Matemática y Razonamiento Lógico

9no. Semestre Educación Media Técnica

El área de Matemática y razonamiento lógico se ha caracterizado, en la mayoría de los semestres por privilegiar primero la comprensión de los , objetos matemáticos, antes que la memorización de fórmulas o algoritmos. En la mayor parte de los temas se ha hecho énfasis en abordar el objeto matemático a través de sus diferentes representaciones (verbales, gráficas, simbólicas y numéricas), porque esto brinda la oportunidad de poner en funcionamiento diversos procesos cognit ivos,

apuntando a la adquisición de competencias que se han propuesto a lo largo de todos los semestres en esta área. Asimismo las temáticas se relacionan con variadas situaciones problema del mundo real: personales, laborales, científicas, que muestran la necesidad de hacer uso de los conceptos matemáticos para comprender esos fenómenos o problemas, mientras nos permiten visualizar la utilidad de las matemáticas. Como sabes, estás en un sistema semi-presencial, donde eres el principal responsable de tus aprendizajes y es importante que tomes

Presentación conciencia de la forma cómo aprendes y cuáles son las mejores estrategias para que logres avanzar. Estos aspectos los puedes concretar a través de la autoevaluación y coevaluación presente en algunas semanas. Al finalizar cada tema debes darte la oportunidad de reflexionar acerca de tu desempeño para establecer mejoras. Para aprovechar tus aprendizajes al máximo te sugerimos, además de lo anterior, que atiendas las siguientes recomendaciones: lee el material antes de los encuentros en el CCA; realiza las tareas asignadas; escribe tus dudas sobre lo que no entiendes para luego consultar con tu facilitador y compañeros; revisa los enlaces sugeridos en la web y el multimedia. Esto último es muy importante para que puedas complementar, reforzar y aclarar lo que vas estudiando. No olvides que el trabajo en equipo es otra forma de construir saberes. Esperamos puedas darle un uso eficiente y adecuado a esta guía, que con gusto ha sido diseñada para cumplir con la función de guiarte en el proceso de aprendizaje.

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Presentación

Semana 1 Un acercamiento al área ¡Empecemos!

Bienvenidos y bienvenidas a otro semestre lleno de saberes y de compartir experiencias. Estás muy cerca de la meta. ¡Sigue adelante! En este encuentro expondremos a grosso modo los temas que trataremos en el transcurso del semestre. Esta semana nos dedicaremos a estudiar problemas que vimos durante el semestre anterior y algunos acertijos que podrás resolver con un poco de ingenio, mucho papel y bastante paciencia. Puedes compartirlos con tu familia y compañeros del CCA.

¿Qué sabes de...? En esta sesión explorarás los conocimientos adquiridos en el semestre anterior a través de variados ejercicios y problemas. La idea es que tomes conciencia de tus fallas (en caso de haberlas) para subsanarlas y que te traces unos objetivos y/o acciones que te permitan minimizarlas. ¡Manos a la obra! 1. Expresa el perímetro de la figura 1 como un polinomio. 3n + 2 n2 - 4

n2 - 4 3n + 2 Figura 1

2. La suma de dos polinomios es 2x2+x+8. Uno de los polinomios es x2+3. ¿Cuál es el otro? 3. ¿Qué significa hallar el logaritmo de un número? 4. La concentración de alcohol en la sangre puede medirse. Recientes investigaciones médicas sugieren que el riesgo R (dado como un porcentaje) de tener un accidente al conducir un vehículo puede calcularse a través de la ecuación: R=3ekx

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Semana 1

Un acercamiento al área

Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre, k es una constante y e=2.71 aprox. a) Imagina que una concentración de alcohol en la sangre de 0.06 resulta un riesgo de 10% (R=10) de tener un accidente. Encuentra la constante k de la ecuación. b) Con este valor de k, ¿cuáles el riesgo si la concentración es 0.17? c) Con el mismo valor de k, ¿qué concentración de alcohol corresponde a un riesgo de 100%? d) La ley de determinado país establece que cualquier persona con un riesgo de 15% o mayor de tener un accidente no debe estar autorizada para conducir, ¿con qué concentración de alcohol en la sangre debe arrestarse a un conductor?

¿Sabías que una de las primeras causas de accidentes automovilísticos en Venezuela es el exceso de velocidad, generalmente ocasionado por la ebriedad (62%)? Y las probabilidades de tener un accidente se incrementan si la persona tiene entre 17 y 24 años de edad. ¡Toma conciencia! No abordes vehículos cuyos conductores estén bajo los efectos del alcohol, ni manejes en ese estado.

5. En una agencia de automóviles clasifican los autos en dos grupos: sencillos y de lujo. En el mes de agosto terminaron de vender los autos de ese año y en el mes de septiembre introdujeron los modelos del año siguiente. En la tabla 1 se muestran las ventas en bolívares realizadas por dos vendedores en cada mes. Tabla 1 Ventas de Agosto

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Ventas de Septiembre

Sencillo

De lujo

Sencillo

De lujo

Vendedor 1

840.000

1.050.000

1.200.000

1.140.000

Vendedor 2

980.000

900.000

1.350.000

570.000

a) ¿Cuál fue el total de ventas en los meses de agosto y septiembre para cada uno de los vendedores y para cada modelo?

Semana 1

Un acercamiento al área

b) ¿Cuál fue el incremento en bolívares de las ventas de agosto a septiembre? c) Si ambos vendedores reciben un 5% de comisión sobre ventas, calcula la comisión que recibe cada uno en el mes de septiembre. 6. Observa la figura 2. a) ¿Cuáles tendrán la lámpara encendida? Puedes comprobarlos armando los esquemas. ¿En cuáles se enciende la lámpara? ¿En cuales no se enciende la lámpara?, ¿por qué?

Figura 2 b) ¿Cuál o cuáles de los esquemas mostrados en la figura 3 son circuitos electrónicos?, ¿por qué? ¿Cuáles son las condiciones que se deben cumplir para que haya circulación de la corriente eléctrica?

Figura 3

El reto es... De acuerdo a lo visto en la sección anterior, precisa las acciones que vas a emprender para obtener mejores resultados en el aprendizaje de este semestre. Para ello puedes escribir un decálogo de los aspectos que quisieras ir mejorando en el ámbito educativo; si lo deseas, puedes incluir aspectos de tu vida personal. Este decálogo debes colocarlo en un lugar visible de tu habitación para que siempre lo tengas presente y vayas chequeando cuáles de ellos han sido superados y en cuáles hay que seguir trabajando.

Vamos al grano En este semestre estudiarás dos alternativas para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Cramer y el de Gauss-Jordan. Con esto se busca que observes la diversidad de opciones que existen para solucionar problemas matemáticos y de otros contextos. Daremos continuidad al estudio de las

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Semana 1

Un acercamiento al área

operaciones básicas con polinomios (multiplicación y división de polinomios). Adquirirás destrezas en el manejo de herramientas que permiten agilizar los cálculos: los productos notables, y verás que la operación inversa de éstos: la factorización es útil para simplificar expresiones algebraicas complejas. Resolverás problemas prácticos y teóricos, a través del estudio de los triángulos oblicuángulos. Para esto necesitamos analizar la Ley de los senos y la Ley de los cosenos, cuyas aplicaciones son numerosas en nuestra vida diaria y en otros ámbitos como, por ejemplo, la navegación y la aeronáutica. Finalizaremos con un bloque de cuatro semanas dedicadas al estudio de la Física, en lo que concierne a temas como: Movimiento armónico simple (MAS) y ondulatorio. Estas temáticas son tratadas desde un enfoque más cualitativo que cuantitativo, con énfasis en el análisis de situaciones cotidianas y de la ciencia. Un tipo de movimiento oscilatorio es el sonido y para su estudio nos preguntamos: ¿qué es el sonido?, ¿cómo oímos? y ¿cómo viaja el sonido?, entre otras cuestiones que nos invitan a reflexionar sobre los avances tecnológicos fundamentados en principios físicos que contribuyen a mejorar nuestra calidad de vida.

Para saber más… Te invitamos a “echar un vistazo” a las temáticas trabajadas en este material y a revisar el DVD de este semestre. Lee con detenimiento “El optimismo de cada día” que encontrarás en el multimedia.

Aplica tus saberes La lectura sugerida en “Para saber más” puede ayudarte a realizar el decálogo propuesto en la sección “El reto es”. Verás que es necesario salir de vez en cuando de la rutina.¿Qué aspectos de tus estudios quieres cambiar durante este semestre? Cuando tomas una decisión, ¿con cuánta frecuencia te preguntas si esa será la mejor forma de hacer o decir las cosas? En este preciso momento toma una hoja (puedes realizar ilustraciones) y empieza a trabajar en el decálogo.

Comprobemos y demostremos que… ¡Más problemas! 162

1. El jardinero del rey es un hombre inteligente. Lo ha de ser porque siempre le dan órdenes raras que debe cumplir si no quiere perder el empleo

Semana 1

Un acercamiento al área

real. El mes pasado le dieron la orden de que, en un terreno cuadrado, plantara 16 árboles ornamentales (iguales) colocados de tal manera que se vieran 10 hileras rectas de 4 árboles cada una. ¡Y lo consiguió! Tú en su lugar, ¿cómo lo habrías hecho? 2. Dibuja la figura 4 de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel y sin recorrer la misma línea dos veces. B

E

A H

I L

F G

J

C

K

D

Figura 4 3. Un hombre murió y dejó un terrenito en el estado Mérida en el que había construido 4 hermosos chalets (ch) para sus cuatros sobrinos.

ch ch ch ch Pero había una condición: que sólo se lo podían quedar si conseguían dividir el terreno en 4 partes exactamente iguales en forma y superficie y que, en cada parte, hubiera uno de los chalets. ¿Cómo lo dividieron? ¡Ayúdalos a cobrar su herencia! 4. ¿Cuánto es un millón divido entre un cuarto? No uses calculadora.

A veces podemos pasarnos años sin vivir en absoluto, y de pronto toda nuestra vida se concentra en un solo instante. Oscar Wilde

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Semana Semana 22 Regla de Cramer

Regla de Cramer

¡Empecemos! Como recodarás en el 7mo semestre estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) con tres incógnitas, los cuales se resolvieron empleando los métodos analíticos: sustitución, igualación y reducción. En esta ocasión para resolver dichos sistemas utilizaremos la regla de Cramer, que se basa en el cálculo de determinantes.

