MATEMÁTICAS 2º BACH CC y TECN LÍMITES Y CONTINUIDAD Profesor: Fernando Ureña Portero

I.E.S. “Albariza”

A. LÍMITES 1 . L Í M I T E D E U NA F U N C I ÓN E N UN P U N T O

Definición 1: E l l í m i t e d e l a f u n c i ó n f ( x ) e n e l p u n t o x 0 , e s e l v a l o r a l q u e s e a c e r c a n l a s imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x 0. Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x

2

x

f(x)

x

f(x)

1,9

3,61

2,1

4.41

1,99

3,9601

2,01

4,0401

1,99

3,99600

2,00

4,00400

9

1

1

1

...

...

...

...

↓

↓

↓

↓

2

4

2

4

Tanto

si

nos

acercamos

a

2

por

la

en el punto x0 = 2.

izquierda

o

la

derecha las imágenes se acercan a 4.

Definición 2: S e a f ( x ) u n a f u n c i ó n d e f i n i d a e n u n e n t o r n o r e d u c i d o d e x = a . S e d i c e que el límite de f (x) cuando x tiende hacia a es l, o que converge a l, si: > 0,  > 0 / si |x - a| 0

Si 0 < a < 1

;

;

;

7.9. Límites de logaritmos

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8. INDETERMINACIONES Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas. En estos casos hay que efectuar “operaciones particulares” para resolver cada una de las indeterminaciones. 8.1. Tipos de indeterminación 1. I n finito/infinito:

;

2. C e r o / c e r o :

3. I n f i n i t o - i n f i n i t o :  - ;

4. C e r o · i n f i n i t o : 0 -  6. Infinito elevado a cero: 

0

5. Cero elevado a cero: 0 ;

0

7. Uno elevado a infinito: 1

9 . C O M P A R A C I ÓN D E I N F I N IT O S

( )

( )

a)f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

( ) ( )

( )

( )

b)f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si :

( ) ( )

( )

( )

c)f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si :

( ) ( ) Dadas dos potencias de x, la de m ayor ex ponente es un infinito de orden superior. - Dadas dos funciones exponenciales de bas e m ayor que 1, la de m ayor base es un infinito de orden superior. - Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x. - Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas. - Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden. Ejemplos: Hallar los límites por comparación de infinitos:

;

;

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9.1. Límite de un número partido por cero : k/0 El límite puede ser +∞, -∞ ó no tener límite. Ejemplo:

Tom am os los lím ites laterales para determ inar el signo de ∞. Si le damos a la x un valor que se acerque a -1 por la izquierda como -1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por lo que el límite por la i z q u i e r d a s e r á : +∞ .

Si le damos a la x un valor que se acerque a -1 por la derecha como -0,9. El numerador será positivo y el denominador negativo, por lo que el límite por la derecha será: - ∞.

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x →1. Ejemplos:

;

;

;

;

;

;

9.2. Indeterminación “infinito / infinito”: Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos: a) Por comparación de infinitos: El num erador tiene m ayor grado que el deno m inador: El denom inador tie ne m ayor grado que el num erador: Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de may or grado:

;

;

;

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;

;

b) Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

; Si son funciones exponenciales dividimos por la exp onencial de mayor base.

;

9.3. Indeterminación “infinito - infinito”: a) Por comparación de infinitos. ; ; ; ;

b) Con funciones racionales. Ponemos a común denominador, y obtenemos

. Resolvemos esta indeterminación.

;

3. Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.

;

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9.4. Indeterminación “cero /cero”: a) Función racional sin radicales: Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.

;

;

; no tiene límite en x = -1

;

b) Función racional con radicales: En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expres ión irracional. Realizam os las operaciones y sim plificam os la fracción.

9.5. Indeterminación “cero · infinito”:0· Se transforma a

oa

del siguiente modo:

Introducimos el 1er factor en la raiz:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

;

9.6. Indeterminación “uno elevado a infinito”: 1 Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e:

Método1:

;

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Método 2:

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; Sumamos y restamos 1 :

:

:

:

1 0 . R E G L A D E L ' HÔ P I T A L Proposición: Sean f(x) y g(x) funciones derivables en un entorno de x=, tales que ( ) ( )

presenta una indeterminación ( )

coincide con

o bien

, si existe

( ) ( )

, este límite

.

( )

( ) ( )

( ) ( )

P a r a a p l i c a r l a r e g l a d e L ' H Ô P I T AL h a y q u e t e n e r u n l í m i t e d e l a f o r m a donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:

Ejemplos

1. 2. 3.

