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Matemáticas Financieras Dr. Daniel A. Jaume A una materia de Prof. Gonzalo Molina Esta versión: 4 juni 2010
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Índice 1 Variación proporcional 1.1 Variación proporcional directa. . . . . . . . . 1.2 Series de fracciones equivalentes. . . . . . . . 1.2.1 Reparto simple directo. . . . . . . . . 1.3 Variación proporcional inversa. . . . . . . . . 1.3.1 Reparto simple inverso: . . . . . . . . 1.4 Variación proporcional conjunta o compuesta. 1.4.1 Reparto compuesto. . . . . . . . . . .
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1 1 2 5 6 7 9 9
2 Relaciones recursivas 15 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Relaciones recursivas lineales de primer orden a coe…cientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Caso I: g (k) = cte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Caso g 6= cte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Caso II: g (k) es un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Caso III: g (k) es una función exponencial . . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Caso IV: g (k) combinación de un polinomio y una función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.8 Ejercitación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Sistemas de capitalización simple 29 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 ¿Qué es el dinero? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 Funciones del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.3 Trueque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.4 Un esquema del surgimiento del dinero …duciario . . . . . 31 3.2 Valor-tiempo del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Sistema de capitalización simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Equivalencia de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.1 Tasa media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5 Equivalencia …nanciera de dos series de capitales . . . . . . . . . 44 3.5.1 Vencimiento medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6 Descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.7 Descuento simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.7.1 Equivalencia de tasas de descuento simple. . . . . . . . . 56 3.7.2 Equivalencia entre tasas de descuento y capitaliación simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 iii
iv
ÍNDICE 3.8
Equivalencia …nanciera revisada . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4 Sistemas de capitalización compuesta 4.1 Sistema de capitalización compuesta . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Equivalencias de tasas compuestas . . . . . . . . . . . 4.2.2 Breve diccionario de tasas nominales . . . . . . . . . . 4.2.3 Tasa media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Equivalencia de capitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Vencimiento medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Capitalización subperíodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Convenio discreto o de truncamiento . . . . . . . . . . 4.4.2 Convenio exponencial o continuo . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Convenio lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Descuento a interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Equivalencia de tasas de descuento compuesto. . . . . 4.5.2 Equivalencia entre tasas de descuento y capitalización. 4.5.3 Descuento Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
61 . 61 . 69 . 69 . 75 . 76 . 79 . 84 . 86 . 87 . 88 . 89 . 92 . 97 . 98 . 100
5 Capitalización Continua 5.1 Capitalización continua . . . . . . . . . . . . 5.2 Tasa media continua . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equivalencia de capitales . . . . . . . . . . . . 5.4 Equivalencia entre tasas continuas y discretas 5.5 Vencimiento medio continuo . . . . . . . . . . 5.6 Descuento continuo . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Composición de tasas 6.1 Rentabilidad real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Tasas negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Depreciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Impuestos, seguros y comisiones varias . . . . . . . . . 6.2.3 Impuestos sobre la renta …nanciera y su efecto sobre rentabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Tipo de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Tasa de devaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Tasas de devaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 índice de precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 In‡ación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Composición de tasa en el sistema continuo . . . . . . . . . .
. . . . . . . . la . . . . . . . . . . . . . .
7 Rentas 7.1 Rentas generales . . . . . . . . 7.2 Rentas constantes . . . . . . . . 7.3 Rentas vencidas o pospagables 7.4 Multiplicadores . . . . . . . . . 7.5 Método de Newton-Raphson . . 7.6 Rentas prepagables . . . . . . . 7.7 Rentas perpetuas . . . . . . . . 7.8 Rentas diferidas y anticipadas .
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105 105 111 113 115 117 118 119 119 122 122 124 124 126 133 133 140 146 151 153 153 156 156 164 166 170 175 177
ÍNDICE 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13
v Rentas aritméticas . . . . . . . . . . . . . Método de la secante . . . . . . . . . . . . Rentas geométricas . . . . . . . . . . . . . Rentas variables en progresión geométrica Otros tipos de rentas. . . . . . . . . . . .
. . . . .
179 189 193 193 202
8 Préstamos 8.1 Préstamos a interés directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Préstamos a interés sobre saldos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Préstamo francés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Usufructo y nuda propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Período de gracia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 CFT: costo …nanciero total. Efecto de impuestos, gastos y seguros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Cancelación anticipada total o parcial . . . . . . . . . . . 8.3.5 Adelanto de cuotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.6 Mora y punitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.7 In‡ación y su efecto sobre los préstamos . . . . . . . . . . 8.3.8 Devaluación y su efecto sobre los préstamos . . . . . . . . 8.4 Préstamo alemán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Préstamo americano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203 203 206 209 217 222
9 Proyectos de inversión 9.1 VAN . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 TIR . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Tasa de rentabilidad verdadera 9.4 PF . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Efecto de la in‡ación . . . . . .
257 258 264 269 271 272
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224 234 236 245 245 245 245 251
10 Finanzas 273 10.1 Obligaciones y bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.2 Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
vi
ÍNDICE
Capítulo 1
Variación proporcional 1.1
Variación proporcional directa.
Dadas dos variables x e y, diremos que la variable y es directamente proporcional a la variable x si para alguna k 2 R y = kx; donde k es conocida como la constante de proporcionalidad (directa). Observemos que si duplicamos la variable x, se duplica el valor de la variable y (similarmente, si la variable x reduce su valor a la mitad, lo propio ocurre con la variable y), por ejemplo si y = 3x entonces x y
1 3
2 6
4 12
8 24
es decir x0 kx0 = y0
! !
x1 = 2x0 ; y1 = kx1 = k (2x0 ) = 2kx0 = 2y0 ;
y ambas cambian al mismo ritmo: 2x0 2kx0 2y0 y1 x1 = =2= = = : x0 x0 kx0 y0 y0 En general: x0 kx0 = y0
! !
x1 ; y1 = kx1 ;
x1 kx1 y1 = = : x0 kx0 y0 Esto no es otra cosa que la conocida “regla de tres simples directa”. Ejercicio 1.1 Tres lineas de producción producen 15500 pañales descartables por hora, si agregamos dos lineas de producción adicionales. Cuantos pañales descartables serán producidos en una hora. 1
2
CAPÍTULO 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejercicio 1.2 Cuatro personas ejecutaron un trabajo por el cual cobraron $ 16 500. ¿Cuánto le corresponde a cada uno si una de las personas trabajo 14 días, otra 12 días, otra 10 días y la última trabajo 7 días? Ejercicio 1.3 Si un automóvil recorre 100 km con 6.5 litros de gasolina. ¿Qué distancia recorrerá con 25 litros (bajo las mismas condiciones de velocidad y resistencia al avance)? Ejercicio 1.4 Un campamento militar con 300 hombres tiene provisiones para 35 días. Si se quiere que las provisiones duren 12 días más, ¿cuántos hombres habrá que retirar del campamento? Ejercicio 1.5 Un restaurant, de una ciudad turística, necesita 5 personas para servir 850 almuerzos (en promedio) durante cualquier día de la temporada baja. Durante la temporada alta se estima que el número de almuerzos diarios a servir sube a 12500 (en promedio). ¿Cuántas personas más deberá contratar? Ejercicio 1.6 Bajo ciertas condiciones, la distancia de frenado (con las ruedas trabadas) es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. En un accidente un vehículo deja unas huellas de rayado (o patinaje) de 51 m. El conductor declara que conducía a 55 km=h. Se sabe que a 60 km=hora un auto de las características del vehículo siniestrado deja unas huellas de rayado de 19 m de longitud. ¿A qué velocidad se desplazaba auto antes de comenzar a frenar? Ejercicio 1.7 Dadas unas condiciones de luz, el tiempo necesario para lograr una buena fotografía es directamente proporcional al cuadrado del número f de la lente de la camara (este número indica la dimensión de la abertura del diafragma). Los valores habituales de difragma son: f =1:4, f =2, f =2:8, f =4, f =5:6, f =11, f =16 y f =22. En esta escala, cada abertura permite el paso de la mitad de luz que la anterior. Si con una abertura f =11 y sol brillante se logra una 1 buena fotografía con segundos de exposición. Bajo las mismas condiciones 125 de luz, llenar el cuadro de tiempo de exposiciones para diferentes aberturas: f =x f =1:4 f =2 f =2:8 f =4 f =5:6 f =8
1 125
f =11 f =16 f =22
1.2
segundos
Series de fracciones equivalentes.
Llamaremos serie de fracciones equivalentes una expresión de la forma 1 1
=
2 3
=
=
n n
= ;
1.2. SERIES DE FRACCIONES EQUIVALENTES.
3
con i i 6= 0 para i = 1; 2; : : : ; n (i.e., son todos no nulos). También diremos que la serie de números ’s son proporcionales a la serie de números ’s. El valor común se llama razón de proporcionalidad. La expresión anterior se puede reescribir como n ecuaciones (relaciones de proporcionalidad): i
=
i,
para i = 1; 2; : : : ; n:
Multiplicando las igualdades anteriores por números n reales ki , para i = 1; 2; : : : ; n: ki i = ki i , para i = 1; 2; : : : ; n: Al sumar las igualdades anteriores obtenemos n X
ki
n X
=
i
i=1
ki
i:
i=1
Si la expresión anterior es no nula, podemos obtener una nueva fracción equivalente a las dadas n X ki i i=1
n X
= :
ki
(1.1)
i
i=1
Dado un par de series numéricas proporcionales, el procedimiento anterior nos permite generar una in…nitud de nuevas fracciones equivalentes. Notación 1.8 Usaremos la notación de sumatoria habitual: n X
i
:=
1
+
2
+
+
n:
i=1
Ejemplo 1.9 Por ejemplo las siguientes fracciones son equivalentes 3 6 = ; 5 10 entonces, también son equivalentes a las dadas 9 3 6 15 = = = ; 15 5 10 25 Además, podemos generar otras fracciones equivalentes con diferente razón de proporcionalidad. Por ejemplo a partir de 9 3 = 15 5 obtenemos
entre otras.
12 15 = ; 6 5
4
CAPÍTULO 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejemplo 1.10 En general si
a c = ; b d entonces las siguientes son equivalentes a las anteriores a b
a c ma + nc c = = = ; d b d mb + nc
para cualesquiera valores de m y n. Además podemos formar las siguientes fracciones equivalentes con razón de proporcionalidad diferente a+c b+d = ; a c b d entre otras. Ejercicio 1.11 Hallar 5 fracciones equivalentes a las dadas, y generar 3 pares adicionales de fracciones equivalentes (con razones de proporcionalidad diferentes) a 2 = : 7 2+b Estas relaciones simpli…can la resolución de ciertas ecuaciones Ejemplo 1.12 Resolver 5 2 = 3+x 3 x Por la relación (1.1) cualesquiera de estas fracciones es equivalente a la fracción que se obtiene al sumar numerador con numerador y denominador con denominador: 2 2+5 7 = = 3+x (3 + x) + (3 x) 6 Ahora es más fácil despejar x 2 3+x
=
2
=
12 7
=
12 7
7 6 7 (3 + x) 6 3+x
3
= x
9 7
= x
Ejercicio 1.13 Resolver 2 x x = 2+x 1 x Ejercicio 1.14 Resolver 1+x x 2 = x x+4
1.2. SERIES DE FRACCIONES EQUIVALENTES.
5
Ejercicio 1.15 Resolver a c = ; b+x b x x a x 2) = ; b+x c x
x+a x+b = ; x x b x+a x 4) = : x x b
1)
3)
El reparto proporcional es la distribución de una cantidad atendiendo a un criterio de proporcionalidad con respecto a una o varias series de números. Este puede ser simple o compuesto, directo o inverso, dependiendo de la cantidad de series de números involucradas y su relación de proporcionalidad con la cantidad a repartir. En lo que sigue supondremos siempre que el reparto se hace entre n agentes, por lo que las series de números tendrán longitud n.
1.2.1
Reparto simple directo.
Es cuando la serie de datos es proporcional a la serie de incógnitas. Datos 1. Cantidad a repartir: Q. 2. Serie de números con respecto a la cual se hace el reparto proporcional: 1 ; 1 ; : : : ; n : Incógnitas 1. Cantidades a ser repartidas: x1 ; x1 ; : : : ; xn : Relaciones: 1. Se debe repartir Q, i.e.:
n X
xi = Q:
i=1
2. Las series de las cionales:
’s y de las x’s deben ser directamente proporxi =
i
para i = 1; 2; : : : ; n
Sumando estas ecuaciones podemos expresar la constante de proporcionalidad en función de la cantidad a repartir Q y la serie de los ’s n X
xi
n X
=
i=1
i
i=1 n X
Q =
i;
i=1
de donde = 1
Q + ::: +
: n
Lo que nos permite escribir x1 1
=
x2 2
= ::: =
xn n
=
Q + : :: + 1
n
6
CAPÍTULO 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejemplo 1.16 Un emprendimiento agrícola reportó unas ganancias netas de $ 875 000. Esta cantidad debe ser repartida entre 5 socios, los cuales aportaron $ 15 000, $ 17 000, $ 38 000, $ 51 000 y $ 25 000 respectivamente. ¿Cuánto recibe cada socio? Solución: Es claro que quien más aportó, más debe recibir. Estamos en un caso de reparto proporcional simple directo. Tenemos entonces que Q = = x1 = x2 = x3 = x4 = x5 =
875000 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ; 15000 ; 17000 ; 38000 ; 51000 ; 25000 ;
donde
875000 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = = : 15000 + 17000 + 38000 + 51000 + 25000 146000 Por lo tanto x1 x2 x3 x4 x5
1.3
= = = = =
89897:26 $; 101883:56 $; 227739:73 $; 305650:68 $; 149828:77 $:
Variación proporcional inversa.
Dadas dos variables x e y, diremos que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si para alguna k 2 R yx = k; donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad (inversa). Observe que si duplicamos la variable x el valor de la variable y debe reducirse a la mitad x0
!
x1 = 2x0 ;
y0 x0 = k
!
y1 x1 = k ) y1 =
k k 1 = = y0 x1 2x0 2
y ambas variables cambian a ritmos recíprocos k k y0 1 2x0 x1 kx1 x0 x0 = = = y1 : 2= = = = k k y1 x0 x0 kx0 y0 2x0 x1 lo que implica que y1 1 = y0 2
1.3. VARIACIÓN PROPORCIONAL INVERSA.
7
En general: x0 y0 x0 = k
! !
x1 ; y1 x1 = k;
k kx1 1 x1 y0 x = = 0 = = y1 : k x0 kx0 y1 y0 x1 Esto no es otra cosa que la conocida “regla de tres simples inversa”. Ejemplo 1.17 Tres albañiles levantan una pared en 4 días, ¿Cuanto tardarán 5 albañiles? Se puede suponer que más albañiles terminaran el trabajo en menos días, asumiendo que todos los albañiles tienen la misma productividad y no hay efectos de interferencia, podemos suponer una proporcionalidad inversa, lo cual es razonable (hasta cierto punto), entre los días de obra y la cantidad de obreros (días de obra) (número de albañiles) = k Para determinar k, utilizamos las condiciones iniciales: (4 días de obra) (3 albañiles) = k luego k = 12 (días de obra) (albañiles) Ahora, si disponemos de 5 albañiles días de obra =
12 (días de obra) (albañiles) = 2:4 (días de obra) (5 albañiles)
Es decir 5 albañiles deberían terminar la obra en 2 días, 9 horas y 36 minutos. Ejercicio 1.18 Dos grifos (surtidores) iguales llenan una piscina con agua en 14 horas. ¿Cuánto tiempo se empleará en llenar la piscina si usamos otros 5 grifos iguales? Ejercicio 1.19 Un libro tiene 550 páginas de 285 cm2 cada una. Se desea reeditarlo usando páginas A4 (197 mm por 210 mm). Si el tipo de letra usado es el mismo, ¿cuántas páginas tendrá la nueva edición? Ejercicio 1.20 Una rueda dentada de 40 dientes engrana con otra de 52 dientes. Si la primera rueda gira a 75 rpm (revoluciones por minuto), ¿A cuántas rpm gira la segunda?
1.3.1
Reparto simple inverso:
Es cuando la serie de datos es inversamente proporcional a la serie de incógnitas. Datos 1. Cantidad a repartir: Q.
8
CAPÍTULO 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL 2. Serie de números con respecto a la cual se hace el reparto proporcional inverso: 1 ; 1 ; : : : ; n : Incógnitas 1. Cantidades a ser repartidas: x1 ; x1 ; : : : ; xn : Relaciones: 1. Se debe repartir Q, i.e.: n X
xi = Q:
i=1
2. Las series de las cionales:
’s y de las x’s deben ser inversamente propori xi
=
para i = 1; 2; : : : ; n
o de manera equivalente 1
xi =
para i = 1; 2; : : : ; n
i
Sumando estas n ecuaciones se puede deducir el valor de datos n X
xi
n X
=
i=1
1 i
i=1 n X
Q =
1 i
i=1
Por lo tanto =
en función de los
Q 1
+ ::: +
1
1
n
Esto nos permite escribir 1 x1
=
2 x2
= ::: =
n xn
Q
=
1
1
+ ::: +
1
;
n
o equivalentemente xn x1 x2 = = ::: = = 1 1 1 1 1
2
n
1
Q + ::: +
1
:
n
Ejemplo 1.21 Para fomentar la productividad una empresa decide repartir un bono de $ 1 000 entre 4 empleados de acuerdo con el tiempo que tardan en realizar una determinadad tarea. Si los tiempos son 45 minutos, 1 hora 5 minutos, 2 horas y 2 horas 15 minutos. ¿Cuánto recibe cada empleado?
1.4. VARIACIÓN PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA.
9
Solución: Quién tarda menos en hacer la tarea es más productivo y por lo tanto debe recibir una mayor parte del bono. Estamos en un caso de reparto proporcional inverso. Llevando todos los tiempos a minutos tenemos que Q = 1000 = x1 + x2 + x3 + x4 ; 45x1 = ; 65x2 = ; 120x3 = ; 135x4 = ; Lo cual puede ser reescrito como x4 x3 x1 x2 ; = = = 1 1 1 1 135 120 65 45 de donde
1000 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = : = 1 1 1 749 1 + + + 14040 45 65 120 135
Por lo tanto x1 x2 x3 x4
1.4
= = = =
416:56 288:38 156:21 138:85
$; $; $; $:
Variación proporcional conjunta o compuesta.
Dadas dos series de variables y1 ; y2 ; : : : ; yn y x1 ; x2 ; : : : ; xm diremos que satisfacen una relación de proporcionalidad conjunta o compuesta si n Y
yi = k
i=1
m Y
xj :
j=1
donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad conjunta. Notación 1.22 Usaremos la notación de productoria habitual: n Y
i
:=
1
2
n:
i=1
1.4.1
Reparto compuesto.
Es cuando hay más de una serie de datos los cuales tienen una relación de proporcionalidad conjunta con la serie de incognitas. Datos
10
CAPÍTULO 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL 1. Cantidad a repartir: Q. 2. m series de números con respecto de las cuales el reparto es directamente proporcional: k 1;
k 1; : : : ;
k n;
para k = 1; 2; : : : ; m:
3. t series de números con respecto de las cuales el reparto es inversamente proporcional: j 1;
j 1; : : : ;
j n;
para j = 1; 2; : : : ; t
Incognitas 1. cantidades a ser repartidas: x1 ; x1 ; : : : ; xn : Relaciones: 1. Se debe repartir Q, i.e.:
n X
xi = Q:
i=1
2. Las series son conjuntamente proporcionales: xi
t Y
j i
m Y
=
j=1
k i,
para i = 1; 2; : : : ; n:
k=1
Estas últimas relaciones pueden ser reescritas a modo de fracciones equivalentes: t t t Y Y Y j j j x1 x2 xn n 1 2 j=1
m Y
=
k 1
k=1
k=1 t Y j=1
j=1
= ::: =
m Y
k 2
k=1
o, de manera equivalente x1 m Y
j=1
m Y
= k 1
j 1
x2 m Y
k=1 t Y
= ;
k n
k=1
= ::: = k 2
xn m Y
k=1 t Y
j 2
j=1
= ; k n
j n
j=1
de donde se puede deducir que la constante de proporcionalidad Q m Y
=
n X k=1 i=1
t Y
j=1
; k i
j i
es
1.4. VARIACIÓN PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA.
11
Ejemplo 1.23 El departamento de matemáticas de una universidad divide su presupuesto anual de $ 289 000 entre tres áreas. Las áreas que atienden más alumnos son las que reciben más presupuesto: el A1 atiende 230 alumnos, el A2 atiende 720 alumnos, y el A3 atiende 173 alumnos. Por otro lado a …n de equilibrar las áreas, mientras mayor es el número de miembros de un área, menor debe ser su parte de presupuesto anual: el A1 tiene 12 docentes, el A2 tiene 21 docentes, y el A3 tiene 15 docentes. Por otro lado las áreas más productivas (número de trabajo publicados) reciben más presupuesto: el A1 tiene 13 trabajos publicados este año, el A2 tiene 6 trabajos publicados, y el A3 tiene 35 trabajos publicados. ¿Cuánto recibe cada área? Solución: Es claro estamos en un caso de reparto proporcional compuesto. Series directamente proporcionales a las cantidades a repartir x1 ; x2 ; y x3 : 1. Número de alumnos: 230, 720, y 173. 2. Número de trabajos publicados: 13, 6, y 35. Serie inversamente proporcional a las cantidades a repartir 1. Cantidad de docentes en el área: 12, 21, y 15 Tenemos entonces que Q = = 12x1 = 21x2 = 15x3 = donde =
289000 x1 + x2 + x3 ; 230 13 ; 720 6 ; 173 35 :
x1 + x2 + x3 289000 : = 230 13 720 6 173 35 36059 + + 12 21 15 42
Por lo tanto x1 x2 x3
= = =
83873:24 $; 69246:51 $; 135880:25 $:
Regla de compañía Se denomina así al sistema de reparto proporcional compuesto de bene…cios entre socios. Principalmente se tiene en cuenta dos factores: 1. El tiempo durante el que ha estado invertido un capital. 2. La cantidad de capital invertido. Ambas variables son directamente proporcionales a la cantidad a repartir. Ejercicio 1.24 Una fábrica produce 5 000 camisas en 4 días utilizando 25 trabajadoras. ¿Cúantas camisas se producirán en 3 días con 32 trabajadoras?. Si se necesitan producir 18 000 camisas en 9 días, ¿Cuántas trabajadoras se necesitan?. Si hay una huelga y sólo trabajan 7 empleadas, ¿Cuántos días serán necesarios para producir 3 000 camisas?
12
CAPÍTULO 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejercicio 1.25 Un grupo de 5 cosechadores, trabajando 6 horas diarias, levantan la cosecha de una …nca en 3 días. ¿Cuántos cosechadores se necesitarán para levantar la cosecha en no más de dos días, trabajando 8 horas diarias? Ejercicio 1.26 Un campamento militar con 250 hombres, tiene provisiones para 30 días a razón de 3 comidas diarias por hombre. Si se suman 53 hombres, ¿cuantos días durarán las provisiones si cada hombre come sólo dos veces por día? Ejercicio 1.27 Tres profesores de inglés de un instituto impartieron clases particulares a un grupo de ejecutivos de una empresa. El instituto cobro $ 15 000 por el servicio. El instituto se queda con el 15 %, y reparte el resto en función del número de días y las horas diarias de clases. El primer profesor trabajó 2 horas diarias durante 40 días, el segundo, una hora diaria durante 20 días, y el tercero trabajó 3 horas diarias durante 30 días. ¿A cuánto ascienden los honorarios de cada uno? Ejercicio 1.28 Tres productos P1 ; P2 ; y P3 , tardan 3, 4 y 5 horas, respectivamente, para ser fabricados. Se sabe que el costo de fabricación de cada uno de los productos es directamente proporcional al tiempo empleado. Sabiendo que cuesta $ 1500 fabricar el producto P2 ,¿Cuánto cuesta fabricar los otros productos? Si el costo de un cuarto producto de características similares es $ 2 100, ¿Cuánto tiempo se emplea para fabricarlo? Ejercicio 1.29 Una empresa de transporte utiliza un cuadro tarifario directamente proporcional al peso del paquete, y a la distancia entre el origen y el destino del mismo. Sabemos el costo de enviar un paquete de 5 kg, una distancia de 150 km es: $ 12. ¿Cuánto costará enviar un paquete de 8 kg, 90 km? Si nos cobraron $ 35 por enviar un paquete 30 km ¿Cuánto pesaba el mismo? Si nos costó $ 10 enviar un paquete de 15 kg ¿A que distancia lo mandamos?. Ejercicio 1.30 Una empresa fabrica 5 productos, los cuales le proporcionan los mismos ingresos. Se producen 320 unidades diarias del producto P1 , 220 unidades diarias del producto P2 , 110 unidades diarias del producto P3 , 420 unidades diarias del producto P4 , y 52 unidades diarias del producto P5 . ¿Qué precios relativos les corresponden a cada uno de los productos? Ejercicio 1.31 Para ser socio de una compañía de seguros hay que aportar $ 500 000. Este año la compañía reportó una ganancia neta de $ 1 250 600, sabiendo que son 5 socios, que los dos primeros colocaron el capital durante el mismo tiempo, el tercero coloco el capital el triple del tiempo que los dos primeros, y los que restan colocaron el capital la mitad del tiempo que el tercero ¿Cuánto le tocada a cada uno? Ejercicio 1.32 Una empresa reportó una ganancia anual neta de $ 17 000 000. Los socios tiene como regla, ahorrar el 18% de las ganancias, y repartir el resto. Si son 9 socios, de los cuales 3 son socios fundadores, lo cuales aportaron $ 250 000 hace tres años al fundar la empresa. Dos años atras, se agregaron 2 socios más, quienes contribuyeron con $ 300 000 (lo que ayudo a …nanciar una expanción de la empresa). Hace un año atras se agregaron otros dos socios quienes aportaron $ 1 000 000 y $ 150 000 (los que fueron usados para informatizar la
1.4. VARIACIÓN PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA.
13
empresa). Hace 6 meses se incorparon el resto de los socios, quienes aportaron $ 300 000 cada uno (lo que fue usado para abrir una nueva sucursal en Brasil). ¿Cuánto le toca a cada uno de los socios?. Ejercicio 1.33 Una empresa repartirá proporcionalmente un premio de $ 80 000 entre sus cuatro gerentes regionales. A …n de fomentar las ganancias, mientras más ventas tenga una región mayor será el premio. A …n de fomentar la productividad, mientras menor sea la cantidad de personal, mayor será el premio. A …n de fomentar la lealtad a la empresa, mientras más antigüedad, mayor será el premio, y a …n de fomentar una política de austeridad, mientras menores sea los gastos de la sucursal, mayor será la parte del premio que reciben. Los datos están arreglados en la siguiente tabla Sucursal Sucursal Sucursal Sucursal
Norte Sur Este Oeste
Ventas en $ 7 560 050 6 890 300 4 230 650 12 560 890
Personal 15 13 8 16
Antiguedad en años 5 8 9 4
Gastos en $ 1 950 000 2 150 000 2 500 000 3 000 500
¿Cuánto recibe cada uno de los gerentes? Ejercicio 1.34 La cantidad de pintura necesaria para pintar una columna cilíndrica varía conjuntamente con el radio y la altura de la columna. Compare la cantidad de pintura necesaria para pintar una columna de 7 m de alto y 60 cm de radio, con la cantidad de pintura necesaria para pintar una columna de 9 m de alto y 50 cm de radio.
14
CAPÍTULO 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Capítulo 2
Relaciones recursivas 2.1
Introducción
El siguiente ejemplo ilustra la situación típica que queremos resolver. Ejemplo 2.1 Una persona realiza un depósito a plazo …jo de $ 10 000 por 6 meses. El banco le paga una tasa del 1.25 % mensual. ¿Cuánto tendrá al …nal del sexto mes?. Solución: Denotaremos con fk al monto acumulado hasta el mes k. Es claro que el monto fk acumulado hasta el mes k, depende del monto acumulado hasta el mes anterior: fk 1 . La relacción es fk
(2.1)
= fk 1 + 0:0125fk 1 ; = (1 + 0:0125) fk 1 :
Además sabemos que f0 = 10000:
(2.2)
Luego: f1 f2 f3 f4 f5 f6
= = = = = =
(1 + 0:0125) 10000 (1 + 0:0125) 10125 (1 + 0:0125) 10251:5625 (1 + 0:0125) 10379:7070312 (1 + 0:0125) 10509:4533691 (1 + 0:0125) 10640:8215362
= = = = = =
10125 10251:5625 10379:7070312 10509:4533691 10640:8215362 10773:8318054
Es decir, tendrá $ 10773,83. Típicamente trabajaremos con funciones a valores reales cuyo dominio es Z. Dada f : Z ! R; para cada k 2 Z, denotaremos fk := f (k) : 15
16
CAPÍTULO 2. RELACIONES RECURSIVAS
Nota 2.2 La siguiente …gura muestra la posición de cada uno de los fk en la recta. Observe que el 1er. período comienza en el cero y términa en el uno, y en general el k ésimo período empieza en el momento k 1 y términa en el momento k, i.e., cada intervalo o periodo recibe el nombre de su extremo derecho.
f0
f1
f2
f3
fk
1
fk
fk+1
0
1
2
3
k
1
k
k+1
1er período
k-ésimo período
La ecuación (2.1) es un ejemplo de una relación de recurrencia. La ecuación (2.2) es un ejemplo de condiciones iniciales. De…nición 2.3 Decimos que una función f : A ! R, con A recursivamente siempre que
Z, se de…ne
B algún conjunto …nito de valores, generalmente el primero o los primeros, se especi…quen, los que llamaremos condiciones iniciales, R los valores restantes de la función están de…nidos en término de valores previos. Una fórmula que hace esto recibe el nombre de fórmula o relación recursiva. Ejemplo 2.4 Las siguientes son ejemplos de relaciones recursivas: 1. fk+1
fk = 3; con k 2 Z+ y f0 = 2
2. sin kfk + cos (k
1) fk
1
+ sin (k
2) fk
2
= 0; con k 2 Z+ .
De…nición 2.5 Una solución de una relación recursiva es toda función que satisfaga la relación de recurrencia en cuestión. Ejemplo 2.6 La función fk =
k (k
1) 2
+C
donde C es una constante arbitraria, es una solución de la relación recursiva fk+1
fk = k;
pues para k 2 Z fk+1
fk
= =
(k + 1) k 2 k2 + k
= k:
k (k
1) 2
k2 2
k
2.2. RELACIONES RECURSIVAS LINEALES DE PRIMER ORDEN A COEFICIENTES CONSTANTES.17
2.2
Relaciones recursivas lineales de primer orden a coe…cientes constantes.
Básicamente trabajaremos con relaciones recursivas de la forma a1 fk+1 + a0 fk = g (k) ; con a1 ; a2 constantes no nulas arbitrarias, y g un función: g : Z ! R; la cual típicamente será un polinomio en k, o una función exponencial en k, o una combinación lineal de un polinomio en k con una exponencial en k. Ejemplo 2.7 La relaciones recursivas con la que trabajaremos serán de similares a 1. 2fk+1 + 5fk = 2k; 2.
1 2
(fk
fk
1)
= fk + k 2 ;
3. 6fk+1 + 34 fk = 13 e 4. k 3
fk = 3k
k
;
fk+1 :
Ejemplo 2.8 Todos los meses ahorro $ 550, los cuales deposito en una cuenta de ahorro que me paga el 0.5 % de interés mensual. Hallar la relación recursiva que describe la situación: La relación recursiva es fk = 1:005fk
1
+ 550;
con la condición inicial f0 = 550: Comenzaremos con el caso más simple.
2.3
Caso I: g (k) = cte:
Queremos resolver la relación recursiva a1 fk+1 + a0 fk = c;
(2.3)
donde a1 ; a2 ; y c son constantes arbitrarias, con a1 6= 0. La relación anterior puede reescribirse fk+1 = Afk + B; donde A = B
=
a0 ; a1
c : a1
18
CAPÍTULO 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ahora usaremos el método inductivo para conjeturar la forma de la solución: f1 f2
f3
fk
= = = = = =
Af0 + B; Af1 + B A (Af0 + B; ) + B A2 f0 + B (1 + A) ; Af2 + B A A2 f0 + B (1 + A) + B
= A3 f0 + B 1 + A + A2 ; .. . = Afk 1 + B = Ak f0 + B 1 + A + + Ak
1
:
Ahora hay dos situaciones: A = 1 o A 6= 1. Si A = 1 es claro que fk = f0 + kB: Por otro lado, si A 6= 1, la expresión + Ak
1+A+
1
;
es una serie geométrica de razón A, para la cuál es facil hallar una versión cerrada: S = 1 + A + A2 + + Ak 2 + Ak 1 ; (2.4) multiplicando ambos miembros por A AS = A + A2 + A3 +
+ Ak
1
+ Ak ;
(2.5)
Haciendo (2.4) menos (2.5) obtenemos S
AS S
1 Ak ; 1 Ak = : 1 A
=
(2.6)
Por lo tanto si A 6= 1 la solución de la relación recursiva (2.3) debe ser fk = Ak f0 + B
1 Ak : 1 A
Resumiendo, el método inductivo sugiere que la solución de la relación recursiva (2.3) debe ser de la forma 8 < k 1 Ak A f + B ; si A 6= 1; 0 (2.7) fk = : f + kB; 1 A si A = 1: 0 Para probarlo debemos usar inducción dos veces: una para A 6= 1, y otra para A = 1. Haremos la primera (la otra queda como tarea para el lector).
2.3. CASO I: G (K) = CT E:
19
Veri…caremos que si A 6= 1, y fk es una solución de la relación recursiva (2.3), 1 Ak entonces fk tiene la forma fk = Ak f0 + B : 1 A Para k = 1 no es más que la fórmula de recursión: f1 = Af0 + B = A1 f0 + B
1 A1 : 1 A
Hipótesis inductiva: supongamos que la relación recursiva es cierta para k 1 fk
1
= Ak
1
Ak 1 : 1 A
1
f0 + B
Ahora veamos que ocurre lo propio para k fk
= Afk
1
= A Ak
+B 1
f0 + B
= Ak f0 + B = Ak f0 + B
Ak 1 A
1
1
+B
Ak +1 A
A 1
1 Ak : 1 A
Ejemplo 2.9 Todos los meses ahorro $ 550, los deposito en una cuenta de ahorro que me paga el 0.5 % de interés mensual. Hace 8 meses que comence a ahorrar. ¿Cuánto tengo ahorrado?¿Cuantos meses más deberé ahorrar para comprarme un televisor de LCD de 42"que cuesta $ 8 500? Solución: Ya hemos hallado la relación recursiva que describe esta situación: fk f0
= =
1:005fk 550:
1
+ 550;
Como A = 1:005 6= 1 y B = 550, por (2.7) tenemos que fk
= = =
1 1:005k 1 1:005 550 1:005k + 110000 1:005k 550 1:005k + 550
k
110550 1:005
1
110000:
Por lo tanto, a los 8 meses tendré (pesos) f8 = 110550 1:0058
110000 = 5050:1637;
Para averiguar cuantos meses más deberé ahorrar para tener por lo menos $ 8 500, planteamos la siguiente desigualdad donde la incógnita es k 8500 < fk = 110550 1:005k Es decir
118500 < 1:005k ; 110550
110000:
20
CAPÍTULO 2. RELACIONES RECURSIVAS
como el logaritmo es una función monótona, al tomar logaritmos de ambos lados no se altera el sentido de la desigualdad anterior: log
118500 110550
< k log (1:005) ;
por lo tanto 118500 110550 log (1:005)
log 14:92370427 =
< k;
luego, deberé ahorrar 15 meses para juntar al menos $ 8 500. Es decir, faltan 7 meses para poder comprar el televisor. Ejercicio 2.10 Resolver las siguientes relaciones recursivas 1. 3fk+1 2. fk+1
2 : 3 3fk = 2, con f2 = 17: 6fk = 1, con f0 =
Ejercicio 2.11 Los costos mensuales de un proyecto de construcción de tres años de duración guardan la siguiente relación: los costos totales de cada mes son los costos del mes anterior más $ 12 000. La inversión inicial fue de $ 20 000. ¿Cuál sera el costo del penúltimo mes de vida del proyecto?. ¿En que mes los costos mensuales superan los $ 100 000
2.4
Caso g 6= cte
En general si g es una función, tenemos que cualquier solución f de la relación recursiva a1 fk+1 + a0 fk = g (k) ; (2.8) tiene la forma fk = hk + pk ; donde hk es la solución de la relación de recursiva homogénea asociada a (2.8): a1 fk+1 + a0 fk = 0; y pk es una solución particular de (2.8), esta función debe ser de la misma clase que g, i.e., si g es un polinomio de grado n, la solución particular pk también, si g es una función exponencial de base a, lo mismo ocurre con pk . La solución particular pk se haya por el método de los coe…cientes indeterminados. Es decir pk debe satisfacer la relación recursiva a1 pk+1 + a0 pk = g (k) : Observe que una solución fk de la forma fk = hk + pk satisface la relación recursiva (2.8): a1 fk+1 + a0 fk
= = = =
a1 (hk+1 + pk+1 ) + a0 (hk + pk ) (a1 hk + a0 hk ) + (a1 pk+1 + a0 pk ) 0 + (a1 pk+1 + a0 pk ) g (k) :
2.5. CASO II: G (K) ES UN POLINOMIO
2.5
21
Caso II: g (k) es un polinomio
Comenzemos estudiando la relación recursiva a1 fk+1 + a0 fk = Pn (k) ;
(2.9)
donde Pn (k) =
nk
n
+
n 1k
n 1
+
+
1k
+
0;
i.e., g es un polinomio de grado n. Primero hallamos la solución homogénea asociada, usando el método desarrollado anteriormente: a1 hk+1 + a0 hk hk+1 donde
= 0; = Ahk ; a0 : a1
A= La solución homogénea asociada es Ak h0 ; h0 ;
hk =
si A 6= 1; si A = 1:
Para hallar la solución particular asociada a (2.9) proponemos una solución particular pk de la forma pk =
nk
k
n
+ n n nk +
1k
n 1
n 1k
+
n 1
+ +
1k
+
+ 1k
0;
+
0
;
si A 6= 1; si A = 1:
donde los ’s son constantes a determinar. Ejemplo 2.12 Resolver la siguiente relación recursiva: 2fk+1
= 4k 2 + 1; = 5:
3fk f0
(2.10)
La ecuación homogénea asociada es 2hk+1
3hk hk+1
= 0 3 = hk ; 2
luego la solución homogénea asociada es hk =
3 2
k
h0 :
3 Como g es un polinomio de grado 2 y 6= 1, debemos proponer como solución 2 particular pk = 2 k 2 + 1 k + 0 :
22
CAPÍTULO 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ahora 4k 2 + 1
= = =
2fk+1 3fk h 2 2 2 (k + 1) + 2k
2
+ (4
1 (k + 1) + 1) k
2
+ (2
2
0
i
+2
3 1
2k
2
+
0) :
Por lo que podemos determinar los ’s resolviendo el sistema 8 = 4 < 2 + 4 2 = 0 : 1 : + 2 1 + 2 2 = 1 0 De donde
= = =
0 1 2
41; 16; 4:
Por lo tanto la solución de (2.10) es de la forma k
3 2
fk = h0
4k 2
16k
41:
Ahora usaremos la condición inicial para ajustar el valor de h0 : 5 = f0 = h0
41;
lo que implica que h0 = 46, por lo tanto la solución de (2.10) es k
3 2
fk = 46
4k 2
16k
41:
En el siguiente ejemplo abordaremos el caso A = 1. Ejemplo 2.13 Resolver la relación recursiva fk+1
fk f1
= =
2k 4:
3;
La ecuación homogénea asociada es hk+1
hk hk+1
= 0 = hk ;
luego la solución homogénea asociada es hk = h0 : Observe que si proponemos una solución particular de la forma pk =
1k
+
0;
1k
+
0
2.6. CASO III: G (K) ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
23
tenemos que 2k
3
= fk+1 fk = ( 1 (k + 1) + = 1:
0)
(
1k
+
0)
Lo cual es imposible, pues esta ecuación debe ser válida para todo k. Como g es un polinomio de grado 1 y A = 1, debemos proponer como solución particular pk = k ( 1 k + 0 ) : Ahora 2k
3
= fk+1 fk = [(k + 1) ( 1 (k + 1) + = 2 1k + ( 1 + 0) :
0 )]
[k (
1k
+
0 )]
De donde 0 1
= =
4; 1;
Por lo tanto la solución de (2.10) es de la forma fk = h0 + k (k
4) :
Ahora usaremos la condición inicial para ajustar el valor de h0 : 4 = f1 = h0
3;
lo que implica que h0 = 7, por lo tanto la solución de (2.10) es fk = 7 + k (k
4) :
Nota 2.14 La idea de usar k n k n + n 1 k n 1 + + 1 k + 0 , en lugar de n n 1 k + k + + k + , si A = 1, viene de la técnica introducida por n n 1 1 0 Liouville para hallar una nueva solución a una ecuación diferencial ordinaria, a partir de una solución conocida.
2.6
Caso III: g (k) es una función exponencial
El tipo de relación recursiva que deseamos resolver es a1 fk+1 + a0 fk = cbk ; con b > 0; b 6= 1. La solución homogénea asociada se calcula como antes. La solución particular es bk ; si A 6= b; pk = kbk ; si A = b: donde A = aa01 ; y el coe…ciente indeterminados.
es hallado usando el método de los coe…cientes
24
CAPÍTULO 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ejemplo 2.15 Resolver la relación recursiva fk+1 f0
= 4fk + 3 2k ; con k = 1:
1;
La relación recursiva homogénea asociada es fk+1
4fk = 0;
por lo tanto la solución homogénea asociada es hk = h0 4k : Como A =
( 4) 6= 2, la solución particular debe ser de la forma pk = 2k :
Usando el método de los coe…cientes indeterminados 3 2k
= pk+1 4pk = 2k+1 4 2k = 2 2k :
Luego =
3 : 2
Por lo tanto la solución general es 3 k 2 : 2
fk = h0 4k
Ahora ajustamos el valor de h0 para que se satisfaga la condición inicial: 3 ; 2
1 = f0 = h0 luego h0 = Por lo tanto fk =
5 k 4 2
5 : 2 3 k 2 : 2
Ejemplo 2.16 Resolver la relación recursiva fk+1
3fk f0
= 12 3k ; con k = 2:
1;
La solución homogénea asociada es hk = h0 3k : Como A =
( 3) = 3, la solución particular asociada debe ser de la forma pk = k3k :
2.7. CASO IV: G (K) COMBINACIÓN DE UN POLINOMIO Y UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL25 Usando el método de los coe…cientes indeterminados 12 3k
= pk+1 3pk = (k + 1) 3k+1 = 3k+1 ;
3 k3k
de donde = 4: Por lo tanto la solución general es de la forma fk = h0 3k + 4k3k : Usando la condición inicial, ajustamos el valor de h0 2 = f0 = h0 : Luego la solución general es fk = 2 3k + 4k3k : Ejercicio 2.17 Resolver las siguientes relaciones recursivas 1. 3fk+1
6fk = 3 2k , con f0 =
2. 3fk+1
fk =
2 : 3
1 , con f2 = 5: 3k
Ejercicio 2.18 Ud. invierte $ 180 000. Esa inversión de duplica cada año, pero ud. retira al cabo del primer año $ 10 000, del segundo año $ 20 000, del tercero $ 40 000, del cuarto $ 80 000, etc. Establecer una relación recursiva que describa el problema. ¿Cuanto tendrá al cabo del 7mo. año?
2.7
Caso IV: g (k) combinación de un polinomio y una función exponencial
Ahora resolveremos relaciones recursivas de la forma a1 fk+1 + a0 fk = Pn (k) + cbk ;
(2.11)
donde Pn (k) =
nk
n
+
n 1k
n 1
+
+
1k
+
0;
es un polinomio de grado n, y b > 0 y b 6= 1. De nuevo todo el problema es hallar una solución particular, pues la homogénea asociada no ofrece di…cultad. La solución particular propuesta debe ser de la misma clase que g 8 + 1 k + 0 + bk ; si A 2 = f1; bg ; < n kn + n 1 kn 1 + n n 1 k nk + n 1k + + 1 k + 0 + bk ; si A = 1; pk = : n n 1 + + 1 k + 0 + kbk ; si A = b: nk + n 1k
donde A =
a0 a1 :
26
CAPÍTULO 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ejercicio 2.19 Resolver las siguientes relaciones recursivas: 1.
2.
(
fk+1
2fk f0
fk+1
fk
=
f1
=
fk+1
3.
2.8
3 4k + 4k; 4:
= =
3fk f0
2 k 3 +k 5 4: 4 3k 2:
= =
1;
2k;
Ejercitación general
Ejercicio 2.20 Decidir si la funciones propuestas son o no solución de las relaciones recursivas dadas (c reprsenta una constante abitraria) Función propuesta fk = 3 fk = c fk = 3 5k fk = c3k fk = 2ck fk = k fk = c + k (k + 1) c fk = 1 + ck 1 k+1 fk = 3 +1 2 k+1 fk = 3 2 1
1 2 3 4 6 7 8 9 10 11
Relación recursiva fk fk 1 = 0; fk fk 1 = 0; fk = 5fk 1 ; fk = 3fk 1 ; fk = cfk 1 ; fk+1 fk = 1; fk+2 fk+1 = 2k + 3; fk = 3fk 1; fk fk+1 = ; 1 + fk fk + 2fk 1 1 = 0:
Ejercicio 2.21 Hallar la solución de cada una de las siguientes relaciones recursivas fk+1
1.
2.
(
fk f0
2fk+1
fk+1 f0
3.
4fk
6.
(
4fk+1
fk
=
f0
=
= =
8 > < 1 fk+1 3 4. > :
5.
= =
1; 4: 3; 1 : 2
2fk ; 4: 4 fk 3 f0
=
6; 2 : 3
=
fk+1 f1
= =
1; 2:
fk
=
f3
=
3; 1 : 2
2.8. EJERCITACIÓN GENERAL fk+1 + fk f0
7.
8.
(
9. 10.
(
3k + 1; 2:
3fk
=
f0
=
5k 2 ; 1 : 2
fk+1 f1
= =
fk + 4k; 0:
fk+1
fk f2
= =
2fk+1
11.
12.
fk+1
= =
2k 2 + k; 1:
2fk f3
= =
3k 0:
2fk+1 + 3fk
=
f0
=
5 2k ; 1 : 2
1;
2fk f0
= =
6 2k ; 1:
fk+1 + 3fk f1
= =
2 4k 0:
15.
(
3fk
1
=
f1
=
1 ; 3k 0:
16.
(
3fk + fk+1
=
f0
=
1 ; 3k 2:
fk f1
= =
4k 4:
fk+1
13. 14.
17.
2fk
fk
1
27
1
k;
3k + 8;
Ejercicio 2.22 Una persona tiene hoy $ 40 000 y a partir de la segunda semana gasta cada semana la tercera parte de lo que tenía la semana anterior. ¿Cuántas semanas tarda en tener menos de $ 10? ¿Cuántas semanas tarda en gastar todo su capital?. Ejercicio 2.23 Una compañía de seguros ofrece a sus inversionista el siguiente esquema de pagos: cada año el inversionista tendrá un acumulado igual a 5/4 de lo que tenía el año anterior, pero le descuentan cada año una doceava parte del total acumulado. ¿Cuánto tendrá al cabo de 8 años una persona que invierte $ 3 000 000? ¿Cuánto tiempo tardará en duplicar su capital un inversionista cualquiera? Ejercicio 2.24 Se invierten hoy $ 6 000 000. Está inversión rinde un 12% trimestralmente, i.e., cada trimestre se agrega el 12% del capital acumulado hasta el trimestre anterior. Al comienzo del segundo trimestre se agregan $ 25 000, al comienzo del tercero $ 30 000, del cuarto $ 35 000, y así sucesivamente. Además al …nalizar cada trimestre se retiran $ 75 000. ¿Cuál será el total acumulado al cabo de 5 años? ¿Cuánto tiempo tardará en triplicar su capital el inversionista?
28
CAPÍTULO 2. RELACIONES RECURSIVAS
Capítulo 3
Sistemas de capitalización simple 3.1
Introducción
El tema de este libro es el valor-tiempo del dinero: escencialmente un peso hoy no vale lo mismo que un peso dentro de un año, en el sentido de la cantidad de bienes y servicios que podemos adquirir es diferente. Esto se debe principalmente a dos factores: el costo de oportunidad y la in‡ación.
3.1.1
¿Qué es el dinero?
De…nición 3.1 El dinero es todo aquello que constituye un medio de cambio o de pago comúnmente aceptado. Características: 1. Carece de valor intrínseco: nos interesa porque podemos usarlo para adquirir bienes y servicios. 2. El estado es el único que puede imprimirlo: moneda de curso legal. 3. No son sólo monedas y billetes: (a) Monedas y billetes, (b) Depósitos a la vista o cuentas corrientes (cheques y tarjetas débito) y tarjetas de crédito, (c) Bonos y acciones, (d) Depósitos a plazos. (e) Rentas (sueldos, jubilaciones, becas, etc.), (f) Instrumentos …nancieros (futuros, opciones, seguros, etc.), (g) Bienes (casas, autos, propiedades, muebles, etc.) Los tipos de “dinero”listados arriba, están ordenado de más líquidos a menos líquidos. Un valor es más líquido cuanto más fácil sea intercambiarlo por bienes y servicios. 29
30
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3.1.2
Funciones del dinero
Las funciones que cumple el dinero son tres: 1. Es un depósito de valor. 2. Es una unidad de medida o cuenta. 3. Es un medio de cambio. Decimos que el dinero es un depósito de valor pues nos permite transferir poder adquisitivo espacial y temporalmente. El dinero que ganamos en un lugar puede ser usado para adquirir bienes y servicios en otro lugar, y el dinero ganado hoy puede ser intercambiado por bienes y servicios en algún momento del futuro. Decimos que el dinero es una unidad de medida o cuenta pues es en términos de dinero que se expresan los precios y las deudas. El dinero es el patron con el que medimos las transacciones económicas. Decimos que el dinero es un medio de cambio, todas las personas e instituciones aceptan intercambiar bienes y servicios por dinero. La mejor forma de entender las funciones del dinero es imaginar una economía de intercambio o trueque. Es claro que no todos los bienes conservan su valor el tiempo, por ejemplo las manzanas recién cosechadas tienen claramente un valor (pueden ser intercambiadas por otros bienes y servicios), pero después de un par de años es poco probable que alguién acepte intercambiar sus bienes por lo que quede de nuestras viejas manzanas. Por otro lado si deseamos adquirir algún bien en algún punto lejano a nuestro lugar de residencia, algunos bienes son más transportables que otros, por ejemplo, es más fácil mover oro que sandias (considereando la relación peso/valor). Es claro que podríamos usar oro como depósito de valor, pero este es muy incomodo como unidad de medida y cuenta, pues todos deberíamos disponer de equipos (balanzas) y conocimientos de metalurgía (pues el oro viene con distintos grados de pureza), para poder intercambiar la cantidad adecuada de oro por los bienes y servicios que deseamos adquirir.
3.1.3
Trueque
El dinero es una e…caz herramienta que surgió de manera natural a medida que las sociedades fueron desarrollando economías cada vez más complejas. Las primeras sociedades tenían una economía de trueque: los bienes eran intercambiados directamente por otros bienes. La principal desventaja de este tipo de economías es que requiere de una doble coincidencia de deseos (temporal y espacial) para que dos agentes intercambien bienes. Por ejemplo, si yo hoy tengo peras y deseo cuchillos, debo hallar (espacial) alguién que hoy quiera peras y que hoy tenga cuchillos (temporal). Esto lleva de manera natural a: 1. una baja división del trabajo (poca especialización), 2. una economía sencilla: sólo se pueden hacer transacciones muy sencillas. 3. es di…cíl trasladar valor temporalmente, e inclusve espacialmente. El dinero permite transacciones indirectas, y en este sentido es muy superior al trueque, donde se debe existir una doble coincidencias de deseos para realizar intercambios.
3.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO
3.1.4
31
Un esquema del surgimiento del dinero …duciario
El dinero que no tiene valor intrínseco se denomina dinero …duciario, ya que se establece como dinero por decreto. Esto es lo normal en casi todos los paises de mundo, aunque históricamente las economías utilizaron durante mucho tiempo mercancías con valor intrínseco a modo de dinero: semillas de cacao, conchas de mar, aceite de oliva, sal, plata, oro, y un largo etc., estos son ejemplos de los que se denomina dinero mercancía, de los cuales el oro es el ejemplo más extendido (hasta la segunda guerra mundial). No es difícil de entender como surje un dinero mercancía como el oro: facilita el intercambio (todo el mundo esta dispuesto a aceptarlo por su valor intrínseco), es fácil de transportar (con respecto a la relación peso/valor) y además sirve para trasladar valor en el tiempo al conservar generalmente su valor en el tiempo. Es más di…cil enterder como surje el dinero …duciario. ¿Qué hizo que la gente comenzara a valorar algo que carece de valor intrínseco: esos pedazos de papel que llamamos dinero? En realidad el proceso tomo varios siglos, pero se puede resumir al siguiente esquema. En una economía que usa oro como dinero mercancía, la gente debe llevar consigo bolsas con oro. Para efectuar una transacción comprador y vendedor deben concordar en el peso y la pureza del oro a ser intercambiado por el servicio o mercancía. Este proceso de pesado y veri…cación de la pureza lleva su tiempo y requiere de conocimientos de metalurgía. Para simpli…car la operación y reducir sus costes el gobierno decide acuñar monedas de oro de un peso y pureza conocidos. Están monedas son más fáciles de llevar y usar que el oro en bruto. Al poco tiempo todo el mundo usa las monedas y casi no circula oro sin acuñar. Luego, el gobierno y los bancos empiezan a emitir certi…cados de oro: trozos de papel que dicen que Juan Perez tiene 12 kg. de oro el banco tal o cual, o certi…cados de oro del gobierno que dicen, por ejemplo, vale por medio kilo de oro. La gente empieza a aceptar estos papeles, y los van a canjar por oro (al banco o a ayuntamiento). Una vez que la gente comienza a veri…car la veracidad de estas promesas de pago, y al ser más fáciles de guardar y llevar, estos certi…cados se vuelven tan valiosos como el mismo oro y a la larga nadie lleva oro, sino estos certi…cados o…ciales respaldados por oro: los certi…cados se convierten en el patron monetario. Ya solo resta un paso para el surgimiento del dinero …duciario: si nadie se molesta en canjear los billetes por oro, el respaldo del oro deja de ser relevante. Mientras todo el mundo continue aceptando los billetes de papel, estos tendrán valor y servirán de dinero.
3.2
Valor-tiempo del dinero
La matemática …nanciera se ocupa de modelar el efecto del tiempo sobre el valor nominal del dinero. Es lo que llamaremos el valor-tiempo del dinero. El siguiente par de ejemplos clari…ca la cuestión: Ejemplo 3.2 $ 1 000 hoy son mejores que $ 300 hoy, Ejemplo 3.3 Es mejor tener $ 100 hoy que tener $ 100 dentro de un año. De este par de ejemplos podemos concluir al menos: Conclusión 3.4 De dos montos disponibles al mismo instante de tiempo, preferimos el más alto.
32
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Conclusión 3.5 De dos montos iguales disponibles en diferentes momentos, preferimos el monto disponible antes. Problema 3.6 En base a las conclusiones anteriores. ¿Qué es mejor? $ 100 hoy o $ 75 dentro de un año. El problema surge al comparar montos distintos disponibles en diferentes momentos del tiempo (donde el monto futuro es mayor que el monto presente): ¿Qué es mejor?: $1 000 hoy, o $1 350 dentro de un año. Todo depende del agente considerado y de su costo de oportunidad. El costo de oportunidad hace referencia al hecho de que cada vez que optamos por una cosa, hay un universo de alternativas que desechamos. La alternativa desechada de mayor rendimiento es el costo de oportunidad en el que incurrimos al tomar una decisión. Volviendo a nuestro problema de decidir que es mejor, si $ 1 000 hoy o $ 1 350 dentro de un año, como ya dijimos todo depende del costo de oportunidad del agente. Si el agente puede invertir los $ 1 000 de hoy y ganar con certeza $ 500 extras al cabo de un año, a …n de año tendrá $ 1 500, lo que es mejor que los $ 1 350. Para este agente $ 1 000 pesos hoy son mejores que $ 1 350 dentro de un año (su costo de oportunidad es mayor que el rendimieno ofrecido al agente). Para otro agente los $ 1000 hoy son lo mismo que $ 1 350 dentro de un año, en el sentido de que el puede invertir estos $ 1 000 en alguna otra opción de inversión y obtener la misma ganancia de $ 350 al cabo de un año. Este agente es indiferente entre $ 1 000 hoy o $ 1 350 a …n de año. Para …nalizar, para un tercer agente $ 1 000 hoy es una peor inversión que recibir $ 1 350 a …n de año, pues todas las otras alternativas de inversión le reportan al cabo de un año menos de $ 350 de ganancia. La noción suyacente es la de equivalencia …naciera De…nición 3.7 Dos capitales C1 y C2 , impuestos en momentos t1 y t2 , respectivamente, son …nancieramente equivalentes para un agente dado, si el agente es indiferente entre ellos: el valor del capital C1 al momento t2 es igual a C2 (recíprocamente el valor del capital C2 al momento t1 es igual a C1 ): C2 al momento t1 C1 al momento t2
= C1 ; y = C2
C1
C2
t1
t2
(C1 ; t1 )
equivalentes
(C2 ; t2 )
Nota 3.8 Cada cantidad de dinero debe ser informada junto con el instante de tiempo en que esta disponible, i.e., en matemáticas …nancieras (implícitamente) trabajamos con pares (monto; tiempo) :
3.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO
33
Para medir el rendimiento de una inversión introducimos otro concepto fundamental: tasa de interés. Recordemos que una tasa es una medida de la magnitud relativa de cambio: Si una cantidad cambia de Ci a Cf en un período de tiempo dado, la tasa de cambio es Cf
t :=
Ci Ci
:
Gra…camente t=
Cf Ci Ci
Ci
Cf
Cuando pasamos de Ci a Cf , podemos pensar que cada unidad pasa de 1 a 1 + t pues (1 + t) Ci = Cf : (3.1) Ejemplo 3.9 Al invertir $ 1 000, obtenemos una ganancia de $ 1 350, tenemos que la tasa de rendimiento asociada es t=
1350 1000 = 0:35 . 1000
Observe que la tasa es una magnitud adimensional, aunque implícitamente está asociada a una unidad de tiempo: el período de tiempo entre Ci y Cf . Ejemplo 3.10 Continuando con el ejemplo anterior, si los $ 1 000 pasan a $ 1 350, en un día, o en un mes, o en un año, son tres situaciones muy distintas, aunque les corresponda la misma tasa. Por eso agregaremos la información temporal y hablaremos de una tasa 0.35 diaria, o de una tasa 0.35 mensual, o de una tasa 0.35 anual. t = 0:35 $1000
$1350 1 día t = 0:35
$1000
$1350 1 mes t = 0:35
$1000
$1350 1 año
34
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
De…nición 3.11 Un k-período de tiempo, es una unidad temporal que cabe k veces el año. Por ejemplo, un 12-período es un mes: 12 meses hacen un año, un 365-período es un día: pues 365 días hacen un año, un 6-período es un bimestre: 6 bimestres hacen un año, etc. k-período 1-período 2-período 3-período 4-período 6-período 12-período 52-período 360-período 365-período
tiempo año, semestre, cuatrimestre, trimestre, bimestre, mes, semana, día comercial, día civil.