¿Qué sabes de...? 1. Los SEL que no tienen ninguna solución se conocen como: a) Compatibles determinados. b) Compatibles indeterminados. c) Incompatibles. 2. Si el SEL tiene más de una solución se denomina: a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado. c) Incompatible. 3. Si dos SEL tienen la misma solución, se conocen como: a) Iguales. b) Compatibles determinados. c) Equivalentes.

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Semana 2

Regla de Cramer

El reto es... Los estudiantes del IRFA organizaron un evento deportivo y recreativo a fin de recoger fondos para arreglar los talleres. Para ello vendieron 110 helados en tres presentaciones: vasitos, barquillas y tinas. Recolectaron 1.038 Bs y los precios de cada helado eran: Bs. 7 el vasito, Bs. 8 la barquilla y Bs. 10 la tina. Si se sabe que entre barquillas y tinajas se compraron el 20% más que de vasitos, ¿qué cantidad de helados se compraron de cada uno? En este momento estás en condiciones de resolver el problema por los métodos ya estudiados. ¡Hazlo! Esperamos que al finalizar la lectura de este material puedas solucionar los SEL usando el método de Cramer.

Vamos al grano Determinantes Dada una matriz cuadrada A se llama determinante de A, abreviado: det (A), al número real que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Por ejemplo, en una matriz de orden 2, su determinante se expresa así: a a det (A) = a11 a12 = a11· a12 - a21· a12 21 22 Producto Producto de la diagonal de la diagonal principal secundaria

Ejemplos: Hallar el determinante de las siguientes matrices: -3 3 0 1/4 4 -10 a) b) c) 5 6 12 5 12 -30 Recuerda que debes multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarlos al producto de la diagonal secundaria. a) (-3) · 6 - (-5) · 3 = -18 + 15 = - 3

b) 0 · 5 -12 · 1 = 0 - 3 = -3 4

c) 4 · (-30) -12 · (-10) = -120 + 120 = 0

Determinante de orden 3 Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al número que se obtiene así:

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Semana 2 det (A) =

Regla de Cramer

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

= a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 - a11 · a23 · a32 - a12 · a21 · a32 - a12 · a21 · a33 - a13 · a22 · a31 Observa que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes. La idea no es que memorices esa expresión. Hay una manera sencilla de encontrar el determinante de una matriz de orden 3, empleando la regla de Sarrus (en honor al matemático francés Pierre Sarrus), de la siguiente forma: •

Se escriben a la derecha de la matriz las dos primeras columnas.

•

Se realiza el producto de los elementos que contiene cada flecha. Los productos de la diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +; la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo -.

•

Finalmente realizamos la suma algebraica de los productos resultantes.

A través de un ejercicio se ejemplifica la regla: 5 11 -1 Halla el determinante de la matriz B = -4 0 9 2 3 8 Se repiten las dos primeras columnas a continuación de la tercera. Diagonal secundaria y paralelas

5 11 -1 5 11 -4 0 9 -4 0 2 3 8 2 3 Diagonal principal y paralelas

det (B)= 5 · 0 · 8 + 11 · 9 ·2 + (-1) · (-4) · 3 - (-1) · 0 · 2 -3 · 9 · 5 - 8 ·(-4) · 11 Suma algebraica de los productos de la diagonal principal.

Suma algebraica de los productos de la diagonal secundaria.

det (B) = 0 + 198 + 12 + 0 - 135 + 352 = 562 - 135 = 427

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

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Sea un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas de la forma:

Semana 2

Regla de Cramer a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … +a1nxn= b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + … +a2nxn= b2

(1)

am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amnxn=bm Los números reales aij se denominan coeficientes, los xi se llaman incógnitas y bj se denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2, se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2; y, en el caso de tres, x, y, z, en lugar de x1, x2, y x3, pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema simultáneamente.

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo siguiente:

···

a11 a12 a13 ··· a1n a21 a22 a23 ··· a2n a31 a32 a33 a3n

···

Matrix de Coeficientes

=

b1 b2 b3

···

···

···

···

···

am1 am2 am3 ··· amn

·

x1 x2 x3 xn

bm

Matrix de incógnitas

Matriz de términos independientes

Al usar tus conocimientos sobre la multiplicación de matrices, advertirás que el producto de la matriz A y la matriz X de las incógnitas, se corresponde con el miembro izquierdo del sistema de ecuaciones (1).

Regla de Cramer La regla de Cramer (en honor a su inventor, Gabriel Cramer) es aplicable a sistemas en los que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Expresamos el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y se halla el determinante de la matriz A de coeficientes.

167

Semana 2

Regla de Cramer

Sea det(A) el determinante de la matriz de coeficientes:

···

a11 a12 a13 ··· a1n a21 a22 a23 ··· a2n a31 a32 a33 a3n ···

···

···

···

am1 am2 am3 ··· amn Y cada uno de los determinantes det(A)1 , det(A)2 , det(A)3..., det(A)n se forma a partir del determinante del sistema det(A), sustituyendo la columna de la incógnita que se está hallando por la columna de las constantes (matriz de términos independientes). El valor de cada incógnita se calcula dividiendo el det(A)1 , det(A)2 , det(A)3..., det(A)n entre el determinante det(A). La solución del sistema de ecuaciones lineales, utilizando la regla de Cramer viene dada por: det(A)2 det(A)3 y = z= det(A) det(A)

det(A)1 x = det(A)

Es importante recordar que un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene una única solución, que es justamente la anterior. Concretemos esta regla a través de la situación propuesta al inicio, considerando las siguientes incógnitas: x: cantidad de helados de vasitos; y: cantidad de barquillas; z: cantidad de helados en tinajas. Al plantear el sistema de ecuaciones, obtenemos: x+y+z=132 x+y+z=132 x+y+z=132 7x+8y+10z=1038 7x+8y+10z=1038 7x+8y+10z=1038 y+z=1.2x -1.2x+y+z=0 -12x+10y+10z=0 Multiplicamos por 10 la última ecuación para eliminar el punto y ordenamos el sistema. •

Expresamos el último sistema de ecuaciones en forma matricial; esto es: 1 1 1 7 8 10 -12 10 10

•

=

132 1038 0

Se halla el determinante de la matriz de coeficientes A:

Aplicando Sarrus:

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·

x y z

1 1 1 1 1 7 8 10 -7 8 -12 10 10 -12 10

Semana 2

Regla de Cramer

det (A)= 1· 8 ·10 + 1·10 · (-12) + 1 · 7 · 10 - 1 · 7 ·10 -1 ·10 ·10 -1 ·8 · (-12) = 80 -120 -100 + 96= 176 - 220= -44 Como el determinante es distinto de cero se puede aplicar la regla de Cramer. •

Hallamos el determinante asociado a cada una de las incógnitas.

En la matriz del sistema A, sustituimos la primera columna de las x por la columna de términos independientes, pues x es la primera incógnita; así: 132 1 1 1038 8 10 0 10 10

132 1038 0

1 8 10

Observa que la primera columna ha sido sustituida por la columna de términos independientes. Aplicamos Sarrus para obtener el determinante. det(A)x =132 · 8 ·10 +1 ·10 · 0 +1 · 1038 ·10 -1 · 1038 ·10 -10 ·10 ·132 -1 · 8 · 0 =10560 + 0 -13200 + 0= -2640 -2640 det(A)x La solución de x, será x= = = 60 helados de vasito. -44 det(A) •

Hallamos el determinante asociado a la incógnita:

Se ha sustituido la columna de las y en el determinante del sistema por la columna de términos independientes. 1 132 7 1038 -12 0

1 10 10

1 132 7 1038 -12 0

det(A)y= 1 ·1038 ·10 +132 ·10 · (-12)+1 · 7 · 0 -132 · 7 ·10 -1·10 · 0 -1·1038 · (-12) = 10380 - 15840 + 0 - 9240 - 0 +12456= 22836 - 25080= -2244 det(A)y La solución de y, será y= det(A) •

=

-2244 = 51 barquillas. -44

Hallamos el determinante asociado a la incógnita.

En la matriz del sistema, sustituimos la tercera columna por la columna de términos independientes; así: 1 7 -12

1 132 8 1038 10 0

1 1 -7 8 12 10 169

Semana 2

Regla de Cramer

det(A)z= 1· 8 · 0 +1 ·1038 · (-12) +132 · 7 · 10 -1 · 7 · 0 -1 · 10 ·1038 -132 · (-12) · 8 = 0 -12456 + 9240 - 0 -10380 + 12672= -22836 + 21912= -924 det(A)z La solución de z, será z= = det(A)

-924 = 21 tinas -44

Para saber más… Para reforzar la resolución de problemas de un sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, puedes observar el video que se muestra en la siguiente dirección web: http://goo.gl/fWABb

Aplica tus saberes 1. Halla el determinante de las siguientes matrices: a) -6 4 0 5

b) 7 -8 21 -24

3 1 -0,6 c) 2 2/3 1 -9 7 0

d)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2. Utiliza la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas: a) 3x-2y+z=-1

b) x+y+z=6

c) 3x+y+z=1

2x+y-z=2

x-y+2z=5

2x+2y+z=5

x-3y+z=0

x+y-z=0

x-y+z=0

3. Una empresa de computadoras ofreció servicio técnico: revisión, mantenimiento y reparación (incluye costo de materiales y mano de obra) a tres departamentos de una escuela: Control de estudio y evaluación, Pedagogía y Sala telemática. En Control de estudio y evaluación se tienen dos computadoras: una recibió revisión y mantenimiento mientras la otra sólo mantenimiento (limpieza). En la sala telemática se revisaron 4 computadoras, se hizo mantenimiento a 3, por un costo de 720 Bs. A la computadora del departamento de Pedagogía se le hicieron los tres servicios (R, M, R) por un costo de 520 Bs. En total la escuela hizo un gasto de 1520 Bs. ¿Cuánto es el costo de cada uno de los servicios?

Comprobemos y demostremos que… Discute en el CCA con tus compañeros los problemas mostrados en “Aplica tus saberes”. 170

La tierra es suficiente para todos pero no para la voracidad de los consumidores. Gandhi

Regla de Cramer Semana 3 Eliminación de Gauss-Jordan

Semana 2

¡Empecemos! En esta sesión mostramos otra manera de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método, a diferencia de la regla de Cramer, es aplicable a matrices no cuadradas, es decir, sistemas donde el número de ecuaciones e incógnitas no necesariamente son iguales. La idea es presentarte una variedad de métodos de resolución de los sistemas y que seas tú quien elija el que te parezca más conveniente según cada situación.