;

;

;

;

;

;

( ) ( )

,

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4.

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;

10.1. Indeterminación:- En la indeterminación infinito – infinito (∞-∞), si son fracciones, se ponen a com ún denom inador.

;

10.2. Indeterminación:

0·

La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

Ejemplo:

;

; (aplicamos L’Hôpital) 10.3. Indeterminaciones:

00; 0; 1

En las indeterminaciones 0 , 0

0

y 1 se realiza en primer lugar las siguientes

,

operaciones, s i querem os calcular v

v

en t o n c e s h a c e m o s A= u ; ( a p l i c a m o s L n ) L n A = L n u ; L n A= v · L n ( u ) ; A= e ( )

v·ln(u)

( )

Ejemplos:

;

;

;

;

;

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;

;

11. ASÍNTOTAS: El estudio de las asíntotas de una función, que abordaremos a continuación, está íntimamente relacionado tanto con el concepto de límite como con la representación gráfica de funciones que trataremos posteriormente. Se trata de un aspecto fundamental a la hora de representar funciones y analizar su comportamiento por lo que habrá que prestarle especial atención. Definición: Llamamos asíntota de una función a toda recta vertical, horizontal u oblicua a la que se acerca indefinidamente la gráfica de la función (sin llegar a cortarla) para puntos indefinidamente alejados del origen de coordenadas Tipos de Asíntotas: I. Asíntotas Verticales: f xtiene una asíntota vertical en x a cuando alguno de sus límites laterales en x a es infinito, es decir, cuando:

( ) II. Asíntotas Horizontales: : f xtiene una asíntota horizontal en y b cuando alguno de sus límites en el infinito es finito, es decir, cuando:

( ) III. Asíntotas Oblicuas: f xtiene una asíntota oblicua en y mx n cuando:

( )

) )

Ejemplo: Asíntotas de

Asíntota horizontal:

Asíntotas verticales: Asíntota oblicua:

(

[ ( )

) ](

)

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;

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;

Nota 1: Hagamos algunas aclaraciones sobre el número de asíntotas que puede tener una función: Una función puede tener infinitas asíntotas verticales y el acercamiento a ellas puede ser por la izquierda, por la derecha o por ambas direcciones. Además, los puntos en los que se encuentran las asíntotas suelen ser valores en los que no está definida la función. Una función puede tener, como máximo dos asíntotas entre horizontales y oblicuas. No puede haber simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas en ni en .Lo que sí puede darse es que haya una horizontal en un lado y una oblicua en otro. En resumen, sí puede haber simultáneamente horizontal y oblicua pero no en el mismo lado. Nota 2: A la vista de los ejemplos anteriores conviene tener en cuenta las siguientes observaciones sobre las asíntotas en el caso de funciones racionales: Presentan asíntotas verticales en las raíces del denominador (salvo cuando dicha raíz lo es también del numerador). Presentan asíntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador. Presentan asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad más que el del denominador.

12. RAMAS PARABÓLICAS Las ramas parabólicas se estudian sólo si:

( ) a) Rama parabólica en la dirección del eje OY:

( ) Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje vertical.

b) Rama parabólica en la dirección del eje OX:

( )

Esto quiere decir que la g ráfica se comporta como una parábola de eje horizontal.

LÍMITES QUE NO EXISTEN

LÍMITES QUE CONVIENE CONOCER

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E j e r c i c i o s d e l í m i t e s d e f u n c i o n es 1.Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites.

2.Calcular los siguientes límites:

1

; 2

3

;

5

;

7

9

;

15

6

8

10

;

11

13

4

;

;

12

14

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3Calcular:

1

;

3

;

2

4

5

;

6

7

;

8

S o l u c i o n es E j e r ci c i o s d e l í m i t e s d e f u n c i on es 1. Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites.

;

;

2.-Soluciones a los distintos apartados: 1) 1; 2) -1; 3)

7 3

; 4) 2; 5)

; 6) 0; 7)

; 8)

5

2; 12) 6; 13) ¼; 14) e; 15)

1 3

e2

;

3.- Soluciones a los distintos apartados: 1)

; 2) 0; 3) 0; 4) 0; 5)

; 6) 1; 7)

; 8) 0 .