Nota 3.12 Observe que en t años entran k t
k-períodos,
por ejemplo, en 3 años hay 12 3 = 36 12-períodos, i.e., 36 meses; en 2.5 años hay 52 2:5 = 130 52-périodos, i.e., 130 semanas. De…nición 3.13 Una tasa k-períodica t, nos dice cuanto cambia una unidad en un k-período de tiempo. Una tasa k-períodica capitaliza k veces en un año. También se suele decir que la tasa tiene frecuencia de capitalización k. Por ejemplo una tasa mensual, capitaliza 12 veces en el año o, lo que es lo mismo, tiene frecuencia de capitalización 12. En el día a día, las tasas son informadas como porcentajes (i.e., numeradores de cocientes de denominador 100) junto con una unidad temporal. Por ejemplo una tasa mensual del 22.3 % hace referencia a una tasa 0:223 12-períodica. Para hallar la tasa asociada a una tasa tp orcentual informada porcentualmente hacemos t=
tp orcentual : 100
En matemática …nancieras usaremos i(k) para denotar una tasa k-períodica. Las más usadas son: i anual, i(2) semestral, i(3) cuatrimestral, i(4) trimestral, i(6) bimestral, i(12) mensual, (52) i semanal, i(360) diaria comercial, i(365) diaria civil.
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
35
Nota 3.14 Observar que en lugar de i(1) para la tasa anual se usa simplemente i. De…nición 3.15 Dados un capital original Co en un instante de tiempo to y un capital …nal Cf en un instante de tiempo posterior tf . Llamaremos interés I a la diferencia I := Cf Co : Si tf
to es un k-período, hay una tasa k-períodica asociada: i(k) =
Cf
Co Co
:
De donde se deduce una relación inmediata entre el interés I y la tasa k-períodica i(k) : I = Co i(k) : Sea i(k) la tasa k-períodica que podemos obtener, para cualquier capital C disponible el día de hoy podemos hallar un capital equivalente un k-período en el futuro Cf o un k-período hacia el pasado Cp . Cf
=
1 + i(k) C;
Cp
=
C : 1 + i(k)
Cuando movemos un capital hacia el futuro en matemáticas …nanceras se habla de capitalización. Mientras que si lo movemos hacia el pasado se habla de actualización.
Capitalización
Actualización
Cp
C un k-período hacia el pasado
Cf un k-período hacia el futuro
Pero típicamente debemos movermos más de un período, hacia atrás o hacia adelante. Cuando debemos calcular los intereses de varios períodos surge un interrogante natural: Los intereses de un período deben ser considerados o no para el cálculo de los intereses del período siguiente. El cómo se hace esto recibe el nombre de ley …nanciera.
3.3
Sistema de capitalización simple
El sistema de capitalización simple es la ley …nanciera que establece que los intereses generados en un período dado no son considerados para el cálculo de los intereses del período siguiente. De…nición 3.16 En capitalización simple los intereses de cada período se calculan sobre el mismo capital inicial o principal.
36
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Dado un capital inicial C0 , una tasa de capitalización k-períodica i(k) y n k-períodos tenemos que los intereses de cada período son iguales: = In = C0 i(k) :
I1 = I2 =
El interés total IT es, por de…nición, la suma de los intereses de cada uno de los períodos considerados: n X IT := Ih h=1
nC0 i(k) :
=
Dado h 2 f1; :::; ng, el capital acumulado hasta el momento h, es el capital acumulado hasta el período anterior, h 1, más los intereses generados: Ch = Ch
1
+ C0 i(k) ;
con la condición inicial C0 := Co (a la izquierda es capital a momento cero, a la derecha tenemos el capital inicial u original). Por lo que usando la teoría de relaciones recursivas ya desarrollada, caso g (k) = cte, con A = 1, concluimos que: Ch
= C0 + C0 i(k) h = C0 1 + hi(k) ;
para 0
h
(3.2)
n.
$
Cn Cn
In 1
In
In
1
C3
IT I3
I3
I3
I2
I2
I2
I2
I1
I1
I1
I1
I1
C0
C0
C0
C0
C0
C2 C1 C0 C0 0
1
2
1
3
n
1
n
tiempo
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
37
En particular Cn = C0 1 + ni(k) ;
(3.3)
la cual es la fórmula habitual en la literatura. Nota 3.17 Note que en la fórmula (3.3) existe una relación temporal entre los capitales Cn y C0 . Esta en el futuro (a la derecha) del capital C0
z}|{ Cn
=
C0 |{z}
1 + ni(k) ;
Esta en el pasado (a la izquierda) del capital Cn
La fórmulas (3.2) y (3.3) nos indican como se traslada un capital de un instante de tiempo dado a otro de forma …nancieramente equivalente. Por ejemplo, a una tasa mensual del 1.2 %, $ 200 pesos son …nancieramente equivalentes a $ 216.8 en 7 meses (usando capitalización simple): 216:8 = 200 (1 + 7 0:012) : Nota 3.18 En la fórmula (3.3) aparecen 4 variables relacionadas: capital inicial capital …nal tiempo tasa
C0 ; Cn ; n; i(k) :
Unas observaciones al respecto: 1. El problema tipo es: dadas tres magnitudes hallar la cuarta. Por lo que tenemos problemas donde debemos hallar el capital …nal Cn (se les suele llamar problemas de capitalización), una variación de este tipo de problemas es hallar el interés total generado. Problemas donde debemos hallar el capital inicial C0 (se les suele llamar problemas de actualización). Problemas donde debemos hallar el tiempo n, y …nalmente problemas donde debemos hallar la tasa i(k) . 2. Dimensionalmente hablando, C0 y Cn son dinero. El tiempo y la tasa deben ser dimensionalmente compatibles: si la tasa es k-períodica, el tiempo debe estar dado en k-períodos, por ejemplo, si la tasa el mensual, n debe ser una cantidad de meses. Similarmente si n es una cantidad de trimestres, la tasa debe ser trimestral: una i(4) . Ejemplo 3.19 Calcular el capital …nal o montante de $ 2 500 000 al 15 % anual, colocado durante a) 20 días, b) 3 meses, c) 4 cuatrimestres, d) 5 años, e) t k-períodos. Solución
38
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Todo el problema es compatibilizar las unidades temporales de los intervalos de tiempo y la tasa. Por ahora sólo podemos convertir los distintos períodos de tiempo a años: 20 años, por lo que al cabo de 20 días tendremos a) 20 días son 365 20 C20 días = C 365
b) 3 meses son
años 3 12
= 2500000 1 +
20 0:15 365
= 2520547:9452 pesos.
años, por lo que al cabo de 3 meses tendremos
3 C3 m eses = C 12
años
c) 4 cuatrimestres son dremos C2 cuatrim estres = C 43
= 2500000 1 + 4 3
3 0:15 12
= 2593750 pesos.
años, por lo que al cabo de 4 cuatrimestres ten-
añ os
= 2500000 1 +
4 0:15 3
= 3000000 pesos.
d) Al cabo de 5 años tendremos C5 años = 2500000 (1 + 5 0:15) = 4375000 pesos. e) En general si tenemos t k-períodos, tenemos Ct k-períodos = C kt
años
t k
años, por lo que tendremos
= C0 1 +
t i : k
Nota 3.20 El sistema de capitalización simple esta prácticamente en desuso. En la actualidad la capitalización compuesta es el sistema más usado (en sus versiones discreta y continua), el cual será estudiado en los capitulos subsiguientes. Ejercicio 3.21 Calcular el capital …nal o montante que se obtendrá al colocar $ 25 500 a 6 meses a una tasa anual del 12.5%. ¿A cuánto ascienden los intereses totales? Ejercicio 3.22 Calcular el montante que producirá un capital de $ 724 230, colocado al 7 % semestral durante 4 años. (Respuesta: $ 1 129 799). Ejercicio 3.23 Determinar el interés obtenido por una empresa que efectuó un depósito a plazo …jo por el término de 30 días, con excedentes de fondos por $ 8 000 a una tasa del 11 % anual. (Respuesta: I = $ 73.33). Ejercicio 3.24 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 230 500 impuestos al 1.23% mensual durante 4 meses. Ejercicio 3.25 Hallar el capital necesario para producir un interés de $130 en una colocación por un plazo de 50 días en una entidad bancaria al 12 % anual. (Respuesta: C0 = $ 7 908.33). Ejercicio 3.26 Los intereses calculados según el año civil de un capital ascienden a $ 784 720 ¿A cuánto ascenderán según el año comercial? (Respuesta: I360 = $ 795 618. 89)
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
39
Ejercicio 3.27 Hace 87 días invertimos una cierta suma de dinero al 0.02% diario a interés simple. Hoy nos entregan $ 75 420.50 ¿Cuál fue el monto invertido originalmente? Ejercicio 3.28 Depositamos en un banco $ 15 000 y al cabo de 8 meses no entregan $ 16 672.20. ¿Cuál es la tasa de interés que nos pagó el banco? Ejercicio 3.29 Un inversor reembolsará $ 4 995,50 por un depósito concertado a 90 días por $ 3 700. Averiguar la tasa anual pactada. (Respuesta: i = 142 %). Ejercicio 3.30 Hallar la tasa anual necesaria para que un depósito por $ 11 000 reditúe al inversor en 180 días, la mitad de la colocación. (Respuesta: i = 100 %). Ejercicio 3.31 ¿Cuál es la tasa de interés k-períodica que nos permite duplicar el capital en t k-períodos? Ejercicio 3.32 ¿Cuánto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un capital al 5% bimestral? Ejercicio 3.33 ¿Cuántos períodos son necesarios para duplicar un capital a una tasa k-períodica i(k) ? Y para triplicarlo. Y para obtener un múltiplo dado. Ejercicio 3.34 Una empresa con excedentes de fondos por $ 20 000 efectúa dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 días al 1.5% mensual, y otra durante 15 días al 1.25% mensual. Averiguar los importes de los depósitos, sabiendo que las inversiones producen igual interés. (Respuesta: $ 4 347.83 y $ 15 652.17). Ejercicio 3.35 Ud. posee $ 355 000. Decide invertilos en dos proyectos que le pagaran respectivamente el 1.2 % bimestral y el 2.1% trimestral. Qué porcentaje de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en concepto de intereses, es decir, a los 6 meses los intereses que le paga cada uno de los proyectos debe ser igual. Si ahora deseamos que ambos proyectos nos paguen los mismos intereses totales a lo largo de 1 año ¿cuánto deberemos poner en cada uno de los proyectos? Ejercicio 3.36 Un capital por $ 3 800 se impuso a interés simple durante 7 días al 11.2%; luego el mismo capital por el término de 15 días al 11.7%; y por último se consiguió colocarlo 30 días al 13.5%. Calcular el interés total y la tasa real de la operación citada. (Respuesta: I = $ 68.93, i = 12.73 %). Ejercicio 3.37 Una empresa coloca excedentes de fondos en las siguientes alternativas: 1. Mercado de …nanciamiento o…cial, $ 8 600 al 12%. 2. Mercado de …nanciamiento marginal, $ 7 200 al 18.5%. Determinar el plazo de las colocaciones que le permiten percibir montos iguales. (Respuesta: n = 4.6667 años ~ 4 años y 8 meses).
40
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejercicio 3.38 Se desea saber cómo in‡uirá una comisión de gastos …ja sobre el rendimiento de una inversión. A este efecto se nos comenta que, cualquiera sea la inversión, la comisión ascenderá a $ 3 000. ¿Qué incidencia tendrá sobre nuestra inversión de $ 2 000 000 al 12%?, es decir, ¿Cuál es la tasa real de la operación?. ¿Y si la inversión fuera de $ 500 000 al mismo tipo? (Respuesta: 11.85% y 11.40%).
3.4
Equivalencia de tasas
Consideremos las siguientes operaciones: colocar $ 100 al 12% anual durante un año, colocar los mismos $ 100 al 1% mesual también durante un año. Ambas producen idéntico capital …nal o montante. 100 (1 + 0:12) = 112 = 100 (1 + 12 0:01) : Esto es un ejemplo de tasa equivalentes, uno de los conceptos fundamentales de matemáticas …nancieras. De…nición 3.39 Diremos que dos tasas i(p) y i(q) , son equivalentes, bajo una ley …nanciera dada, si aplicadas a un mismo capital inicial, producen idéntico capital …nal durante un mismo intervalo de tiempo, aunque tengan distinta frecuencia de capitalización (p 6= q). ip C0
t años
Cf
q
i
Ahora podemos deducir la ecuación fundamental de equivalencia de tasas en el sistema de capitalización simple: Supongamos que un capital inicial C0 es impuesto durante t años, donde t > 0 es un número real (no necesariamente entero). La tasa p-períodica i(p) y la tasa q-períodica i(q) , con p; q 2 Z+ , son equivalentes si producen idéntico capital …nal: C0 1 + tpi(p) = Cf = C0 1 + tqi(q) ; Al simpli…car nos queda pi(p) = qi(q) : Esto nos permite de…nir De…nición 3.40 Dados p; q 2 Z+ , en el sistema de capitalización simple dos tasas i(p) y i(q) , son …nancieramente equivalentes si cumplen la siguiente relación de proporcionalidad: pi(p) = qi(q) : (3.4) Ejemplo 3.41 ¿Cuál es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del 7%?
3.4. EQUIVALENCIA DE TASAS
41
Una tasa mensual es una i(12) , mientras que una trimestral es una i(4) (recordar que hay 4 trimestres en un año). Usando la ecuación (3.4) de equivalencias de tasas: 12i(12) 12i(12)
= =
i(12)
=
i(12)
=
4i4 ; 4 0:07; 0:28 ; 12 0; 02333333 : : :
Esto nos dice que es lo mismo poner $ 1 000 durante 6 meses a una tasa trimestral del 7%, que ponerlos a una tasa mensual del 2.33333...%. 1000 (1 + 2 0:07) = 1140 = 1000 (1 + 6 0:02333333 : : :) ; O que es lo mismo poner $ 500 durante 8 meses con cualquiera de estas dos tasas: 8 500 1 + 0:07 3
= 593:33333 : : : = 500 (1 + 8 0:02333333 : : :)
Nota 3.42 Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la propia dedución de fórmula (3.4), la equivalencia de tasas en capitalización simple es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas producen igual montante al cabo de t1 años, producirán igual montante al cabo t2 años, con t1 6= t2 . Ejercicio 3.43 Dada una i(2) = 0:03, hallar la i(k) equivalente para k 2 f1; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g. Ejercicio 3.44 Dada una tasa de interés anual del 25%. Hallar las tasas subperíodicas equivalentes, i.e., hallar i(k) equivalente a la tasa dada para k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g. Expresar los resultados usando porcentajes. Ejercicio 3.45 Demostrar que si i(365) y i(360) son equivalentes (a capitalización simple) entonces i(365) 72 = : 73 i(360) Ejercicio 3.46 Dados p; q 2 Z+ , y un número real c > 0. Si i(p) = c = i(q) ; para cualquier C0 > 0 (dinero) y cualquier t > 0 (tiempo en años) demostrar que C0 1 + tpi(p) < C0 1 + tqi(q) ; si y sólo si p < q: Es decir, dadas dos tasas de igual nominal, la que capitaliza con mayor frecuencia produce mayor montante. Un problema habitual es comparar entre diferentes inversiones, y decidir cual tiene mayor rendimiento. Consideremos las siguientes inversiones:
42
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1. Invertir $ 1000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes. 2. Invertir $ 1000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un año. 3. Invertir $ 5000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes. 4. Invertir $ 900 nos da una ganacia de $ 450 al cabo de 2 meses.
Es facil concluir que la inversión 1 rinde más que la inversión 2 y que la inversión 3, pero es más di…cil decidir si rinde más o menos que la inversión 4. En general, lo mejor es comparar tasas de rendimiento de cada una de las operaciones consideradas. La inversión 1 tiene una tasa mensual de rendimiento (12)
t1
= 0:25;
mientras que la tasa de rendimiento de la inversión 2 es bimestral (6)
t2 = 0:5: (6)
Para decidir cual es mejor, hayamos la mensual equivalente a t2 (6)
6t2
=
6 0:5: =
(12)
12t2
;
(12) 12t2 ;
luego (12)
t2
= 0:25:
Como ambas operaciones tienen el mismo rendimiento mensual (medido por sus respectivas tasas mensuales de rendimiento) (12)
t1
(12)
= 0:25 = t2
;
Decimos que ambas inversiones rinden lo mismo. Ejercicio 3.47 Cuál inversión es mejor
1) 2)
Opción 1 $ 1 100 producen una ganacia de $ 250 un mes. $ 1 200 producen una ganacia de $ 450 un año.
Opción 2 $ 850 producen una ganacia de $ 460 en dos meses. $ 6 500 producen una ganania de $ 500 en 20 semanas
Ejercicio 3.48 ¿Qué oferta es más conveniente para una persona que desea comprar una casa: $ 40 000 iniciales y $ 60 000 al cumplirse los 6 meses o $ 60 000 iniciales y $ 40 000 al cumplirse el año? La tasa a usar es del 6% anual (Respuesta: la segunda).
3.4.1
Tasa media
Consideremos la siguiente problema Ejemplo 3.49 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 60% del mismo al 7% anual, y el 40% restante al 4.1% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 1.25 mensual. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?
3.4. EQUIVALENCIA DE TASAS
43
En esta situación debemos comparar dos inversiones, una de las cuales involucra más de una tasa. Una forma de resolver este problema, es sustituir las dos operaciones por una equivalente: Es decir, dado un intevalo tiempo de t (12) años, queremos hallar una tasa media imedia 12-periodica (mensual), que nos produzca la misma ganancia: (12)
0:60C (1 + t 0:07) + 0:40C (1 + 4t 0:041) = C 1 + 12t imedia ; despejando (12)
imedia =
0:60 1 0:07 + 0:40 4 0:041 = 0:00896666 : : : 12
Se puede observar que el valor de la tasa media (en el sistema de capitalización simple) es independiente del tiempo. Ahora es claro que la segunda opción (no dividir el capital) es la más conveniente: (12) (12) i2 = 0:0125 > 0:00896666 : : : = imedia . En el fondo esto no es más que sustituir dos rectas (en t) por su suma, la cual es a su vez una recta: $
(12)
C(1 + t imedia )
C 0:60C(1 + t 0:07) 0:40C(1 + 4t 0:041) 0:6C 0:4C
t (años)
En general una serie de capitales Cj , con j = 1; : : : ; n, los cuales están colocados a las tasas pj -períodicas i(pj ) , con j = 1; : : : ; n, durante t años, es equivalente a colocar la suma de todos los capitales C=
n X j=1
Cj ;
44
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE (q)
a la tasa media equivalente q-períodica imedia n X
(q)
Cj 1 + tpj i(pj ) = C (1 + tq) imedia ;
j=1
de donde n X
Cj + t
j=1
n X
(q)
Cj pj i(pj )
= C + tCqimedia
Cj pj i(pj )
= Cqimedia
j=1
n X
(q)
j=1
despejando la tasa media obtenemos
(q)
imedia =
n X
Cj pj i(pj )
j=1
qC
:
Nota 3.50 Observe que la fórmula para la tasa media de una serie de capitales es independiente del tiempo t. Depende de los capitales Cj y de las tasas pj períodicas i(pj ) , con j = 1; : : : ; n. (q )
(q )
1 2 Además, dados q1 ; q2 2 Z, es evidente que las tasas medias imedia y imedia (calculadas con respecto a una misma serie de capitales) son equivalentes:
(q )
1 q1 imedia =
n X
Cj pj i(pj )
j=1
(q )
C
2 = q2 imedia :
Ejercicio 3.51 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 30% del mismo al 18% anual, y el 70% restante al 6.5% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 0.5% semanal. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa? Ejercicio 3.52 Tenemos $ 100 000 para invertir. Se nos presentan tres opciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 2.5% mensual. La segunda en comprar $ 60 000 en bonos del estado que pagan un 8.2% trimestral y el resto en el banco al 1.8% mensual. La tercera consiste en comprar obligaciones de empresas privadas: $ 30 000 en opciones de la empresa A, que rinden un 21% semestral, $ 40 000 en opciones de la empresa B, que rinden un 4.8% bimestral y el resto en opciones de la empresa C que rinden un 38.5% anual. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?
3.5
Equivalencia …nanciera de dos series de capitales
Una vez que sabemos calcular el equivalente …nanciero de un capital para distintos momentos, podemos veri…car cuando dos series de capitales son …nancieramente equivalentes, este último es el segundo concepto fundamental de matemáticas …nancieras.
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 45 De…nición 3.53 Una serie de capitales A1 ; A2 ; : : : ; An disponibles en los momentos ta1 ; ta2 ; : : : ; tan , es equivalente a la serie de capitales B1 ; B2 ; : : : ; Bm disponibles en los momentos tb1 ; tb2 ; : : : ; tbm , a una fecha focal f , para un agente dado (tasa), bajo una ley …nanciera dada (sistema), si n X
m X
Aj al momento f =
j=1
Pm
j=1
B1 A1
Bj al momento f:
(3.5)
j=1
Bj al momento f
B2 A2
B3
Bm
f
A3 Pn
j=1
An
Aj al momento f
El equivalente …nanciero de un capital dado, a la fecha focal f y a una tasa k-períodica i(k) en el sistema de capitalización simple es Aj al momento f = Aj 1 + jf
tj j i(k)
sgn(f
tj )
:
Nota 3.54 De…nimos la función signo como: 8 < 1 si x > 0; 0 si x = 0; sgn (x) = : 1 si x < 0: De donde, si f
tj (capitalización)
Aj al momento t = Aj 1 + (f
tj ) i(k) ;
y si f < tj (actualización) Aj al momento t =
Aj : 1 + (tj f ) i(k)
En todas las fórmulas anteriores f y tj estan expresados en k-períodos, para que sea compatible con la tasa usada el intervalo de tiempo entre f y tj . En partícular para el sistema de capitalización simple tenemos que la de…nición de equivalencia de capitales toma la forma De…nición 3.55 Una serie de capitales A1 ; A2 ; : : : ; An disponibles en los momentos ta1 ; ta2 ; : : : ; tan , es equivalente a la serie de capitales B1 ; B2 ; : : : ; Bm disponibles en los momentos tb1 ; tb2 ; : : : ; tbm , a una fecha focal f , para una tasa k-períodica i(k) , en el sistema de capitalización simple si n X j=1
Aj 1 + f
taj i(k)
sgn(f
ta j)
=
m X
Bh 1 + f
tbh i(k)
sgn(f
tbh )
:
h=1
(3.6)
46
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
De la fórmula (3.6) es claro que en el sistema de capitalización simple dos series de capitales pueden ser equivalentes para algunas fechas focales y para otras no. Ejemplo 3.56 Usando una tasa anual i = 0:45 (es decir una tasa del 45 % anual), veamos a que fechas focales la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100 000 a los dos años y $ 150 000 a los 4 años, es equivalente a la serie de $ 350 000 a los 3 años y $ 400 000 a los 5 años. El esquema de las series de capitales es $ 350000 0
1
$ 130000
2
$ 400000
3
$ 100000
4
5
años
$ 150000
El valor de la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100 000 a los 2 años y $ 150 000 a los 4 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa anual i = 0:45 es V1 (f ) := sgn(f )
130000 (1 + 0:45 jf j)
+ 100000 (1 + 0:45 jf
sgn(f
+150000 (1 + 0:45 jf
4j)
sgn(f
2j)
2)
4)
El valor de la serie de capitales: $ 250 000 dentro de 3 años y $ 450 000 dentro de 5 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa anual i = 0:45 es V2 (f ) := sgn(f
350000 (1 + 0:45 jf
3)
3j)
+ 400000 (1 + 0:45 jf
sgn(f
5)
5j)
Por ejemplo, si escogemos como fecha focal dos años hacia adelante a partir de hoy, f = 2; tenemos el siguiente ‡ujo f =2 $ 350000 0 $ 130000
1
2
$ 400000
3
$ 100000
4
5
años
$ 150000
De donde deducimos los siguientess valores para V1 y V2 V1 (2)
sgn(2)
= 130000 (1 + 0:45 j2j)
+150000 (1 + 0:45 j2 =
+ 100000 (1 + 0:45 j2
sgn(2 2)
2j)
sgn(2 4)
4j)
130000 (1 + 2 0:45) + 100000 +
= 425947:3684 sgn(2 V2 (2) = 350000 (1 + 0:45 j2 3j) 350000 400000 + = 1 + 0:45 1 + 3 0:45 = 411592:0763
3)
150000 1 + 2 0:45 + 400000 (1 + 0:45 j2
sgn(2 5)
5j)
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 47 La siguente grá…ca muestra los valores de las funciones V1 y V2 , en rojo la primera y en azul punteada la segunda, para fechas focales entre 0 y 6 años. Notar que las unidades del eje y son cientos de miles de pesos. $ en 100000
V2 (f ) 11
V1 (f ) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0
f1
1
2
3
4
f2
5
6
f en años
Sólo existen dos fechas focales tales que V1 (f ) = V2 (f ) ; y ellas son (dadas en años) f1 f2
= =
0:23877905; 4:27194599:
Pues V1 (0:23877905) = 283357:5590 = V2 (0:23877905) ; y V1 (4:27194599) = 851621:5493 = V2 (4:27194599) ;
(3.7)
48
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Nota 3.57 En el sistema de capitalización simple, la equivalencia …nanciera depende fuertemente de la fecha focal escogida. Nota 3.58 Es claro que despejar f de la ecuación (3.7) es casi siempre imposible, y son necesarios métodos numéricos para hallar f , en particular suele ser útil usar soft mátematico como Matlab, Maple V, Mathematica, o Derive, en cualquiera de sus versiones. (los valores de f1 y f2 se obtubieron con Maple V Release 4, version 4.00c (1996), student edition). El problema típico (el cual no implica el uso de computadoras) es: dada una serie de capitales, hallar una segunda serie …nancieramente equivalente. En el sistema de capitalización simple, lo matemáticamente correcto es llevar todos los capitales al origen de la serie conocida, porque no se deben usar los intereses en los cálculos, lo cual no siempre es posible, ya que muchas veces desconoceremos la fecha de origén de la operación. Ejemplo 3.59 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y último de $ 500 a los 9 meses. Por razones de ‡ujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por 2: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa de 2.5% mensual. Calcular el monto del último pago usando la siguientes fechas focales: el origen, a los 6 meses, a los 10 meses. Debemos igualar los valores de ambas operaciones a la fecha focal dada: valor de la valor de la operación original = operación nueva a la fecha focal f a la fecha focal f Fecha focal el origen: f = 0 Serie (operación) nueva
fecha focal
C
$ 500 0
1
2
3 $ 400
4
5
6
7
8
$ 300
9
10
meses
$ 500
Serie (operación) original Nota 3.60 Convendremos en dibujar las series originales debajo del eje temporal, y pondremos las series nuevas sobre el mencionado eje. Tenemos que actualizar todos los capitales al momento cero: 400 300 500 + + 1 + 3 0:025 1 + 6 0:025 1 + 9 0:025
=
1041:125854 =
500 C + 1 + 5 0:025 1 + 10 0:025 C 444:4444445 + ; 1:25
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 49 de donde concluimos que C = 745:8517624: Fecha focal a los seis meses: f = 6 fecha focal
C
$ 500 0
1
2
3
4
5
$ 400
6
7
8
$ 300
9
10
meses
$ 500
Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos serán capitalizados (los que están disponibles antes de los 6 meses), otros serán actualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6 meses no cambian 400 (1 + 3 0:025) + {z } | Capitalización
300 |{z}
+
Sin cambios
500 = 1 + 3 0:025 | {z }
500 (1 + 0:025) +
C 1 + 4 0:025
Actualización
1195:116279
= 512:500 +
C ; 1:1
de donde C = 750:877907 Ejemplo 3.61 Finalmente tomaremos como fecha focal a los 10 meses: f = 10: fecha focal
C
$ 500 0
1
2
3 $ 400
4
5
6
7
8
$ 300
9
10
meses
$ 500
Todos los capitales, salvo C, deben ser capitalizados: 400 (1 + 7 0:025) + 300 (1 + 4 0:025) + 500 (1 + 0:025) = 500 (1 + 5 0:025) + C 1312:5 = 562:500 + C; de donde C = 825:
50
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejercicio 3.62 ¿Con qué cantidad se cancela hoy día, un préstamo que se consiguió dos meses antes habiéndose …rmado dos documentos; uno con valor nominal de $ 600 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 750 de valor nominal y vencimiento a 5 meses del préstamo?. Suponga intereses del 20% anual. (Respuesta: $ 1 296.63). Ejercicio 3.63 Una deuda de $ 2 000 con intereses del 5% anual vence en un año. Si el deudor paga $ 600 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento. (Respuesta: $ 573.22). Ejercicio 3.64 El señor X debe $ 500 con vencimiento en 2 meses, $ 1 000 con vencimiento en 5 meses y $ 1 500 con vencimiento en 8 meses. Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un interés del 6% anual, tomando como fecha focal la fecha del último pago: 10 meses (Respuesta: $ 1 164.85). Problemas con almanaque Ejercicio 3.65 El 10 de enero del corriente año se otorga un préstamo amparado con dos pagarés con vencimientos al 15 de marzo y al 3 de mayo, por $ 1 300 y $ 800 respectivamente. Poco después, se conviene en cancelarlo con tres pagos: el primero por $ 500 el 20 de febrero, el segundo por $ 1 000 el 30 de abril y el tercero el día 10 de junio, ¿De qué cantidad es este último pago si se cargan intereses del 30% mensual y se establece el 15 de marzo como fecha de referencia?, ¿A cuánto asciende el monto del préstamo? (Respuesta: $ 616.09). Ejercicio 3.66 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12 725, $ 11 022 y $ 8 774, con vencimiento los días 15 de mayo, 4 de junio y 25 de junio, respectivamente, por uno único el día 1 de junio; ¿a cuánto ascenderá el capital si se aplica un 6% anual a la operación? Año civil. Fecha de operación: 15 de mayo. (Respuesta: $ 32 516). Ejercicio 3.67 Deseamos sustituir dos pagares de $ 14 500 y $ 12 300, con vencimientos el 12 de abril y el 15 de junio, respectivamente, por otros tres de igual monto, con vencimientos 10 de mayo, 10 de junio y 10 de agosto. Resolver el problema usando:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
fecha focal 8 de enero 12 de abril 10 de junio 10 de agosto 15 de septiembre 8 de enero 8 de enero 12 de abril 12 de abril
tasa 1.2% mensual, 1.2% mensual, 1.2% mensual, 1.2% mensual, 1.2% mensual, 0.05% diario (365), 0.05% diario (360), 2.4% mensual, 0.6% mensual.
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 51
3.5.1
Vencimiento medio
Este es un caso particular de equivalencia …nanciera, en el que sustituimos una serie de capitales por un único pago igual a la suma algebraica de los capitales involucrados. Dada una tasa k-períodica y una fecha focal f , deseamos hallar la fecha vm en la cual podemos sustituir una serie de capitales C1 ; C2 ; : : : ; Cn disponibles en los momentos t1 ; t2 ; : : : ; tn , por un único pago C=
n X
Cj :
j=i
Dicha fecha focal es conocida como vencimiento medio vm: n X j=i
tj j i(k)
Cj 1 + jf
sgn(f
tj )
vmj i(k)
= C 1 + jf
sgn(f
vm)
:
En la fórmula anterior los intervalos de tiempo son medidos en k-períodos, para que sean compatibles con la tasa usada. Como se puede ver, usando capitalización simple, el vencimiento medio depende de cada una de las variables involucradas (salvo en casos excepcionales, no hay simpli…cación de variables), y para calcular el valor de vm tenemos que analizar cada caso, y eventualmente necesitaremos emplear métodos númericos. Razonando …nancieramente es intuitivo que el vencimiento medio se encuentra entre el primero y el último momento en que los capitales vencen, porque se debe dar una compensación de intereses. Ejemplo 3.68 Deseamos sustituir tres pagos, de $ 200, $ 300 y $ 500, con vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un año, respectivamente, por único pago de $ 1000. Hallar el vencimiento medio para 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
fecha focal hoy hoy 6 meses 1 año 2 años hoy vencimiento medio
tasa 2% mensual, 1% mensual, 1% mensual, 1% mensual, 32% anual, 1% diario comercial (360), 1% mensual.
Para resolver este problema planteamos la ecuación de equivalencia …nanciera en general sgn(f )
200 (1 + jf j i) =
1000 (1 + jf
+ 300 (1 + jf sgn(f
vmj i)
vm)
sgn(f
6j i)
6)
+ 500 (1 + jf
sgn(f
12j i)
:
1) fecha focal: f = 0, tasa: 2% mensual 200 +
300 500 + 1 + 6 0:02 1 + 12 0:02 871:0829494 1000
sgn( vm1 )
=
1000 (1 + 0:02 jvm1 j)
=
(1 + 0:02 jvm1 j)
sgn( vm1 )
;
12)
52
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Como
871:0829494 ; 1000 entonces el exponente sgn ( vm1 ) debe ser 1, y por lo tanto podemos asegurar que vm1 > 0, 1 871:0829494 = ; 1000 1 + 0:02vm1 de donde vm1 = 7:399814833 meses: 1 + 0:02 jvm1 j > 1 >
2) fecha focal: f = 0, tasa: 1% mensual 200 +
300 500 + 1 + 6 0:01 1 + 12 0:01 929:4474394 1000
Como
sgn( vm2 )
= 1000 (1 + 0:01 jvm2 j)
sgn( vm2 )
= (1 + 0:01 jvm2 j)
;
929:4474394 ; 1000 1, y además podemos asegurar que vm2 > 0,
1 + 0:01 jvm2 j > 1 >
el exponente sgn ( vm2 ) debe ser por lo tanto 929:4474394 1 = ; 1000 1 + 0:01vm1 de donde vm2 = 7:399814833 meses.
Ejemplo 3.69 Observando los resultados 1) y 2) vemos que en capitalización simple, el vencimiento medio depende de la tasa usada. 3) fecha focal: f = 6, tasa: 1% mensual 500 1 + 6 0:01 983:6981132 1000
200 (1 + 6 0:01) + 300 +
Como 1 + 0:01 j6
=
1000 (1 + 0:01 j6
sgn(6 vm3 )
vm3 j)
sgn(6 vm3 )
= (1 + 0:01 j6
vm3 j)
;
983:6981132 ; 1000 1, y además podemos asegurar que 6
vm3 j > 1 >
el exponente sgn (6 vm3 ) debe ser vm3 < 0, por lo tanto
871:0829494 1 = 1000 1 + 0:02 (vm3
6)
;
de donde vm3 = 7:657204236 meses. Observando los casos 2) y 3) podemos asegurar que el vencimiento medio depende de la fecha focal usada. 7) f = vm (fecha focal igual al vencimiento medio), tasa 1% mensual: sgn(vm)
200 (1 + jvmj i)
+300 (1 + jvm
sgn(vm 6)
6j i)
+500 (1 + jvm
sgn(vm 12)
12j i)
= 1000:
3.6. DESCUENTO
53
Usando métodos númericos (y Maple V Release 4, version 4.00c (1996), student edition): vm = 7:711838862 meses. Ejercicio 3.70 En el ejemplo anterior hallar vm4 , vm5 , y vm6 . Ejercicio 3.71 Se desea sustituir 12 pagos mensuales de $ 1 000, por un único pago de $12 000. Suponer una tasa anual del 18.5%. Usar como fechas focales: el origen, 6 meses, 1 año y el propio vencimiento medio. Ejemplo 3.72 Si a los 7.46666666 meses se sustituyeron 3 pagos de $ 1 000, a los cero, seis y doce meses, respectivamente, por un único pago de $ 3 000. Utilizando una tasa del 5% mensual ¿Cuál fue la fecha focal usada? Ejercicio 3.73 Si en el problema anterior sabemos que la sustitución fue a los 6 meses y se uso el origen como fecha focal.¿Cuál fue la tasa usada?
3.6
Descuento
En las operaciones comerciales habitualmente no se usa la actualización para calcular el valor actual de un capital futuro. El método usado se conoce como descuento (comercial). Este es el caso típico de lo que ocurre con los cheques a fechas. El poseedor de un cheque (documento, plazo …jo, etc.) el cual tiene un nominal N , podrá hacerlo efectivo en t años (esta cantidad no tiene porque ser entera), pero por algún motivo necesita dinero hoy (para pagar una deuda, por una oportunidad de inversión, etc.). Entonces acude a un intermediaro …naciero (banco, …nanciera, un “prestamista”en el peor de los casos), y cambia el cheque por una suma en efectivo E, donde E < N: D
N E
hoy
dentro de t años
La diferencia entre el E efectivo que recibe, y el nominal N del documento entregado, recibe el nombre de descuento D=N
E:
(3.8)
En esta operación se puede pensar que el intermediario …nanciero se ha cobrado los intereses al principio de la operación. La tasa que se usa es llamada tasa de descuento d, la cual tiene la particularidad que se aplica sobre el nominal N .
54
3.7
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Descuento simple
En el sistema de capitalización simple lo que nos descuentan por cada k-período adelanto es N d(k) Supongamos que se quiere adelantar un documento de nominal N , unos n kperíodos con un intermediario …nanciero que cobra una tasa de descuento kperíodica d(k) . Si llamamos Ej al efectivo que recibiremos en el período j, tenemos la siguiente relación recursiva Ej En
= =
N d(k) ;
Ej+1 N:
j < n,
Donde la condición inicial es En = N (al momento n hacemos efectivo el documento, no necesitamos descontarlo). d(k)
Dk
Dk+1
D1
D = D0
En = N Ek
Ek+1
E1
E = E0
0
1
k
n
k+1
Usando la teoría de relaciones recursivas que hemos desarrollado concluimos que la forma para el efectivo en el momento j, para j < n, es Ej = h0 + jN d(k) ; donde h0 es una constante que se ajusta usando la condición inicial En = N : N
= En = h0 + nN d(k)
h0
=
1
nd(k) N
luego Ej = N 1
(n
j) d(k) ; para j
n;
en particular E = E0 = N 1
nd(k) :
(3.9)
3.7. DESCUENTO SIMPLE
55
La cual es la ecuación fundamental del sistema de descuento simple para una tasa de descuento k-períodica. En términos de la tasa de descuento y el nominal, el descuento es D = nN d(k) :
(3.10)
Nota 3.74 Si n es su…cientemente grande, el descuento comercial puede ser tan grande que anule el efectivo E = E0 = 0 = N 1
nd(k) ;
(3.11)
Esto ocurre si
1 : d(k) el efectivo es de hecho negativo. n=
Si n >
1 d(k)
Ejemplo 3.75 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 días de nominal $ 1 000. Qué efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de descuento diario de 2.1%. ¿Cuántos días hay que adelantar el documento para que el efectivo sea nulo? El efectivo que recibiremos se calcula con (3.11) E = 1000 (1
5 0:021) = 895;
de donde D = 1000
895 = 105:
Finalmente
1 = 47:619047619; 0:021 i.e., si adelantamos un documento más de 47 días lo único que nos dan son las gracias (de hecho nos piden además del documento, ¡dinero extra!). Observe que el valor actual de $ 1 000, calculado con una tasa efectiva diaria del 2.1% es 1000 = 904:98: C0 = 1 + 5 0:021 Ejercicio 3.76 ¿Cuál fue el descuento y el efectivo de una letra con vencimiento a 3 meses si se aplicó una tasa de descuento del 4.5% mensual y su nominal ascendía a $ 5 000? nanulación =
Ejercicio 3.77 Sabiendo que el descuento sobre un cheque a 12 días es de $ 230. Calcular el nominal si la tasa de descuento diaria aplicada es del 5%. Ejercicio 3.78 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 60 días de nominal $ 5 000. Que efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de descuento diario de 1%. ¿Cuántos días hay que adelantar un documento a esta tasa para que efectivo sea nulo? Ejercicio 3.79 Adelantamos 10 días un cheque a fecha de nominal $ 3 500, y nos entregan $ 3 150. ¿Cuál fue la tasa de descuento diario que nos aplicaron? Con respecto a las tasas de descuento surgen naturalmente dos preguntas, dada una tasa de descuento q-períodica d(q) : 1. ¿Cuál es la tasa de descuento p-períodica equivalente? 2. ¿Cuál es la tasa efectiva p-períodica equivalente?
56
3.7.1
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Equivalencia de tasas de descuento simple.
Por de…nición de equivalencia de tasas, dados un efectivo E, un nominal N , un período de descuento de t años, y dos tasas descuento d(p) y d(q) , con p; q 2 Z, se dicen que son equivalentes si producen igual efectivo qtd(q) = E = N 1
N 1
ptd(p) ;
de donde concluimos la ecuación fundamental de equivalencia de tasas de descuento simple qd(q) = pd(p) : (3.12) d(p) t años
E
d
N
(q)
Como antes, usaremos d, en lugar de d(1) , para designar una tasa de descuento anual Ejemplo 3.80 Dada una tasa de descuento anual del 10% hallar la tasa d(k) , para k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g, equivalente. Por ejemplo, la tasa de decuento cuatrimestral equivalente es d 0:10
= 3d(3) = 3d(3) ;
de donde d(3) = 0:03333333 : : : Ejercicio 3.81 Dada una tasa de descuento bimestral del 3.5% hallar la tasa d(k) , para k 2 f1; 2; 3; 4; 12; 52; 360; 365g, equivalente.
3.7.2
Equivalencia entre tasas de descuento y capitaliación simples.
Por de…nición de equivalencia de tasas, dados un efectivo E, un nominal N , un período de descuento de t años, y p; q 2 Z, la tasa de capitalización p-períodica i(p) y la tasa de descueno q-períodica d(q) , se dicen que son equivalentes si producen igual efectivo N 1
qtd(q) = E =
N 1 + pti(p)
de donde llegamos a la relación fundamental de equivalencia entre tasas de capitalización simple y de descuento simple 1
qtd(q)
1 + pti(p) = 1:
(3.13)
Claramente esta equivalencia no es independiente del tiempo t considerado.
3.8. EQUIVALENCIA FINANCIERA REVISADA
57
i(p) t años
E
N
d(q)
Ejemplo 3.82 Dada una tasa de descuento mensual del 8% hallar la tasa de capitalización simple diaria (comercial) i(360) equivalente para una operación a 2 meses. De (3.13) 1
12
2 (12) d 12 (1
1 + 365
60 (360) i 365
2 0:08) 1 + 60i(360)
= 1: =
1:
de donde i(360)
1 1 = 0:84 = 0:0031746 : 60
Ejercicio 3.83 Completar la siguiente tabla de tasa equivalentes
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
3.8
tasa 1 d(2) =? d(2) =? d(12) = 0:023 d(12) = 0:023 d(365) = 0:01 d(360) =? d(360) =? d = 0:18 d = 0:18
tasa 2 i(6) = 0:06 i(6) = 0:06 i(4) =? i(4) =? i(360) = 0:011 i(360) = 0:035 i(360) = 0:035 i =? i =?
tiempo 3 meses, 10 meses, 6 meses, 6 días, ¿? días, 5 días, 180 días, 1 años 1=2 año.
Equivalencia …nanciera revisada
Es posible usar descuento como ley …nanciera en la equivalencia …nanciara. Típicamente esto se hace cuando la fecha focal f escogida no es posterior a ninguno de los capitales de las series de capitales involucradas, pero en realidad las única limitación que existe es lo que acuerden las partes involucradas. De hecho se puede usar un sistema para capitalizar y otro para descontar, e inclusive se puede usar una tasa para actualizar y otra para capitalizar. Aqui un ejemplo. Ejemplo 3.84 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y último de $ 500 a los 9 meses. Por razones de ‡ujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por 2: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a
58
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
los 10 meses. Calcular el monto del segundo pago si fecha focal en meses f = 0 (hoy) f =6 f =5 f =6 f =6 f =6 f =6
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
sistema usado para actualizar descuento descuento descuento descuento simple descuento simple
tasa usada para actualizar d(12) = 0:03 d(12) = 0:02 d(12) = 0:02 d(12) = 0:025 i(12) = 0:025 d(12) = 0:03 i(12) = 0:05
sistema usado capitalizar — descuento descuento simple descuento simple descuento
tasa usada para capitalizar — d(12) = 0:02 d(12) = 0:05 i(12) = 0:025 d(12) = 0:025 i(12) = 0:02 d(12) = 0:03
Debemos igualar lo valores a la fecha focal dada de ambas operaciones: valor de la valor de la operación original = operación nueva a la fecha focal f a la fecha focal f 1) Fecha focal el origen: f = 0 Tenemos que descontar todos los capitales al momento cero: 400 (1
3 0:03) + 300 (1
6 0:03) + 500 (1
9 0:03) = 500 (1 5 0:03) + C (1 975 = 425 + 0:77C;
de donde concluimos que C = 714:285714286: 2) Fecha focal a los seis meses: f = 6 Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, usando descuento 1
400 + 300 + 500 (1 3 0:02
3 0:02)
=
1195:5
=
500 + C (1 1 1 0:02 510:2 + 0:92C;
4 0:02)
de donde C = 744:891304348: 3) Fecha focal a los cinco meses: f = 5 Usaremos descuento, pero con diferentes tasas para descontar d(12) = 0:02 y capitalizar d(12) = 0:05: 1
400 + 300 (1 2 0:05
1 0:02) + 500 (1
4 0:02) 1198:4
= 500 + (1
5 0:05) C
= 500 + 0:75C;
de donde C = 931:2 4) Fecha focal a los seis meses: f = 6 Usaremos descuento para actualizar, con tasa de decuento d(12) = 0:025 y sistema simple para capitalizar, con una tasa i(12) = 0:025: 400 (1 + 3 0:025) + 300 + 500 (1
3 0:025) = 500 (1 + 1 0:025) + C (1 1192:5 = 512:5 + 0:875C;
5 0:025)
10 0:023)
3.8. EQUIVALENCIA FINANCIERA REVISADA
59
de donde C = 777:142857143 7) Fecha focal a los seis meses: f = 6 Usaremos sistema simple para actualizar, con una tasa i(12) = 0:05, y descuento para capitalizar, con tasa de decuento d(12) = 0:03: 1
400 500 + 300 + 3 0:03 1 + 3 0:05
=
1174:3
=
500 C + 1 0:03 1 + 5 0:05 C 515:46 + ; 1:25 1
de donde C = 823:55 : Ejercicio 3.85 Resolver los casos 5) y 6) del ejemplo anterior. Ejercicio 3.86 El señor Y debe $ 600 con vencimiento en hoy, $ 1 000 con vencimiento en 5 meses y $ 1 500 con vencimiento en 10 meses. Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 12 meses. Determinar el importe de dichos pagos si
1) 2) 3) 4) 5) 6)
fecha focal en meses f = 0 (hoy) f =6 f =6 f =6 f =6 f =0
sistema usado para actualizar descuento descuento descuento simple simple simple
tasa usada actualizar d(12) = 0:037 d(12) = 0:037 d(12) = 0:037 i(12) = 0:037 i(12) = 0:037 i(12) = 0:037
sistema usado capitalizar — descuento simple descuento simple simple
tasa usada capitalizar — d(12) = 0:037 i(12) = 0:037 d(12) = 0:037 i(12) = 0:037 i(12) = 0:037
¿Cuál de las 6 operaciones propuesta es la más conveniente para el deudor? ¿Cuál es la más conveniente para el acredor? Nota 3.87 En el problema anterior, una cuestión importante es hallar las fechas focales que minimizen (en el caso del deudor) o maximizen (en el caso del acreedor) los pagos, dentro del rango de tiempo de la operación en cuestión. Por ejemplo, al gra…car los pagos en función de la fecha focal tenemos los siguientes valores aproximados para los valores extremos para las operaciones 2) y 6)
2) 6)
fecha focal de pago mínimo f =0 f = 12
Pago mínimo 671:4375862 921:3632458
fecha focal de pago máximo f = 12 f =0
Pago máximo 1298:980462 1389:201350
De donde podemos concluir que, comparando entre 2) y 6), al deudor le conviene proponer un esquema de pago como el planteado en 2) pero con el origen como fecha focal, mientras que al acreedor le conviene proponer el esquema de pago 6), también con el origen como fecha focal.
60
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Capítulo 4
Sistemas de capitalización compuesta 4.1
Sistema de capitalización compuesta
En el capítulo anterior consideramos la ley …nanciera de capitalizacion simple en la cual los intereses generados en un período dado no son considerados para el cálculo de los intereses del período siguiente. En este capítulo estudiaremos la ley …nanciera que surge al agregar al capital los intereses generados en un período de tiempo dado para el cálculo de los intereses del período siguiente, es lo que llamaremos capitalización compuesta. Hoy en día la capitalización compuesta es el sistema más usado por las instituciones …nancieras, por ello que este capítulo es de suma importancia para el estudio de la materia; aunque cada vez es más frecuente el uso del sistema de capitalización continuo, el cual será estudiado en el capítulo siguiente. Dado un capital inicial C0 , impuesto durante n p-períodos a una tasa pperiódica i(p) , deseamos obtener una expresión analítica para Cn , el capital acumulado al momento n. Procederemos de manera inductiva observando en detalle que ocurre en los primeros pasos, a …n de inferir una expresión para Cn . Nota 4.1 recordar que Ck es el capital disponible al momento k, es decir que Ck es simultaneamente el capital al …nal del período k y el capital al inicio del período k + 1. (poner dibujo) convención (coherente con el resto de la literatura) Asi cuando hablemos de un capital al período k es equivalente a el capital al momento k, es decir un capital al …nal de período k. (poner dibujo) El capital al …nal del primer período, C1 , es la suma de C0 , el capital al inicio del período, más C0 i(p) , los intereses generados durante este período: C1
= C0 + C0 i(p) = C0 1 + i(p) 61
62
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Similarmente C2 , el capital al …nal del segundo período, es la suma de C1 , el capital al inicio del período, más C1 i(p) , los intereses generados durante este período C2
= C1 + C1 i(p) = C1 1 + i(p)
pero como C1 = C0 1 + i(p) , obtenemos = C0 1 + i(p)
C2
= C0 1 + i(p)
1 + i(p) 2
Análogamente C3 , el capital al …nalizar el tercer período, es la suma de C2 , el capital al comienzo del período, más C2 i(p) , los intereses generados durante este período: C3
= C2 + C2 i(p) = C2 1 + i(p)
2
y ya que C2 = C1 1 + i(p) , obtenemos C3 = C0 1 + i(p)
3
De estas expresiones podemos inferir inductivamente que el capital acumulado al momento n será n Cn = C0 1 + i(p) (4.1) i(k) Cn
1
Cn
n
1
n
tiempo (modi…car dibujo)
Ejemplo 4.2 Si depositamos $ 100 000 al 3 % mensual ¿Cuánto retiraremos del banco al cabo de 18 meses? El enunciado del ejemplo puede ser reformulado de la siguiente manera: Capitalizar $ 100 000 durante 18 meses al 3 % mensual. Por lo cual podemos usar la formula (4.1). En este caso C0 p n
= $ 100 000 = 12 = 18 meses
luego C18
18
= 100 000 (1 + 0:03) = 170 243:306124
4.1. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
63
Recuerde que las tasas deben ser usadas en notacion decimal. Es decir, se debe usar 0.03 en lugar de 3 %. El método inductivo empleado para deducir la expresión (4.1) es propio de las ciencias experimentales, y nos permite obtener una expresion plausible para Cn , el capital acumulado hasta el momento n. Desde un punto de vista formal no hay garantía de que la formula anterior sea correcta. A través de un modelo recursivo podemos describir formalmente el funcionamieto de la capitalización compuesta. Esto nos permitirá usar la teoría de recursividad desarrollada en el capítulo 2 para veri…car la validez de la formula (4.1).
De…nición 4.3 Se llama capitalización compuesta a la ley …nanciera que establece que los intereses generados en un período de tiempo dado son agregados al capital al principio del mismo para el cálculo de los intereses del período siguiente.
De acuerdo a la ley de capitalización compuesta, el capital al momento k + 1 es el capital al período k Dado un capital inicial C0 , y una tasa de capitalización p-periódica i(p) , tenemos que el interés del n-ésimo p-período de tiempo es: In = Cn
(p) : 1i
El capital acumulado hasta el momento n (la cantidad de p-períodos), es el capital acumulado hasta el período anterior, el período n 1, más los intereses generados: Cn
= Cn
1
= Cn
1
(p) 1i
+ Cn
1 + i(p) ;
con condición inicial C0 = Co . Usando la teoría de relaciones recursivas desarrollada (caso g (n) = cte = 0, con A = 1 + i(p) 6= 1 y B = 0) para resolver Cn C0
= =
Cn Co
1
1 + i(p)
concluimos que: n
Cn = C0 (1 + ip ) :
(4.2)
64
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Cn $
In
Cn
1
In
In
1
1
IT
C3 I3
I3
I3
I2
I2
I2
I2
I1
I1
I1
I1
I1
C0
C0
C0
C0
C0
C2 C1 C0 C0 0
1
2
3
n
1
n
tiempo
La fórmula (4.2) sirve para obtener capitales …nancieramente equivalentes hacia el futuro. (poner dibujo) Pero también podemos usarla para obtener capitales …nancieramente equivalentes hacia el pasado (poner dibujo) para hacerlo basta despejar C0 de (4.2): C0 =
Cn 1 + i(p)
n
4.1. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
65
Por ejemplo, a una tasa mensual del 1.2 %, $ 1 000 pesos dentro de un año son …nancieramente equivalentes a $ 866.626222411 hoy pues: 12
1000 = Choy (1 + 0:012)
;
despejando obtenemos Choy
=
Choy
=
Choy
1000 12
(1 + 0:012) 866:626222411. 1000 tiempo dentro de 1 año
hoy
Nota 4.4 En la fórmula (4.2) aparecen 4 variables relacionadas: capital inicial capital …nal tiempo tasa
C0 ; Cn ; n; i(p) :
Unas observaciones al respecto: 1. El problema tipo es: dadas tres magnitudes hallar la cuarta. Por lo que tenemos problemas donde debemos hallar el capital …nal Cn (se les suele llamar problemas de capitalización), una variación de este tipo de problemas es hallar el interés total generado. Problemas donde debemos hallar el capital inicial C0 (se les suele llamar problemas de actualización). Problemas donde debemos hallar el tiempo n, y …nalmente problemas donde debemos hallar la tasa i(p) . 2. Dimensionalmente hablando, C0 y Cn son dinero. El tiempo y la tasa deben ser dimensionalmente compatibles: si la tasa es p-períodica, el tiempo debe estar dado en p-períodos, por ejemplo, si la tasa es mensual, n debe ser una cantidad de meses. Similarmente si n es una cantidad de trimestres, la tasa debe ser trimestral: una i(4) . Nota 4.5 En Argentina habitualmente se usa TEA para designar la tasa efectica anual i, y TEM para designar la tasa efectiva mensual i(12) : T EA T EM
i i(12)
Ejemplo 4.6 Calcular el capital …nal o montante de $ 2 500 000 al 15 % anual, colocado durante a) 20 días, b) 3 meses, c) 4 cuatrimestres, d) 5 años, e) t kperíodos. Solución. Todo el problema es compatibilizar las unidades temporales de los intervalos de tiempo y la tasa. Por ahora sólo podemos convertir los distintos períodos de tiempo a años:
66
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA a) 20 días son
20 365
20 C20 días = C 365
b) 3 meses son
20
años
3 12
3 C3 m eses = C 12
años, por lo que al cabo de 20 días tendremos = 2500000 (1 + 0:15) 365 = 2 519 218:96888 pesos.
años, por lo que al cabo de 3 meses tendremos 3
años
= 2500000 (1 + 0:15) 12 = 2 588 895:19085 pesos.
c) 4 cuatrimestres son dremos C4 cuatrim estres = C 34
4 3
años, por lo que al cabo de 4 cuatrimestres ten4
años
= 2500000 (1 + 0:15) 3 = 3 012 107:46538 pesos.
d) Al cabo de 5 años tendremos 5
C5 años = 2500000 (1 + 0:15) = 5 028 392:96875 pesos. e) En general si tenemos t k-períodos, tenemos Ct k-p erío dos = C kt
t k
años, por lo que tendremos t
años
= C0 (1 + i) k :
Ahora resolveremos el resto de los problemas tipo, en cada caso, se da la fórmula correspondiente. Ejemplo 4.7 Hoy extraemos del banco $ 23 650.50. ¿Cuál fue el capital original si nos han pagado una TEA del 18% y el depósito fue pactado de 6 meses? Sabemos que
n
Cn = C0 1 + i(p)
;
de donde C0
Cn n 1 + i(p) 23650:50
= = =
(4.3)
1
(1 + 0:18) 2 21772:
Ejemplo 4.8 Determinar el interés total obtenido al depositar $ 5 000 a plazo …jo por el término de 3 meses a una TEM 4.3%. Por de…nición IT = C…nal
Coriginal
Es decir IT
= C0 1 + i(p) = C0
1 + i(p)
n
C0 n
1
(4.4)
Reemplazando IT
3
= 5000 (1 + 0:043) = 673:13
1
4.1. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
67
Ejemplo 4.9 Hallar el capital que produce unos intereses de $ 1 110 al cabo de 45 días, a una tasa diaria del 0.25%. Del problema anterior sabemos que 1 + i(p)
IT = C0
n
1
(donde n es una cantidad de p-períodos). Luego C0 =
1+
IT n (p) i
1
;
(4.5)
reemplazando C0
1110
=
45
(1 + 0:0025) 9334:4
=
1
Ejemplo 4.10 Depositamos en un banco $ 5 000 y al cabo de 30 meses nos entregan $ 8 672.50. ¿Cuál es la TEM que nos pagó el banco? Como Cn = C0 1 + i(p) tenemos que (p)
i
=
r n
Cn C0
n
;
1:
(4.6)
Luego i12
r
8672:50 5000 = 0:018527; 30
=
1
i.e., una TEM del 1.18527%. Ejemplo 4.11 Durante cuantos días hay que imponer un capital de $ 3 000 a una i(365) = 0:0078, para obtener no menos de $ 4 100. Como Cn = C0 1 + i(p)
n
;
tomando logaritmos a ambos lados log Cn = n log 1 + i(p) de donde depejamos n=
log Cn log C0 : log 1 + i(p)
(4.7)
Ahora nosotros deseamos 4100
n
3000 (1 + 0:0078)
68
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
como la función logaritmo es monótona creciente log 4100
log 3000 + n log (1 + 0:0078) ;
luego n
log 4100 log 3000 log (1 + 0:0078) 40:204;
luego debemos imponer el capital al menos 41 días. Nota 4.12 Una función f : R ! R se dice monótona creciente sobre un intervalo I dom (f ) si x < y impica que f (x) < f (y), con x; y 2 I. Si además f es diferenciable sobre el interior de I y f 0 > 0 en I (i.e., f 0 (x) > 0 para toda x 2 I), entonces f es monótona creciente. Por ejemplo M d (log x) = > 0, para x > 0 dx x donde M = x > 0.
1 ln 10 :
Por lo tanto log es una función monótona creciente para
Ejercicio 4.13 Calcular el capital …nal o montante que se obtendrá al colocar $ 25 500 a 6 meses a una TEA del 12.5 %. ¿A cuánto ascienden los intereses totales? Ejercicio 4.14 Calcular el montante que producirá un capital de $ 724 230, colocado al 7 % semestral durante 4 años. Ejercicio 4.15 Determinar el interés obtenido por una empresa que efectuó un depósito a plazo …jo por el término de 30 días, con excedentes de fondos por $ 8000 a una tasa del 11 % anual. Ejercicio 4.16 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 230500 impuestos a una TEM del 1.23 % durante 4 meses. Ejercicio 4.17 Hallar el capital necesario para producir un interés de $130 en una colocación por un plazo de 50 días en una entidad bancaria al 12 % anual. Ejercicio 4.18 Hace 87 días invertimos una cierta suma de dinero al 0.02% diario. Hoy nos entregan $ 75420.50 ¿Cuál fue el monto invertido originalmente? Ejercicio 4.19 Depositamos en un banco $ 15000 y al cabo de 8 meses no entregan $ 16672.20. ¿Cuál es la tasa de interés que nos pagó el banco? Ejercicio 4.20 Un inversor reembolsará $ 4 995,50 por un depósito concertado a 90 días por $ 3 700. Averiguar la TEA pactada. Ejercicio 4.21 Hallar la TEA necesaria para que un depósito por $ 11 000 reditúe al inversor en 180 días, la mitad de la colocación. Ejercicio 4.22 ¿Cuál es la tasa de interés k-períodica que nos permite duplicar el capital en t k-períodos?
4.2. TASAS
69
Ejercicio 4.23 ¿Cuánto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un capital al 5% bimestral? Ejercicio 4.24 ¿Cuántos períodos son necesarios para duplicar un capital a una tasa k-períodica i(k) ? Ejercicio 4.25 Una empresa con excedentes de fondos por $ 20 000 efectúa dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 días al 1.5 % mensual, y otra durante 15 días a una TEM del 1.25%. Averiguar los importes de los depósitos, sabiendo que las inversiones producen igual interés. Ejercicio 4.26 Ud. posee $ 355 000. Decide invertilos en dos proyectos que le pagaran respectivamente el 1.2 % bimestral y el 2.1 % trimestral. Qué porcentaje de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en concepto de intereses, es decir, a los 6 meses los intereses que le paga cada uno de los proyectos deben ser iguales. Si ahora deseamos ambos proyectos nos paguen los mismos intereses totales a lo largo de 1 año ¿cuánto deberemos colocar en cada uno de los proyectos? Ejercicio 4.27 Un capital por $ 3 800 se impuso a interés simple durante 7 días al 11.2 % anual; luego el capital acumulado se impuso por el término de 15 días al 11.7% anual; y por último se consiguió colocarlo 30 días a una TEA 13.5 %. Calcular el interés total y la tasa real de la operación citada. (Respuesta: I = $ 68.93, i = 12.73 %). Ejercicio 4.28 Una empresa coloca excedentes de fondos en las siguientes alternativas: 1. Mercado de …nanciamiento o…cial, $ 8 600 a una TEA del 12 %. 2. Mercado de …nanciamiento marginal, $ 7 200 al 18.5 % anual. Determinar el plazo de las colocaciones que le permiten percibir montos iguales. (Respuesta: n = 4.6667 años t 4 años y 8 meses). Ejercicio 4.29 Se desea saber cómo in‡uirá una comisión de gastos …ja sobre el rendimiento de una inversión. A este efecto se nos comenta que, cualquiera sea la inversión, la comisión ascenderá a $ 3 000. ¿Qué incidencia tendrá sobre nuestra inversión de $ 2 000 000 al 12 % anual?, es decir, ¿Cuál es la tasa real de la operación?. ¿Y si la inversión fuera de $ 500 000 al mismo tipo?
4.2 4.2.1
Tasas Equivalencias de tasas compuestas
Tenemos las siguientes opciones de inversión: colocar $1000 al x % anual durante un año, o colocar los mismos $1000 al i % mensual durante un año. Como nos interesa tener un mayor capital montante (…nal), la pregunta es ¿Qué opción de inversión nos conviene? Deduciremos ahora la ecuación fundamental de equivalencia de tasas en el sistema de capitalización compuesto: Supongamos que un capital inicial C0 es
70
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
impuesto durante t años, donde t > 0 es un número real (pero no necesariamente entero). La tasa p-períodica i(p) y la tasa q-períodica i(q) , con p; q 2 Z+ , son equivalentes si producen idéntico capital …nal: i(p) t años
C0
Cf
i(q)
C0 1 + i(p)
pt
= Cf = C0 1 + i(q)
qt
;
Al simpli…car nos queda 1 + i(p)
p
= 1 + i(q)
q
:
Esto nos permite de…nir De…nición 4.30 Dados p; q 2 Z+ , en el sistema de capitalización compuesta dos tasas i(p) y i(q) , son …nancieramente equivalentes si cumplen la siguiente relación: p q 1 + i(p) = 1 + i(q) : (4.8) Ejemplo 4.31 ¿Cuál es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del 7 %? Una tasa mensual es una i(12) , mientras que una trimestral es una i(4) . Usando la ecuación (4.8) de equivalencia de tasas en capitazaliación compuesta tenemos: 1 + i(12)
12
= 1 + i(4)
4
;
despejando i(12) i(12)
=
i(12)
=
(12)
i
q
12
1 + i(4)
4
q 12 4 (1 + 0:07)
1 1
= 0:02280912177:
Esto nos dice que es lo mismo poner $ 1 000 durante 6 meses a una tasa trimestral del 7 %, que ponerlos a una tasa del 2.280912177 % mensual 2
6
1000 (1 + 0:07) = 1144:9 = 1000 (1 + 0:02280912177) ; O que es lo mismo poner $ 500 (o cualquier otra suma) durante 8 meses (o cualquier otro intervalo de tiempo) con cualquiera de estas dos tasas: 8
8
500 (1 + 0:07) 3 = 598:86199408 = 500 (1 + 0:02280912177)
4.2. TASAS
71
Nota 4.32 Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la propia dedución de fórmula (4.8), la equivalencia de tasas en capitalización compuesta es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas producen igual montante al cabo de t1 años, serán equivalentes y veri…carán (4.8). Por lo tanto producirán igual montante al cabo de t2 años, para cualquier t2 6= t1 : C0 1 + i(p)
pt2
= C0 = C0
h
h
p it2
1 + i(p) 1 + i(q)
= C0 1 + i(q)
q it2
qt2
Ejercicio 4.33 Dada una i(2) = 0:03, hallar la i(k) equivalente para k 2 f1; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g: Ejercicio 4.34 Dada una tasa de interés anual del 25 %. Hallar las tasas subperíodicas equivalentes, i.e., hallar i(k) equivalente a la tasa dada para k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g. Expresar los resultados usando porcentajes. Ejercicio 4.35 Dados p; q 2 Z+ , y un número real c > 0. Si i(p) = c = i(q) ; para cualquier C0 > 0 (dinero) y cualquier t > 0 (tiempo en años) demostrar que C0 1 + i(p)
tp
< C0 1 + i(q)
tq
;
si y sólo si p < q: Es decir, dadas dos tasas de igual nominal, la que capitaliza con mayor frecuencia produce mayor montante. Tasas nominales Típicamente, al ciudadano promedio, una tasa del 0:023 % diario, no le dice mucho (no alcanza a percibir si es mucho o poco) una forma de lidiar con este problema es calcular TEA equivalente: i = 0:087564016. Pues una tasa anual del 8.7564016 % es más informativa que una tasa del 0:023 % diario. Otra forma de hacerlo es informar la tasas de manera seudo-anualizada: multipicando la tasa por las veces que capitaliza en el año, en nuestro caso 0:023% 365 = 8:395% Esta costumbre informar las tasas efectivas de forma anual (multipicando la tasa por las veces que capitaliza en un año), es lo que da origen a lo que se conoce como tasas nominales. Estás son de caracter meramente informativo y deben ser convertidas a tasas efectivas para poder usar las fórmulas ya deducidas.
72
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
De…nición 4.36 Dada una tasa efectiva k-períodica i(k) , con k > 1, la tasa nominal de capitalización k-períodica correspondiente es J (k) = ki(k)
(4.9)
Nota 4.37 En Argentina la tasa nominal más usada es la tasa nominal de capitalización mensual: J (12) . Esta habitualmente recibe el nombre de tasa nominal anual TNA. Ejemplo 4.38 Hallar las tasas nominales asociadas a las siguientes tasas efectivas 1) i(2) = 0:04 2) i(3) = 0:12 3) i(4) = 0:025 4) i(6) = 0:012 (12) 5) i = 0:076 6) i(52) = 0:003 7) i(360) = 0:01 8) i(365) = 0:002 1) Usando la fórmula (4.9) la tasa nominal semestral (o de capitalización semestral) asociada a la tasa efectiva semestral i(2) = 0:04 es J (2) = 2i(2) = 2 0:04 = 0:08 : Típicamente las tasas nominales son expresadas en forma porcentual: la tasa nominal semestral es del 8 %: 5) En este caso, queremos hallar la tasa nominal mensual J (12) asociada a una tasa efectiva mensual i(12) = 0:076. Recordar que en Argentina la J (12) es llamada T N A, tasa nominal anual. Usando la fórmula (4.9) la TNA asociada a la tasa efectiva mensual i(12) = 0:076 es T N A = J (12) = 12i(12) = 12 0:076 = 0:912 Es decir, una TNA del 91.2 % es equivalente a una TEM del 7.6%. Ejercicio 4.39 Hallar el resto de las tasas nominales asociadas a las tasas efectivas dadas en el ejemplo anterior. Ejemplo 4.40 Hallar la tasa efectiva asociada a una TNA del 21.5%. Recordando que una TNA es una J (12) , tenemos que la tasa efectiva asocida a una TNA es una i(12) (mensual). Usando la fórmula (4.9) T N A = J (12) = 12i(12) de donde i(12) =
J (12) 0:215 = = 0:017917 12 12
4.2. TASAS
73
Ejercicio 4.41 Hallar las tasas inales 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
efectivas asociadas a las siguientes tasas nomJ (2) J (3) J (4) J (6) TNA J (52) J (360) J (365)
= = = = = = = =
31% 18% 25% 12% 41% 46% 31% 10%
Ejemplo 4.42 Hallar la TNA equivalente a una tasa nominal trimestral del 18%. Este ejercicio consta de tres pasos: 1. Hallar la tasa efectiva asociada a la J (4) : la tasa efectiva trimestral i(4) . J (4)
=
i(4)
=
4i4 ; J (4) 0:18 = = 0:045 4 4
2. Hallar la tasa efectiva mensual (TEM) i(12) equivalente a la i(4) . 1 + i(12)
12
i(12)
4
= = = =
1 + i(4) ; q 4 12 1 + i(4 ) 1 q 12 4 (1 + 0:045) 1 0:01478 :
3. Hallar la TNA asociada a la i(12) encontrada. J (12) = 12i(12) = 12 0:01478 = 0:17736 Luego, una TNA del 17.736% en equivalente a una tasa nominal trimestral del 18%.
J (p)
Deseamos hallar
1
i(p)
J (q)
3
2
i(q)
Del ejemplo anterior es fácil deducir dos tasas nominales J (p) y J (q) son equivalentes si p q J (p) J (q) 1+ = 1+ : (4.10) p q
74
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejercicio 4.43 Hallar la TNA equivalente a una tasa nominal bimestral del 23.5%. Ejercicio 4.44 Hallar la tasa nominal diaria (comercial) equivalente a una TNA del 31.2%. La principal ventaja (para los acreedores) de informar la tasa de forma nominal es que siempre es un número menor que la tasa efectiva anual equivalente: Ejemplo 4.45 Un comercio cobra una TNA del 18%. ¿Cúal es la TEA que realmente estamos pagando? Primero calculamos la TEM asociada a la TNA: i(12) =
0:18 J (12) = = 0:015 ; 12 12
luego calculamos la TEA equivalente a la TEM =
1 + i(12)
i =
1 + i(12)
(1 + i)
12
; 12
1 12
= (1 + 0:015) = 0:19562
1
Efectivamente, dada una tasa nominal J (k) , la TEA equivalente es ieq J (k) =
1+
J (k) k
k
1:
La cual, …jada k > 0, es una función del valor de J (k) . Ahora, veri…car que ieq J (k) > J (k) , es equivalente a comprobar que ieq J (k)
J (k) > 0:
(4.11)
Consideremos la función f : R2 ! R, f (x; k) := 1 +
x k
k
1
x,
es claro que siempre que k > 1 f (0; k) = @f (x; k) = @x
0; 1+
x k
k 1
1 > 0, para toda x > 0;
Básicamente, porque todas las funciones de la forma x para tamente crecientes y como xk > 0 tenemos que 1 + xk > 1. Por lo tanto, si k > 1, tenemos que f (x; k) = 1 +
x k
> 0, son estric-
k
de donde podemos concluir (4.11).
1
x > 0, para toda x > 0;
4.2. TASAS
75
Nota 4.46 Aca estamos usando que si f es diferenciable y para algún a 2 R se cumple que 1. f (a)
0
2. f 0 (x) > 0 para todo x > a Entonces podemos concluir que f (x) > 0 para todo x > a. Ejercicio 4.47 Hallar la TEA equivalente a una J (k) = 30% para k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365; 8760; 525600g: Ejercicio 4.48 Hallar la TEA equivalente a una J (k) = 12% para k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365; 8760; 525600g:
4.2.2
Breve diccionario de tasas nominales
Existe una multitud de expresiones que se usan para expresar una tasa nominal. Por ejemplo para designar una J (3) del 23 % se suele decir: 1. 23 % nominal anual capitalizable trimestralmente. 2. 23 % nominal capitalizable trimestralmente. 3. 23 % nominal trimestral (forma empleada en este libro). 4. 23 % anual capitalizable trimestralmente. 5. 23 % anual a trimestre vencido (o simplemente 23 % ATV). 6. 23 % capitalizable trimestralmente. 7. 23 % trimestre vencido (o simplemente TV). Siendo muy facil de confundir la última con una tasa efectiva. Inclusive algunos autores hablan de tasas nominales no anuales. Por ejemplo 19 % semetral capitalizable bimestralmente es una forma de referirse a una tasa bimestral, informada de manera semestral, por lo que la tasa efectiva asociada a esta tasa nominal es i(2) = 0:095 =
0:19 2 = 0:19 2 6
En general una tasa t % p-período capitalizable q-periodicamente hace referencia a una tasa q-períodica, informada de maneral p-períodica: i(q) =
t (las veces que entra un q-período en un p-período) 100
76
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
donde generalmente las veces que entra un q-período en un p-período =
p q
Como ocurre en el siguiente ejemplo: una tasa del 20 % cuatrimestral capitalizable mensualmente, hace referencia a una tasa mensual i(52) = 0:2
3 = 0:05 12
Pero este no siempre es el caso. Por ejemplo, una tasa de 15 % mensual capitalizable semanalmente, hace referencia a una tasa semanal i(52) = 0:15
1 = 0:0375 4
y no a 12 = 0:34615385 52 Como regla general, si no aparece la palabra nominal, la aparición de dos unidades temporales asociadas a la tasa es un buen indicio de que la tasa que nos estan informado es una tasa nominal, donde la unidad temporal menor, nos indica la tasa efectiva a la que esta asociada la tasa nominal en cuestión. 0:15
4.2.3
Tasa media
La ganancia que produce la inversión original en un período de t-años es: (ec:ganancia) Deseamos sustituir este conjunto de inversiones por una única inversión por el total de los capitales involucrados que produzca el mismo rendimiento en t-años. La tasa que produce la misma igualdad: (tasamedia) recibe el nombre de Tasa Media. Ejemplo 4.49 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 60% del mismo al 7% anual, y el 40% restante al 4.1% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 1.25 mensual. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa? En esta situación debemos comparar dos inversiones, una de las cuales involucra más de una tasa. Usaremos tasa media para resolverla. Dado un intervalo (12) tiempo de t años, queremos hallar una tasa media imedia 12-períodica (mensual), que nos produzca la misma ganancia: t
(12)
4t
0:60C (1 + 0:07) + 0:40C (1 + 0:041)
= C 1 + imedia
12t
;
despejando (12) imedia
=
q
12t
t
4t
0:60 (1 + 0:07) + 0:40 (1 + 0:041)
1 = 0:00896666 : : : (4.12)
4.2. TASAS
77
Claramente la tasa media resulta una función del tiempo. Podemos gra…car (12) im edia (t) y veri…car que (12)
im edia (t)
0:0125 para todo t
78 años
tasa mensual
0:0150 0:0125 0:0100 0:0075 0:0050 0:0025 tiempo en años 0
50
100
150
200
78:51865948 años Ahora es claro que la segunda opción (no dividir el capital) es la más conveniente si: (12) (12) i2 = 0:0125 > imedia . En general no se puede despejar t de la expresión (4.12), por lo que se deben usar métodos numéricos para hallar el tiempo de “equilibrio” (la cantidad de años a la que somos indiferentes entre una o otra opción). Usando Maple student edition, hallamos que para este ejemplo el tiempo de equilibrio es t = 78:51865948 años. En general, Dada una serie de capitales Cj , con j = 1; : : : ; n, los cuales están colocados a las tasas pj -períodicas i(pj ) , con j = 1; : : : ; n, la tasa media (q) q-períodica a t años, imedia , es la tasa q-períodica que produce la siguiente igualdad n X pj t qt (q) Cj 1 + i(pj ) = C 1 + imedia : j=1
donde C=
n X
Cj .
j=1
Esto nos permite de…nir tasa media para sistema compuesto.
78
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
De…nición 4.50 Dada una serie de capitales Cj , con j = 1; : : : ; n, los cuales están colocados a las tasas pj -períodicas i(pj ) , con j = 1; : : : ; n, respectivamente Cn
Cn 1 + i(pn )
pn t
C2
C2 1 + i(p2 )
p2 t
C1
C1 1 + i(p1 )
p1 t
hoy
dentro de t años ! n P (k) Cj 1 + im edia
n P
Cj
j=1
!
tiempo
kt
j=1
la tasa media q-períodica equivalente a t años es (q) imedia
donde C =
Xn
j=1
v u X u1 n Cj 1 + i(pj ) (t) = t C j=1 qt
pj t
1;
Cj :
Nota 4.51 Observe que la fórmula para la tasa media en capitalización compuesta depende del tiempo t, los capitales Cj y de las tasas pj -períodicas i(pj ) , con j = 1; : : : ; n. Además, dados q1 ; q2 2 Z, es fácil probar que las tasas medias (q1 ) (q2 ) imedia (t) y imedia (t) (calculadas con respecto a los mismos datos) son equivalentes (la equivalencia de tasas en el sistema compuesta será explicada en la próxima sección). Ejercicio 4.52 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 30 % del mismo al 18 % anual, y el 70 % restante al 6.5 % trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 0.5 % semanal. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa? Ejercicio 4.53 Actualmente tenemos $ 25 000 en el banco A, que nos paga una TEA del 13.5 %, $ 13 000 en LEBAC’s (letras del Banco Central) que pagan una TNA del 15.7 % y $ 35 000 en bonos de la empresa B que pagan un 8.1% semestral. Qué redimiento anual nos debería ofrecer el banco C a tres años para que depositemos en él todo nuestro capital. Ejercicio 4.54 Actualmente disponesmos de $ 75 000 en acciones de una empresa de soft que historicamente han obtenido un redimiento del 8.1 % anual. Debido a la volatilidad del mercado decidimos partir nuestro capital en dos: en bonos de bajo riesgo, que ofrecen un redimiento semestral de 2.4 %, y en una compañia …nanciera que nos ofrece un rendimiento mensual del 1.3 %. ¿Qué porcentaje de nuestros fondos debemos invertir en cada opción para obtener el mismo rendimiento al cabo de un año que la inversión original?
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
79
Ejercicio 4.55 Tenemos $ 100 000 para invertir. Se nos presentan tres opciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 2.5 % mensual. La segunda en comprar $ 60 000 en bonos del estado que pagan un 8.2 % trimestral y el resto en el banco al 1.8 % mensual. La tercera consiste en comprar obligaciones de empresas privadas: $30 000 en opciones de la empresa A, que rinden un 21 % semestral, $ 40 000 en opciones de la empresa B, que rinden un 4.8 % bimestral y el resto en opciones de la empresa C que rinden un 38.5 % anual. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa? Ejercicio 4.56 Dada una serie de capitales Cj , con j = 1; : : : ; n, colocados a las tasas pj -períodicas i(pj ) , con j = 1; : : : ; n, respectivamente, durante t años. (q1 ) (q2 ) Consideremos, dados q1 ; q2 2 Z+ , las tasas medias imedia (t) y imedia (t) (calculadas con respecto a los mismos datos). Demostrar que ambas son equivalentes.
4.3
Equivalencia …nanciera de dos o más series de capitales en capitalización compuesta
Ya que sabemos calcular el equivalente …nanciero de un capital para distintos momentos en capitalización compuesta, podemos veri…car cuando dos series de capitales son …nancieramente equivalentes con dicho sistema .Este último es el segundo concepto fundamental de matemáticas …nancieras. Una serie de capitales A1 ; A2 ; : : : ; An disponibles en los momentos ta1 ; ta2 ; : : : ; tan , es equivalente a la serie de capitales B1 ; B2 ; : : : ; Bm disponibles en los momentos tb1 ; tb2 ; : : : ; tbm , a una fecha focal f , para un agente dado (tasa), bajo una ley …nanciera dada (sistema) si n X
Aj al momento f =
j=1
A1
Bj al momento f:
j=1
Pm
j=1
B1
m X
Bj al momento t
B2 A2
B3
Bm
t
A3 Pn
j=1
An
Aj al momento t
(MODIFICAR DIBUJO) El equivalente …nanciero de un capital dado, a la fecha focal f y a una tasa p-períodica i(p) en el sistema de capitalización compuesto es Aj al momento t = Aj 1 + i(p)
f
ta j
:
Donde el intervalo de tiempo entre t y taj es medido en p-períodos, para que sea dimensionalmente compatible con la tasa i(p) usada.
80
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Nota 4.57 Si f f
taj , entonces debemos capitalizar el capital Aj desde taj hasta Aj al momento t = Aj 1 + i(p)
ta j
f
capitalización f
Aj 1 + i(k)
Aj taj
ta j
f
(MODIFICAR DIBUJO) Pero si f < taj , entonces debemos actualizar el capital Aj desde desde taj hacia f Aj al momento t
= Aj 1 + i(p) =
f
ta j
Aj 1 + i(p)
ta f j
actualización Aj
ta f
(1+i(k) ) j
Aj taj
f (MODIFICAR DIBUJO)
De…nición 4.58 Dada una tasa efectiva p-períodica i(p) , la serie de capitales A1 ; A2 ; : : : ; An disponibles en los momentos ta1 ; ta2 ; : : : ; tan es …nancieramente equivalente a la serie de capitales B1 ; B2 ; : : : ; Bm disponibles en los momentos tb1 ; tb2 ; : : : ; tbm , a la fecha focal f en el sistema de capitalización compuesta si n m X X f ta f tbj j Aj 1 + i(p) = Bj 1 + i(p) (4.13) j=1
j=1
donde todos los datos temporales deben ser expresados en p-períodos.
Ejemplo 4.59 La señorita Viviana desea sustituir el siguiente esquema de pagos: $ 150 000 hoy, $ 150 000 a los dos años y $ 150 000 a los 4 años, por dos pagos iguales, el primero al año, y el segundo a los 3 años. Hallar el nominal de los montos a pagar usando una tasa anual i = 0:35; y como fecha focal el origen. Volver a resolver el problema usando como fechas focales 2 años y 4 años. C 0 $ 150000
1
C 2 $ 150000
3
4 $ 150000
5
años
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
81
El valor del primer esquema de pago: $ 150 000 hoy, $ 150 000 a los 2 años y $ 150 000 a los 4 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa anual i = 0:35 es f
(f
2)
150000 (1 + 0:35) + 150000 (1 + 0:35)
(f
+ 150000 (1 + 0:35)
4)
;
El valor del segundo esquema de pago: $ x dentro de 1 año y $ x dentro de 3 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa anual i = 0:35 es (f
x (1 + 0:35)
1)
(f
+ x (1 + 0:35)
3)
:
Por ejemplo, usando como fecha focal el origen, f = 0; tenemos por (4.13) 150000 +
150000 2
(1 + 0:35)
+
150000
=
4
(1 + 0:35) 277464:76
=
x x + 1 + 0:35 (1 + 0:35)3 1:1471822848 x;
luego x = 241866:20 pesos. Si ahora usamos como fecha focal f = 2 años 2
150000 (1 + 0:35) + 150000 +
150000 2
(1 + 0:35) 505679:5267
x 1 + 0:35 = 2:090740741 x;
= x (1 + 0:35) +
luego x = 241866:20 pesos. Hemos obtenido el mismo resultado con una u otra fecha focal (Se insta al lector volver a calcular el monto de los nuevos pagos usando cualquier otra fecha focal que se le ocurra, debería obtener siempre x = 241866:20 pesos). El ejemplo anterior sugiere que la equivalencia …nanciera en capitalización compuesta, es independiente de la fecha focal elegida. Veamos que este siempre es el caso. Dada una tasa efectiva p-períodica i(p) , supongamos que la serie de capitales A1 ; A2 ; : : : ; An ; disponibles en los momentos ta1 ; ta2 ; : : : ; tan es …nancieramente equivalente a la serie de capitales B1 ; B2 ; : : : ; Bm ; disponibles en los momentos tb1 ; tb2 ; : : : ; tbm , a la fecha focal f1 , bajo capitalización compuesta: A l m om ento
n X j=1
Aj 1 + i(p)
f1 tj
|
f1 {z # =
}
m X l=1
Bl 1 + i(p)
f1 tl
:
82
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Veamos que son equivalentes a cualquier otra fecha focal, digamos f2 6= f1 n X
Aj al momento f2
=
j=1
n X
f2 ta j
Aj 1 + i(p)
j=1
=
=
n X
j=1 n X
f2 f1 +f1 ta j
Aj 1 + i(p)
f2 f1
Aj 1 + i(p)
1 + i(p)
f1 ta j
j=1
=
(p)
1+i
f2 f1
n X
Aj 1 + i(p)
j=1
|
=
1 + i(p)
n X
{z
Aj al m om ento f1
j=1
m f2 f1 X
Bj 1 + i(p)
j=1
|
=
m X
Bj 1 + i(p)
m X
f1 tj
{z
f1 tbj
Bj al m om ento f1
j=1
f2 f1
1 + i(p)
}
}
f1 tbj
j=1
=
m X
Bj 1 + i(p)
f1 tbj +f2 f1
j=1
=
=
m X j=1 m X
Bj 1 + i(p)
f2 tbj
Bj al momento f2
j=1
Por lo tanto en capitalización compuesta se puede usar cualquier fecha como fecha focal en la equivalencia …nanciera sin alterar el resultado …nal. Ejemplo 4.60 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y último de $ 500 a los 9 meses. Por razones de ‡ujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por dos: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa de 2.5% mensual. Debemos igualar los valores a una fecha focal dada de ambas operaciones: valor de la valor de la operación original = operación nueva a la fecha focal f a la fecha focal f Usando como fecha focal: f = 6 meses
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
83
fecha focal
C
$ 500 0
1
2
3
4
5
$ 400
6
7
$ 300
8
9
meses
10
$ 500
Debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos serán capitalizados (los que están disponibles antes de los 6 meses), otros serán actualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6 meses no cambian 500
3
400 (1 + 0:025) + 300 +
3
(1 + 0:025)
1195:055956
= 500 (1 + 0:025) + =
512:5 +
C 4
(1 + 0:025)
C ; 1:10381289062
de donde C = 753:4140631. Ejercicio 4.61 Una deuda de $ 2 000 vence en un año. Si el deudor paga $ 600 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento si la tasa convenida para la operación es una TEM del 2.85%. Ejercicio 4.62 El señor Ignacio debe $ 2 500 con vencimiento en 2 meses, $ 1 000 con vencimiento en 5 meses y $ 1 500 con vencimiento en 8 meses. Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo una TNA del 26%. Ejercicio 4.63 ¿Con qué cantidad se cancela hoy día, un préstamo que se consiguió dos meses antes habiéndose …rmado dos documentos; uno con valor nominal de $ 6 000 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 7 500 de valor nominal y vencimiento a 5 meses del préstamo?. Suponga intereses del TEA de 20%. Problemas con almanaque Ejercicio 4.64 El 10 de enero del corriente año se otorga un préstamo amparado con dos pagarés con vencimiento al 15 de marzo y al 3 de mayo por $ 1 300 y $ 800 respectivamente. Poco después, se conviene en cancelarlo con tres pagos: el primero por $ 500 el 20 de febrero, el segundo por $ 1 000 el 30 de abril y el tercero el día 10 de junio, ¿De qué cantidad es este último pago si se cargan intereses del 30% bimestral, ¿A cuánto asciende el monto del préstamo? Ejercicio 4.65 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12 725, $ 11 022 y $ 8 774, con vencimiento los días 15 de mayo, 4 de junio y 25 de junio, respectivamente, por uno único el día 1 de junio; ¿a cuánto ascenderá el capital si se aplica una TNA del 25.6% anual a la operación?.
84
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejercicio 4.66 ¿Con qué cantidad se cancela hoy día, un préstamo que se consiguió dos meses antes habiéndose …rmado dos documentos; uno con valor nominal de $ 600 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 750 de valor nominal y vencimiento a 5 meses del préstamo?. Suponga una TEA 20%. Ejercicio 4.67 Deseamos sustituir dos pagares de $ 14500 y $ 12300, con vencimientos el 12 de abril y el 15 de junio, respectivamente, por otros tres de igual monto, con vencimientos 10 de mayo, 10 de junio y 10 de agosto. Resolver el problema usando: tasa TEA del 21%, TNA del 21%, TEM 1.8%, 2.2% efectiva bimestral, 2.2% nominal bimestral, 0.05% efectiva diaria civil (365), 0.05% efectiva diaria comercial (360), 2.4% efectiva trimestral, 2.4% nominal trimestral.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
4.3.1
Vencimiento medio
Este es un caso particular de la equivalencia …nanciera, en el que sustituimos una serie de capitales por un único pago igual a la suma algebraica de los capitales involucrados. De…nición 4.68 Dada una tasa p-períodica i(p) la fecha a la cual la serie de capitales C1 ; C2 ; : : : ; Cn disponibles en los momentos t1 ; t2 ; : : : ; tn es equivalente a la suma algebraica, C, de dichos capitales C=
n X
Cj
j=i
se llama vencimiento medio, vmedio , de la serie considerada. (Poner dibujo) Como en el sistema compuesto la equivalencia …nanciera puede realizarse a cualquier fecha focal sin alterar el resultado, tomando f = 0 en (4.13) tenemos n X
tj
Cj 1 + i(p)
= C 1 + i(p)
vmedio
j=i
Aplicamos logarítmo en ambos miembros y obtenemos log
n X
Cj 1 + i(p)
tj
= log C
vmedio log 1 + i(p)
j=1
Luego, despejamos vmedio log C vmedio =
log
n X j=1
Cj 1 + i(p)
log 1 + i(p)
tj
(4.14)
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
85
En la fórmula anterior los datos temporales se suponen expresados en p-períodos, para que sean compatibles con la tasa i(p) usada. Ejemplo 4.69 La señorita Marisa desea sustituir tres pagos, el primero de $ 400, $ 300 el segundo y el último también de $ 300, con vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un año, respectivamente, por un único pago de $ 1 000. Hallar el vencimiento medio para tasa TEM del 4% TEA del 18.5%, TNA del 14.8%, J (3) = 0:14; i(3) = 0:045; 0.1% efectiva diaria comercial (360), 0.1% efectiva diaria civil (365).
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
1) Tasa: TEM del 4%, log 1000 vmedio
= =
log 400 +
300 6
(1 + 0:04) log (1 + 0:04)
+
300 12
(1 + 0:04)
!
4
Ejercicio 4.70 Hallar el resto de los vencimientos medios requeridos en el ejemplo anterior. Razonando …nancieramente es intuitivo que el vencimiento medio se encuentre entre el primer y el último momento en que los capitales vencen, pues se debe dar una compensación de intereses. Ejemplo 4.71 Sustituir el siguiente esquema de pago: 4 cuotas semestrales de $1000, comenzando el dia de hoy, a una tasa i(2) del 15%; a) por un solo pago al dia de hoy, b) por un solo pago dentro de 2 años. En ambos casos se desea sustituir dicho esquema por un único pago. Para ello recurriremos a la fórmula (4.13) y tomando como fecha focal a f = 0, nos queda 1000 +
1000 C 1000 1000 + + t 3 = (1 + 0:15) (1 + 0:15)2 (1 + 0:15) (1 + 0:15)
(Poner Dibujo) a) Se desea realizar el pago hoy, con lo que t = 0, entonces 1000 +
1000 1000 1000 + + 2 3 = Ca (1 + 0:15) (1 + 0:15) (1 + 0:15)
donde se obtiene Ca = 3283:225117
86
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA b) En este caso, t = 4 1000 +
1000 1000 1000 Cb + + = 2 3 4 (1 + 0:15) (1 + 0:15) (1 + 0:15) (1 + 0:15)
despejando Cb 4
3
2
Cb = 1000 (1:15) + 1000 (1:15) + 1000 (1:15) + 1000 (1:15) y obtenemos Cb = 5742:38125 Con estos resultados es claro que si sustituimos dicho esquema por un solo pago hoy día de $4000, la suma algebraica de las cuotas, pagaríamos de más; por el contrario si lo sustituimos por un pago de $4000 dentro de dos años, momento …nal del esquema, pagaríamos de menos. De hecho, dada una serie de capitales C1 ; C2 ; : : : ; Cn disponibles en los momentos t1 < t2 < : : : < tn respectivamente, tenemos que P 0 z }| { tn tj }
siempre que usemos una tasa positiva. Lo que demuestra que vmedio 2 (t1 ; tn ) Ejercicio 4.72 El señor Nicolás desea sustituir 12 pagos mensuales de $ 1 000, por un único pago de $12 000. Suponer una TEA del 18.5%. Hallar el vencimiento medio. Ejemplo 4.73 La señorita Ana acuerda con su acreedor sustituir el siguiente esquema de pago: 3 pagos de $ 1 000, a los cero, seis y doce meses, respectivamente, por un único pago de $ 3 000 a los 7 meses. ¿Cuál fue la TNA usada? Nota 4.74 Si el problema de hallar la tasa que produce un esquema de vencimiento medio dado, se debe recurrir a métodos numéricos
4.4
Capitalización subperíodica
Hasta el momento no nos hemos preocupado por la discretitud en el tiempo intrínseca de las fórmulas desarrolladas. Ejemplo 4.75 Se deposita durante 6 meses y 19 días unos fondos por $ 10 000 a una TEA del 19.5 %, ¿Cuál es el monto del capital acumulado? Este tipo de situaciones se puede resolver de varias maneras. Una es convertir el tiempo a años 6
10 000 (1 + 0:195) 12
19 + 365
0:55205479452
= 10 000 (1:195)
= 11 033:44778
4.4. CAPITALIZACIÓN SUBPERÍODICA
87
donde 0:55205479452 años = 6 meses y 19 días O conseguir una tasa diaria equivalente (1 + 0:195)
=
i(365)
=
1 + i(365)
365
0:00048819087
y pasar todo el tiempo a días: 199
10 000 (1 + 0:00048819087)
= 11019:99522
Ahora, surjen de maneral natural una serie de preguntas asociadas a este ejemplo: 1. ¿De donde surge la diferencia de $ 13,45456 entre ambos procedimientos si conceptualmente son equivalentes? 2. ¿Por qué podemos usar exponentes no enteros en la fórmula de capitalización (discreta por naturaleza)? 3. ¿Cuál de los dos procedimientos es mejor? 4. ¿Existen otras formas de manejar estas situaciones? Analizaremos esto con cierto grado de detalle en esta sección. Pero desde un punto …nanciero, todo depende de lo que convengan las dos partes involucradas en la operación …nanciera. Hay unas tres formas generales de abordar el problema (la mayoría con una que otra variante). Las que bautizaremos como convenios: 1. Convenio discreto o de truncamiento 2. Convenio lineal 3. Convenio Exponencial
4.4.1
Convenio discreto o de truncamiento
Este es el sistema que habitualmente usan los bancos en Argentina para manejar cajas de ahorro. La …losofía del sistema es que los intereses se capitalizan una sola vez, al …nal del período, y por lo tanto, dada una tasa p-períodica i(p) el capital acumulado después de t p-períodos es igual al capital acumulado despues de btc p-períodos
poner dibujo con la capitalización escalonada. Por lo que la fórmula de capitalización toma la forma C0 1 + i(p)
Para el caso del ejemplo
btc
88
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Para el caso del ejemplo (4.75) tenemos que Ca
los 6 m eses y 19 días
b0:55205479452c
= 10 000 (1 + 0:195) = =
0
10 000 (1 + 0:195) 10 000
Esto muestra una de las desventajas del método discreto, la cual es más y más evidente mientras menor sea la frecuencia de capitalización usada. Si utilizamos tasas subperíodicas equivalentes (i.e. tasas cuya frecuencia de capitalización sea menor que la originalmente dada) este método se aproxima cada vez más al resultado obtenido al usar exponentes no enteros. En la práctica se usa asociado a tasas mensuales. Ejemplo 4.76 Si depositamos $ 5 000 en una caja de ahorro que paga una TEM del 1.2%. ¿Cuál será el monto acumulado al cabo de 9 meses y 26 días? Bueno, en este caso, como escencialmente las cajas de ahorro operan a sistema truncado, tenemos que el capital acumulado a los largo de 9 meses y 26 días es 9+ 26 9 5 000 (1 + 0:012)b 30 c = 5 000 (1 + 0:012) = 5 566:6590
4.4.2
Convenio exponencial o continuo
Este es lo que hemos estado haciendo hasta ahora. Consiste en hacer caso omiso de la discretitud temporal de las fórmulas. Una variante, es utilizar alguna tasa subperíodica equivalente, para capitalizar la parte subperíodica. Ambas formas deberían dar el mismo resultado. Entonces, por qué en el ejemplo (4.75) hubo una diferencia de más de $ 13. La respuesta es sencilla: esa diferencia surge del pésimo sistema que tenemos en matemáticas …nancieras para medir el tiempo: las unidades no son claramente convertibles, por ejemplo 1. Un año tiene 12 meses y 365 días. Cada mes tiene 30 días, por lo que un año debería tener ¡360 días! 2. Un año tiene 12 meses y cada mes tiene 4 semanas, luego un año tiene 48 semanas. Ahora como cada semana tiene 7 días el año debe tener ¡336 días! 3. Un mes tiene 4 semanas, y cada semana tiene 7 días, luego todos los meses tienen ¡28 días! 4. En matemáticas …nancieras se usa que el año tiene 52 semanas, y como cada semana tiene 7 días, el año debe tener ¡364 días!. No hay forma satisfactoria de solucionar esta ensalada. Un pobre intento de solución es convenir en realizar todas las conversiones vía años. Por ejemplo 6 meses y 19 días son unos 6 meses y 19 días =
6 19 + años = 0:55205479452 años 12 365
4.4. CAPITALIZACIÓN SUBPERÍODICA
89
y una vez que tenemos anualizado el tiempo, convertir el mismo: 0:55205479452 años = 0:55205479452
365 días = 201:5 días 1
y con esta cantidad de días operar: 201:5
10 000 (1 + 0:00048819087)
= 11033:44980
Lo que nos da un resultado mucho más próximo al original. Este es el método de conversión temporal que los autores se atreven a recomendar. Nota 4.77 Las conversiones entre meses, bimestres, trimestres, cuatrimestres, semestres, años, lustros, decadas, siglos, etc. Funcionan a la perfección y de la manera natural.
4.4.3
Convenio lineal
Este método es típicamente el usado en operaciones de crédito. Pues debido a la convexidad de las funciones exponenciales, cualquier cuerda que une dos puntos sobre una función convexa, queda por arriba de la función convexa, y vía el lema de las tres cuerdas, es fácil demostrar que mientras más "larga"(…jado el punto de la izquierda) son las cuerdas consideradas, mayor es la diferencia entre la cuerda y la función exponencial. Esto se traduce en un mayor capital acumulado (en el caso de operaciones de crédito, es sinónimo de un pago mayor). Todo convenio lineal trata de capitalizar de manera compuesta durante la parte entera del período de tiempo y luego moverse a través de rectas (cuerdas) en lugar de la función exponencial subyacente, por el lapso de tiempo que resta.
Poner dibujo con las tres cuerdas y numerarlas 1, 2, y 3 de acuerdo con el caso Existen tres variantes del convenio lineal: 1. Convenio lineal equivalente. 2. Convenio lineal proporcional. 3. Convenio lineal anualizado. Y cada variante se puede obtener geométricamente (Proporcionalidad de los lados homólogos de triángulos semejantes) o …nancieramente (obteneniendo una tasa simple subperiodica adecuada “equivalente” o, mejor dicho, asociada y utilizando sistema simple). Convenio lineal equivalente Este convenio coincide con el convenio exponencial. Simplemente se trata de hallar la tasa simple subperíodica equivalente para el lapso de tiempo correspondiente y utilizarla para capitalizar el capital acumulado durante la parte no entera de tiempo.
Poner aqui dibujo He aqui un ejemplo:
90
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejemplo 4.78 Se pide un préstamo por $ 25 000 para remodelar la cocina del quincho de una de nuestras casas de …n de semana. El banco nos cobra una TEM del 3.4 % y utiliza convenio lineal equivalente. ¿Cuál es el monto que debemos entregar para cancelar la deuda 5 meses y 9 días más tarde? Si usaramos convenio exponencial (y conversión anualizada del tiempo), deberíamos entregar 9 5+ 365
25 000 (1 + 0:034)
12 1
= 29 842:77404
Ahora, para usar el convenio lineal equivalente, debemos hallar la tasa simple diaria equivalente para 9 días a la TEM del 3.4 % (365)
1 + 9isim ple (365)
isim ple
9
12 1
=
(1 + 0:034) 365
=
0:00110468082556
Luego debemos entregar a los 5 meses y 9 días la suma de 5
25 000 (1 + 0:034) (1 + 9 0:00110468082556) = 29 842:77404
Poner ejercicios?¡o al …nal? Convenio lineal proporcional Dada una cantidad t de p-períodos, el convenio lineal proporcional conciste en utilizar la cuerda que une los puntos btc ; Cbtc
y dte ; Cdte
Poner dibujo Esto se puede hacer de dos formas, geométricamente (via semejanza de triangulos): Cdte Cbtc x = t btc 1 Por lo que
x = Cdte
Cbtc (t
btc)
Por lo que el Ct
= Cbtc + Cdte = C0
Cbtc (t
1 + i(p)
= C0 1 + i(p) = C0 1 + i(p)
btc
+
btc) 1 + i(p)
dte
1 + i(p)
n h i 1 + 1 + i(p) 1 (t i btc h 1 + (t btc) i(p) btc
btc
o btc)
(t
btc)
Financieramente, podemos llegar a la misma expresión calculando la tasa (p) simple p-periodica isim ple equivalente a i(p) y luego capitalizando en sistema simple Cbtc el capital acumulado hasta el momento dte por el tiempo que resta: t btc. i btc h (p) Ct = C0 1 + i(p) 1 + (t btc) isim ple
4.4. CAPITALIZACIÓN SUBPERÍODICA
91
Esta dos fórmulas son iguales pues a un p-período ( p1 años) la equivalencia de tasas intrasistemas nos da que la tasa simple equivalente es exactamente igual a la tasa compuesta p-períodica i(p) 1 (p) 1 + p isim ple p
1 + i(p)
=
(p)
1 pp
= i(p)
isim ple
Ejemplo 4.79 Si en el caso del ejemplo (4.78) el banco usará el convenio lineal proporcional. ¿Cuánto deberíamos pagar para cancelar la deuda a los 5 meses y 9 días más tarde? En este caso, debemos aplicar la formula anterior, convirtiendo los 9 días a meses via anualización C5 m eses
y 9 días
5
=
25 000 (1 + 0:034)
=
29 846:26516
1+
9 12 0:034 365 1
Convenio lineal anualizado Es muy similar a la versión …nanciera del convenio lineal proporciona, pero la equivalencia de tasas intrasistemas se plantea a un año i btc h (p) Ct = C0 1 + i(p) 1 + (t btc) isim ple (p)
donde isim ple se obtiene a partir de (p)
1 + pisim ple (p)
isim ple
=
1 + i(p)
=
1 + i(p) p
p p
1
Ejercicio 4.80 Si en el caso del ejemplo (4.78) el banco usará el convenio lineal anualizado. ¿Cuánto deberíamos pagar para cancelar la deuda a los 5 meses y 9 días más tarde? En este caso debemos debemos hallar primero la tasa simple mesual equibalente, a un año, a la TEM del 3.4 % 12
(p)
isim ple
= =
(1 + 0:034) 1 12 0:041136818422
Luego, convirtiendo los 9 días a meses via anualización C5 m eses
y 9 días
5
=
25 000 (1 + 0:034)
=
29 908:664243
1+
9 12 0:041136818422 365 1
En cada uno de los casos, la conversión del tiempo puede realizarse sin anualizar, lo que cambia ligeramente los resultados.
Poner ejercicios!!!!
92
4.5
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Descuento a interés compuesto
En las operaciones comerciales habitualmente no se usa la actualización para calcular el valor actual de un capital futuro. El método usado se conoce como descuento (comercial). Este es el caso típico de lo que ocurre con los cheques a fechas. El poseedor de un cheque (documento, plazo …jo, etc.) el cual tiene un nominal N , podrá hacerlo efectivo en t años (esta cantidad no tiene porque ser entera), pero por algún motivo necesita dinero hoy (para pagar una deuda, por una oportunidad de inversión, etc.). Entonces acude a un intermediaro …naciero (banco, …nanciera, un “prestamista”en el peor de los casos), y cambia el cheque por una suma en efectivo E, donde
E < N:
D
N E
hoy
dentro de t años
La diferencia entre el E efectivo que recibe, y el nominal N del documento entregado, recibe el nombre de descuento
D=N
E:
(4.15)
En esta operación se puede pensar que el intermediario …nanciero se ha cobrado los intereses al principio de la operación. La tasa que se usa es llamada tasa de descuento d, la cual tiene la particularidad que se aplica sobre el nominal N . El sistema de descuento compuesto se caracteriza por calcular el descuento con base en cada período. Supongamos que se quiere adelantar un documento de nominal N , unos n p-períodos con un intermediario …nanciero que cobra una tasa de descuento compuesta p-períodica d(p) .
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO
93
d( k)
Dj
Ej+1 Ej
j
j+1
período j + 1 El descuento compuesto en el período j + 1 se cobra al principio del período j + 1, i.e., en el momento j, pero se calcula sobre el efectivo al …nal del período, i.e., en el momento j + 1: Dj = Ej+1 d(p) Como el efectivo Ej que recibiremos en el momento j es igual al efectivo Ej+1 , disponible en el momento j + 1, menos el correspondiente descuento, el cual se calcula sobre Ej+1 , tenemos la siguiente relación recursiva Ej En
= =
Ej+1 d(p) ;
Ej+1 N:
0
j < n,
Donde la condición inicial es En = N (al momento n hacemos efectivo el documento, no necesitamos descontarlo). Dn
1
Dk+1
D
Dk D0
D1 En Ek
E1
E0 = E
1
k
N = En 1
Ek+1
k+1
n
1
n
tiempo
94
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Esta última relación recursiva puede ser reescrita (
Ej
=
En
=
1 Ej+1 ; 1 d(p) N:
0
j < n,
Observe que ambas relaciones recursiva están de…nidas sólo para los j 2 Z tales que 0 j n Esto obedece razones …nancieras. Hoy (j = 0), y no antes, queremos descontar un documento que vence en n k-períodos. Por otro lado a partir del período n el efectivo que recibiremos por nuestro documento es siempre el mismo: Ej = N para j
n
Usando la teoría de relaciones recursivas que hemos desarrollado, caso g (j) = cte = 0, con 1 A= 6= 1; 1 d(p) concluimos que el la forma para el efectivo en el momento j, para 0
j
n, es
h0
Ej =
d(p)
1
j
donde h0 es una constante que se ajusta usando la condición inicial En = N : N
= En =
h0
=
h0 1 d(p)
d(p)
1
n
n
N
luego Ej = N 1
d(p)
n j
; para 0
j
n;
en particular E = E0 = N 1
d(p)
n
:
Esto nos da la ecuación fundamental del sistema de descuento compuesto para una tasa de descuento p-períodica, la cual nos permite calcular el efectivo E que recibiremos al descontar un nominal N , unos n p-períodos con un intermediario …nanciero que cobra una tasa de descuento compuesta p-períodica d(p) . d(p)
E=N 1
n
(4.16)
En términos de la tasa de descuento y el nominal, el descuento total compuesto es D=N 1
1
d(p)
n
:
(4.17)
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO
95
Nota 4.81 El descuento compuesto nunca anula al efectivo (siempre y cuando la tasa de descuento sea razonable, i.e., d(p) 2 (0; 1)). Como para todo n 2 Z+ 1> 1
n
d(p)
d(p)
> 1
y lim
1
n!1
d(p)
n+1
> 0;
n
= 0:
Tanto el efectivo, como el descuento son funciones exponenciales del tiempo de descuento (ambas crecientes en j): Ej Dj
< Ej+1 < Dj+1
Mientras que el descuento total es creciente en n (tiempo total descontado): N 1
1
d(k)
n
d
Por lo tanto siempre la tasa efectiva equivalente es nominalmente mayor a la tasa de descuento asociada (Insistimos: esto ocurre si ambas tasas tienen la misma frecuencia o unidad temporal). Ejemplo 4.98 Dada una tasa de descuento mensual del 8% hallar la tasa de capitalización compuesta diaria (comercial) i(360) equivalente. De (4.22) obtenemos que (360)
i
=
= =
s
1
360
s
1
1
12
d(12) 1
360
1
12
(1 0:08) 0:0027833
Ejemplo 4.99 Se desean encontrar las tasas de descuento d(52) , d(365) y d(12) equivalentes a una TEM del 13% Usando la fórmula (4.21) nos queda d
(52)
= =
1
s
52
1 12
(1 + 0:13) 0:0278100474
100
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
de la misma manera calculamos d(365) d
(365)
s
= 1
1
365
12
(1 + 0:13) = 0:0040100521
pero en cuanto a d(12) como tiene la misma frecuancia de capitalización que nuestra TEM, el cálculo es mucho más sencillo d(12)
1 1 + i(12) 1 1 1 + 0:13 0:1150442478
= 1 = =
De los resultados obtenidos observamos que, para las tasas dadas: d(12) = 0:1150442478 < 0:15 = i(12) y, calculando las tasas equivalentes i(52) y i(365) a nuestra TEM d(52) d(365)
= =
0:0278100474 < 0:032778513 = i(52) 0:0040100521 < 0:004605486 = i(365)
lo cual coincide con el resultado de la nota anterior. Ejercicio 4.100 Completar la siguiente tabla de tasas equivalentes compuestas
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
4.5.3
tasa 1 d(2) d(2) d(12) d(12) d(365) d(360) d(360) d d
= = = = = = = = =
? 0:06 0:023 ? 0:035 ? ? 0:18 ?
tasa 2 i(6) i(6) i(4) i(4) (365) i i(365) i(360) i i
= = = = = = = = =
0:06 ? ? 0:023 ? 0:035 0:035 ? 0:18
Descuento Racional
La operación de descuento típica asume conocidos en nominal N , la tasa de descuento y el tiempo de adelanto, y se desea averiguar el efectivo E que se va a recibir. El descuento racional o matemático no es otra cosa que el uso de la actualización compuesta para el cálculo del efectivo: Dado un nominal N , una tasa p-períodica i(p) y un intervalo de n p-períodos (que es el tiempo que deseamos adelantar el documento) buscamos una cantidad de dinero Eracional tal que Eracional 1 + i(p)
n
=N
(4.23)
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO
101
de donde N 1 + i(p)
Eracional =
n
(PONER DIBUJO) Por lo tanto el descuento es total es Dracional
= N
Eracional
= N
1
1 1 + i(p)
= N
1
1 + i(p)
n
! n
(4.24)
Ejemplo 4.101 El señor Juan de desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 días de nominal $ 1 000. Qué efectivo recibirá si acude al Banco Super J de San Luis, el cuál usa descuento racional para adelantar documentos, cobrando una tasa efectiva diaria i(365) del 2.1%. ¿A cuanto asciende el descuento que le realizan al Sr. Juan? Sólo hace falta usar (4.24) Dracional
= N
1
=
1000 1
=
98:696
1 + i(k)
n
(1 + 0:021)
5
Es decir que al Sr. Juan le descuentan $ 98.70, por lo que recibe $ 901.30. Como ya hicimos ver en el ejemplo (4.82), si la tasa que le cobran al Sr. Juan fuera de descuento, recibiría E = 899:32 pues el descuento (comercial) que le aplicarían es D = 100:68 Ejercicio 4.102 ¿Cuál fue el descuento racional y el efectivo racional de un cheque con vencimiento a 3 meses si se aplicó una tasa efectiva del 4.5% mensual y su nominal ascendía a $ 5000? Ejercicio 4.103 El Sr. Ignacio desea adelantar 19 días un documento de $ 4 580 de nominal. Tiene dos opciones: La primera es descontar el documento en el Banco Gran J, que le cobra una tasa diaria de descuento comercial del 0.85%. La segunda es acudir a la Financiera "Su Amiga Rosita", institución usa descuento racional y cobra una tasa efectiva del 35.6% mensual. ¿Donde debe el Señor Ignacio descontar su documento? Ejercicio 4.104 Sabiendo que el descuento sobre un cheque a 12 días es de $ 230. Calcular el nominal si se aplica descuento racional y una tasa efectiva diaria del 5%.
102
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejercicio 4.105 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 60 días de nominal $ 5 000. Qué efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica descuento racional y una tasa efectiva diaria del 1.7%. ¿Cuántos días hay que adelantar un documento a esta tasa para el efectivo sea un tercio del nominal? Ejercicio 4.106 La Srta. Mariela ha recibido $ 13 519.08 al descontar un cheque 12 días en el Banco DAJ, institución que cobra un tasa diaria de descuento racional del 0.87%. ¿Cuál es el montante del cheque? Ejercicio 4.107 La señora Encarnación adelanto un documento y recibio 56 del nominal del mismo. Si la institución …nanciera en la que operó le cobra una tasa de descuento racional del 2.3 % diario. ¿Cuánto tiempo adelanto el documento? Nota 4.108 Supngamos que deseamos descontar un documento por un nominal N , unos n p-períodos a una tasa p-períodica r, el descuento comercial asociado a ella n D (r) = N (1 (1 r) ) es siempre mayor que el descuento racional (actualización) asociado a la misma: Dracional (r) = N 1
(1 + r)
n
Es decir D (r) > Dracion al (r)
(4.25)
Donde para resaltar que estamos observando el comportamiento de descuento en cada sistema con respecto a la misma tasa, escribimos D (r) por D y Dracion al (r) por Dracional donde r es la tasa. Veri…car (4.25) es equivalente a comprobar que D (r)
Dracional (r) > 0
Si r es una tasa razonable, i.e., r 2 (0; 1), entonces 0
1
y sumando 1 1>1
r2 > 0
desarrollando la diferencia de cuadrados 1 > (1
r) (1 + r) > 0
de donde conseguimos la desigualdad 1 >1 1+r
r
(4.26)
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO
103
Ahora, como para cada n 2 N; las funciones xn son monótonas crecientes 1 n > (1 (1 + r)
n
r)
Luego, para toda r 2 (0; 1) y para toda n 2 N 1 n (1 + r)
n
(1
r) > 0
(4.27)
Por lo tanto D(r)
Dracion al (r)
= N (1 = N
> 0
|
(1
1 n (1 + r)
n
r) )
N 1
(1 {z
>0 por (4.27)
(1 + r)
n
n
r)
}
lo que demuestra (4.26) para toda r 2 (0; 1) y para toda n 2 N. Por lo tanto si un banco cobra un descuento comercial del 6.3% diario y otra institución cobra un descuento racional del 6.3% diario, conviene realizar el descuento del documento en la segunda institución.
104
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Capítulo 5
Capitalización Continua 5.1
Capitalización continua
En los ejercicios 4.47 y 4.48 del capítulo anterior, hallamos la TEA equivalente a una tasa nominal …ja a medida que aumentamos la frecuencia de capitalización (las veces que capitaliza en el año). Los datos sugieren que a medida que p crece la TEA asociada crece pero se mantiene acotada (si no ha resuelto los ejercicios en cuestión, ¡hágalo ahora!) Resolvamos un problema relacionado: Dada una J (p) = J, queremos hallar el capital …nal acumulado al cabo de t años, en función de p (la frecuencia de capitalización)
Ct = C0
J (p) 1+ p
pt
:
Si dejamos …jo el valor de la tasa nominal J (p) = J; para todo p > 0,
tenemos que el capital …nal al cabo de t años es
Ct (p) = C0 1 +
J p
pt
:
Si cada vez capitalizamos más veces en el año, i.e, hacemos crecer p, el factor p 1 + Jp crece pero se mantiene acotado por eJ . Por ejemplo si …jamos J = 0:2 105
106
CAPÍTULO 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
(20% nominal)
Frecuencia “anual” semestral cuatrimestral trimestral bimestral mensual semanal diario por hora .. .
p 1 2 3 4 6 12 52 365 8760 .. .
continuamente
1
p
1 + 0:2 k 1 + 0:2 2 1 + 0:2 2 3 1 + 0:2 3 4 1 + 0:2 4 6 1 + 0:2 6 12 1 + 0:2 12 52 1 + 0:2 12 365 0:2 1 + 365 0:2 8760 1 + 8760 .. . e0:2 = lim 1 + k!1
0:2 k k
= = = = = = = = = .. .
Valor 1:2 1:21 1:213629631 1:215506250 1:21742672 1:219391090 1:220934289 1:221335767 1:221399432 .. .
=
1:221402758
Cuando p tiende a in…nito, decimos que los intereses se capitalizan en forma instantánea. Esto se conoce como capitalización continua.
Ahora el capital …nal al cabo de t años es
Ct = lim C0 1 + p!1
J k
pt
= C0 eJt :
(5.1)
5.1. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
107
$ C0 eJt
(J 12 ) ) 12
C0 1 +
(J 6 ) ) 6 (J 4 ) 4
4t
C0 1 +
(J 3 ) 3
3t
C0 1 +
(J 2 ) 2
2t
C0 1 +
C0 (1 + J)t
C0
0 12
1 12
2 12
3 12
4 12
5 12
6 12
7 12
8 12
9 12
10 12
11 12
Años
12 12
Nota 5.1 Como la tasa efectiva usada en capitalización continua es nula: lim
J
p!1 k
=0
En capitalización continua sólo se utiliza la tasa nominal J.
De…nición 5.2 Se denomina capitalización continua a la siguiente ley …nanciera: Dado capital inicial C0 impuesto t años a una tasa nominal J, el capital …nal producido es Ct := C0 eJt :
12t
C0 1 +
(5.2)
6t
108
CAPÍTULO 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA $ J
C0 eJt
C0 Años t
0 hoy t años
Nota 5.3 Observe que en capitalización continua, el tiempo t en la formula (5.2) siempre se debe colocar en años, para que sea dimensional compatible con la tasa nominal continua J Ejemplo 5.4 Calcular el montante que producirá un capital de $ 10000 impuesto a capitalización continua durante 8 meses a una tasa nominal del 12%. No es más que calcular 8 C 12
8
= 10000e 12 0:12 = 10833:
Observe que debimos convertir los 8 meses a fórmula de capitalización continua.
8 12
años para poder usarlos en las
Ejemplo 5.5 Hoy extraemos del banco $ 17 251.75. ¿Cuál fue el capital original si nos pagan una tasa nominal continua del 18.5% y el depósito fue pactado de 8 meses? Sabemos que Cn = C0 eJt ; de donde C0
= Cn e
Jt
= 17251:75e = 15250
(5.3) 8 0:185 12
5.1. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
109
Ejemplo 5.6 Determinar el interés total obtenido al depositar $ 5 000 a plazo …jo por el término de 3 meses a capitalización continua con una tasa nominal del 12.3%. Por de…nición IT = C…nal
Coriginal :
Es decir = C0 eJt C0 = C0 eJt 1
IT
3
=
5000 e0:123 12
=
156:14
1
Ejemplo 5.7 Hallar capital que produce unos intereses de $ 1 110 al cabo de 45 días, a una tasa nominal continua del 25%. Del problema anterior sabemos que IT = C0 eJt
1 :
(5.4)
Luego C0
IT
=
eJt
=
; 1 1110 45
e0:25 365 35461
=
(5.5) 1
Observe que se podría haber usado el año comercial C0 =
1110 45 e0:25 360
1
= 34968 :
En general este un punto que debe ser aclarado en cada caso. Cuando no se especi…que el lector tiene libertad de usar uno o el otro. Ejemplo 5.8 La señorita Marisa deposita en un banco $ 5 000 y al cabo de 30 meses le entregan $ 8 672.50. ¿Cuál es la tasa nominal que le pagó el banco, si éste usa capitalización continua? Como Cn = C0 eJt ; tenemos que J=
1 Cn ln : t C0
Luego J
= =
8672:50 5000 0:22029 1
30 12
ln
i.e., una tasa nominal continua del 22.029%.
(5.6)
110
CAPÍTULO 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Ejemplo 5.9 Durante cuantos días hay que imponer un capital de $ 3 000 a una J = 23:85%, para obtener no menos de $ 4 100. Como Cn = C0 eJt ; tenemos que t=
ln Cn
ln C0 J
:
(5.7)
Ahora nosotros deseamos 4100
3000e0:2385t
como la función logaritmo es monótona creciente ln 4100
ln 3000 + 0:2385t;
luego t
ln 4100 ln 3000 0:2385 1:3097
Debemos notar que esta respuesta esta en años, luego debemos imponer el capital al menos 479 días, pues 1:3097 365 = 478:04 días. Ejercicio 5.10 Calcular el capital …nal o montante que se obtendrá al colocar $ 25 500 a capitalización continua durante 3.5 años a una tasa nominal del 10.5%. ¿A cuánto ascienden los intereses totales? Ejercicio 5.11 Determinar el interés obtenido por la empresa RAL s.r.l., la cual efectuó un depósito a plazo …jo por el término de 75 días, con excedentes de fondos por $ 80 000 a una tasa nominal del 11 % anual. Usar capitalización continua. Ejercicio 5.12 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 5 300 500 impuestos a capitalización continua, a una tasa nominal del 18.33% durante 4 meses, 8 días y 5 horas. Ejercicio 5.13 Hallar el capital necesario para producir un interés de $ 1 500 en una colocación por un plazo de 150 días en una entidad bancaria que capitaliza continuamente con una tasa nominal del 21.6%. Ejercicio 5.14 Hace 187 días el señor Nicolás invertió una cierta suma de dinero al 35.2% nominal, a capitalización continua. Hoy le entregan $ 8 541 220.50 ¿Cuál fue el monto que invertió originalmente? Ejercicio 5.15 La señorita Viviana depositó en un banco $ 15 000 y al cabo de 8 meses le entregaron $ 15 672.20. ¿Cuál es la tasa de interés nominal que le pagó el banco? Suponer capitalización continua. Ejercicio 5.16 Un inversor reembolsará $ 4 995,50 por un depósito concertado a 90 días por $ 3 700. Averiguar la tasa nominal pactada si se usa capitalización continua.
5.2. TASA MEDIA CONTINUA
111
Ejercicio 5.17 Hallar la tasa nominal necesaria para que un depósito por $ 11 000 reditúe al inversor en 180 días, la mitad de la colocación usando capitalización continua. Ejercicio 5.18 ¿Cuál es la tasa de interés nominal que nos permite duplicar el capital en t años usando capitalización continua? Ejercicio 5.19 ¿Cuánto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un capital al 5% nominal capitalizable continuamente? Ejercicio 5.20 ¿Cuántos años son necesarios para duplicar un capital a una tasa nominal J en capitalización continua? Ejercicio 5.21 Una empresa con excedentes de fondos por $ 20 000 efectúa dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 días al 11.5% nominal capitalizable continuamente, y otra durante 15 días a una TEM del 3.25%. Averiguar los importes de los depósitos, sabiendo que las inversiones producen igual interés. Ejercicio 5.22 El señor Elias posee $ 355 000. Decide invertilos en dos proyectos que le pagarán respectivamente el 1.2 % bimestral y el 2.1% trimestral. Qué porcentaje de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en concepto de intereses a los 6 meses. Si ahora desea que ambos proyectos le paguen los mismos intereses totales al cabo de 1 año ¿Cuánto deberá poner en cada uno de los proyectos? Ejercicio 5.23 Un capital por $ 3 800 se impuso a capitalización continua durante 7 días al 11.2% nominal anual; luego el capital acumulado se impuso a capitalización compuesta por el término de 15 días con una TNA del 25.7% anual; y por último se consiguió colocarlo 30 días a interés simple a una tasa anual del 43.5%. Calcular el interés total y la tasa nominal continua equivalente de la operación citada.
5.2
Tasa media continua
Como ya vimos, se le llama tasa media a la tasa que produce el mismo efecto …nal que un grupo de tasas dadas. Consideremos el siguiente ejemplo Ejemplo 5.24 A la Señorita Noelia se le ofrecen dos opciones de inversión: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 70% del mismo al 8% nominal anual, y el 30% restante al 12% nominal anual. La segunda consite en colocar todo el capital al 10% nominal anual. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa? Calculemos primero la tasa media de la primera operación. Dado un intervalo tiempo de t años, queremos hallar una tasa Jm edia , que nos produzca la misma ganancia: 0:70CeJ1 t + 0:30CeJ1 t = CeJm e d i a t reemplazando y despejando Jm edia =
1 ln 0:70e0:08t + 0:30e0:12t t
112
CAPÍTULO 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Nuevamente la tasa media resulta una función del tiempo. Podemos gra…car Jm edia (t): tasa 0:150 0:125 0:100 0:075 0:050 0:025
Jm edia (t)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Años
200
42:36489302 De la cual se puede ver que Jm edia (t)
0:10 para todo t
42:36489302 años.
Ahora es claro que la segunda opción (no dividir el capital) es la más conveniente si: t 42:36489302 años. En general no se puede despejar t de la expresión (4.12), por lo cual se deben usar métodos numéricos para hallar el tiempo de “equilibrio” (la cantidad de años a la que somos indiferentes entre una o otra opción). Para este ejemplo, usando Maple student edition, hallamos que el tiempo de equilibrio es t = 42:36489302 años. En general, la serie de capitales Ck , con k = 1; : : : ; n, los cuales hoy son colocados a las tasas nominales continuas Jk ; con k = 1; : : : ; n, durante t años, es equivalente a colocar hoy la suma de todos los capitales C=
n X
Ck ;
k=1
a la tasa nominal continua media Jmedia durante t años, si se cumple que n X
Ck eJk t = CeJmedia
k=1
despejando la tasa media obtenemos Jmedia
1 = ln t
n 1 X Ck eJk t C k=1
!
:
(5.8)
Nota 5.25 Observe que la fórmula para la tasa media en capitalización continua depende del tiempo t, los capitales Ck y de las tasas nominales Jk , con k = 1; : : : ; n.
5.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
113
Ejercicio 5.26 Al señor Gonzalo se le ofrecen dos opciones de inversión: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 35% del mismo al 18% nominal, y el 65% restante al 6.5% nominal. La segunda consiste en colocar todo el capital al 9.4% nominal. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa a 5 años? ¿Cuál es el tiempo de equilibrio? Ejercicio 5.27 Tenemos $ 100 000 para invertir. Se nos presentan tres opciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 10.8% nominal. La segunda en comprar $ 65 000 en bonos del estado que pagan un 12% nominal y el resto en el banco al 5% nominal. La tercera consiste en comprar obligaciones de empresas privadas: $25 000 en opciones de la empresa A, que rinden un 14%, $ 40 000 en opciones de la empresa B, que rinden un 10% y el resto en opciones de la empresa C que rinden un 9% anual. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa a 10 años? ¿Existe un tiempo de equilibrio en el cual seamos indiferentes entre las tres opciones?
5.3
Equivalencia de capitales
Dado un capital A disponible al momento t, en capitalización continua el valor del mismo a la fecha focal f es: A al momento f = AeJ(f
t)
pues si t < f (PONER DIBUJO) y si t > f (PONER DIBUJO) Esto nos permite de…nir: De…nición 5.28 Dada una tasa nominal continua J, la serie de capitales A1 ; A2 ; : : : ; An disponibles en los momentos ta1 ; ta2 ; : : : ; tan es …nancieramente equivalente a la serie de capitales B1 ; B2 ; : : : ; Bm disponibles en los momentos tb1 ; tb2 ; : : : ; tbm , a la fecha focal f en el sistema de capitalización continua si n X
Aj eJ (f
ta j)
=
j=1
m X
Bj eJ (f
tbj )
j=1
donde todos los datos temporales deben ser expresados en años. (PONER DIBUJO) Ejemplo 5.29 La Sra. Yanina desea sutituir el siguiente esquema de pagos: $ 50 000 hoy, $ 60 000 a los cinco años y $ 100 000 a los 10 años, por dos pagos iguales, el primero al año, y el segundo a los 6 años. Hallar el nominal de los montos a pagar usando una tasa nominal continua J = 13:5%, y tomando como fecha focal el día de hoy. Resolver nuevamente el problema usando como fecha focal f = 5 años. El valor del primer esquema de pago: $ 50 000 hoy, $ 60 000 a los 5 años y $ 100 000 a los 10 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa nominal J = 13:5% es 50000e0:135f + 60000e0:135(f
5)
+ 100000e0:135(f
10)
;
114
CAPÍTULO 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
El valor del segundo esquema de pago: $ x dentro de 1 año y $ x dentro de 6 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa la tasa nominal J = 13:5% es xe0:135(f
1)
+ xe0:135(f
6)
:
Por ejemplo, usando como fecha focal el origen, f = 0 tenemos 50000 + 60000e 0:675 + 100000e 1:35 ; 50000 + 30549:39 + 25924:03 106473:41 1:31857397791 80748:91
= xe 0:135 + xe 0:81 = 1:31857397791x = x = x:
Ejercicio 5.30 Volver a calcular el monto de los nuevos pagos usando otra fecha focal propuesta o cualquier otra fecha focal que se le ocurra al lector. Debería obtener siempre x = 80748:91. La equivalencia …nanciera en capitalización continua, al igual que en capitalización compuesta, es independiente de la fecha focal elegida. Ejercicio 5.31 Veri…car que este es el caso: comprobar que la equivalencia …nanciera en capitalización continua es independiente de la fecha focal elegida. Ejemplo 5.32 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y último de $ 500 a los 9 meses. Por razones de ‡ujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por dos: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa del 25% nominal continua. Debemos igualar lo valores a una fecha focal dada de ambas operaciones: valor de la valor de la operación original = operación nueva a la fecha focal f a la fecha focal f Usando como fecha focal: f = 6 meses fecha focal
C
$ 500 0
1
2
3
4
5
$ 400
6 $ 300
7
8
9
10
meses
$ 500
Debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos serán capitalizados (los que están disponibles antes de los 6 meses), otros serán actualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los capitales disponibles a los 6 meses no cambian 400e0:25
3 12
3 + 300 + 500e0:25 ( 12 ) 425:80 + 300 + 469:71
= =
4 1 500e0:25 12 + Ce0:25 ( 12 ) 510:53 + 0:920044414629C;
5.4. EQUIVALENCIA ENTRE TASAS CONTINUAS Y DISCRETAS
115
de donde C=
684:99 = 744:51. 0:920044414629
Ejercicio 5.33 Una deuda de $ 2 000 con una tasa nominal continua 18.5% vence en un año. Si el deudor paga $ 900 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento. Ejercicio 5.34 El señor X debe $ 25 000 con vencimiento en 6 meses, $ 10 000 con vencimiento en 15 meses y $ 18 500 con vencimiento en 18 meses. Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 9 meses y otro con vencimiento en 18 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo una tasa nominal del 31.5%. Ejercicio 5.35 ¿Con qué cantidad se cancela hoy día, un préstamo que se consiguió dos meses atras habiéndose …rmado dos documentos; uno con valor nominal de $ 6 000 que vence en dos meses a partir hoy y otro por valor nominal de $ 7 500 y vencimiento a 10 meses del préstamo? Suponga intereses continuos del 20.4%. Problemas con almanaque Ejercicio 5.36 El 15 de enero del corriente año se otorga un préstamo amparado con dos pagarés con vencimiento al 23 de marzo y al 23 de mayo por $ 1 900 y $ 2 000 respectivamente. Poco después, se conviene en cancelarlo con tres pagos: el primero por $ 500 el 22 de febrero, el segundo por $ 1 000 el 22 de abril y el tercero el día 22 de junio, ¿Cuál es el monto de este último pago si se cargan intereses del 30% nominal? ¿A cuánto asciende el monto del préstamo? Ejercicio 5.37 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12 725, $ 11 022 y $ 8 774, con vencimiento los días 15 de mayo, 12 de junio y 29 de junio, respectivamente, por uno único pago el día 21 de julio; ¿A cuánto ascenderá el capital si se aplica una tasa nominal del 26%?.
5.4
Equivalencia entre tasas continuas y discretas
A la señorita Georgina se le ofrecen dos opciones: Imponer su capital a una TEA del 12% o imponerlo a una tasa nominal continua del 11.5%. ¿Cuál opción es mejor? Si dispusieramos de fórmula para convertir tasas continuas en discretas y viceversa podríamos responder esta pregunta. Esto se puede lograr facilmente aplicado la de…nición de equivalencia de tasas: La tasa efectiva p-períodica i(p) (discreta) y la tasa nominal continua J, son …nancieramente equivalentes si aplicadas un capital inicial C0 , durante t años, producen idéntico capital …nal Cf : C0 eJt = Cf = C0 1 + i(p)
pt
116
CAPÍTULO 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA i(k) t años
C0
Cf
J
De donde llegamos a la relación fundamental de equivalencia entre tasa discretas y continuas De…nición 5.38 La tasa efectiva p-períodica i(p) (discreta) y la tasa nominal continua J, son …nancieramente equivalentes si eJ = 1 + i(p)
p
;
(5.9)
Nota 5.39 Depejando de la última expresión obtenemos J i(p)
= p ln 1 + i(p) 1
= epJ
1
(5.10) (5.11)
Además, como se puede apreciar de las fórmulas anteriores, esta equivalencia de tasas es independiente del tiempo. Ejemplo 5.40 Para responder a la pregunta que se esta haciendo Georgina, calculemos la tasa nominal continua equivalente a una TEA del 12% J = ln (1 + 0:12) = 0:1133286853 Por lo tanto es mejor la otra inversión. Calculemos la TEA equivalente a la J = 0:115: i(p) = e0:115
1 = 0:12187
Ejercicio 5.41 Hallar la tasa nominal continua equivalente a una TNA del 18%. Ejercicio 5.42 Hallar la tasa nominal continua equivalente a una i(p) = 0:02 con p 2 f1; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g: Ejercicio 5.43 Dada una J = 0:30, hallar la i(p) equivalente para p 2 f1; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g: Ejercicio 5.44 Hallar la tasa nominal continua equivalente a una nominal trimestral (J (4) ) del 24%.
5.5. VENCIMIENTO MEDIO CONTINUO
5.5
117
Vencimiento medio continuo
Dada una tasa nominal continua J, desamos hallar el vencimiento medio vmedio , en el cual podemos sustituir una serie de capitales C1 ; C2 ; : : : ; Cn disponibles en los momentos t1 t2 : : : tn , por un único pago C=
n X
Ck :
k=1
Como en el sistema continuo la equivalencia …nanciera puede realizarce a cualquier fecha focal sin alterar el resultado, eligiendo f = 0 tenemos n X
Ck e
Jtk
= Ce
Jvmedio
k=1
Luego ln C
ln
n X
Ck e
Jtk
k=1
. (5.12) J Razonando …nancieramente es intuitivo que el vencimiento medio se debe hallar entre t1 y tn , pues debe haber una compensación de intereses. vmedio =
Ejemplo 5.45 El Señor Paul desea sustituir tres pagos, de $ 400, $ 300 y $ 300, con vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un año, respectivamente, por un único pago de $ 1000. Hallar el vencimiento medio para las siguientes tasas nominales tasa nominal 1) 4% 2) 8%, 3) 31%, 4) 42% 1) Tasa nominal del 4%, ln 1000 vmedio
ln 400 + 300e
= =
6 0:04 12
+ 300e
0:04
0:04 0:4465537 años,
i.e., prácticamente 163 días. Ejercicio 5.46 Hallar el resto de los vencimientos medios requeridos en el ejemplo anterior. Ejercicio 5.47 La empresa González s.r.l. de desea sustituir 6 pagos bimestrales de $ 150 000 , por un único pago de $900000. Suponer una tasa nominal del 24.5%. Hallar el vencimiento medio. Ejemplo 5.48 La fábrica de pastas La Nona, S.A. sutituyó el siguiente esquema de pagos:3 pagos de $ 75 000, hoy, a los seis y doce meses, respectivamente, por un único pago de $ 225 000 dentro de 8 meses. ¿Cuál fue la tasa nominal continua usada?
118
5.6
CAPÍTULO 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Descuento continuo
En ésta sección demostraremos que en capitalización continua actualizar y descontar son la misma operación Las tasas de descuento no suelen informarse de manera anual, pues típicamente son muy altas, pero a …n de poder desarrollar el descuento continuo, las introduciremos. Dada una tasa de descuento p-períodica d(p) , la tasa de descuento nominal correspondiente es H (p) = pd(p) : Por ejemplo la tasa de descuento nominal equivalente a una tasa efectiva de descuento diario d(365) del 1.1% es H (365) = 365d(365) = 365 0:011 = 4:015; i.e., una tasa del 401.5%. Ahora, dada una tasa de descuento nominal que descuenta p veces en el año, tenemos que el efectivo E correspondiente a descontar un nominal N durante t años es pt H (p) E=N 1 : p Si ahora …jamos la tasa nominal H (p) = H para todo p 2 Z+ ; y pensamos al efectivo como una función de p E (p) = N
H p
1
pt
;
al hacer tender p hacia 1 obtenemos el siguiente efectivo E
= =
lim E (p)
p!1
lim N
1
p!1
= Ne
Ht
H p
pt
:
Luego N = EeHt ; de donde podemos deducir que actualizar y descontar son la misma operación en capitalización continua (por eso los libros de …nanzas suelen hablar siempre de descuento).
Capítulo 6
Composición de tasas 6.1
Rentabilidad real
Hay muchas situaciones donde debemos tener en cuenta más de una tasa para poder tomar una decisión …nancieramente acertada. Por ejemplo, cuando la in‡ación es grande, cuando se opera con monedas de diferentes naciones, cuando se cobran comisiones, cuando se pagan impuestos, etc. Consideremos la siguiente situación Ejemplo 6.1 Disponemos de $ 250 000. Hoy el dolar cuesta $ 4.15, además el banco con el que operamos nos paga una tasa en dolares del 6.3 %. Por otro lado, se estima que la tasa de devaluación anual del peso respecto del dolar será del 3.7 %. Si compramos dolares, y los depositamos en este banco por 2 años, ¿Cuál será nuestra rentabilidad en pesos? La respuesta no es simplemente sumar ambas tasas: 6:3 % + 3:7 % = 10% Veamos en detalle la operación para obtener la tasa real de rendimiento: 1. Primero compramos dolares, como cada dolar nos cuesta $ 4:15: $ 250 000 = U $ 60 240:96386 4:15 2. Luego capitalizamos por dos años la cantidad de dolares que adquirimos a la tasa en dolares que nos ofrecen: 2
U $ 60 240:96386 (1 + 0:067) = U $ 68 583:67467 3. Luego usamos la tasa anual de devaluación del peso con respecto al dolar para hallar el precio del dolar frente al peso dentro de dos años: 2
4:15 (1 + 0:037) = 4:46278 4. Luego usamos el tipo de cambio que acabamos de encontrar para obtener una suma en pesos: U $ 68 583:67467 4:46278 = $ 306 073:94436 119
120
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
5. Por lo que la tasa de rendimiento anual en pesos es la tasa que convierte $ 250 000 en $ 306 073:94436 en dos años: 2
$ 306 073:94436 = $ 250 000 (1 + r) Por lo que la tasa anual de rendimiento es r = 10:6479 %
Esquema de la operación Si observamos en detalle la operación anterior podemos ver de donde sale la tasa anual 10:6479 % : 306 073:94436 = 68 583:67467 4:46278
2
250 000 (1 + r)
2
= 250 000 (1 + r)
2
= 250 000 (1 + r)
68 583:67467 4:15 (1 + 0:037) 2
=
2
250 000 (1 + r)
60 240:96386 (1 + 0:067) 4:15 (1 + 0:037) 250 000 2 2 (1 + 0:067) 4:15 (1 + 0:037) 4:15
2 2 2
= 250 000 (1 + r)
Cancelando, obtenemos 2
2
2
(1 + 0:067) (1 + 0:037) = (1 + r) 0:067 + 0:037 + 0:067 0:037 = r 0:106479 = r
Por lo que si tenemos más de una tasas actuando simultáneamente, el efecto conjunto no es la mera suma (en el sistema compuesto). El ejemplo anterior muestra que si bien las tasas actúan de manera simultánea sobre un capital, no hay pérdida de generalidad en suponer que las tasas actúan secuencialmente.
Poner dibujo????? (p )
(p )
(p )
De…nición 6.2 Dadas unas n tasas efectivas i1 1 ; i2 2 ; : : : ; in n de aplicación simultánea, llamaremos tasa real r(p) a la tasa p-períodica que produce un efecto equivalente sobre un capital inicial C0 durante un período de tiempo de t años: n Y pk t pt (p ) Ct = C0 1 + ik k = C0 1 + r(p) (6.1) k=1
De donde podemos deducir la ecuación fundamental para el cálculo de tasas reales n Y pk p (p ) 1 + ik k = 1 + r(p) (6.2) k=1
Ejemplo 6.3 Compramos un propiedad inmobiliaria por $ 350 000. Se espera que el valor de las propiedades de la zona aumenten a un ritmo del 5% anual. Además, a causa de la in‡ación, se espera que los inmuebles aumenten a un 15% anual. ¿Cuál es el rendimiento anual “real” de la inversión?
6.1. RENTABILIDAD REAL
121
La respuesta no es 20 % anual, el efecto es compuesto: 350000 (1 + 0:05) (1 + 0:15)
=
350000(1 + 0:05 + 0:15 + 0:0075) | {z } esta es la tasa real
=
350000 (1 + 0:2075)
la tasa “real” es del 20. 75 % anual. Observe que habriamos obtenido el mismo resultado usando la fórmula fundamental de tasas reales (6.2): 1+r r
= (1 + 0:05) (1 + 0:0075) = 0:2075
Ejemplo 6.4 Siguiendo con los ejemplos inmobiliarios, decidimos comprar un salón comercial aledaño al centro por unos $ 750 000. Estimamos que la in‡ación anual rondará el 0.45 % mensual por los próximos 5 años. Además, como la ciudad de San Luis esta en expansión, el costo de las locales comerciales está aumentando a un 4 % semestral. Finalmente la apertura de un supermercado y la creación de una escuela, ambos en las inmediaciones del local están aumentando el valor de los inmuebles de la zona en un 3 % anual. ¿Cuál es la tasa redimiento trimestral de nuestra inversión?¿Cuál será el valor del local al cabo de 4 años? Hallar la tasa de rendimiento no es más que aplicar la fórmula (6.2) 1 + r(4)
4
12
2
= (1 + 0:0045)
(1 + 0:04) (1 + 0:03)
de donde r(4) = 0:04129983381 Y el valor estimado de la propiedad al cabo de 4 años será 12
750 000 (1 + 0:04129983381)
= 1 228 755:79488
Ejercicio 6.5 Compramos una casa en un barrio por $ 85 000. Por efecto de la in‡ación el valor de las propiedades sube un 0.52% mensual. Y debido a la inaguración de un parque público las propiedades de la zona están aumentando su valor un 3.5% anualmente. ¿Cuál es el valor de mercado de nuestra casa pasados 8 años? Ejercicio 6.6 Compramos un propiedad inmobiliaria por $ 550 500. Se espera que el valor de las propiedades de la zona aumenten a un ritmo del 6.1% anual. Además, a causa de la in‡ación, se espera que aumenten a un 7% anual. ¿Cuál es el rendimiento anual real de la inversión? Ejercicio 6.7 En mayo de 2008, compramos un camión en $ 730 700, para alquilarselo a una empresa minera que nos paga mesualmente el 1.82% del valor del vehículo. A causa de la in‡ación el precio de este tipo de vehículos sube en promedio un 8.7 % anual. ¿Cuál es el rendimiento de la inversión a mayo de 2010?. Ejercicio 6.8 Un banco nos ofrece un préstamo a una tasa del 24.7% anual, más un seguro del 0.8% mensual, más el impuesto varios que son del orden del 2.73% trimestral. ¿Cuál es la tasa diaria real del préstamo?
122
6.2
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Tasas negativas
Si bien en la deducción de la fórmula de capitalización compuesta Cn = C0 1 + i(p)
n
no hay ninguna restricción sobre los valores que puede tomar la tasa p-períodica i(p) , hasta ahora hemos asumido que la tasa es positiva. Es decir, matemáticamente, la tasa en i(p) puede ser nula o inclusive negativa. Pero ¿Cuál es el signi…cado …nanciero de una tasa no-positiva? Para empezar, si i(p) = 0, no hay matemáticas …nanciera y todo se trivializa. $ 100 hoy son equivalentes a $ 100 pesos dentro de un años. El caso i(p) < 0 tiene un signi…cado …nanciero claro: corresponde a depreciciones, el pago de impuestos, seguros, comisiones y servicios varios.
6.2.1
Depreciacion
La mayoria de los bienes que adquirimos comienzan a perder valor ni bien están en nuestras manos (por el desgaste que produce el uso, por la acción de los elementos naturales, o inclusive por obsolecencia). De…nición 6.9 La depreciación es la pérdida de valor que sufren los activos …jos (como edi…cios, maquinaria, mobiliario, equipos de computo, vehículos, etc.) haciendo que su vida útil resulte limitada. No daremos un tratamiento completo del tema, y nos limitaremos a presentar el método de depreciación de porcentaje …jo, el cual corresponde a usar capitalización compuesta con una tasa negativa. La idea es simple, utilizaremos una tasa …ja a lo largo de la vida util del activo …jo en cuestión, para ir reduciendo el valor del mismo. Dado un activo …jo de valor C0 y la tasa p-períodica i(p) de depreciación del mismo, el valor del activo …jo al cabo de t años es Ct = C0 1
i(p)
pt
(6.3)
Nota 6.10 La tradición estable que las tasas (en matemáticas …nanciera) son siempre informadas de forma positiva, por lo que el signo de las misma, queda explicito en las fórmulas. Cuando digamos que una tasa es negativa, en realidad queremos decir que usaremos la fórmula (6.3). Ejemplo 6.11 Una Universidad compra una camioneta todo terreno por unos $ 215 000 para su el departamento de Geología. Se sabe que la tasa de depreciación para este tipo de vehículos es del 5.5 % anual. ¿Cuál es el valor del vehículo al cabo de 5 años? No hay más que aplicar la fórmula anterior (6.3): C5 = 215 000 (1
5
0:055) = 162 030:7725
El valor de la camioneta al cabo de 5 años será de $ 162 030.7725.
6.2. TASAS NEGATIVAS
123
Ejemplo 6.12 En abril de 2006, compramos un auto en $ 36 700. Sabemos que los vehículos de este tipo se deprecian (pierden valor) a una tasa del 4.5% anual. Pero a causa de la in‡ación suben un 18% anual. En mayo de 2008 decidimos vender el auto ¿Qué precio debemos cobrar? Han pasado 25 meses desde la compra del auto, su precio será efecto de la in‡ación
36700 (1 |
1 2+ 12
0:045) {z
}
factor de depreciación
z }| { 2+ 1 (1 + 0:18) 12
1
= 36700(1 0:045 + 0:18 + ( 0:045) 0:18)2+ 12 | {z } esta es la tasa real
= =
1 2+ 12
36700 (1 + 0:1269) 47071:78
Es decir, nuestra compra a rendido un 12.69%, por lo que al cabo del 25 meses (gracias a la in‡ación), el auto “vale más” de lo que pagamos originalmente aunque tenga más de dos años de uso. Del ejemplo anterior resulta claro que la fórmula para hallar la tasa real cuando actuán de manera simúltanea un grupo de tasas no cambia si alguna(s) de las tasas consideradas es negativa. Pero por razones didácticas la reestableceremos. (p )
(p )
(p )
De…nición 6.13 Dada una serie de n tasas efectivas i1 1 ; i2 2 ; : : : ; in n y una (q ) (q ) (q ) serie de m tasas negativas i1 1 ; i2 2 ; : : : ; imm de aplicación simultánea, llamaremos tasa real a la tasa p-períodica r(p) que produce un efecto equivalente sobre un capital inicial C0 durante un período de tiempo de t años: C0
n Y
k=1
(p )
1 + ik k
m pk t Y
1
(qj )
ij
qj t
= C0 1 + r(p)
pt
:
j=1
De donde podemos deducir la ecuación fundamental para el cálculo de tasas reales n m Y pk Y q p (q ) j (p ) 1 + ik k 1 ij j = 1 + r(p) : (6.4) k=1
j=1
Ejercicio 6.14 Hace 3 años compramos un camión en $ 730 000, para alquilarselo a una empresa minera que nos paga mesualmente el 2.82% del valor del vehículo. Sabemos que los vehículos de este tipo se deprecian a una tasa del 6.5% anual . Pero a causa de la in‡ación suben en promedio 8% anual. ¿Cuál es el rendimiento de la inversión? Ejercicio 6.15 La señorita Viviana adquirió un automóvil por unos $ 65 000 para ser utilizado como taxi. Si al cabo de 5 años lo vende por $ 45 000. 1. ¿Cuál es la tasa mensual de depreciación que usó? 2. Si ahora consideramos que la in‡ación anual fue del 12 %, ¿Cuál es la tasa anual de depreciación usada? Ejercicio 6.16 Una empresa adquiera un centro de copiado (all-in-one) por unos $ 12 500. Cuál es el valor del mismo al cabo de 3 años si 1. La tasa de depreciación de este equipo es del 1.5 % mensual. 2. Si además consideramos que la in‡ación es del 5 % anual.
124
6.2.2
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Impuestos, seguros y comisiones varias
Las tasas impositivas, los seguros y las comisiones porcentuales también actuan como tasas negativas, i.e., debemos usar la fórmula (6.3). Ejemplo 6.17 El señor Elias adquirió un auto por $ 70 000, a …n de utilizarlos como remis. El estima que la inversión le rinde un 35 % anual. A lo cual le debe descontar el 2 % mensual en concepto de impuestos municipales y un 5 % anual para el pago del seguro obligatorio. ¿Cuál es el rendimiento diario nreal de la inversión? Se nos esta pidiendo que hallemos la tasa real diaria de la operación, la cual se puede calcular facilmente usando (6.4): 1 + r(365)
365
r(365)
=
(1 + 0:35) (1
=
0:000017476
12
0:02)
(1
0:05)
Ejercicio 6.18 Compramos una casa en un barrio por $ 75 000. Por efecto de la in‡ación el valor de las propiedades sube un 0.52% mensual. Pero debido a la contaminación creciente de un rio aledaño, las propiedades de la zona están disminuyendo su valor un 3% anualmente. ¿Cuál es el valor de mercado de nuestra casa pasados 5 años? Ejercicio 6.19 Compramos un propiedad inmobiliaria por $ 550 500. Se espera que el valor de las propiedades de la zona aumenten a un ritmo del 6.1% anual. Además, a causa de la in‡ación, se espera que aumenten a un 7% anual. Si descontamos el impuesto inmoviliario, el cual es del 1.1% anual. ¿Cuál es el rendimiento anual real de la inversión? Ejercicio 6.20 En mayo de 2001, compramos un camión en $ 73 700, para alquilarselo a una empresa minera que nos paga mesualmente el 0.82% del valor del vehículo. Sabemos que los vehículos de este tipo se deprecian a una tasa del 6.5% anual . Pero a causa de la in‡ación suben en promedio 8% anual. Si descontamos los impuestos que pagamos, los cuales son del orden del 2.1% anual, cual es el rendimiento de la inversión a mayo de 2008.
6.2.3
Impuestos sobre la renta …nanciera y su efecto sobre la rentabilidad.
Si bien hoy por hoy en la Argentina no se cobran impuestos sobre los intereses ganados por depósitos, ni operaciones de bolsa, es de esperar que en un futuro no muy lejando dicho impuesto se implemente. Si imponemos un capital C0 a una tasa p-períodica durante unos n pperíodos, sabemos que los intereses totales ganados están dados por n
IT = C0 ((1 + i)
1)
Los impuestos sobre los intereses ganados pueden ser implementados de diferentes maneras. Analizaremos primero el caso que los impuestos se cobren período a período.
6.2. TASAS NEGATIVAS
125
Sea la tasa impositiva que el govierno aplica sobre los intereses ganados en un p-período. En general tendremos la siguiente relación recursiva gravado Ck+1 = Ckgravado + Ckgravado i(p) (1
) = Ckgravado (1 +
i(p) i(p) ) | {z }
tasa real después de impuestos
Por lo que, con la condición inicial C0 = inversión. Tenemos que el capital acumulado al cabo de n p-períodos es Cngravado = C0 1 + i(p)
n
i(p)
y la tasa de rendimiento real p-períodica es r(p) = i(p) (1
)
Ejemplo 6.21 Un banco nos ofrece por nuestros depósitos una tasa del 16 % anual. Pero debemos pagar en concepto de impuestos sobre los interéses un 5.5% sobre los intereses, en cada capitalización. ¿Cuál es la tasa anual real que recibimos? Por lo que en nuestro caso la tasa real después de impuestos es r = 0:16 (1
0:055) = 0:1512;
i.e., nuestra inversión en realidad nos rinde un 15.12% anual. Otra forma de cobrar impuestos sobre los intereses ganados en depósitos, es aplicar la tasa impositiva sobre el interés total ganado por el inversionista: Idespués
= IT (1
de im puestos
= C0
) 1 + i(p)
n
1 (1
)
Por lo que el capital que recibiremos será Cndespués
de im puestos
= C0 + Idespués de im puestos n h i n = C0 1 + 1 + i(p) 1 (1 n o n = C0 1 + i(p) (1 )+
o )
Por lo que la tasa real p-períodica es de rendimiento es 1 + r(p)
n
= 1 + i(p)
n
(1
)+
(6.5)
Ejemplo 6.22 El banco Holandés nos ofrece por nuestros depósitos una tasa del 3.5 % mensual. Pero debemos pagar en concepto de impuestos sobre los interéses un 12 % los intereses totales ganados. ¿Cuál es la tasa mensual real de rendimiento si la operación es pactada a 6 meses?¿Cambia el rendimiento real si la operación hubiera sido pactada a 18 meses?
126
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
No hay más que aplicar (6.5). Averiguemos el rendimiento real mesual por el depósito a 6 meses 1 + r(12)
6
=
r(12)
6
(1 + 0:035) (1
0:12) + 0:12
= 0:03110296367
En cambio, el rendimiento a los 18 meses es 1 + r(12)
18
=
r(12)
18
(1 + 0:035)
(1
0:12) + 0:12
= 0:03172824625
Este ejemplo muestra que el rendimiento real después de impuestos sobre los intereses totales depende de la duración de la operación. De hecho, cuando n se hace cada vez más grande la tasa real se aproxima a la nominal, pues q n )+ 1 r(p) = n 1 + i(p) (1 y tomando límite cuando n tiende a in…nito q n lim r(p) = lim n 1 + i(p) (1 n!1
n!1
)+
1 = i(p)
También se puede probar siempre que la si < 50 %, la convergencia es monótona creciente: a más tiempo, mayor rendimiento real. Nota 6.23 En ambos casos, es …nancieramente evidente que el rendimiento después de impuestos debe ser menor que el rendimiento nominal: r(p) < i(p) Ejercicio 6.24 Un banco nos ofrece por nuestros depósitos una tasa mensual del 1.2%. Pero debemos pagar en concepto de impuestos sobre los intereses un 4.5% anual. ¿Cuál es el rendimiento mensual real de nuestra inversión?
Poner 4 o 5 ejercicios más!!!!!!!!!!! 6.3
Tipo de cambio
En esta sección estudiaremos con algún detalle el funcionamiento de las operaciones …nacieras que involucren más de una moneda. En nuetro camino descubriremos que las tasas además de tener una unidad temporal asociada, también tienen asociadas una unidad monetaria. Otra noción importante será el tipo de cambio entre dos monedas, el cual especi…ca el precio de una moneda en términos de la otra (en un momento dado). Ejemplo 6.25 Estamos interesados en invertir $ 500 000 por el término de 1 año. Se nos ofrecen dos opciones: 1. Realizar un depósito a plazo …jo en dólares el cual paga una tasa del 6.7 % anual.
6.3. TIPO DE CAMBIO
127
2. Realizar un plazo …jo en pesos a una tasa del 15.5 % anual. ¿Cuál es la mejor inversión? La respuesta depende fuertemente de la variación en el valor del dólar frente al peso. Para empezar la tasa del 6,7 % anual en dólares sólo puede ser aplicada a montos en dólares. Por lo tanto debemos convertir a dólares nuestros $ 50 000. Supongamos que el tipo de cambio vendedor hoy es $ 4.3 por dólar ¿Qué signi…ca esto? Un tipo de cambio vendedor de $ 4.3 por dólar nos indica que debemos pagar 4.3 pesos por cada dólar que deseemos adquirir. Si disponemos de $ 50 000, podemos comprar 50 000 $ = 11 627:91 U$S 4:3 $=U$S Depósitando estos U$S 11 627.91 a la tasa en dólares del 6.7 % anual, al cabo de un año tendremos 11 627:91 (1 + 0:067) = 12 406:98 U$S Mientras que si depositamos nuestros $ 50 000 al 15.5 % anual obtendremos 50 000 (1 + 0:155) = 57 750 $: ¿Cuál inversión es mejor? Como ya dijimos, esto depende del precio comprador del dólar frente al peso al cabo de un año. Ahora, ¿Qué signi…ca un tipo comprador de 4.10 pesos por dólar? Es el precio al que nos compran los dolares, por cada dólar que entreguemos, recibiremos $ 4.10. 1. Si al cabo de un año el precio del dólar comprador es de 4:3 pesos por dólar, los U$S 12 406:98 equivaldrán a 12406:98 U$S 4:3 $=U$S = 53 350:01 $: Por lo que sería una mejor inversión realizar el depósito en pesos. 2. Si al cabo de un año el precio del dólar comprador 4:74 pesos por dólar, los U$S 12 406:98 equivaldrán a 12 406:98 U$S 4:75 $=US$ = 58 933:14 $: Por lo que sería una mejor inversión hacer el depósito en dólares. Una pregunta interesante es: ¿A qué tipo de cambio comprador futuro seríamos indiferentes entre ambas inversiones? El tipo de cambio de “equilibrio” es el que transforma U$S 12 406:98 en $ 57 750: tipo de cambio $=U$S =
57 750 $ = 4:654639 $=U$S 12 406:98 U$S
128
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Esto nos dice que si el tipo de cambio comprador futuro es superior a 4:654639 $=U$S, entonces conviene comprar relizar el déposito en dólares, y si el tipo de cambio comprador futuro es inferior a 4:654639 $=U$S, conviene realizar el depósito en pesos (El problema es que nadie sabe a ciencia cierta cual será el valor del tipo de cambio futuro). Hemos estado usando de manera intuitiva lo que se conoce como forma directa de expresar los tipos de cambio, la cuál es de hecho es la utilizada Argentina, asi como en la mayoría de los paíces del mundo. En este caso, el tipo de cambio indica cuantas unidades de moneda nacional son necesarias para comprar una unidad de moneda extranjera. La cotización de una moneda se suele representar en dos precios. El menor precio, representa el precio comprador, o de demanda (bid). Se denomina comprador porque es el precio que las casas de cambio nos pagan al comprarnos las divisas. El precio más alto es el precio vendedor, o de oferta (o¤er). Se denomina vendedor porque es el precio que las casas de cambio nos cobran al vendernos las divisas. El estándar internacional ISO 4217 fue creado por la ISO con el objetivo de de…nir códigos de tres letras para todas las monedas del mundo. Esto elimina las confusiones causadas por algunos nombres de divisas como dólar, franco, peso o libra, que son utilizados en numerosos países pero tienen tipos de cambio muy diferentes. Las dos primeras letras del código son las dos letras del código del país de la moneda según el estándar ISO 3166-1 y la tercera es normalmente la inicial de la divisa en sí. La siguiente tabla contiene los códigos de las monedas más usadas en Argentina Código ARS AUD BOB BRL CAD CLP CNY EUR GBP ILS INR JPY MXN PEN PYG USD UYU ZAR
Moneda Peso argentino Dolar australiano Boliviano Real Dolar canadiense Peso chileno Yuan renminbi Euro Libra esterlina Nuevo shéquel israelí Rupia india Yen japonés Peso mexicano Nuevo sol peruano Guaraní paraguayo Dolar estadounidense Peso Uruguayo Rand sudafricano
País Argentina Australia Bolivia Brasil Canadá Chile China Eurozona Gran Bretaña Israel India Japón México Perú Paraguay USA Uruguay Sudáfrica
Agregar símbolos a la tabla!!!!!!!!!!! Utilizaremos tanto el estandar ISO 4217 como los símbolos habituales para las monedas de mayor circulación. De…nición 6.26 Dadas dos monedas XXX y Y Y Y , llamaremos tipo de cambio vendedor XXX=Y Y Y al momento t al precio en XXX que debemos
6.3. TIPO DE CAMBIO
129
pagar para adquirir una unidad de la moneda Y Y Y . El cual será simbolizado XXX=Y Y Y
vt
Similarmente llamaremos tipo de cambio comprardor XXX=Y Y Y al momento t al precio en XXX que nos pagan al vender una unidad de la moneda Y Y Y . El cual será simbolizado XXX=Y Y Y
ct
Ejemplo 6.27 Si hoy el tipo de cambio vendedor del peso (argentino) con respecto al dólar es 3:15 $=U $S entonces hoy debemos entregar 3.15 pesos para obtener un dólar. Ejemplo 6.28 Si el 11 de agosto de 1999 el tipo de cambio comprador del yen (moneda de Japón) con respecto al dolar fue de 110 U=U $S entonces el 11 de agosto de 1999 necesitabamos nos entregaban U 110 por cada dólar que vendíamos. Ejemplo 6.29 El la pizzarra de una casa de cambio vemos el tipo de cambio entre el peso y el euro 4:77=4:82 $=e en este caso el menor es el tipo de cambio comprador, y el mayor es el tipo de cambio vendedor. Es decir, si hoy queremos comprar un euro en esta casa de cambios deberemos entregar 4:82 $. En cambio si deseamos vender un euro, recibiremos 4:77 $. Nota 6.30 Se llama spread es la diferencia entre el precio comprador y el vendedor. Por ejemplo, si la cotización EUR/USD es 1.2025/1.2028, entonces el spread es EUR 0.0003. El spread suele variar de acuerdo al lugar donde se realice el cambio y de acuerdo al monto. Usualmente los particulares recurren a las casas de cambio para cambiar pequeñas cantidades de divisas. Los inversores, en cambio, realizan transacciones de mayores cantidades de divisas en otras instituciones que ofrecen un menor spread, o en las mismas casas de cambio o bancos, pero a un menor spread. Ejemplo 6.31 Si hoy entregamos 594 coranas suecas (SEK en código ISO 4217) para adquirir 100 USD, ¿Cuál es el tipo de cambio vendedor SEK/USD? 594 SEK = 5:94 SEK/USD 100 USD Es decir necesitamos entregar 5.94 coronas suecas por cada dólar. SE K =U SD
choy
=
U=$
Ejemplo 6.32 Por ejemplo si choy = 207 U=$ tenemos que £ 300 (libras esterlinas, moneda de Gran Bretaña) nos permiten adquirir 300 $ 207 U=$ = 42 849 U
130
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS $=$
Ejemplo 6.33 Si vhoy = 6:11 $=$ (i.e., hacen falta $ 6.11 para adquirir una libra esterlina), entonces $ 17 000 nos permiten adquirir 1 = 2 782:32406 $: 6:11 $=$
17000 $ Aqui, podemos considerar que
1 6:11 $=$
$=$
vhoy =
Ejemplo 6.34 Si hoy en una casa de cambios el tipo de cambio comprador AUD/INR (AUD es el código ISO 4217 para el dólar australiano y INR es el código ISO 4217 para la rupia indú) es AU D =IN R
choy
= 267:5 AUD/INR
¿Cuál es hoy el tipo de cambio comprador INR/AUD? Un momento de re‡exión nos indica que INR/AUD
choy
=
1 AUD=INR choy
Esta relación se cumple en general XXX=Y Y Y
ct
XXX=Y Y Y
vt
= =
1 Y Y Y =XXX ct
1 Y Y Y =XXX vt
Otro momento de re‡exión nos permite ver que los tipos de cambios son transitivos: Dadas tres monedas, AAA=BBB
= ct
AAA=BBB
=
ct vt
AAA=CCC CCC=BBB ct AAA=CCC CCC=BBB vt vt
Remarcamos que ambas ecuaciones requieren que todos los tipos de cambios sean a la misma fecha. Ejemplo 6.35 En la pizarra de una casa de cambio leemos: 845:23=865:7 6:89=6:99 :::=:::
CLP=ARS ARS=GBP CLP=GBP
donde CLP es peso chileno, ARS es peso argentino y GBP es la libra esterlina (Gran Bretaña). Completar la tabla. No hay más que la trasitividad de los tipos de cambios: CLP=GBP
choy
CLP=ARS ARS=GBP
= choy choy = 845:23 CLP=ARS 6:89 ARS=GBP = 5 823:637 CLP=GBP
por lo que hoy, en esta casa de cambios debemos entregar 5 823.637 pesos chilenos por cada libra esterlina que adquiramos.
6.3. TIPO DE CAMBIO
131
Ejercicio 6.36 Con 400 dólares canadiense hoy se puede adquirir U$S 390, o 3063 dólares de Hong Kong, o U 39390 (yenes), o 9165 rublos. ¿Calcular los diferentes tipos cambios? Ejercicio 6.37 La siguiente tabla brinda los tipos de cambio (comprador) entre el peso y diferentes monedas al día XX Moneda (País o Zona) Euro (Eurozona) Kuna (Croacia) Rublo (Rusia) Libra esterlina (Inglaterra) Franco Suizo Real (Brasil) Peso (Chile) Guaraní (Paraguay) Boliviano (Bolivia) Peso (Uruguay) Nuevo peso (México) Dólar (USA) Dólar (Canada) Yen (Japón) Rupee (India) Renimbi (China) Shekel (Israel) Rand (Sudáfrica) Dirham (Marruecos)
Símbolo e
£
U$S U
Tipo $=X abril 2008 5.18 0.686 0.1341 6.21 3.241 1.86 0.0069 0,000725 0.419 0,1573 0.299 3.14 3.08 0.0311 0.07536 0.4484 0.8921 0.3981 0.43175
Tipo $=X abril 20XX
3.70
1. Con $ 5000 ¿Cuántos X podemos adquirir? (reemplaze X, por cada una de las monedas de la tabla) 2. Si estamos en Argentina y disponemos de 1 450 300 rublos, ¿Cuántos X podemos adquirir? (reemplaze X, por cada una de las monedas de la tabla)
poner unos cuantos ejercicos más... al estilos d elos ejemplos.
Ejercicio 6.38
Dados un par de monedas XXX y Y Y Y , si tenemos un capital inicial de C0 unidades de una moneda XXX, y deseamos invertirlo a una tasa denominada en moneda Y Y Y , p-períodica, durante t años (p)
iY Y Y el rendimiento de la inversión en términos de la moneda de origen XXX, deY Y Y =XXX pende de los tipos de cambio Y Y Y =XXX vendedor al inicio v0 y el XXX=Y Y Y tipo de cambio XXX=Y Y Y comprador al cabo de t años ct : Y Y Y =XXX
Ct = C0 v0 | {z
C o nv ie rte
X X X en Y Y Y
| |
}
{z
(p)
1 + iY Y Y
C a lc u la e n re n d im ie nto e n Y Y Y
{z
C o nv ie rte Y Y Y e n X X X
tp
XXX=Y Y Y
ct
}
;
}
(6.6)
132
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
La cual llamaremos primera forma para capitalización compuesta bi-monetaria. Ejemplo 6.39 Hace tres años disponíamos de $ 250 000, y los invertimos en obligaciones de una empresa holandesa que nos ofrecián un rendimiento del 9.7% anual. El tipo de cambio vendedor fue de 3.95 $/e. Hoy el tipo de cambio comprador es 5.196 $/e ¿Cuál fue el rendimiento en pesos de la operación? Para hallar el capital en pesos acumulado al día de hoy, sólo necesitamos aplicar la fórmula de capitalización compuesta bi-monetaria (primera forma) Choy = Chace
EU R=ARS tres años vhace tres años ARS=EU R tres años ,
Pero nosotros no tenemos vhace tanto EU R=ARS tres años
vhace
=
1 ARS=EU R vhace tres años
=
(p)
1 + iEU R
tp
ARS=EU R
ct
si el tipo de cambio recíproco. Por lo
1 = 0:253164556962 e=$ / 3:95 $=e
Ahora Choy
3
= 250 0000 $ 0:253164556962 e=$ / (1 + 0:097) = 434 142:14 $:
5:196 $=e
Asi el rendimiento de la operación (los intereses totales) son rendimiento
= Cf Co = 434 142:14 $ 250 000 $ = 184 142:14 $:
Ejercicio 6.40 En octubre de 2006, compramos U 12 500 000 en obligaciones de una empresa japonesa denominadas en yenes que ofrecían un rendimiento $=U del 4.25% anual. Hoy el tipo de cambio comprador es choy = 0:02987. ¿Cuántos pesos tenemos hoy? Ejercicio 6.41 El tipo de cambio entre el dólar y el real es de 1.7 reales por dólar. Si la tasa de interés en dólares es del 5.5% anual y la tasa de interés en reales es del 8.8% anual ¿Cuál será dentro de {6 meses, 1 año, 5 años} el tipo de cambio futuro de equilibrio entre ambas monedas.
poner 3 o 4 ejercicos más???????????? Nota 6.42 Como precio que es, el tipo de cambio cumple un importante papel como orientador de recursos. Si bien existe una gran cantidad de pares de monedas para construir tipos de cambio, casi siempre se publica la relación de las monedas respecto al dólar de Estados Unidos. Otras monedas que se suelen utilizar como referencia son el euro (Comunidad Económica Europea) y el yen (Japón). En 2007 el 95% de las operaciones con modedas extranjeras en la República Argentina fue realizada en dólares, el 4% en euros y el restante 1% en unas 56 monedas distintas. En lo que se re…ere a la distribución del volumen operado por monedas en el año 2008, el dólar estadounidense mantuvo su liderazgo frente al resto de las monedas, principalmente en las entidades …nancieras.
6.4. TASA DE DEVALUACIÓN
133
En estas últimas se veri…có que el 95% del total operado con clientes se concentró en dólares estadounidenses, el 4% en euros y el 1% restante en otras 59 diferentes monedas. En cambio, en las casas y agencias de cambio, la participación de la moneda estadounidense agrupa un poco menos del 85% del total, subiendo las participaciones de euros y reales a 12% y el 3%, respectivamente. Otras monedas muy usadas en Argentina (por razones geográ…cas) son el peso chileno, el peso uruyuayo, y el guaraní (moneda de Paraguay). Nota 6.43 Se pueden utilizar diferentes convenciones para expresar el tipo de cambio. En el mercado forex, se utiliza una simbología de pares de monedas. Cada divisa está representada por tres letras, por ejemplo USD representa al Dólar estadounidense, EUR al euro, JPY al yen japonés, MXN al peso mexicano, y ARG al peso argentino. Un par de monedas se puede formar con cualquier par de divisas, por ejemplo USDEUR o USDMXN. Las primeras tres letras representan la moneda base. USDJPY = 107 indica que hacen falta 107 Yenes para comprar un Dólar. Es decir, el precio de la primera divisa en términos de la segunda. Existen otras dos formas de representar el tipo de cambio. La forma directa y la forma indirecta. La forma directa es la mas utilizada, y en este caso el tipo de cambio indica cuantas unidades de moneda nacional son necesarias para comprar una unidad de moneda extranjera (Usada en Argentina). Por ejemplo, si leemos en un periódico argentino que el tipo de cambio del real es 1.82, nos indica que se deben pagar 1.82 pesos para obtener un real. La forma indirecta es utilizada en Inglaterra, y también en Australia, Nueva Zelanda y Canadá.
6.4 6.4.1
Tasa de devaluación Tasas de devaluación
En algunos países, se utiliza un único tipo de cambio, y lo que se cobra es la una comisión porcentual, esto ocurre por ejemplo en España
CHEQUEAR!!!!!!!!!!!!!!!.
Ejemplo 6.44 La señora Eliana, se encuentra de vacaciones en Barcelona, y decide cambiar unos $ 15 000 por euros para ir de compras. En el banco, la cotización era del peso era 0.32 e/$, además el banco cobra una comisión del 1.56 % sobre las operaciones con divisas. ¿Cuál es el monto de euros que recibio la señora Eliana? En principio la cuenta es sencilla: 15 000 $
0:32 e=$ = 4 800 e
Y sobre este monto, el banco le cobra una comisión del 0.56 %: 4 800 (1
0:0156) = 4 725:12 e
Por lo que la señora Eliana podrá gastar unos 4 725:12 e. Ejemplo 6.45 Una empresa Española debe cancelar una deuda en dólares para lo cual acude a un intermediario …nanciero y cambia e 2 500 000. Si la cotización del dólar era 0.78 e=U $ y el intermediario cobra una comisión del 0.8 %, ¿Cuántos dólares obtuvo la empresa?
134
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
De nuevo la cuenta es sencilla: 2 500 000 e = 3 205 128:205 U $ 0:78 e=U $ Sobre esta suma el intermediario …naciero cobra su comisión: 3 205 128:205 U $ (1
0:008) = 3 179 487:179
Por lo que la empresa recibe 3 179 487.179 U$ por sus 2 500 000 e En general, en los sistemas de cambio con precio único, además del tipo de cambio, debemos tener en cuenta las comisiones correspondientes, las cuales pueden variar de institución a institución, y dentro de una misma casa de cambios podemos encontrar variaciones en las comisiones de acuerdo con el par de monedas involucradas y el tipo de operación (compra o venta de divisas). Existe una correspondencia entre los sistema de tipo de cambio único con comisión, y los sistemas con tipo comprador y tipo vendedor. Ejemplo 6.46 Encuentre el tipo comprador del banco en el que operó la señora Eliana y el tipo vendedor de la institución …nanciera donde opero la empresa española El tipo comprador ce=$ que estamos buscando, es el precio en euros al que le reciben los pesos a la señora Eliana. Si entrego $ 15 000 y recibio 4 725.12 e tenemos que 4 725:12 e = 0:315008 e=$ ce=$ = 15 000 $ Recordamos que ce=$ da el precio en euros al que el banco compra el peso argentino: vamos al banco (español) con una moneda extranjera (en este caso pesos) y deseamos moneda local ( en este caso euros). Para hallar la relación entre ambos tipos de cambio observamos que 15 000 $
ce=$ = 4 725:12 e = 15 000 $
0:32 e=$ (1
0:0156)
Por lo que ce=$ = 0:32 e=$ (1
0:0156)
Similarmente en el caso de la empresa. El tipo vendedor v e=U $ que estamos buscando es el precio en euros al que venden los dólares. La empresa entregó e 2 500 000 y recibió 3 205 128.205 U$, por lo que v e=U $ =
2 500 000 e = 0:786290322701 e=$ 3 179 487:179 U $
Recordamos que v e=$ da el precio en euros al que la institución …nanciera vende los dólares. Para hallar la relación entre ambos tipos de cambio observamos que 3 179 487:179 U $ v e=$ 3 205 128:205 U $ (1 0:008) v e=$ 2 500 000 e (1 0:008) v e=$ 0:78 e=U $
= =
2 500 000 e 2 500 000 e
= 2 500 000 e
6.4. TASA DE DEVALUACIÓN
135
de donde obtenemos v e=$ =
0:78 e=U $ (1 0:008)
Dados un par de monedas XXX e Y Y Y , denotaremos por XXX=Y Y Y
ct
(
c;
v)
al tipo de cambio único con comisiones c para las operaciones de compra de moneda Y Y Y (pagando con moneda XXX) y v para las operaciones de venta de divisas Y Y Y (cobrando en moneda XXX). A veces escribiremos simplemente XXX=Y Y Y
ct
especialmente si las tasas de las comisiones son claras del contexto. Si ambas comisiones son iguales usaremos: XXX=Y Y Y
ct
( )
De los ejemplos anteriores podemos deducir que: ce=$ v e=$
XXX=Y Y Y
= ct
(1
c)
XXX=Y Y Y ct
=
(1
v)
Estas relaciones nos permiten convertir un tipo de cambio en el otro. dados un par de monedas XXX e Y Y Y , y un tipo de cambio unicosi unaEl análisis anterior también se puede hacer en términos de la tasa de devaluación anual de una moneda frente a otra.
Poner 4 o 5 ejercicos de cada tipo...inclusive algunos hallando las comisiones Introdujimos los tipos de cambio unicos pues nos permiten de…nir de manera natural la noción de tasa de devaluación. XXX=Y Y Y
De…nición 6.47 Dadas dos monedas XXX e Y Y Y , sea c0 ( c0 ; v0 ) XXX=Y Y Y el tipo de cambio único al comienzo de un período de t años, y ct ( ct ; vt ) el tipo de cambio unico al …nal del mismo, la tasa de devaluación p-períodica de la moneda XXX respecto de la moneda Y Y Y es la tasa p-períodica que realiza la igualdad XXX=Y Y Y
c0
1+
(p) XXX=Y Y Y
pt
XXX=Y Y Y
= ct
(6.7)
Ejemplo 6.48 Si hace un año el tipo de cambio del peso frente al euro fue $=e
chace
un añ o
= 4:3 $=e
y el tipo de cambio hoy es $=e
choy = 4:75 $=e Hallar la tasa de devaluación anual del peso respecto del euro.
136
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Por lo tanto la tasa de devaluación anual del peso frente al euro fue $=e
chace
un año
1+
$=e
$=e
= choy
$=e
$=e
=
choy
$=e
chace
un año $=e chace un año
4:75 $=e 4:3 $=e 4:3 $=e = 0:104651162791
=
i.e., una tasa de devaluación anual del 10.4651162791%. Ejercicio 6.49 La siguiente tabla contiene los tipos de cambio entre el peso y diferentes monedas de mayo de 2008: País o Zona Eurozona Croacia Rusia Inglaterra Suiza Brasil Peso (Chile) Guaraní (Paraguay) Boliviano (Bolivia) Peso (Uruguay) Nuevo peso (México) Dólar (USA) Dólar (Canada) Yen (Japón) Rupee (India) Renimbi (China) Shekel (Israel) Rand (Sudáfrica) Dirham (Marruecos)
Moneda Euro Kuna Rublo Libra esterlina Franco Suizo Real
Símbolo e
£
U$S U
Cambio $=e mayo 2008 4.98 0.788 0.1421 6.25 3.01 2.1 0.0059 0,000725 0.556 0,1432 0.305 3.05 2.98 0.0298 0.067 0.434 0.8921 0.3071 0.4300
1. Completar la tabla anterior con las cotizaciones de las diferentes monedas (si aún existen) al día de hoy. 2. Hallar la tasa de devaluación mensual del peso frente a las diferentes monedas dadas. 3. Dar la lista de monedas con respecto a las cuales el peso se depreció (ordenar de mayor a menor depreciación). 4. Dar la lista de monedas con respecto a las cuales el peso se apreció (ordenar de mayor a menor). 5. Dar la lista de monedas con respecto a las cuales el peso no varió. Dados un par de monedas XXX y Y Y Y , si tenemos un capital inicial de C0 unidades de una moneda XXX, y deseamos invertirlo a una tasa denominada
Cambio $=e hoy
6.4. TASA DE DEVALUACIÓN
137
(p)
en moneda Y Y Y , p-períodica iY Y Y , durante t años. Queremos ver cual es el efecto de la devaluación de la moneda XXX con respecto a la moneda Y Y Y sobre el rendimiento de la inversión en términos de la moneda XXX. Si la tasa de devaluación estimada de la moneda XXX con respecto a la moneda Y Y Y (q) en los próximos t años es XXX=Y Y Y (una tasa q-períodica) y el tipo de cambio XXX=Y Y Y
único al inicio de la operación fue c0 Ct
= C0
(1 v0 ) XXX=Y Y Y c0
= C0 (1
v0 )
pt
(p)
c0 ;
XXX=Y Y Y
c0
1 + iY Y Y pt
(p)
(
1 + iY Y Y
1+
v0 )
tenemos que (q) XXX=Y Y Y
1+
qt
(1
ct )
qt
(q) XXX=Y Y Y
(1
ct )
reordenado podemos obtener la segunda forma para capitalización compuesta bi-monetaria pt
(p)
Ct = C0 1 + iY Y Y
1+
(q) XXX=Y Y Y
qt
(1
v0 ) (1
ct )
A partir de la cual podemos obtener una expresión para la rentabilidad real k-períodica r(k) de la operación 1 + r(k)
k
(p)
p
= 1 + iY Y Y
1+
(q) XXX=Y Y Y
q
[(1
v0 ) (1
ct )]
1 t
Ambas fórmulas dependen de la comisión sobre las compras de divisas ct al …nal del período de t años. Para la mayoría de las aplicaciones se puede suponer que ct = c0 , pues no suelen haber grandes variaciones en las comisiones cobradas. Ejemplo 6.50 ¿Cuál es el rendimiento a un año de $ 50 000, en bonos italianos que pagan un 6.7% anual, sabiendo que la tasa de devaluación del peso respecto del euro será del 10.4% anual y que la comisión por la compra o venta de divisas suele ser del 2.5 %? Aplicando la segunda forma de capitalización compuesta bi-monetaria: Cf
= C0 1 + i$=e
1+
$=e
(1
2
)
= 50 000 (1 + 0:067) (1 + 0:10465) (1 = 55 990:2915
2
0:025)
Además podemos hallar la tasa anual real de rendimiento en pesos 1+r
= = =
2
(1 + ie ) 1 + $=e (1 ) (1 + 0:067) (1 + 0:104) (1 0:025) 0:11980583
de donde se puede apreciar el fuerte efecto de la comisiones sobre la rentabilidad. Ahora veamos un ejemplo más complicado
De aqui para abajo hay que arreglar las cosas para que vayan en el nuevo lenguaje... veri…car los ejemplos y poner unos ejercicios extras!!!!!!!!!!!!!!
138
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Ejemplo 6.51 Tenemos U$S 35 000, y los invertimos en pesos por 95 días a una tasa diaria del 0.35% en pesos. Si hoy el tipo de cambio es 0.3 U$S/$, y se estima que dentro de 95 días el tipo de cambio será 0.26 U$S/$. ¿Cuál será el rendimento en dólares de la operación? ¿Cuál es la tasa mensual real en dólares? Primero calculamos la tasa devaluación del dolar respecto del peso ( 95 años ) dU365 $S=$
= =
0:27 0:3 0:3 0:1 :
Las tasas de devaluación negativas, indican una apreciación de la primera moneda respecto de la segunda, en este caso del dólar frente al peso, en estos casos se suele hablar de una tasa de apreciación. El rendimento de la operación en dólares es Cf
95
= 35000 (1 + 0:0035) = 43899:68 :
(1
0:1)
Hay muchas formas de obtener la tasa diaria real en dólares, por ejemplo despejando la tasa en la fórmula de capital …nal: 95
(365)
43899:68 = 35000 1 + rdólares de donde (365) rdólares
r
43899:68 35000 0:00238768 . 95
= =
Otra consiste en pasar la tasa de devaluación aplicar la fórmula para hallar la tasa real 1 + i( 365 95
años )
(1
0:1)
;
1
95 365
años-períodica a diaria y
(365)
=
1 + dU $S=$
=
1 + dU $S=$
(365)
95
95
;
de donde (365)
dU $S=$
= =
p
95
1 0:1 1 0:001108443282 :
Luego la tasa diaria real en dólares es (365)
rdólares
(365)
(365)
= i(365) + dU $S=$ + i(365) dU $S=$ = =
0:0035 0:001108443282 + 0:0035 ( 0:001108443282) 0:00238768
Ejemplo 6.52 Se supone que la tasa de devaluación mensual del peso respecto del dolar será del 0.5%, durante los próximos dos años. Si disponemos de $ 100 000, y los queremos invertir en obligaciones a 9 meses de una empresa dada, denominadas en dólares, las cuales pagan un 2.5% trimestral. ¿Cuál será el montante en pesos? ¿Cuál será la TEA de rendimiento?
6.4. TASA DE DEVALUACIÓN
139
Para calcular el montante solo debemos usar la fórmula de capitalización compuesta bi-moneraria Cf
3
= =
9
100000 (1 + 0:025) (1 + 0:005) 112633:13
La tasa de rendimiento a 9 meses es 9 i( 12
años )
= =
112633:13 100000 10000 0:12633129727
La TEA equivalente es (calculada a 9 meses) 9
(1 + i) 12 = 1 + i( 12 9
años )
de donde i = = =
r 9
q 9
9 1 + i( 12
años )
12
1 12
(1 + 0:12633129727) 0:17189365443
1
Ejercicio 6.53 Cuál es el rendimiento a un año de $20 000, en bonos españoles que pagan un 7.2% anual, sabiendo que la tasa de devaluación anual del peso respecto del euro será del 8.5%. Ejercicio 6.54 Tenemos $ 35 000, y los invertimos en reales por 65 días a una tasa diaria del 0.25%. Si hoy el tipo de cambio es 2.4 reales/$, y se estima que dentro de 95 días el tipo de cambio será 0.28 reales/$. ¿Cuál será el rendimento en pesos de la operación? ¿Cuál es la tasa diaria en pesos? Ejercicio 6.55 Se supone que la tasa de devaluación mensual del euro respecto del dolar será del -1.1%, durante los próximos dos años. Si disponemos de U$S 100 000, y los invertirmos en obligaciones a 9 meses de una empresa, denominadas en euros, las cuales pagan un 1.58% bimestral. ¿Cuál será el montante en dólares? ¿Cuál será la TEA de rendimiento en dólares? Ejercicio 6.56 Supongase que hace 9 meses, ud. diponía de e 10 000, y los invirtio en Argentina (en pesos) a una TNA del 14.6%. Si el tipo de cambio hace nueve meses era 3.95 $=e y hoy es 4.52 $=e. ¿Cuál fue la TNA de rendimiento en euros?. Nota 6.57 Regímenes Cambiarios: se re…ere al modo en que el gobierno de un país maneja su moneda con respecto a las divisas extranjeras y como se regulan las instituciones del mercado de divisas. El régimen cambiario in‡uye decisivamente en el valor del tipo de cambio y en las ‡uctuaciones del mismo. Existes tres regímenes básicos, que se explican a continuación: el tipo de cambio ‡otante (libre o sucia), el tipo de cambio …jo y el régimen de crowling-peg. Tipo de Cambio Flotante: Este régimen suele denominarse también de tipo de cambio libre o ‡exible. Bajo tipo de cambio ‡otante, el tipo de cambio se determina sin intervención del gobierno en el mercado de divisas. Es decir, que el
140
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
tipo de cambio es el resultado de la interacción entre la oferta y la demanda de divisas en el mercado cambiario. En ningún país existe el régimen de ‡otación pura, debido a la gran volatilidad cambiaria y a los efectos en la economía real. Es por esto, que los bancos centrales suelen intervenir en el mercado cambiario para evitar las fuertes ‡uctuaciones del tipo d e cambio. Cuando el Banco Central interviene ofreciendo o demandando divisas, el régimen se denomina de ‡otación sucia. En ese caso, a pesar de que haya un régimen de tipo de cambio libre, en la práctica el valor del tipo de cambio se mantiene estable en el tiempo. Tipo de Cambio Fijo: En este caso, el valor de la moneda se …ja con respecto a otra moneda, a una canasta de monedas, o a otra medida de valor, por ejemplo el oro. En los países latinoamericanos ha sido usual que el tipo de cambio esté …jo con respecto al dólar. Los tipos de cambio …jos son criticados porque, al ser un precio rígido, pueden generar rigideces y desequilibrios en la economía. El tipo de cambio ha sido usualmente utilizado como un ancla nominal. En una economía abierta, los precios de los bienes transables no pueden ser muy diferentes de los precios internacionales de estos bienes. La …jación del tipo de cambio, puede ser útil para disminuir la in‡ación. Esto se ve reforzado debido a que, si existe una fuerte convicción de que el compromiso de mantener el tipo de cambio se va a cumplir, se pueden eliminar las expectativas de devaluación. La experiencia histórica de los países con poca in‡uencia en el mercado internacional de divisas indica que los tipos de cambio …jos funcionan durante un cierto período de tiempo atenuando la in‡ación, pero los desequilibrios que se generan se van acumulando con el tiempo, por lo que la salida del tipo de cambio …jo suele ir acompañada de otros fenómenos, como fuertes depreciaciones de la moneda, pérdidas de depósitos bancarios y salidas de capitales. Estos fenómenos suelen in‡uir negativamente en la tasa de crecimiento (devaluación en México 1994 ( Efecto Tequila), devaluación Argentina en Diciembre de 2001). Crawling Peg: Bajo un sistema de Crowling Peg, el tipo de cambio se ajusta de modo progresivo y controlado de acuerdo a una tasa como la in‡ación o la tasa de interés, o una combinación de las mismas, o bien de acuerdo a un cronograma establecido por el gobierno, como lo fue la famosa “Tablita Cambiaria” en Argentina. La principal característica del Crowling Peg es que el tipo de cambio se ajusta con pequeñas variaciones porcentuales, en vez de hacerlo mediante grandes devaluaciones.
6.5
índice de precios
De…nición 6.58 def de canasta De…nición 6.59 Se llama índice de precios a un indicador que tiene por objeto medir las variaciones, a través del tiempo, en los precios de un conjunto de…nido de bienes y servicios (canasta) a través de un promedio ponderado (o pesado) de los mismos. Cada país tiene un servicio estadístico encargado de elaborar distintos incides de precios. En Argentina, es el INDEC (Instituto Nacional de Estadísticas y Cencos), a través del Centro de Estadísticas e Censos. El INDEC elabora varios índices de precios, entre ellos:
6.5. ÍNDICE DE PRECIOS
141
1. IP C: Índice de Precios al Consumidor. Este índice mide la variación de precios minoristas de un conjunto de bienes y servicios que representan el consumo de hogares representativos de un período especí…co. 2. IP IM : Índice de Precios Internos al por Mayor. Este índice mide la variación promedio de los precios a los cuales el productor, el importador directo o el comerciante mayorista coloca sus productos en el mercado argentino (sin importar el país de origen de los productos) 3. IP BP : Índice de Precios Básicos al Productor. Este índice mide la variación promedio de los precios a los cuales el productor local vende su producción, sin importar a que mercado. 4. IP IB: Índice de Precios Internos Básicos al por Mayor. Este índice es similar al IP IM , sólo que los precios considerados no incluyen el impuesto al valor agregado: IVA, los impuestos a los combustibles e internos. 5. ICC: Índice del Costo de la Construcción. Este índice mide la variación promedio que experiementa el costo de la construcción privada de los edi…cios destinados a vivienda. Para ello mensualmente se valorizan los elementos necesarios para la construcción de modelos de vivienda que se consideran representativos de un período base y una región determinada. Esta información, y mucho más, se puede hallar en la página del INDEC http://www.indec.mecon.ar/ Ejercicio 6.60 Se deja como ejercicio que el lector descargue de la pagina del INDEC la tabla con el IPC histórico. Todo índice de precios mide como evolucionan en promedio los precios de una dada canasta de bienes y/o servicios, pero no cuánto vale dicha canasta. Cuando un índice sube, re‡eja una disminución del poder de compra del dinero en función de los precios medios de la canasta de bienes y servicios en cuestión, cuando baja, re‡eja un aumento del poder de compra del dinero en estos términos. Por eso se elije un período base, generalmente el año que se determina la estructura de ponderaciones del índice, y se le asigna al valor base de 100. Por ejemplo el IPC base 1999=100 mide la evolución de los precios de los bienes y servicios que consumen los hogares residentes en el aglomerado Gran Buenos Aires. El conjunto de bienes y servicios cuyos precios son recopilados para el cálculo del IPC constituye la canasta del índice, que es representativa de los gastos de consumo de los hogares residentes en la Ciudad de Buenos Aires y en 24 partidos del Gran Buenos Aires (GBA). El IPC no considera todos los gastos de los consumidores que tienen que ver con el mantenimiento de su nivel de vida. Excluye, por ejemplo, los pagos de intereses y amortizaciones de préstamos, y los impuestos no incluidos en los precios de los bienes. Con el transcurso del tiempo, el conjunto de bienes y servicios considerados en los índices de precios pueden ir perdiendo representatividad. Los hogares van cambiando su estructura de consumo: dejan de consumir determinados bienes o servicios o los reemplazan por otros; los productores van modi…cando los tipos de bienes que ofrecen; cambian las características de las viviendas que se construyen y en las técnicas empleadas en la construcción de las mismas, ect. Por estos
142
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
cambios los índices van perdiendo su capacidad para representar la realidad y se vuelve necesario modi…car su base. Por ejemplo el IPC base 1974=100 consideraba sólo los hogares residentes en el GBA cuyo tamaño oscilaba entre 2 y 7 miembros, que percibieran un ingreso familiar entre $ 250 y $ 2 500 (pesos ley 18.188 de 1970) y cuyo jefe de hogar fuera una asalariado de la industria o el comercio. Con el transcurso del tiempo, esa población dejó de ser representativa del conjunto de los hogares del GBA: hacia 1980, sólo el 20% de los hogares del GBA reunía esas características. Por eso en la revisión de 1988 del IPC la población de referencia fue ampliada para incluir los hogares de 2 o más miembros, sin importar su nivel de ingresos, ni el per…l del jefe del hogar. El IPC se empezó a elaborar en 1914, y su base de cálculo fue actualizada 7 veces desde entonces (1914, 1943, 1960, 1974, 1988, 1999 y 2008). Un índice de precios puede ser usado para calcular la in‡ación o de‡ación de un período de tiempo, y el valor real de un monto nominal a un momento dado para un sector determinado de la economía. De…nición 6.61 DEFINICION DE INFLACION Ejemplo 6.62 Calcular la in‡ación del mes de enero de 2008. Para hallar in‡ación de un mes dado, calculamos la tasa de variación entre IPC de mes anterior, y el IPC del mes en cuestión: 2002
enero diciembre IP C2008 IP C2007 diciembre IP C2007 204:37 202:49 = 202:49 = 0:00922844
=
Una in‡ación del 0.922844% (¿!). Esto quiere decir en promedio los bienes y servicios aumentaron casi un 1% en enero de 2008, esto no implica que no haya productos que aumentaron más y otros que aumentaron menos. Ejercicio 6.63 Completar la siguiente tabla con la in‡ación mensual de 20XX 20__ 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
tasa de in‡ación
Ejemplo 6.64 Calcular la in‡ación anual para el consumidor promedio durante el año 2002.
6.5. ÍNDICE DE PRECIOS
143
Para hallar in‡ación de un año, calculamos la tasa de variación entre IPC de diciembre el año anterior, y el IPC de diciembre año en cuestión:
2002
= = =
diciembre diciembre IP C2002 IP C2001 diciembre IP C2001 137:57 97:60 97:60 0:40953
La in‡ación del 2002 fue casi un 41%. Ejercicio 6.65 Completar la siguiente tabla con la in‡ación anual de 1997 a 2009. De una estimación (personal) para la in‡ación de 2010
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)
Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
tasa de in‡ación
Ejemplo 6.66 Calcular la in‡ación anual para la construcción durante el año 2002. Para hallar in‡ación de un año, calculamos la tasa de variación entre ICC de diciembre el año anterior, y el ICC de diciembre año en cuestión: construcción 2002
= = =
diciem bre diciem bre ICC2002 ICC2001 diciem bre ICC2001 134:2 95 95 0:41263
Por lo que la in‡ación para la construcción fue ligeramente superior a la in‡ación para el consumidor medio. Ejemplo 6.67 Hallar la in‡ación total desde mayo de 2003 hasta marzo de 2004. Para hallar in‡ación de un período de tiempo dado, calculamos la tasa de variación entre IPC de mes anterior al inicio del período, y el IPC del último
144
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
mes del período de tiempo en cuestión: m ayo de 2003 a m arzo de 2004
= = =
m arzo abril IP C2004 IP C2003 abril IP C2003 144:20 141:07 141:07 0:022188
Ejercicio 6.68 Calcular la in‡ación del mes de octubre de 2001. Ejercicio 6.69 Calcular la in‡ación del mes de junio de 2006. Ejercicio 6.70 Hallar la in‡ación total desde julio de 2000 hasta septiembre de 2005. Ejercicio 6.71 Hallar la in‡ación total desde agosto de 2004 hasta enero de2006. Ejercicio 6.72 Si la in‡ación del més de febrero de 2008 fue del 0.9% ¿Cuanto febrero vale el IP C2008 ?. Al tener en cuenta la in‡ación se suele hablar de valores nominales y valores reales. De…nición 6.73 Un valor nominal es una cantidad dada de dinero a una fecha determinada. Por ejemplo $ 500 pesos hoy, $ 100 000 el 16 de ocubre de 1995, etc. De…nición 6.74 Dada una canasta de bienes y servicios, cada valor nominal tiene asociado un valor real igual a la cantidad de canastas que se pueden adquirir con el nominal dado. Ejemplo 6.75 En enero de 1996 ganaba $ 860, en enero de 2008 gané $ 2 750. En principio parece que en enero de 2008 estoy ganando tres veces más. ¿Es esto correcto?. En términos nominales si, pero en términos reales, i.e., en términos de la cantidad de bienes y servicios que puedo adquirir, el razonamiento anterior es completamente erróneo. Para analizar el poder adquisitivo de un valor nominal en el tiempo, hay que considerar cuantas canastas de bienes se pueden adquirir con ese nominal en el momento en cuestión: enero En enero de 1996 gané $ 860 y cada canasta costaba IP C1996 = 100:9494. Por lo que podía adquirir 860 = 8:5191 canastas. 100:9494 Es decir: $ 860 en enero de 1996 tenían un valor real de 8:5191 canastas. enero En enero de 2008 gané $ 2 750 y cada canasta costaba IP C2008 = 204:37. Por lo que podía adquirir 2750 = 13:456 canastas. 204:37
6.5. ÍNDICE DE PRECIOS
145
Es decir: $ 2 750 en enero de 2008 tenían un valor real de 13:456 canastas. Por lo que en términos reales, en enero de 2008 podía consumir casi un 60% más que en enero de 1996, y no tres veces más (200%). Es decir, estoy mejor, pero no tanto como se podía creer en un principio. Por lo tanto cuando hablemos de términos reales, debemos pensar en la cantidad de canastas que podemos adquirir. Para realizar una analisis dimensional debemos considerar que el IPC tiene como unidades $ canastas Los IPC sirven para mover en el tiempo el poder adquisitivo real de un nominal de dinero. Ejemplo 6.76 En julio de 2001, ganabamos $ 1 500 por mes. Suponiendo que nuestros ingresos se mantienen constantes en términos reales, cuanto ganabamos en octubre de 2007. De nuevo la solución pasa por hallar el número de canastas. En julio de 2001, ganabamos $ 1 500, y una canasta de bienes “costaba” julio IP C2001 = 98:86
Por lo que podía adquirir 1500 = 15:173 canastas 98:86 Ahora, en octubre de 2007 cada canasta costaba o ctubre IP C2007 = 198:93
Mantener costante los ingresos en términos reales, signi…ca que debo ser capaz de adquirir la misma cantidad de canastas. Por lo que en octubre de 2007 debo ganar 15:173 198:93 = 3018:4 pesos Ejercicio 6.77 En febrero de 2003, pague $ 2 por un café con medialunas en el bu¤ et de la Universidad. ¿Cuánto debería costar aproximadamente ese mismo café con medialunas en octubre de 2007? Ejemplo 6.78 El 15 de agosto de 2007 compramos una heladera por $ 2 100, cuanto hubieramos pagado (aproximadamente) en febrero de 2003 por la misma heladera (suponiendo que los precios de los electrodomésticos evolucionaron al ritmo del IPC). Simplemente debemos ver cuantas canastas son equivalentes al precio de la heladera. En agosto de 2007 una canasta costaba agosto IP C2007 = 196:01
Por lo tanto el costo de la heladera era equivalente a 2100 = 10:714 canastas. 196:01
146
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Por lo tanto hacen falta 10.714 canastas para comprar la heladera, i.e., esta heladera cuesta en términos reales 10.714 canastas, cualquiera sea el momento del tiempo. Como en febrero de 2003 cada canasta costaba febrero IP C2006 = 172:80
En febrero de 2003 habríamos necesitado aproximadamente 10:714 172:80 = 1851:40 pesos para comprar la misma heladera. Ejercicio 6.79 En julio de 2007 compré mi primer auto (0 Km) por $ 42 700. ¿Cuánto hubiera pagado (aproximadamente) en agosto de 2002 por un auto similar? Ejercicio 6.80 Al pedir préstados $ 2 500 el 1ero. de enero de 2002, nos comprometimos a devolver el montante más unos intereses reales de 8% anual. ¿Cuánto debemos devolver el 1ero. de enero de 2004? Ejercicio 6.81 Nuestra madre nos prestó a principio de julio de 2003 $ 20 000, a principios de abril de 2005 le devolvemos a nuestra santa madre los $20 000 que gentilmente nos présto. ¿Cuánto deberíamos haberle devuelto por lo menos a la pobre santa? Ejercicio 6.82 Continuación del ejercicio (6.95) de la sección anterior: 1. Calcule la in‡ación entre marzo de 2001 y abril de 2008. 2. ¿Cuál fue el porcentaje nominal de aumento de su sueldo? 3. Dar la TEM nominal de aumento de su sueldo. 4. Si en abril de 2008 Ud. ganó $ 2 130, ¿Cuál fue su sueldo en marzo de 2001?
6.6
In‡ación
Suponga cuando cumplio 20 años, su padre le regala $ 1000 en bonos del estado que pagan un 13% anual y vencen en 45 años. Si bien ahora ud. no puede usar el dinero, cuando venzan, los bonos rendiran $ 244 641.40 pues 45
1000 (1 + 0:13)
= 244641:4019 ,
La mala noticia es que todo costará mucho más caro. Por ejemplo, si los precios de los bienes y servicios suben también a un 13% anual cuando ud. tenga 65 años, i.e., 45 años después de recibir los bonos, podrá comprar "lo mismo"que podía comprar con $ 1000 cuando tenía 20 años. En esta situación se dice que un sentido “real”, no se ha ganado ningún interés. El ejemplo anterior muestra que si deseamos tomar decisiones …nancieramente adecuadas a largo plazo, debemos tener en cuenta la in‡ación, y no sólo los intereses. De…namos pues, que entenderemos por in‡ación
6.6. INFLACIÓN
147
De…nición 6.83 Llamaremos in‡ación a la tasa con que varía el nivel de precios de una canasta dada de bienes y servicios de una economía a lo largo de un período de tiempo determinado. Una tasa de in‡ación p-períodica será denotada (p)
:
Observe que esta de…nición de tasa de in‡ación es un poco más amplia que la habitual: aumento porcentual del nivel de precios en un período dado de tiempo. En el caso de ser positiva nuestra tasa de in‡ación, ambas nociones coinciden. Pero nuestra in‡ación puede ser negativa, es lo que se conoce como de‡ación: reducción porcentual del nivel de precios. Al tener en cuenta la in‡ación se suele hablar de tasas nominales y tasas reales. La tasa de interés nominal es la tasa efectiva denominada en pesos, o cualquier otra moneda. El aumento del poder adquisitivo es la tasa de interés real. Usaremos i para denotar tasas nominales y r para denotar tasas reales. Nota 6.84 En esta sección la término nominal tiene un sentido diferente del usado anteriormente. Para evitar confusiones recalcamos que todas las tasas usadas serán efectivas. Ejemplo 6.85 Suponga que dispone de $ 1 000 hoy, y que además la canasta de bienes y servicios básica cuesta hoy $ 245. Si el banco le paga una TEA del 9.5% (una tasa nominal) y in‡ación esperada del 6.1% anual. ¿Cuál es el rendimiento real a un año que le ofrece el banco? Hoy tiene $ 1000, y como la canasta de bienes y servicios hoy cuesta $ 245, hoy su poder adquisitivo real es de 1000 = 4:0816 245 canastas de bienes y servicios. Al cabo de un año sus $ 1 000 se transforman en $1 095 pues 1000 (1 + 0:095) = 1095: Mientras que una canasta de bienes y servicios pasa a costar 245 (1 + 0:061) = 259:95; Por lo que su poder adquisitivo al cabo de un año es 1095 = 4:2123 259:95 Luego la tasa de interés real es la que convierte nuestro poder adquisitivo de 4:0816 canastas en 4:2123 canastas al cabo de un año: 4:0816 (1 + r) r r
=
4:2123 4:2123 = 1 4:0816 = 0:032022
La tasa real es del 3:2022% anual, y no del 3:4% = 9:5% haber supuesto.
3:1%, como se podría
148
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Volvamos a plantear el problema anterior en términos generales: al comienzo de un período de t años, se dispone de una cantidad C de dinero y el costo de la canasta de bienes y servicios básicos es b, si nos pagan una tasa nominal i(p) y la in‡ación esta dada por una tasa (p) , tenemos que la tasa real r(p) es la que tranforma el poder aquisitivo al inicio del período en el poder adquisitivo al …nal del mismo pt pt C 1 + r(p) C (p) 1+r = pt b b 1 + (p) Simpli…cando y reordenando llegamos a famosa fórmula de Fisher 1 + r(k)
1+
(k)
= 1 + i(k) :
(6.8)
O despejando la tasa real (k) i(k) : (6.9) 1 + (k) La fórmula de Fisher es independiente del período de tiempo considerado, el monto disponible C y el precio b de la canasta de bienes y servicios básicos.
r(k) =
Nota 6.86 De la forma despejada de la fórmula de Fisher se puede ver que cuando la tasa de in‡ación es baja, la diferencia entre la tasa nominal y la tasa de in‡ación da una buena aproximación para la tasa real. Ejemplo 6.87 ¿Cuál es la tasa de interés real anual si la tasa nominal es una TEA del 12.9% y la tasa de in‡ación es del 7.3% al año? Usando la fórmula de Fisher: (1 + r) (1 + 0:073) = 1 + 0:129; de donde r
1 + 0:129 1 + 0:073 = 0:05219 =
1
Ejemplo 6.88 El Sr. Elias cobrará una beca de $ 10 000 dentro de 6 meses. Si la in‡ación mensual estimada es del 1.7 % mensual. ¿Cuál es el valor al día de hoy de esos $ 10 000 dentro de 6 meses? Llamemos p0 al precio de la canasta de bienes y servicios al día de hoy. El precio de la canasta de bienes y servicios dentro de 6 meses será 6
p6 = p0 (1 + 0:017)
Con $ 10 000 podemos comprar dentro de 6 meses la siguiente cantidad de canastas: $10000 $10000 = 6 p6 p0 (1 + 0:017) Para comprar hoy la misma cantidad de canastas necesitamos una cantidad x de dinero tal que x 10000 = 6 p0 p0 (1 + 0:017)
6.6. INFLACIÓN
149
de donde concluimos que x=
10000 6
(1 + 0:017)
El ejemplo anterior nos dice que si queremos saber el valor al día de hoy de una cantidad futura de dinero, debemos actualizarlos a la tasa de in‡ación dada. En general, dada una tasa de in‡ación p-períodica (p) , el valor al día de hoy de un capital C disponible dentro de t años es C 1+
(p) pt
(6.10)
Ejercicio 6.89 ¿Cuál es la tasa de interés real mensual si la tasa nominal es una TEM del 1.9% y la tasa de in‡ación mensual es 1.4%? Ejercicio 6.90 ¿Cuál es la tasa de interés real anual si la tasa nominal es una TEM del 0.9% y la tasa de in‡ación mensual es 1.2%? Ejercicio 6.91 ¿Cuál es la tasa de interés real anual si la tasa nominal es una tasa efectiva trimestral del 10% y la tasa de in‡ación diaria es del 0.04%? Ejercicio 6.92 Si un banco nos paga una TEA del 25.5% y la inversión rinde en términos reales sólo un 5.6% al año, ¿Cuál es la tasa anual de in‡ación? Ejercicio 6.93 Al sacar un préstamo, el banco A nos cobra una TEM …ja del 2.3%, mientras que el banco B, nos cobra una tasa efectiva mesual variable: (12) + 0:011. Se pide decidir donde conviene obtener un crédito si 1. La in‡ación anual se estima en 8%. 2. La in‡ación anual se estima en un 21%. 3. Hallar la tasa de in‡ación de equilibrio: la tasa de in‡ación esperada que nos hace indiferentes entre el banco A y el banco B. Ejercicio 6.94 En la siguiente tabla se da la tasa de in‡ación mes a mes de un año dado Mes Tasa 1) Enero 1.1% 2) Febrero 2.3% 3) Marzo 0.7% 4) Abril 0.5% 5) Mayo 0.8% 6) Junio 0.95% 7) Julio 1.2% 8) Agosto 1.4% 9) Septiembre 1.7% 10) Octubre 1.6% 11) Noviembre 2.1% 12) Diciembre 2.5% Se pide 1. Hallar la tasa de in‡ación anual y la mesual equivalente a esta.
150
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
2. Hallar la tasa de in‡ación mensual promedio. Comparar con la tasa mesual hayada en el item anterior. 3. Si un banco paga un 2.5% mensual, cual es la tasa real que paga el banco cada mes. 4. Calcular el rendimiento nominal y real de colocar $ 5 000 en dicho banco desde el 1ero de enero hasta el 31 de agosto. 5. Si un televisor costó $ 1 870 en Noviembre, ¿Cuánto costaba en abril? 6. En enero un obrero cobraba $ 750 al mes, si en diciembre este mismo obrero cobraba $ 875. ¿En términos reales esta mejor o peor?. Dar el tasa de variación real del sueldo del obrero. 7. Si deseamos obtener una retabilidad real del 8% anual, de cuanto debe ser la tasa anual nominal de rendimiento de una inversión. 8. Otro banco se compromete brindar una rentabilidad real de 1.5% mensual. ¿Cuáles son las tasas mensuales que ofrece?. Dar la TEA real que ofrece el banco. 9. En que banco conviene invertir nuestros ahorros cada mes, ¿y de manera anual? 10. Ud en enero de este saco un préstamo de $ 10 000. Le cobran un 12% anual y debe devolver el nominal más los intereses en enero del año siguiente. ¿Cuál fue la tasa real del préstamo? Ejercicio 6.95 En marzo de 2001 su sueldo mensual le alcanzaba para comprar 1 Televisor y medio. En Abril de 2008 su sueldo le alcanza para comprar 2.1 Televisores. 1. ¿Cuál fue el porcetaje de aumento de su sueldo?. 2. Suponiendo que su sueldo aumentó un porcentaje …jo cada mes, ¿Cuál fue la TEM de aumento? 3. ¿Las tasas anteriores son reales o nominales? Nota 6.96 La in‡ación (positiva) tiene causas muy complejas y variadas de acuerdo con las políticas económicas implementadas en cada país. Sin embargo un fénomeno común a todos los procesos in‡acionarios es un aumento del circulante (monedas y billetes) sin el aumento equivalente en la producción de bienes y servicios. Cuando aumenta el circulante, la gente tiene más dinero en sus bolsillos para gastar, lo que aumenta la demanda de bienes y servicios en general, si esto no se corresponde con un aumento de la oferta, los precios inevitablemente suben. La de‡ación (in‡ación negativa), es un fenónemo menos habitual. La última de‡ación en USA se dio en 1955 y en Argentina hubo de‡ación en 1999 ( 1:810449933%), en 2000 ( 0:7337073802%), y en 2001 ( 1:543427822%). Las de‡aciones prolongadas (uno o más años) son síntoma de períodos de contracción econónica (depresión).
6.7. COMPOSICIÓN DE TASA EN EL SISTEMA CONTINUO
6.7
151
Composición de tasa en el sistema continuo
Dadas un grupo n de tasas nominales (positiva o negativa) J1 ; J2 ; : : : ; Jn de aplicación simultánea, cuyas tasas efectivas p-períodicas asociadas son Jk pk
(p)
ik = (p)
(p)
(p)
El error que cometemos al usar i1 + i2 + al aumentar la frecuencia de capitalización: (p)
(p)
+ in intuitivamente disminuye
+ i(p) n
i1 + i2 +
a la tasa real
si p es grande. Dadas n tasas nominales J1 ; : : : ; Jn de aplicación simultánea sobre un capital C0 por unos t años. Consideremos como evoluciona nuestra aproximación C0 1 +
J1 + p
+
Jn p
pt
a medida que aumentamos la frecuencia de capitalización: lim C0 1 +
p!1
J1 + p
+
pt
Jn p
=
J1 +
lim C0 1 +
= C0 e
pt
p
p!1
(J1 +
+ Jn
+Jn )t
Poner dibujo!!!! Esto sugiere que en capitalización continua la aplicación de simultánea de dos o más tasas equivale a sumar las mismas: Dadas n tasas nominales continuas J1 ; : : : ; Jn todas de aplicación simultánea sobre un capital C0 , el capital total acumulado al cabo de t años es Ct = C0 e(J1 +
+Jn )t
Esta nos permite demostrar formalmente la fórmula (6.1). Dado un grupo (p) (p) (p) de n tasas efectivas p-períodicas i1 ; i2 ; : : : ; in que actúen simultáneamente sobre un capital C0 . El capital Ct acumulado al cabo de t años se puede obtener, al plantear la situación en capitalización compuesta. Para hacer esto convertimos las tasas efectivas compuestas en tasas nominales continuas equivalentes: (p)
1 + ik
p
= eJk
de donde (p)
para k 2 f1; : : : ; ng
p
Jk = ln 1 + ik
para k 2 f1; : : : ; ng
Luego Ct
= C0 e(J1 +
+Jn )t (p)
= C0 e
ln 1+i1
(p)
= C0 1 + i1
p
pt
+
p
+ln(1+i(p) n )
1 + i(p) n
t
pt
Poner ejercicios!!!!! al menos unos 4 o 5.
152
CAPÍTULO 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Capítulo 7
Rentas 7.1
Rentas generales
A lo largo del resto del libro utilizaremos capitalización compuesta como ley …nanciera por defecto, salvo que explícitamente se diga lo contrario. Esto se corresponde con el uso predominante del sistema compuesto como ley …nanciera en Argentina. El siguiente ejemplo muestra la situación típica que deseamos analizar ahora Ejemplo 7.1 Se obtiene de un banco un préstamo por $ 125.000 a pagar en 10 años, en cuotas mesuales consecutivas e iguales, pagando la primera dentro de un mes. Si el banco nos cobra una TEM del 0,34%, ¿cuál es el monto de la cuota mensual que debemos pagar? actualización
(hoy)
C
C
C
C
C
C
0
1
2
3
118
119
120
$125000 En todo préstamo lo que debemos pagar debe ser …nancieramente equivalente al desembolso del préstamo (a la tasa pactada). Para hallar el monto que se debe pagar al banco cada mes es conveniente plantear la correspondiente equivalencia …nanciera. Trabajaremos con capitalización compuesta, y como da lo mismo usar una u otra fecha focal, usaremos el origen como tal: 125:000 =
C C + + (1 + 0; 0034) (1 + 0; 0034)2
+
C 120
(1 + 0; 0034)
De donde podemos despejar C C=
125:000 1 1 + + (1 + 0; 0034) (1 + 0; 0034)2 153
+
1 120
(1 + 0; 0034)
154
CAPÍTULO 7. RENTAS
Es claro que sería muy útil disponer de una fórmula para calcular 1 1 + + (1 + 0; 0034) (1 + 0; 0034)2
+
1 120
(1 + 0; 0034)
(que no sea realizar los 120 cocientes y luego sumarlos). La situación del ejemplo anterior, con alguna variación, es su…cientemente frecuente en la actividad económica (sueldos, alquileres, seguros, préstamos, servicios, etc.) como para desarrollar fórmulas adecuadas para el manejo de sucesiones de capitales disponibles a lo largo del tiempo. De…nición 7.2 Llamaremos renta (…nita) a toda sucesión de n capitales C1 ; C2 ; : : : ; Cn , llamados términos, disponibles a los momentos t1 < t2 < < tn (estamos asumiendo que n es un entero positivo). De una renta típicamente nos interesa calcular V A (to ), su valor actual a un momento to dado, y V F (tf ), su valor …nal a un momento tf dado, con to
V A (to )
to
t1 <
< tn
tf
Actualización
C1
C2
C3
Cn 1Cn
t1
t2
t3
tn
1
tn
Capitalización
tf
V F (tf )
Dada una tasa de interés p-períodica i(p) , el valor actual (al momento to ) de una renta consistente de n capitales C1 ; C2 ; : : : ; Cn disponibles a los momentos t1 < t2 < < tn (usando p-períodos para medir el tiempo), es igual a la suma de los valores actuales al momento to de cada uno de los términos que componen la renta
V A (to )
= = =
n X
k=1 n X k=1 n X k=1
Ya que todas las diferencias to
Ck 1 + i(p)
1+
to tk
Ck jto tk j (p) i Ck
1 + i(p)
tk to
tk , con k 2 f1; : : : ; ng, no positivas.
(7.1)
7.1. RENTAS GENERALES
155
Similamente, el valor …nal de la renta al momento tf es igual a la suma de los valores (capitalizados) al momento tf de cada uno de los términos de la renta V F (tf ) =
n X
Ck 1 + i(p)
tf
tk
(7.2)
k=1
en este caso todas las diferencias tf tk , con k 2 f1; : : : ; ng, son no negativas. Al capitalizar el valor actual V A (to ) de la renta al momento to durante tf to p-períodos a la tasa p-períodica i(p) obtenemos el valor …nal V F (tf ) de la renta ! n X tf to to tk tf to (p) (p) V A (to ) 1 + i = Ck 1 + i 1 + i(p) k=1
= =
n X
k=1 n X
Ck 1 + i(p) Ck 1 + i(p)
to tk
tf
1 + i(p)
tf
to
tk
k=1
= V F (tf ) Similarmente, si actualizamos V F (tf ) unos tf V F (tf ) 1 + i(p)
tf
to p-períodos tenemos
= V A (to )
to
Esto nos dice que si hallamos una expresión para el valor actual de una renta, automáticamente diponemos de una expresión para el valor …nal de la misma y viceversa. Nota 7.3 Una notación más precisa sería (p)
V A to ; t1 ; : : : ; tn ; C1 ; : : : ; Cn ; n; i
=
n X
Ck 1 + i(p)
to tk
k=1
pero en general, como los valores de t1 ; : : : ; tn ; C1 ; : : : ; Cn ; n; i(p) serán claros del contexto preferimos usar simplemente V A (to ) o inclusive sólo V A (si también es claro del contexto el valor de to ). Es claro que para encontrar fórmulas que simpli…quen el cálculo de (7.1) y (7.2), tanto la sucesión de capitales como la sucesión de momentos deben poseer ambas cierta regularidad. La regularidad en la sucesión de momentos se consigue al imponer que la distancia temporal entre dos términos consecutivos (entre los momentos a los que se imponen los mismos) se mantenga constante a lo largo de la renta: tk+1
tk = cte para 1
k
n
1:
En la mayoría de los casos esta distancia temporal será un mes, pero puede ser una cantidad cualquiera, pero …ja, de p-períodos (por ejemplo 15 días, mes y medio, un trimestre, etc.) donde p esta dado por la frecuencia de capitalización de la tasa efectiva i(p) que actua sobre la renta. Con respecto a la regularidad sobre los montos de los términos, estudiaremos cuatro casos: constantes, variables en progresión aritmética, variables en progresión geométrica y algunas otras variaciones regulares.
156
7.2
CAPÍTULO 7. RENTAS
Rentas constantes
Consideremos una renta de n términos a una tasa p-períodica i(p) . Analizaremos el caso donde todos los términos (capitales) de la renta son iguales C1 = C2 =
= Cn = C
de ahi el nombre de rentas constantes. Con esta regularidad (7.1) se puede reescribir V A (to ) = C
n X
(p)
1+i
to tk
=C
k=1
n X
k=1
1 1+
t to i(p) k
(7.3)
Si consideremos que la sucesión temporal de las imposiciones tiene un paso constante unitario de un p-período (por ejemplo, si la tasa es mensual, tenemos una sucesión de meses) tk+1
tk = 1 p-período, para 1
k
n
n
1
1
o lo que es lo mismo tk = t1 + (k
1) para 1
k
Luego la ecuación (7.3) toma la forma V A (to )
= C = C = C
n X
1 + i(p)
k=1 n X
1 + i(p)
k=1
1 + i(p)
k=1 n X
to tk
to t1 k+1
1 t1 +k to 1
(7.4)
(Recordar que to está medido en p-períodos).
Poner dibujo!!!!!!!!!!!! 7.3
Rentas vencidas o pospagables
El modelo de rentas que vamos a estudiar ahora se corresponde perfectamente con situaciones tales como el cobro de un sueldo, o el pago de algunos servicios (luz, gas, etc.). Primero se trabaja o brinda el servicio, y luego se realizan las imposiciones correspondientes (pagos o cobros). Es decir, las imposiciones se hacen al …nal del cada período. Por este motivo estas rentas reciben el nombre de rentas vencidas o pospagables (En Argentina y Latinoamérica en general se habla de rentas vencidas, en España de rentas pospagables). El valor actual corresponde calcularlo un período de tiempo antes de la imposición del primer capital: to = t1
1
7.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES
157
Esto es claro a partir del ejemplo del cobro de un sueldo: uno comienza a trabajar en el momento to y recién recibe el primer pago en el momento t1 = t o + 1 El compromiso asumido en la operación …nanciera comienza en to . El valor …nal, por otro lado, corresponde calcularlo al mismo momento de la imposición del último capital, ya que en ese momento términa el compromiso asumido: tf = t n Comenzaremos analizando la situación to = 0 y por lo tanto t1 = 1; t2 = 2; : : : ; tn = n V A(to )
Actualización a la tasa i(q)
C t0 t1 Un q-período
C
C
C
t2 t3 Un q-período
tn
C 2
tn
C 1
tn
modi…car dibujo... p-periodos, poner inicio de operación, …nal de la operación, y valor …nal En este caso la ecuación (7.4) toma la forma V A (0) = C
n X
k=1
1 1 + i(p)
k
:
Ahora todo el problema se reduce a encontrar un fórmula cerrada para la expresión n X 1 : (7.5) (p) k k=1 1 + i Usando el hecho que (7.5) es una serie geométrica, por (2.6) n X
k=1
1 1 + i(p)
k
=
=
=
n X1 1 1 1 + i(p) k=0 1 + i(p) k 1 1 n 1 + i(p) 1 1 1 + i(p) 1 1 + i(p)
1
1 + i(p) i(p)
n
Ahora podemos dar la fórmula para calcular el valor actual de una renta constante vencida (o pospagable) de n términos de monto C a una tasa i(p) que
158
CAPÍTULO 7. RENTAS
comienza en el momento 0 y términa en el momento n: V A (0) = C
1 + i(p) i(p)
1
n
(7.6)
A partir de (7.6) podemos obtener, como ya señalamos, una expresión para el valor …nal de una renta vencida al momento tf = tn = n V F (n) = V A (0) 1 + i(p)
n
=C
1 + i(p) i(p)
n
1
(7.7)
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!! Nota 7.4 Se debe notar que la ultima fórmula se puede deducir a partir de la teoría de relaciones recursivas. Consideremos una renta de n términos constantes de monto C a una tasa p-períodica i(p) , impuestos consecutivamente con un paso temporal de un p-período. Sea V F (k) valor “…nal” acumulado de la renta después de imponer el k-ésimo término (con k 2 f1; : : : ; ng)
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!
Es claro que el valor …nal (k + 1)-ésimo es igual al valor …nal k-ésimo, más los intereses generados, más el término (k + 1)-ésimo de la renta V F (k + 1) = V F (k) 1 + i(p) + C La solución de esta relación recursiva es V F (k)
k
= h0 (1 + k) + C
1 1
1 + i(p) 1 + i(p)
1 + i(p) = h0 (1 + k) + C i(p)
k
k
1
k
donde h0 es una constante que podemos ajustar usando alguna condición inicial. En nuestro caso es claro que V F (1) = C luego C
= V F (1) 1
= h0 (1 + k) + C
1 + i(p) i(p)
1
1
= h0 1 + i(p) + C lo que implica que h0 = 0. Luego V F (k) = C
1 + i(p) i(p)
k
1
para k
1
Otra condición inicial adecuada resulta del hecho que V F (0) = 0 (no se ha realizado ninguna imposición al momento cero).
7.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES
159
En los problemas de rentas típicamente aparecen 4 variables C; i(p) ; n y V A o V F según el caso. El problema tipo es dadas tres de ellas calcular el valor de la cuarta. Después de un momento de re‡exión (y tal vez una cuantas pruebas) vemos que si n > 5, en general, es imposible despejar i(p) de la fórmula (7.6) o la fórmula (7.7). Esto implica el uso de métodos númericos para hallar la tasa i(p) aplicada en una renta dada. Más adelante daremos una breve introducción a los métodos numéricos de Newton-Raphson y de la secante, pero desde ya queremos dejar asentado que no nos openemos al uso de soft especí…co (Maple, Matlab, Exel, Derive, etc.) o al uso de calculadoras …nancieras o cientí…cas para hallar la tasa asociada a un esquema de renta. Ejemplo 7.5 Terminemos de resolver el ejemplo (7.1) Todos los meses, por los próximos 10 años, debemos pagar $ 1.270,32 pues C
=
=
=
125:000 1 1 + + (1 + 0; 0034) (1 + 0; 0034)2 125:000 1
(1 + 0; 0034) 0; 0034 1:270; 32
+
1 120
(1 + 0; 0034)
120
Ejemplo 7.6 Un programa de televisión anuncia un premio $ 300.000, consistente un sueldo …jo a mes vencido de $ 2.500 mensuales durante 10 años. ¿Realmente el premio consiste de $ 300.000?. Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0,85% mensual, que pre…ere, el esquema de sueldos o $ 200.000 en efectivo (en caso de ganar el concurso correspondiente). Todo lo que necesitamos saber es el valor actual de este esquema de pagos a la tasa que ud. puede conseguir: V A(hoy) = 2:500
1
(1 + 0; 0085) 0; 0085
120
= 187:602; 16
Esto nos dice que el premio de “$ 300.000”en realidad hoy vale $ 187.602,16, y por lo tanto si hoy nos ofrecen $ 200.000 en efectivo deberíamos aceptarlos (esta oferta es aún más conveniente si incluimos en el análisis la in‡ación esperada). Ejemplo 7.7 Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85% mensual, ¿Cuál es el monto que puede retirar del banco mes a mes por los próximos 10 años?
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Ahora, lo que conocemos es el valor actual de una renta (vencida) constante mensual de 120 términos y deseamos saber el importe C de los términos. A partir de V A (0) = C
1
1 + i(p) i(p)
n
160
CAPÍTULO 7. RENTAS
podemos despejar fácilmente C: V A (0) i(p)
C= 1
1 + i(p)
(7.8)
n
En particular C=
200:000 0:0085 1
(1 + 0:0085)
120
= 2665:21458
Ejemplo 7.8 Si ud toma los $ 200.000 del premio los depósita al 0,85% mensual, ¿Durante cuánto tiempo podrá extraer mensualmente $ 2.500?
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! En este caso, de la expresión V A (0) i(p)
C= 1
1 + i(p)
n
deseamos hallar n. Primero acomodamos un poco las cosas de manera tal que podamos aplicar logaritmos (este es el procedimiento usual para despejar alguna variable que aparece en un exponente)
log C
n
C
V A (0) i(p)
= C 1 + i(p)
C
V A (0) i(p) C
=
1 + i(p)
=
n log 1 + i(p)
V A (0) i(p)
log C
n
de donde obtenemos n=
log C
log C V A (0) i(p) log 1 + i(p)
(7.9)
En particular n=
log 2:500
log (2:500 200:000 0; 0085) = 134:62001 log (1 + 0; 0085)
Por lo que podriamos retirar $ 2.500 por 134 meses (11 años y dos meses), y al …nalizar aún nos sobraría un poco de dinero en la cuenta (¿Cuánto?). Ejemplo 7.9 Don Máximo puede ahorrar al …nal de cada mes entre 700 y 800 pesos. La tasa que puede conseguir es del 0,75% mensual. ¿Cuál es el monto acumulado del que dispondrá Don Máximo al cabo de 5 años?
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!! En este caso debemos hallar el valor …nal de una renta. Como no sabemos exactamente cuanto depositará Don Máximo al …nal de cada mes (pueden ser $ 700, o $ 754, o $ 800), calcularemos dos valores …nales, uno suponiendo que mes a mes deposita $ 700 y el otro suponiendo que mes a mes deposita $ 800. El
7.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES
161
capital acumulado por Don Máximo estará entre estos dos valores. Comencemos con la renta de $ 700: 60
V F (60) = 700
(1 + 0:0075) 0:0075
1
= 700 75; 4241369253 = 52:796; 89585
Ahora calculemos el valor …nal de la renta de $ 800 60
V F (60) = 800
(1 + 0:0075) 0:0075
1
= 800 75; 4241369253 = 63:339; 30954
Es decir, Don Máximo dispondrá al cabo de 5 años de un capital entre $ 52.796,90 y $ 63.339.31. Nota 7.10 El ejemplo anterior muestra porque los factores 1
1 + i(p) i(p)
n
1 + i(p) i(p)
y
n
1
suelen ser llamados multiplicadores. Ellos dan el valor actual (al momento 0) y el valor …nal (al momento n), respectivamente, de una renta unitaria (C = $ 1), de n términos consecutivos con paso unitario p-períodico (iniciada al momento 1 y …nalizada al momento n) a una tasa p-períodica i(p)
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! El nombre de multiplicador proviene del siguiente hecho obvio: el valor actual y el valor …nal de cualquier renta constante de término C (de n términos consecutivos con paso unitario p-períodico, iniciada al momento 1 y …nalizada al momento n; a una tasa p-períodica i(p) ) se calcula mutiplicado C por el correspondiente multiplicador. Ejemplo 7.11 Ud desea comprarse un LED de 64”. Cuanto debe ahorrar (al menos) mes a mes durante los próximos 3 años si el LED cuesta unos $ 26.000, y la tasa que ud puede conseguir es del 0,4% mensual.
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! En este caso, tenemos una renta de la que conocemos una cota inferior para el valor valor …nal de la renta: este no debe ser inferior a $ 26.000, y queremos determinar el valor de los términos C de la renta 1 + i(p) V F (n) = C i(p)
26:000
n
1
de donde debemos despejar C C=
V F (n) i(p) n 1 + i(p) 1
26:000i(p) n 1 + i(p) 1
por lo tanto en nuestro caso C
26:000 0; 004 36
(1 + 0; 004)
1
= 672; 91079
Por lo que deberemos ahorrar cada mes al menos $ 672,92.
(7.10)
162
CAPÍTULO 7. RENTAS
Ejemplo 7.12 Suponga que ud puede ahorrar $ 550 cada mes, y los puede depositar a un 0,37% mensual. ¿Cuánto tiempo deberá ahorrar para poder comprarse un auto que cuesta unos $ 32.000?
Poner Dibujo!!!!!!!!!!!!!!!! En este caso, tenemos una renta de la que conocemos una cota inferior para el valor valor …nal de la renta: este no debe ser inferior a $ 32.000, y queremos un n tal que n 1 + i(p) 1 32:000 V F (n) = C (p) i despejemos n de la igualdad V F (n) i(p) +1 C log V F (n) i(p) + C
log C
=
1 + i(p)
n
= n log 1 + i(p)
de donde obtenemos n=
log V F (n) i(p) + C log 1 + i(p)
log C
(7.11)
En particular, si realizamos el despeje de n partiendo de la desigualdad n
log 32:000i(p) + C log 1 + i(p)
log C
de donde obtenemos n
log (32:000 0:0037 + 550) log (1 + 0:0037)
log 550
= 52:79162
Es decir necesitamos ahorrar al menos 53 meses. Nota 7.13 Observe (7.6) calcula el valor actual de la renta dada un p-período antes de la imposición del primer capital. Por ejemplo si tenemos un renta bimestral cuyo primer término esta disponible en el mes 5, la fórmula (7.6) nos da el valor actual de la renta (una cantidad de dinero) al mes 3. Nota 7.14 El n que aparece en las fórmulas anteriores coincide siempre con el número de términos de la renta, y como veremos más adelante no tiene porque coincidir con el período al que es impuesto el último término. Las dos observaciones anteriores son importantes a la hora de entender cabalmente el siguiente ejemplo. Ejemplo 7.15 Ud. esta ahorrando $ 250 al …nal de cada mes para su jubilación. En este momento tiene 30 años y espera jubilarse a los 65 años. Después de retirarse espera vivir hasta los 85 años. ¿Cuánto podrá retirar mes a mes del banco una vez que se jubile si este le paga una TNA del 6.2%?
7.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES
163
En este problema tenemos dos rentas relacionadas: el valor …nal de la primera es el valor actual de la segunda.
PONER DIBUJO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Comenzaremos calculando el valor …nal de la primer renta o renta de ahorro 35 12
1+ V Fahorro = 250
0:062 12 0:062 12
1 = 373039:91
Esta cantidad de dinero es el valor actual de la renta de jubilación V Fahorro = V Ajubilación donde esta igualdad se da a los 420 meses (dentro de 35 años, es decir cuando tenga 75 años). La segunda renta comienza en el período 421 y términa en el período 660 por lo que el número de términos es 660
421 + 1 = 240 = 20 12
Ahora 1 373039:91 = V Ajubilación = Cjubilación
0:062 12 0:062 12
20 12
1+
de donde Cjubilación = $ 2 715:79 Lo cual no parecía tan mal en 2001, pero ya en 2010 era es mucho. Nota 7.16 Uno de los autores sostiene que la edad mínima de jubilación para el año 2030 rondará los 75 años (para los hombres). También sostiene que las mujeres deberían jubilarse a la misma edad que los hombres. Ejercicio 7.17 Al comprar una casa se nos ofrecen las siguientes alternativas: 1. Pago al contado hoy de $ 180 000. 2. 120 pagos mensuales de $ 3000 comenzando a pagar dentro de un mes. ¿Cuál es más conveniente para nosotros si la tasa que podemos conseguir es una TEA del 9%? Ejercicio 7.18 Su hijo se va a la universidad. Cuánto debe depositarle en diciembre si ud. desea que él pueda extraer $ 850 cada mes durante el resto del año que viene. Suponer que el banco le paga una TNA del 7.5%. Ejercicio 7.19 Si su capacidad de ahorro es de $ 650 por mes y puede obtener una TEA 6.4%. ¿Cuántos meses le tomará formar un capital de al menos $ 50 000?. Suponer que ud deposita el dinero a …n de mes.
164
CAPÍTULO 7. RENTAS
Ejercicio 7.20 Ud. desea comprar una moto que cuesta $ 15 000. Si ud. puede invertir sus ahorros a una TNA del 10%. ¿Cuánto deberá ahorrar por mes para poder comprar la moto en 18 meses? Suponer que ud deposita el dinero a …n de mes. Ejercicio 7.21 Ud ha estado ahorrando al …nal de cada año $ 3 000 durante los últimos 15 años en un banco que le paga una TNA del 9.2%. ¿Cuanto podrá retirar mensualmente durante los próximos 5 años? Ejercicio 7.22 Ud esta ahorrando $ 350 al …nal de cada mes para su jubilación. En este momento tiene 35 años y espera jubilarse a los 65 años. Después de retirarse espera vivir hasta los 82 años. ¿Cuánto podrá retirar mes a mes del banco una vez que se jubile si este le paga una TEA del 5%? Ejercicio 7.23 Como ud. es argentino, sabe que la jubilación que obtenga no será mucho. Por lo que decide que cuando cumpla 40 años, depositará $ 5 000 en una cuenta de ahorro y cada mes, agregará unos $ 250 a la misma, hasta que cumpla 65 años. Después esperará hasta 68 años, y luego se dará la gran vida por unos dos años. ¿Cuánto deberá sacar mes a mes para que la vida loca le dure hasta los 70 años? Suponer una TEM 0.49%.
Poner más ejercicios, 2 o 3 de cada tipo y un par más de rentas relacionadas. Ejercicio 7.24
7.4
Multiplicadores
Ahora estudiaremos un poco el comportamiento de los multiplicadores de valor actual y de valor …nal: 1
1 + i(p) i(p)
n
y
1 + i(p) i(p)
n
1
Demostraremos que ambos son crecientes en n y monótonos en i(p) (el primero es decreciente y el segundo creciente). Recordemos que los multiplicadores son expresiones compactas de ciertas sumas (potencialemente largas) que nos dan el valor actual y el valor …nal de una renta vencida o pospagable unitaria (C = $ 1) de n términos iniciada en el momento 0. De hecho el valor actual es 8 n n < 1 1 + i(p) X 1 si i(p) 6= 0 = (p) k i : (p) k=1 1 + i n si i(p) = 0 Además (usando L´Hostipal) lim
i(p) !0
1
1 + i(p) i(p)
n
= lim n 1 + i(p) i(p) !0
n 1
=n
Una observación similar vale para el multiplicador de valor …nal 8 n n < 1 + i(p) 1 X k (p) si i(p) 6= 0 1+i = (p) i : k=1 n si i(p) = 0
7.4. MULTIPLICADORES
165
y similarmente 1 + i(p) i(p)
lim
i(p) !0
n
1
= lim n 1 + i(p)
n 1
=n
i(p) !0
De aqui en más consideremos tasas positivas: i(p) > 0. Bajo este supuesto es evidente ( …nancieramente) que para cada n 2 1
n
1 + i(p) i(p)
1 + i(p) k k (p) (p) 1 + i1 1 + i2
166
CAPÍTULO 7. RENTAS
luego 1
n
(p)
1 + i1
=
(p) i1
n X
k=1
>
1 k
(p)
1 + i1
n X
k=1
1 + i2
1
1 + i2
1 k
(p) (p)
=
n
(p)
i2 Por otro lado, …jado n, el multiplicador 1 + i(p) i(p)
n
1 (p)
(p)
es una función creciente estrictamente creciente de i(p) : si i1 < i2 (p)
n
1 + i1
(p)
1 <
(p) i1
entonces
n
1 + i2
1
(p) i2 (p)
pues el valor al momento n de cada uno de los términos es mayor a la tasa i2 (p) que a la tasa i1 : para cada 1 k n (p)
k
1 + i1
(p)
k
< 1 + i2
Similarmente, …jada i(p) , ambos multiplicadores son funciones estrictamente crecientes de n, pues simplemente sumamos más términos.
7.5
Método de Newton-Raphson
El método de Newton-Raphson (o simplemente Newton) es uno de los métodos numéricos más efectivos para resolver el problema f (x) = 0 Este método funciona muy bien para funciones dos veces diferenciables. Sea p una raíz de la ecuación anterior: f (p) = 0 y supongamos que tenemos una aproximación pk de la raíz p: pk
p
por lo que se puede esperar (por la continuidad de f ) que f (pk )
0
7.5. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
167
Newton-Raphson nos dice que podemos obtener una mejor aproximación partiendo de pk y realizando la siguiente iteración: f (pk ) f 0 (pk )
pk+1 = pk
(7.13)
Poner dibujo. Si bien ni la deducción, ni la convergencia del método son difíciles de probar, remitimos al lector interesado a [?]. Para nuestro caso particular, dada una renta pospagable de valor actual o inicial V A, de n términos de montante C, deseamos hallar la tasa p-períodica i pactada (no usaremos i(p) pues recargaríamos de notación las fórmulas de la sección las cuales de por si son un poco abtrusas).
Poner dibujo Ahora
n
(1 + i) i Para poder usar Newton, debemos colocar las cosas de la forma f (x) = 0, lo cual se logra al de…nir VA=C
f (i) = C
1
1
(1 + i) i
n
VA
El método de Newton requiere la derivada de f respecto de la tasa de interés h i n 1 n ni (1 + i) 1 (1 + i) df (i) f 0 (i) = =C di i2 En la iteración necesitaremos el cociente f (i) =f 0 (i): f (i) f 0 (i)
C
1
= ni (1 + i) C
=
n 1
n
VA 1
(1 + i)
i2
n
i
VA i i C n n 1 (1 + i) + ni (1 + i) 1 n V A (1 + i) n (1 + i) 1 i C i ni n 1+ (1 + i) 1+i 1
=
(1 + i) i h
(1 + i)
n
Luego como la fórmula de iteración es ik+1 = ik
f (ik ) , para k f 0 (ik )
1
tenemos que 0
B ik+1 = @1 +
1+
1 n V A (1 + ik ) n ik (1 + ik ) C C A ik nik n 1+ (1 + ik ) 1 + ik
(7.14)
168
CAPÍTULO 7. RENTAS
esta fórmula recursiva genera una sucesión que converge a la raíz p buscada. El criterio habitual de parada, es …jar un nivel de tolerancia ", y parar cuando el factor de corrección es menor en valor absoluto que ": n
1+ jik+1
ik j =
V A (1 + ik ) n ik (1 + ik ) C ik < " nik n 1+ (1 + ik ) 1 + ik
Ejemplo 7.25 El Sr. Daniel tomó un préstamo por $ 20.000 a devolver en 24 cuotas mensuales consecutivas de $ 2.500. ¿Qué tasa mensual esta pagando? Utilizaremos Newton para hallar una aproximación de la tasa mensual asociada a esta renta. Fijaremos un nivel de tolerancia " = 0:00000001 = 1 10
8
Es decir, pararemos cuando el término de corrección sea menor que ". Para facilitar la presentación construimos la siguiente tabla: k
ik
0 1 2 3 4 5
0; 01 0; 062367249 0; 100549001 0; 114645163 0; 116021229 0; 116032642
f (ik ) f 0 (ik ) 0; 052367249 0; 038181752 0; 014096162 0; 001376066 0; 000011411 7; 74082 10 10
Donde 0; 062367249
= i1 = i0
0; 100549001
= i2 = i1
f (i0 ) = 0; 01 + 0; 052367249 f 0 (i0 ) f (i1 ) = 0; 062367249 + 0; 038181752 f 0 (i1 )
y asi sucesivamente. La tasa mensual que buscamos es i = 0; 116032642 Comprobemos que esta tasa funciona bien: 2:500
1
(1 + 0; 116032642) 0; 116032642
24
= 20:000; 0000947
Un problema no trivial con el método de Newton es la elección de una buena semilla i0 , tanto para garantizar la convergencia del mismo, como para reducir el número de interaciones. Un buen criterio ad hoc para nuestro problema es comprobar que la semilla i0 satisfaga VA C
1
(1 + i0 ) i0
n
7.5. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
169
En el ejemplo del Sr. Daniel V A=C = 8, y para i0 = 0:01 1
24
1
24
(1 + 0:01) = 21:2433872576 0:01 mientras que si hubieramos elegido i0 = 0:10 (1 + 0:15) = 6:43377144806 0:15 lo que nos indica i0 = 0:10 es una mejor semilla para realizar las iteraciones. Usando esta semilla necesitamos 3 iteraciones para alcanzar el nivel de precisión deseado: k
ik
0 1 2 3
0; 1 0; 114546475 0; 116019550 0; 116032642
f (ik ) f 0 (ik ) 0; 014546475 0; 001473075 1; 30917 10 1; 01861 10
5 9
En el caso de tener como dato el valor …nal de la renta V F , las fórmula anteriores deben ser modi…cadas pues debemos partir de n
(1 + i) 1 i Dada una renta pospagable de valor …nal V F , de n términos de montante C, si deseamos hallar la tasa p-períodica i para poder usar Newton, debemos colocar las cosas de la forma f (x) = 0, lo cual se logra al de…nir VF =C
n
(1 + i) 1 i El método de Newton requiere la derivada de f f (i) = C
n 1
f 0 (i) = C
VF
n
ni (1 + i)
[(1 + i)
1]
i2
En la iteración necesitaremos el cociente f (i) =f 0 (i): n
f (i) f 0 (i)
(1 + i) i n 1 ni (1 + i)
1
C
= C
1]
VF i C i n 1 n ni (1 + i) [(1 + i) 1] VF n (1 + i) 1 i C n 1 ni 1 + ni (1 + i) (1 + i) n
=
n
[(1 + i) i2
(1 + i)
=
VF
1
Por lo tanto la relación recursiva buscada es: VF n 1+ ik (1 + i) C ik+1 = ik + n 1 n ik 1 + nik (1 + ik ) (1 + ik )
(7.15)
170
CAPÍTULO 7. RENTAS
(para las personas de poca fe, en la nota ?? al …nal de esta sección está la correspondiente deducción) Ejemplo 7.26 El Sr. Ignacio desea ahorrar unos $ 14.000 para comprase un telivisor LED de 40ij un home-theater con Blue-ray. Para tal …n deposita a principio de cada mes $ 600. Si al cabo de 18 meses a juntado su…ciente dinero, cual fue la tasa que obtuvo del banco. Lo primer que debemos hacer es hallar una semilla adecuada. En este caso buscamos que n (1 + i0 ) 1 VF C i0 Ahora V F=C = 23; 3333333. Probamos con i0 = 0; 5: 18
(1 + 0; 5) 0; 5
1
= 2953; 78376
lo cual claramente está muy lejos del valor buscado. Ahora, ¿tenemos que subir o bajar la tasa semilla para lograr una mejor aproximación? La respuesta es senn cilla, debido a la monotonía del multiplicador (1+i)i 1 , como la primera apróximación fue por exceso, debemos probar con una tasa más pequeña. Veamos que ocurre con i0 = 0; 05 18
(1 + 0; 05) 0; 05
1
= 28; 13238467
la cual es una mejor aproximación inicial. Ahora usando la fórmula iterativa (7.28) obtenemos la siguiente tabla k
ik
0 1 2 3
0; 05 0; 03171643 0; 029638966 0; 029615247
f (ik ) f 0 (ik ) 0; 01828357 0; 002077465 2; 37185 10 3; 04451 10
5 9
donde hemos usado como criterio de parada " = 1 10 8 . Comprovemos que esta tasa es la que efectivamente da una buena aproximación de la tasa buscada en este problema: 18
600
(1 + 0; 029615247) 0; 029615247
1
= 14:000; 0003835
Poner 6 a 10 ejercicios, una mitad con VA y la otra con VF 7.6
Rentas prepagables
Las rentas vencidas (pospagables) no describen de manera satisfactoria el ‡ujo de fondos que originan operaciones …nancieras como los alquileres y los seguros.
7.6. RENTAS PREPAGABLES
171
Se paga el alquiler y luego se ocupa el inmueble. El valor actual de la renta resulta natural calcularlo al momento que se impuso el el primer capital, que es el momento en el cual se inicia la operción. Por otro lado, el valor …nal de la renta debe ser calculado un período después del pago del último término. La propiedad no esta disponible (para el propietario) sino hasta después de un período del momento del pago del último término. Con los seguros ocurre lo mismo: el compromiso comienza al momento de realizarse el primer pago y se extiende un período más alla del último pago. En ambos casos podemos asumir que las imposiciones se realizan al comienzo de cada período, de ahi el nombre de rentas prepagables. Algunos autores (latinoamericanos) le llaman rentas anticipadas a estas rentas. Nosotros preferimos llamar asi a otro tipo de rentas, en esto seguimos es uso habitual en España.
Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Dada una renta prepagable constante de de n términos de montante C disponibles a los momentos 0; 1; 2; : : : ; n 1 (p-periodos) y una tasa p-períodica i(p) es claro que V Aprepagable (0) = V Ap ostpagable ( 1) 1 + i(p) : Por lo tanto V Aprepagable (0) = C
1
1 + i(p) i(p)
n
1 + i(p)
(7.16)
Mientras que el valor …nal es V Fprepagable (0) = V Fp ostpagable (n
1) 1 + i(p)
Por lo tanto n
1 + i(p) 1 1 + i(p) (7.17) (p) i Ejemplo 7.27 Una empresa de seguros nos cobra una prima de $ 185 por mes por un seguro contra todo riego para automotores. Sabiendo el valor actual de un año de seguro se corresponde con el 5% del valor del vehículo, calcular el precio del vehículo. Suponer una TNA del 8,3%. V Fprepagable (n) = C
poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Para hallar el valor del vehículo necesitamos el valor actual de la renta contstante prepagable 1 V Aprepagable (0)
= 185 =
0; 083 12 0; 083 12
12
1+
1+
0; 083 12
2:108; 75
Por lo tanto el automóvil vale $ 42:174; 95 = 20 2:108; 75 En general los esquemas de ahorro también se adecuan al esquema de rentas prepagables ya que la mayoría de la gente ahorra a principio de mes.
172
CAPÍTULO 7. RENTAS
Ejemplo 7.28 La Sra. Agustina, deposita a principio de mes $ 350 en una cuenta de ahorro que paga una TEM del 0.5%. Hace ya 4 años y 5 meses que la Sra. Agustina comenzó a ahorrar. ¿Cuál es el monto del que ahora dispone?
Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!! No hay más que aplicar la fórmula (7.17) con n = 4 12 + 5 = 53 53
V Fprepagable (53) = 350
(1 + 0; 005) 0; 005
1
(1 + 0; 005) = 21:285; 8420266
La Sra. Agustina dispone de $ 21.285,84. Ejemplo 7.29 Ud. ha empezado a ahorrar $ 1.450 cada mes para comprarse un dpto. que cuesta unos $ 145.000. En este momento tiene 40 años, cuantos años tendrá cuando pueda comprar el dpto. Suponga que puede obtener TEA del 0,5%. ¿Y con una TEM del 0,8%? En este caso, buscamos un n que nos garantize que el valor …nal de la renta no sea inferior a $ 145.000: debemos despejar n de la fórmula (7.17) V Fprepagable (n)
1 + i(p) = C i(p)
V Fprepagable (n) i(p) +1 = C 1 + i(p) log V Fprepagable (n) i(p) + C 1 + i(p)
log C 1 + i(p)
1 + i(p)
n
1
n
= n log 1 + i(p)
de donde n=
log V Fprepagable (n) i(p) + C 1 + i(p) log 1 + i(p)
log C 1 + i(p)
Reemplazando V Fprepagable (n) por $ 145.000, y el signo = por n
log [145:000 0; 005 + 1:4501 + 0; 005] log (1 + 0; 005)
log 1:450 (1 + 0; 005)
= 80; 9628061817
por lo que al cabo de 6 años y 9 meses dispondrá de los fondos necesarios (en realidad tendrá $ 145.080). Por otro lado si consigue una TEM del 0,7% necesitará n
log [145:000 0; 007 + 1:450 (1 + 0; 007)] log (1 + 0; 007)
log 1:450 (1 + 0; 007)
= 75; 65812128
Necesitará 6 años y 4 meses para reunir los fondos necesarios. Nota 7.30 Para hacer un análisis a largo plazo necesitamos introducir de una u otra forma los efectos de la in‡ación. Los modelos de rentas variables (sobre todo las variables en forma geométrica) serán el marco adecuado para incluir la in‡ación. Ejemplo 7.31 El valor actual de una renta constante prepagable es de $ 20.000. Si la renta constaba de 24 pagos mensuales de $ 3.500 ¿Cuál es la tasa aplicada a laoperación?
1 + i(p)
7.6. RENTAS PREPAGABLES
173
En general, suele ser imposible despejar i(p) de las fórmulas (7.16) y (7.17), por lo que debemos volver a recurrir a Newton-Raphson. En este caso, a partir de (7.16) debemos optener una función de i (usaremos i en lugar de i(p) ) cuyas raices nos den la solución del problema. Esto se logra de…niendo g (i) = C
1
n
(1 + i) i
(1 + i)
VA
El esquema iterativo de Newton-Raphson requiere de la derivada de la función h i n 1 n n ni (1 + i) 1 (1 + i) 1 (1 + i) dg (i) = C + C (1 + i) di i i2 h i C n = 2 (1 + i) (ni + 1) 1 i
y el esquema iterativo toma la forma C ik+1 = ik
1
(1 + ik ) ik
Ch (1 + ik ) i2k
n
(1 + ik ) n
(nik + 1)
VA i 1
La semilla adecuada para iniciar la iteración es una i tal que VA C Sabemos que 20:000=3:500 1
1
(1 + i) i
n
(1 + i)
5; 7, comencemos con i = 0:5 tenemos
(1 + 0; 5) 0; 5
24
(1 + 0; 5) = 2:9998
Como este valor esta por debajo de 5,7 podemos obtener una mejor semilla usando una tasa más chica, por ejemplo tomando i = 0; 2 1
(1 + 0; 2) 0; 2
24
(1 + 0; 2) = 5; 9245
Fijando un nivel de tolerancia " = 1 10 k 0 1 2 3
ik 0; 2 0; 209071425 0; 209447107 0; 209447708
g (ik ) 735; 8385805 28; 18093889 0; 044909815
5
g 0 (ik ) 81116; 09903 75012; 64964 74773; 74137
g (ik ) =g 0 (ik ) 0; 009071425 0; 000375682 6; 00609 107
La tasa buscada parece ser i = 0; 209447708, veamos que tan buena aproximación es: 3:500
1
(1 + 0; 209447708) 0; 209447708
24
(1 + 0; 209447708) = 19:999; 99983
(La semilla i0 = 0; 5 requiere de 11 renglones en la tabla anterior para hallar esta misma tasa).
174
CAPÍTULO 7. RENTAS
Ejemplo 7.32 El valor …nal de una renta constante prepagable es de $ 2.000.000. Si la renta constaba de 24 pagos mensuales de $ 2.000 ¿Cuál es la tasa aplicada en la operación? En este caso, a partir de (7.17) debemos obtener una función de i cuyas raices nos den la solución del problema. Esto se logra de…niendo n
g (i) = C
(1 + i) i
1
(1 + i)
VF
El esquema iterativo de Newton-Raphson requiere de la derivada de la función dg (i) di
= C =
1
(1 + i) i
n
n 1
+ C (1 + i)
C n [(1 + i) (ni i2
n
ni (1 + i)
[(1 + i)
1]
i2
1) + 1]
y el esquema iterativo toma la forma C
1
ik+1 = ik
(1 + ik ) ik
n
(1 + ik )
C n [(1 + ik ) (nik i2k
VF
1) + 1]
La semilla adecuada para iniciar la iteración es una i tal que n
(1 + i) i
VF C
1
(1 + i)
Sabemos que 2:000:000=2:000 = 1000, comencemos con i = 0:5 tenemos 24
(1 + 0; 5) 0; 5
1
(1 + 0; 5)
50499
Como este valor esta por arriba de 400, podemos obtener una mejor semilla usando una tasa más chica, por ejemplo tomando i = 0; 25 24
(1 + 0; 25) 0; 25
(1 + 0; 25)
Fijando un nivel de tolerancia " = 1 10 k 0 1 2 3
ik 0; 25 0; 246827725 0; 24674453 0; 246744475
g (ik ) 107582; 3681 2681; 905985 1; 783717507
1053
5
g 0 (ik ) 33913317; 89 32236330; 33 32193459; 29
g (ik ) =g 0 (ik ) 0; 003172275 8; 31951 10 5 5; 54062 10 8
La tasa buscada parece ser i = 0; 246744475. Veamos que tan buena aproximación es: 24
2:000
(1 + 0; 246744475) 0; 246744475
1
(1 + 0; 246744475) = 2:000:008; 86852
(La semilla i0 = 0; 5 requiere de 8 renglones en la tabla anterior para hallar esta misma tasa).
7.7. RENTAS PERPETUAS
175
Ejercicio 7.33 Un empresa que alquila maquinaria para movimientos de suelo desea saber cuanto debe cobrar al mes como mínimo para amortizar el costo de adquisición de una máquina en 5 años. La misma costó $ 300.000. Suponer una TEM del 0.7%. Ejercicio 7.34 Si en el problema anterior decidimos tener en cuenta los gastos de mantenimiento y operación, los cuales ascienden a $ 50.000 al año ¿Cuánto debe cobrar ahora como mínimo? Ejercicio 7.35 En cuanto tiempo amortizamos la compra de un camión que costó $ 650 000 si lo alquilamos a $ 3 500 por mes. Suponer una TEA del 10.7%.
Poner más ejercicios!!! y con al menos 4 sobre tasas (dos para usar VA y dos para usar VF)
Ejercicio 7.36
7.7
Rentas perpetuas
¿Cómo estimar el valor adecuado o “justo” de una propiedad? Esencialmente un alquiler puede ser pensado como un ‡ujo in…nito de fondos. El valor actual de ese ‡ujo in…nito de capitales nos puede dar una idea del valor justo de la propiedad. Llamaremos rentas perpetua a toda renta que conste de una sucesión in…nita de términos.
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Este tipo de rentas no tiene un valor …nal (no tiene mucho sentido hablar de una cantidad in…nita de dinero disponible más alla del …n de los tiempos), pero es posible calcular su valor actual. Analizaremos el caso de una renta constante perpetua vencida: el compromiso comienza en el momento 0 (cero) y no tiene fecha de …nalización, los términos se imponen a período vencido (t1 = 1), y la renta esta sujeta a una tasa p-períodica i(p) (dimensionalmente compatible con unidad temporal usada para medir los períodos entre imposiciones). Es claro que V A (0)
=
1 X
k=1 1 1 X
C + i(p)
= C
k
1
1 + i(p) 1 = C 1 + i(p) 1
k
k=1
=
1 1 1 + i(p)
C i(p)
Esta es la fórmula fundamental de rentas perpetuas V A (0) =
C i(p)
(7.18)
176
CAPÍTULO 7. RENTAS
Nota 7.37 Otra deducción para el valor actual de una renta constante perpetua vencida (o pospagable). Recordando que n X
k=1
y que
1 X
k=1
tenemos que
C 1 + i(p)
k
C 1+
k i(p)
V A (0) = lim C
=C
1
= lim
n!1
1
n!1
1 + i(p) i(p) n X
k=1
1 + i(p) i(p)
n
C 1 + i(p) n
=
k
C i(p)
Ejemplo 7.38 El estado se compromete a entregar todos los meses (a mes vencido) la suma de $ 15.000 a una fundación sin …nes de lucros. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta? si la fundación puede depositar sus excedentes al 1.3% mensual.
Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!! Sólo debemos aplicar la fórmula (7.18): V A (0) =
15:000 = 1:153:846; 15385 0; 013
Este es el valor actual de la renta perpetua. Si la institución recibiera estos fondos y los depósitara al 1.3%, de aqui en adelante, podría retirar al …nal de cada mes la suma de $ 15.000 por toda la eternidad. Ejemplo 7.39 Nos ofrecen un salon comercial por $ 370.000. Sabemos que es posible alquilarlo por unos $ 2.600 mensuales. Si la tasa que podemos conseguir por nuestros ahorros es una TEM 0.65% ¿El local está sobrevalorado o es un buen negocio adquirirlo? ¿Cuál debería ser el precio justo? Ambas preguntas se responden calculando el valor actual de la renta a perpetuidad que produce la propiedad. He aqui el ‡ujo de fondos:
poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Como se puede apreciar, la fórmula (7.18) nos dá el valor del ‡ujo in…nito de fondos un período antes de la imposición del primer término de la renta (el primer alquiler 2600 = 400:000 V A ( 1)p erp etuo = 0; 0065 pero nosotros deseamos el valor al momento de la operación (momento 0) V A (0) = V A ( 1)p erp etuo (1 + 0; 0065) = 402600 Por lo tanto, comprar el local es una buena inversión (en el sentido que no produce pérdida de capital). El precio justo (para el Ud., es decir a la tasa i(12) = 0; 0065) es $ 402:600. Si el precio del local es superior a este monto, el local esta sobrevalorado (para ud.) y obtendría un rédito mayor depósitando sus fondos al 0,65% mensual. Si el precio del local es inferior a $ 402.600, entonces entonces es una buena inversión, pues obtendrá un ‡ujo de fondos superior con los alquileres que depósitando sus fondos al 0,65% mensual (suponemos es esta es la mejor tasa que ud. conseguir).
7.8. RENTAS DIFERIDAS Y ANTICIPADAS
177
Ejercicio 7.40 El estado se compromete a entregar todos los meses (a mes vencido) la suma de $ 5 000 a una fundación sin …nes de lucros. ¿Cual es el valor actual de dicha renta? Suponer una TEA del 11%. Ejercicio 7.41 Un campo se alquila anualmente por $ 14 000 (pagaderos a …n de año). Si la TEA del mercado es 9.2% ¿Cuál es el valor de dicha propiedad? Ejercicio 7.42 Nos ofrecen un salon comercial por $ 470.000. Sabemos que es posible alquilarlo por unos $ 2.600 mensuales. Si la tasa que podemos conseguir por nuestros ahorros es una TEM del 0,85% ¿La casa está sobrevalorada? ¿Cuál debería ser (apróximadamente) el precio justo? Ejercicio 7.43 Determinar el valor de un local comercial, es cual está alquilado a $ 2 100 por mes. Suponer un TNA del 18.9%.
Poner más ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7.8
Rentas diferidas y anticipadas
Comenzemos con las rentas diferidas o con período de gracia. Estas rentas aparecen de forma natural en ciertas operaciones crediticias, del estilo "lleve hoy y comience a pagar recién en octubre". En estas operaciones, la primera cuota esta diferida una cierta cantidad de tiempo hacia el futuro. Consideremos el siguiente ejemplo Ejemplo 7.44 La señora Mariela compró hoy en su tienda habitual ropa por unos $ 7.000, aprovechando la promoción “llevé hoy y comience a pagar en 3 meses”. Si la operación fue pactada a 6 cuotas iguales, concecutivas y mensuales, a una tasa del 2% mensual, ¿Cuál es el monto de las cuotas?
Poner dibujo El problema puede ser resuelto de varias formas. Utilizando la teoría de rentas postpagables, tenemos que C
1
6
(1 + 0; 02) 0; 02
es el valor de la renta dentro de dos meses.
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Si actualizamos un par de meses este monto tendremos 7:000 = C1
1
(1 + 0; 02) 0; 02
6
1 2
(1 + 0; 02)
donde podemos despejar C C1
0; 02
2
=
7:000 (1 + 0; 02)
=
1:300; 16779
1
(1 + 0; 02)
6
Es decir, la señora Mariela deberá abonar 6 cuotas de $ 1.300,17. Siendo la primer cuota abonada a los 3 meses de realizada la compra.
178
CAPÍTULO 7. RENTAS
También podemos resolverlo usando la noción de renta prepagable. En dicho caso, el valor de la renta al momento de realizar el primer pago es C2
1
(1 + 0; 02) 0; 02
6
(1 + 0; 02)
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!! Este monto al actualizarlo 3 meses debe ser igual al valor de la compra 7:000 = C2
1
(1 + 0; 02) 0; 02
6
(1 + 0; 02)
1 3
(1 + 0; 02)
Resulta obvio que ambos planteos son equivalentes: C1 = C2 Una tercera forma de resolver este problema es capitalizar la deuda por 2 meses (3 meses), y considerar la renta postpagable (prepagable) cuyo valor actual es este monto 2
7:000 (1 + 0; 02) = C3
1
(1 + 0; 02) 0; 02
6
De nuevo, pasando dividiendo el factor de capitalización de la derecha, resulta obvio que C1 = C3 (usando prepagables obtenemos: 3
7:000 (1 + 0; 02) = C4
1
(1 + 0; 02) 0; 02
6
(1 + 0; 02)
de donde resulta ovbio que C2 = C4 y por lo tanto C4 = C1 ).
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Al período de tiempo que media desde la concertación de la operación …nanciera y el primer pago se le suele llamar diferimiento o período de gracia. Preferimos enfocarnos en usar equivalencia …nanciera y la teoría de rentas postpagables (o prepagables) en lugar de desarrollar fórmulas ad hoc. Claramente, el valor …nal de una renta diferida no necesita de nuevas fórmulas, y se caulcula usando el valor …nal de una renta pospagable o prepagable según sea el caso.
Poner 5 o 6 ejercicios. Se llama rentas anticipadas, a las rentas cuyo valor …nal se debe calcular 2 o más períodos después de impuesto el último término de la renta. Dicho período de tiempo recibe el nombre de anticipo.
Poner dibujo Un ejemplo de las mismas son los planes (círculos de ahorro) para adquirir un automotor, desde el último pago, hasta la entrega efectiva del vehículo suelen pasar 2 o 3 meses.
7.9. RENTAS ARITMÉTICAS
179
Ejemplo 7.45 Ud. adhirió a un plan de ahorro “80 cuotas sin interés” para adquirir un 0 km. Después de pagar las 80 cuotas mensuales de $ 799 del plan correspondiente a un "supercar"cuyo valor de mercado es de $ 63.000, ud recibió su 0 km 3 meses después. Si la tasa de mercado a la que ud podía acceder era del 0.7 % mensual ¿Cuánto le costo realmente el vehículo? Simplemente debemos calcular el valor de la renta 3 meses después de realizado el último pago. De nuevo, este problema se puede resolver de varias fomas. En este caso haremos las cuentas pensando que la renta es pospagable. El valor …nal de la renta al momento de realizar el último pago de $ 799 es 80
799
(1 + 0; 007) 0; 007
1
= 85:294; 44174
luego debemos capitalizar este monto por 3 meses 80
799
(1 + 0; 007) 0; 007
1
3
(1 + 0; 007) = 87:098:19256
Es decir, si hubiera ahorrado $ 799 por mes en el banco, ahora se podría comprar el "supercarij además le sobrarían unos $ 24.100. De todas formas este análisis no es del todo completo y sólo funciona cuando la in‡ación es baja y economía se mantiene estable. Ejercicio 7.46 Volver a hacer las cuentas para el ejemplo anterior usando las fórmulas de rentas prepagables. Debería obtener el mismo resultado. El valor actual de una renta anticipada no requiere de mayor análisis, pues corresponde a usar el valor actual de la renta (pospagable o prepagable según corresponda).
Poner 4 o 5 ejercicios uno modi…cando el ejemplo del auto para abarcar los planes 80/20. 7.9
Rentas aritméticas
Consideremos el siguiente ejemplo Ejemplo 7.47 El Sr. Daniel se compromete a cumplir el siguiente esquema de 12 pagos mensuales con el Sr. Ignacio. Un primera cuota de $ 100, una segunda cuota de $ 140, una tercera cuota $ 180 y asi sucesivamente hasta la cuota doce. Suponiendo una TEM del 1.2%. ¿Cuál es el monto de la cuota 9?¿Qué cantidad debería entregarle hoy el Sr. Daniel al Sr. Ignacio para sustituir este esquema de pago? ¿Podrá comprarse el Sr. Ignacio una PS3 al cabo de un año con estos fondos? (el precio de una PS3 es $ 3 200). Este es un ejemplo de una renta variable, donde la variación sigue una ley determinada: los términos de la renta forman una progresión aritmética
180
CAPÍTULO 7. RENTAS
Actualización V A(0)
100 100 + 0
0
140 40
100 + 1
1
180 40
100 + 2
2
500 40
100 + 10
3
540 40
100 + 11
10
580 40
11
100 + 12
40
12 V F (12)
Capitalización Las fórmulas que desarrollamos en la sección anterior para el cálculo del valor actual y …nal de una renta no son útiles para resolver este problema. Necesitamos desarrollar fórmulas que nos permitan sumar expresiones de la forma V A (0) =
100 C + 40 C + 2 40 + + 2 3 + 1 + 0:012 (1 + 0:012) (1 + 0:012)
+
C + (12
1) 40 12
(1 + 0:012)
Para esto estudiaremos las progresiones y las sucesiones aritméticas De…nición 7.48 Dados dos números reales a y b, se llama progresión aritmética a toda sucesión …nita de n términos de la forma fa + b (k
1)g1
k n
:= a; a + b; a + 2b; : : : ; a + (n
1) b
Si la sucesión es in…nita, preferiremos llamarle sucesión aritmética fa + b (k
1)gk
1
:= a; a + b; a + 2b; a + 3b; : : :
Al número a se le llama término inicial, y al número b se le llama paso o diferencia común. Toda progresión aritmética puede ser escrita de forma recursiva: a1 ak+1
= =
a ak + b
para 1
k
n
para k
1:
1:
Lo mismo ocurre con las sucesiones aritméticas: a1 ak+1
= =
a ak + b
De hecho, de acuerdo con la teoría de relaciones recursivas que desarrollamos en el capítulo 2 la forma de la solución de estas relaciones recursivas es ak = a + (k
1) b
Ejemplo 7.49 Los siguientes son ejemplos de progresiones y sucesiones aritméticas
7.9. RENTAS ARITMÉTICAS
181
1. 1; 2; 3; 4; 5; : : : sucesión aritmética de término inicial a = 1 y paso b = 1. 2. 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; 29; 32 progresión aritmética de término inicial a = 2 y paso b = 3. 3. 4; 2; 0; 2; 4; 6; : : : 4. 1; 1 + ; 1 + 2 ; 1 + 3 ; : : : p p p p p 5. 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2: 6. f1 + 2kg1 7. f 3
k 14
2kgk
0
:
:
8.
a1 ak+1
= =
3 ak + 2
para 1
k
9.
a1 ak+1
= =
0 ak + 5
para k
1
10:
Es fácil ver que 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; 29; 32 es una progresión aritmética: la diferencia entre dos términos consecutivos se mantiene constante: 5
2=8
5=
= 29
28 = 32
29 = 3 = b
Mientras que el valor el primer término nos da el valor de a a=2 La forma general de la progresión aritmética es ak = 2 + 3 (k
1) para 1
k
n
Para hallar n utilizamos el valor del último término: 2 + 3 (n
1) = 32
de donde deducimos que n = 11 y por lo tanto la progresión aritmética buscada es ak = 2 + 3k para 1 k 11 Pasar de forma recursiva a la forma explícita de una progresión/sucesión aritmética y viceversa no presenta di…cultad: a1 ak+1
= =
7 ak + 4
para 1
k
11:
()
ak = 7 4 (k
1) para 1
Ejercicio 7.50 Hallar el término inicial, el paso común y la forma general de cada uno de los items que restan del ejemplo (8.74).
k
11:
182
CAPÍTULO 7. RENTAS
Ahora podemos responder a una de las preguntas planteadas en el ejemplo (7.47): ¿Cuál es el monto de la cuota 9? La progresión aritmética que representa la renta dada en el ejemplo (7.47) es Ck = 100 + 40 (k
1)
por lo que el monto de la cuota 9 es C9 = 100 + 40 (9
1) = 420
Las rentas variables en progresión aritmética, son aquellas rentas cuyos términos forman una progresión aritmética, i.e.: C1 Ck+1
= =
C Ck + b
para 1
k
n
(7.19)
1:
Actualización V A(0)
C1 C+0
0
C2 b
C+1
1
Cn
C3 40
C+2
2
C + (n
b
3
n
Cn
2 3)
b
C + (n
2
n
Cn
1 2)
b
C + (n
1)
b
n
1
V F (n) Capitalización De nuevo, calcular el valor actual de este tipo de rentas no es más que sumar el valor actual de cada uno de los términos involucrados. Supongamos que tenemos una sucesión de n capitales sujetos a una ley aritmética como la expreseda en (7.19), sobre la que actua una tasa p-períodica i(p) . Supongamos que los términos están disponibles a los p-períodos 1; 2; : : : n . El valor actual de este tipo de renta es V A (0)
=
C +b C + 1 + i(p) 1 + i(p)
= C
1
(p)
1+i i(p)
n
2
+
C + 2b 1+
b + 1 + i(p)
3 i(p)
+
+
C + (n 1) b n 1 + i(p)
1 2 + (p) 1+i 1 + i(p)
2
+
+
n
1 + i(p)
Ahora, todo el problema se reduce a encontrar una fórmula cerrada para la suma m X k 1 2 3 m = + 2+ 3+ + m rk r r r r k=1
1 n 1
!
7.9. RENTAS ARITMÉTICAS
183
Hay varias formas de hallar esta suma. La suma de la izquierda es una suma por …las, sumando por columnas podemos obtener una expresión cerrada 1 r 2 r2 3 r3 .. . m rm m X k
k=1
1 r 1 r2 1 r3 .. . 1 rm
= = = .. . =
+ .. . +
1 1 1 rm 1 r 1 r
=
rk
1 r2 1 r3 .. . 1 rm
+
+
1 1 r2
1 r3 .. . 1 rm
+ .. . + 1
rm 1
+
1 r
1
1 1 r3
..
+
+
1
rm 2 1 r
1
.
+
:::
Por lo que m X k rk
r
=
r
k=1
1
1 1 1 + 2+ 3+ r r r
1
rm
rm 1 (r 1)
r
=
r
1 rm
+
m rm+1
m rm+1
Otro forma de realizar para hallar una fórmula para esta suma, consite en repetir el truco que se usó para sumar la serie geométrica: S
=
rS
=
2 r
1 2 3 m 1 m + 2+ 3+ + m 1 + m r r r r r 2 3 m 1 m 1+ + 2 + + m 2 + m 1 r r r r
y luego restar rS
S
=
1+
(r
1) S
=
1+
(r
1) S
=
(r
1) S
=
1 r
+
3 r2
2 r2
1 1 1 + 2+ 3+ r r r 1 1 m rm 1 rm 1 r 1 rm 1 m m 1 r r 1 rm
+
+
1 rm
1
m rm 1
+
m 1 rm 1
m rm
m rm
De donde obtenemos m X k 1 =S= m rk r
rm 1
k=1
1 2
(r
1)
m rm (r 1)
Ahora como 1 2 + (p) 1+i 1 + i(p)
2
+
+
n 1+
1
n 1 i(p)
(7.20)
+
1 rm 1 1 1 r 1 rm 1 r
184
CAPÍTULO 7. RENTAS
es de la forma
Pm
k k=1 r k
con r = 1 + i(p) m = n 1
Tenemos que n X1 k=1
k 1 + i(p)
k
n 1
1 + i(p) i(p)
1 + i(p)
=
i(p) 1 + i(p)
n 1
1 + i(p)
1
= 1+
n 2 i(p)
n 1
1
n 1 1 + i(p)
1
n
2 i(p)
i(p)
!
1
1+
n 1 i(p)
De donde podemos concluir que ! n 1 + V A (0) = C n 1 1 + i(p) i(p) 1 + i(p) (7.21) En la literatura de matemáticas …nancieras suelen aparecer también la siguientes expresiones para el valor actual de una renta aritmética n
1 + i(p) i(p)
1
V A(0)
=
n
1 + i(p) i(p)
1
= C
n 1
1 + i(p) i(p)
b
C+
1 + i(p) i(p)
1
n
+b
b i(p)
nb i(p)
+ nb
1 + i(p) 2 i(p)
1
n
(7.22)
ni(p)
1+
1
(7.23)
n i(p)
las cuales son equivalentes (7.21). Por ejemplo V A (0)
= C
= C
= C
=
1
1
1
1
1 + i(p) i(p)
n
1 + i(p) i(p)
n
1 + i(p) i(p)
n
+
+
+
i(p) 1 + i(p) b
b
1 + i(p) i(p)
(n 1)
1
1 + i(p) i(p)
n
i(p)
C+
n 1
1
i(p)
n
1 + i(p) i(p)
n 1
1 + i(p) i(p)
b
b + nb i(p)
1
n 1 1 + i(p)
! n 1 (7.24) n + n 1 + i(p) 1 + i(p) ! n n 1 + i(p)
nb i(p)
Para hallar el valopr …nal de una renta aritmética sólo necesitamos recordar que V F (n) = V A (0) 1 + i(p)
n
luego tenemos que V F (n) =
1 + i(p) i(p)
n
1
C+
b i(p)
+ nb
!
nb 1 + i(p) i(p)
n
(7.25)
7.9. RENTAS ARITMÉTICAS
185
Ejercicio 7.51 Demostrar que la expresión (7.23) es equivalente a la expresión (7.21). Nota 7.52 Las fórmulas obtenidas corresponden a una renta postpagable, si desea obtener las correspondientes fórmulas para rentas prepagables, se deben realizar las correspondientes modi…caciones en las deduciones anteriores, las cuales no deberían ser difíciles de realizar por parte del lector. Ahora podemos responder a las restantes preguntas que se nos plantearon en el ejemplo (7.47). El Sr. Daniel debería entregar hoy al Sr. Ignacio $ 3 493.35, el valor actual de la renta (recordar C = 100, TEM 1.2 %, b = 40 y n = 12) V A(0)
= = =
1 + i(p) i(p)
1
n
C+
1
(1 + 0:012) 0:012 3493:35
b i(p)
12
100 +
+ nb
nb i(p)
40 + 12 40 0:012
12 40 0:012
Por otro lado, el Sr. Ignacio (si va ahorrando el dinero a una TEM del 1.2%) juntará al cabo de un año la suma de $ 4 030.96 (más que su…ciente como para comprarse la PS3), pues V F (12)
=
1 + i(p) i(p)
n
1 12
= =
(1 + 0:012) 0:012 4030:9619181
C+ 1
b i(p)
100 +
nb 1 + i(p) i(p)
+ nb
n
12
40 + 12 40 0:012
12 40 (1 + 0:012) 0:012
Nota 7.53 En las fórmulas (7.21) y (7.25) aparecen 5 variables:V A o V F; C; b; i(p) y n. Las tres primeras no presentan di…cultad, pero las dos últimas: i(p) y n, al no ser posible despejarlas, requieren de métodos númericos, Newton-Raphson para la primera, tanteo para la segunda (pues n debe ser entero, si se permite n continuo se deberá usar Newton-Raphson). Ejemplo 7.54 (Continuación del ejemplo (7.47)) De cuanto debe ser el incremento si el Sr. Ignacio desea juntar $ 5 000 al cabo de 12 meses. En este caso, deseamos averiguar el valor de b (recordar C = 100, TEM 1.2 %, b =?, n = 12 y V F (12) = 5000) 5000
= V F (12) 1 + i(p) = C i(p)
n
1 12
1 + i(p) + b (p) i 1
n 1
1 + i(p) i(p)
=
(1 + 0:012) 100 0:012
1 + 0:012 +b 0:012
=
1282:4552015 + 68:7126679184 b
1
n 1 1 + i(p)
12 1
(1 + 0:012) 0:012
!
1
Por lo tanto b = 54:1027573389 Es decir, el Sr. Daniel debe aumentar las cuotas en $ 54.11 cada mes.
12 1 1 + 0:012
!
186
CAPÍTULO 7. RENTAS
Ejemplo 7.55 (Continuación del ejemplo (7.47)) De cuánto debe ser el término inicial para que el valor actual de la renta sea del $ 3 600. En este caso la incognita es C (recordar C =?, TEM 1.2 %, b = 40, n = 12 y V A (0) = 3600) 3600
= V A (0) = C
= C =
1
1
n
1 + i(p) i(p)
+
(1 + 0:012) 0:012
n 1
1 + i(p) i(p)
b i(p) 1 + i(p)
12
n 1
n 1 1 + i(p) 12 1
40
+
1
12 1
0:012 (1 + 0:012) 11:1141448677 C + 2381:9390949
(1 + 0:012) 0:012
1
Por lo tanto C = 109:595557697 Lo que implica que el Sr. Daniel pagarle al Sr. Ignacio $ 109.60 el primer mes, y luego ir incrementando en $ 40 cada cuota hasta la cuota 12. Ejemplo 7.56 (Continuación del ejemplo (7.47)) Al Sr. Ignacio le ofrecen una PS3 en $ 2.150, ¿Cuando podrá comprar la PS3? La incognita ahora es el tiempo n necesario para juntar al menos $ 2.150 (recordar C = 100, TEM 1.2 %, b = 40, n =? y V F (n) 2150). Como ya dijimos, no se puede despejar n de las fórmulas (7.21) y (7.25). Resolveremos este problema de dos formas. Primero, asumiendo que n debe ser entero, basta usar tanteo. Una buena semilla para comenzar el tanteo (y Newon Raphson, si fuera el caso) puede ser obtenida a partir del hecho que n X
a + b (k
1)
= an + b
k=1
n X
(k
1)
k=1
= (a
b) n + b
n (n + 1) 2
luego como a = C = 100 y b = 40 buscamos n tal que 2150
(100
40) n + 40
n (n + 1) 2
Para n = 5 tenemos que 60 5 + 40
5 (5 + 1) = 900 2
para n = 8 8 (8 + 1) = 1920 2 por lo que podemos usar como semilla para iniciar el tanteo n = 8 : 60 8 + 40
8
V F (8)
= =
(1 + 0; 012) 0; 012 1981; 7057
1
100 +
40 + 8 40 0; 012
8
8 40 (1 + 0; 012) 0; 012
! 12 1 1 + 0:012
!
7.9. RENTAS ARITMÉTICAS
187
Si usamos n = 9 9
V F (9)
= =
(1 + 0; 012) 0; 012 2425; 4861
1
100 +
9
40 + 9 40 0; 012
9 40 (1 + 0; 012) 0; 012
Por lo tanto, El sr. Ignacio podrá comprarse la PS3 al …nal del 9no. periodo.
Poner dibujos!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Para comenzar usaremos Por lo que aplicaremos Newton-Raphson para 1 + i(p) f (n) = C i(p)
n
1
Por lo tanto 0
f (n) =
n 1
1 + i(p) i(p)
1 + i(p) + b (p) i
b C + (p) i i(p)
2
!
n
1 + i(p)
1
n 1 1 + i(p)
ln 1 + i(p)
!
V F (n)
b i(p)
Para aplicar Newton-Raphson completamos la siguiente tabla, donde hemos establecido como criterio de parada " = 0:01, y una buena semilla para la raíz puede ser obtenida a partir del hecho que n X
a + b (k
1)
= an + b
k=1
n X
(k
1)
k=1
n (n + 1) 2 luego como a = C = 100 y b = 40 buscamos n tal que =
2150
(100
(a
b) n + b
40) n + 40
n (n + 1) 2
Para n = 5 tenemos que 60 5 + 40
5 (5 + 1) = 900 2
para n = 8 60 8 + 40
8 (8 + 1) = 1920 2
la cual podemos usar como semilla k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
nk
f (nk )
f 0 (nk )
nk+1 = nk
f (nk ) f 0 (nk )
jnk
nk+1 j
188
CAPÍTULO 7. RENTAS
Ejercicio 7.57 Un programa de televisión anuncia un premio $ 300 000, consistente 60 pagos mensuales, el primero de sólo $ 212, el segundo de $ 364, el tercero de $ 516, y asi sucesivamente hasta el último pago a los 60 meses de $ 9 180. Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0.85 % mensual se pide: 1. ¿Realmente el premio consiste de $ 300 000? 2. ¿Qué pre…ere, el esquema de pagos o $ 150 000 en efectivo? 3. De cuanto debería ser el incremento mensual en el pago para que el valor actual del esquema de pagos sea de $ 150 000. 4. De cuanto debería ser el pago inicial para que el valor actual del esquema de pagos sea de $ 150 000. 5. ¿A partir de que mes los pagos superan los $ 5 000? Ejemplo 7.58
1. ¿Cuál es el valor …nal de este esquema de pagos?
2. En cuanto tiempo la suma de los nominales de los pagos superarán los $ 150 000. 3. ¿Cuál es la tasa a la que somos indiferentes entre el esquema de pagos y los $ 150 000 en efectivo? 4. ¿Cuál es número mínimo de pagos que deben hacerse con este esquema de pagos para que su valor actual sea de al menos $ 150 000? Ejercicio 7.59 Ud comienza ahorrando $ 1, al siguiente mes ahorra $ 2, al siguiente $ 4, y asi sucesivamente. Si Usted gana $ 4 500 por mes, ¿cuántos meses pasarán hasta que el nivel de ahorro requido por este esquema supere sus ingresos? Si le pagan una TNA del 13.3 % ¿Cuánto habrá ahorrado hasta ese momento? Ejercicio 7.60 Cuanto debe depositar en diciembre para que su hijo pueda retirar a principios de enero $ 650, pero como estima que este año habrá una in‡ación de al menos un 1% mensual, ud. desea que al siguiente mes pueda retirar un 1.5% más, y así sucesiamente hasta …n de año. Suponer que le pagan una TEM del 0.85%. Ejercicio 7.61 Suponga que usted tiene un contrato por 5 años con una empresa, ésta le ofrece tres opciones: 60 sueldos mensuales de $ 8 000, o 5 pagos anuales de $ 90 000 comenzando hoy, o un único pago de $ 300 000 hoy. Ud estima que la in‡ación promedio de los próximos 5 años será del 8% anual, y que puede obtener una TEA del 10.5% para sus ahorros. Sabiendo esto, que esquema de pago le resulta más atractivo. Ejercicio 7.62 Ud. empieza a ahorrar unos $ 350 por mes, pero como esta conciente de la in‡ación, ud. incrementa cada mes lo ahorrado en un 0.5%. Además al comienzo de cada año aumenta en $ 100 la cantidad ahorrada a diciembre del año anterior. Suponiendo una TEM del 0.9%, ¿Cuánto tendrá ahorrado en 5 años? Ejercicio 7.63
Poner más ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!!
7.10. MÉTODO DE LA SECANTE
7.10
189
Método de la secante
El método de Secante se suele aplicar en lugar del método de Newton cuando la derivada de la función con la que vamos a trabajar es muy complicada. Es sabido que la derivada de una función relativamente simple, suele ser compleja, por ejemplo d x cos x2 ln x = cos x2 ln x dx
2x2 sin x2 ln x + cos x2
Este método también se usa para resolver el problema f (x) = 0 Pero su convergencia es más lenta que la del médoto de Newton (lo que se suele traducir en varios renglones más en las tablas correspondientes). Sean pk 1 y pk aproximaciones de la raíz p (f (p) = 0). El Método de la secante nos dice que podemos obtener una mejor aproximación partiendo de pk+1 y realizando la siguiente iteración: pk+1 = pk
f (pk ) (pk pk 1 ) f (pk ) f (pk 1 )
(7.26)
Poner dibujo. Ni la deducción, ni la convergencia del método son difíciles de probar. Remitimos al lector interesado a [?].
ver bien a que caso conviene aplicarlo, rentas aritmeticas o geometricas.... poner como ejercicio el dar las correspondioented formulas para rentas constantes
Para nuestro caso particular, dada una renta pospagable de valor actual o inicial V A, de n términos de montante C, deseamos hallar la tasa p-períodica i pactada (no usaremos i(p) pues recargaríamos de notación las fórmulas de la sección las cuales de por si son un poco abtrusas).
Poner dibujo Ahora VA=C
1
(1 + i) i
n
190
CAPÍTULO 7. RENTAS
Para poder usar Newton, debemos colocar las cosas de la forma f (x) = 0, lo cual se logra al de…nir f (i) = C
1
(1 + i) i
n
VA
El método de Newton requiere la derivada de f respecto de la tasa de interés h i n 1 n ni (1 + i) 1 (1 + i) df (i) f 0 (i) = =C di i2 En la iteración necesitaremos el cociente f (i) =f 0 (i): f (i) f 0 (i)
C
1
= ni (1 + i) C
(1 + i) i h n 1
n
VA 1
(1 + i)
i2
n
i
VA i i C n n 1 (1 + i) + ni (1 + i) 1 n V A (1 + i) n (1 + i) 1 i C i ni n 1+ (1 + i) 1+i 1
=
=
(1 + i)
n
Luego como la fórmula de iteración es ik+1 = ik
f (ik ) , para k f 0 (ik )
1
tenemos que 0
B ik+1 = @1 +
1+
1 n V A (1 + ik ) n ik (1 + ik ) C C A ik nik n 1+ (1 + ik ) 1 + ik
(7.27)
esta fórmula recursiva genera una sucesión que converge a la raíz p buscada. El criterio habitual de parada, es …jar un nivel de tolerancia ", y parar cuando el factor de corrección es menor en valor absoluto que ": n
1+ jik+1
ik j =
V A (1 + ik ) n ik (1 + ik ) C ik < " nik n 1+ (1 + ik ) 1 + ik
Ejemplo 7.64 El Sr. Daniel tomó un préstamo por $ 20.000 a devolver en 24 cuotas mensuales consecutivas de $ 2.500. ¿Qué tasa mensual esta pagando? Utilizaremos Newton para hallar una aproximación de la tasa mensual asociada a esta renta. Fijaremos un nivel de tolerancia " = 0:00000001 = 1 10
8
7.10. MÉTODO DE LA SECANTE
191
Es decir, pararemos cuando el término de corrección sea menor que ". Para facilitar la presentación construimos la siguiente tabla: k
ik
0 1 2 3 4 5
0; 01 0; 062367249 0; 100549001 0; 114645163 0; 116021229 0; 116032642
f (ik ) f 0 (ik ) 0; 052367249 0; 038181752 0; 014096162 0; 001376066 0; 000011411 7; 74082 10 10
Donde 0; 062367249
= i1 = i0
0; 100549001
= i2 = i1
f (i0 ) = 0; 01 + 0; 052367249 f 0 (i0 ) f (i1 ) = 0; 062367249 + 0; 038181752 f 0 (i1 )
y asi sucesivamente. La tasa mensual que buscamos es i = 0; 116032642 Comprobemos que esta tasa funciona bien: 2:500
1
(1 + 0; 116032642) 0; 116032642
24
= 20:000; 0000947
Un problema no trivial con el método de Newton es la elección de una buena semilla i0 , tanto para garantizar la convergencia del mismo, como para reducir el número de interaciones. Un buen criterio ad hoc para nuestro problema es comprobar que la semilla i0 satisfaga VA C
1
(1 + i0 ) i0
n
En el ejemplo del Sr. Daniel V A=C = 8, y para i0 = 0:01 1
(1 + 0:01) 0:01
24
= 21:2433872576
mientras que si hubieramos elegido i0 = 0:10 1
(1 + 0:15) 0:15
24
= 6:43377144806
lo que nos indica i0 = 0:10 es una mejor semilla para realizar las iteraciones. Usando esta semilla necesitamos 3 iteraciones para alcanzar el nivel de precisión deseado: k
ik
0 1 2 3
0; 1 0; 114546475 0; 116019550 0; 116032642
f (ik ) f 0 (ik ) 0; 014546475 0; 001473075 1; 30917 10 1; 01861 10
5 9
192
CAPÍTULO 7. RENTAS
En el caso de tener como dato el valor …nal de la renta V F , las fórmula anteriores deben ser modi…cadas pues debemos partir de n
VF =C
(1 + i) i
1
Dada una renta pospagable de valor …nal V F , de n términos de montante C, si deseamos hallar la tasa p-períodica i para poder usar Newton, debemos colocar las cosas de la forma f (x) = 0, lo cual se logra al de…nir n
f (i) = C
(1 + i) i
1
VF
El método de Newton requiere la derivada de f n 1
f 0 (i) = C
n
ni (1 + i)
[(1 + i)
1]
i2
En la iteración necesitaremos el cociente f (i) =f 0 (i): n
f (i) f 0 (i)
(1 + i) i n 1 ni (1 + i)
1
C
= C
1]
VF i C i n 1 n ni (1 + i) [(1 + i) 1] VF n (1 + i) 1 i C n 1 ni 1 + ni (1 + i) (1 + i) n
=
n
[(1 + i) i2
(1 + i)
=
VF
1
Por lo tanto la relación recursiva buscada es: VF n ik (1 + i) C = ik + n 1 n ik 1 + nik (1 + ik ) (1 + ik ) 1+
ik+1
(7.28)
(para las personas de poca fe, en la nota ?? al …nal de esta sección está la correspondiente deducción) Ejemplo 7.65 El Sr. Ignacio desea ahorrar unos $ 14.000 para comprase un telivisor LED de 40ij un home-theater con Blue-ray. Para tal …n deposita a principio de cada mes $ 600. Si al cabo de 18 meses a juntado su…ciente dinero, cual fue la tasa que obtuvo del banco. Lo primer que debemos hacer es hallar una semilla adecuada. En este caso buscamos que n VF (1 + i0 ) 1 C i0 Ahora V F=C = 23; 3333333. Probamos con i0 = 0; 5: 18
(1 + 0; 5) 0; 5
1
= 2953; 78376
7.11. RENTAS GEOMÉTRICAS
193
lo cual claramente está muy lejos del valor buscado. Ahora, ¿tenemos que subir o bajar la tasa semilla para lograr una mejor aproximación? La respuesta es senn cilla, debido a la monotonía del multiplicador (1+i)i 1 , como la primera apróximación fue por exceso, debemos probar con una tasa más pequeña. Veamos que ocurre con i0 = 0; 05 18
(1 + 0; 05) 0; 05
1
= 28; 13238467
la cual es una mejor aproximación inicial. Ahora usando la fórmula iterativa (7.28) obtenemos la siguiente tabla
k
ik
0 1 2 3
0; 05 0; 03171643 0; 029638966 0; 029615247
f (ik ) f 0 (ik ) 0; 01828357 0; 002077465 2; 37185 10 3; 04451 10
5 9
donde hemos usado como criterio de parada " = 1 10 8 . Comprovemos que esta tasa es la que efectivamente da una buena aproximación de la tasa buscada en este problema: 18
600
(1 + 0; 029615247) 0; 029615247
1
= 14:000; 0003835
Poner 6 a 10 ejercicios, una mitad con VA y la otra con VF 7.11
Rentas geométricas
7.12
Rentas variables en progresión geométrica
Consideremos el siguiente ejemplo Ejemplo 7.66 El Sr. Daniel se compromete a cumplir el siguiente esquema de 12 pagos mensuales con el Sr. Ignacio. Un primera cuota de $ 100, una segunda cuota de $ 110, una tercera cuota $ 121 y asi sucesivamente hasta la cuota doce. Suponiendo una TEM del 1.2%. ¿Cuál es el monto de la cuota 9?¿Qué cantidad debería entregarle hoy el Sr. Daniel al Sr. Ignacio para sustituir este esquema de pago? ¿Podrá comprarse el Sr. Ignacio una PS3 al cabo de un año con estos fondos? (el precio de una PS3 es $ 3 200). Este es un ejemplo de una renta variable, donde la variación sigue una ley determinada: los términos de la renta forman una progresión geométrica
194
CAPÍTULO 7. RENTAS
Actualización V A(0)
C1
C2
100
0
100
1
C3 1:1)2
(100
1:1
2
C10 (1:1)9
100
3
C11 100
10
(1:1)10
11
C12 100
(1:1)11
12 V F (12)
Capitalización Necesitamos desarrollar fórmulas que nos permitan sumar expresiones de la forma V A (0) =
100 1:1 100 1:12 100 + + 3 + 1 + 0:012 (1 + 0:012)2 (1 + 0:012)
+
1:112 100 n (1 + 0:012)
Para esto estudiaremos las progresiones y las sucesiones aritméticas De…nición 7.67 Dados dos números reales a y r, se llama progresión geométrica a toda sucesión …nita de n términos de la forma ark
0 k n 1
:= a; ar; ar2 ; : : : ; arn
1
Si la sucesión es in…nita, preferiremos llamarle sucesión geométrica ark
k 0
:= a; ar; ar2 ; ar3 ; : : :
Habitualmente al número a se le llama término inicial, y al número r se le llama razón (común). Nota 7.68 Toda progresión geométrica puede ser escrita de forma recursiva: a1 ak+1
= =
a rak
para 1
k
n
para k
1:
1:
Lo mismo ocurre con las sucesiones geométricas: a1 ak+1
= =
a rak
De hecho, de acuerdo con la teoría de relaciones recursivas que desarrollamos en el capítulo 2 la forma de la solución de estas relaciones recursivas es Ck = ark
1
Ejemplo 7.69 Los siguientes son ejemplos de progresiones y sucesiones geométricas
7.12. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
195
1. 2; 4; 8; 16; 32; : : : es una sucesión geométrica de término inicial a = 2 y razón r = 2. 2. 2; 6; 18; 54; 162; 486; 1458; 4374 es una progresión geométrica de término inicial a = 2 y razón r = 3. 1 1 1 1 1 3. 1; ; ; ; ; ; : : : 2 4 8 16 32 4. 1; ; 2 ; 3 ; : : : p p p 5. 2; 2; 23 ; 4; 25 : 6. 7.
3 5k
: 0 k 14
n o k 2 ( 1:5)
k 0
:
8.
a1 ak+1
= =
3 2ak
para 1
k
9.
a1 ak+1
= =
0 5ak
para k
1
10:
Es fácil ver que 2; 6; 18; 54; 162; 486; 1458; 4374 es una progresión geométrica: la razón entre dos términos consecutivos se mantiene constante: 6 18 54 162 486 1458 4374 = = = = = = = 2 6 18 54 162 486 1458
3=r
Mientras que el valor el primer término nos da el valor de a a=2 La forma general de la progresión aritmética es k 1
ak = 2 ( 3)
para 1
k
n
Para hallar n utilizamos el valor del último término: n 1
2 ( 3)
=
4374
de donde deducimos que n = 8. El signo sólo nos dice la paridad del término, para el cálculo del n no hace falta considerarlo: n 1
2 ( 3) n 2 ( 1) 3n
1
= =
4374 4374
lo que nos dice que n es par (pues si fuera impar tendríamos lo que es absurdo).
2 3n
1
= 4374
196
CAPÍTULO 7. RENTAS
Por lo tanto la progresión geométrica buscada es k 1
ak = 2 ( 3)
para 1
k
8
Si la progresión/sucesión esta dada de forma recursiva a1 ak+1
= =
7 4ak
para 1
k
11:
podemos conseguir su expresión cerrada aplicando la teoría de relaciones recursivas como se explica en la nota (7.68): ak =
(k 1)
7 ( 4)
para 1
k
11:
Ejercicio 7.70 Hallar el término inicial, el paso común y la forma general de cada uno de los items que restan del ejemplo (7.69). Ahora podemos responder a una de las preguntas planteadas en el ejemplo (??): ¿Cuál es el monto de la cuota 9? La progresión geométrica que representa la renta dada en el ejemplo (??) es Ck = 100 1:1k
1
por lo que el monto de la cuota 9 es C9 = 100 1:18 = 214:358881 Las rentas variables en progresión geométrica, son aquellas rentas cuyos términos forman una progresión geométrica, i.e.: Ck+1 = rCk para k
0
(7.29)
Actualización V A(0)
0
C1
C2
C3
Cn
C
rC
r2 C
rn
1
2
3
n
3
2
Cn
C
rn
2
n
1 2
C 1
Cn rn
1
C
n
V F (n) Capitalización Supongamos que tenemos una sucesión de n capitales sujetos a una ley geométrica como la expreseda en (7.29), sobre la que actua una tasa q-períodica i(q) . Supongamos que los términos están disponibles a los q-períodos 1; 2; : : : n .
7.12. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
197
El valor actual de este tipo de renta no es otra cosa que la suma de los valores actuales (al momento 0) de cada uno de los términos V A (0)
=
=
=
C rC + (q) 1+i 1 + i(q)
2
r2 C
+
1+
3 i(q)
r r2 1+ + 1 + i(q) 1 + i(q) rn 1 n 1 + i(q) C r 1 + i(q) 1 1 + i(q) C 1 + i(q)
= C
1
+
2
rn 1 C 1 + i(q)
+
+
+
rn
n 1
1 + i(q)
n 1
!
n
rn 1 + i(q) 1 + i(q) r
de donde
n
rn 1 + i(q) V A (0) = C r i 1 Por lo que el valor …nal es n
(q)
V F (n) = V A (0) 1 + i
=C
rn
1
(7.30)
1 + i(q) r i 1
n
(7.31)
La situación típica es que la razón geométrica tome la forma r =1+t donde t es una tasa (de efectiva si es positiva, y de descuento si es negativa). La fórmulas anteriores quedan n
V A (0) V F (n)
1 + i(q) t i n (1 + t) 1 + i(q) = C t i = C
(1 + t)
n
1
(7.32)
n
(7.33)
Mientras que si la razón geometrica es un factor de actualización r=
1 = (1 + t) 1+t
1
las fórmulas anteriores son V A (0)
= C
V F (n)
= C
(1 + t) 1 + i(q) 1 i 1 1+t (1 + t)
n
1 1+t
n
1 + i(q) i 1
1
(7.34)
n
(7.35)
Nota 7.71 Las fórmulas obtenidas corresponden a una renta postpagable, para rentas prepagables se deben realizar las correspondientes modi…caciones, las cuales no deberían ser difíciles de realizar por parte del lector.
198
CAPÍTULO 7. RENTAS
Ahora podemos responder a las restantes preguntas que se nos plantearon en el ejemplo (??). El Sr. Daniel debería entregar hoy al Sr. Ignacio $ 1 954.38, el valor actual de la renta (recordar C = 100, TEM 1:2%, r = 1:1 y n = 12) n
rn 1 + i(q) 1 V A(0) = C r i 1 12 1:112 (1 + 0:012) = 100 1:1 0:012 1 = 1954:38296033
1
Por otro lado, el Sr. Ignacio (si va ahorrando el dinero a una TEM del 1.2%) juntará al cabo de un año la suma de $ 2 255.15 (lo cual no es su…ciente como para comprarse la PS3), pues V F (12)
n
1 + i(q) r i 1 12 1:112 (1 + 0:012) = 100 1:1 0:012 1 = 2255:15199151 = 1954:38296033 1:01212 = C
rn
Nota 7.72 En las fórmulas de la (7.30) a la (7.35) aparecen 5 variables:V A o V F; C; n; r o t, y i(q) . Las dos primeras no presentan di…cultad, pero las dos últimas: r o t, y i(q) , al no ser posible despejarlas, requieren de métodos númericos (Newton-Raphson) para estimar sus valores. Mientras que n es despejable de las fórmulas de valor inicial pero no de las fórmulas de valor …nal. Ejemplo 7.73 (Continuación del ejemplo (??)) De cuanto debe ser la cuota inicial si el Sr. Ignacio desea comprarse la PS3 (i.e. desea juntar al menos $ 3 200 al cabo de 12 meses). En este caso, deseamos averiguar el valor de C (recordar TEM 1.2 %, r = 1:1, n = 12 y V F (12) = 3200) 3200
= V F (12) rn
n
1 + i(q) = C r i 1 12 12 1:1 (1 + 0:012) = C 1:1 0:012 1 = 22:5515199152C Por lo tanto C = 141:897309451 Es decir, el primer pago del Sr. Daniel debe ser de $ 141.90. Con este pago inicial el Sr. Ignacio junta al cabo de 12 meses la suma de $ 3 200.06, i.e. se puede comprar la PS3 y le sobran 6 centavos. Ejemplo 7.74 (Continuación del ejemplo (??)) Sabemos que el valor actual de la renta que le paga el Sr. Daniel al Sr. Ignacio es de $ 1 954.38 (recordar C = 100, TEM 1:2%, r = 1:1 y n = 12). Ahora nos preguntamos cuanto debería durar la renta si el valor actual de la misma queremos que sea al menos $ 2 900.
7.12. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
199
En este caso buscamos un n tal que n
V A(0) = C
rn 1 + i(q) r i 1
1
2900
En este caso hay que ser cuidadosos, si r i 1 < 0, al realizar el pasaje de términos la desigualdad se da vuelta. Como en nuetro caso r i 1 = 1:1 0:012 1 = 0:098 > 0 esto no ocurre. n
rn 1 + i(q)
Ejemplo 7.75 (Continuación del ejemplo (??)) Como acabamos de ver, en 12 meses el Sr. Ignacio no alcanza a ahorrar lo necesario para comprarse la PS3. ¿Cuántos meses debería durar este esquema de pagos para que el Sr. Ignacio pueda comprarse su preciada PS3? En este caso buscamos un n tal que C
rn
1 + i(q) r i 1
n
3200
de donde Ejemplo 7.76 (Continuación del ejemplo (7.47)) De cuánto debe ser el término inicial para que el valor actual de la renta sea del $ 3 600. En este caso la incognita es C (recordar C =?, TEM 1.2 %, b = 40, n = 12 y V A (0) = 3600) 3600
= V A (0) = C
= C =
1
1
1 + i(q) i(q)
n
(1 + 0:012) 0:012
+
n 1
1 + i(q) i(q)
b i(q) 1 + i(q)
12
+
n 1
1
n 1 1 + i(q) 12 1
40 12 1
0:012 (1 + 0:012) 11:1141448677 C + 2381:9390949
(1 + 0:012) 0:012
1
Por lo tanto C = 109:595557697 Lo que implica que el Sr. Daniel pagarle al Sr. Ignacio $ 109.60 el primer mes, y luego ir incrementando en $ 40 cada cuota hasta la cuota 12. Ejemplo 7.77 (Continuación del ejemplo (7.47)) Al 5to mes, al Sr. Ignacio le ofrecen una PS3 en $ 2 150, ¿Cuando podrá comprar la PS3? La incognita ahora es el tiempo n (recordar C = 100, TEM 1.2 %, b = 40, n =? y V F (n) 2150), necesario para juntar al menos $ 2 150. Como ya dijimos, no se puede despejar n de las fórmulas (7.21) y (7.25). Por lo que aplicaremos Newton-Raphson para ! n n 1 1 + i(q) 1 1 + i(q) 1 1 + i(q) n 1 f (n) = C + b (q) V F (n) i(q) i i(q) 1 + i(q)
! 12 1 1 + 0:012
!
200
CAPÍTULO 7. RENTAS
Por lo tanto f 0 (n) =
b C + (q) i(q) i
2
!
n
1 + i(q)
ln 1 + i(q)
b i(q)
Para aplicar Newton-Raphson completamos la siguiente tabla, donde hemos establecido como criterio de parada " = 0:01, y una buena semilla para la raíz puede ser obtenida a partir del hecho que n X
a + b (k
1)
= an + b
k=1
n X
(k
1)
k=1
=
(a
b) n + b
n (n + 1) 2
luego 2150
(100
40) n + 40
n (n + 1) 2
la raíz k
nk
f (nk )
f 0 (nk )
nk+1 = nk
f (nk ) f 0 (nk )
jnk
nk+1 j
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ejemplo 7.78 Un programa de televisión anuncia un premio $ 300 000, consistente un sueldo …jo a mes vencido de $ 2 500 mensuales durante 10 años. ¿Realmente el premio consiste de $ 300 000?. Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0.85% mensual, y la in‡ación mensual estimada es del 0.7%. mensual. Como antes sólo debemos calcular el valor actual del esquema de sueldos. Debemos usar la fórmula (7.34) ya que la in‡ación actua como un factor de actualización (ver nota ([?]) : V A (0) = 2500
120
(1 + 0:007)
1 1+0:007
(1 + 0:0085) 0:0085 1
120
1
= 136427:76
Al tener en cuenta la in‡ación, inclusive es mejor que nos den la “mitad” del premio en efectivo que en 120 mensualidades (suponiendo una tasa de in‡ación anual constante del 8,7 %, si la in‡ación es mayor, el valor actual del premio inclusive será menor. Observe que si hubieramos usado la tasa de in‡ación como una tasa de descuento, hubieramos cometido un error, pero uno pequeño: V A (0) = 2500
(1
120
0:007)
(1 + 0:0085) 0:007 0:0085
120
1
= 136147:74
7.12. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
201
Por eso a veces en estos tipos de problemas se suele pensar la tasa de in‡ación como una tasa de descuento (este error disminuye a medida que aumentamos la frecuencia de capitalización ¿Por qué?). Ejemplo 7.79 Ud. empieza a ahorrar unos $ 450 por mes, pero como esta conciente de la in‡ación, ud. incrementa cada mes lo ahorrado en un 1%. Suponiendo una TEM del 1.1%, ¿Cuánto tendrá ahorrado en dos 2 años? Sólo debemos calcular el valor …nal de una renta geométrica 24
V F (24) = 450
(1 + 0:01) 0:01
24
(1 + 0:011) 0:011
= 13733:08263
Ejemplo 7.80 Si la in‡ación anual estimada para los próximos 2 años es del 9.5% anual, ¿Cuál es el valor real (en pesos de hoy) de los $ 11 063.86 que tendremos en dos años? Simplemente hay que de‡actar los $ 11 063.86 dos años a la tasa anual de in‡ación 11063:86 2 = 9927:38 (1 + 0:095) i.e., con los $ 11 063.86 podrá comprar dentro de dos años, más o menos lo mismo que podría aquirir hoy con $ 9 927.38. 0.007591534 450 1 + 0:007591534 : 11355: : 10080:0 :
24 1+0:001 1+0:007591534 1+0:001 1+0:007591534
24
(1 + 0:011) 0:011
1
77: 623
Ejercicio 7.81 Ud comienza ahorrando $ 1, al siguiente mes ahorra $ 2, al siguiente $ 4, y asi sucesivamente. Si Usted gana $ 4 500 por mes, ¿cuántos meses pasarán hasta que el nivel de ahorro requerido por este esquema supere sus ingresos? Si le pagan una TNA del 13.3 % ¿Cuánto habrá ahorrado hasta ese momento? Ejercicio 7.82 Cuanto debe depositar en diciembre para que su hijo pueda retirar a principios de enero $ 650, pero como estima que este año habrá una in‡ación de al menos un 1% mensual, ud. desea que al siguiente mes pueda retirar un 1.5% más, y así sucesiamente hasta …n de año. Suponer que le pagan una TEM del 0.85%. Ejercicio 7.83 Suponga que usted tiene un contrato por 5 años con una empresa, ésta le ofrece tres opciones: 60 sueldos mensuales de $ 8 000, o 5 pagos anuales de $ 90 000 comenzando hoy, o un único pago de $ 300 000 hoy. Ud estima que la in‡ación promedio de los próximos 5 años será del 8% anual, y que puede obtener una TEA del 10.5% para sus ahorros. Sabiendo esto, que esquema de pago le resulta más atractivo. Ejercicio 7.84 Ud. empieza a ahorrar unos $ 350 por mes, pero como esta conciente de la in‡ación, ud. incrementa cada mes lo ahorrado en un 0.5%. Además al comienzo de cada año aumenta en $ 100 la cantidad ahorrada a diciembre del año anterior. Suponiendo una TEM del 0.9%, ¿Cuánto tendrá ahorrado en 5 años?
202
7.13
CAPÍTULO 7. RENTAS
Otros tipos de rentas.
Capítulo 8
Préstamos Todos sabemos, en mayor o menor medida, que es un préstamo, pero igual damos la siguiente de…nición: De…nición 8.1 Se llama préstamo a la operación …nanciera consistente en la entrega de una cantidad dada de dinero (C0 ) por parte de una persona (física o jurídica), llamado prestamista, a otra persona (física o jurídica), llamado prestatario, quién se compromete a reintegrarlo junto con los intereses convenidos, en uno o más pagos, en los plazos acordados. Los préstamos se pueden clasi…car en dos clases de acuerdo a como son cobrados los intereses: directos y sobre saldos. Interés directo: son los préstamos donde se aplica la tasa directamente sobre el capital inicial (durante el período de tiempo pactado para el préstamo) y luego se reembolsa el préstamo en cuotas iguales. Interés sobre saldos: son los préstamos donde la tasa se aplica sobre el lo que se conoce como capital pendiente (lo que efectivamente debemos después de cada pago).
8.1
Préstamos a interés directo
En la Argentina los sistemas de interés directo son usados principalmente por pequeños comercios y algunas instituciones …nancieras (conocidas como …nancieras). El mayor inconveniente (para el préstatario) con estos sistemas es que no reconocen los pagos parciales efectuados, y como resultante la tasa de interés efectivamente cobrada es mucho mayor que la tasa declarada. Consideremos el siguiente ejemplo Ejemplo 8.2 Una tienda anuncia que sólo cobra un recargo del 20% anual sobre las compras en cuotas. Ud. realiza una compra por $ 1 000, y desea pagarla en 12 cuotas mensuales y consecutivas. La dueña de la tienda le plantea el siguiente esquema de pago: “Son $ 1 000, más un recargo del 20%, nos da $ 1 200, ahora lo dividimos por el número de cuotas lo que nos da doce cuotitas mensuales de $ 100”. Del ejemplo es claro que los elementos que conforman de un préstamo a interés directo son: 203
204
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
1. Importe del préstamo (o deuda) C0 : 2. Tasa de interés (directa) p-períodica cobrada
(p)
:
3. Duración de la operación t, expresada en años. 4. Número de cuotas n El monto de cada uno de los n pagos es C0 1 + a=
(p)
pt
n
Esta fue la cuenta que hizo la dueña de la tienda en el ejemplo anterior a=
1000 (1 + 0:2) 1200 = = 100 12 12
Si consideramos la renta generada y calculamos su valor actual con la tasa p mensual equivalente i(12) = 12 1 + 0:2 1 = 0:0153094705, obtenemos 100
1
(1 + 0:0153094705) 0:0153094705
12
= 1088:65075816
Lo cual nos da la primera advertencia: a la tasa declarada la renta generada y el desembolso del préstamo (o deuda) no son …nancieramente equivalentes. Veamos que siempre ocurre que el valor actual de la renta es mayor que el desembolso del préstamo (o monto de la deuda). Sin pérdida de generalidad, y ganando mucho en claridad, podemos suponer que el número de cuotas n coincide con la cantidad de q-períodos que caben en t años (la duración de la operación) para algún q de los habituales, i.e. q 2 f1; 2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g. Por ejemplo 12 cuotas en un año nos dice que las cuotas son mensuales, mientras que 18 cuotas en 3 años nos dice que las cuotas son bimestrales. Por lo tanto se cumple que qt = n Dada la tasa de interés (directa) p-períodica cobrada directa q-períodica asociada r (q)
=
q
1+
(p)
(p)
, calculamos la tasa
p
1
Con esta tasa también podemos calcular a pues C0 1 + a=
(p)
pt
C0 1 + =
n
(q)
qt
n
Ahora, el valor actual de la renta asociada es siempre mayor que C0 : 1 a
1+ (q)
(q)
qt
> C0
8.1. PRÉSTAMOS A INTERÉS DIRECTO
205
pues a
1
q
(1 +
qt
)
= a
(q)
1
n
)
(q)
=
n
(q)
C0 1 +
=
q
(1 +
1
n
(q)
n (q) C0 1 + (q) n | {z
n
>n
>
(q)
1+
C0
1 }
La tasa q-períodica i(q) que a la cual la renta de n términos a es …nancieramente equivalente es siempre mayor que la tasa q-períodica equivalente a la tasa declarada pues como 1
1+
a
qt
(q)
> C0 = a
(q)
1 + i(q) i(q)
1
qt
tenemos que 1
1+
(q)
(q)
qt
>
1 + i(q) i(q)
1
qt
de donde podemos concluir que i(q) >
(q)
al recordar que este multiplicador, …jado n, es una función estrictamente decreciente de la tasa. Veri…quemos esto en el ejemplo dado. La tasa mensual para la cual 100
1
12
1 + i(12) i(12)
= 1000
es (usando Newton-Raphson) i(12) = 0:0292285407616 > 0:0153094705 =
(12)
Lo que nos una tasa anual i = 0:412998984 > 0:2 = Finalmente los términos de la renta tendrián que ser de $ 91.86 para que a la tasa dada el valor actual de la renta sea $ 1000, pues 1000 0:0153094705 1
(1 + 0:0153094705)
12
= 91:8568229987
Ejercicio 8.3 El Sr. Nicolás solicita un préstamo de $ 15 000 en su obra social, la cual utiliza el sistema directo y cobra una tasa anual del 26.5 %. Plantear el préstamos para 12, 18, 24, 36, y 60 meses (cuotas mensuales). En cada caso dar el valor actual de la renta generada, averiguar la tasa real que cobra la obra social.
206
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Ejercicio 8.4 La Srta. Jésica compro unos zapatos en la zapatería top del momento. Los zapatos cuestan $ 650. Gonzalo, el vendedor, le dice "no te preocupes querida, los podes pagar en 6 cuotas mensuales de $ 120". Si la tienda usa interés directo ¿Cuál es el interés directo mensual cobrado?. Ejercicio 8.5 A la Srta. Jésica le es más facil pagar pagar $ 30 cada semana, en lugar de los $ 120 por mes. El dueño de la tienda acepta sin ninguna queja ¿Por qué? (Calcular la tasa real de ambas operaciones o el valor actual de cada una de las rentas generadas).
8.2
Préstamos a interés sobre saldos
Los elementos que componen un préstamo a interés sobre saldos son: 1. C0 el importe del préstamo (o deuda). 2. n número de cuotas en las que se devolverá el préstamo más los intereses generados. 3. a1 ; a2 ; : : : ; an sucesión de términos amortizativos, son lo pagos acordados que el prestatario realiza a …n de cancelar el préstamo más los intereses generados. 4. t0 ; t1 ; t2 ; : : : tn sucesión de plazos en los que el dinero cambia de manos. t0 es el momento en el cual el préstamista le entrega la cantidad C0 al prestatario. El resto de los tiempos corresponden a la sucesión de términos amortizativos: los pagos realiza el prestario. 5. i1 ; i2 ; : : : ; in la sucesión de intereses que se aplican en cada uno de los períodos: ik corresponde al interés cobrado en el período k recordar que el período k comienza en el momento tk momento tk .
1
y termina en el
Nota 8.6 PONER DIBU En un préstamo típico, dada C0 , la sucesión de tiempos t0 ; t1 ; t2 ; : : : tn y la sucesión de intereses a ser aplicados i1 ; i2 ; : : : ; in , el problema es determinar el monto de los pagos que deberá abonar el prestatario, los cuales deben generar un ‡ujo de fondos …nancieramente equivalente a la candidad prestada C0 : C0
a1 a2 + + 1 + i1 (1 + i1 ) (1 + i2 ) n X ah = h Y h=1 (1 + ik ) =
+
an (1 + i1 ) (1 + i2 )
(1 + in ) (8.1)
k=1
Cada término amortizativo ah tiene en principio dos componentes: una destinada a cancelar los intereses generados en el correspondiente período, y la otra
8.2. PRÉSTAMOS A INTERÉS SOBRE SALDOS
207
a destinada a disminuir el monto de la deuda, las cuales reciben los nombres de cuota de interés y cuota de capital (o de amortización) respectivamente S e e n c a rg a d e c a n c e la r lo s inte re se s
Cuota de interés
ah |{z}
z}|{ Ih
=
Término amortizativo
+
Ah |{z}
(8.2)
Cuota de capital
E s lo q u e e fe c t iva m e n t e
S e e n c a rg a ir c a n c e la n d o
p a g a e l p re sta ta rio
e l c a p ita l a d e u d a d o
Por de…nición de cuota de capital, si deseamos alguna vez cancelar el préstamo, debe ocurrir que C0 = A1 + A2 +
+ An
(8.3)
De la de…nición de cuota de interés se deduce Ih = (saldo (lo que se debe) al momento anterior: h
1) ih
(8.4)
Ahora lo que debemos al momento h es conocido como capital pendiente Ch , el cual es el monto que debemos luego de pagar el término amortizativo ah . Por lo tanto para cada 1 h n se cumple que Ch = C0
A1
A2
Ah = Ah+1 + Ah+2 +
+ An
(8.5)
de donde se deduce con facilidad la siguiente relación recursiva Ch = Ch
1
Ah
(8.6)
Otra forma recursiva de para calcular el capital pendiente al momento h resulta de la siguiente observación: lo que debo al momento h debe ser igual a lo que debía en el período anterior h 1, capitalizado al período h, menos el pago que realizo: Ch = Ch 1 (1 + ih ) ah (8.7) También podemos calcular el capital pendiente al momento h actualizando todos los pagos que restan por realizar Ch =
n X
j=h
aj j Y
(8.8)
(1 + ik )
k=h
Ahora que podemos reescribir la ecuación (8.4) para la cuota de interés en términos del capital pendiente al período anterior Ih = Ch
1 ih
(8.9)
Nota 8.7 Esta es la razón por la cual decimos que estos sistemas de préstamos cobran los intereses sobre saldos.
208
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Se llama total amortizado al período h a la suma de las cuotas de amortización pagas hasta el momento h Mh = A1 + A2 +
+ Ah
(8.10)
Por lo tanto, para todo momento h (entre 0 y n) se debe cumplir que la suma entre el capital pendiente y y total mortizado debe ser igual al capital prestado C0 = Ch + Mh Aqui se está implicito que M0 = 0. Si los intereses cobrados al prestamista permanecen constantes: i1 = i2 =
= in = i
el cálculo del monto de cada uno de los términos amortizativos se simpli…ca al suponer constante alguna de la partes de (8.2), esto da origen a tres tipos de préstamos dentro de los que cobran los intereses sobre saldos. 1. Préstamos Tipo Francés: en este caso lo que es constante son los términos amortizativos ah (los pagos a realizar). 2. Préstamos Tipo Alemán: en este caso lo que se deja constante es cada una de las cuotas de capital Ah . 3. Préstamos Tipo Americano: en este caso se deja constante la cuota de interés Ih . Existen una gran cantidad de variantes, variables y situaciones que modi…can de este esquema inical de préstamo a interés sobre saldo. Las principales (pero no las únicas) son: 1. Período de gracia. 2. Efectos de los impuestos. 3. Efectos de gastos varios: costos administrativos, honorarios varios (para peritos, notarios, escribanos, por nombrar algunos), etc. 4. Efectos de los seguros. 5. Adelanto de cuotas y cancelación anticipada. 6. Efecto de eventuales atrasos (mora) y los punitorios correspondientes. 7. Efecto de la in‡ación. 8. Efecto de la evolución del tipo de cambio.
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
8.3
209
Préstamo francés
Recordemos que como hipótesis inicial de trabajo vamos a suponer que la tasa de interés cobrada por el prestamista es constante a lo largo de todo el préstamo, lo cual nos permitirá aplicar las fórmulas desarrolladas para rentas constantes. El sistema francés es el más habitual en Argentina, ya que son constantes cada uno de los pagos que realiza el prestatario a1 = a2 =
= an = a
(8.11)
lo cual por algún motivo psicológico es lo preferido por la mayoría de la población. Los elementos que componen un típico préstamo francés son: 1. C0 el capital préstado (deuda). 2. i la tasa de interés cobrada por el prestamista. 3. a la cuota de amortización. 4. n la cantidad de pagos que debe realizar el prestatario Para simpli…car la notación supondremos que la tasa aplicada y los períodos a los que son impuestos cada uno de los capitales son temporalmente compatibles (si las cuotas son mensuales, el interés es mensual, y en general si las cuotas son q-períodicas, la tasa considerada será q-períodica). Como es los préstamos a interés sobre saldo el capital préstado debe ser …nancieramente equivalente al valor actual de la renta generada por la sucesión de términos amortizativos, la primera relación que tenemos es n
(1 + i) i de donde podemos despejar el valor de la cuota de amortización C0 = a
a=
1
C0 i 1
(1 + i)
n
(8.12)
(8.13)
Es claro que si los términos de amortivos son constantes, tenemos que la sucesión de cuotas de interés es estrictamente decreciente I1 > I2 >
> In ;
(pues período a período el saldo adeudado va decreciendo) y la sucesión de cuotas de amortización debe ser estrictamente creciente: A1 < A2 <
< An :
Nota 8.8 PONER DIBU Para un análisis completo de cualquier esquema de préstamo, debemos tener fórmulas para calcular el resto de las cantidades signi…cativas: cuotas de interés y amortización, capital pendiente y total amortizado. Sabemos que Ah = Ch Ch 1
210
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Aplicando la fórmula (8.7) obtenemos la siguiente relación recursiva entre los capitales pendientes de dos períodos consecutivos Ch = Ch
1
(1 + i)
a
(8.14)
Si escribimos la recursión para los períodos h y h Ch Ch
1
= Ch = Ch
Restado estas ecuaciones obtenemos 0
B Ch Ch 1 = @Ch | {z } |
(1 + i) 2 (1 + i)
a a
1
1
Ah
1
{z
Ah
Ch
C
2 A (1
+ i)
h
n
}
1
1
de donde se deduce la siguiente relación recursiva entre las cuotas de amortización en sistema francés Ah = Ah
1
(1 + i) para 2
cuya solución general es
h 1
Ah = A1 (1 + i)
(8.15)
Para conocer el valor de todas las cuotas de amortización sólo necesitamos calcular el valor de A1 A1 = C0
C1 = C0
[C0 (1 + i)
a] = a
C0 i
(8.16)
En particular, usando (8.13) y (8.16) A1
C0 i
=
1
(1 + i) i = C0 n (1 + i)
de donde obtenemos
C0 i
n
1
n
(1 + i) 1 i Para hallar el capital pendiente Ch además de la fórmula recursiva (8.14) podemos usar las fórmulas (8.5) y (8.8). Método restropectivo: considerando el ‡ujo de fondos hasta el momento h, de las ecuaciones (8.5), (8.15) y (8.13) se tiene C0 = A1
Ch
= C0
A1
= C0
A1
A1 (1 + i) h
= C0
(1 + i) i h (1 + i) C0 n (1 + i) n
= C0
h 1
A1 (1 + i)
1 1 1 h
(1 + i) (1 + i) n (1 + i) 1
(8.17)
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
211
Método prostectivo: considerando el ‡ujo de fondos del momento h en adelante, de las ecuaciones (8.8) y (8.15) se tiene h
Ch
h+1
= A1 (1 + i) + A1 (1 + i) n h
(1 + i)
h
= A1 (1 + i)
n 1
+
A1 (1 + i)
1
(8.18)
i
Para calcular el total amortizado usamos (8.10), (8.15) y (8.13): Mh
h 1
= A1 + A1 (1 + i) + h
(1 + i) i h (1 + i) = C0 n (1 + i)
+ A1 (1 + i)
1
= A1
1 1
(8.19)
Para calcular la cuota de interés basta usar (8.9) y (8.17) o (8.18): n
Ih = Ch
1 i = C0
h 1
(1 + i) (1 + i) n (1 + i) 1
i
(8.20)
Ejemplo 8.9 Ud. acude a un banco y pide un préstamo de $ 25 000 a devolver en 5 años en cuotas mensuales, por el método francés. La TNA que le cobra el banco es del 22.5%. Primero calcularemos el valor del termino amortizativo (lo que ud debe pagar mes a mes), de acuerdo con (8.13) 0:225 12 0:225 1 1+ 12 697:59862786 25000
a =
=
12 5
i.e., ud. debe pagar unos $ 697.60 cada mes, comenzando un mes después de que el banco le entregara los $ 25 000. Para calcular el calor de una cuota de capital primero calculamos el valor de la primera cuota de capital y luego usamos (8.15). Por ejemplo el valor de la cuota de capital A41 es A1 = a
C0 i = 697:59862786
25000
0:225 = 228:84862786 12
luego 40
A41 = A1 (1 + i)
= 228:84862786 1 +
0:225 12
40
= 481:11974739
El mismo resultado se puede obtener de un sólo paso usando Ah = C0
i n (1 + i)
h 1
1
(1 + i)
(8.21)
212
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
de donde
A41
0:225 12 = 25000 0:225 1+ 12
1+
60
1
0:225 12
40
= 481:11974739
Para calcular el valor de una cuota de interés dada, por ejemplo la cuota I37 , usamos (8.20) 1+ I37 = 25000
0:225 12
60
1+
1+
0:225 12
0:225 12
37 1
0:225 = 250:932833256 12
60
1
Podemos calcular el capital pendiente en cualquier momento usando (8.17) C23 = 25000
1+
23 0:225 60 1 + 0:225 12 12 60 1 + 0:225 1 12
= 18494:0299904
El total amortizado hasta el período 23 es M23 = C0
C23 = 6505:9700096
Hubieramos obtenido lo mismo usando (8.19) 0:225 12
23
1+
0:225 12
60
1+
M23 = 25000
1 = 6505:9700096 1
Ejercicio 8.10 La Srta. Noélia saco un préstamo a sola …rma de $ 2 500 en la …nanciera "Su amigo Adrián", la cual trabaja con sistema frances y cobra una TNA del 42.7 %. El prestamo dura 1 año y se conviene realizar el reembolso del mismo en 12 cuotas mensuales. Se pide: 1. ¿Cuánto es el monto de los términos amortizativos? 2. ¿A cuánto ascienden las cuotas de amortización A1 ; A6; y A11 ? 3. ¿Cuál es el monto de las cuotas de interés I1 e I8 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente C8 ? 5. ¿En qué momento el capital pendiente es inferior a $ 1 000? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado M3 ? 7. ¿En que momento el total amortizado supera los $ 1 500? Ejercicio 8.11 Una empresa acude a un banco y pide préstados $ 2 000 000. Se conviene una TEM del 1.04 %. Si se usa sistema francés, el préstamo dura 3 años, y la cuotas son bimestrales.
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
213
1. ¿Cuánto es el monto de los términos amortizativos? 2. ¿A cuánto ascienden las cuotas de amortización A1 ; A10; y A18 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de interés I5 e I14 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente C6 ? 5. ¿En que momento el capital pendiente es inferior a $ 1 000 000? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado M12 ? 7. ¿En que momento el total amortizado supera los $ 1 500 000 ? Ejercicio 8.12 El Sr. Juan paga cada mes la suma de $ 3 174.18 para cancelar un préstamo a sistema francés que obtuvo del Banco Cooperativo de la Paz. Sabiendo que la tasa de la operación es una TEA del 19.5662 % y que la misma fue pactada a 5 años, se pide 1. Monto del préstamo solicitado por el Sr. Juan. 2. ¿A cuánto ascienden las cuotas de amortización A1 ; A30; y A60 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de interés I1 ; I20 e I40 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente al …nal de cada años (C12 , C24 , C36 , C48 y C60 )? 5. ¿A partir de que cuota el capital pendiente es inferior a la mitad del monto del préstamo solicitado? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado a principio de cada año (M0 , M12 , M24 , M36 y M48 )? 7. ¿A partir de que cuota el total amortizado supera los dos tercios del monto del préstamo solicitado? Ejercicio 8.13 La Sra. Florencia desea renovar la cocina de su departamento, para lo cual solicita un prestamo personal a una TNA del 30 %, el cual reembolsará en 36 cuotas mensuales de $ 1 061.29. Se pide 1. Monto del préstamo solicitado por la Sra. Florencia. 2. ¿A cuánto ascienden las cuotas de amortización A1 ; A12 ; A24; y A36 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de interés I1 ; I6 e I18 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente al …nal de cada año (C12 , C24 , y C36 )? 5. ¿A partir de que cuota el capital pendiente es inferior a un cuarto del monto del préstamo solicitado? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado a principio de cada año (M0 , M12 , M24 , y M36 )?
214
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
7. ¿A partir de que cuota el total amortizado supera la mitad del monto del préstamo solicitado? Ejercicio 8.14 Ud. trabaja en el departamento …nanciero de una empresa de venta de productos para el hogar. La empresa tiene como eslogán "la cuota más baja del mercado". Acaban de entrar al catálogo los siguientes productos Código
Producto
Precio de lista
Precio contado
1102 1303 1304 1505 1755
Super phone Multiprocesadora A Microondas Wave Heladera Mamut Cocina Leñita
2 299.99 399.99 649.99 3 799.99 1 599.99
1999.99 324.99 619.99 3499.99 1299.99
Valor de la cuota
Ud. debe …jar el monto y el número de cuotas mensuales de cada uno de los productos de acuerdo con las siguientes directivas: 1. La cuota no debe superar los $ 75 ni ser inferior a $ 20. 2. El número de cuotas debe ser el menor posible. 3. Ud. debe usar las siguientes tasas dependiendo de el número n de cuotas del plan Para TEA 1) 1 n 12 35 % 2) 12 < n 24 38.5 % 3) 24 < n 36 43.7 % 4) 36 < n 48 48.5 % 5) 48 < n 60 55.8 % 6) n > 60 65.7 % Ejercicio 8.15 Calcular la cantidad de cuotas mensuales necesarias para saldar una deuda de $ 500 000 000, si se sabe que la tasa convenida es una TNA del 18 % y el monto de cada cuota es de $ 7 535 426.69. Ejercicio 8.16 El Sr. Gonzalo desea solicitar un préstamo de $ 20 000. Cómo su presupuesto es limitado, sólo puede pagar cuotas mensuales no mayores de $ 600. El Banco local ofrece las siguientes tasas …jas para préstamos convenidos a diferentes plazos: TEA Plazo 21 % 1 año 23 % 2 años 26.5 % 3 años 28.7 % 5 años 32.8 % 10 años Si el Sr. Gonzalo desea tomar el préstamo de menor duración posible, ¿Qué plazo escogerá? Ejercicio 8.17 Un banco otorga préstamos a una TEM del 1.2 %. Se sabe que la cuota de amortización 55 de un préstamo es de $ 717.57, y que la cuota de interés 54 es de $ 867,74. Calcular el desembolso del préstamo y el número de cuotas (sistema francés).
Número de cuotas
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
215
Ejercicio 8.18 Un banco otorga préstamos a una TEM del 2.5 %. Se sabe que la cuota de amortización 30 de un préstamo es de $ 225,72, y que la cuota de interés 32 es de $ 248,15. Calcular el desembolso del préstamo y el número de cuotas (sistema francés). Los prestamos suelen ser informados mediante la confección de lo que se conoce como cuadro de marcha o de amortización. Hay muchas formas de llenar un cuadro de marcha en cualquier sistema de préstamo. Generalmente constan de 6 columnas (al menos), y tantas …las como períodos tenga el préstamo (más una para el momento inicial). De izquierda a derecha, las columnas corresponden: a los períodos (de 0 a n), término amortizativo ah , cuota de interés Ih , cuota de amortización o capital Ah , total amortizado Mh , y capital pendiente Ch . Los datos necesarios para llenar cualquier cuadro de marcha de un préstamo dado, son los mismos que siempre se necesitan para confeccionar un préstamo: 1. C0 el capital préstado. 2. i la tasa que se cobra. 3. n la cantidad de períodos que dura el préstamo. Ahora damos el esque genérico para completar un cuadro de marcha, los números entre paréntesis indican el orden que usa el autor para ir llenado el cuadro (el cual no es único). n 0 1 2 3 4 .. . n
a (2) (2) (2) (2)
.. . 1
n
a a a a
(2) (2)
Ih
Ah
Mh
-
-
-
I1 = C0 i I2 = C1 i ( 1 1 ) I3 = C2 i ( 1 5 ) I4 = C3 i (3) (7)
A1 = a A2 = a ( 1 2 ) A3 = a ( 1 6 ) A4 = a (4)
(8)
.. .
a a
In 1 = C n 2 i In = C n 1 i
I1 I2 I3 I4
.. .
An 1 = a An = a
In In
1
( 5 ) M1 = A1 M2 = M1 + A2 ( 1 3 ) M3 = M2 + A3 ( 1 7 ) M4 = M3 + A4 (9)
Ch C0 ( 6 ) C1 = C0 ( 1 0 ) C2 = C1 ( 1 4 ) C3 = C2 ( 1 8 ) C4 = C3 (1)
A1 A2 A3 A4
.. .
.. .
Mn 1 = M n 2 +An 1 Mn = M n 1 +An = C 0
Cn 1 = C n 2 An 1 Cn = C n 1 An = 0
Nota 8.19 Algunas observaciones 1. Una vez calculado el término amortizativo, se llena toda la segunda columna. 2. La columna de las cuotas de interés debe ser decrececiente. 3. La columna de las cuotas de capital debe ser creciente (de forma geométrica con razón (1 + i)) 4. La columna del total amortizado debe ser estrictamente creciente comenzando en 0 (cero) y …nalizando en C0 . 5. La columna del capital pendiente debe ser estrictamente decreciente comenzando en C0 y terminando en 0 (cero).
216
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
En general, si se redondea a dos cifras, las dos últimas condiciones no se cumplen. En dicho caso si el error no supera una cota preestablecida (por ejemplo para este libro: 5 centavos) se considera correcto. Si el error fuera mayor se debe aumentar la cantidad de decimales considerados. El autor recomienda trabajar al menos con tres decimales. Ejemplo 8.20 Hacer el cuadro de marcha de un préstamo francés a 6 meses por $ 5000, a una TEM del 1.2%. n 0 1 2 3 4 5 6
a
Ih
Ah
Mh
868:6812195 868:6812195 868:6812195 868:6812195 868:6812195 868:6812195
60 50; 29582537 40; 47520064 30; 53672841 20; 47899452 10; 30056782
808; 6812195 818; 3853941 828; 2060188 838; 144491 848; 2022249 858; 3806516
808; 6812195 1627; 066614 2455; 272632 3293; 417123 4141; 619348 5000
Ch 5000 4191; 318781 3372; 933386 2544; 727368 1706; 582877 858; 3806516 0
Algoritmo 8.21 A continuación damos el algoritmo para llenar el cuadro de marcha francés Paso 1: Cálculo del término amortizativo: a=
C0 i 1
(1 + i)
n
=
5000 0:012 1
(1 + 0:012)
6
= 868:68
Paso 2: Llenado de la primera …la: 1. Cálculo de la cuota de interés I1 I1 = C0 i = 5000 0:012 = 60 2. Cálculo de la cuota de capital A1 A1 = a
I1 = 868:6812195
60 = 808:6812195
3. Cálculo del total amortizado M1 M1 = M0 + A1 = A1 = 808:6812195 (Recordar que hemos tomado M0 = 0) 4. Cálculo del capital pendiente C1 C1 = C0 Paso 3: Mientras h
A1 = 5000
808:6812195 = 4191; 318781
n, una vez completada la …la h
1. Cálculo de la cuota de interés Ih Ih = Ch
1i
1, llenar la …la h
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
217
2. Cálculo de la cuota de capital Ah Ah = a
Ih
3. Cálculo del total amortizado Mh Mh = Mh
1
+ Ah
4. Cálculo del capital pendiente Ch Ch = Ch
1
A1
Nota 8.22 Es claro que el uso de una planilla de cálculo, como excel, fácilita la confección de cualquier cuadro de marcha. Por lo que se recomienda su uso siempre que sea posible. Ejercicio 8.23 Hacer el cuadro de marcha para un préstamo francés a 12 años por $ 10 000 000, para el cual se han pactado 12 pagos anuales consecutivos y una TEA del 23%. Ejercicio 8.24 Escoger al menos tres de los préstamos planteados en los ejercicios del (8.10) al (8.18) y realizar el correspondiente cuadro de marcha
8.3.1
Usufructo y nuda propiedad
Consideremos la siguiente situación Ejemplo 8.25 La Sra. Rosa sacó un préstamo a sistema francés por $1 5000 a pagar en 60 cuotas mensuales iguales y consecutivas de $ 485.30 a una TEM del 2.5 %. A los 18 meses la Sra. Rosa recibe una herencia por $ 75 000.por lo que decide cancelar su deuda. La situación del mercado a cambiado y la tasa vigente para estas operaciones a los 18 meses de tomado el préstamo es una (12) im = 1:1 % mensual. En primer lugar, la Sra. Rosa debe a los 18 meses la suma de $ 12530,76 pues. 60
C18
= =
15000
(1 + 0:025)
18
(1 + 0:025) 60
(1 + 0:025) 12530; 76473
1
Pero a los 18 meses, para el acreedor (préstamista) es mejor seguir recibiendo la renta que le origina el préstamo concedido que los $ 12 530,76 que le devolvería (12) Sra. Rosa pues a la tasa que ahora puede conseguir (im = 0:011) el valor actual de la renta que espera recibir es de $ 1 6252.54 pues V A(18)
(1 + 0:011) 0:011 16252:53866
= 485:30 =
1
(60 18)
Si el contrato …rmado por la Sra. Rosa le permite al préstamista ejercer el derecho a recibir lo que se llama valor actual de mercado del préstamo convenido,
218
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
entonces la Sra. Rosa, deberá desembolsar $ 1 6252.54 para cancelar el préstamo a los 18 meses de otorgado Observe que si la tasa de mercado fuera del 3.2%: i(12) m = 0:032 Entonces el valor de mercado a los 18 meses del préstamo tomado por la Sra. Rosa es $ 11 126.26 pues V A(18)
(1 + 0:032) 0:032 11126:26066
= 485:30 =
1
(60 18)
En este caso el préstamista pre…ere que la Sra. Rosa le devuelva C18 ($ 12 530.76) en lugar del valor de mercado del préstamo. En general, dado un préstamo por C0 , convenido a n períodos, a una tasa pactada i (dimensionalmente compatible con la unidad temporal de los n períodos).Si nos encontramos en un momento cualquiera k (fecha de valoración), 0 k n 1, los términos amortizativos pendientes ak+1 ; : : : ; an representan para el acreedor (prestamista) un derecho de cobro futuro y para el deudor (prestatario) una obligación de pago. Si en si en este momento k se quisiera cancelar anticipadamente la operación, el deudor debería entregar en principio Ck , el capital pendiente al momento k. Sin embargo, puede ocurrir que las condiciones del mercado hayan cambiado desde el momento en que se concertó la operación al día de hoy. En este sentido, para determinar si esta cancelación resulta o no conveniente para el acreedor (préstamista), sería necesario valorar los términos amortizativos pendientes con un criterio nuevo ajustado a las condiciones actuales del mercado, esto es, valorarlos a la tasa im que puede obtener hoy el préstamista en el mercado. Esto es importante pues el acreedor (titular del capital pendiente) puede transferir total o parcialmente los derechos del préstamo por él concedido. De…nición 8.26 Dado un préstamo por C0 , convenido a n períodos, a una tasa pactada i (dimensionalmente compatible con la unidad temporal de los n períodos). El valor al momento 0 k n 1 de la sucesión de términos amortizativos ak+1 ; : : : ; an a una tasa im dada, recibe el nombre de valor actual de mercado del préstamo al momento k n X ah V AMk (im ) = (8.22) h k (1 + im ) h=k+1 Representa la cantidad que el deudor tendrá que pagar para cancelar su deuda o, desde el punto de vista del prestamista, lo que debería recibir por transferir los derechos futuros que el préstamo supone, en las condiciones actuales del mercado.
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
219
Criterio 8.27 Suponiendo que el préstamista por contrato tiene la facultad de ejercer el derecho a recibir el valor actual de mercado del préstamo por él concedido. Si el prestatario desea cancelar anticipadamente el préstamo. El mismo ejercerá el derecho cada vez que im > i donde im es la tasa de mercado al momento de la cancelación anticipada, mientras que i es la tasa a la que fue otorgado el préstamo.(¿Por qué?). Nota 8.28 El los contratos, siempre se deja establecido el método para calcular la tasa de mercado, por ejemplo: la tasa de referencia del Banco Central más un punto porcentual, o el promedio de las TNA de los bancos de la plaza, etc. En un sentido estricto, el préstamista o acreedor recibe dos rentas del prestatario o deudor: la renta de las cuotas de interés y la renta de las cuotas de interés. Por lo que el puede transferir los derechos sobre una o ambas rentas a un tercero, esto da origén de los concepto de usufructo y nuda propiedad. De…nición 8.29 Dado un préstamo por C0 , convenido a n períodos, a una tasa i (dimensionalmente compatible con la unidad temporal de los n períodos). El valor al momento 0 k n 1 de la sucesión de cuotas de interés Ik+1 ; : : : ; In a una tasa im dada, recibe el nombre de usufructo al momento k Uk (im ) =
n X
h=k+1
Ih h k
(1 + im )
(8.23)
El usufructo representa el "fruto"(rédito, ganacia o utilidad) pendiente al momento k que el préstamista obtendrá por haber otorgado el préstamo. De…nición 8.30 Dado un préstamo por C0 , convenido a n períodos, a una tasa i (dimensionalmente compatible con la unidad temporal de los n períodos). El valor al momento 0 k n 1 de la sucesión de cuotas de amortización Ak+1 ; : : : ; An a una tasa im dada, recibe el nombre de nuda propiedad al momento k Nk (im ) =
n X
h=k+1
Ah h k
(1 + im )
(8.24)
La nuda propiedad es el valor actual de la parte de la propiedad (dinero) al momento k que el préstamista ha cedido (temporalmente) al prestario. Como para cada k se cumple que ak = Ak + Ik es claro que V AMk (im ) = Uk (im ) + Nk (im )
(8.25)
220
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
La fórmulas anteriores son generales y funcionan para cualquier préstamo a interés sobre saldos. Pero toman formas particulares en cada sistema. Dado un préstamo por C0 , por sistema francés, convenido a n períodos, a una tasa pactada i (dimensionalmente compatible con la unidad temporal de los n períodos). El valor actual de mercado al período k, 1 k n 1, a la tasa de mercado im (con la misma unidad temporal que i) es n X
V AM Fk (im ) =
a h k
h=k+1 (1 + im )
= a
n Xk h=1
1 h
(1 + im )
Entonces V AM Fk (im )
= a
1
= C0
(1 + im ) im i (1 + i)
1
(n k)
(8.26) 1
(1 + im ) im
n
(n k)
(8.27)
El usufructo y la nuda propiedad son un poco más complicados de calcular. El usufructo en sistema francés al período k es U Fk (im )
=
n X
Ih h k
h=k+1
=
(1 + im )
n
C0 i n X
h k
(1 + im )
h=k+1
=
h 1
(1 + i) (1 + i) n (1 + i) 1 n X
k
C0 i (1 + im ) n (1 + i) 1
n
h 1
(1 + i)
(1 + i)
h
h
(1 + im )
h=k+1
(1 + im )
!
Por lo tanto
U Fk (im ) = C0
i n (1 + i)
n
(1 + i)
1 (1 + im )n
k
0
B (1 + i )n B m B im @
k
1
1+i 1 + im im
k n
i
1C C C A
(8.28)
Mientras que la nuda propiedad en sistema francés es N Fk (im )
=
n X
Ah h k
h=k+1 (1 + im )
= A1
n X
h=k+1
(1 + i)h
1
h k
(1 + im ) 1
= A1 (1 + i)k
1+i 1 + im im i
1
n k
(8.29)
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
221
de donde podemos concluir
N Fk (im ) = C0 (1 + i)k
1+i 1 + im im i
1
i (1 + i)n
1
n k
(8.30)
Concideremos ahora el siguiente ejemplo Ejemplo 8.31 La …nanciera "Su amigo Adrián"desea abrir una nueva sucursal. Por lo que necesita fondos por $ 2 500 000. En este momento dispone de $ 1 150 000 en efectivo para invertir. Como no desea descapitalizarse, el resto de los fondos planea obtenerlos vendiendo con un 10 % de descuento el usufruto de los siguientes préstamos que ha concedido h 1) 2) 3)
(12)
C0 $ 2 000 000 $ 1 000 000 $ 400 000
ih 0.015 0.008 0.01
nh 120 60 36
Hoy: kh 23 45 20
Suponer que la tasa de mercado es i(12) m = 0:007 El problema nos pide calcular 1 2 3 U F23 (0:007) + U F45 (0:007) + U F20 (0:007) (1
0:1)
Ahora usando (8.28) y recordando que C01 = 2000000, i = 0:015, n = 120, 1 k = 23 e im = 0:007, tenemos que U F23 (0:007) es igual a 0 1 23 120 1 + 0:015 1 + 0:015 120 B 120 23 2000000 0:015 1 + 0:015 1 1 + 0:007 1 + 0:007 C B (1 + 0:007) C B C 120 1 + 0:007 0:007 0:007 0:015 @ A (1 + 0:015) 1 Por lo tanto
1 U F23 (0:007) = 1304204:826
De manera similar calculamos 2 U F45 (0:007) 3 U F20 (0:007)
= 18574:76627 = 16333:33841
Por lo tanto 1 2 3 U F23 (0:007) + U F45 (0:007) + U F20 (0:007) (1
0:1) = 1339112:931
de los cuales utiliza $ 1 350 000, sobrandole $ 10 887.07. También podemos calcular el valor de mercado de cada uno de los préstamos considereados, por ejemplo 1 V AM F23 (0:07)
= C0 = =
1
i (1 + i)
2000000
1 2531216:584
1 n
(1 + im ) im
0:015 (1 + 0:015)
1 120
(n k)
(1 + 0:007) 0:007
(120 23)
222
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Ejercicio 8.32 Calcular el valor de mercado de los restantes préstamos La nuda propiedad del primer préstamo es
1 N F23 (0:007)
= C0 (1 + i)k
1
i (1 + i)n
1
1+i 1 + im im i
n k
120 23
=
2000000(1 + 0:015)k
=
1227011:758
0:015 (1 + 0:015)120
1 1
1 + 0:015 1 + 0:007 0:007 0:015
Y se veri…ca que (8.25) 1 1 1 U23 (0:007) + N F23 (0:007) = V AM F23 (0:07) 1304204:826 + 1227011:758 = 2531216:584
Ejercicio 8.33 Calcular la nuda propiedad de los préstamos restantes y veri…car que se cumple(8.25) Ejercicio 8.34 Ud. es trabaja para la …nanciera "Su amigo Pedro". El gerente desea saber cual es el valor actual de la siguiente cartera de préstamos h 1) 2) 3) 4)
$ $ $ $
2 1 3 5
C0 500 500 400 050
(12)
000 000 000 000
ih 0.021 0.012 0.011 0.018
nh 120 60 36 120
Hoy: kh 32 22 16 75
Suponer que la TEM de mercado al día de hoy es del 1 %. El gerente quiere la información desglosada: capital pendiente, valor actual de mercado, usufructo y nuda propiedad. Ejercicio 8.35 Volver a realizar el ejercicio anterior, suponiendo que la tasa de mercado es una TEM del 1.8 %
8.3.2
Período de gracia
De…nición 8.36 Diremos que existe un período de gracia de duración d 2 cuando existen d períodos de tiempo entre el desembolso del préstamo y el pago del primer término amortizativo. Los períodos de gracias no modi…can sustancialmente el esquema de préstamo. Su único efecto sobre las fórmulas dadas hasta ahora es la sustituciónde d 1 C0 por C0 (1 + i) . Pues tomar un préstamo hoy por C0 a la tasa i, y comenzar a pagarlo al momento d es …nancieramente equivalente a tomar un préstamo d 1 por C0 (1 + i) en el momento d 1, , a la misma tasa i (ambos con la misma catidad de cuotas). Nota 8.37 PONER DIBU
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
223
Por razones de completitud daremos las fórmulas asociadas, las cuales son d 1 las mismas que antes, pero cambiando C0 por C0 (1 + i) y teniendo en cuenta un pequeño ajuste sobre los subíndices. Término amortizativo: d 1
a=
C0 i (1 + i) 1
n
(1 + i)
Sigue valiendo que la relación recursiva entre las cuotas de amortización Ah = Ah
1
(1 + i)
por lo cual
h 1
Ah = A1 (1 + i)
Debemos notar ahora que A1 está disponible en el momento d, A2 en el momento d + 1, y en general Ah está disponible en el momento d + h
1
Una observación similar vale para el resto de las cantidades signi…cativas Ih ; Ch y Mh están disponibles en el momento d + h
1
El valor de A1 es A1
d 1
= a
C0 i (1 + i) d 1
= C0
i (1 + i) n (1 + i)
1
El capital pendiente es n
h
(1 + i) (1 + i) n (1 + i) 1
d 1
Ch = C0 (1 + i) El total amortizado es
h
d 1
Mh = C0 (1 + i)
(1 + i) n (1 + i)
1 1
Finalmente la cuota de interés es n
Ih = Ch
d 1
1i
= C0 (1 + i)
h 1
(1 + i) (1 + i) n (1 + i) 1
i
Ejemplo 8.38 Un banco nos ofrece un préstamo de $ 20 000 a 5 años, a pagar en cuotas mensuales consecutivas he iguales por el método francés. La TNA que nos cobran es del 18%. Nos ofrecen 3 meses de gracias. Se pide calcular: a; A23 ; I18 ; M50 ; y C30 . Confeccionar el cuadro de marcha. Término amortizativo: d 1
a=
C0 i (1 + i) 1
(1 + i)
n
=
20000 1
0:18 12
1+
0:18 3 1 12 60 0:18 12
1+
= 512:22
224
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Ahora confeccionaremos el cuadro de marcha n 0 1 2 3 .. .
h
0 1
a 512.22 .. .
Ih 309.675 .. .
Ah 203.1525 .. .
Mh 203.1525 .. .
Ch 20000 20300 20604.5 20401.3475 .. .
Ejemplo 8.39 Nota 8.40 PONER DIBU Ejercicio 8.41 Calcular el resto de datos requeridos en el problema anterior y terminar el cuadro de marcha. Ejercicio 8.42 Una empresa recibe un préstamo por $ 5 000 000 para la compra de un nuevo equipo de producción, la empresa espera amortizar el prestamo con las ganacias que le reporte la nueva maquinaria, por lo que solicita un período de gracia de 6 meses, el cuál le es otorgado. El préstamo es acordado por sistema francés, a pagar en 3 años en cuotas cuatrimestrales con una TEA del 19.5%. Calcular: a; A5 ; I9 ; M6 ; y C2 . Confeccionar el correspondiente cuadro de marcha.
8.3.3
CFT: costo …nanciero total. Efecto de impuestos, gastos y seguros
En todo préstamo (legal) existen varios factores que in‡uyen sobre la rentabilidad real que obtendrá el acreedor o prétamista, y sobre el costo real para el prestatario o deudor. En los préstamos a tasa …ja los principales factores son: impuestos, seguros, comisiones y gastos operativos. Como marco de trabajo supongamos un préstamo a interés sobre saldos por C0 , a una tasa i, pactado a n períodos. Por ahora no especi…caremos el sistema. Los impuestos pueden impactar sobre ambos agentes: prestamista y prestatario. Pero en general el agente con más poder trans…ere la carga impositiva al otro agente en el contrato, por lo que típicamente términa pagando los impuestos asociados a un préstamo el prestatario (deudor). Efecto de los impuestos El estado suele cobrar impuestos cada vez que el dinero cambia de manos, por lo que habrá una serie de impuestos iniciales (sellados, impuestos provinciales varios, etc) los cuales son cobrados al momento de otorgar el préstamo. Llamaremos G a la suma de estos. Además el estado cobra otros impuestos en cada cuota de amortización, los cuales pueden constar de una suma …ja l (sellados) y una par de tasa impositivas: 1 y 2 las cuales actuan sobre la cuota de capital Ah y la cuota de interés Ih , las cuales típicamente suelen ser constantes a lo largo de un préstamo. Por lo que si consideramos los impuestos, el deudor en lugar de C0 recibirá C0d = C0 G y en lugar de pagar cada período ah , debe entregar adh = Ah (1 +
1)
+ Ih (1 +
2)
+ l, para 1
h
n
Por ejemplo en Argentina, el estado cobra IVA sobre las cuotas de interés: 2 = 21%; y no cobra (aún) impuestos sobre las cuotas de capital: 1 = 0%.