¿Qué sabes de...? Una persona compró para su oficina 3 cajas de marcadores y 4 cuadernos (unidades) por 327 Bs.; en otra oportunidad compró una caja de marcadores y 2 cuadernos por 121 Bs. ¿Cuánto le costarán 6 cajas de marcadores y 8 cuadernos?, ¿4 cajas de marcadores y 6 cuadernos?, ¿2 cajas de marcadores y 2 cuadernos?, ¿una caja de marcadores y un cuaderno? Intenta traducir todas las operaciones efectuadas al lenguaje algebraico. La idea es que visualices cómo obtener los respectivos resultados sin resolver directamente el sistema de ecuaciones.

El reto es... El complejo recreativo Acuaticpark tiene 101 mesas, las cuales cuentan con 4, 6 y 8 asientos, siendo la capacidad total de asientos de 552. Varios participantes del CCA, con motivo de su graduación, decidieron compartir en este hermoso lugar. Para la ocasión se ocupó la mitad de las mesas con 4 asientos, un octavo de las mesas con 6 asientos y un tercio de las de 8 asientos, para un total de 35 mesas. ¿Cuántas mesas de cada tipo se usaron ese día? ¿Cuántas personas asistieron? ¿Cuál es el menor número de mesas que podría ocuparse con las personas asistentes? Resuelve este ejercicio empleando los métodos conocidos hasta el momento. Al final de la semana puedes resolverlo empleando el método de Gauss-Jordan.

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Semana 3

Eliminación de Gauss-Jordan

Vamos al grano Matriz ampliada Una matriz ampliada contiene las partes esenciales del sistema (1).

···

a11 a12 a13 ··· a1n b1 a21 a22 a23 ··· a2n b2 a31 a32 a33 a3n b3 ···

···

···

···

···

am1 am2 am3 ··· amn bm La barra vertical se incluye sólo para separar los coeficientes de las incógnitas de los términos independientes. Con esta notación no se usan las incógnitas, es decir, sólo se trabaja con los coeficientes y, para facilitar el manejo de éstos, se hace uso de las matrices. La idea es aprender a manejar las matrices ampliadas de manera que se obtenga la solución del sistema (1), si es que existe. El objetivo es empezar con la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales y transformarla por medio de operaciones sobre filas o columnas en una matriz equivalente. Una matriz ampliada puede transformarse en una matriz equivalente por filas (o columnas) si: 1. Se intercambian dos filas (o columnas) fi fj (significa que hay un intercambio, de las filas iésima por la fila jésima o viceversa). 2. Se multiplica una fila (o columna) por una constante no nula. fi K fj 3. Se suma un múltiplo constante de una fila (o columna) a otra fila (o columna) dado. fi K fj + fi. La flecha

172

significa “es reemplazada por”.

Veamos la situación planteada en “¿Qué sabes de…?”. Llamemos M al precio de la caja de marcadores y C al precio del cuaderno. Tenemos que 3M+4C=327 y M+2C=121. Por ejemplo, si queremos hallar ¿cuánto costarán 6 cajas de marcadores y 8 cuadernos?, ¿qué se te ocurre? ¡Exacto! Basta con multiplicar por 2 la ecuación 3M+4C=327; esto es 6M+8C=654. Observa que se ha aplicado la

Semana 3

Eliminación de Gauss-Jordan

transformación 2, se multiplicó la ecuación por una constante no nula (por 2 en este caso) en ambos lados de la igualdad.

Matrices reducidas La forma simple que se habrá de obtener al aplicar esas operaciones se llama matriz-reducida y debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. Cada fila que tenga todos sus elementos nulos (ceros) está debajo de una fila que tenga al menos un elemento no nulo. 2. El primer elemento no nulo de cada fila es 1. 3. La columna que contenga el primer elemento1 de cada fila debe tener ceros tanto arriba como debajo de éste. 4. El primer 1 de cada fila debe estar a la derecha del primer 1 de la fila anterior. Ejemplos de matrices reducidas: sería conveniente que verifiques que cumple las condiciones establecidas. 1 0 4 0 1 2 00 -3 1 0 2 1 20 3 2 b) c) a) 0 1 3 0 d) 0 0 10 2 0 1 -1 0 01 -1 0 0 0 0 1 0 0 01 6 Veamos mediante un ejemplo como se llegará a una matriz reducida. Resolvamos el siguiente sistema: 2x-y= 7 (2) x+2y= 4 Se escribe la matriz ampliada del sistema 2. 2 -1 7 1 2 4 f1

Para obtener un 1 en la esquina superior izquierda, se intercambian las filas (condición 1).

Para obtener un cero en la posición a21 (esquina inferior izquierda), se multiplica f1 por (-2) y se suma a f2 (condición 2) esto modifica f2, pero no a f1. Algunos suelen escribir (-2) f1 fuera de la matriz (los números rojos representan -2f1), para ayudarse a prevenir errores aritméticos.

f2

1 2 4 2 -1 7 -2 +4 -8 1 2 4 0 3 -1 f2

-2f1+ f2

173

Semana 3

Eliminación de Gauss-Jordan

Por la condición 2 el elemento no nulo de cada fila es 1, por esa razón aplicamos la operación 3 de filas equivalentes, para obtener 1 en la posición a22 , multiplicamos por 1/3 (equivale a dividir por 3). Luego encima (o debajo) de cada 1 debe ir un cero, en la posición a12 , para ello multiplicamos f2 por -2y se suma a f1

f1

1/3 f2

1 0 4 0 1 -1/3 f1

-2f2 + f1

Observa que las operaciones de multiplicación y suma se realizan en ambos lados de la barra vertical.

Método de Gauss-Jordan El método de Gauss-Jordan proporciona una forma sistemática de transformar un sistema de ecuaciones dado en otro equivalente. Tomando la matriz ampliada del sistema y, mediante operaciones elementales en sus filas, la transformamos en la forma reducida. De esta manera, obtenemos un sistema equivalente al inicial más fácil de resolver. Cuando los sistemas tienen más de dos ecuaciones y tres o más incógnitas se utilizará el método de Gauss-Jordan. Ahora, resuelve por eliminación de Gauss-Jordan: 2x -2y + z= 3 3x + y- z= 7 x-3y + 2z= 0 La representación matricial del sistema de ecuaciones viene dado por: x 2 -2 1 3 3 1 -1 · y = 7 z 1 -3 2 0 A partir de la matriz ampliada y aplicando el método de Gauss, obtenemos: Se necesita un 1 aquí

2 -2 1 3 3 1 -1 7 1 -3 2 0 f1

Se necesitan dos 0 aquí

1 -3 2 0 3 1 -1 7 2 -2 1 3 f2 f3

174

f3

-3f1+f2 -2f1+f3

Paso 1. Escoge la fila que no sea nula y trata de obtener un 1 en la parte superior. Puedes dividir la fila por 2 o reemplazar por la fila 3. En este caso hemos optado por esto último. Paso 2. Con múltiplos de la primera fila obtén ceros debajo del 1 que obtuviste en el paso 1. Por ejemplo, multiplicas por -3 la fila 1, el resultado lo sumas a la fila 2 y consigues el primer cero.

Semana 3

Eliminación de Gauss-Jordan Se necesita un 1 aquí

1 -3 2 0 0 10 -7 7 0 4 -3 3 1/10 f2

f2 Se necesita un 0 aquí

1 -3 2 0 0 1 -7/10 7/10 1 4 -3 3 4 f2 + f3

f2 Se necesita un 1 aquí

1 -3 2 0 0 1 -7/10 7/10 0 0 -1/5 1/5 f3

Se necesitan dos 0 aquí

Paso 3. Para obtener un 1, basta dividir por 10. Repite los pasos 1 y 2 con la submatriz (la que queda después de borrar la fila superior y la primera columna). Repite el proceso anterior (pasos 1 y 3) hasta conseguir la matriz reducida.

(-5) f3

1 -3 2 0 0 1 -7/10 7/10 0 0 1 -1 f2

-2f3+f1 7/10 f3+f2

f2 Se necesita un 0 aquí

Debes usar los múltiplos adecuados para obtener cero arriba del 1 de la tercera fila. Para hacer cero el elemento -7/10 se multiplica 1 por 7/10 y se le suma ese producto.

1 -3 0 2 0 1 0 0 0 0 1 -1 3 f2 + f1

f1

Finalmente la matriz ya tiene la forma reducida y se puede escribir la solución del sistema. Por simple inspección es la terna (2, 0,-1). Resuelve el siguiente sistema por el método de Gauss-Jordan: w + x - 3y -4z= -1 2w + 2x -y -2z= 3 w + x + 2y + 2z= 7 1 1 -3 -4 2 2 -1 -2 1 1 2 2

-1 3 7

f2

-2f1+f2

f3

-f1+f3

1 1 -3 -4 0 0 5 6 0 0 5 6 f3

f2- f3

-1 5 8

1 1 -3 -4 -1 0 0 5 6 5 0 0 0 0 -3 175

Semana 3

Eliminación de Gauss-Jordan

Para saber más… Revisa el multimedia, allí encontrarás una serie de ejercicios para reforzar y profundizar en las diferentes soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

Aplica tus saberes 1. Realiza una investigación sobre las distintas soluciones que se obtienen al aplicar el método de Gauss-Jordan. Puedes orientarte a través de las siguientes preguntas: ¿Cómo es la solución del sistema si una fila es múltiplo de la otra?, ¿cómo es la solución si luego de haber reducido el sistema tienes una fila de elementos nulos?, ¿cómo es la solucióndel sistema si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas?, entre otras. 2. Usa el método de Gauss-Jordan para resolver los sistemas de ecuaciones lineales e identifica si el sistema tiene una solución, si es infinita o no tiene. a)

b)

c)

x1+2x3= 6

3x1+2x2-3x3+5x4= -2

2x-y= 0

-3x1+4x2+6x3= 30

-2x1+3x2+5x3+2x4= 0

3x+2y= 7

x1+x2+x3+x4 = 1

x-y= -2

-x1-2x2+3x3= 8

-x2+x3-x4= -2 d)

e)

f)

2x-y-3z= 8

3x-4y-z= 1

2x+3y-z= 1

x-2y = 7

2x-3y+z= 1

x-2y+2z= -2

x-2y+3z= 2 3. Resuelve el siguiente problema empleando el método de Gauss-Jordan.

176

Las edades de tres hermanos son tales que el quíntuplo de la edad del primero, más el cuádruplo de la edad del segundo, más el triple de la edad del tercero, es igual a 60. El cuádruplo de la edad del primero, más el triple de la edad del segundo, más el quíntuplo de la del tercero, es igual a 50. Y el triple de la edad del primero, más el quíntuple de la del segundo, más el cuádruplo de la del tercero, es igual a 46. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones que permita determinar las edades de los hermanos.

Eliminación de Gauss-Jordan

Semana 3

Comprobemos y demostremos que… 1. Discutan con el facilitador en el CCA el informe de la investigación realizada. Luego formen grupos pequeños para resolver los problemas planteados en la sección anterior. 2. Autoevalúate. La finalidad de esta autoevaluación es hacer evidente la valoración del trabajo que has conseguido en relación a los sistemas de ecuaciones lineales, reconociendo cuáles han sido tus logros y dificultades para asumir las acciones necesarias para mejorar. ¿Qué sabías del tema? ¿Cómo lo has ido aprendiendo? ¿Qué sabes ahora?

3. Propuesta de mejora:

Saber no es suficiente; tenemos que aplicarlo. Tener voluntad no es suficiente: tenemos que implementarla. Goethe

177

Semana Multiplicación y división de polinomios Semana 44 Multiplicación y división de polinomios ¡Empecemos! En esta sesión daremos continuidad al estudio de las operaciones de polinomios, la multiplicación y división. Para avanzar satisfactoriamente en este tópico debes recordar la propiedad distributiva y la propiedad de las potencias, temas vistos en semestres anteriores. Al finalizar esta semana estarás en la capacidad de efectuar operaciones de multiplicación y división de polinomios.

¿Qué sabes de...? 1. ¿Cuáles son los elementos de una división? ¿Cuándo una división es exacta?, ¿cuándo es inexacta? 2. Aplica las propiedades de potencia que corresponda en cada caso: z6 x7 x3 a) 5 · 52 · 53= b) y8 · y4 · y3= c) 9 = d) -9 = z x

El reto es... Resuelve el siguiente problema: una caja con fondo cuadrado está hecha de una pieza cuadrada de cartón de 12 cm de lado. Se cortan cuadrados de lado x en las esquinas y los lados se doblan hacia arriba. Encuentra el volumen de la caja; esto lo puedes hacer empleando tus conocimientos de álgebra y geometría. Luego de finalizada la lectura de esta semana retoma esta situación y expresa el volumen de la caja en términos de un polinomio (desarrolla la multiplicación de los polinomios).

178

Multiplicación y división de polinomios

Semana 4

Vamos al grano Veamos un ejemplo donde observes los distintos casos que se presentan en la multiplicación de polinomios. Consideremos el producto de los polinomios R(x)=7x3+4x2-9 y S(x)=3x4+5x32x-3 (nótese que los polinomios están ordenados). En el cuadro de abajo, tomaremos al polinomio R(x) como operador, esto es, el que multiplicará a S(x) (polinomio multiplicado). Colocamos en cada fila del operador los términos de R(x) y a su lado colocamos a S(x). De esta manera garantizamos que se multipliquen todos los términos, como se indica en la primera fila mediante colores y líneas para ilustrar el procedimiento. En la columna del producto vemos la operación que se realiza término a término, estos resultados se colocan en la cuarta columna como un polinomio ordenado. Finalmente se realiza la suma de los resultados de cada fila para obtener el producto R(x) · S(x). Opera- Polinomio Producto Suma de términos dor multiplicado 7x3(3x4) +7x3(5x3) 3x4+5x3-2x-3 21x7 +35x6 -14x4 -21x3 7x3 +7x3(-2x) +7x3(-3) 4x2(3x4) +4x2(5x3) 12x6 +20x5 +4x2 3x4+5x3-2x-3 -8x3 -12x2 +4x2(-2x) +4x2(-3) -9(3x4) -9(5x3) -27x4 -45x3 -9 3x4+5x3-2x-3 +18x +27 -9(-2x) -9(-3) 21x7+47x6+20x5-41x4-74x3-12x2+18x+27 Si analizamos mejor el cuadro “intuimos” que se pueden presentar varios casos: 1. Si tanto el operador como el polinomio multiplicado son monomios: multiplicamos los coeficientes con sus signos y las variables. Sería el caso de los números en rojo en el cuadro. Si P(x)= 7x3 y Q(x)= 3x4, P(x) · Q(x)= 7x3(3x4)= 21x7 2. Si el operador es un monomio y el polinomio multiplicado es un polinomio: se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio (propiedad distributiva). Es el caso de cada una de las filas del cuadro anterior, consideradas separadamente. Si N(x)= 4x2 y S(x)= 3x4+5x32x-3, N(x)·S(x)= 4x2(3x4)+4x2(5x3)+4x2(-2x)+4x2(-3)= 12x6+20x5-8x3-12x2

179

Semana 4

Multiplicación y división de polinomios

3. Si tanto el operador como el polinomio multiplicado son polinomios, se sigue todo el procedimiento presentado en el cuadro. En general, en la multiplicación de polinomios, los coeficientes se multiplican entre ellos; considerando los signos y las variables siguen la regla del producto de potencias de igual base.

Responde: el producto de dos binomios es 2x2+5x+2. Si uno de los binomios es (x+2), ¿cuál es el otro binomio? Para hallar el otro binomio tienes (esto es una de las maneras) que hacer uso de la división de polinomios. En el siguiente apartado verás cómo hacerlo.

División de polinomios En la división de polinomios también se mantiene la relación entre los elementos de la división usual: Dividendo= divisor x cociente + residuo. El propósito de esta operación es, dado un polinomio dividendo y un polinomio divisor, conocer el cociente y residuo que verifica la igualdad anterior. El procedimiento es similar al aplicado para dividir números, teniendo en cuenta, además, el trabajo con los signos y las potencias. Vamos a estudiar el caso en el que el Dividendo y divisor son monomios, para posteriormente extender el estudio al caso de los polinomios. Veamos algunos ejemplos. Dados Q(x)=66x5 y R(x)=-4x3, hallar Q(x)÷ R(x). Se dividen los coeficientes con sus respectivos signos.

66 -4

=-

Se divide la variable teniendo en cuenta la división de potencia de igual base.

x5 x3

= x2

El resultado de dividir los monomios 180

Q(x) =R(x)

33 2

33 2

= x2

Sigamos ejercitando, para que desarrolles habilidades en las operaciones de polinomios. Halla el cociente de los siguientes monomios:

Semana 4

Multiplicación y división de polinomios -6z10 b) 6 20z

18x7 a) 4 6x

a) 18x7 = 6x7-4 6x4

b) -6z10 -3 10-6 = z 20z6 10 = 6x3

=-

5w7 d) 2w9

8·0y9 c) 8 2y

-3 4 z 10

c) 0·8y9 = 0·4y9-8 2y8

d) 5w7 =? 2w9

= 0·4y

El resultado del problema d), ¿es un polinomio? Veamos mediante un ejemplo cómo se realiza la división de polinomios. Dados P(x)=5x+4x3+2x2+6y Q(x)=x2-x+3, hallar P(x)÷Q(x) Se ordenan los polinomios en forma decreciente y si el polinomio está incompleto puedes completarlo con 0x o dejar un espacio en el término que falte. 1. Tomamos el término de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el término de mayor grado del divisor, obteniendo así el primer término del cociente. 4x3 x2-x+3 = 4x 4x3+2x2+5x+6 x2 4x 2. Multiplicamos ese término por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo. Bajamos después el siguiente término del dividendo. 4x3+2x2+5x+6 -4x3+4x2-12x

x2-x+3 4x · (x2-x+3) = 4x3 - 4x2 +12x 4x

+6x2-7x+6

Su opuesto es -4x3+ 4x2 -12x

3. Volvemos a dividir el primer término (6x2) del resto parcial entre el primer término del divisor, obteniendo así el segundo término del cociente. Repetimos el proceso del paso 2. 4x3+2x2+5x+6 -4x3+4x2-12x

x2-x+3 4x +6

0x3+6x2-7x+6 6x2+6x-18 -x-12

181

Semana 4

Multiplicación y división de polinomios

Como el grado del resto (-x-12) es menor que el grado del divisor, no se puede continuar dividiendo y 4x+6 es el cociente. Como puedes ver, esta división es inexacta porque su resto es distinto de cero. Comprueba si el resultado es correcto empleando la igualdad: Dividendo= divisor x cociente + residuo. Al comprobar su veracidad por medio de esta relación estas ejercitando la multiplicación y suma de polinomios. ¡Hazlo!

Para saber más… Consulta las siguientes direcciones web para profundizar en la división de polinomios: http://li.co.ve/r3w

http://goo.gl/iZ4Dc

Aplica tus saberes En el problema inicial observa que si le quitas 2 veces la longitud de x a cada lado, queda 12-2x, el área de la base es (12-2x)· (12-2x), la altura de la caja viene expresada por la longitud de x. El volumen de la caja será el producto del área de la base por su altura: V= (12-2x).(12-2x) · x= 4x3-48x2+144x. Verifica tu resultado. Se puede obtener otras interrogantes: ¿para qué valor entero positivo de x el volumen de la caja es mayor?, ¿qué ocurre con el volumen de la caja si el valor de x es 6?

Comprobemos y demostremos que… 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones de polinomios. a) P(x)= 9x4-8x+3/5x6 y Q(x)= 5x3-8x5+6x2+2x b) R(z)= 6z4-2z7+8z y S(z)= 3z2+z-6 2. Divide los siguientes polinomios y clasifica la división obtenida en exacta o inexacta. a) (6z2-z3+2z5-3z)÷(z4-z) b) (8x2-9x5+x4-3)÷(x2-3) c) (x2+2x+6x4-4) ÷(x-2) 182

d) (x4-y4)÷(x+y)

Nunca se ha logrado nada sin entusiasmo. Emerson

Multiplicación Semana 5 y división de polinomios Productos notables. Parte I

Semana 4

¡Empecemos! Bienvenidos a otro encuentro con el saber matemático. En esta oportunidad estudiaremos los productos notables; la ventaja de estos es que nos permiten resolver de manera más sencilla e inmediata los productos que aparecen con cierta regularidad en algunos problemas. En esta sesión podrás visualizarlos atendiendo a la diversidad de formas de representarlos: algebraico, geométrico, numérico y verbal. Para obtener mayores beneficios en el aprendizaje de esta semana necesitas tener conocimiento del cálculo de la superficie de los cuadriláteros y de operaciones algebraicas (traducir expresiones en lenguaje común al algebraico, reducción de términos semejantes…). Anímate a revisar estos temas en las guías de semestres anteriores.

¿Qué sabes de...? 1. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) La suma de seis al cuadrado y de doce al cuadrado. b) El cuadrado de la suma de seis y doce. c) La diferencia de los cuadrados de treinta y diez. d) El cuadrado de la diferencia entre sesenta y cuarenta y cinco.

El reto es... Un árbol de 32m de altura es quebrado por un rayo en un día lluvioso. Determina la altura de quiebre del árbol con respecto al suelo, si el trozo roto queda apoyado en el suelo formando un triángulo de 16m de base. Sugerencias: dado que el árbol forma un ángulo recto con respecto al suelo, el triángulo que se forma es…, así que aplica el teorema de Pitágoras.

183

Semana 5

Productos notables. Parte I

? ? 16 m Figura 5

Vamos al grano ¿Cómo podemos expresar los valores o incógnitas correspondientes al cateto e hipotenusa? Realicemos la siguiente analogía: comparemos un árbol con una línea recta para hacer el análisis. E Extremo

E 32x

32m

32m P

P O Origen

a. Longitud de árbol

x

O

b.

16 m

c.

Punto P de quiebre del árbol

32-x

x

d.

Distribución de segmentos en el árbol

Las relaciones entre los segmentos

Recuerda que el teorema de Pitágoras expresa lo siguiente: (Hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2. Al sustituir nos queda: (32-x)2=x2+162. Ten presente que x representa la altura a la cual se rompió el árbol con respecto al suelo. La expresión del miembro izquierdo (32-x)2 es un producto notable, conocido como cuadrado de una diferencia. En lo que resta de esta sección, verás cómo se resuelven. Cuadrado de una suma o producto de la forma (x+a)2 ab

b2

a

a2

ab

a

b

(a+b)

b

184

Figura 6

Semana 5

Productos notables. Parte I

La longitud del lado del cuadrado que se muestra en la figura 6 es a+b. Con tus conocimientos de geometría sabes que el área del cuadrado se obtiene multiplicando la longitud de dos de sus lados, esto es (a+b)·(a+b). Al elevar la longitud de su lado al cuadrado se tiene: A= (a+b)·(a+b) (a+b)2= (a+b)·(a+b). Como observarás esto es el producto de binomios, ¡resuélvelo aplicando la multiplicación! Por otro lado, si sumas las áreas del interior del cuadrado grande, obtienes: A= a2+a·b+a·b+b2=a2+2a· b+b2 Por tanto tenemos, que: El cuadrado de la suma de un binomio (o dos monomios) es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado. (a+b)2=a2+2a·b+b2 Primer término

Segundo término

Observa los siguientes ejemplos: 1. Halla el cuadrado de la suma (3x+5)2 • El cuadrado del 1er término es (3x)2=(3x)(3x)=9x2 • El doble producto de ambos términos es 2(3x)(5)=(6x)(5)=30x • El cuadrado del 2do término es 52=5·5=25 Entonces (3x+5)2=9x2+30x+25

Recuerda que multiplicar un número por sí mismo es igual que elevarlo al cuadrado, esto es a·a=a2. Con esta idea en mente, puedes inferir que (3x+5)· (3x+5)= (3x+5)2; es decir, cualquiera de los dos miembros de la igualdad representa el cuadrado de un suma. 2. Encuentra tres enteros consecutivos tales que las sumas de sus cuadrados sea 65 más que tres veces el cuadrado del más pequeño. Una de las maneras de realizar el ejercicio es haciendo uso de las ecuaciones. Traduzcamos esa información al lenguaje algebraico. Llamemos

185

Semana 5

Productos notables. Parte I

z al menor de los números, así los otros números consecutivos serán, z+1 y z+2, elevamos al cuadrado cada uno de ellos: z2+(z+1)2+(z+2)2, luego con la información restante escribimos la ecuación: z2+(z+1)2+(z+2)2= 65+3z2 Desarrollamos los productos notables obtenidos en el miembro izquierdo de la ecuación: (z+1)2= z2+2· z2·1+12= z2+2z+1 y (z+2)2= z2+2·z2·2+22= z2+4z+4 z2+z2+2z+1+z2+4z+4= 65+3z2 Agrupando términos semejantes: 3z2+6z+5= 65+3z2 Aplicando la propiedad de cancelación: z= 10 Así que los otros números consecutivos son 11 y 12. ¡Comprueba que estos son los correctos!

Cuadrado de una diferencia o producto de la forma (x-a)2 Aplicando tus conocimientos de multiplicación de polinomios, encontrarás el resultado del cuadrado de una diferencia (a-b)2= (a-b)· (a-b) ¿Te sorprende? Los resultados son similares al caso del cuadrado de una suma, sólo difieren en el signo del segundo término: (a-b)2= a2-2a·b+b2 Escribe el enunciado para esa igualdad. Geométricamente, el cuadrado de una diferencia representa la región coloreada (ver figura 7). b a a-b

(a-b)2

b

a-b

Figura 7 Haz uso de la suma de las áreas interiores del cuadrado, para hallar el cuadrado de una diferencia (a-b). ¡Inténtalo!

186

Semana 5

Productos notables. Parte I Veamos unos ejemplos: 1. (0.3x4-6)2

a) El cuadrado del 1er término es (0·3x4)2= (0·3x4)(0·3x4)= 0.09x8 b) El doble producto de ambos términos es -2(0·3x4)(6)= (0·6x4)(6)= 3·6x4 c) El cuadrado del 2do término es 62= 6·6= 36 d) Entonces (0.3x4-6)2 = 0·09x8-3·6x4+36 Ahora puedes desarrollar el producto notable propuesto en el problema inicial. 2. (32-x)2= (32)2-2·32· x+x2= 1024-64x+x2 Justifica el resultado. Luego resuelve la ecuación y compara el resultado. La altura a la cual se rompió el árbol es de 12m. Cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio cuadrado perfecto (observa que tiene tres términos).

Producto de una suma por su diferencia o de la forma (a+b) (a-b) Consideremos los siguientes productos de dos binomios que sólo difieren en el signo, es decir, uno es una suma y el otro una diferencia. *(x+6)·(x-6)= x2-6x+6x 36=x2-36 *(7+3x)·(7-3x)=72 -7·3x+7·3x+(3x)2 = 49 -·21x+21x 9x2= 49-·9x2 *(8 x2-10y)·(8x2+10y)=(8x2)2+8x2·10y-10y.8x2-(10y)2=64x4+80x2 y -80x2 y+100y2 ¿Qué tienen en común los resultados de estos productos de binomios? Estos ejemplos sugieren la regla siguiente para multiplicar la suma y la diferencia. El producto de la forma (a+b)(a-b), es igual al cuadrado del primer término (a2) menos el cuadrado del segundo término (b2). En general, el producto de una suma por su diferencia se expresa así: (a-b)(a+b)=a2-b2

187

Semana 5

Productos notables. Parte I

Para saber más… Estudiemos los dos primeros casos de la sección “¿Qué sabes de?”, ¿ves la diferencia entre las expresiones a) y b)? a) La suma de seis al cuadrado y de doce al cuadrado: 62+122 b) El cuadrado de la suma de seis y doce: (6+12)2 Un error muy común que se comete al resolver productos notables, es asumir que (6+12)2= 62+122 Cuadrado de Suma de cuadrados una suma 324 ≠ 180 Como ves esta igualdad no es cierta, si resuelves el miembro derecho sólo tienes que elevar al cuadrado ambos números y sumar, mientras que en el miembro izquierdo al desarrollar el cuadrado de una suma obtenemos tres términos. Incorrecto

Correcto

(3+11)2= 32+112

(3+11)2= 32+2·3·11+112

Al comparar geométricamente las expresiones: (a+b)2 y a2+b2 de la figura 7, verás que la primera representa el área total del cuadrado y la segunda sólo una parte del cuadrado más grande; por tanto, el área de esas expresiones no es equivalente.

Aplica tus saberes 1. Copia y completa la tabla 2. Tabla 2 a 3 5 10 -3 188

b 2 7 3 2

a2 9

b2 4

2ab 12

Observa los resultados de la tabla 2 y responde: a) ¿(a+b)2 es igual a a2+b2?

(a+b)2 25

a2+b2 13

Semana 5

Productos notables. Parte I

b) ¿Qué número hay que sumarle a a2+b2 para que sea igual a (a+b)2? 2. Encuentra dos números positivos consecutivos tales que el producto de la suma y su diferencia más 8 sea igual a la suma de los cuadrados. 3. Calcula utilizando los productos notables: a) (4x+1)2

b) (3z3-2)2

c) (2x-y3) 2

e) (x-6)·(x+6)

f ) (2z - 1/5)2

g) (8a2b-y) 2

i) (6-m)·(6+m)

j) (a+1)·(a-1)

k) (4ab2+6xy)2

d) (x+5) 2 h) (2w+5)·(2w-5)

Comprobemos y demostremos que… En el CCA formaran pequeños grupos para comparar los resultados de los ejercicios propuestos en la sección anterior. Luego de la discusión y los consensos generados en el grupo entreguen el trabajo al facilitador.

No permitáis que nadie venga a vosotros y se vaya sin ser mejor y más feliz. LeiAn-Jai

189

Semana Semana 66 Productos notables. Parte II

Productos notables. Parte II

¡Empecemos! Esta semana continuamos descubriendo otros productos notables, en este caso los referidos al cubo. Al finalizar estarás en la capacidad de: • Identificar los productos notables y su desarrollo. • Transformar una expresión algebraica a otra equivalente. • Resolver ejercicios aplicando los diferentes casos de productos notables. • Valorar los productos notables como herramientas que permiten agilizar los cálculos. • Expresar matemáticamente lo que se indica en ciertas expresiones verbales.

¿Qué sabes de...? 1. ¿Qué significa hallar el cubo de un número? 2. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) La suma de cinco al cubo y de catorce al cubo. b) El cubo de la suma de cinco y catorce. c) La diferencia de los cubos de setenta y treinta y ocho. d) El cubo de la diferencia entre ciento dieciséis y ochenta y siete. e) El cubo del doble de cuatrocientos.

El reto es... 190

Comprender la relación geométrica y algebraica de los productos notables, así como la utilidad de estos en el cálculo mental.

Semana 6

Productos notables. Parte II

Vamos al grano Cubo de una suma (a+b)3 Para hallar el desarrollo del cubo de una suma, vamos a tomar como referencia el cubo que se muestra en la figura 8. El lado del cubo es a+b, su volumen se obtiene multiplicando la medida de ese lado por sí mismo tres veces: V=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)3.

a2b

b2a

b2a

b

a2b

a3

a a2b

b3

b2a

Figura 8. Descomposición de un cubo A la derecha del cubo se muestra la descomposición de éste, es decir, la suma de dichas partes es igual al volumen del cubo, (a+b)3. Se tiene que: (a+b)3= a3+b3+a2b+a2b+a2b+b2a+b2a+b2a =(a+b)3 =a3+b3+3a2b+3b2a El cubo de una suma de dos términos es igual al cubo del primer término (a2) más el triple del cuadrado del primer número por el segundo (3 · a2 · b), más el triple del primero por el cuadrado del segundo término (3 · a · b2), más el segundo al cubo (b3). El cubo de una suma (a+b)3, también puede hallarse multiplicando (a+b)2. (a+b) Ejemplos: 1. Hallar (5x+2y4)3 a) El cubo del 1er término es: (5x)3=5x · 5x · 5x=125x3 b) El triple del cuadrado del primero por el segundo término es: 3·(5x)2·2y4=3·25x2·2y4=150x2y4 c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo es:

191

Semana 6

Productos notables. Parte II

3·5x·(2y4)2=15x· 4y8 = 60xy8 d) El cubo del segundo término es: (2y4)3=2y4 ·2y4 ·2y4=8y12 Entonces: (5x+2y4)3=125x3+150x2y4+60xy8+8y12 2. (3x2+m)3=(3x2)3+3·(3x2)2·m+3·3x2·(m)2+(m)3 =27x6+3·9x4·m+9x2·m2+m3 =27x6+27x4m+9x2m2+m3

Cubo de una diferencia (a-b)3 Para hallar (a-b)3, podemos emplear nuestros conocimientos de potencia, para descomponerlo: (a-b)3=(a-b)2(a-b) (se desarrolla el producto notable cuadrado de la diferencia). =(a2-2ab+b2) (a-b) (se efectúa el producto de polinomios). =a3-a2b-2a2b+2ab2+b2a-b3 (se reducen los términos semejantes). =a3-3a2b+3ab2-b3 Escribe un enunciado que se ajuste a la igualdad anterior. Guíate por el cubo de una suma y ten en cuenta los signos. Ejemplos: 1. (3a2-7xz4)3 a) El cubo del 1er término es: (3a2)3= 3a2 · 3a2 · 3a2= 27a6 b) El triple del cuadrado del primero por el segundo término: 3·(3a2)2·7xz4=3·9a4 ·7xz4=189a4xz4 c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo es: 3·3a2·(7xz4)2= 9a2 · 49x2 · z8= 441a2x2 · z8 d) El cubo del segundo término es: (7xz4)3= 7xz4·7xz4·7xz4= 343x3z12 (3a2-7xz4)3= 27a3-189a4xz4+441a2x2· z8-343x3z12 2. (1-4y)3 (1-4y)3=13-3·12· 4y+3·1· (4y)2-(4y)3=1-12y+3·16y2-64y3=1-12y+48y2-64y3

192

Productos notables. Parte II

Semana 6

Cálculo mental y productos notables Veamos cómo podemos hacer uso de los productos notables para hallar el cuadrado de un número de manera sencilla y rápida y sin usar la calculadora. Para ello necesitas recordar los cuadrados de los primeros números y de otros elementales. Números 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 30 40 50 Cuadrados 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 400 900 1600 2500 Por ejemplo, si te piden hallar el cuadrado de 63, puedes descomponerlo como la suma de dos números, cuya suma sea el número inicial, es decir, 63= 60+3. Lo importante es saber elegir convenientemente la base que se eleva al cuadrado. Así, tenemos que (60+3)2= 602+2·60·3+32= 3600+360+9= 3969, es decir, 632= 3969. ¡Compruébalo con la calculadora! Halla el cuadrado de 38. Puedes escribirlo como 38= 30+8 o 38= 40-2. En la primera expresión tendrías el cuadrado de la suma y en la segunda el cuadrado de una diferencia: 382= (40-2)2=402-2·40·2+22= 1600-160+4=1444. Hállalo usando la suma de cuadrados. Sigamos encontrando resultados maravillosos. Con cualquier número de dos dígitos que termine en 5, podemos obtener un patrón que nos permita hallar con facilidad el cuadrado de estos números. Estos pueden expresarse como: 10x+5, si x=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tendremos respectivamente: 10·0+5=5, 10 ·1+5 =10+5=15, 10·2+5=25,…, 75, 85 y 95. El cuadrado del número, vendrá dado por: (10x+5)2=(10x)2+10x·10+25=100x2+100x+25 Cuadrado de una suma. =100x(x+1)+25 La expresión x(x+1) es el resultado de multiplicar las cifras de las decenas por su número consecutivo. Multiplicar el número por 100 y sumarle 25. Veámoslo con un ejemplo concreto: (75)2=5625 Se efectúa la operación multiplicando la cifra de las decenas por otra mayor en una unidad (la cifra de la decena es: 7,7x8=56) y escribiendo 25 a continuación del resultado, esto da 5625. Calculemos el cuadrado de 45, su decena es 4, se multiplica este por el número consecutivo 4x5=20 y a continuación de este colocamos 25, esto es: (45)2=2025 ¡listo! Halla el resto de los números cuadrados de dos cifras que terminen en 5.

193

Semana 6

Productos notables. Parte II

Con un poco de ejercitación podrás realizar los cálculos en cuestión de segundos ¡Sorprende a tus compañeros y familiares!

Con el cálculo mental no se debería buscar únicamente la rapidez o inmediatez como si fuera un recetario, sino el análisis de las situaciones numéricas y la comprensión de conceptos relacionados con las operaciones y sus propiedades.

Para saber más… Para reforzar el tema mediante la explicación clara de algunos videos, te sugerimos visitar la siguiente dirección web: http://li.co.ve/r3v

Aplica tus saberes Resuelve los siguientes ejercicios: a) (x-6)3

b) (9+y2)3

c) (4z-5)3

d) (5x+z3)3

e) (6-7y)3

f ) (5x2+w)3

Comprobemos y demostremos que… ¡Autoevalúate! Nunca

Frecuentemente

Siempre

Realicé los ejercicios propuestos en las últimas dos semanas Consulté los enlaces sugeridos Consulté las dudas con el facilitador

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El buen humor gana batallas que la fuerza y la razón perderían. Juan C. Abella

Productos7notables. Parte II Semana Factorización. Parte I

Semana 6

¡Empecemos! El tema que estudiarás en esta sesión está muy relacionado con el de productos notables, la relación entre estos y la factorización, dado que son operaciones inversas. Así como la resta es la operación contraria de la adición, la factorización es una herramienta que permite simplificar expresiones algebraicas complejas. La comprensión de la factorización, conjuntamente con su práctica constante, te permitirá: • Identificar expresiones algebraicas que puedan factorizarse. • Reconocer los diferentes casos de factorización. • Aplicar correctamente los métodos de factorización en las expresiones algebraicas.

¿Qué sabes de...? 1. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 3y-5 2. ¿Qué significan las soluciones de una ecuación de segundo grado? 3. Desarrolla el siguiente producto notable: (12x-5)(12x-5)

El reto es... Con el estudio de esta semana podrás resolver problemas como el siguiente: un acuario en forma de prisma rectangular tiene un volumen de 2x3-20x2+50x ¿Cuál es la longitud del prisma en función de x de la longitud de la caja?

195

Semana 7

Factorización. Parte I

Vamos al grano Los números pueden ser expresados como producto de dos o más números, así 60 se puede escribir de diversas maneras como: 60=12·5

60=10·6

60=(-10)·(-6)

60=10 ·2·3

60=5·22·3

El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar. Factorizar una expresión (un número, polinomio…) significa descomponerla como producto de dos o más expresiones (factores). Cuando se factoriza una expresión, se obtiene una expresión equivalente a la original. Los polinomios, al igual que los números, pueden ser expresados como el producto de dos o más factores algebraicos (polinomios de menor grado).

Casos de factorización Para realizar la factorización se pueden utilizar varias técnicas: sacar factor común, productos notables o aplicar la regla de Ruffini (esta última no será abordada en este semestre). A continuación esbozaremos algunos métodos; cabe agregar que estos son los más elementales y que no todas las expresiones pueden factorizarse con los citados en esta guía. Caso 1. Factor común Recordarás que en la multiplicación de un monomio con un polinomio utilizamos la propiedad distributiva para multiplicar cada término del monomio por el polinomio. Al factorizar hacemos lo contrario, “sacamos” el factor común: número, letra o ambos (monomios) que aparecen en cada uno de los términos del polinomio. Detalla los siguientes ejemplos: a) 5x2y+5xy3

b) -2a2b+4a2b+6b2ax

c) 3z4-6z3+18z2-9z

d) 6x+18

Observa que en el ejercicio a) en todos los monomios aparece el 5, la x y la y, así 5xy es un factor común; en el b) el factor común es 2ab, ¿por qué? En el caso c) determina cuál es el factor común; en d) a simple vista pareciera que no tiene términos comunes, pero el 18 se puede descomponer como 6·3=18, reescribimos la expresión 6x+18=6x+3·6 y observamos que el 6 es común a los dos términos. En general, ¿cómo factorizamos este tipo de expresiones? 196

Semana 7

Factorización. Parte I

Se debe transformar la expresión polinómica dada en un producto, donde uno de los factores es común entre todos los términos y el otro se obtiene al dividir cada término del polinomio “original” entre el factor común. Fíjate en la factorización del siguiente polinomio: 7m3z-21m2nz-56m2z

El M.C.D. de (7, 21, 56)=7, luego el factor común es 7m2z

Observa que m2z está en cada término, además los coeficientes son múltiplos de 7. Así el factor común es 7m2z. Otra manera es calcular el máximo común divisor de los coeficientes y multiplicarlo por la menor potencia de mz (en este caso es m2z).

(7m3 z)/(7m2 z)− (21m2 nz)/(7m2 z)− (56m2 z)/(7m2 z)= m−3n−8

Se divide cada término del polinomio entre el factor común.

El polinomio es igual al producto del factor común por el polinomio obtenido en el paso anterior.