; 9) no tiene;

Lim f  x 0

2 ; Lim f  0 ; 10) ¾; 11) 3 x 0 

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B. CONTINUIDAD 1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Definición: Sea f (x) una función definida en un entorno de x = a . Se dice que f (x) es continua en x = a si ( ) ( ). En caso de que no sea continua, diremos que es discontinua o que presenta una discontinuidad en x = a. Para que una función f(x) sea continua en un punto x = a, si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. Que el punto x = a tenga imagen. ( ) 2. Que exista el límite de la función en el punto x = a. 3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

( )

( )

La definición anterior lleva implícita algunas condiciones derivadas de la existencia del límite puntual. Para que la función sea continua han de cumplirse:  Que f (a) .  Que ( )y ( ), que ambos sean finitos y que coincidan.  Finalmente que dicho valor común coincida con f (a). ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Definición: Sea f (x) una función definida en un entorno de x = a. Se dice que f (x) es continua por la izquierda en x = a si ( ) ( ) Definición: Sea f (x) una función definida en un entorno de x = a. Se dice que f (x) es continua por la derecha en x = a si ( ) ( ). Nota: En vista de lo anterior, es evidente que una función es continua en un punto si y solo si lo es por la izquierda y por la derecha. Ejemplo: Estudiar la continuidad de ( )

{

}

Ejemplo anterior:

( )

;

{

en x =2 , f(2)= 4

( )

( )

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Definición: Una función se dice que es continua en un intervalo si lo es en cada uno de los puntos del intervalo, considerando continuidad lateral en los extremos incluidos en el mismo. Nota: Las funciones elementales: polinómicas, valor absoluto, racionales, raíces, exponenciales, logarítmica, trigonométricas y las inversas de las trigonométricas son continuas en sus respectivos dominios. Proposición: La composición de funciones continuas es continua en su dominio correspondiente. Nota 12: Como consecuencia de la proposición 9 tenemos, por ejemplo, los siguientes resultados: a) El valor absoluto de una función continua es continua en su dominio correspondiente. b) La raíz de una función continua es continua en su dominio correspondiente. Como es evidente, no todas las funciones son continuas en todos sus puntos y no siempre por el mismo motivo. Ejemplo: La función

( )

es continua en -{3}. En x = 3 no es continua

porque no está definida.

Nota: Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales. Ejemplo: La función es continua en . Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división coinciden

2. DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES Definición: Sea f (x) una función discontinua en x = a. Diremos que es una discontinuidad: a) Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe ( ) y éste es finito y si se ( ) o bien ( ) cumple una de estas condiciones: ( ). b) De 1ª especie con salto finito si los dos límites laterales existen y son finitos pero no coinciden: ( ) ( ). Al valor absoluto de la diferencia de dichos límites lo llamaremos salto: | ( ) ( )| . c) De 1ª especie con salto infinito si los dos límites laterales existen pero, al menos uno de ellos es ( ) ( )| infinito. Por tanto, | d) De 2ª especie cuando no existe alguno de los límites laterales. Nota: Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua

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Ejemplos: Tipos de discontinuidad DISCONTINUIDAD EVITABLE 1.1.

La función no está definida en x = a:

; 1.2. La imagen no coincide con el límite: (

( )

)

;

( )

;

;

La dos funciones estudiadas anteriormente las redefinimos de modo que:

;

DISCONTINUIDAD DE 1ª ESPECIE 2.1. Discontinuidad de 1ª especie de salto finito La diferencia entre los límites laterales es un número real:

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3. 2.2. Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito La diferencia entre los límites laterales es infinito:

;

; En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

DISCONTINUIDAD DE 2ª ESPECIE Una discontinuidad es esencial o de 2ª especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a. ; En x = 2 hay una discontinuidad DE 2ª especie porque no tiene límite por la derecha

; En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda

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Ejercicios de continuidad de funciones 1.

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

a.

1)

b.

4)

2)

3)

5)

6)

2.

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

3.

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

4.

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

5.

Dada la función: a. Demostrar que f(x) no es continua en x = 5 b. ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión

6.

Estudiar la continuidad de la función:

7.

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

8.

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

9.

1

; 2

La función definida por: es continua en [0, hace que esta afirmación sea cierta. 10. Encontrar los puntos de discontinuidad de la función f(x) = x2 + 1+ |2x − 1|. 11. Se considera la función a y b para que f(x) sea continua.

). Hallar el valor de a que

. Si f(2) = 3, determinar los valores de

12. Dada la función: para x = 3.

. Determinar el valor de a para que la función sea continua

13. Dada la función:

. Determinar los puntos de discontinuidad de la función.

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14. Dada la función continua para todo valor de x.

15. Sea la función:

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. Determinar a y b de modo que la función f sea

. Determinar el valor de a para que f(x) sea continua.

16. Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua.

17. Dada la función:

. Hallar a y b para que la función sea continua.

18. Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua.