendizaje. Para observar los avances en el aprendizaje de los alumnos y alumnas y analizar comparativamente sus trabajos a través del tiempo, es necesario contar con criterios de evaluación estables que se refieran a los aspectos o dimensiones permanentes del aprendizaje del sector. Estos criterios pueden ser extraídos de los ejes y dimensiones descritos en los mapas de progreso del aprendizaje.

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4) ¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del Aprendizaje con la propuesta de evaluación de los programas de estudio? Tanto la propuesta de evaluación de los programas de estudio como los Mapas de Progreso6 apuntan a hacer de la evaluación una instancia que ayude a lograr mejores aprendizajes, dando orientaciones sobre qué conocimientos, habilidades y actitudes son relevantes de evaluar y cómo observarlos en el desempeño de los y las estudiantes. Los Mapas de Progreso ponen a disposición de profesoras y profesores y de las escuelas de todo el país, un mismo referente para evaluar el logro de aprendizajes de los alumnos y alumnas, ubicándolos en un continuo de progreso. Para esto los mapas describen el desarrollo de las competencias propias de cada sector de aprendizaje a lo largo de toda la trayectoria escolar. Los Mapas de Progreso orientan la evaluación, acorde a la propuesta de los programas de estudio, en tanto permiten: •

•

•

•

•

• •

Reconocer aquellos aspectos y dimensiones que son esenciales de evaluar e ir observando en el tiempo, los que están señalados en las introducciones de cada mapa de progreso del sector. Clarificar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripción de cada nivel, sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta expectativa. Contextualizar en una trayectoria formativa los aprendizajes esperados del programa de estudio, asociándolos y ubicándolos en relación a los niveles descritos en los mapas de progreso. Observar el desarrollo, progresión o crecimiento de las competencias de un alumno o alumna, al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa. Analizar las fortalezas y debilidades de los logros de los alumnos y alumnas, en relación a la expectativa nacional descrita en los niveles de los mapas de progreso. Analizar la situación global del curso y la diversidad de logros, en relación a la expectativa nacional descrita en los niveles de los mapas de progreso. Contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno y alumna evidenciar sus aprendizajes.

Cada profesor y profesora posee estrategias para evaluar y calificar el trabajo de sus estudiantes de acuerdo con las necesidades de cada curso y de su establecimiento. Por esto, las tareas y sugerencias de evaluación que presenta este programa, en conjunto con los Mapas de Progreso, ayudan a la apropiación de los principios que posee una evaluación orientada a mejorar el aprendizaje. Estas sugerencias tomarán más sentido para cada profesor o profesora al trabajar con sus estudiantes las actividades sugeridas en el programa de estudio y en tanto conozcan y usen los Mapas de Progreso del Aprendizaje.

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Para ver los Mapas de Progreso de cada sector puede visitar la página web http://www.curriculummineduc.cl/ Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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III.

OPORTUNIDADES PARA EL DESARROLLO DE LOS OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES EN EL PROGRAMA

LOS OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES (OFT) definen finalidades generales de la educación referidas al desarrollo personal y la formación ética e intelectual de alumnos y alumnas, y son un componente principal de la formación integral que promueve el currículum nacional. Tal como señalan los marcos curriculares, los OFT “tienen un carácter comprensivo y general orientado al desarrollo personal, y a la conducta moral y social de los alumnos y alumnas, y deben perseguirse en las actividades educativas realizadas durante el proceso de la Educación General Básica y Media” (2009, p.20). El marco curricular establece 5 ámbitos distintos de Objetivos Fundamentales Transversales: o o o o o

Crecimiento y autoafirmación personal Desarrollo del pensamiento Formación ética La persona y su entorno Tecnologías de Información y Comunicación

Para el desarrollo y promoción de los OFT se pueden distinguir dos grandes modalidades de implementación, ambas relevantes para la formación de los estudiantes, y ambas complementarias entre sí. Por una parte, el desarrollo y promoción de los OFT tiene lugar a partir de las dinámicas que “acompañan” y que ocurren de manera paralela al trabajo orientado al logro de los aprendizajes propios de los sectores curriculares. Por medio del ejemplo cotidiano, las normas de convivencia, la promoción de hábitos, entre otros se comunica y enseña a los alumnos y alumnas, implícita o explícitamente, formas de relacionarse con otros y con el entorno, a valorarse a sí mismos, a actuar frente a los conflictos, a relacionarse con el conocimiento y el aprendizaje, entre otros tantos conocimientos, habilidades, valores y comportamientos. Por otra parte, existen algunos OFT que se relacionan directamente con los aprendizajes propios del sector y se desarrollan de manera conjunta con el despliegue de los objetivos de aprendizaje y contenidos de un sector curricular. Tal es el caso, por ejemplo, de aquellos OFT relacionados con las habilidades de análisis, interpretación y síntesis de información, con la protección del entorno natural, la valoración de la historia y las tradiciones, la valoración de la diversidad, el uso de tecnologías de la información y comunicación, que forman parte constitutiva de los aprendizajes esperados de distintos sectores de aprendizaje. Esta condición de los transversales se entiende bajo el concepto de integración. Esto implica que los OFT y los aprendizajes esperados del sector no constituyen dos líneas de desarrollo paralelas, sino que suponen un desarrollo conjunto, retroalimentándose o potenciándose mutuamente. Por una parte, los aprendizajes propios del sector constituyen en sí mismos un antecedente importante y pertinente para el desarrollo de los OFT. Por otra parte, los OFT forman parte integral de los aprendizajes del sector. Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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1. ¿Cómo se integran los OFT en los programas de estudio? Si bien las dos modalidades arriba señaladas son importantes para el desarrollo de los estudiantes, en los programas de estudio se han destacado aquellos aspectos de los OFT que presentan una relación más directa con cada sector en particular. Se ha buscado presentar de manera explícita la relación entre los aprendizajes del sector, las estrategias de enseñanza y los objetivos transversales, con la finalidad de hacer visibles las distintas instancias en las que los OFT están implicados, y en consecuencia, visualizar la multiplicad de posibilidades para su desarrollo. Es necesario remarcar que la alusión a los OFT que se hace en los programas en ningún caso pretende agotar las distintas oportunidades o líneas de trabajo que cada docente y cada establecimiento desarrolla en función de estos objetivos. Junto con esto, resulta necesario señalar que los OFT que se mencionan explícitamente en este programa de ningún modo deben entenderse como los únicos que pueden ser pertinentes al momento de trabajar en este sector. Cada docente y cada establecimiento puede considerar otros objetivos en función de su proyecto educativo, del entorno social en el que éste se inserta, las características de los estudiantes, entre otros antecedentes relevantes que merezcan ser tomados en consideración. La presencia de los OFT en los programas de estudio se expresa en: -

-

Los Aprendizajes Esperados e indicadores de cada unidad, que incluyen aprendizajes relacionados con el desarrollo de los OFT. Estos aprendizajes aparecen destacados en el cuadro sinóptico del año y en los cuadros de aprendizajes e indicadores de cada unidad. Las experiencias de aprendizaje que se presentan para cada unidad o semestre. En el desarrollo de cada una de estas experiencias se señalan oportunidades para desarrollar los OFT. Por medio de esto se busca visibilizar que la promoción de los OFT puede estar directamente ligada al trabajo orientado a lograr los Aprendizajes Esperados del sector, y las diversas oportunidades que el programa ofrece para desarrollarlos.

2. ¿Cómo se evalúan los OFT? En tanto los OFT constituyen objetivos fundamentales definidos en el currículum nacional, el logro de los mismos debería ser evaluado por los docentes. Esta evaluación debería orientarse a obtener información sobre el grado de desarrollo de los estudiantes en relación a los OFT, para seguir apoyando el desarrollo de los mismos. Cabe resaltar que los indicadores presentados para apoyar la observación de los Aprendizajes Esperados referidos a los OFT, se entregan a modo de ejemplos de comportamientos observables que ilustran el desarrollo del Aprendizaje Esperado. No son exclusivos ni exhaustivos, sino que buscan ofrecer algunos referentes para la observación y monitoreo de estos aprendizajes por parte de los y las docentes. La forma de evaluar los OFT y la decisión si ellos serán objetos de calificación o no, depende del OFT del que se trate, ya que estos objetivos son diversos en términos de sus características, y en consecuencia, la evaluación debe ajustarse a éstas. Mientras algunos Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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corresponden a habilidades, otros se vinculan con el desarrollo de los sujetos y con su formación valórica. Lo anterior implica que los instrumentos utilizados para evaluar los OFT deben ser diversos y adecuados al OFT que se busca observar. Por ejemplo, la observación cotidiana de las formas de conducta y de interacción de los estudiantes puede resultar una modalidad apropiada para evaluar el OFT “ejercer de modo responsable grados crecientes de libertad y autonomía personal (…)”. En tanto, otros objetivos pueden requerir también conocer el discurso o las opiniones de los estudiantes. Tal es el caso, por ejemplo, de OFT tales como “apreciar la importancia de desarrollar relaciones igualitarias entre hombres y mujeres (…)”. En este caso puede ser útil que el docente conozca en qué medida los alumnos y alumnas valoran las contribuciones que tanto hombres como mujeres realizan en distintos espacios de la vida social. Si bien todos los OFT se pueden evaluar, no todos ellos pueden ser calificados en atención a sus distintas características. A modo de ejemplo, aquellos OFT relacionados con el conocimiento de sí mismo y la autoestima no son calificables, básicamente por el hecho que asignar una nota sobre estos aspectos es cuestionable en sí mismo. Se puede “esperar” que los estudiantes logren determinado nivel de autoconocimiento y autoestima, pero no se puede “exigir” determinado nivel de desarrollo en estas dimensiones. En tanto, los OFT referidos a las habilidades de pensamiento, o bien el referido a “comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento (…)” aluden a aspectos que caben dentro de lo que se les puede exigir a los estudiantes al momento de asignar una calificación. La definición e implementación de los instrumentos de evaluación, así como las decisiones respecto de la calificación de los OFT, son aspectos que en última instancia dependen de las opciones adoptadas al interior de cada establecimiento. Específicamente, estos son aspectos que dependerán de las disposiciones que cada establecimiento defina en su reglamento de evaluación. 3. ¿Qué OFT se integran en el presente programa? En la formación integral matemática no basta solo con focalizar el proceso de enseñanza-aprendizaje en el desarrollo de habilidades de orden superior asociadas tradicionalmente al razonamiento matemático. Es necesario observar permanentemente el progreso de habilidades y actitudes que juegan un rol igualmente importante en la formación de un pensamiento matemático, tales como la capacidad para trabajar en equipo, la iniciativa personal en el planteamiento de soluciones, la perseverancia, responsabilidad y entusiasmo en el cumplimiento de las tareas, y el interés por el conocimiento. En este contexto, este sector contribuye a la formación de individuos con capacidad para integrarse proactivamente a una sociedad globalizada, demandante y con una creciente explosión tecnológica. Es así como la matemática en la escuela, se transforma en un instrumento que no solo contribuye a desarrollar capacidades propias de la disciplina, sino también, al igual que las otras áreas del conocimiento, realiza su aporte al desarrollo de habilidades y actitudes relevantes para la vida de todo hombre y mujer. Los OFT que tienen mayor presencia en cada unidad se han destacado al interior del programa, siendo los OFT relacionados con el interés por conocer la realidad y el trabajo en equipo los que encuentran un lugar privilegiado en este programa. No obstante lo anterior, el o la docente puede encontrar muchas más oportunidades para su Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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desarrollo a partir de los contextos y situaciones matemáticas que se presenten a los alumnos y alumnas.

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VISIÓN GLOBAL DEL AÑO ESCOLAR OBJETIVOS FUNDAMENTALES 1. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. 2. Utilización estrategias de cálculo que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinar y aplicar sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 3. Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas. 4. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional y resolver problemas en diversos contextos que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad. 5. Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, reconocer algunas de sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichas transformaciones. 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utilizar los conceptos de perímetro de una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos. 7. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos y utilizar este tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes. 8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central, ampliando al caso de datos agrupados en intervalos. 9. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias, y utilizar medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra de datos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan. 10. Determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales. 11. Emplear formas simples de modelamiento matemático, verificar proposiciones simples,

para casos particulares, y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar opiniones y tomar decisiones.

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CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS: Números: 1. Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros. 2. Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo. 3. Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 4. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros, potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. Álgebra:

5. Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos.

6. Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones.

7. Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional. 8. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico. 9. Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. Geometría:

10. Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones. 11. Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones. 12. Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente. 13. Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia. 14. Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico. 15. Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono. Datos y Azar:

16. Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas.

17. Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y moda en estos casos.

18. Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

19. Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan.

20. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas.

21. Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos. 22. Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.

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APRENDIZAJES ESPERADOS POR SEMESTRE Y UNIDAD Cuadro Sinóptico: SEMESTRE 1 UNIDAD 1: Números

UNIDAD 2: Geometría

1. Establece

estrategias para calcular 1. Caracteriza transformaciones multiplicaciones y divisiones de números isométricas de figuras geométricas planas y enteros. las reconoce en diversas situaciones y contextos. 2. Resuelve problemas que involucre las operaciones básicas con números enteros. 2. Realiza transformaciones isométricas de figuras geométricas planas utilizando regla 3. Utiliza estrategias de cálculo que y compás o procesadores geométricos, y implica el uso de potencias de base entera y argumenta acerca de las invariables que se exponente natural, verifica y aplica sus producen al realizar estas transformaciones. propiedades y extiende dichas propiedades a las potencias de base fraccionaria positiva, 3. Utiliza las transformaciones isométricas decimal positiva y exponente natural. como herramienta para realizar teselaciones regulares y semiregulares. 4. Resuelve problemas que involucre potencias de base entera, fraccionaria o 4. Caracteriza la circunferencia y el círculo decimal positiva y exponente natural. como lugares geométricos y utiliza el concepto de perímetro de una circunferencia 5. Analiza los procedimientos utilizados en en la resolución de problemas en contextos la resolución de problemas y los resultados diversos. obtenidos. 5. Calcula el área del círculo en contextos diversos. 6. Utiliza los conceptos de superficie del cilindro, cono y pirámide, en la resolución de problemas en contextos diversos.

OFT intencionados en la unidad

7. Utiliza los conceptos de volumen del cilindro y cono en la resolución de problemas en contextos diversos. 6. Trabaja en equipo y muestra iniciativa

8. Muestra actitud de perseverancia, rigor personal en la resolución de problemas en en la resolución de problemas. contextos diversos. 9. Trabaja en equipo y muestra iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos.

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SEMESTRE 2 UNIDAD 1: Datos y Azar

UNIDAD 2: Álgebra

1. Reconoce funciones en diversos de frecuencia, cuyos datos están agrupados contextos, identifica sus elementos y en intervalos y utiliza este tipo de representa diversas situaciones a través de representación para organizar datos ellas. provenientes de diversas fuentes. 2. Identifica variables relacionadas en 2. Interpreta y produce información, en forma proporcional y en forma no contextos diversos, mediante el uso de proporcional. medidas de tendencia central, ampliando al caso de datos agrupados en intervalos. 3. Resuelve problemas en diversos contextos que impliquen proporcionalidad 3. Comprende el concepto de aleatoriedad directa e inversa. en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias. 4. Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables en diversos 4. Asigna probabilidades teóricamente a la contextos ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y las contrasta con resultados experimentales. OFT intencionados en la unidad

1. Interpreta información a partir de tablas

5. Muestra

perseverancia, rigor, 5. Trabaja en equipo y muestra iniciativa flexibilidad y originalidad al resolver personal en la resolución de problemas en problemas matemáticos. contextos diversos. 6. Trabaja en equipo y muestra iniciativa

personal en la resolución de problemas en contextos diversos.

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SEMESTRE 1

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UNIDAD 1: Números Esta unidad brinda a los y las estudiantes la posibilidad de aplicar sus conocimientos sobre multiplicación y división de números naturales y sobre adiciones y sustracciones de números enteros, a la multiplicación y división de enteros en casos particulares. Por una parte, tendrán la oportunidad de generar y aplicar las reglas de los signos y, por otra parte, de aplicar las propiedades generadas en la resolución de problemas que involucran operaciones con enteros. Es la ocasión para que generalicen los resultados obtenidos, realicen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones donde intervengan variables enteras, tales como −2 (− a ) + 3 (− (− 2a)) , y resuelvan problemas donde estén involucradas variables enteras. En esta unidad se extiende el trabajo con potencias de bases naturales, fraccionarias y decimales positivas, a bases enteras con exponentes naturales. Para lograr este propósito, es recomendable diseñar actividades orientadas a la verificación de las propiedades de estas potencias -en casos particulares-, a estimaciones de ellas, y a la resolución de problemas en contextos numéricos donde ellas intervienen. Se presenta la oportunidad de realizar actividades que contemplen un trabajo matemático con estas potencias, específicamente, en la determinación del valor en general de expresiones del tipo (−1) n , la aplicación de este conocimiento para manipular potencias del tipo (− a) n -con a perteneciente a los naturales-, y la generalización de resultados. Se espera que, además, los alumnos y alumnos aprendan a multiplicar potencias de base entera y exponente natural. Es decir, multiplicaciones del tipo (−a ) n ⋅ (−b) n , con a, b, n en los naturales; multiplicaciones del tipo (− a) n ⋅ ( −b) m ; y del tipo (−a ) n ⋅ (−a ) m , aplicando el conocimiento que tienen respecto de las potencias de forma (− a) n trabajadas anteriormente y generalizando los a b a c a c naturales), y divisiones de la forma (− ) n ⋅ (− ) n , de la forma (− ) n ⋅ ( − ) m , y de la b d b d a n a m forma (− ) ⋅ (− ) (con a, b, n en los naturales). Por último, trabajarán en casos particulares las b b potencias de la forma ((−a ) n ) m , con a, n en los naturales, y generalizarán sus resultados.

resultados obtenidos. También, trabajarán con expresiones de la forma (− ) n (con a, b en los

Respecto a la evaluación, es recomendable ir monitoreando el logro de los aprendizajes esperados a medida que se desarrolla la unidad y no sólo al final de ella. De este modo el profesor o profesora podrá conocer si los alumnos y alumnas están aprendiendo los conceptos centrales y a su vez podrá diseñar estrategias para trabajar con la diversidad de niveles de aprendizaje que conviven en el aula. Es importante que estas evaluaciones midan tanto habilidades como conocimientos, que contengan preguntas interesantes y desafiantes pero que a su vez sean pertinentes para su edad, y propongan problemas que demanden la elaboración de estrategias y la utilización de procedimientos por parte de los estudiantes. Es relevante considerar que los problemas en matemáticas no siempre tienen respuesta única y que no solo importa el resultado final. Formular preguntas de este tipo permitirá también al docente observar los distintos niveles de desempeño que muestren los alumnos y alumnas, y diseñar estrategias para ayudarlos a avanzar en su aprendizaje.

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Aprendizajes Esperados e Indicadores Aprendizajes Esperados 1. Establece estrategias calcular multiplicaciones divisiones de números enteros.

Indicadores para • y •

2. Resuelve problemas que • involucre las operaciones básicas con números enteros. •

3. Utiliza estrategias de cálculo que • implica el uso de potencias de base entera y exponente natural, verifica y aplica sus propiedades y extiende • dichas propiedades a las potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural. • •

•

4. Resuelve problemas que • involucre potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. •

5. Analiza los procedimientos • utilizados en la resolución de problemas y los resultados obtenidos. • 6. Trabajan en equipo y muestran

• iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos. • • •

Argumenta acerca de la validez de las propiedades de la multiplicación y división en el conjunto de los números enteros. Establece estrategias para resolver divisiones en los números enteros a partir de la relación entre la multiplicación y división. Utiliza las propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números enteros para resolver problemas asociados a situaciones multiplicativas. Aplica correctamente la regla de los signos y la prioridad de las operaciones en la resolución de problemas de operatoria combinada con números enteros. Expresa como potencia productos en que los factores son potencias de base entera y exponente natural. Estima mentalmente potencias de base entera de un digito y exponente natural menor de 5. Por ejemplo: estima (-7)4 como 49· 49 obteniendo un número menor a 2.500. Argumenta acerca de la validez de las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural. Aplica las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural en la resolución de problemas que involucra este tipo de potencias. Conocidas las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural, determina las propiedades de las potencias de base fraccionaria, decimal positiva y exponente natural. Resuelve problemas en contextos cotidianos que involucre potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. Resuelve problemas en contextos matemáticos que involucra potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. Verifica los resultados obtenidos en función del contexto del problema. Analiza los procedimientos utilizados en términos de los resultados obtenidos. Participa de manera propositiva en actividades grupales. Es responsable en la tarea asignada. Toma iniciativa en actividades de carácter grupal. Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales.

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Ejemplo de experiencia de aprendizaje: Esta experiencia de aprendizaje se centra en las propiedades de las potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural -vistas en 7º básico- y las potencias de base entera y exponente natural. Se espera que los y las estudiantes determinen propiedades, realicen cálculos mentales y escritos utilizando estrategias relativas a estas potencias, y resuelvan problemas. Las propiedades de potencias de base entera y exponente natural que determinan los y las estudiantes son la multiplicación de potencias de igual base, la multiplicación de potencias de base distinta y de igual exponente, potencias elevadas a potencias naturales, la división de potencias de igual base y la división de potencias de base distinta y de igual exponente. A través de esta experiencia se proponen una serie de actividades que facilitan la determinación de estas propiedades. En estas actividades los alumnos y alumnas utilizan procedimientos de cálculo relativos a la multiplicación de números enteros para determinar la relación entre números enteros negativos y -1, y los signos de las potencias de base -1 y exponente natural, generalizando estos resultados a potencias de base entera negativa y exponente natural. Esta experiencia de aprendizaje no abarca todos los aprendizajes esperados ni indicadores descritos en la unidad, por lo que debe ser complementada con otras experiencias de aprendizaje. El tiempo propuesto es estimado, ya que esto dependerá de la realidad específica de cada curso.

Tiempo estimado: 6 horas pedagógicas. Recursos: calculadora. Aprendizajes esperados e indicadores considerados en esta experiencia: Aprendizajes esperados

Indicadores

Utiliza estrategias de cálculo que implica el uso de potencias de base entera y exponente natural, verifica y aplica sus propiedades y extiende dichas propiedades a las potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural.

• •

• •

•

Resuelve

problemas

que •

Expresa como potencia productos en que los factores son potencias de base entera y exponente natural. Estima mentalmente potencias de base entera de un digito y exponente natural menor de 5. Por ejemplo: estima (-7)4 como 49· 49 obteniendo un número menor a 2.500. Argumenta acerca de la validez de las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural. Aplica las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural en la resolución de problemas que involucran este tipo de potencias. Conocidas las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural, determina las propiedades de las potencias de base fraccionaria, decimal positiva y exponente natural. Resuelve problemas en contextos cotidianos que

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involucre potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. •

involucre potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. Resuelve problemas en contextos matemáticos que involucra potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

CLASE 1: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora pregunta a sus estudiantes qué recuerdan de las potencias, explicándoles que esa materia la trataron en 6º y 7º básico. Pregunta por ejemplo, qué recuerdan sobre sus propiedades y de las aplicaciones que realizaron; también les pregunta por la utilidad que ellas tienen en la vida cotidiana y en las ciencias y tecnología. El o la docente puede utilizar algunos de los ejemplos dados por los y las estudiantes para profundizar en la utilidad de las potencias en la vida cotidiana. Pide a los alumnos y alumnas que realicen cálculos con cantidades grandes en la calculadora y que verifiquen que los resultados que ella arroja están dados en términos de potencias. Luego, explica la utilidad que tiene el cálculo mental y escrito, por ejemplo, cuando se necesita determinar el monto de una compra en un supermercado o verificar el cálculo hecho con una calculadora. Señala que trabajarán el cálculo mental y escrito con potencias y que esto es fundamental a la hora de trabajar con números grandes o pequeños, positivos o negativos, sobre todo aquellos que tienen una cantidad considerable de ceros. Por último, recuerda a los y las estudiantes que los números de la base de las potencias, tratadas en los años anteriores, eran naturales, fraccionarios positivos y decimales positivos, y que el número del exponente era número natural. En esta ocasión trabajarán con potencias de base entera negativa y de exponente natural, y utilizarán lo que aprendan sobre las propiedades de estas potencias en los cálculos mentales y escritos que realicen.

DESARROLLO: El o la docente repasa la multiplicación en los números enteros, específicamente, la multiplicación entre enteros negativos y entre enteros positivos y negativos. Actividad 1: El profesor o profesora solicita a sus estudiantes que, usando las propiedades de la multiplicación de enteros, descompongan de manera multiplicativa enteros negativos en dos factores, de manera que uno de sus factores sea -1, por ejemplo, que -3 lo expresen en la forma: − 3 = −1 ⋅ 3 Observaciones al docente Se aconseja al docente, en conjunto con sus estudiantes, generalizar resultados de este tipo, de manera que se comprenda que si a es un número entero negativo, entonces a = −1 | a | , y que este resultado se da para todo tipo de números negativos.

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Actividad 2: A continuación, el o la docente propone que trabajen con potencias de base -1 y exponente natural, y que determinen el signo de ellas cuando el exponente es par y cuando el exponente es impar. Observaciones al docente Se aconseja explicar la importancia que tiene el trabajar con paréntesis cuando se opera con números negativos, y enfatizar las diferencias que presentan las expresiones − a n y (− a )n

Actividad 3: El profesor o profesora solicita que conjeturen acerca del signo de las potencias de base entera negativa y exponente natural, y que establezcan resultados para exponentes pares y exponentes impares. Por ejemplo, que conjeturen respecto al signo 7

de la potencia (− 5) o que conjeturen respecto al signo de la potencia presenten sus resultados.

(− 5)10 , y que

Observaciones al docente n

Se sugiere al docente establecer con sus estudiantes resultados acerca de las potencias (− a ) , caracterizando n como n = 2m , cuando n es par, y como n = 2m + 1 , cuando n es impar.

Actividad 4: El o la docente trabaja con sus estudiantes multiplicaciones de potencias de base -1 y exponente natural con el objetivo de establecer propiedades respecto de esta operación. El profesor o profesora repasa las propiedades establecidas en 7º año básico acerca de la operatoria de potencias de base y exponente natural: a n ⋅ a m , a n : a m ,

(a n )m ,

(a ⋅ b )n .

Solicita a los alumnos y alumnas que apliquen estos resultados y los de potencias de base -1 y exponentes naturales, para establecer estas propiedades, en el 7

9

contexto de bases enteras negativas, por ejemplo, en (− 4 ) ⋅ (− 4 ) , en

( )7 , y en

en − 4 5

(− 7 )8 : (− 7 )3 ,

(− 2 ⋅ (− 6))9 .

Finalmente, el o la docente entrega a sus estudiantes un listado de ejercicios acerca de multiplicaciones, divisiones con potencias de potencias de base entera negativa y exponente natural y potencias de multiplicaciones de números enteros negativos distintos de exponente natural, y les solicita que los resuelvan aplicando las propiedades generadas. Observaciones al docente: OFT Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades se incentive en los alumnos y alumnas la confianza para resolver problemas y desarrollar la perseverancia y rigurosidad en el trabajo como una contribución a los OFT.

Observaciones al docente: evaluación El profesor o profesora puede proponer a los y las estudiantes el siguiente ejercicio para monitorear la comprensión de los conceptos en estudio:

(− 5)7 + (− 5)7 + (− 5)7 + (− 5)7 + (− 5)7 Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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CIERRE: El o la docente finaliza la clase, preguntando qué dificultades tuvieron al trabajar con potencias de base entera y exponente natural. Por ejemplo, si la aplicación de conocimiento generado para deducir propiedades en operaciones con este tipo de potencias les produce dificultades y cuáles. También pregunta por las dudas que tienen después del trabajo realizado. El o la docente hace un resumen de los resultados obtenidos y resuelve las dudas planteadas en conjunto con los alumnos y alumnas. Informa a sus estudiantes que en la próxima clase, se realizará cálculo mental y ejercicios adicionales de cálculo escrito, los que podrán resolverse utilizando estrategias que implican el uso de potencias del tipo trabajado.

CLASE 2: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora resume los resultados obtenidos en la clase anterior, repasa las dudas que presentaron sus estudiantes, y resuelve ejercicios adicionales relativos a las propiedades generadas en potencias de base entera negativa y exponente natural. Explica a sus alumnos y alumnas que en esta clase utilizarán estrategias relativas al uso de las potencias que han trabajado hasta el momento, es decir, de base entera y exponente natural y de bases fraccionaria y decimal positiva, para realizar cálculo mental y escrito.

DESARROLLO: El profesor o profesora presenta a sus estudiantes estrategias de cálculo mental para multiplicar números naturales, por ejemplo, las que tienen más de un cero. Para este tipo de multiplicaciones propone a sus estudiantes que transformen estos números a potencias y apliquen la propiedad de multiplicación de potencias de igual base. Explica a los alumnos y alumnas que para multiplicar números naturales es conveniente la descomposición en factores primos de esos número. Por ejemplo, que en la multiplicación de 9 por 54, 9 se exprese en la forma 32 y 54 en la forma 33 ⋅ 2 , y que se aplique propiedades de potencias.

Observaciones al docente Se sugiere la memorización de algunas potencias de base 2, 3 y 5, y cuadrados de algunos n números de dos cifras, por ejemplo, potencias de la forma 2 , donde 2 ≤ n ≤ 10 , de la forma

3n , donde 2 ≤ n ≤ 6 , y de la forma 5 n , donde 2 ≤ n ≤ 4 , y cuadrados de la forma n 2 , donde 11 ≤ n ≤ 20

El profesor o profesora presenta a sus estudiantes estrategias de cálculo mental para multiplicar números enteros, por ejemplo, aquellos que tienen más de un cero: -2.000 por 3.000. Para este tipo de multiplicaciones les propone que transformen estos números a potencias, y que apliquen la propiedad de multiplicación de potencias de igual base. Sugiere además que al momento de multiplicar números enteros es conveniente la descomposición en factores primos de esos números, por ejemplo, en la multiplicación Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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de - 25 por 25, el número -25 se exprese en la forma potencias.

(− 1) ⋅ 5 2 y que se aplique

El profesor o profesora, pregunta a sus estudiantes qué tipo de multiplicaciones les gustaría resolver mentalmente, y en los casos en que sea pertinente, les muestra estrategias para que las utilicen en esos cálculos. El o la docente presenta a sus estudiantes estrategias de cálculo mental para la división (−2) 3 ⋅ 125 , les sugiere − 100 expresar 125 en términos de potencias y descomponer 100 como 2 2 ⋅ 5 2 ; esto implica

de enteros que implican potencias. Por ejemplo, en la división

que la división pedida se transforma en

(−1) 3 ⋅ 2 3 ⋅ 5 3 2 2 ⋅ 52

, expresión que es fácil de resolver

mentalmente. Observaciones al docente Se sugiere al docente presentar ejercicios de cálculo mental que previamente los haya trabajado, pues en ese proceso se dará cuenta de lo que desea medir, y podrá modificar, en caso de ser necesario, el cálculo que inicialmente tenía pensado preguntar, para alcanzar el objetivo propuesto.

El profesor o profesora presenta a sus estudiantes estrategias de cálculo escrito para que sean utilizadas por ellos. Por ejemplo, para la multiplicación de potencias con bases enteras negativas sugiere la descomposición en factores primos y su expresión en la forma (-1) por la factorización; luego, aplicar propiedades. Por ejemplo, para multiplicar (− 15)3 (− 12)4 , el o la docente sugiere expresar la multiplicación en la siguiente forma:

(− 1)3 ⋅ 33 ⋅ 5 3 ⋅ (− 1)4 ⋅ 3 4 ⋅ 4 4 y luego aplicar las propiedades adecuadas. El profesor o profesora muestra a sus estudiantes estrategias de cálculo escrito para la división de enteros que implican potencias. Por ejemplo, en la división (−1.024) 3 ⋅ 625 ⋅ (−729) 3 ⋅ 512 (−1.000) 5

, el o la docente sugiere expresar 1.024, 625, 729 y 512 en

términos de potencias, y descomponer 1.000 en factores primos, explicándoles que estas transformaciones facilitarán el cálculo escrito. El o la docente pregunta a sus estudiantes qué tipo de divisiones entre enteros les gustaría resolver, y les muestra estrategias para que las utilicen en esos cálculos. Observaciones al docente: OFT Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades se incentive en los estudiantes la confianza para resolver problemas, la perseverancia y rigurosidad en el trabajo así como el desarrollo de la iniciativa personal, la creatividad, e intencionar el trabajo en equipo y el respeto a opiniones distintas a las propias como una contribución a los OFT Observaciones al docente: evaluación

El profesor o profesora puede proponer a los y las estudiantes el siguiente ejercicio para monitorear la comprensión de los conceptos en estudio: expresar 10.000 en la forma 2 x ⋅ 2 y ⋅ 5 z y encontrar los valores de estas incógnitas.

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CIERRE: El profesor o profesora hace el cierre de la clase, preguntando a sus estudiantes las dificultades que se presentan cuando calculan mentalmente expresiones que implican potencias y los problemas que tienen en el cálculo escrito de expresiones aplicando estrategias relativas a las potencias. El o la docente hace un resumen de las actividades realizadas en esta experiencia de aprendizaje y profundiza aquellos aspectos deficitarios que presentan sus alumnos y alumnas en el cálculo mental y escrito. Puede presentar algunos problemas relativos a potencias a modo de desafíos.

CLASE 3: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora resume los resultados obtenidos en la clase anterior y pregunta a los estudiantes por las dudas que tienen sobre el cálculo y utilización de las propiedades de las potencias vistas en la clase anterior. Explica a sus alumnos y alumnas que en esta clase recordarán conocimientos aprendidos en 7º básico sobre las potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural y aplicarán sus propiedades.

DESARROLLO: Actividad 1: El profesor o profesora propone algunas potencias de base fraccionaria positiva donde los y las estudiantes deben realizar multiplicaciones y divisiones de potencias y recordar y / o proponer la propiedad que se utiliza en dicho cálculo. Por ejemplo: • • •

2 6 4 4   ⋅  3 3 3 3  2 3   :   6 8 3  1 2       8    

Actividad 2: El profesor o profesora propone algunas potencias de base decimal positiva donde los y las estudiantes deben realizar multiplicaciones y divisiones de potencias y recordar y / o proponer la propiedad que se utiliza en dicho cálculo. Por ejemplo: •

0,5 2 : 0,8 2

•

((0,4) )

2 0

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Actividad 3: El profesor o profesora propone resolver problemas donde los y las estudiantes deban aplicar los conocimientos que tienen sobre las potencias estudiadas y sus propiedades.

Observaciones al docente: El profesor o profesora puede, además, proponer que los alumnos y alumnas resuelvan ejercicios de potencias del texto escolar. Si bien esta potencias fueron trabajadas el año anterior, se sugiere al profesor o profesora estar atento a las dificultades que se puedan presentar en la resolución de estos ejercicios, ya que tal vez los y las estudiantes no recuerden cómo multiplicar o dividir fracciones y decimales o hayan olvidado las propiedades de dichas potencias. En estos casos será necesario reforzar los aspectos que presenten mayores problemas.

CIERRE: El profesor o profesora hace el cierre de la clase, preguntando a sus estudiantes las dificultades que se presentan cuando calculan expresiones que implican potencias. Realiza un resumen de las actividades realizadas en esta experiencia de aprendizaje y profundiza aquellos aspectos más débiles en el cálculo mental y escrito. Finalmente, presenta algunos problemas relativos a potencias a modo de desafíos.

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Sugerencia para la evaluación: Aprendizajes esperados e Indicadores que se evalúan en la tarea: Aprendizajes esperados Indicadores Utiliza estrategias de cálculo que implica el • Expresa como potencia productos en que uso de potencias de base entera y exponente los factores son potencias de base entera y natural, verifica y aplica sus propiedades. exponente natural. • Aplica las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural en la resolución de problemas que involucran este tipo de potencias.

Descripción de la tarea o actividad de evaluación: En los dos ítems que se proponen se solicita a los y las estudiantes determinar el valor numérico de expresiones que contienen potencias con exponentes naturales y aplicar propiedades en el cálculo de expresiones que contienen potencias de base entera y exponente natural. Los ítems propuestos pueden ser usados por el o la docente en la construcción de una evaluación sumativa o como evaluación formativa durante la experiencia de aprendizaje.

Tarea de evaluación: 1. Calcula el valor numérico de la expresión ( −2) 2 n+1 + 2 2 n+1 , para distintos valores de n , sabiendo que n puede tomar sólo valores naturales. 2. Escribe en términos de potencias: la diferencia entre la octava parte de 2 n y la mitad de 2 n−1 . Si la expresión anterior se representa por A , calcula el valor numérico de ( A − 1) 3 para distintos valores numéricos de n, considerando que n puede tomar sólo valores naturales.

Pauta de Evaluación Para evaluar el trabajo de los alumnos y alumnas, el o la docente puede utilizar los siguientes criterios de evaluación: Descripción Logrado

Logrado con reparos

Determina el valor numérico aplicando correctamente las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural así como la información dada en los enunciados de los problemas. Determina un valor numérico aplicando las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural. Demuestra falta de comprensión de la información dada en el enunciado del problema lo que le impide el uso correcto de ésta.

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No logrado

No logra obtener un valor numérico de las expresiones, demuestra falta de comprensión de las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural.

Retroalimentación Es importante que la evaluación sea considerada como un proceso esencial en la promoción del aprendizaje. Recoger información sobre el aprendizaje durante la unidad y no solo al final, permitirá al docente hacer los ajustes necesarios en su planificación y orientar a los estudiantes respecto a aquellos aspectos que deben reforzar. Para ello, es muy recomendable no solo poner atención en los resultados, sino también en las estrategias y razonamientos aplicados por los y las estudiantes y su actitud para aproximarse al aprendizaje matemático. El proceso de retroalimentación será clave para motivarlos a avanzar en su aprendizaje y ayudarlos a reflexionar sobre qué y cómo aprenden en este sector. Se recomienda dialogar permanentemente con los y las estudiantes a fin de promover una reflexión, individual y colectiva, sobre los conocimientos, formas de razonamiento y estrategias que los condujeron a los resultados, los errores frecuentes, entre otros. Esto implica, cambiar el foco de la evaluación -que tradicionalmente ha estado puesto en los resultados finales y la calificación- a la observación de los procesos y a los logros en el aprendizaje. La retroalimentación puede realizarse de diversas maneras. Por ejemplo, el o la docente puede entregar a cada alumno o alumna, observaciones con sugerencias que lleven a la reflexión y su posterior mejoramiento, o bien, puede entregar el documento corregido y promover que los y las estudiantes compartan con los compañeros sus resultados, resuelvan dudas y revisen las diversas estrategias utilizadas en la resolución de las situaciones planteadas. El reconocimiento y análisis del error y de sus posibles soluciones por parte de los estudiantes ofrece también una importante oportunidad para aclarar dudas y reflexionar sobre el aprendizaje esperado. En general, los errores que los estudiantes cometen suelen ser diversos, por lo que esta estrategia puede además aportar al respeto de la diversidad al interior del aula. Independientemente del procedimiento que se utilice para registrar las respuestas, la retroalimentación, tanto para el alumno como para la práctica docente, debe estar centrada en los aprendizajes e indicadores considerados en la evaluación así como en las racionalidades y elementos afectivos que hay detrás de cada respuesta dada por los evaluados. Es conveniente que los y las estudiantes conozcan con anticipación qué se va evaluar, y que la retroalimentación entregue información en relación a dichos aprendizajes.

Se sugiere iniciar como estrategia de retroalimentación para la tarea aquí sugerida, realizar un intercambio de los trabajos entre compañeros el proceso de retroalimentación promoviendo un intercambio y análisis de los resultados entre todos los estudiantes. Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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El o la docente puede incentivar la metacognición mediante preguntas del tipo ¿qué sabes de las potencias?, ¿crees que podrás resolver el ejercicio propuesto con lo que sabes?, ¿podrías adelantar un resultado?, ¿qué conocimientos empleaste en la formulación de tu conjetura?, ¿cómo calificarías los problemas fáciles difíciles o medianamente difíciles? En el caso de las potencias de base entera, el tema de los signos de la base requiere un tratamiento especial, se debe promover que los y las estudiantes establezcan la relación entre el signo del resultado de una potencia de base entera y exponente natural. Esto se puede realizar a partir de un análisis de los errores cometidos por los o las estudiantes en el primer ejercicio, y una reflexión sobre el caso de menos uno elevado a un exponente natural.

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UNIDAD 2: Geometría En esta unidad los alumnos y alumnas estudiarán las transformaciones isométricas, el cálculo de perímetros y áreas de circunferencias y círculos, y los conceptos de superficie y volumen de cilindros y conos. Los aprendizajes de esta unidad requieren de aprendizajes que los y las estudiantes han construido en cursos anteriores, tales como lo que aprendieron sobre ángulos en sexto básico y sobre construcciones geométricas en séptimo básico. Ahora tendrán que aplicar este conocimiento, junto con lo que aprenderán sobre transformaciones isométricas, al cubrimiento de superficies planas con polígonos regulares. Es importante diseñar actividades orientadas a la caracterización de transformaciones isométricas en el plano y al reconocimiento de estas transformaciones en el mundo natural, en expresiones artísticas y en ámbitos científicos y tecnológicos. Esto les permitirá constatar que los seres humanos y animales buscan la simetría en parte de las acciones que emprenden en su vida y que ésta implica la optimización de recursos. Los alumnos y alumnas deberán realizar traslaciones de figuras respecto a un vector dado, rotaciones de figuras respecto a un punto y en un ángulo dado, y reflexiones de figuras respecto a un eje de simetría dado, utilizando una regla, compás y/o procesadores geométricos. Es relevante que los y las estudiantes tengan oportunidad de indagar acerca de los cambios que se producen en las figuras trasladadas, rotadas o reflejadas, y las propiedades que permanecen invariables en las figuras al realizar. Esta es, además, la ocasión que tienen los alumnos y alumnas de establecer un nexo entre congruencia y transformaciones isométricas, y caracterizar la congruencia en términos de estas transformaciones. En la realización de teselaciones regulares y semiregulares -cuyas tesela o baldosas son polígonos regulares de tres, cuatro, seis, ocho y doce lados- se recomienda diseñar actividades centradas en las condiciones que deben cumplir los polígonos regulares que participen en una teselación, en el descubrimiento de aquello que verifica la condición de teselación, y en la determinación de todas las teselaciones posibles. Por ejemplo, la construcción -con regla y compás o un procesador geométrico- de polígonos que participan en cubrimientos del plano o teselaciones. Esta es una oportunidad para que los y las estudiantes descubran la forma de optimizar la realización de teselaciones, indagando acerca de la utilidad que tiene la aplicación de transformaciones isométricas en este proceso y acerca de la presencia de estas transformaciones en las teselaciones regulares y semiregulares. Los y las estudiantes trabajarán también el concepto de lugar geométrico –aplicado a la caracterización de la circunferencia y el círculo- y el concepto de número pi –en la resolución de problemas que implican determinar el perímetro de la circunferencia. Asimismo, deberán medir la superficie del círculo utilizando fórmulas para el cálculo de su área, y de resolver situaciones en contextos diversos que implican este cálculo. Se profundiza en esta unidad el conocimiento que los estudiantes ya tienen sobre cilindros, conos y pirámides, a través de la determinación de la medida de sus superficies y de la medida del espacio que estas figuras ocupan. Para ello, se recomienda diseñar actividades que impliquen utilizar fórmulas para calcular áreas y resolver problemas en situaciones diversas. En cuanto a la determinación del volumen del cono y del cilindro, se propone aquí el uso de formulas y su aplicación en la resolución de problemas.

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Aprendizajes Esperados e Indicadores Aprendizajes Esperados

Indicadores

1. Caracteriza transformaciones isométricas de figuras geométricas planas y las reconoce en diversas situaciones y contextos.

• • • •

2. Realiza transformaciones isométricas de figuras geométricas planas utilizando regla y compás o procesadores geométricos, y argumenta acerca de las invariables que se producen al realizar estas transformaciones.

•

3. Utiliza las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y semiregulares.

•

• • •

• •

•

4. Caracteriza la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y utiliza el concepto de perímetro de una circunferencia en la resolución de problemas en contextos diversos. 5. Calcula el área del círculo en contextos diversos.

• •

• •

6. Utiliza los conceptos de superficie del cilindro, cono y pirámide, en la resolución de problemas en contextos diversos.

•

7. Utiliza los conceptos de volumen del cilindro y cono en la resolución de problemas en contextos diversos.

•

8. Muestra actitud de perseverancia, rigor en la resolución de problemas.

• •

•

•

• •

9. Trabaja en equipo y muestra iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos.

• • • •

Caracteriza vectores en el plano y los reconoce en contextos diversos. Caracteriza la traslación de figuras en el plano y la reconoce en contextos diversos. Caracteriza la rotación de figuras en el plano y la reconoce en contextos diversos. Caracteriza la reflexión de figuras en el plano y la reconoce en contextos diversos. Traslada figuras del plano utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Rota figuras del plano utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Refleja figuras del plano utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Argumenta acerca de las invariables que se producen en la realización de transformaciones isométricas. Explica las condiciones que deben satisfacer los polígonos para teselar el plano. Determina las posibles combinaciones de polígonos regulares con las que se puede realizar una teselación. Realiza teselaciones regulares y semiregulares del plano aplicando combinaciones de transformaciones isométricas a diversas figuras geométricas. Identifica las transformaciones isométricas utilizadas en la construcción de teselaciones regulares y semirregulares. Explica las diferencias entre circunferencia y círculo utilizando el concepto de lugar geométrico. Calcula el perímetro de una circunferencia utilizando el concepto del número pi en contextos diversos. Utiliza fórmulas para calcular el área de círculos en contextos geométricos. Resuelve situaciones diversas que implica determinar el área de círculos. Utiliza fórmulas para determinar la superficie del cilindro, cono y pirámide. Resuelve situaciones diversas que implican el área de superficies de conos, cilindros y pirámides. Utiliza fórmulas para determinar el volumen del cilindro y cono. Resuelve situaciones diversas que implican el volumen de conos y cilindros. Es responsable en trabajos grupales. Tiene un orden y método para el registro de información. Termina los trabajos iniciados. Es tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presente en problemas matemáticos. Participa de manera propositiva en actividades grupales. Es responsable en la tarea asignada. Toma iniciativa en actividades de carácter grupal. Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales.

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Ejemplo de experiencia de aprendizaje: En esta experiencia de aprendizaje se propone que los alumnos y alumnas construyan teselaciones semirregulares utilizando regla y compás. Para concretar estas teselaciones, se sugieren una serie de actividades que consisten en: • La construcción de polígonos regulares de 3, 4, 6, 8 y 12 lados. • La determinación de los polígonos regulares que cubren el plano. • El cubrimiento del plano con polígonos regulares. • Aplicación de las transformaciones isométricas en la realización de teselaciones. Esta experiencia de aprendizaje no abarca todos los aprendizajes esperados ni indicadores descritos en la unidad, por lo que debe ser complementada con otras experiencias de aprendizaje. El tiempo propuesto es estimado, ya que esto dependerá de la realidad específica de cada curso.

Tiempo estimado: (12 horas pedagógicas) Recursos: Regla, compás, cuaderno de croquis, hojas no cuadriculadas.

Aprendizajes esperados e indicadores considerados en esta experiencia: Aprendizajes esperados Indicadores Utiliza las transformaciones • Explica las condiciones que deben satisfacer los isométricas como herramienta polígonos para teselar el plano. para realizar teselaciones • Determina las posibles combinaciones de polígonos regulares y semiregulares. regulares con las que se puede realizar una teselación. • Realiza teselaciones regulares y semiregulares del plano aplicando combinaciones de transformaciones isométricas a diversas figuras geométricas. • Identifica las transformaciones isométricas utilizadas en la construcción de teselaciones regulares y semirregulares.

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CLASE 1: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora informa a sus estudiantes que en esta experiencia de aprendizaje van a realizar cubrimientos del plano con polígonos regulares, les explica que en contextos matemáticos este proceso se llama teselación, debido a que las piezas que intervienen en este cubrimiento se llaman teselas. Puede mencionar como ejemplos de teselaciones el embaldosamiento que se hace del patio o la cocina de una casa con cerámicas. En estos casos, las teselas que usualmente se usan son baldosas de forma cuadrada. Si bien las más comunes se forman solamente con cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares, es posible construirlas combinando estos y otros polígonos regulares. Cuando ocurre esta mezcla de polígonos, se está en presencia de teselaciones semirregulares y cuando se utiliza un solo tipo de polígono se llaman regulares. El o la docente señala que realizarán teselaciones con polígonos regulares, con regla y compás. Indica además que las actividades que realizarán serán desarrolladas a través de varias clases y que en esta clase trabajarán la construcción de triángulos equiláteros, cuadrados, y hexágonos, octógonos y dodecágonos regulares.

DESARROLLO: Actividad 1: El o la docente solicita a sus estudiantes que, utilizando regla y compás, construyan triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos regulares, octógonos regulares y dodecágonos regulares, de cualquier lado. Observaciones al docente Se sugiere repasar ángulos en polígonos, específicamente, suma de ángulos interiores y exteriores en polígonos, y determinación de la medida de ángulos en polígonos regulares.

Actividad 2: El profesor o profesora solicita que utilizando regla y compás, construyan triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos regulares, octógonos regulares y dodecágonos regulares, de lado dado. CIERRE: El o la docente pregunta a sus estudiantes por sus dudas acerca de las construcciones realizadas. Revisan en conjunto las construcciones efectuadas, enfatizando en aquellos aspectos que presentaron dificultades. Señala que la próxima clase van a determinar los polígonos regulares que pueden participar en una teselación. Muestra la siguiente figura,y explica que dos cuadrados y tres triángulos equiláteros de lados iguales pueden hacerlo, haciendo notar que la suma de los ángulos interiores que concurren en un vértice común es 360º, y que esta es una condición que se pide a los polígonos que participan en una teselación.

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CLASE 2: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora explica a sus estudiantes que en esta clase van a determinar los polígonos regulares que satisfacen lo siguiente: la suma de los ángulos interiores que concurren en un vértice es 360º. Por ejemplo, dos cuadrados y tres triángulos equiláteros, ya que aquí los ángulos interiores que representan a los cuadrados son 90º y los de los triángulos equiláteros son 60º. La suma de ellos es 360º (90º+90º+60º+60º+60º). Explica que durante esta clase van a verificar que esta condición es un requerimiento para que se produzca una teselación. Informa, además, que durante esta clase trabajarán en forma grupal e individual.

DESARROLLO: Actividad 1: El o la docente solicita a sus estudiantes que verifiquen que una condición que deben satisfacer los polígonos que participan en una teselación, es que la suma de los ángulos interiores representantes de cada uno de ellos sea 360º.

Actividad 2: El profesor o profesora solicita que determinen los grupos de polígonos regulares que satisfacen la condición de teselación; por ejemplo, el grupo formado por dos octógonos y un cuadrado. Sugiere, además, que verifiquen que los polígonos que pueden satisfacer esta condición tienen ángulos exteriores que son divisores de 360º. Observaciones al docente El profesor o profesora puede solicitar a los y las estudiantes formar grupos de trabajo y buscar estrategias para encontrar ángulos que sumen 360º. Observaciones al docente: OFT Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades se incentive en los alumnos y alumnas la confianza para resolver problemas, el desarrollo de la perseverancia y rigurosidad en el trabajo así como la iniciativa personal, la creatividad, intencionar el trabajo en equipo, y el respeto a opiniones distintas a las propias como una contribución a los OFT

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CIERRE: El o la docente realiza, junto a sus estudiantes, un resumen de las configuraciones de polígonos que son candidatas a teselar encontradas por ellos. Pide como tarea para la próxima clase encontrar las configuraciones restantes.

CLASE 3: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora solicita a sus estudiantes que exhiban las configuraciones de polígonos regulares que cumplen la condición de teselación que quedaron de tarea. Explica que no es posible con todas estas configuraciones formar una teselación, pero que en esta clase van descubrir con cuáles de las configuraciones de polígonos encontradas se puede teselar el plano.

DESARROLLO: El o la docente solicita a los alumnos y alumnas que exhiban todas las configuraciones de polígonos regulares que cumplen la condición de teselación. Recuerda a sus estudiantes que una teselación semirregular es aquella en la que participa más de un polígono regular y da a conocer que el arreglo de los polígonos que participan en ella es idéntico en cada vértice. Observaciones al docente Se sugiere que muestre a los alumnos y alumnas imágenes de una teselación semirregular y que explicite que en ellas la forma que tienen los arreglos en cada vértice es idéntica.

Actividad: El profesor o profesora solicita a sus estudiantes que determinen las configuraciones de polígonos regulares con las que es posible teselar; el plano y la cantidad de teselaciones que se pueden formar con cada una de ellas. Observaciones al docente Se sugiere formar grupos de trabajo y aconsejar a sus estudiantes para que realicen un esquema de las configuraciones de polígonos encontradas que cumplen la condición de teselamiento, y que de esos esquemas determinen aquellas que son teselaciones. Se sugiere también que guíe a sus estudiantes para que descubran la configuración que admite dos teselaciones. Observaciones al docente: OFT Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades se incentive en los alumnos y alumnas la confianza para resolver problemas, la perseverancia y rigurosidad en el trabajo así como la iniciativa personal, la creatividad, intencionar el trabajo en equipo, y el respeto a opiniones distintas a las propias como una contribución a los OFT

CIERRE: El o la docente realiza, junto a sus estudiantes, un resumen de todas la teselaciones regulares y semirregulares que existen.

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CLASE 4: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora hace un resumen de las configuraciones de polígonos regulares que teselan el plano. Informa que en esta clase van construir todas las teselaciones semirregulares utilizando regla y compás.

DESARROLLO: El o la docente pide a sus estudiantes que, utilizando regla y compás, construyan todas las teselaciones semirregulares en su cuaderno de croquis o en una hoja no cuadriculada. Observaciones al docente Se sugiere que aconseje a sus estudiantes usar un compás de precisión en la construcción de las teselaciones, y que la teselación se inicie desde el centro de la hoja.

CIERRE: El profesor o profesora muestra las teselaciones realizadas por sus alumnos y alumnas, y juntos hacen un resumen de las estrategias encontradas por ellos para teselar.

CLASE 5: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora informa a sus estudiantes que en esta clase van a aplicar transformaciones isométricas a los polígonos regulares que intervienen en las teselaciones.

DESARROLLO: El o la docente hace un repaso de las siguientes transformaciones isométricas: traslación, rotación y reflexión. Solicita a los alumnos y alumnas que, utilizando regla y compás: a) Construyan algunos de los polígonos regulares que participan de teselaciones semiregulares, por ejemplo, un hexágono regular; que dibujen de manera arbitraria un vector en el plano; y que trasladen la figura construida respecto a ese vector. b) Construyan un polígono regular, distinto al construido en la parte a); que elijan tres puntos del plano, uno dentro del polígono, otro que corresponda a uno de los vértices del polígono, y otro fuera del polígono construido; que construyan un ángulo determinado, por ejemplo, 30º; y que roten respecto a cada uno de los puntos elegidos, y en el ángulo construido, la figura construida. c) Construyan un polígono regular, distinto al construido en la parte a) y b); que dibujen dos rectas, una que pase por uno de los vértices, y otra que pase por fuera del polígono construido; que reflejen respecto a ellas este polígono.

CIERRE: El o la docente pregunta a sus estudiantes por las dudas que ellos tienen después de haber aplicado transformaciones isométricas a los polígonos en cuestión, hace un resumen de los métodos empleados en el proceso de aplicación de estas

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transformaciones enfatizando aquellos aspectos en que sus estudiantes presentaron dudas.

CLASE 6: (2 horas pedagógicas) INICIO: El profesor o profesora informa a sus estudiantes que en esta clase van a teselar utilizando transformaciones isométricas. Actividad 1: El docente solicita a sus alumnos y alumnas que, utilizando regla y compás: a) Construyan una configuración de polígonos regulares o arreglos de polígonos que forman la base de una teselación, por ejemplo 4, 6, 12; y que la trasladen respecto a un vector dado. b) Construyan una configuración de polígonos regulares o arreglos de polígonos que forman la base de una teselación, distinta a la construida en a), por ejemplo 8, 8, 4; y que la reflejen respecto a un eje de simetría que pase por uno de los lados del octógono que participa de esa teselación. c) Construyan una configuración de polígonos regulares o arreglos de polígonos que forman la base de una teselación, distinta a la construida en a), b) y c), por ejemplo 3, 6, 3, 6 ; y que la roten respecto a uno de los vértices de los polígonos que intervienen en la teselación, y en un ángulo, por ejemplo, de 60º.

Actividad 2: El profesor o profesora solicita a sus estudiantes que formen grupos de trabajo y cada grupo elija una teselación para construir, de manera que las ocho teselaciones semirregulares se realicen, pudiendo repetirse alguna de ellas. Entrega las siguientes instrucciones para que construyan sus teselaciones: a) Que la superficie que teselen, igual en todos los grupos, sea una hoja de block de dibujo de las dimensiones más grandes posibles. b) Que elijan medidas de los lados de los polígonos que van a ser parte de la teselación, de manera que las cantidades de arreglos que se forman en ellas sea similar en todas las teselaciones, por ejemplo, las medidas de los lados de los cuadrados y triángulos que participan de la teselación 3, 3, 4, 3, 4 debe ser mayor que la medida de los lados del dodecágono que participa de la teselación 3, 12, 12. c) Que elijan a lo menos una transformación isométrica para construir su teselación. d) Que en todo el proceso utilicen regla y compás.

CIERRE: El o la docente muestra las teselaciones semirregulares realizadas por los alumnos y alumnas, y las transformaciones isométricas que se utilizaron en esta actividad.

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Sugerencia para la evaluación: Aprendizajes esperados e Indicadores que se evalúan en la tarea:

Aprendizajes esperados Utiliza las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y semirregulares.

Indicadores Identifica las transformaciones isométricas utilizadas en la construcción de teselaciones regulares y semirregulares.

Descripción de la tarea o actividad de evaluación: En la siguiente tarea se presenta a los y las estudiantes la secuencia con la que, a partir de un polígono regular y mediante transformaciones isométricas, se obtiene una figura con la que es posible teselar el plano. Se les solicita a los alumnos y alumnas identificar las transformaciones isométricas implícitas en la construcción.

Tarea o actividad de evaluación: Las teselaciones de Maurits C. Escher son una forma sencilla de conseguir matrices, y consiste en deformar un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado o hexágono regular). El fundamento de esta técnica es simple: eliminar una parte de un lado del polígono para añadirla en otro. Se repite esta acción siguiendo siempre el mismo criterio hasta que se obtenga la figura que se desea, que encajará con el resto en virtud del proceso de construcción que se haya seguido. Por ejemplo veamos una de las más conocidas de Escher “sus lagartijas”. A partir de un hexágono regular, los pasos que él siguió son los siguientes:

1

2

4

5

7

3

6

8

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Observando la secuencia anterior, realiza un listado de las transformaciones isométricas involucradas en la transformación del hexágono regular en una “lagartija”

Pauta de Evaluación: Para evaluar el trabajo de los alumnos y alumnas, el o la docente puede utilizar la siguiente pauta.

Logrado Logrado con reparos

No logrado

Descripción Identifica todas las transformaciones isométricas y las combinaciones de ellas involucradas en la construcción del objeto. Identifica sólo las transformaciones isométricas más evidentes. No identifica la combinación de transformaciones que movió una figura de un lugar a otro en plano. No reconoce los cortes y movimientos realizados en la figura como transformaciones isométricas.

Retroalimentación En la Unidad nº 1 se señalan aspectos generales de la retroalimentación que se aplican también a esta unidad. A continuación se proponen sugerencias específicas para lat tarea aquí propuesta. En primer lugar, se sugiere al docente indagar respecto a las razones de las dificultades que puedan haber tenido los y las estudiantes para resolver la tarea. De este modo, se despeja si las dificultades se deben a la falta de comprensión del problema, o bien, a debilidades conceptuales (relativo a las transformaciones), de procedimientos (cómo ejecutar una transformación), y perceptivos (no ver en las indicaciones la acción que se señala). Se sugiere que los y las estudiantes comparen sus resultados y comenten entre ellos cómo los consiguieron, ya que un análisis colectivo de las secuencias puede ser un aporte a la comprensión. Por ejemplo, los alumnos y alumnas pueden intercambien sus secuencias, de modo que cada uno realice la secuencia señalada por otro y reflexionen sobre los resultados. El profesor o profesora puede incentivar la discusión interviniendo con preguntas que inviten a la reflexión y abran la posibilidad de un aprendizaje más profundo. Por ejemplo: ¿existirá otra secuencia de transformaciones que produzca el mismo efecto sobre el hexágono?

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SEMESTRE 2

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UNIDAD 1: Datos y Azar En esta unidad, los y las estudiantes profundizan en lo que ya han aprendido sobre datos y azar en cursos anteriores. En datos (estadística) los y las estudiantes aprenderán a construir e interpretar tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. El énfasis está en el análisis de diferentes situaciones que impliquen tomar decisiones respecto a la pertinencia o no de agrupar datos en intervalos y cuál es un número “razonable” de ellos. Se espera que los y las estudiantes comprendan las ventajas y desventajas de agrupar datos, en función de la información que se gana o pierde. A su vez, se espera que sean capaces de interpretar y producir información, en diversos contextos, utilizando medidas de tendencia central para datos agrupados. Por último, se profundiza en los conceptos de población y muestra introducidos en 6º básico, avanzando en la comprensión del concepto de aleatoriedad al momento de usar muestras y su importancia en la realización de inferencias acerca de la población. En azar (probabilidades), se aborda la probabilidad desde un punto de vista teórico con la introducción del modelo de Laplace; aunque la experimentación con el uso de tablas de frecuencias y gráficos sigue siendo importante en este nivel. En esta unidad se espera que los y las estudiantes sean capaces de comparar resultados experimentales con resultados teóricos, por lo que será importante el uso de herramientas tecnológicas que permitan simular un gran número de veces un cierto experimento aleatorio y contrastar el gráfico experimental con el gráfico teórico. Por último, se espera que los y las estudiantes comprendan los conceptos de espacio muestral, evento y eventos equiprobables. Es importante en esta unidad trabajar con contextos que sean de interés para los alumnos y alumnas. Especialmente en estadística, se sugiere que estos sean extraídos desde diarios, revistas o Internet, de modo que los alumnos y alumnas vean que esta dimensión de la matemática está en conexión con la vida cotidiana y es una herramienta para interpretar y modelar la realidad a través de diversas representaciones. Es recomendable que los y las estudiantes tengan la oportunidad de discutir y decidir cuándo es apropiado usar intervalos, en función del tipo de datos y el propósito de lo que se quiere presentar. Dado que también deben trabajar las medidas de tendencia central, es importante que los y las estudiantes verifiquen las formas de obtener dichas medidas a partir de un conjunto de datos agrupados. Por ejemplo, en el caso de la media aritmética se define el “punto medio” del intervalo y con este valor, como representante, se obtiene la media aritmética con el mismo procedimiento que para el caso de datos no agrupados. Vale aquí el ejercicio de comprobar qué tan cercanos están la media aritmética obtenida, con los datos sin agrupar, y la media aritmética con datos agrupados utilizando el punto medio. En cuanto a los conceptos de población y muestra, se recomienda plantear discusiones con los estudiantes acerca de las formas de seleccionar una muestra en forma aleatoria. Para ello pueden recurrir a la calculadora y utilizar la función “aleatorio” para generar Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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números al azar. No obstante, también pueden utilizar la clásica “bolsa con papelitos” y escoger números al azar. Pueden discutir acerca de los diversos métodos; sin embargo, lo fundamental es detenerse en la compresión de cuál es la relevancia de utilizar muestras aleatorias para inferir acerca de la población, en función de los objetivos del estudio. Se recomienda, al trabajar con probabilidades, proponer a los y las estudiantes diversas situaciones y experimentos aleatorios que permitan determinar el espacio muestral -o conjunto de todos los resultados posibles- y los eventos específicos -como subconjuntos de dicho espacio muestral-. Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de dos dados existen 36 combinaciones posibles de las caras de los dados. Es importante que los y las estudiantes verifiquen este resultado y, luego, sean capaces de determinar otros eventos (subconjuntos) tales como: que la suma sea igual a 7, o bien que la suma sea un múltiplo de 3. Se sugiere posteriormente trabajar con el modelo de Laplace determinando los “casos favorables” y los “casos posibles”. Es importante que los y las estudiantes comprendan que lo primero corresponde a la cardinalidad del espacio muestral y lo segundo a la cardinalidad del subconjunto de interés. Un tema importante será que los y las estudiantes tengan claridad en las condiciones que permiten aplicar el modelo de Laplace. En esto será clave la comprensión acerca de la equiprobabilidad de los eventos elementales y que el espacio muestral debe ser finito. Es recomendable trabajar los experimentos aleatorios en forma experimental y también teórica. Por ejemplo, en el lanzamiento de tres monedas, es posible obtener teóricamente la probabilidad del evento “dos caras y un sello” (3/8) y luego verificar este resultado en forma experimental a través de una simulación con un recurso tecnológico (aproximadamente un 38% de las veces). Esto entregará a los y las estudiantes más información y herramientas para formular y verificar sus conjeturas. Es importante dejar que los y las estudiantes lean, analicen e interpreten situaciones expresadas a través de tablas y gráficos, que respondan preguntas y resuelvan problemas y que, trabajando de manera grupal e individual, observen y busquen regularidades en la información. Es fundamental orientar el trabajo de los alumnos y alumnas a través de preguntas que generen discusión y conduzcan a orientar procedimientos y observaciones que lleven a establecer conclusiones: ¿qué pasa si…?, ¿siempre pasa esto...? , ¿por qué…? Respecto a la evaluación se sugiere que forme parte inherente del proceso enseñanza – aprendizaje, y que sea realizada a lo largo de toda la unidad y no sólo al final de ella. El o la docente puede ir monitoreando el aprendizaje de la unidad a partir de las respuestas de los estudiantes y las diversas actividades que se realizan en el aula, de modo de ir realizando los ajustes necesarios en su planificación de clase. Se sugiere que en la evaluación se realicen preguntas y ejercicios variados, que permitan recoger los aprendizajes centrales y donde se pueda evidenciar distintos niveles de desempeño. Diversas en cuanto a la forma de evaluar los aprendizajes y orientadas a medir tanto habilidades como conocimientos. Se recomienda realizar preguntas abiertas donde los alumnos y alumnas tengan que elaborar una estrategia o procedimiento y donde se pueda analizar sus explicaciones y conclusiones.

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Finalmente, toda información o contexto utilizado debe reguardar cualquier situación de sesgo cultural, socioeconómico o de género.

Aprendizajes Esperados e Indicadores Aprendizajes Esperados

Indicadores

1. Interpreta información a

•

partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos y utiliza este • tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes. •

2. Interpreta

y produce • información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central, • ampliando al caso de datos agrupados en intervalos. • • •

3. Comprende el concepto

•

de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias. •

•

4. Asigna

probabilidades • teóricamente a la ocurrencia de eventos, en experimentos • aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y las contrasta con resultados experimentales. •

•

•

Explica la pertinencia y ventajas de representar un conjunto de datos, a través de una tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos. Obtiene información mediante el análisis de datos presentados en tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en diversos contextos. Construye tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos. Determina la media y moda, a partir de una tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos, y la interpreta de acuerdo al contexto. Extrae información desde datos numéricos agrupados en intervalos y resumidos a través de la media o moda relacionados con una situación o fenómeno. Interpreta información, en diferentes contextos, a través del uso de medidas de tendencia central. Evalúa la pertinencia del uso de las medidas de tendencia central, de acuerdo al tipo de datos involucrados. Compara información respecto a dos o más conjuntos de datos, utilizando medidas de tendencia central y comunica sus conclusiones. Establece estrategias para escoger muestras, en forma aleatoria de un determinado tamaño, desde una población específica. Utiliza un recurso tecnológico, por ejemplo una calculadora, para generar números aleatorios y usarlos para extraer una muestra desde una población específica. Argumenta acerca de la importancia de extraer muestras en forma aleatoria para las conclusiones que se puedan realizar acerca de una población. Describe el espacio muestral de un experimento aleatorio dado y obtiene su cardinalidad. Argumenta acerca de la equiprobabilidad de cada resultado posible en un experimento aleatorio, realizando una simulación con apoyo de la tecnología. Por ejemplo: al lanzar un dado. Determina la probabilidad de ocurrencia de un cierto evento en un experimento aleatorio, mediante el modelo de Laplace. Compara el valor de la probabilidad de un cierto evento en un experimento aleatorio, obtenido mediante el modelo de Laplace, con el valor de la frecuencia relativa obtenida al simular el experimento un gran número de veces mediante el uso de la tecnología, y comunica sus conclusiones. Compara el gráfico teórico de los resultados de un experimento aleatorio, obtenido a través del modelo de Laplace, y el gráfico de las frecuencias relativas del mismo experimento simulado mediante el uso de

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5. Muestra

perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. 6. Trabaja en equipo y muestra iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos.

• • • • • • •

tecnología, y comunica sus conclusiones. Sigue los pasos indicados hasta completar su trabajo. Propone interpretaciones originales de los datos. Es metódico o matódica en el uso de las fuentes de información. Es responsable en trabajos grupales. Participa de manera propositiva en actividades grupales. Toma iniciativa en actividades de carácter grupal. Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales.

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Ejemplo de experiencia de aprendizaje: La siguiente experiencia de aprendizaje tiene como propósito que los alumnos y alumnas comprendan cómo interpretar los resultados de experimentos aleatorios y sean capaces de analizarlos desde un punto de vista experimental y teórico. A partir del trabajo experimental, el propósito es introducir un modelo teórico que permita predecir los resultados de un experimento aleatorio en ciertas condiciones. Aquí cobra relevancia la capacidad de conjeturar de los y las estudiantes y la verificación de dichas conjeturas a través del mismo experimento. Lo fundamental es la comprensión de un modelo que permite predecir los resultados del experimento. Las actividades se desarrollan en la sala de clases y se requiere de un PC y proyector. También es necesario contar con una planilla electrónica o un simulador para el experimento de los dos dados. Esta experiencia de aprendizaje no abarca todos los aprendizajes esperados ni indicadores descritos en la unidad, por lo que debe ser complementada con otras experiencias de aprendizaje. El tiempo propuesto es estimado, ya que esto dependerá de la realidad específica de cada curso.

Tiempo estimado: 6 horas pedagógicas. Recursos: dados, papel milimetrado, computador, proyector, planilla Excel, applet, monedas, mazo de naipe inglés, ruleta, bolsa con bolitas (o urna) Aprendizajes esperados e indicadores considerados en esta experiencia: Aprendizajes esperados Asigna probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y las contrasta con resultados experimentales.

Indicadores • Describe el espacio muestral de un experimento aleatorio dado y obtiene su cardinalidad. • Argumenta acerca de la equiprobabilidad de cada resultado posible en un experimento aleatorio, realizando una simulación con apoyo de la tecnología. Por ejemplo: al lanzar un dado. • Determina la probabilidad de ocurrencia de un cierto evento en un experimento aleatorio, mediante el modelo de Laplace. • Compara el valor de la probabilidad de un cierto evento en un experimento aleatorio, obtenido mediante el modelo de Laplace, con el valor de la frecuencia relativa obtenida al simular el experimento un gran número de veces mediante el uso de la tecnología, y comunica sus conclusiones. • Compara el gráfico teórico de los resultados de un experimento aleatorio, obtenido a través del modelo de Laplace, y el gráfico de las frecuencias relativas del mismo experimento simulado mediante el uso de tecnología, y comunica sus conclusiones.

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CLASE 1: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora al comenzar la clase, explicita el aprendizaje esperado propuesto para esta experiencia. Puede introducir la clase preguntando a sus alumnos y alumnas acerca de juegos o situaciones en los que intervenga el azar y que ellos conozcan. Es importante que el o la docente logre extraer las experiencias previas de sus estudiantes, por ejemplo, recordar los juegos de tableros donde usualmente se utiliza un dado para avanzar. A continuación, muestra a los y las estudiantes “dos dados” y los lanza en su mesa, mostrando diferentes resultados. Desafía a los alumnos y alumnas para que predigan los resultados de los dados, por separado o bien considerando la suma de las caras, mediante preguntas tales como: ¿Cuál es el próximo resultado?, ¿a qué suma apostarían? El o la docente los motiva para que reflexionen sobre los resultados posibles al lanzar dos dados. Puede realizar preguntas tales como: ¿es posible determinar qué sumas salen más veces y qué sumas salen menos veces?, ¿es posible encontrar regularidades en los resultados de un experimento aleatorio?

DESARROLLO: Actividad 1: registrar la suma de dos dados en 50 lanzamientos El profesor o profesora organiza la clase de modo que se formen grupos de trabajo. Cada grupo tiene un par de dados y una hoja donde van registrando los resultados de las sumas de los dos dados. Cada grupo debe realizar 50 lanzamientos, turnándose entre ellos para lanzar los dados. Deben registrar la información en una tabla como la siguiente: Lanzamiento 1 Suma

2

3

4

5

…

10

Lanzamiento 11 Suma

12

13

14

15

…

20

Lanzamiento 21 Suma

22

23

24

25

…

30

Lanzamiento 31 Suma

32

33

34

35

…

40

Lanzamiento 41 Suma

42

43

44

45

…

50

Observaciones al docente: OFT Esta actividad se puede conectar con el OFT “La persona y su entorno”, ya que se intenciona el trabajo en equipo, el respeto a la opiniones distintas a las propias y el razonamiento matemático.

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Observaciones al docente: Evaluación Esta actividad es una oportunidad para observar la manera en que los estudiantes confeccionan una tabla de frecuencia. Además, es una oportunidad para evaluar la comprensión acerca de los conceptos de frecuencia, frecuencia relativa y frecuencia relativa porcentual.

Posteriormente, organizan la información en una tabla de frecuencia como la siguiente:

Tabla N°1: Resultados de 50 lanzamientos Suma Frecuencia Frecuencia relativa 2 3 … Total

Frecuencia relativa porcentual

50

Una vez que terminen de completar la tabla de frecuencia, los alumnos y alumnas deben confeccionar un gráfico de barras utilizando la frecuencia relativa porcentual. Deben escoger una escala adecuada para construir el gráfico. La idea es que puedan utilizar un papel milimetrado. El profesor o profesora solicita a sus estudiantes que revisen la tabla de frecuencias y el gráfico, y respondan preguntas del tipo: ¿se observa alguna regularidad?, ¿hay sumas que salen más veces?, ¿hay sumas que salen menos veces? El o la docente solicita que anoten sus respuestas y conjeturas. Observaciones al docente: OFT Esta actividad es propicia para fortalecer en los y las estudiantes la valoración por la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, por un lado, y la flexibilidad, la originalidad, por otro; del ámbito “La persona y su entorno”. Observaciones al docente: Evaluación Esta actividad es una oportunidad para observar la manera en que los alumnos y alumnas son capaces de realizar conjeturas que luego podrán verificar.

Actividad 2: se reúnen 100 lanzamientos en grupo En esta parte los grupos deben compartir la información registrada en la primera actividad. Para ello dos grupos se deben reunir y conformar un nuevo equipo. El propósito es confeccionar una tabla de frecuencia, ahora con 100 lanzamientos. Hay que tener en consideración que solo se están reuniendo los datos, no tienen que realizar nuevos lanzamientos. Para efectos de la experiencia, esta acción es tal como si continuaran efectuando lanzamientos hasta completar los 100.

Tabla N°2: Resultados de 100 lanzamientos Suma Frecuencia Frecuencia relativa

Frecuencia relativa porcentual

2 3 Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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4 … Total

100

Una vez que terminen de completar la tabla de frecuencia con 100 lanzamientos, los alumnos y alumnas deben confeccionar un nuevo gráfico de barras utilizando la frecuencia relativa porcentual; deben utilizar papel milimetrado y la misma escala que para el caso de los 50 lanzamientos. El profesor o profesora solicita a los grupos que revisen tanto la tabla de frecuencias como el gráfico y respondan a preguntas del tipo: ¿se observa alguna regularidad?, ¿hay sumas que salen más veces?, ¿hay sumas que salen menos veces? El o la docente les solicita que anoten sus respuestas y conjeturas. Finalmente, el profesor o profesora, a partir de los 100 lanzamientos y los patrones observados, consulta a sus estudiantes: con esta información, ¿a qué suma apostarían? Observaciones al docente: Evaluación Esta actividad es una oportunidad para observar la manera en que los estudiantes son capaces de construir gráficos de barra usando escalas adecuadas y utilizando la frecuencia relativa porcentual.

Actividad 3: se reúnen todos los resultados del curso El profesor o profesora solicita ahora que se compartan todos los resultados y los registren en una sola tabla de frecuencia. Para ello, en la pizarra se anotarán los resultados a medida que los grupos vayan comunicando sus frecuencias. Por ejemplo, si se formaron 10 grupos se lograría reunir un total de 1.000 lanzamientos.

Tabla N°3: Resultados de todo el curso Suma Frecuencia Frecuencia relativa 2 3 4… Total 1.000

Frecuencia relativa porcentual

Una vez que terminen de completar la tabla de frecuencia con los resultados del curso, los alumnos y alumnas deben confeccionar un gráfico de barras en papel milimetrado, utilizando la frecuencia relativa porcentual. La idea es que utilicen la misma escala que en los casos anteriores. El propósito es que comparen los tres gráficos construidos, ubicándolos uno al lado del otro. El o la docente una vez más les pregunta: ¿qué regularidades se observan a medida que se aumenta el número de lanzamientos? Luego, solicita a los grupos que revisen la tabla de frecuencias y el gráfico, y respondan a las preguntas: ¿qué sumas se repiten más veces?, ¿qué sumas aparecen menos veces?, ¿hay alguna suma que se repita más? Finalmente, a partir de los 1.000 lanzamientos y los patrones observados, pregunta a los y las estudiantes: si es que tuvieran que apostar a un resultado (suma), ¿cuál sería ese?

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CIERRE: El o la docente invita a sus estudiantes a reflexionar en base a lo realizado: 1. A medida que se reúnen más datos respecto a los lanzamientos de los dos dados, ¿qué sumas se repiten más veces y cuáles menos veces? 2. Al reunir los resultados de todo el curso, ¿se verificaron las conjeturas realizadas? 3. ¿Qué sucedería si se reúnen los datos con otro curso que hubiera realizado la misma experiencia que ellos? 4. Si se aumenta el número de lanzamientos a 1.000, 5.000 o 10.000, ¿se mantendrá la regularidad observada? Observaciones al docente: Es importante que los alumnos y alumnas realicen completamente la experiencia e identifiquen cada etapa del proceso. El ejercicio de lanzar los dos dados ocurre sólo la primera vez (50 veces). Luego, el trabajo consiste en compartir los resultados (reunir más lanzamientos) con los otros grupos y al final con el curso completo. Es importante motivar a los estudiantes a que permanentemente realicen conjeturas acerca de los resultados de las sumas de los dos dados. Además, como es un contexto lúdico, es recomendable que la experiencia se maneje en términos de “apuestas”. Ellos deberían partir con una apuesta inicial (la suma escogida); sin embargo, a medida que se realice el experimento puede que sus conjeturas vayan cambiando y modifiquen su apuesta. Lo fundamental del trabajo con esta actividad, es la capacidad de observar los patrones o regularidades respecto a las frecuencias relativas porcentuales para cada resultado. En esto los gráficos cumplen una función importante, ya que los alumnos y alumnas pueden constatar sus conjeturas en forma visual, es decir, pueden “ver” lo que está pasando. Es necesario que los y las estudiantes, en cada etapa, utilicen la misma escala y la frecuencia relativa porcentual para poder comparar los gráficos.

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CLASE 2: (2 horas pedagógicas)

INICIO: En esta clase será necesario contar con un computador y un proyector. Aquí se introduce el concepto de simulación utilizando un recurso informático. El profesor o profesora retoma el ejercicio de la clase anterior y formula una nueva pregunta: si se aumenta el número de lanzamientos a 1.000, 5.000 o 10.000, o incluso más elevado, ¿se mantendrá el patrón observado? A continuación, reflexiona con sus estudiantes acerca de lo tedioso o complicado que puede ser realizar un experimento aleatorio tan elevado número de veces, suponiendo que se hace en las mismas condiciones de lanzar manualmente los dados. Luego, la pregunta en este caso es: ¿Cómo verificar los resultados para un número elevado de lanzamientos? En este punto, el o la docente introduce el concepto de simulación mediante el uso de recursos informáticos. Observaciones al docente: evaluación Esta actividad es una oportunidad para observar la manera en que los alumnos y alumnas son capaces de realizar conjeturas que luego podrán verificar.

DESARROLLO: Actividad 1: simular el lanzamiento de dos dados El profesor o profesora propone el trabajo con una simulación del lanzamiento de dos dados (puede ser mediante un recurso interactivo -applet7- o bien, usando la planilla Excel). Lo importante es que a través de la simulación se pueda trabajar con un número suficientemente grande de lanzamientos (que justifique el hecho de usar un recurso tecnológico). Por otra parte, lo ideal es que el recurso utilizado pueda entregar el gráfico de barras asociado a los lanzamientos.

Observaciones al docente: OFT Esta actividad se puede conectar con los OFT de Informática, en particular el de conocer y manejar herramientas de software general para el procesamiento de información y el acceso a las comunicaciones. En este caso particular cobra relevancia la simulación de experimentos aleatorios.

El o la docente, en conjunto con los alumnos y alumnas, realizan diferentes simulaciones. La idea es probar con números grandes tales como 1.000, 5.000 o 10.000 lanzamientos. Para el caso de 10.000 lanzamientos, la idea es completar una tabla de frecuencia como las anteriores:

7 Un applet es un componente de una aplicación que se ejecuta en el contexto de otro programa, por ejemplo un navegador web. El applet debe ejecutarse en un contenedor, que lo proporciona un programa anfitrión, mediante un plugin, o en aplicaciones como teléfonos móviles que soportan el modelo de programación por applets. Ejemplos comunes de applets son los Java applets y las animaciones Flash. Fuente: www.wikipedia.org

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Tabla N°4: Resultados de la simulación (10 mil lanzamientos de dos dados) Suma Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa porcentual

… Total

10.000

Luego de observar los resultados de la simulación, tanto en la tabla como en el gráfico, el profesor o profesora pregunta: ¿se mantiene el patrón o regularidad para el lanzamiento de dos dados?, ¿se identifican claramente las sumas que salen más veces y las que salen menos?, ¿cuál es la suma que se repite más veces? Por último, les pregunta: ahora que conocen los resultados de la simulación, ¿a cuáles sumas apostarías y a cuales no? En conjunto, estudiantes y docente cierran esta actividad concluyendo acerca de la frecuencia asociada a cada suma.

Actividad 2: introducir el modelo teórico El profesor o profesora realiza la siguiente pregunta a sus estudiantes: ¿es posible predecir acerca de los resultados para las sumas SIN LANZAR LOS DADOS, es decir, sin registrar las frecuencias relativas?, ¿cómo se podría realizar esto? La idea es que en este momento el o la docente motive a los alumnos y alumnas para que planteen algunas estrategias. El o la docente motiva a sus estudiantes para que, en grupos, discutan acerca de los resultados posibles en el experimento aleatorio de lanzar dos dados. En otras palabras, los invita a pensar en las combinaciones posibles, considerando que los dados son distinguibles (se puede pensar en dados de colores diferentes). El profesor o profesora, de acuerdo con los datos de los lanzamientos y simulaciones realizados anteriormente, pregunta: ¿cuáles son todos los posibles resultados que se pueden obtener al sumar los dos dados? Deben encontrar el espacio muestral para este experimento aleatorio. El profesor o profesora invita a sus estudiantes a completar una tabla como la siguiente: Tabla N°5: Combinaciones para la suma de dos dados Dado 1 1 2 3 4 Dado 2 1 1+1=2 1+2=3 1+3=4 5 2 3 4 5 6

5

6

6

7

El o la docente refuerza el concepto de espacio muestral (que por lo general se le representa con el símbolo Ω) y lo define como el conjunto de todos los resultados posibles. Solicita a los y las estudiantes que determinen la cardinalidad de este conjunto (#Ω).

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Una vez que identifican el espacio muestral, el problema recae nuevamente en qué sumas tienen mayor probabilidad de ocurrir. Para ello pueden observar la tabla anterior. El profesor o profesora define el evento “A” en relación a las sumas obtenidas, e invita a los y las estudiantes para que completen la siguiente tabla:

Tabla N° 6: resultados teóricos para las sumas de dos dados Evento A: #A Resultado en resultado #A Porcentaje #Ω suma 2

1

3

2

1 36 2 36

4 5 6 7

Finalmente, les pide comparar los porcentajes obtenidos con las frecuencias relativas porcentuales en las tablas 3 y 4. La idea es que los grupos puedan discutir acerca de los resultados y establecer una conclusión acerca de lo trabajado.

#A . #Ω Les plantea la siguiente pregunta: ¿es este modelo un buen predictor para la ocurrencia de las sumas en el lanzamiento de dos dados? Los estudiantes deben argumentar su respuesta.

CIERRE: El o la docente invita a sus estudiantes a reflexionar acerca del cociente

Observaciones al docente En esta segunda clase, se introduce un elemento nuevo cuyo propósito es reforzar el trabajo experimental. La simulación permite justamente “simular” una cantidad grande de lanzamientos, que en forma manual sería muy tedioso realizar. De hecho aquí radica el valor del uso de la tecnología. Al igual que la clase anterior, es clave que los alumnos y alumnas sigan cada una de las etapas del experimento y completen las tablas sugeridas. Es importante que no se pierda de vista que se está comparando la situación experimental con la teórica. Los y las estudiantes debe hacer la distinción entre hacer el experimento con los dados físicos y el hacer el experimento “sin lanzar los dados”, es decir, buscando las combinaciones posibles para la suma de los dados. Es importante que no confundan lo de “sin dados” con la simulación. En este caso, se continúa con la idea de lo experimental, solo que el recurso tecnológico “hace el experimento por los estudiantes”. La potencia de esto es que se pueden simular muchos lanzamientos en forma rápida. La parte crucial de esta clase es la comparación de los resultados experimentales con los del modelo teórico. Para lo cual no se debe perder de vista que lo que se compara siempre son porcentajes. Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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CLASE 3: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora retoma el resultado de la clase anterior y lo presenta como el modelo de Laplace. Dicha expresión, usualmente se describe como: N ° de casos favorables N ° de casos posibles El o la docente podría hacer una breve referencia a Pierre Simon, marqués de Laplace (1749 -1827), con el propósito de contextualizar el trabajo. Para poner a prueba el modelo, el profesor o profesora sugiere verificar la probabilidad de ocurrencia de los siguientes eventos: A: “la suma de los dados es menor que 5” B: “la suma de los dados es un múltiplo de 3” El profesor o profesora podría usar otros eventos para utilizar el modelo y luego comparar con lo experimental. Los alumnos y alumnas primeramente deben usar los resultados de la tabla N°4 obtenidos por la simulación de 10 mil lanzamientos y obtener la frecuencia relativa porcentual para los eventos A y B. Seguidamente, usando la tabla #A N° 6 de resultados teóricos, deben obtener los siguientes cocientes en porcentaje: #Ω #B y #Ω El o la docente solicita a sus estudiantes que establezcan sus conclusiones en relación a los resultados obtenidos. A continuación, define la probabilidad de ocurrencia de un cierto evento A, en un experimento aleatorio que arroja resultados igualmente posibles, como sigue:

P( A) =

N ° de casos favorables # A = N ° de casos posibles #Ω

Observaciones al docente: evaluación Esta es una oportunidad para observar cómo los y las estudiantes identifican los eventos y obtienen tanto sus frecuencias teóricas como sus frecuencias observadas a partir del experimento. Otro punto importante es observar la manera en que los estudiantes comparan los resultados teóricos y experimentales, de modo de validar el modelo teórico.

DESARROLLO: Actividad 1: el lanzamiento de tres monedas El profesor o profesora plantea un nuevo experimento aleatorio: el lanzamiento de tres monedas. Solicita a sus estudiantes que determinen el espacio muestral para el nuevo experimento. Aquí, el o la docente puede introducir los diagramas de árbol para que los alumnos y alumnas representen los resultados obtenidos. Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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Utilizando el modelo de Laplace, los alumnos y alumnas deben determinar la probabilidad de los siguientes eventos: A: “Salen 3 caras” B: “Salen exactamente dos sellos” C: “Salen a lo menos una cara”

Actividad 2: otros experimentos aleatorios Los alumnos y alumnas determinan probabilidades usando el modelo de Laplace, considerando otros experimentos aleatorios tales como: lanzamiento de una moneda y un dado, escoger cartas de un mazo de naipe inglés de 52, resultados en una ruleta, o bien, extraer bolitas de colores desde una urna. Observaciones al docente: evaluación Esta es una oportunidad para observar cómo los alumnos y alumnas obtienen el espacio muestral de un experimento nuevo, identifican los eventos y usan el modelo de Laplace para obtener probabilidades.

CIERRE: El profesor o profesora invita a sus estudiantes a reflexionar acerca de la potencia del modelo encontrado. Esta es una oportunidad para reforzar el concepto de equiprobabilidad, concepto sobre el cual está construido el modelo de Laplace.

Observaciones al docente: evaluación Es importante que los alumnos y alumnas se familiaricen con el modelo de Laplace para obtener probabilidades y sean capaces de aplicarlo en diferentes situaciones que involucren experimentos aleatorios. Se debe reforzar el hecho de que el modelo teórico encontrado se aplica exclusivamente en el caso de experimentos donde todos los resultados tengan eventos con igual probabilidad de ocurrir. Una vez que se enuncia el modelo de Laplace, el o la docente puede plantear diversas situaciones en que las que se pueda aplicar. Se debe cuidar especialmente la condición de equiprobabilidad.

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Sugerencia para la evaluación: Aprendizajes esperados e Indicadores que se evalúan en la tarea: Aprendizajes esperados Indicadores Asigna probabilidades teóricamente a la • Determina la probabilidad de ocurrencia ocurrencia de eventos, en experimentos de un cierto evento en un experimento aleatorios con resultados finitos y aleatorio, mediante el modelo de Laplace. equiprobables, y las contrasta con resultados experimentales

Descripción de la tarea: En esta tarea a los alumnos y alumnas se les muestra una serie de experimentos aleatorios, y deben determinar la probabilidad de los eventos señalados utilizando el modelo de Laplace. Los y las estudiantes deben explicar en cada caso la manera en que obtuvieron la probabilidad.

Tarea o actividad de evaluación: 1. Supón que en el experimento de lanzar un dado de seis caras, no cargado, B es el suceso “sale 1 o múltiplo de 3”. Determinar la probabilidad de ocurrencia de B. 2. En el experimento de lanzar dos dados no cargados, si definimos el evento C como “la suma es un número primo y múltiplo de 5”. Determina la probabilidad de ocurrencia de C. 3.

Si se lanzan tres monedas no cargadas y el evento de interés es D: “sale a lo más una cara”, entonces determina su probabilidad de ocurrencia.

4. En una bolsa hay cuatro bolitas blancas, seis amarillas y dos rojas. El experimento consiste en extraer una bolita. a. ¿Cuál es la probabilidad de que salga amarilla? b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga roja? 5. Las once fichas que se muestran abajo se ponen en una bolsa y se mezclan.

Patricia saca una ficha de la bolsa sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que saque una ficha con un número primo?

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Pauta de Evaluación: Para evaluar el trabajo de los alumnos y alumnas puede utilizar la siguiente pauta. Descripción Logrado

Identifica el espacio muestral y el evento solicitado en cada situación o experimento aleatorio. Determina las cardinalidades correspondientes y establece la razón o modelo de Laplace. Entrega el resultado como fracción, decimal o porcentaje.

Logrado con reparos

Identifica el espacio muestral y el evento solicitado, sin embargo, tiene dificultades para obtener la cardinalidad de uno de ellos. Por ende, no puede establecer el modelo de Laplace.

No logrado

No identifica el espacio muestral ni el evento solicitado.

Retroalimentación Como se puede observar, las preguntas 1 a la 5 hacen referencia a un proceso de lectura y comprensión de enunciados que involucran diferentes situaciones o experimentos aleatorios, donde los y las estudiantes deben ser capaces de extraer la información esencial que les permita determinar las probabilidades solicitadas. En general, este tipo de preguntas son directas y no resultan complejas si es que se realiza una correcta lectura del problema. El propósito en cada una de ellas es que sean capaces de determinar los elementos claves para aplicar el modelo de Laplace, es decir, la cardinalidad del espacio muestral o “casos posibles” y la cardinalidad de los eventos de interés o “casos favorables”. Sin embargo, en las preguntas que utilizan los conectivos “o” e “y” es importante que se tenga claridad en el significado de cada uno de ellos. Una vez que determinan las cardinalidades correspondientes, el plantear la operación involucrada (división) no debiera causar mayores problemas. Cabe mencionar que en el caso de la probabilidad, ésta puede ser expresada como fracción, decimal o porcentaje. Cualquiera de los formatos estará bien, sin embargo, es deseable que los alumnos y alumnas comprendan los tres y sean capaces de interpretar su significado. No obstante, es posible que algunos estudiantes presenten dificultades en alguna parte del proceso. Es importante que el o la docente identifique si sus errores son conceptuales o se originan en dificultades para comprender la pregunta y en la lectura del enunciado. Esto ayudará a los estudiantes ya que , por ejemplo, si el error se debe a la comprensión del enunciado, el profesor o profesora puede indicar algunas estrategias tales como: identificación de la pregunta, extraer desde el enunciado los datos del problema, plantear el modelo de Laplace, etc. En el caso de errores conceptuales, es necesario que el profesor o profesora se detenga un poco más y apoye a los y las estudiantes identificando dónde está el problema. Esto podría ser desde la identificación del espacio muestral, la identificación de los mismos eventos solicitados, hasta la no comprensión del concepto de probabilidad desde un modelo teórico. En el caso que los alumnos y alumnas no hayan logrado este aprendizaje, se sugiere al profesor o profesora intervenir su planificación a fin de reforzar estos aprendizajes que serán requisito para futuras unidades.

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UNIDAD 2: Álgebra La unidad de álgebra se presenta por primera vez en el programa de estudio con identidad propia, esto quiere decir, con autonomía de los temas tratados en números. Este hecho es particularmente importante cuando se quiere analizar el enfoque de los temas propuestos en esta unidad, los cuales, tal como indica el título de la unidad, están bajo la mirada del álgebra. La unidad propone el reconocimiento de funciones y su distinción con las relaciones en contextos diversos. Sin embargo, no propone la clásica progresión que se iniciaba con una rigurosa definición de producto cartesiano, para luego definir el concepto de relación y terminar presentando las funciones como un caso particular de las relaciones. Por el contrario, en esta oportunidad se propone desarrollar el concepto de función asociado a algunas metáforas que facilitan su comprensión y vinculado a conceptos matemáticos que ya fueron trabajados años anteriores por los alumnos y alumnas, como por ejemplo, la proporcionalidad directa e inversa. Particularmente importante resulta que los alumnos y alumnas sean capaces de reconocer una función con relación a su dominio y recorrido. Aunque tanto el marco curricular como el programa de estudio no desarrollan una progresión del lenguaje conjuntista, si el profesor o profesora lo estima conveniente puede utilizar términos y conceptos relacionados con teoría de conjuntos. Es importante que el o la docente se sienta con la libertad de usar cotidianamente aquellos elementos del lenguaje que estima que favorecen la comprensión de sus alumnos y alumnas. Una propuesta didáctica de la introducción de funciones se ofrece como ejemplo en el presente programa. En este nivel, el trabajo con ecuaciones progresa con el planteamiento y resolución de ecuaciones con dos incógnitas. Es recomendable que esto se realice a partir de expresiones sencillas provenientes variados contextos. Por ejemplo, plantear y despejar ecuaciones que representan relaciones físicas, fórmulas geométricas o expresiones que representan situaciones de la vida cotidiana, resultan de fácil tratamiento e interesantes para los alumnos y alumnas. En énfasis debe estar puesto en que los y las estudiantes comprendan que las variables de este tipo de ecuaciones pueden ser despejadas en función de la otra variable, y que el valor que puede tomar la incógnita dependerá del valor que tome la otra variable. Ejemplos clásicos pueden ser tomados de fórmulas que representan relaciones físicas. Por ejemplo: la frecuencia (f), es el número de ondas (o ciclos) por unidad de tiempo. Por tanto: f =

1 T

La unidad ofrece también la posibilidad de visitar nuevamente tópicos relativos a proporcionalidad directa e inversa, con el agregado que al estar bajo el alero del álgebra se enriquece su trabajo y se incorpora al repertorio de temas que aportan al desarrollo del razonamiento matemático, en especial a la capacidad para realizar representaciones de objetos abstractos. Por ejemplo, los alumnos y alumnas podrían concluir que al ser el cuociente entre perímetro y el diámetro de cualquier circunferencia siempre el mismo número, se trata de una relación directamente proporcional interpretando la igualdad

P = Pi como la expresión que D

representa dicha situación. Esta es la oportunidad para introducir las representaciones algebraicas de una relación proporcional, ya sea directa o inversa y mostrar sus diferencias con representaciones de relaciones que no varían proporcionalmente, aunque cumplan con alguna de las características de las proporciones. Por ejemplo, es esperable para el nivel que alumnos y alumnas identifiquen

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la expresión y = 2 x + 1 como una relación no proporcional a pesar que cuando una variable aumenta también lo hace la otra.

Aprendizajes Esperados e Indicadores Aprendizajes Esperados

Indicadores

1. Reconoce funciones en diversos

•

contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas. • • •

•

2. Identifica variables relacionadas • en forma proporcional y en forma no proporcional. •

•

3. Resuelve problemas en diversos • contextos que implique proporcionalidad directa e inversa. •

•

4. Plantea ecuaciones que • representan la relación entre dos variables e diversos contextos •

5. Trabaja en equipo y muestra

•

iniciativa personal en la resolución • de problemas en contextos diversos. • •

Diferencia entre una función y una relación no funcional entre dos variables y da ejemplos concretos. Identifica el dominio y recorrido de una función definida en un conjunto determinado. Identifica variables dependientes e independientes y da ejemplos concretos. Representa como una función relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables utilizando notación de funciones. Argumenta acerca del comportamiento de situaciones o fenómenos de la vida cotidiana representadas en gráficos o tablas. Identifica en un contexto determinado, si dos variables no dependen proporcionalmente una de otra, justificando su decisión. Identifica en un contexto determinado, si dos variables dependen directamente una de otra, indicando, cuando sea posible, la constante de proporcionalidad. Identifica en un contexto determinado, si dos variables dependen inversamente una de otra, indicando, cuando sea posible, la constante de proporcionalidad. Resuelve distintas situaciones problemáticas cuyos modelos representan a una situación de proporcionalidad directa. Resuelve distintas situaciones problemáticas cuyos modelos representan a una situación de proporcionalidad inversa. Representa en gráficos y tablas relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables. Plantea ecuaciones de primer grado con más de una incógnita que representan diversas situaciones o fenómenos de la vida cotidiana. Despeja una variable en función de las otras en ecuaciones que tienen más de una incógnita. Es responsable en trabajos grupales. Participa de manera propositiva en actividades grupales. Toma iniciativa en actividades de carácter grupal. Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales.

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Ejemplo de experiencia de aprendizaje: Esta experiencia de aprendizaje se focaliza en la comprensión de la noción de función como uno de los conceptos centrales en la matemática. Se proponen distintas actividades para realizar con los y las estudiantes, que muestran las distintas formas que adoptan las funciones en aplicaciones al modelamiento de situaciones y procesos propios de los mundos social y natural. Esta experiencia de aprendizaje no abarca todos los aprendizajes esperados ni indicadores descritos en la unidad, por lo que debe ser complementada con otras experiencias de aprendizaje. El tiempo propuesto es estimado, ya que esto dependerá de la realidad específica de cada curso.

Tiempo estimado: 4 horas pedagógicas. Recursos: calculadora, gráficos impresos, software gráfico por ejemplo Geogebra.

Aprendizajes esperados e indicadores considerados en esta experiencia: Aprendizajes esperados Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.

Indicadores • Diferencia entre una función y una relación no funcional entre dos variables y da ejemplos concretos. • Identifica el dominio y recorrido de una función definida en un conjunto determinado. • Identifica variables dependientes e independientes y da ejemplos concretos. • Representa como una función relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables utilizando notación de funciones. • Argumenta acerca del comportamiento de situaciones o fenómenos de la vida cotidiana representadas en gráficos o tablas.

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CLASE 1: (2 horas pedagógicas)

INICIO: para motivar a los estudiantes con los aprendizajes que abordarán en esta clase y la siguiente, el profesor o profesora plantea diversas situaciones que pueden ser reinterpretadas como funciones. Por ejemplo: cuando se ingresan dos números y una operación en una calculadora, la relación entre una patente y el auto o entre el RUT y las personas. Explicita que aprenderán qué es una función matemática, a construir e interpretar su gráfica, y a representar ciertos fenómenos mediante una función. Observaciones al docente El propósito de esta clase es contribuir a desarrollar, en las y los jóvenes, habilidades que les permitan identificar una función, interpretar desde significados contextuales su gráfica, así como representar una función mediante una gráfica.

Observaciones al docente: OFT Se intenciona el trabajo en equipo, el respeto a la opiniones distintas a las propias y al razonamiento como una contribución a los OFT.

DESARROLLO: Observaciones al docente: OFT Esta parte de la clase, se realizará mediante una modalidad de trabajo en pequeños grupos. Se sugiere a el o la docente incentivar el trabajo colaborativo así como el respeto a las diversas opiniones de los integrantes de los grupos. De este modo, se trabajan OFT de los ámbitos la persona y su entorno y formación ética

Actividad 1: El profesor o profesora presenta a los y las estudiantes la siguiente situación y tarea. Se sugiere al docente entregarlas por escrito a los alumnos y alumnas. TARIFAS DE TAXIS Un taxi tiene una máquina llamada taxímetro que registra la distancia recorridas por el taxi y le asigna una tarifa.

Taxímetro Un taxímetro está compuesto de dos pantallas principales, en una marca la distancia recorrida en metros (Marcador de Distancia) en la otra marca la tarifa correspondiente (Indicador de Tarifa). El taxímetro calcula la tarifa de una carrera siguiendo la siguiente regla: • El taxímetro marca una tarifa de $200 hasta haber recorrido 200 metros.

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•

A partir de los doscientos metros, cada 100 metros aumenta la tarifa en $ 90. El aumento se produce cada vez que se completan 100 metros. Esto significa que si un taxi recorre, por ejemplo, 300 metros la tarifa es de $290 y si recorre 399 metros la tarifa sigue siendo de $290, a los 400 metros la tarifa sube a $380 ($290 + $90) y se mantiene en este valor hasta los 500 metros.

La siguiente tabla es una representación simplificada de un taxímetro: DISTANCIA: 150 METROS

TARIFA: $ 200

TAXIMETRO

En esta representación, se muestra la tarifa correspondiente a un recorrido de 150 metros. Observaciones al docente El profesor o profesora puede señalar en este momento que lo que hace el taxímetro es transformar distancia (recorrido) en pesos (tarifa a pagar) correspondiente a la distancia.

A continuación, el o la docente solicita a los y las estudiantes realizar las siguientes tareas: 1. Indicar cuál es la Tarifa a pagar por la carrera indicada en el recuadro. DISTANCIA: 2200 METROS

TARIFA: $ ¿?

TAXIMETRO

2. Indicar qué distancia, aproximadamente, recorrió un taxi cuyo pasajero pagó la tarifa indicada: DISTANCIA: ¿? METROS

TARIFA: $ 2090

TAXIMETRO

Una vez que han revisado los resultados, indica que realizarán la representación de la relación Distancia recorrida en metros, versus Tarifa expresada en pesos. Para esto completan la siguiente tabla: DISTANCIA (METROS) 20

TARIFA (PESOS) 200

220

290

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1640 2400 2410 1280 2420

Tabla 1 Una vez completada la tabla, describen en el grupo el proceso, paso a paso, mediante el cual llegaron a los resultados. luego, el profesor o profesora entrega a los grupos de trabajo los siguientes gráficos y les pide desarrollar la siguiente tarea:

T ARIF A E N P E S O S

TARIFA DE TAXI 1000 800 600 400 200 0 0

200

400

600

800

1000

1200

DISTANCIA RECORRIDA EN METROS

TARIFA EN PESOS

TARIFA DE TAXI 1200 1000 800 600 400 200 0 0

200

400

600

800

1000

1200

DISTANCIA RECORRIDA EN METROS

a) Indicar cuál de los dos gráficos podría representar el comportamiento de los datos de un taxímetro. b) Argumentar la elección sobre la base de las distintas representaciones hechas del comportamiento del taxímetro en las actividades anteriores. Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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Observaciones al docente: OFT Se recomienda al docente dar espacios suficientes a los errores y a las contradicciones que surjan en los grupos, intencionando que estas sean resueltas como producto de la discusión en el grupo y en el conjunto del curso. Esto contribuye a desarrollar en los y las estudiantes el respeto por las opiniones dentro y fuera del grupo y su capacidad argumentativa.

Observaciones al docente En esta etapa el profesor o profesora puede promover una discusión, al interior de los grupos, centrando la atención, por ejemplo, en que este es un proceso que se puede interpretar como una correspondencia entre dos conjuntos de números que representan magnitudes de distinta naturaleza (distancia, dinero), y que esta correspondencia se puede registrar como diagramas, tablas y gráficos.

Es importante que los alumnos y alumnas comprendan el concepto de función como una correspondencia entre conjuntos con ciertas propiedades específicas; y las ideas de dominio, recorrido, variable dependiente, variable independiente y la representación simbólica de estas. El profesor o profesora podría, por ejemplo, presentar a sus estudiantes la función tarifa como una función definida en dos partes: T(d) = 200 si d< 200 y T(d) = 200 + k × 90, donde k es el mayor entero contenido en d -200, no necesariamente k es la parte entera de (d – 200)/100. Por ejemplo: Si d = 110, como d < 200, entonces, T(d) = 200. Si d = 450, como d ≥ 200 , entonces, d – 200 = 250 y 250/100 = 2,5 luego k= 2, y T(450)= 200 + 2× 90 = 200 + 180 = 380; luego la tarifa es igual a $380. Les señala que T es una función de d, que d es la variable independiente y que T la dependiente, que el dominio es el conjunto de todos los números que pueden ser reemplazados por d y que le dan sentido a la expresión T(d), y que el recorrido son los valores que toma T(d) al sustituir un valor de d. El o la docente muestra ejemplos de elementos del dominio, por ejemplo 325, ya que T(325) = 200 + 1×90 = 290 tiene sentido desde el punto de vista de la situación, mientras que -230, si bien está definido T(-250) = 200 (puesto que -250 < 200), no tiene sentido una distancia negativa por lo que el dominio es sólo valores positivos. Luego, propone como ejercicio que traduzcan el contenido de la tabla a esta nueva notación y que calculen los valores indicados.

Observaciones al docente Se sugiere al profesor o profesora utilizar herramientas digitales para mostrar gráficas de funciones, por ejemplo, el programa GeoGebra que es gratis y de fácil manejo, se puede descargar de http://www.geogebra.org/cms/

CIERRE: el profesor o profesora aclara las dudas que puedan tener los y las estudiantes. hace una síntesis de la clase y señala que continuarán el trabajo iniciado en la próxima clase. Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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CLASE 2: (2 horas pedagógicas)

INICIO: El profesor o profesora hace preguntas a sus estudiantes relacionadas con la clase anterior con el propósito de activar conocimientos previos. Por ejemplo: ¿qué es una función?, ¿cuál es el recorrido de una función? Les dibuja en la pizarra un diagrama sagital en el que representa una función, y les pide indicar su dominio y recorrido. En seguida, les representa mediante la misma herramienta una relación no funcional, pregunta si es o no función y les pide que argumenten. Puede señalar como ejemplo el marcador de precios en una bomba bencinera y pedir a los y las estudiantes que la consideren como una función. Les solicita: • identificar la variable independiente (litros de bencina) y la variable dependiente (valor de la compra); • indicar qué tipo de relación existe entre la variable dependiente y la independiente (debe quedar establecido que es una relación de proporcionalidad directa); y • señalar cuál es el significado del precio en esta relación (debe quedar establecido que corresponde a la constante de proporcionalidad). Explica que representará como f(l) el valor del litros de bencina. Pregunta si saben cuánto cuesta un litro y suponiendo que su valor es, por ejemplo $654, les pide que escriban la función que modela el comportamiento del marcador de precios (debe quedar establecido que es f(l) = 654 · l) , que realicen un gráfico (utilizando un software y, si no es posible, con lápiz y papel) y que determinen el dominio y el recorrido.

Observaciones al docente: Evaluación Esta actividad, que se realiza utilizando entre 15 a 20 minutos, tiene como propósito reposicionar a los alumnos y alumnas en el tema y evaluar y reforzar lo aprendido en la clase anterior.

DESARROLLO: Conectando con el inicio de la clase el profesor o profesora plantea los siguientes interrogantes a sus estudiantes, que pueden responder pequeños grupos. 1. ¿De qué depende el costo mensual del combustible consumido por un automovilista? 2. Les entrega una hoja con la siguiente tabla: Factores (variables) de los que depende el costo mensual del combustible consumido por un automovilista. Factor1: Factor 2: Factor 3: Factor 4: Precio del litro de combustible utilizado.

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En el ejemplo, puesto en la tabla, se indica como factor el precio de un litro de combustible. Una vez completada la tabla, los grupos las comparten con sus compañeros. A continuación, el profesor o profesora solicita a sus estudiantes que indiquen cómo se relacionan esas variables con el consumo y que le den nombres a las variables (les asignen letras como nombres). Por ejemplo, llaman C al consumo de combustible, t al tiempo transcurrido en días, r al rendimiento expresado en Km/lt, d la distancia expresada en Km, p al precio del combustible, L los litros de combustibles, etc. El profesor o profesora, en interacción con los estudiantes y utilizando algunas de las variables dadas, expresa matemáticamente una relación entre ellas. Por ejemplo, señala: Si estimamos el consumo promedio diario en 10 litros y el precio del combustible en $658 el litro, entonces establecemos la relación: C(t) =658 · 10 · t, con t perteneciente al conjunto M= {1,2,3,4,5,6,7,8,9, … , 30} O bien, C(t)= 6580×t , con t perteneciente al conjunto M= {1,2,3,4,5,6,7,8,9, … , 30} • • • • • •

¿Qué tipo de relación es esta? ¿cómo se puede interpretar la expresión C(t) para un t dado? ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? ¿Cuál es el valor de la expresión C(21)? ¿Cuál es el significado de ese valor?

Observaciones al docente Se sugiere, en la interacción con los y las estudiantes, ir clarificando y reforzando los conceptos de función, variable dependiente, variable independiente, e intencionar el desarrollo de habilidades para identificar los tipos de relaciones - de proporcionalidad por ejemplo – entre las variables.

El profesor o profesora solicita a los grupos, establecer nuevas relaciones funcionales entre las variables por ellos identificadas y el costo mensual del consumo de bencina por un automovilista. Por ejemplo, les pide establecer la relación entre el costo y el rendimiento, sabiendo el valor del litro de bencina. Les pide representar en tablas, como fórmulas y en forma grafica, las funciones obtenidas, e indicar los dominios y recorridos. Finalmente, solicita a los alumnos y alumnas que compartan sus funciones con el resto del curso.

CIERRE: A modo de cierre, el profesor o profesora evalúa, en conjunto con sus estudiantes, las producciones hechas por éstos, retroalimentándolos y validando los significados dados por los y las estudiantes a los procedimientos, expresiones y conceptualizaciones.

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Sugerencia para la evaluación: Aprendizajes esperados e Indicadores que se evalúan en la tarea: Aprendizajes esperados Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.

Indicadores • Identifica el dominio y recorrido de una función definida en un conjunto determinado. • Identifica variables dependientes e independientes y da ejemplos concretos. • Representa como una función relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables utilizando notación de funciones.

Descripción de la tarea: En esta tarea se presenta a los alumnos y alumnas dos problemas en los cuales se modelan situaciones o fenómenos mediante funciones. A partir de esto, deben responder algunas preguntas y luego graficar dicha función.

Tarea o actividad de evaluación: Situación 1 En una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azúcar en la sangre (medida en mg/dl), que es una función del tiempo t (medido en horas), está dada por: A(t) = 3,9 + 0,2 t . 1.1 1.2 1.3 1.4

¿Cuál es la variable dependiente y cuál la independiente en esta función? ¿A las cuántas horas la cantidad de azúcar era de 4,9 mg/dl? ¿Qué tipo de relación existe entre las variables? Explique. Encuentre la cantidad de azúcar en la sangre: • Al principio de la prueba. • 1 hora después. • 2,5 horas después.

1.5 Grafique la función A(t) = 3,9 + 0,2 t

Situación 2 Una automotora arrienda automóviles, cobrando por los primeros 50 Km, $3.000 por kilómetro. Si el uso es superior a 50 Km e inferior o igual a 100 Km, los segundos 50 Km los cobra a $ 2.800 el kilómetro. Si el uso es superior a 100 Km se cobra, por cada kilómetro recorrido, $2.750. a) Indique cuál es la variable dependiente y cuál es la independiente. b) Determine la función que entrega el costo del arriendo de un automóvil. c) ¿Cuánto paga una persona que arrienda un vehículo, en esta automotora, si recorre 87 Km? Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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d) Con este sistema tarifario, qué le conviene más a un usuario que anduvo 98 Km: 1. Pagar la cuenta de inmediato, o bien 2. Andar tres kilómetros más y luego pagar la cuenta.

Argumenta tu respuesta.

Pauta de Evaluación: Para evaluar el trabajo de los alumnos y alumnas, el o la docente puede utilizar los siguientes criterios de evaluación:

Logrado

Logrado con reparos

No logrado

Descripción Identifica correctamente las variables dependientes e independientes en la función. Calcula correctamente las imágenes de valores particulares de la función y las interpreta de acuerdo al contexto Modela la situación en términos de una relación funcional entre sus variables. Modela una situación en términos de una relación funcional entre sus variables. No identifica correctamente las variables dependientes e independientes en la función. No calcula correctamente las imágenes de valores particulares de la función o no las interpreta de acuerdo al contexto No modela una situación en términos de una relación funcional entre sus variables.

Retroalimentación Situación 1:, la función se encuentra dada por el evaluador, por lo que la situación se presta para centrar la observación en la capacidad de los alumnos y alumnas para identificar las variables en la función, realizar sustituciones en expresiones algebraicas simples y graficar dichas funciones. Es recomendable que el o la docente preste especial atención al logro del punto 1.2, ya que es probable que a los y las estudiantes les resulte más natural obtener la medida de azúcar en la sangre que, conocido ese valor, determinar el tiempo transcurrido. Lo anterior se debe a la interpretación que suelen hacer del signo igual, ya que lo tienden a visualizar con mayor claridad de izquierda a derecha. El despeje del valor de “t” conocido el valor de A(t) es un aprendizaje que se verá reforzado con el trabajo de resolución de ecuaciones con dos incógnitas. En el punto 1.3 se busca que los alumnos y alumnas no solo identifiquen el tipo de dependencia entre las variables. También es importante la calidad de su argumentación, lo que puede observarse en el tipo de explicación que los estudiantes entreguen.

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Situación 2: el foco de la observación debe estar puesto en la capacidad de los y las estudiantes para identificar una expresión algebraica que modele la situación descrita. Los alumnos y alumnas podrán entregar distintas expresiones y se recomienda enfocar la retroalimentación en la pertinencia del modelo para representar la situación propuesta, más que en cuánto se ajusta o no a la expresión propuesta por el o la docente.

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ORIENTACIONES PARA PLANIFICAR CON EL PROGRAMA DE ESTUDIO 8 La enseñanza es una actividad intencionada, programada y organizada con el objetivo de que el aprendizaje se logre efectivamente. Planificar el proceso pedagógico es fundamental para maximizar el uso del tiempo y realizar una enseñanza para que la diversidad de alumnos y alumnas logren los aprendizajes que se definen en el curriculum nacional. La planificación educativa es un proceso mediante el cual el docente secuencia los aprendizajes, diseña estrategias y actividades de aprendizaje - basadas en un diagnóstico acerca de las debilidades y fortalezas del aprendizaje desarrollado por sus estudiantes- , establece momentos y procedimientos de evaluación y retroalimentación, organiza el uso del tiempo disponible y define los recursos que serán necesarios para la realización de las actividades. Por ende, planificar el proceso de enseñanza y aprendizaje implica tomar decisiones respecto a qué, a quiénes, cómo, cuándo y con qué se enseñará. Es importante que esto se asuma como una tarea compartida entre todo el equipo del establecimiento, de manera que se propicie el trabajo articulado y continuo entre los distintos niveles y ciclos educativos. Los programas de estudio del Ministerio de Educación han sido diseñados como material flexible, que los profesores y profesoras pueden adaptar en el proceso de planificación a los distintos contextos educativos del país. Es durante este proceso que los profesores analizan los planteamientos del programa, las condiciones específicas del establecimiento y los aprendizajes desarrollados por los distintos grupos que conforman el curso para el cual están realizando las planificaciones, y toman las distintas decisiones implicadas en el proceso de planificación. La planificación se entiende entonces como un proceso práctico y reflexivo, que implica el análisis de los programas de estudio y de la realidad escolar específica. Al respecto es recomendable que los profesores y profesoras consideren los siguientes aspectos: •

• • •

La diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso, en términos de grandes grupos, lo que implica planificar considerando desafíos para estos distintos grupos. El tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible. Las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios. Los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materiales didácticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar, CRA y laboratorio, entre otros.

Es importante tener presente cuáles son los aprendizajes previos necesarios para acceder a nuevos conocimientos y habilidades, y cuáles de estos fueron efectivamente logrados por los estudiantes durante el año anterior en el nivel correspondiente. Aquellos aprendizajes no logrados, requisitos para otros, deben incorporarse en la planificación que se hará.

8 En este capítulo se extrae información de documentos de apoyo a las jornadas de planificación que se realizan anualmente en las escuelas y liceos, elaborados por el Ministerio de Educación. Disponibles en: http://www.mineduc.cl/index2.php?id_portal=17&id_seccion=919&id_contenido=790

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¿Cómo utilizar el programa de estudio para planificar? En el caso de los establecimientos que organizan su quehacer pedagógico en base a los programas del Ministerio de Educación, los aprendizajes esperados que aquí se presentan constituyen los objetivos del proceso de enseñanza y el primer referente de la planificación. Los aprendizajes esperados deben considerarse para:

Determinar una secuencia pedagógica anual o semestral. Determinar la planificación de cada unidad. Determinar y preparar las experiencias y actividades de aprendizaje que se realizarán. Determinar y preparar las actividades de evaluación que se aplicarán.

Para organizar la secuencia anual o semestral: Los programas de estudio ofrecen una organización anual para la implementación del currículum. Cada programa ha sido organizado en semestres y unidades más acotadas en el tiempo, precisando los aprendizajes esperados que se abordarán en cada una de ellas. Este es el primer referente para establecer una secuencia del proceso pedagógico, y está resumido en el cuadro sinóptico de aprendizajes esperados que se presenta en cada programa. El docente deberá estimar el período de tiempo que dedicará a cada unidad, considerando las características de su grupo curso, el tiempo real disponible y los aprendizajes esperados en cada una de ellas. De este modo, podrá contar con una visión global de lo que realizará durante el año y podrá monitorear el uso del tiempo, asegurando que todos los y las estudiantes tengan la oportunidad de aprender aquello que se propone en cada unidad. Para profundizar esta visión anual, el capítulo de fundamentos del sector ofrece una explicación de los propósitos del sector y de los énfasis específicos del año escolar correspondiente, señalando los aspectos principales que deben considerase en la implementación. Para la planificación de cada unidad: Teniendo una visión general del año escolar, se puede planificar con mayor detalle las unidades. Para ello, el programa en cada unidad define un foco, y define indicadores para cada aprendizaje esperado, que les servirán a los profesores y profesoras de referente para precisar el alcance de los aprendizajes y observarlos. Analizando el foco de la unidad y el cuadro de los aprendizajes esperados e indicadores, las profesoras y los profesores deben determinar qué experiencias de aprendizaje se realizarán, cuánto tiempo se destinará a cada una de ellas y qué recursos serán utilizados. A su vez, deberán definir una estrategia para monitorear y evaluar en qué medida se van logrando los aprendizajes, de modo de poder retroalimentar tanto el proceso de aprendizaje de sus estudiantes, como la propia práctica pedagógica. La evaluación es parte constitutiva de la implementación curricular y, por tanto, de la planificación. Planificar la evaluación implica especificar la forma en que serán recolectadas las evidencias para determinar el nivel de logro de los aprendizajes, es decir, qué se evaluará, qué actividades se realizarán, qué instrumentos se utilizarán y en qué momentos se aplicarán. Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación Ministerio de Educación Diciembre 2009

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Realizar un diagnóstico al inicio del año escolar, o bien, al inicio de cada semestre o unidad, es fundamental para una planificación orientada al logro de los aprendizajes esperados. Este diagnóstico puede ser más o menos estructurado, lo importante es que permita conocer si los estudiantes poseen los conocimientos y habilidades previas para acercarse a los nuevos aprendizajes, de modo de retroalimentar la enseñanza, ajustando los tiempos y las estrategias que se están aplicando.

Evaluar los aprendizajes de los alumnos y alumnas, y el proceso pedagógico

Implementar la planificación: enseñar y monitorear las necesidades y aprendizajes de los estudiantes

Identificar qué deben aprender los alumnos y alumnas

Planificar experiencias de aprendizaje, identificar recursos y determinar momentos y procedimientos de evaluación

La planificación se debe ir revisando y ajustando a medida que se va implementando y se recoge información sobre el aprendizaje alcanzado por los distintos grupos de estudiantes

Para diseñar experiencias de aprendizaje: Para apoyar la elaboración de actividades, que apunten al desarrollo de los aprendizajes esperados, el programa ofrece: - Ejemplos de experiencias de aprendizaje que pueden ser integrados a la planificación para el trabajo de determinados aprendizajes y sirven de modelo para el diseño de nuevas experiencias. - Criterios para la construcción de nuevas experiencias de aprendizaje. Estos se presentan en la sección de Estructura y Componentes, y pueden servir de base para la construcción de estas experiencias y para interrogar las experiencias ya diseñadas. - Indicaciones de oportunidades para el desarrollo de los Objetivos Fundamentales Transversales al interior de las experiencias de aprendizaje.

Las experiencias aquí propuestas no son un modelo de planificación, sino que buscan ilustrar cómo realizar una experiencia que conduzca al logro de determinados aprendizajes. Es importante señalar que el hecho de que estos ejemplos se presenten de modo ilustrativo no significa que, al momento de diseñar sus propias estrategias, el docente deba describir lo que realizará con el mismo nivel de detalle.

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Cada docente o equipo de un establecimiento puede diseñar otras formas de presentar lo que realizará en cada clase, utilizando este referente u otros que hayan resultado satisfactorios para el establecimiento. Lo importante es reflexionar sobre los aprendizajes que están en juego, aquellos conceptos, comprensiones y habilidades que es necesario reforzar, cuál será la secuencia lógica que se seguirá, entre otros, anticipando posibles dificultades, aquello en lo que es necesario profundizar y cómo se irán desplegando los distintos contenidos. Evaluación de los aprendizajes: Para apoyar la evaluación de los aprendizajes esperados el programa ofrece: - Ejemplos de tareas de evaluación, que pueden ser aplicadas directamente o incluidas en un instrumento de evaluación y que, al igual que las experiencias de aprendizaje propuestas, ofrecen un modelo para el diseño de nuevas tareas e instrumentos. - Criterios para la construcción de tareas de evaluación, en la sección de Estructura y Componentes del programa, y que pueden utilizarse tanto en la elaboración de nuevas tareas o actividades, así como para revisar las ya diseñadas. - Un capítulo con Orientaciones para la evaluación, que expone el enfoque con que están construidas las tareas de los programas, y que puede servir de material para reflexionar sobre como fortalecer las prácticas evaluativas. - Indicaciones de oportunidades para la evaluación al interior de las experiencias de aprendizaje. Es importante que la planificación sea un instrumento de utilidad para la labor del docente. Para ello, requiere reflexión individual y trabajo colaborativo entre docentes y directivos, así como aprovechar la experiencia profesional y el trabajo realizado en años anteriores. Evaluar lo que ha resultado bien y aquello que requiere modificación, discutir y reflexionar sobre cómo las estrategias que se desarrollan en el aula se relacionan con los aprendizajes esperados, y conocer las características y necesidades de aprendizaje de los propios estudiantes, entre otros aspectos, es fundamental en esta tarea, de modo de poder orientar una retroalimentación que favorezca el mejoramiento continuo del aprendizaje. Cabe destacar que para la realización de los programas de estudio el Ministerio de Educación pone a disposición de los profesores y profesores diversos materiales que le pueden apoyar su práctica docente: Centros de Recursos del Aprendizaje (CRA), textos escolares, Unidades LEM, Materiales digitales, Red Enlaces, orientaciones elaboradas en las instancias de desarrollo profesional docente para abordar sectores curriculares o temas dentro de ellos. Estos materiales tienen como propósito apoyar el aprendizaje de todos los estudiantes del país y pueden ser usados por los profesores, articulados coherente y convenientemente en el marco de su planificación. Asimismo, los docentes pueden incorporar excelentes materiales elaborados por distintas instituciones nacionales y de otros países, muchos de las cuales puede encontrar en Internet. Es preciso subrayar la necesidad de adaptar dichos materiales a la realidad de sus estudiantes y su entorno. Para facilitar la búsqueda, en los programas se recomienda bibliografía y sitios web destacados.

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ANEXOS

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ANEXO 1: Objetivos Fundamentales por Semestre y Unidad:

Objetivo Fundamental 1.

Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. 2. Utilización estrategias de cálculo que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinar y aplicar sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 3. Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas. 4. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional y resolver problemas en diversos contextos que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad. 5. Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, reconocer algunas de sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichas transformaciones. 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utilizar los conceptos de perímetro de una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos. 7. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos y utilizar este tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes. 8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central, ampliando al caso de datos agrupados en intervalos. 9. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias, y utilizar medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra de datos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan. 10. Determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales. 11. Emplear formas simples de modelamiento matemático, verificar proposiciones simples, para casos particulares, y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar opiniones y tomar decisiones.

Semestre 1

Semestre 2

Unidades: 1 2

Unidades: 1 2

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ANEXO 2: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad: Contenidos Mínimos Obligatorios NÚMEROS: 1. Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros. 2. Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo. 3. Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 4. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros, potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. ALGEBRA: 5. Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos. 6. Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones. 7. Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional. 8. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico. 9. Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. GEOMETRÍA: 10. Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones. 11. Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones. 12. Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y

Semestre 1

Semestre 2

Unidades: 1 2

Unidades: 1 2

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tangente. 13. Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia. 14. Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico. 15. Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono. DATOS Y AZAR: 16. Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas. 17. Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y moda en estos casos. 18. Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos. 19. Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan. 20. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas. 21. Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos. 22. Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.

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ANEXO 3: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO): Semestre 1: Aprendizajes Esperados Unidad 1 1. Establece estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. 2. Resuelve problemas que involucre las operaciones básicas con números enteros. 3. Utiliza estrategias de cálculo que implica el uso de potencias de base entera y exponente natural, verifica y aplica sus propiedades y extiende dichas propiedades a las potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural. 4. Resuelve problemas que involucre potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 5. Analiza los procedimientos utilizados en la resolución de problemas y los resultados obtenidos.

OF

CMO

1

1 -2 - 4

1 - 11

2-8

2

3-4

2 - 11

4-8

11

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5

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5

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6

12 - 13

6 6

13 14 -15

6

14 - 15

OF

CMO

7

16 - 17

8

17

9

18 - 19

10

20 – 21 - 22

Unidad 2 1. Caracteriza transformaciones isométricas de figuras geométricas planas y las reconoce en diversas situaciones y contextos. 2. Realiza transformaciones isométricas de figuras geométricas planas utilizando regla y compás o procesadores geométricos, y argumenta acerca de las invariantes que se producen al realizar estas transformaciones. 3. Utiliza las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y semiregulares 4. Caracteriza la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y utiliza el concepto de perímetro de una circunferencia en la resolución de problemas en contextos diversos. 5. Calcula el área del círculo en contextos diversos. 6. Utiliza los conceptos de superficie del cilindro, cono y pirámide, en la resolución de problemas en contextos diversos. 7. Utiliza los conceptos de volumen del cilindro y cono en la resolución de problemas en contextos diversos.

Semestre 2: Aprendizajes Esperados Unidad 1 1. Interpreta información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos y utiliza este tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes. 2. Interpreta y produce información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central, ampliando al caso de datos agrupados en intervalos. 3. Comprende el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias. 4. Asigna probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y las contrasta con resultados experimentales.

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Unidad 2 1. Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas. 2. Identifica variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional. 3. Resuelve problemas en diversos contextos que implique proporcionalidad directa e inversa. 4. Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables en diversos contextos

3

5–6-7

4

7-8

4

9

4

5

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Referencias bibliográficas sugeridas

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Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática. Ministerio de Educación de Chile. Mayo 2009.

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Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1997. 1ª edición.

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Corbalán Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Editorial Graó, Barcelona, 1995.

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MATEMÁTICA. Programa de Estudio. Octavo Año Básico

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