7m3z-21m2nz-56m2z = 7m2z · (m-3n-8)

Relacionemos este caso con algunas de las formas de la función cuadrática, por ejemplo y=6x2+24x. Si tienes que hallar el punto de corte con el eje de las x, ¿qué tienes que hacer? Debes sustituir y=0 en la función, obteniendo así la ecuación de segundo grado: 0=6x2+24x. Cuando estudiamos la función cuadrática resolvimos esta ecuación mediante la fórmula general: x=

-b±

b2-4ac 2a

Esta fórmula fue abordada en semestres anteriores. Veamos que es posible resolverla aplicando factor común: 0=6x(x+4). Cuando el producto de los factores es cero, al menos una de las cantidades es cero, así 6x=0 o x+4=0; al despejar la x de ambas ecuaciones, resulta que x=0 o x=-4. Es importante observar que en 6x2+24x=6x(x+4) el miembro derecho es la factorización y está expresado como el producto de dos factores de menor grado, 1, que el polinomio original, cuyo grado es 2. 197

Semana 7

Factorización. Parte I

Caso 2. Factorización por grupos Observa la siguiente expresión3xy+15x-4y-20 ¿Hay factor común? Puede darse el caso que aunque no aparece factor común en todos sus términos, es posible factorizarlo en grupos iguales de términos y luego se aplica el caso 1. El polinomio de 4 términos puede factorizarse en dos grupos, se eligen de tal manera que los polinomios que quedan al factorizarlos (factor común) sean iguales, como se muestra a continuación: (3xy+15x)+(-4y-20)

3x(y+5)-4(y+5)

(3x-4) (y+5)

Otro ejemplo más: a(m+4n)+bm+4bn Agrupamos los términos: =a(m+4n)+b(m+4n) Factor común a y b =(a+b)(m+4n)

Factorizamos (m+4n)

Caso 3. Diferencia de cuadrados Dado el siguiente polinomio: 9z2-16 ¿es posible escribirlo como el producto de dos factores? Revisa la semana 5, donde abordamos productos notables en este semestre. El caso del producto notable de la suma por su diferencia es igual a la diferencia de cuadrados, es decir: (x-a) (x+a) = x2 -a2(1)

Suma por su diferencia

Diferencia de cuadrados

La expresión 9z2-16 es una diferencia de cuadrados. Al reescribirla (3z)2-42, se corresponde con el miembro derecho de la igualdad notable (1), así que su factorización de (3z) 2-42 viene dada por el miembro izquierdo: (3z-4)(3z+4). En general, para factorizar diferencia de cuadrados se halla la raíz cuadrada de cada término, y se escriben estos dos valores como el producto de la suma por su diferencia. 121n2-169m2= (11n+13m)(11n+13m) 121n2=11n x11n 169m2=13mx13m 198



Se obtiene la raíz cuadrada

Semana 7

Factorización. Parte I Observa otro ejemplo más:

1 a4-64b6= ( 1 a2)2 - (8b3)2 Re-escribiendo. 3 9 1 2 1 2 =( a +8b3) ( a - 8b3) Aplicando la diferencia de cuadrados. 3 3 Caso 4. Trinomios cuadrados perfectos De acuerdo a lo estudiado en el tema de productos notables, sabes que el cuadrado de un binomio es (a±b)2=a2±2ab+b2, donde el lado derecho de la igualdad se denomina trinomio cuadrado perfecto y se puede escribir como un cuadrado de una suma o diferencia. ¿Cómo identificar si el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto? Observa el procedimiento a través del siguiente ejemplo: 4y2+81z2+36yz.

4y2-36yz+81z2

4y2

81z2 El primer y el segundo término son cuadrados perfectos.

Raiz 2y

9z

2·2y·9z= 36yz

 

Ordenas el trinomio en forma decreciente con respecto a una variable.

Y si el segundo término es el doble producto de las raices cuadradas de los términos, entonces el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto.

Un número cuadrado perfecto es aquel cuya raíz cuadrada es un número entero. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto, ya que 9=3 199

Semana 7

Factorización. Parte I

¿Cómo se factorizan?

Se extrae la raíz cuadrada del primer y el tercer término (ordenado).

Verificar que el producto doble de las raices sea igual al segundo término. Se forma una suma (o resta) de las raices elevada al cuadrado, si el segundo término del trinomio es positivo (es negativo).

Factoricemos el siguiente polinomio: 49x2-140x+100 Se ordena 49x2-140x+100 La raíz cuadrada de 49x2, es 7x. La raiz de 100, es 10.

El doble producto de ambas 2·7x·10=140x A= (7x-10)2=(7x-10)(7x-10) La expresion factorizada es: 49x2-140x+100=(7x-10)2

La función cuadrática puede aparecer también como trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo, la función y=x2+12x+36, puede factorizarse así: y=x2+12x+36=(x+6)2. Esta forma es muy útil para buscar el punto de corte con el eje x, 0=(x+6)2. No tienes necesidad de aplicar la fórmula general. Observa que el único valor que anula al miembro derecho es -6, con lo cual la parábola tiene un punto de corte con el eje x.

Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias Las fracciones algebraicas son aquellas en que su numerador y denominador son polinomios. Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria, primero se factorizan numerador y denominador, de acuerdo a los casos estudiados y luego se dividen (o cancelan) las expresiones iguales que aparecen en el numerador y denominador. Veamos algunos ejemplos simplificando las siguientes expresiones algebraicas: (a3-36a) 1. (2a2-20a+72) (a -36a) (2a2-20a+72) 3

200

Diferencias de cuadrados =

a(a -36) 2(a2-10a+36)

Trinomio cuadrado perfecto

2

Se “sacó” factor común tanto en el numerador como en el denominador.

Semana 7

Factorización. Parte I

=

a(a-6)(a+6) 2(a2-10a+36)

=

a(a-6)(a+6) a(a+6) = 2(a-6)(a-6) 2(a-6)

2.

=

a(a-6)(a+6) 2(a-6)2

Se identifica los casos de factorización y se procede a resolver.

Se usaron propiedades de la potencia (a-6) para cancelar: =(a-6)1-1=(a-6)0=1 (a-6)

x2+2xy x(x+2y) x(x+2y) x(x+2y) x = 2 = = = 2 x +2xy-4x-8y (x +2xy)-(4x+8y) x (x+2y)-4(x+2y) (x-4) (x+2y) x-4 Justifica cada uno de los pasos indicando los casos de factorización empleados.

3. Halla las soluciones de 2z3-16z2+32z=0 La ecuación está igualada a cero. Hay que factorizar e igualar sus factores a cero y resolver en términos de z. z(z− 4)2=z(z− 4)(z-4)=0

2z (z2-8z+16)=0

z=0, z-4=0 z=4

Justifica cada uno de los pasos indicando los casos de factorización empleados.

Para saber más… En la siguiente dirección web http://goo.gl/hrrDS puedes visualizar cómo resolver las ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización.

Aplica tus saberes Retoma el problema propuesto al inicio, pues tienes los conocimientos necesarios para darle solución, factorizando la expresión: 2x3-20x2+50x. Observa que x aparece en los tres términos, ¿qué casos aplicarías?

Comprobemos y demostremos que… 1. Entrega a tu facilitador estos ejercicios factorizando las expresiones, usando el caso más conveniente. a) 20x3y2+25x2y3

b) 10a4b5x3+35a2b7x2

c) x(3ª+1)+6a+2

d) y(5x+2)-15x-6

e) x2-2x+1

f ) y2+6xy+9x2

g) 100y -49y

h)16a -9

6

4

2

201

Semana Semana 88 Factorización. Parte II

Factorización. Parte II

¡Empecemos! En esta semana estudiaremos otro caso de factorización. Este será abordado desde diversas representaciones: algebraica, gráfica y verbal. Para comprenderlo a cabalidad debes tener claridad en los elementos básicos de área y perímetro de figuras geométricas y manejar el lenguaje simbólico.

¿Qué sabes de...? ¿Qué es el perímetro de un polígono? El perímetro del paralelogramo que se muestra es 8x+8y. ¿Qué longitud tienen los lados que faltan? ¿Cuál es el área del polígono? x+y

x+y Figura 9

El reto es... El área de la superficie de la caja es de 350cm2. La caja tiene 9cm de altura y tiene una base cuadrada. Encuentra la longitud de un lado de la base.

9

202

x Figura 10

Semana 8

Factorización. Parte II

Es recomendable que resuelvas el problema por los métodos estudiados previamente. Esta semana hallarás otra forma alternativa de resolverlo.

Vamos al grano Caso 5. Factorización de trinomio de la forma x2+(a+b)x+ab En rectángulo de la figura 11 se ha dividido en cuatro partes. b

bx

ab

x

x2

ax

x

a

Figura 11 Suma las áreas internas del rectángulo grande = El área de todo el rectángulo = base x altura = El área de todo el rectángulo es igual a la suma de las áreas de sus partes, es decir: x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). Los trinomios de la forma: x2+sx+m es posible factorizarlos si se pueden conocer los números que sumados a+b den “s” y multiplicados a·b den “m”. La factorización del trinomio queda de la siguiente manera: x2+sx+m=(x+a)(x+b) (1) Observa que desarrollar el producto de dos binomios con un término común y factorizar un trinomio de la forma x2+(a+b)x+ab son procesos inversos. Ilustremos este caso a través de dos problemas. Situación problema 1. El perímetro de terreno rectangular es igual a 100m, y su área es igual a 600m2. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? Sean a y b los lados del terreno, el perímetro viene dado por 2a+2b=100; simplificándola: a+b=50 (2) y su área ab=600 (3); despejemos b de la ecuación 2 para sustituirla en la ecuación 3; nos queda:

203

Semana 8

Factorización. Parte II

Propiedad distributiva a(50-a)=600



Operaciones básicas

50a-a2=600



Ecuación de segundo grado; nos queda... a2-50a+600=0

Puedes hallar la longitud de los lados resolviendo la ecuación de segundo grado a través de la fórmula general. Sin embargo, esta semana te mostraremos otra manera de hallarle solución mediante la factorización del trinomio a2-50a+600. Observa que este tiene la estructura del miembro izquierdo de la igualdad (1), es decir, para factorizarlo debes buscar 2 números que sumados te den el coeficiente del término lineal a, 50, y multiplicados te den el término independiente, 600. Si a=-10 y b=-40, s=50 y a·b=(-10).(-40)=400, por tanto, -10 y -40 no cumplen con la condición de que su producto no es 600. Probemos con otros valores. Si x=-20 y z=-30 y x.y=(-20).(-30)=600, se tiene que -20 y -30 son los números que cumplen ambas condiciones. Por tanto la factorización del trinomio es: x2-50x+600=(x-20)(x-30). Si sólo quisiéramos factorizar la expresión seria hasta allí, pero estamos resolviendo la ecuación de segundo grado (x-20)(x30)=0. Como el producto de los números es igual a cero, eso significa que al menos una de las cantidades debe ser cero, x-20=0 o x-30=0, así que los valores que hacen verdadera la igualdad son 20 y 30, que representan las longitudes de los lados. Veamos otros ejemplos factorizando los siguientes polinomios: a) b2-7b+12. Dos números que sumen -7 y que multiplicados den 12. Los números son (-3) y (-4), ya que (-3)+(-4)=-7 y (-3)·(-4)=12. Por lo tanto b27b+12=(b-3)(b-4) b) x2+x-20. Buscamos dos números que sumados den 1, que multiplicados den 20; tales números son (-4) y (5). Por lo tanto, x2+x-20=(x+5)(x-4). Situación problema 2. En el problema propuesto en la sección “Para saber más” el área de la cara lateral de la caja es de 9x, hay 4 caras, entonces es 36x y la base es cuadrada, su área es x2, a esta cara se le opone otra de igual área, se tiene 2x2. La suma de estas áreas es igual al área total 2x2+36x=350. Al simplificar la expresión, nos queda x2+18x-175=0. Nuevamente se tiene una ecuación de segundo grado. Factorizamos x2+18x-175, buscamos dos binomios de la forma (x__b)(x__a). Suma (a+b=18) Producto a·b=-175 10+8 80 204

20-2 42

25+(-7)

25 ∙ (-7)=-175

Los números que necesitamos

Semana 8

Factorización. Parte II

Luego el polinomio factorizado es (x2+18x-175)=(x+25)(x-7). Aún falta calcular la longitud de x, (x+25) (x-7)=0, x+25=0 o x-7=0. Se tiene que x=-25 o x=7. ¿Cuál de estos dos valores representa la longitud de x?, ¿por qué? Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, utilizando el método de factorización estudiado: a) z2-2z-24=0



b) x2+7x+11=0



c) a2-1·5a+10=0

Seguramente no habrás tenido dificultad en hallar los valores que hacen cero a la primera ecuación, pero, en los otros dos casos la situación es más compleja. En lo que resta de la sesión nos abocaremos a generalizar el método de factorización para ecuaciones de segundo grado. Es decir, veremos que es posible factorizar cualquier ecuación de segundo grado, sin necesidad de emplear la fórmula general. La presente propuesta es tomada de la tesis de maestría “Diseño de una secuencia didáctica, donde se generaliza el método de factorización en la solución de una ecuación cuadrática”. La propuesta es muy enriquecedora porque integra el álgebra y la geometría. Este trabajo plantea una pregunta primordial: ¿se puede utilizar la factorización como método general en la solución de ecuaciones de segundo grado?

Pon mucha atención para que puedas resolver cualquier ecuación cuadrática a través de la comprensión de los conceptos involucrados y no tengas necesidad de memorizar solo la fórmula general. Retomemos el ejemplo del rectángulo.

a = 20 b = 30 ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? Si sumamos la longitud a y la longitud b, obtendremos la mitad del perímetro del rectángulo. Si multiplicamos los valores de a y b, entonces tendremos el área del mismo, a+b=semiperímetro y a·b=área. En nuestro ejemplo tenemos: a+b=50 y a·b=600. La diferencia entre estos números es 10. Si generalizamos, la diferencia entre dos números igual a 10, se obtiene la expresión b-a=10. Si despejamos b, se tiene que: b=10+a.

205

Semana 8

Factorización. Parte II

La idea es relacionar las tres operaciones, a+b=s (s= suma de dos números), ab=m (m= producto de esos mismos números) y a-b=d (d= diferencia de los mismos números), de manera que nos permita obtener los valores de la ecuación de segundo grado. Grafiquemos las ecuaciones s=a+b=50, d=b−a=10 y m=a·b=600, en el mismo plano cartesiano. 140 120 100 80 60 40 20 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Figura 12. Relación entre multiplicación, suma y diferencia de dos números. Observando la gráfica se deduce lo siguiente: a) La gráfica que representa la suma y la resta de dos números es una recta. ¿Podrías indicar cuál recta corresponde a la suma y a la resta, respectivamente? b) La gráfica que representa la multiplicación de dos números es una curva. c) Las tres gráficas comparten un punto. d) El punto (20,30) cumple con la condición de suma igual a 50 y producto igual a 600. Este mismo punto es la intersección de las dos rectas. ¿Es posible conocer la diferencia de dos números, si se conocen la suma y el producto de los mismos números? Si relacionamos la suma y la resta, se forma un sistema de ecuaciones lineales a+b=s (4) y a-b=d (5). Resuelve el sistema y comprueba que se obtiene a=(s+d)/2 y b=(s-d)/2. Se quiere establecer una relación entre la multiplicación, la suma y la diferencia. Sustituyendo los valores a y b en a·b=m (6). Resulta: a·b=m 206

s+d 2

s-d =m 2

(s+d)(s-d)=4m (s2-d2 )=4m Producto notable suma por su diferencia

d2=s2-4m (7)

Semana 8

Factorización. Parte II

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado de la suma menos cuatro veces su multiplicación. Se establece así una relación entre la suma, diferencia y la multiplicación. Verifiquemos estas relaciones en nuestro ejemplo: s=a+b=50, m=a. b=600 y d=a-b=10, así que d2=100. Ahora utilicemos la expresión d2=s2−4m=2500-2400=100. Se observa que la relación hallada (7) se cumple. Puedes hacerlo con otros pares de valores y verificar que se cumple la ecuación (7). Al igual que el análisis algebraico que se realizó con los sistemas de ecuaciones, se intenta establecer a partir de la figura 13 las relaciones entre las tres operaciones (la suma, la multiplicación y la diferencia de dos números. El cuadrado grande está formado por 4 rectángulos iguales, y un cuadrado pequeño.

a b b

a Figura 13

Los cuatro rectángulos son iguales, cada uno de ellos tienen igual área a·b. Al estar ordenados de esta manera se forman dos cuadrados. ¿Qué área tiene el grande si sabemos que el lado de este es a+b? ¡Exacto!. El otro cuadrado que se observa es el pequeño que está limitado por los cuatro rectángulos. ¿Cuál es el lado de éste? Este último tiene por lados la diferencia (a-b) (diferencia de dos números). El cálculo de áreas es respectivamente: área del cuadrado grande= (a+b)2, área del cuadrado pequeño= (a-b)2, área de un rectángulo= ab, y el área de los cuatro rectángulos= 4ab. El área del cuadrado grande se obtiene sumando el área del cuadrado pequeño y el área de los cuatro rectángulos idénticos. Se tiene (a+b)2=(a-b)2+4ab Si lo que deseamos es el cuadrado de la diferencia, es decir, (a-b)2, entonces se resta 4ab, en ambos miembros de la ecuación anterior y se obtiene: (a-b)2=(a+b)2-4ab

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Semana 8

Factorización. Parte II

De acuerdo a la notación que hemos usado, realizamos el cambio de variables, teniendo así la expresión obtenida en el análisis algebraico. d2= s2-4m Reforcemos los elementos trabajados en la figura 13, contestando las preguntas: a) ¿Qué representara “s2”? b) ¿Qué representa “d2”? c) ¿Qué representar “m”? d) ¿Qué representaría “4m”? e) ¿Cómo encontrarías el área del cuadrado pequeño, si conocieras el área del cuadrado grande y el área de uno de los rectángulos? Escríbelo con tus palabras:

f ) De acuerdo a tu descripción anterior completa la siguiente expresión algebraica: d2 = g) Si conocemos la suma y la multiplicación de dos números, ¿qué podemos calcular con la expresión encontrada en el apartado anterior?

Para saber más… Consulta los videos en los enlaces recomendados, que contienen una explicación clara y sencilla sobre la factorización. ¡No dejes de verlos! http://goo.gl/3nXMw http://goo.gl/2QDCC

Aplica tus saberes 1. a) Observa detalladamente la tabla 3, revisa los valores de la primera fila, donde los números son 2 para a y 1 para b. Completa las filas restantes observando y deduciendo comportamientos. Puedes utilizar calculadora. Las dos últimas columnas, ¡son iguales! 208

Semana 8

Factorización. Parte II

Tabla 3. Relaciones entre la suma, multiplicación y diferencia de dos números Números propuestos a b 2 1 5 8 23 40

Suma s=a+b 3

0 -5 300 1,5 41

Diferencia (resta) d=a-b 1

-16

Producto m=a·b 2

d2

s2-4m

1 9

1

-64 6 20000 -10 420

b) Emplea el método que usaste para completar la tabla 3 y encuentra los números que sumados dan 7 y su producto es 12 y los números que sumados dan 7 y su producto es 9. Sugerencia: resuelve el sistema de ecuaciones que se forma. c) Revisa los resultados obtenidos en la parte b), es decir, verifica la suma y la multiplicación de los números encontrados (utiliza aproximaciones en decimales).

Comprobemos y demostremos que… Lleva los resultados de las actividades presentadas en este apartado y el anterior al CCA y compártelos con tus compañeros y facilitador. 1. Encuentra la factorización de los siguientes trinomios: a) c2-4c+3

b) z2+9z+8

c) x2-x -12

d) t2+1·5t-10 e) x2-12x+9

2. Halla las raíces (los valores que hacen cero al polinomio) de esta expresión: x3-22x=9x2 a través de los métodos estudiados en las semanas 7 y 8. 3. Resuelve los siguientes problemas: a) Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos. b) La raíz cuadrada de la edad del padre nos da la edad del hijo y, dentro de 24 años, la edad del padre será el doble que la del hijo. Halla las edades.

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Semana Semana 99 Ley de los senos

Ley de los senos

¡Empecemos! En el semestre anterior estudiaste las razones trigonométricas para resolver triángulos con un ángulo de 90º. Sin embargo, no todas las situaciones de nuestro entorno pueden representarse a través de triángulos rectángulos, naturalmente esto lleva a preguntarnos cómo resolver triángulos que no tienen un ángulo de 90º, triángulos oblicuángulos. En esta sesión, para resolver tales triángulos aplicaremos la Ley de los senos y la de los cosenos (ésta última la abordaremos en la semana siguiente). ¡Anímate a seguir profundizando en el estudio de los triángulos!

¿Qué sabes de...? Para avanzar satisfactoriamente en este tema responde: ¿qué son ángulos complementarios? ¿Qué son ángulos suplementarios? Traza todas las alturas del siguiente triángulo. B a

c A

b

C

El reto es... La estación guardacostas Ribas está situada a 240km al sur de la estación Miranda. Un barco envía una llamada SOS de auxilio que es recibida por ambas estaciones. La llamada a la estación Ribas indica que el barco se localiza a 35º al noreste; la llamada a la estación Miranda indica que el barco está a 30º al sureste. 210

Semana 9

Ley de los senos

Vamos al grano Los triángulos oblicuángulos son aquellos que no tienen un ángulo recto. Todo triangulo oblicuángulo es, o bien acutángulo (todos sus ángulos están comprendidos entre 0º y 90º) u obtusángulo (un ángulo 90°