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
225
Efecto de los seguros Agregaremos ahora el efecto de los seguros. Típicamente todo préstamo obliga al deudor o préstatario a tomar un seguro (de vida, contra incendios, contra todo riesgo, etc) en favor del préstamista o acreedor. El seguro impacta directamente sobre el préstatario (deudor). Eventualmente el préstatario deberá pagar al momento inicial el costo por contratar el seguro, esta suma de dinero debe ser agregada a G. Luego, período a período, deberá pagar un costo …jo s, más un costo variable dado por una tasa , la cual se cobra sobre el capital pendiente. Al tener en cuenta el efecto de los seguros sobre el préstatario (deudor), tenemos que en lugar de C0 recibirá C0d = C0
G
donde ahora G no sólo incluye los impuestos iniciales, sino también costo de contratar un seguro. Por otro lado en lugar de pagar cada período ah , debe entregar ahora adh = Ah (1 +
1)
+ Ih (1 +
2)
+ l + s + Ch ; para 1
h
n
Efectos de los gastos operativos El efecto de los gastos operativos impacta siempre sobre ambos agentes. En el caso del prestatario (deudor), representa el costo (certi…cados, gastos de otorgamiento, honorarios de peritos y notarios, gastos de evaluación, costo de apertura de una cuenta, etc) en el que incurrió para tomar el préstamo. La suma de estos costos iniciales debe ser agregada a G. Por otro lado pagar cada cuota le costará al prestatario una cantidad g (costo de mantenimiento de cuenta, costo de traslado para pagar cada cuota, etc). Al agregar a nuestro análisis el efecto de estos gastos operativos, el prestatario recibirá en lugar de C0 la suma de C0d = C0
G
(8.31)
donde G es la suma de todos los montos que el prestatario debe pagar al momento inicial: impuestos, seguros y gastos. Finalmente, en cada período en lugar de ah el prestatario deberá desembolsar adh = Ah (1 +
1)
+ Ih (1 +
2)
+ l + s + Ch + g; para 1
h
n
(8.32)
En el caso del prestamista, llamaremos GP al costo operativo inicial en el que incurre por otorgar el préstamo (horas hombre, formularios, publicidad y gastos operativos generales). Además el cobro de cada término amortizativo tiene un costo operativo g que representa el costo de impresión y envío de las facturas, horas hombre, etc. Al considerar estos factores, el préstamista deberá desembolsar en lugar de C0 la suma de C0p = C0 + GP (8.33) Mientras que en cada período, recibirá la suma de aph = ah
gp , para 1
h
n
(8.34)
226
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Teniendo en cuenta esta información surgen las siguientes preguntas ¿Cuál es la tasa que realmente términa pagando el préstatario? ¿Cuál es la tasa real que términa ganando el prestamista? La tasa real rd del préstamo para el prestatario (deudor) es la tasa que produce la equivalencia …naciera entre lo que efectivamente recibe C0d y el valor actual de la renta de los términos que realmente paga: ad1 ; ad2 ; : : : ; adn C0d =
n X
h=1
adh
(8.35)
h
(1 + rd )
Similarmente, la tasa real rp del préstamo para el prestamista (acreedor) es la tasa efectiva que realiza la equivalencia …nanciera entre el capital que efectivamente deseembolsa C0p y la renta que efectivamente recibe, i.e., la renta de términos ap1 ; ap2 ; : : : ; apn C0p =
n X
h=1
aph
(8.36)
h
(1 + rp )
Es claro que siempre se cumple que C0d < C0 < C0p y que para cada 1
h
n aph < ah < adh
De las desigualdades anteriores se puede concluir que la tasa real rd que paga el deudor o prestatario es siempre mayor que la tasa declarada i, y que la tasa real rp que gana el acreedor o préstamista es siempre menor que i: rp < i < r d Pues
n X
ah h
h=1 (1 + i)
= C0 < C0d =
(8.37)
n X
adh
n X
aph
h
h=1 (1 + rd )
<
n X
ah h
h=1 (1 + rd )
De aqui podemos concluir con claridad que i < rd . Similarmente n X
h=1
ah h
(1 + i)
= C0 < C0p =
h=1
h
(1 + rp )
<
n X
h=1
ah h
(1 + rp )
de donde se deduce que rp < i. Las fórmulas (8.35) y (8.36) toman formas particulares en cada sistema de préstamo. Veamos como son en francés, para lo cual simpli…caremos un poco la expresión (8.32). Consideraremos que los términos que efectivamente debe desembolsar el préstatario son de la forma adh = adh = Ah (1 +
1)
+ Ih (1 +
2)
+ Ch + g; para 1
h
n
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
227
donde g es el agregado de todas las sumas …jas que se le cobran período a período al préstatario (sellados, costos …jos por seguros, mantenimiento de cuenta, etc). Por lo tanto C0d
n X
=
adh h
(1 + rd )
h=1 n X
=
Ah (1 +
1)
+ Ih (1 +
2)
+ Ch + g
h
(1 + rd )
h=1
Recordando que en el sistema francés A1
=
C0 i n (1 + i)
1 h 1
Ah
= A1 (1 + i)
Ih
= A1 (1 + i)
Ch
= A1
n
n
h 1
(1 + i) h
(1 + i)
(1 + i) i
tenemos que C0d es igual a A1 (1 +
1)
n h X (1 + i)
h=1
1 h
(1 + rd )
+A1 (1 +
2)
n n X (1 + i)
+
h
(1 + rd )
h=1
n n n h X A1 X (1 + i) (1 + i) 1 +g h h i (1 + rd ) h=1 h=1 (1 + rd )
h 1
(1 + i)
Ahora como n h X (1 + i)
h=1
n 1 X 1+i
1
=
h
(1 + rd )
h=1
1 1+i 1 + i 1 + rd
=
1+i 1 + rd rd i
1 =
h
1+i 1 + rd 1 1
1+i 1 + rd 1+i 1 + rd
n
n
y n X
h=1
1 h
(1 + rd )
=
1
(1 + rd ) rd
n
Tenemos que
C0d = A1
1
2
1+i i
1
1+i 1 + rd rd i
n n
+ A1 (1 + i)
1+
2
+
i
+g
(8.38) Como es claro de la fórmula anterior, debemos usar Newton-Raphson para hallar la tasa que efectivamente paga el prestatario o deudor rd . Por eso damos
1
(1 + rd ) rd
n
228
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
la expresión para la derivada respecto Newton-Raphson: 0 n 1+i 1+i n 1 B 1 + r 1 + rd d m1 B 2 @ (1 + rd ) (rd i) (rd i)
de rd que se debe usar en el esquema de n1
C C m2 A
n (1 + rd ) rd
n 1
1
(1 + rd ) rd2 (8.39)
donde m1 y m2 son las constantes m1
= A1
m2
= A1 (1 + i)
1
1+i i
2 n
1+
2
+
i
+g
Nota 8.43 El Banco Central de la República Argentina BCRA, llama costo …nanciero total CFT, a la tasa rd que términa pagando el préstatario. El Costo Financiero Total (CFT) es la principal variable que se debe tener en cuenta al elegir un préstamo personal, prendario o hipotecario, ya que es el mejor indicador del costo global que deberá afrontar el cliente. Si bien la tasa informada por cada institución …nanciera es una variable importante a la hora de elegir un préstamo, cuando se eligen alternativas de …nanciación es mejor comparar los CFT, ya que una tasa más baja no signi…ca un CFT más bajo, pues al incluir los costos adicionales en los cálculos, puede ocurrir que la institución que ofrece una tasa más baja tenga un CFT mayor. El BCRA establece que el CFT se debe expresar en forma de tasa efectiva anual, en tanto por ciento con dos decimales. Además ha decretado que los bancos están obligados a exponer en pizarras, colocadas en sus sucursales, información sobre tasas de interés de las líneas de crédito ofrecidas como así también el CFT. Similarmente, cuando los bancos hacen publicidad de sus créditos deben adjudicarle al CFT mayor o igual importancia -en términos de tamaño y tiempoque la asignada a la TNA, la cantidad de cuotas y/o su importe. Para el caso de operaciones pactadas a tasa variable, el CFT se calcula en base a la tasa vigente al momento de su concertación, y deberá quedar claro que este costo se modi…cará cada vez que varíe la tasa de interés. Ejemplo 8.44 La Srta. Georgina desea sacar un préstamo personal por $ 5000 a sistema francés, a pagar en tres 3 años de forma mensual. Ella acude a dos Bancos: Banco del Sur y Banco del Norte. En la siguiente tabla a recogido toda la información relevante: Items TEM Gastos de otorgamiento y evaluación Gastos de Apertura de cuenta Gastos de mantenimiento de cuenta Seguro mensual sobre saldo
Sur 1.1% $ 200 $ 25 $7 0.5%
Norte 1.35% Sin cargo $ 45 Sin cargo 0.65%
La Srta. Georgina quiere saber el CFT de cada una de las opciones. Para lo cual hay que tener en cuenta que el estado nacional cobra IVA del 21% sobre las cuotas de interés y el estado provincial cobra un impuesto al inicio ("sellados") del 1.5% del monto solicitado.
n
!
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
229
Los gastos iniciales en los que incurriría la Srta. Georgina son Items Gastos de otorgamiento y evaluación Gastos de Apertura de cuenta Primera cuota de seguro Sellados provinciales G (suma de los gastos iniciales)
Sur $ 200 $ 25 $ 25 $ 75 $ 325
Norte Sin cargo $ 45 $ 32.5 $ 75 $ 152.5
Período a período los costos para la Stra. Georgina son Items
(IVA) (seguros) g (gastos …jos mensuales)
Sur 0.01 0 0.21 0.005 $7
Norte 0.0135 0 0.21 0.0065 Sin cargo
CFT
0; 030043773
0; 027087298
i (TEM) 1 2
Por lo que el Costo …nanciero total para la Srta. Georgina será TEM TEA TNA rd CFT
Sur 1% 12.682503013 % 12 % 3.0043773 % 42.65%
Norte 1.35 % 17.458658475 % 16.2 % 2.7087298 % 37.81%
De esta manera, aunque el Banco Sur declare una tasa más baja, el efecto de los restantes costos hace que la opción más conveniente para la Srta. Georgina sea el Banco Norte. Se debe notar, que en ambos casos, al tener en cuenta todos los factores la tasa que efectivamente paga la Srta. Georgina, rd , es muy superior a la declarada por los bancos i. Primero daremos los cuadros de marcha de ambos préstamos: Préstamo del Banco Sur.
h
a
Ah
Ih
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
444,2439434 444,2439434 444,2439434 444,2439434 444,2439434 444,2439434 444,2439434 444,2439434 444,2439434 444,2439434 444,2439434 444,2439434
394,2439434 398,1863828 402,1682467 406,1899291 410,2518284 414,3543467 418,4978902 422,6828691 426,9096978 431,1787947 435,4905827 439,8454885
50 46,05756057 42,07569674 38,05401427 33,99211498 29,8895967 25,74605323 21,56107433 17,33424564 13,06514866 8,753360712 4,398454885
Ih (1 +
2)
60,5 55,72964828 50,91159305 46,04535727 41,13045913 36,166412 31,15272441 26,08889994 20,97443722 15,80882988 10,59156646 5,322130411
Ch 5000 4605,756057 4207,569674 3805,401427 3399,211498 2988,95967 2574,605323 2156,107433 1733,424564 1306,514866 875,3360712 439,8454885 1,3074E-12
Seguro Ch
Mh
23,02878028 21,03784837 19,02700714 16,99605749 14,94479835 12,87302661 10,78053716 8,667122818 6,53257433 4,376680356 2,199227443 6,53699E-15
394,2439434 792,4303262 1194,598573 1600,788502 2011,04033 2425,394677 2843,892567 3266,575436 3693,485134 4124,663929 4560,154511 5000
g me
230
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Préstamo Banco Norte
h
a
Ah
Ih
Ih (1 +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
454,1276444 454,1276444 454,1276444 454,1276444 454,1276444 454,1276444 454,1276444 454,1276444 454,1276444 454,1276444 454,1276444 454,1276444
386,6276444 391,8471176 397,1370537 402,4984039 407,9321323 413,4392161 419,0206455 424,6774242 430,4105695 436,2211122 442,1100972 448,0785835
67,5 62,2805268 56,99059071 51,62924049 46,19551204 40,68842825 35,10699883 29,45022012 23,71707489 17,9065322 12,01754719 6,049060877
2)
81,675 75,35943743 68,95861476 62,47138099 55,89656957 49,23299818 42,47946859 35,63476634 28,69766062 21,66690397 14,5412321 7,319363661
Seguro Ch
Ch 5000 4613,372356 4221,525238 3824,388184 3421,889781 3013,957648 2600,518432 2181,497787 1756,820362 1326,409793 890,1886807 448,0785835 8,52651E-12
29,98692031 27,43991405 24,8585232 22,24228357 19,59072471 16,90336981 14,17973561 11,41933236 8,621663653 5,786226424 2,912510793 5,54223E-14
Mh
386,627 778,474 1175,61 1578,11 1986,04 2399,48 2818,50 3243,17 3673,59 4109,81 4551,92 500
Ahora usaremos Newton-Raphson para hallar el CFT de cada opción. Cálculo del CFT del Banco Sur Datos Cálculos de las contantes m1 y m2 : m1
m2
= A1
1
1+i i
2
=
394; 2439434 0
=
281; 8844195 n
= A1 (1 + i)
1+
0:21
2
+
0:005
i
+g
36
=
394; 2439434 (1 + 0:01)
=
766; 6571432
1 + 0:01 0:01
1 + 0:21 +
0:005 0:01
+7
Luego la función f del esquema de Newton-Raphson es 1 f (rk ) =
281; 8844195
1 + 0:01 1 + rk rd 0:01
36
+ 766; 6571432
1
(1 + rk ) rk
36
325
y su derivada es
f 0 (rk ) =
a
0
36
1 + 0:01 B 36 1 + r B k 281; 8844195 B @ (1 + rk ) (rk 0:01)
444,2439434
1 + 0:01 1 1 + rk 2 (rd 0:01)
36
1
C C C 766; 6571432 A
36 (1 + rk ) rk
36 1
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS A1 M1 M2
394,2439434
a A1 M1 M2
454,1276444 386,6276444 -269,858936 768,1485007
231
Ejemplo 8.45 Una empresa acude a un banco y pide préstados $ 500 000. Se conviene una TEM del 1.04%. Si se usa sistema francés, el préstamo dura 1 año, a pagar en cuotas mensuales. Los gastos de otorgamiento son de $ 250 más un sellado de $ 100. Es estado cobra unos impuestos sobre los préstamos del 0.5% del monto otorgado. Sobre las anualidades el estado cobra un impuesto del 1%, y un sellado de $ 5. El costo interno de otorgamiento para el banco es de $ 500, y cobrar cada anualidad le cuesta $ 35. ¿Cualés son las tasas reales de la operación? Primero calcularemos el monto que efectivamente recibe la empresa: c0 C
= C0 (1 t0 ) s0 = 500000 (1 0:005) = 497150
(250 + 100)
Mientras que el banco desembolsa C0
= C0 + c0 = 500000 + 500 = 500500
Los términos amortizativos que debe pagar la empresa son (a = $ 44 536:7466196): b a = a (1 + t) + s = a (1 + 0:01) + 5 500000 0:0104 = 12 (1 + 0:01) + 5 1 (1 + 0:0104) = 44987:1140858
Figura 8.1:
232
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
mientras que los que recibe el banco son a = a c = 44 536:7466196 = 44531:7466196
35
La tasa real que debe pagar la empresa es (deudor) la que produce c0 C
497150 11:0509422554
= b a
1
n
1 + idr idr
= 44987:1140858 =
1 + idr idr
1
1
1 + idr idr
12
12
Lo que nos da una tasa idr = 0:0129089158023 usando métodos númericos. Es decir la tasa que realmente paga la empresa es del 1.2908916 % mensual (y no la del 1.04% que le dice el banco). Por otro lado la tasa que realmente gana el banco es la que produce C0 500500 11:2391729046
= a
1
n
(1 + iar ) iar
= 44531:7466196 =
1
(1 + iar ) iar
1
(1 + iar ) iar
12
12
Al resolver númericamente, obtenemos iar = 0:0102238824627 La tasa que realmente gana el banco es del 1.02238824627% mensual (y no la del 1.04%).
Figura 8.2:
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
233
Nota 8.46 Recomendaciones del Banco Central de la República Argentina para contratar un préstamo: 1. La tasa de interés no es el único dato a tener en cuenta para elegir un préstamo. Al costo de la tasa deben sumarse los gastos adicionales y los seguros, de lo que resulta el Costo Financiero Total (CFT). El CFT es la verdadera carga …nanciera de un préstamo y es el dato en base al cual deben compararse las ofertas de las distintas entidades. 2. Se puede optar entre una tasa de interés que se mantenga estable a lo largo del préstamo (tasa …ja) o que varíe periódicamente (tasa variable). En este último caso, el cliente debe conocer cuál será el parámetro para ajustarla. 3. Si la entidad percibe gastos de administración, se debe analizar cuál es el costo y cómo se aplica (en porcentaje de la cuota, en porcentaje del saldo de deuda o un monto …jo, etc.). 4. También debe analizarse, siguiendo iguales criterios, si la entidad cobra gastos de otorgamiento. 5. Si el préstamo incluye la contratación de un seguro de vida, se debe analizar de qué forma es cobrado por la entidad. Según la ley, el cliente tiene derecho a elegir entre tres diferentes aseguradoras. 6. Si el tomador del préstamo es consumidor …nal deberá pagar el IVA sobre los intereses abonados cada mes, lo que impactará en la cuota. 7. Si el préstamo contempla la posibilidad de una cancelación anticipada, parcial o total, es conveniente conocer cuál es su costo. 8. Algunas entidades …nancieras obligan a contratar productos adicionales junto con el préstamo (cajas de ahorro, cuentas corrientes, tarjetas de crédito). A la hora de decidir, su costo debe añadirse al de la cuota. 9. Muchas entidades …nancieras ofrecen ventajas para sus clientes con "cuentassueldos". Estos bene…cios deben contemplarse en la comparación con otras entidades. 10. Todas las condiciones informadas por la entidad …nanciera al momento de ofrecer el préstamo deben …gurar en el contrato. Es importante revisarlo minuciosamente, con el …n de evitar …rmar cláusulas sobre las que el cliente no tiene conocimiento.
Figura 8.3:
234
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Ejercicio 8.47 Hacer el cuadro de marcha (para el prestatario) del préstamo anterior (agregar las siguientes columnas: tasas, gastos …jos, b a; a continuación de la columna de cuotas de capital).
Ejercicio 8.48 Un banco le ofrece un préstamo de $ 50 000 a una TEA del 21% por sistema francés, a pagar en 5 años en cuotas mensuales consecutivas. Los gastos de otorgamiento son de $ 350 más un sellado de $ 150. Es estado cobra unos impuestos sobre los préstamos del 1.5% del monto otorgado. Sobre las anualidades el estado cobra un impuesto del 5%, y un sellado de $ 10. Además el costo mensual del seguro obligatorio es de $ 39. El costo interno de otorgamiento para el banco es de $ 300, y cobrar cada anualidad le cuesta $ 25. ¿Cuáles son las tasas reales de la operación?
8.3.4
Cancelación anticipada total o parcial
Cancelación parcial: una variante que perminten ciertos contratos es adelantar una cantidad cualquiera de capital, no sólo una cantidad entera de cuotas. En general si se dispone de una cierta cantidad de dinero al momento t + f , donde f es una fracción de período, todo lo que hay que hacer es cancelar los intereses generados y descontar del capital pendiente el resto del dinero. Por lo que el nuevo capital pendiente será e = Ct (1 + i)f C
adelanto
Para recalcular el préstamo debemos pactar una tasa y un período de tiempo, lo habitual es mantener la tasa original, y mantener la cantidad de pagos que restaban por realizar. Ejemplo 8.49 En el caso del préstamo de la empresa, supongamos ahora que a lo 2 años 7 meses y 19 días decide adelantar $ 410 000, pues el contrato le permite realizar cancelaciones parciales. Bueno, sólo debemos calcular la deuda actual e C
f
= Ct (1 + i)
adelanto 19
= 2676421:769 (1 + 0:015) 30 = 2291778:32
y ahora recalculamos el préstamo para con i = 0:015 n e = n t+1 = 84 31 + 1 = 54
Figura 8.4:
410000
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
235
Por ejemplo, la cuota de amortización ahora será a = = =
e Ci
n e
1 (1 + i) 2291778:32 0:015 54
1 (1 + 0:015) 62224:94690
La cancelación total no es más que un caso particular de la cancelación parcial. Si en el momento t + f , decidimos cancelar el préstamo, entonces f
adelanto = Ct (1 + i)
Ejercicio 8.50 Ud. pide un préstamo a un banco de $ 80 000 para arreglar la cocina de su casa (¡menuda cocina!). Pacta con el banco pagar en cuotas mensuales por el término de 6 años a una TEA del 24.3%. A los 4 años, 9 meses y 7 días ud. decide adelantar $ 5500. 1. Recalcular el préstamo. 2. Recalcular el prétamo usando n = 6 meses. Compensación por adelantos Puede ocurrir que la situación económica sea tal que el adelanto de capital pérjudique al préstamista. Esto ocurre cuando la tasa actual ia que puede obtener el préstamista es más baja que la tasa convenida i ia < i: En dicho caso el préstamista puede solicitar (si así el contrato lo estipulara) una compensación. La forma sencilla de hacer esto es actualizar el ‡ujo de fondos futuro a la tasa actual. Ejemplo 8.51 Volviendo al caso del préstamo de la empresa, supongamos ahora que a los 2 años 7 meses y 19 días decide adelantar $ 410 000, pero la tasa actual que cobra puede ganar el banco es una TEM del 0.85%. Recalcular el préstamo:
Figura 8.5:
236
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
En este caso, debemos usar la nueva tasa para actualizar el ‡ujo de pagos y hallar lo que llamaremos deuda compensada " # n+t+1 1 (1 + ia ) a 1+ deuda compensadat+f = 1 f ia (1 + ia ) ! 84+31+1 73562:43293 1 (1 + 0:0085) = 1+ 1 19 0:0085 (1 + 0:0085) 30 =
3145402:862
Nota 8.52 PONER DIBU Ahora le decontamos a la deuda Nota 8.53 Poner dibu
8.3.5
Adelanto de cuotas
Adelanto de cuotas: es la opción que a veces (dependiendo del contrato) tiene el prestatario de pagar antes de la fecha de vencimiento las cuotas de capital. Según el contrato …rmado, la cuotas adelantadas corresponden a uno u otro extremo del esquema de pago. Llamaremos adelanto inverso, al contrato que le da la opción al prestatario de adelantar cuotas de capital comenzando la última An , siguiendo con la An 1 y así sucesivamente. Llamaremos adelanto directo, al contrato que le da la opción al prestatario de adelantar las sucesivas cuotas de capital, comenzado con la siguiente que le toque amortizar, más los intereses generados hasta el momento. En ambos caso, una vez efectivizado el adelanto de las cuotas se recalcula el préstamo con el nuevo capital pendiente, la misma tasa o una nueva (si correspondiera) y el número de períodos que corresponda o un nuevo (si fuese posible repactar el número y la frecuencia de los períodos de amortización). En general el adelanto de cuotas esta excento de gastos e impuestos. Desarrollaremos las fórmulas necesarias con un ejemplo Ejemplo 8.54 Una empresa pide un préstamo por $ 3 500 000 para construir un nuevo salón de ventas. Pacta con el banco un prestamo fránces mensual a una tasa TEM del 1.5% por el término de 7 años. Transcurrido 2 años y 7 meses, y debido un aumento signi…cativo en las ventas, la empresa dispone de $ 410 000 para adelantar cuotas de capital. Si el contrato …rmado es de adelanto inverso, ¿cuántas cuotas puede adelantar la empresa? ¿Qué monto necesitaria para adelatar las últimas 10 cuotas? Debemos hallar k tal que n X
Ah
n X
adelanto <
h=k
h=k 1
Recordando que h 1
Ah = A1 (1 + i)
Ah
(8.40)
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
237
tenemos que n X
A1
h 1
(1 + i)
h=k k 1
A1 (1 + i)
h
k 2
(1 + i)
adelanto < A1 (1 + i)
nX k+1
h
(1 + i)
h=0
(1 + i)
k 1
h 1
(1 + i)
h=k 1
n Xk
h=0 n k+1
A1 (1 + i)
n X
adelanto < A1
1
k 2
adelanto < A1 (1 + i)
i
n k+2
(1 + i)
1
i
Como A1 = C0
i n (1 + i)
1
tenemos h
k 1
C0
(1 + i) n (1 + i)
1
i 1
n k+1
(1 + i)
k 2
adelanto < C0
(1 + i) n (1 + i)
1
h
i 1
n k+2
(1 + i)
de donde h
k 1
(1 + i)
n k+1
(1 + i) n
i 1
adelanto n [(1 + i) C0 adelanto n [(1 + i) C0
k 1
(1 + i)
(1 + i)
k 2
1] < (1 + i)
n
1] < (1 + i)
h
n k+2
(1 + i)
k 2
(1 + i)
por lo que k 1
(1 + i) Luego k
adelanto n [(1 + i) C0
n
(1 + i)
n n log (1 + i)
adelanto C0
n
[(1 + i)
log (1 + i)
k 2
1] > (1 + i)
o 1]
+1>k
1
(8.41)
En particular 84
410000 3500000
log (1 + 0:015) k
84
(1 + 0:015)
1 +1>k
log (1 + 0:015)
1
lo que equivale a k
79:136 > k
1
Por lo que k = 80 Es decir, con $ 410 000 la empresa puede adelantar las últimas 5 cuotas de capital, desde A80 hasta A84 : número de cuotas adelantadas = n
k+1
(8.42)
i 1
238
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Para comprobarlo, calculamos A79 A80 A81 A82 A83 A84
= = = = = =
67275; 9487 68285; 08793 69309; 36425 70349; 00471 71404; 23978 72475; 30338
y observamos que 84 P
Ah = 351823; 0001
h=80
mientras que
84 P
Ah = 419098; 9488
h=79
Ahora veremos que ocurre de aqui en adelante (estamos en el mes 31: 2 años y 7 meses después de desembolsado el préstamo). Lo primero que necesitamos saber es cuanto debemos ahora: deuda actual = capital pendiente la suma de las cuotas de capital adelantadas Es decir, si al momento t adelantamos las cuotas de capital Ak ; Ak+1 ; : : : ; An , el nuevo capital pendiente será ft = Ct C
n P
Ah
(8.43)
h=k
Haciendo las sustituciones correspondientes ft C
k 1 h n t i (1 + i) (1 + i) (1 + i) n k+1 C (1 + i) 1 0 n n (1 + i) 1 (1 + i) 1 nh i h C0 n t k 1 n k+1 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) n (1 + i) 1 h i C0 k 1 t (1 + i) (1 + i) n (1 + i) 1
= C0 = =
io (8.44) 1
Ahora, con $ 410 000 la empresa puede adelantar las últimas 5 cuotas en el momento 31, por lo que g C 31
= C31
84 P
Ah
h=80
= =
2676421:769 351823:0001 2324598:7689
Lo mismo puede ser obtenido usando ft = C
3500000 84
(1 + 0:015)
80 1
1
(1 + 0:015)
31
(1 + 0:015)
= 2324598:7689
Este monto es la deuda actual, y debemos recalcular el préstamo, tomando como monto inicial los $ 2 324 598.7689, usando la tasa y la cantidad de períodos que
8.3. PRÉSTAMO FRANCÉS
239
convengan las partes (típicamente se mantiene la tasa original y la cantidad de períodos que se usa es la natural: los que restan: número de número períodos = total que faltan períodos
número de términos pagados
número de cuotas adelantadas
Es decir n e :=
número de períodos = n que faltan
t
(n
k + 1) = k
t
1
Por ejemplo en este caso n e = 80
31
1 = 48
Por lo que si mantenemos la tasa, y la cantidad de períodos, la empresa debe pagar por los próximos 48 meses la suma de ft e a = C
i
g = C 31 =
=
n e
1
(1 + i) 0:015
1
(1 + 0:015)
48
0:015
2324598:7689
1 68285:0879255
(1 + 0:015)
48
Lo cual es menos que el término a = 73562:43293 que originalmente debía pagar mes a mes la empresa. Para hallar el monto necesario para adelantar las últimas 10 cuotas de capital usamos n P Ah = adelanto (8.45) h=k
donde
k =n+1
el número de cuotas que se quieren adelantar
(8.46)
En nuestro caso k = 84 + 1 Como n P
h=k
tenemos que
10 = 75
k 1
Ah = C0
(1 + i) n (1 + i)
1
h
k 1
adelanto = C0
(1 + i) n (1 + i)
1
n k+1
(1 + i)
h
n k+1
(1 + i)
i 1
1
i
(8.47)
240
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
En particular 75 1
adelanto = 3500000
(1 + 0:015)
84 75+1
84
(1 + 0:015)
1
(1 + 0:015)
1 = 678406; 332592
El lector puede comprobar que efectivamente es da la suma de las últimas 10 cuotas de capital. Ejemplo 8.55 En la misma situación de ejemplo anterior, pero ahora el contrato estipula que el adelanto de las cuotas de capital debe ser directo. En este caso el dato: “Transcurrido 2 años y 7 meses”, es crucial, pues nos dice estamos en el mes 31 y que la primera cuota que tenemos para adelantar es la A32 . En general si estamos en el momento t, la primer cuota que podemos adelantar es la At+1 . Ahora el problema es hallar k tal que k X
Ah
adelanto <
h=t+1
k+1 X
Ah
(8.48)
h=t+1
de donde A1
k X
h 1
(1 + i)
adelanto < A1
h=t+1 t
A1 (1 + i)
k+1 X
h 1
(1 + i)
h=t+1
kX t 1
h
t
(1 + i)
adelanto < A1 (1 + i)
h=0
k t X
h
(1 + i)
h=0 k t
t (1 + i) A1 (1 + i) i
1
t
adelanto < A1 (1 + i)
k t+1
(1 + i)
1
i
Luego k t
(1 + i)
adelanto i k + 1 < (1 + i) t A1 (1 + i)
t+1
sustituyendo A1 n
k t
(1 + i)
(1 + i) 1 adelanto k + 1 < (1 + i) t C0 (1 + i)
Luego
t+1
n
log k
(1 + i) 1 adelanto +1 t C0 (1 + i) +t
> In ;
al igual que la sucesión de términos de amortizativos: a1 > a2 >
> an :
Nota 8.61 PONER DIBU Para un análisis completo debemos tener fórmulas para calcular el resto de las cantidades signi…cativas: términos amortizativos, cuotas de interés, capital pendiente y total amortizado. Sabemos que A = Ch 1 Ch de donde es fácil deducir la siguiente relación recursiva entre los capitales pendientes de todo préstamo alemán: Ch = Ch
A
1
tenemos que Ch = C0
hA =
C0 (n n
h)
(8.58)
lo que nos dice que el capital pendiente forma una renta aritmética decreciente de término inicial C0 y paso A. Observe que a mitad del préstamo (en h = n=2) se debe exáctamente la mitad (esto no ocurre nunca en el sistema francés ¿por qué?). Para calcular la cuota de interés basta recordar Ih = iCh
1
=i
C0 (n n
h + 1)
(8.59)
Nuevamente obtenemos una renta aritmética decreciente de término inicial C0 i y paso Ai El total amortizado es también muy fácil de expresar: Mh = hA = h
C0 n
(8.60)
Lo que nos da una renta aritmética creciente de término inicial A, y paso A.
8.4. PRÉSTAMO ALEMÁN
247
Un poco más complejo resulta el cálculo de los términos amortizativos. Sabemos que al …nal del período h el término amortizativo es igual a los intereses generados durante el período h más la cuota de amortización: ah
= Ch 1 i + A = (C0 (h 1) A) i + A = C0 i + (1 + i hi)A C0 = (1 + (n h + 1) i) n
(8.61)
(8.62)
Por lo tanto, recordando (8.57) ah = A + (n
h + 1) iA = C0 i + A
(h
1) Ai
(8.63)
de donde resulta claro que los términos amortizativos en un préstamo alemán forman una renta aritmética decreciente de término inicial C0 i + A y paso Ai. Ejemplo 8.62 Ud. acude a un banco y pide un préstamo de $ 24 000 a devolver en 5 años en cuotas mensuales, por el sistema alemán. La TNA que le cobra el banco es del 18%. Primero calcularemos el valor de la cuotas de amortización usando (8.57) 24000 60 400
A = =
i.e., ud. cancela $ 400 cada mes del capital adeudado. Ahora podemos dar las expresiones para el resto de las cantidades signi…cativas. Comencemos con los términos amortizativos, según (8.63) ah = 400 1
(60
h + 1)
0:18 12
Asi, como Ai = 6 y a1 = 400 (1 + 60 0:015) = 760 tenemos que a2 a3 a4
= = = .. .
754 748 742
a59 a60
= =
412 406
El capital pendiente al período h, dado por (8.58), es Ch = C0
hA = 24000
400h
Por ejemplo, el capital pendiente a los 12, y a los 30 meses es C12 C30
= 19200 = 12000
248
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
El total amortizado viene dado por Mh = hA Por ejemplo, a los 15 y a los 45 meses es M15 M45
= 15 400 = 6000 = 45 400 = 18000
La cuota de interés correspondiente será Ih
= Ch 1 i = (24000 400 (h = 366 6h
1)) 0:015
Por ejemplo, la cuota de capital a los 30 y 48 meses es I30 I48
= 186 = 78
Ejercicio 8.63 La Srta. Noélia saco un préstamo a sola …rma de $ 2 500 en la …nanciera "Su amigo Adrián", la cual trabaja con sistema alemán y cobra una TNA del 38.6 %. El prestamo dura 1 año y se conviene realizar el reembolso del mismo en 12 cuotas mensuales. Se pide: 1. ¿Cuánto es el monto de las distintas cuotas de maortización? 2. ¿A cuánto ascienden los términos amortizativos a1 ; a6; y a11 ? 3. ¿Cuál es el monto de las cuotas de interés I1 e I8 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente C8 ? 5. ¿En qué momento el capital pendiente es inferior a $ 1 000? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado M3 ? 7. ¿En que momento el total amortizado supera los $ 1 500? Ejercicio 8.64 Una empresa acude a un banco y pide préstados $ 2 000 000. Se conviene una TEM del 1.04 %. Si se usa sistema alemán, el préstamo dura 3 años, y la cuotas son bimestrales. 1. ¿Cuánto es el monto de las cuotas de amortización? 2. ¿A cuánto ascienden los términos amortizativos a1 ; a10; y a18 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de interés I5 e I14 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente C6 ? 5. ¿En que momento el capital pendiente es inferior a $ 1 000 000? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado M12 ?
8.4. PRÉSTAMO ALEMÁN
249
7. ¿En que momento el total amortizado supera los $ 1 500 000 ? Ejercicio 8.65 El Sr. Juan paga cada mes los interes generados por un préstamo que obtuvo del Banco Cooperativo de Oeste, más una suma …ja de $ 550 para cancelar capital. Sabiendo que la tasa de la operación es una TEA del 22.5 % y que la misma fue pactada a 5 años, se pide 1. Monto del préstamo solicitado por el Sr. Juan. 2. ¿A cuánto ascienden los términos amortizativos a1 ; a30; y a60 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de interés I1 ; I20 e I40 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente al …nal de cada año (C12 , C24 , C36 , C48 y C60 )? 5. ¿A partir de que cuota el capital pendiente es inferior a la mitad del monto del préstamo solicitado? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado a principio de cada año (M0 , M12 , M24 , M36 y M48 )? 7. ¿A partir de que cuota el total amortizado supera los dos tercios del monto del préstamo solicitado? Ejercicio 8.66 La Sra. Florencia desea renovar la cocina de su departamento, para lo cual solicita un prestamo personal a tres anños, a una TNA del 30 %, el cual reembolsará por sistema alemán cancelando cada mes $ 300 de capital. Se pide 1. Monto del préstamo solicitado por la Sra. Florencia. 2. ¿A cuánto ascienden los términos amortizativos a1 ; a12 ; a24; y a36 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de interés I1 ; I6 e I18 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente al …nal de cada año (C12 , C24 , y C36 )? 5. ¿A partir de que cuota el capital pendiente es inferior a un cuarto del monto del préstamo solicitado? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado a principio de cada año (M0 , M12 , M24 , y M36 )? 7. ¿A partir de que cuota el total amortizado supera la mitad del monto del préstamo solicitado? Los datos necesarios para llenar el cuadro de marcha de un préstamo alemán dado, son los mismos que siempre se necesitan para confeccionar un préstamo: 1. C0 el capital préstado. 2. i la tasa que se cobra. 3. n la cantidad de períodos que dura el préstamo.
250
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Ahora damos el esquema genérico para completar un cuadro de marcha, los números entre paréntesis indican el orden que usa el autor para ir llenado el cuadro (el cual no es único). n 0 1 2 3 4 .. . n
1 n
a ( 4 ) a1 = A + I1 ( 8 ) a = A + I2 ( 1 2 ) a = A + I3 ( 1 6 ) a = A + I4 .. .
Ih
A
Mh
-
-
-
I1 = C0 i I2 = C1 i ( 1 1 ) I3 = C2 i ( 1 5 ) I4 = C3 i .. .
.. .
.. .
.. .
a = A + In 1 a = A + In
In 1 = C n 2 i In = C n 1 i
A A
Mn 1 = M n 2 +A Mn = M n 1 +A = C 0
Cn 1 = C n 2 A Cn = C n 1 A = 0
(3)
(2)
(7)
(2)
A A A A
(2) (2)
(5) M = A M2 = M1 + A ( 1 3 ) M3 = M2 + A ( 1 7 ) M4 = M3 + A (9)
Ch C0 ( 6 ) C1 = C0 ( 1 0 ) C2 = C1 ( 1 4 ) C3 = C2 ( 1 8 ) C4 = C3 (1)
Nota 8.67 Algunas observaciones 1. Una vez calculada la cuota de amortización, se llena toda la cuarta columna. 2. La columna de las cuotas de interés debe ser aritmeticamente decrececiente. 3. La columna de las terminos amortizativos debe ser decreciente aritméticamente, 4. La columna del total amortizado debe ser estrictamente creciente comenzando en 0 (cero) y …nalizando en C0 . 5. La columna del capital pendiente debe ser estrictamente decreciente comenzando en C0 y terminando en 0 (cero). En general, si se redondea a dos cifras, las dos últimas condiciones no se cumplen. En dicho caso si el error no supera una cota preestablecida (por ejemplo para este libro: 5 centavos) se considera correcto. Si el error fuera mayor se debe aumentar la cantidad de decimales considerados. El autor recomienda trabajar al menos con tres decimales. Ejemplo 8.68 Hacer el cuadro de marcha de un préstamo alemán a 6 meses por $ 5000, a una TEM del 1.2%. n 0 1 2 3 4 5 6
a
Ih
Ah
Mh
893; 3333333 883; 3333333 873; 3333333 863; 3333333 853; 3333333 843; 3333333
60 50 40 30 20 10
833; 3333333 833; 3333333 833; 3333333 833; 3333333 833; 3333333 833; 3333333
833; 3333333 1666; 666667 2500 3333; 333333 4166; 666667 5000
Ch 5000 4166; 666667 3333; 333333 2500 1666; 666667 833; 3333333 0
Nota 8.69 Es claro que el uso de una planilla de cálculo, como excel, fácilita la confección de cualquier cuadro de marcha. Por lo que se recomienda su uso siempre que sea posible.
A A A A
8.5. PRÉSTAMO AMERICANO
251
En todo préstamo a interés sobre saldo el valor actual de la renta de los términos amortizativos es igual al capital préstado. En el sistema francés esto es obvio (¿Por qué?), pero en el resto de los sistemas (alemán y américano) esta a…rmación necesita ser veri…cada. Veamos que este es el caso en el sistema alemán. El valor actual de los términos amortizativos de un préstamo alemán por C0 , a una tasa i, convenido a n períodos (usando (8.63)) es n X
h=1
ah
=
h
(1 + i)
n X C0 i + A
(h
1) Ai h
(1 + i)
h=1
Ahora, la expresión anterior corresponde es exactamente el valor actual de una renta aritmética (7.22) V Aaritm ética (0) =
n
1
(1 + i) i
C b
= C0 i + A = Ai
C+
b + nb i
nb i
donde
Por lo tanto, recordando que A = C0 =n n X
h=1
ah h
(1 + i)
= =
1
(1 + i) i
n
1
(1 + i) i
n
C0 i + A +
Ai + n ( Ai) i
(C0 i + A A | {z
nAi) + nA }
=0
= C0
n ( Ai) i
Ejercicio 8.70 Hacer el cuadro de marcha para un préstamo alemán a 12 años por $ 10 000 000, para el cual se han pactado 12 pagos anuales consecutivos y una TEA del 23%. Ejercicio 8.71 Escoger al menos tres de los préstamos planteados en los ejercicios del (8.74) en adelante y realizar el correspondiente cuadro de marcha.
8.5
Préstamo americano
El sistema americano se suele usar en cuando se otorgan préstamos muy grandes, como los que habitualmente otorgan los organismos internacionales (BID, FMI, Banco Mundial, etc.) a diferentes países. Además nos da el equema básico para el análisis de las obligaciones y los bonos. Los elementos que componen un típico préstamo americano son: 1. C0 el capital préstado. 2. i la tasa de interés cobrada por el prestamista. 3. n la cantidad de términos amortizativos a pagar.
252
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
En este tipo de préstamo lo que se mantiene constante es la cuota de interés: I1 = I2 =
= In = I
(8.64)
Como se logra esto, pues muy sencillo: debiendo siempre lo mismo. Nota 8.72 PONER DIBU Como inevitablemente, la primera cuota de interés debe ser I1 = C0 i tenemos que I1 = I2 =
= In = I = C0 i
(8.65)
Las cuotas de amortización deben ser todas nulas, salvo la última: An . La cual debe ser igual al monto prestado a …n de cancelar la deuda al momento n: 0 C0
Ah =
si 1 h < n, si h = n
(8.66)
Por esta razón los términos amortizativos todos iguales, salvo el último: C0 i (1 + i) C0
ah =
si 1 h < n, si h = n
(8.67)
El capital pendiente, es siempre C0 , salvo al …nal: siempre debemos tener Cn = 0 C0 si 1 h < n, Ch = (8.68) 0 si h = n El total amortizado es nulo, salvo de nuevo en la última cuota: 0 C0
Mh =
si 1 h < n, si h = n
(8.69)
Ejemplo 8.73 La República Argentina solicita al BID un préstamo por U$ 1 700 000 000 para …nanciar la construcción de una nueva central nuclear. Ud. como representante o…cial de Argentina negocia con el BID y acuerdan que el préstamo será a sistema americano, a 5 años, y a una tasa del 4.8% nominal trimestral (J (4) ). Primero calcularemos el valor de la cuotas de interés usando (8.65) I
=
1700000000
=
20400000
0:048 4
i.e., al …nal de cada trimestre la República Argentina debe pagar al BID la suma de U$ 20 400 000. Ahora podemos calcular el resto de las cantidades signi…cativas. Comencemos con las cuotas de amortización. Según (8.66) Ah =
0 1 700 000 000
si 1 h < 20, si h = 20:
8.5. PRÉSTAMO AMERICANO
253
Ahora, según (8.67) los términos amortizativos son ah =
20 400 000 1 720 400 000
si 1 h < 20, si h = 20
El capital pendiente al período h, dado por (8.68), es Ch =
1 700 000 0
si 1 h < 20, si h = 20:
El total amortizado según (8.69)viene dado por Mh =
0 1 700 000 000
si 1 h < 20, si h = 20:
Ejercicio 8.74 La Srta. Noélia saco un préstamo a sola …rma de $ 2 500 en la …nanciera "Su amigo Adrián", la cual trabaja con sistema alemán y cobra una TNA del 38.6 %. El prestamo dura 1 año y se conviene realizar el reembolso del mismo en 12 cuotas mensuales. Se pide: 1. ¿Cuánto es el monto de las distintas cuotas de maortización? 2. ¿A cuánto ascienden los términos amortizativos a1 ; a6; y a11 ? 3. ¿Cuál es el monto de las cuotas de interés I1 e I8 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente C8 ? 5. ¿En qué momento el capital pendiente es inferior a $ 1 000? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado M3 ? 7. ¿En que momento el total amortizado supera los $ 1 500? Ejercicio 8.75 Una empresa acude a un banco y pide préstados $ 2 000 000. Se conviene una TEM del 1.04 %. Si se usa sistema alemán, el préstamo dura 3 años, y la cuotas son bimestrales. 1. ¿Cuánto es el monto de las cuotas de amortización? 2. ¿A cuánto ascienden los términos amortizativos a1 ; a10; y a18 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de interés I5 e I14 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente C6 ? 5. ¿En que momento el capital pendiente es inferior a $ 1 000 000? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado M12 ? 7. ¿En que momento el total amortizado supera los $ 1 500 000 ? Ejercicio 8.76 El Sr. Juan paga cada mes los interes generados por un préstamo que obtuvo del Banco Cooperativo de Oeste, más una suma …ja de $ 550 para cancelar capital. Sabiendo que la tasa de la operación es una TEA del 22.5 % y que la misma fue pactada a 5 años, se pide
254
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
1. Monto del préstamo solicitado por el Sr. Juan. 2. ¿A cuánto ascienden los términos amortizativos a1 ; a30; y a60 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de interés I1 ; I20 e I40 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente al …nal de cada año (C12 , C24 , C36 , C48 y C60 )? 5. ¿A partir de que cuota el capital pendiente es inferior a la mitad del monto del préstamo solicitado? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado a principio de cada año (M0 , M12 , M24 , M36 y M48 )? 7. ¿A partir de que cuota el total amortizado supera los dos tercios del monto del préstamo solicitado? Ejercicio 8.77 La Sra. Florencia desea renovar la cocina de su departamento, para lo cual solicita un prestamo personal a tres anños, a una TNA del 30 %, el cual reembolsará por sistema alemán cancelando cada mes $ 300 de capital. Se pide 1. Monto del préstamo solicitado por la Sra. Florencia. 2. ¿A cuánto ascienden los términos amortizativos a1 ; a12 ; a24; y a36 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de interés I1 ; I6 e I18 ? 4. ¿A cuánto asciende el capital pendiente al …nal de cada año (C12 , C24 , y C36 )? 5. ¿A partir de que cuota el capital pendiente es inferior a un cuarto del monto del préstamo solicitado? 6. ¿A cuánto asciende el total amortizado a principio de cada año (M0 , M12 , M24 , y M36 )? 7. ¿A partir de que cuota el total amortizado supera la mitad del monto del préstamo solicitado? Los datos necesarios para llenar el cuadro de marcha de un préstamo alemán dado, son los mismos que siempre se necesitan para confeccionar un préstamo: 1. C0 el capital préstado. 2. i la tasa que se cobra. 3. n la cantidad de períodos que dura el préstamo.
8.5. PRÉSTAMO AMERICANO
255
Ahora damos el esquema genérico para completar un cuadro de marcha, los números entre paréntesis indican el orden que usa el autor para ir llenado el cuadro (el cual no es único). n 0 1 2 3 4 .. . n
1 n
a ( 4 ) a1 = A + I1 ( 8 ) a = A + I2 ( 1 2 ) a = A + I3 ( 1 6 ) a = A + I4 .. .
Ih
A
Mh
-
-
-
I1 = C0 i I2 = C1 i ( 1 1 ) I3 = C2 i ( 1 5 ) I4 = C3 i .. .
.. .
.. .
.. .
a = A + In 1 a = A + In
In 1 = C n 2 i In = C n 1 i
A A
Mn 1 = M n 2 +A Mn = M n 1 +A = C 0
Cn 1 = C n 2 A Cn = C n 1 A = 0
(3)
(2)
(7)
(2)
A A A A
(2) (2)
(5) M = A M2 = M1 + A ( 1 3 ) M3 = M 2 + A ( 1 7 ) M4 = M3 + A (9)
Ch C0 ( 6 ) C1 = C0 ( 1 0 ) C2 = C1 ( 1 4 ) C3 = C2 ( 1 8 ) C4 = C3 (1)
Nota 8.78 Algunas observaciones 1. Una vez calculada la cuota de amortización, se llena toda la cuarta columna. 2. La columna de las cuotas de interés debe ser aritmeticamente decrececiente. 3. La columna de las terminos amortizativos debe ser decreciente aritméticamente, 4. La columna del total amortizado debe ser estrictamente creciente comenzando en 0 (cero) y …nalizando en C0 . 5. La columna del capital pendiente debe ser estrictamente decreciente comenzando en C0 y terminando en 0 (cero). En general, si se redondea a dos cifras, las dos últimas condiciones no se cumplen. En dicho caso si el error no supera una cota preestablecida (por ejemplo para este libro: 5 centavos) se considera correcto. Si el error fuera mayor se debe aumentar la cantidad de decimales considerados. El autor recomienda trabajar al menos con tres decimales. Ejemplo 8.79 Hacer el cuadro de marcha de un préstamo alemán a 6 meses por $ 5000, a una TEM del 1.2%. n 0 1 2 3 4 5 6
a
Ih
Ah
Mh
893; 3333333 883; 3333333 873; 3333333 863; 3333333 853; 3333333 843; 3333333
60 50 40 30 20 10
833; 3333333 833; 3333333 833; 3333333 833; 3333333 833; 3333333 833; 3333333
833; 3333333 1666; 666667 2500 3333; 333333 4166; 666667 5000
Ch 5000 4166; 666667 3333; 333333 2500 1666; 666667 833; 3333333 0
Nota 8.80 Es claro que el uso de una planilla de cálculo, como excel, fácilita la confección de cualquier cuadro de marcha. Por lo que se recomienda su uso siempre que sea posible.
A A A A
256
CAPÍTULO 8. PRÉSTAMOS
Dado un préstamo americano por C0 , a una tasa i, convenido a n períodos, comprobaremos que el valor actual de la renta de los términos amortizativos del msimo es exáctamente C0 . Usando (8.67)) tenemos n X
h=1
ah h
(1 + i)
= =
n X1 h=1 n X
h=1
= I
1
I h
+
C0 + I n (1 + i)
h
+
C0 n (1 + i)
(1 + i) I (1 + i)
n
(1 + i) i
= C0 1
+
(1 + i)
n
C0 n (1 + i) + C0 (1 + i)
n
= C0 Ahora, la expresión anterior corresponde es exactamente el valor actual de una renta aritmética (7.22) V Aaritm ética (0) =
1
(1 + i) i
n
C+
b + nb i
nb i
Ejercicio 8.81 Hacer el cuadro de marcha para un préstamo alemán a 12 años por $ 10 000 000, para el cual se han pactado 12 pagos anuales consecutivos y una TEA del 23%. Ejercicio 8.82 Escoger al menos tres de los préstamos planteados en los ejercicios del (8.74) en adelante y realizar el correspondiente cuadro de marcha.
Capítulo 9
Técnicas para la evaluación de proyectos de inversión Al emprender o modi…car una actividad económica se debe realizar lo que se conoce como un proyecto de inversión. Los proyectos de inversión comienzan con una idea, la cual potencialmente aumentará la riqueza del agente (persona física o jurídica) dueña del proyecto. Estás ideas pueden ser: nuevos negocios, nuevos productos, reducción de costos de producción, etc. Los proyectos de inversión se analizan como una serie de decisiones y hechos posibles a lo largo del tiempo, comenzando con la idea original, reuniendo y procesando información que nos permita predecir los costos, los bene…cios y el diseño de una estrategia óptima para la implementación del mismo a lo largo del tiempo. Todos proyecto de inversión tiene muchas componentes. Las cuales tienen variado grado de di…cultad. Entre las más complejas tenemos 1. Predecir el ‡ujo de fondos, lo cual consiste en pronósticar las probables sálidas y entradas de efectivo (en el tiempo) que la implementación del proyecto producirá. 2. Estimar la tasa de oportunidad, lo cual consiste en determinar la tasa con la que se descontará el ‡ujo de fondos. Esta estimación debe tener en cuenta todo el universo de alternativas que son dejadas de lado al realizar el proyecto de invesión en cuestión, considerando las tasas de las más rentables y otros factores como riesgo, in‡ación, devaluación, liquidez, etc. Ambas cuestiones son abordadas en la bibliogra…a especí…ca de evaluación de proyectos de inversión y escapan del alcance de este libro. Nosotros supondremos dados tanto el ‡ujo de fondos como la tasa de oportunidad, y desarrollaremos instrumentos analíticos para la evaluación de proyectos de inversión. Supondremos que la …nanciación necesaria para llevar a cabo un proyecto de inversión proviene enteramente del agente dueño del mismo. El efecto de la …nanciación externa sobre la bondad de un proyecto de inversión no será analisada aqui. 257
258
9.1
CAPÍTULO 9. PROYECTOS DE INVERSIÓN
Valor actual neto
Sopongamos que tenemos estimados los egresos (desembolsos de capital) y los ingresos (ganacias) que generará un proyecto de inversión, cómo podemos determinar si conviene o no realizarlo, i.e.: ¿Como podemos medir la rentabilidad de este proyecto de inversión? poner dibujo del ‡ujo de fondos generico con la tasa de oportunidad Alrededor de 1930 Irving Fisher de…nió lo que actualmente se conoce como el valor actual neto, VAN , de un proyecto de inversión. Este es un índice relativo que mide cuanto cambia el valor actual de un compañía o la riqueza actual de un agente (persona física o jurídica) a raíz de una decisión (la de realizar un proyecto de inversión). Todo proyecto de inversión genera lo que se conoce como un ‡ujo de fondos, que no es otra cosa que la estimación de los egresos y los ingresos que generará el proyecto de inversión a lo largo del tiempo. Se llama horizonte, o vida útil, de un proyecto de inversión a la duración del mismo. Si el proyecto no tiene una fecha de …nalización, diremos que tiene horizonte in…nito. poner dibujo de un ‡ujo de fondos generíco a horizonte in…nito Nota 9.1 En todo ‡ujo de fondos usaremos la conveción de colocar sobre el eje temporal los ingresos, y debajo del eje temporal a los egresos. De…nición 9.2 Dado un ‡ujo de fondos con un horizonte de n k-períodos, llamaremos ‡ujo de fondos netos al ‡ujo de fondos resultante de restar los ingresos menos los egresos, período a período: Fk = Ik
Ek , para k = 0; : : : ; n
donde Ik representa el ingreso generado en el periodo k (el cual puede ser nulo), y Ek representa el egreso necesario al período k (el cual puede ser nulo). Poner dibujo de un ‡ujo de fondos netos generico Nota 9.3 Usaremos la convención de colocar arriba del eje temporal el ‡ujo de fondos neto. De…nición 9.4 Dado el ‡ujo de fondos de un proyecto de inversión con un horizonte de n k-períodos, se llama valor actual neto a la tasa i, VAN (i), al valor actual del ‡ujo de fondos netos del proyecto, actualizado a la tasa i, VAN (i) :=
n X
k=0
Fk k
(1 + i)
donde se supone que la tasa i es k-períodica. El VAN también suele ser llamado valor presente neto: V P N .
(9.1)
9.1. VAN
259
Nota 9.5 Observe que en el cálculo del VAN , esta implícita la reinversión del ‡ujo de fondos netos a la tasa de oportunidad con la que se calculó el VAN hasta la …nalización del proyecto. Pues el valor actual de reinvertir el ‡ujo de fondos netos coincide con el VAN n X
1 n (1 + i)
n k
=
Fk (1 + i)
k=0
|
{z
n X
k=0
}
Fk k
(1 + i)
= VAN (i)
Valor …nal de reinvertir el ‡ujo neto de fondos a la tasa de oportunidad dada hasta el …nal del proyecto
poner dibu Como para cada k = 0; : : : ; n tenemos que Fk = Ik el VAN VAN (i)
= =
n X Ik
k=0 n X k=0
|
Ek , podemos reescribir
Ek k
(1 + i) Ik
k
(1 + i) {z }
:=V AI(i)
n X
k=0
|
Ek k
(1 + i) {z }
:=V AE(i)
De donde se puede ver que el VAN es la diferencia entre el valor actual de los ingresos, VAI, y el valor actual de los egresos, VAE, ambos a la tasa k-períodica i VAN (i) = V AI (i) V AE (i) (9.2) Ejemplo 9.6 Calcular el VAN(i) para
i 2 f 3:5; 2:2; 1:937354366; 0:8; 0:2; 0:01; 0:05; 0:1; 0:2; 0:2361694516; 0:35; 0:4820910195; 0:75; 0:9726911553; 1 del siguiente ‡ujo de fondos poner dibujo Por (9.1), el VAN a la tasa i es VAN (i)
250 1+i
100
95 +
2
(1 + i)
+
130
350
3
4
=V AI(i)
+
500
12 (9.3) (1 + i) (1 + i) (1 + i) " # " # 500 350 250 130 100 + 95 + = + 12 2 + 4 1 + i (1 + i)3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) | {z } | {z }
=
=V AE(i)
En particular VAN (0:01)
=
"
500 250 130 + + 12 1 + 0:01 (1 + 0:01)3 (1 + 0:01)
#
= [247:5247525 + 126:1767192 + 443:7246126] = 817:4260843 529:3727255 = 288:0533588
"
95 +
100 2
(1 + 0:01)
+
350 4
(1 + 0:01)
#
[95 + 98:02960494 + 336:3431206]
260
CAPÍTULO 9. PROYECTOS DE INVERSIÓN
La siguiente tabla contiene los valores del V AI, el V AE y el VAN para algunas de las tasas pedidas. i 3:5 2:2 1:937354366 0:8 0:2 0:01 0:05 0:1 0:2 0:2361694516 0:35 0:4820910195; 0:75 0:9726911553 1:5
V AI (i)
V AE (i)
VAN (i)
7842:363865; 817:4260843
1105:742188 529:3727255
6736:621677 288:0533588
484:2590602
416:6993375
67:5597227
310:3243604 251:6673840
310:3243604 255:2435642
0
213:0635259 108:3283886
213:0635259 119:9600000
0
3:5761802
11:6316114
Ejercicio 9.7 Completar la tabla anterior. Ahora gra…caremos la función (9.3) poner gra…co de la función VAN Observando simultáneamente tanto la grá…ca como tabla del ejemplo y la de…nición del VAN , podemos concluir que Matemáticamente hablando, el VAN esta de…nido para toda i 6= 1. Sin embargo, como veremos dentro de poco, desde un punto de vista …nanciero, en general, sólo nos interesa analizar que ocurre con el VAN para tasas positivas. Dependiendo de la tasa el VAN puede ser negativo, nulo o positivo. Inclusive puede tomar valores muy grandes, tendiendo a in…nito, en módulo (tanto negativos como positivos). Pero este comportamiento sólo se da para tasas negativas, para tasa positivas el VAN esta siempre acotado por la suma algebraica en móduloe (sin considerar signo) del ‡ujo de fondos neto: si i 0 jVAN (i)j =
n X
k=0
Fk k
(1 + i)
n X
k=0
jFk j
k
(1 + i)
n X
k=0
jFk j
Si bien el VAN no tiene un comportamiento monótono, tenemos que a medida que la tasa crece en módulo, el VAN de cualquier proyecto tiende al valor del ‡ujo de fondos neto inicial lim VAN (t) = lim VAN (t) = F0
t!1
t! 1
el cual es en general igual a F0 =
E0
9.1. VAN
261
cantidad que representa la inversión inicial (egreso) necesaria par iniciar el proyecto de inversión. Esto es asi pues lim
t! 1
Fk k
(1 + t)
= 0 si k 6= 0
Similarmente, al observar nuevamente la de…nición del VAN , junto con la grá…ca y/o la tabla del ejemplo anterior surgen las siguientes preguntas: ¿Qué tasa se debe usar para calcular el VAN de un proyecto de inversión dado? ¿Cuál es el signi…cado …nanciero de un VAN negativo, uno nulo o uno positivo? La tasa que se usa para el cálculo del VAN representa el mínimo rendimiendo que el agente exige a una inversión. Esta tasa es conocida como tasa de oportunidad o tasa de corte. La cual es estimada teniendo en cuenta los deseos del agente (rendimiento minímo pedido) y/o el rendimiento que otras inversiones le pueden redituar al agente dueño de los fondos. Por lo general, o se usa una tasa promedio, o se toma la tasa de la inversión más rentable y, posiblemente, se le agregan unos puntos por riesgo y liquidez. Es por esto que generalmente solo consideramos tasas positivas para el calculo del VAN . Hallar esta tasa suele ser una de las taréas más difíciles en la fórmulación de un proyecto de inversión. Las técnicas usadas para estimar la misma son desarrolladas en los cursos de fórmulación y evaluación de proyectos de inversión. Los siguientes ejemplos nos brindarán una interpretación …nanciera clara del VAN. Consideremos un agente el cual tiene las siguientes opciones de inversión, las cuales tienen un horizonte común de un año, suponemos que el agente cuenta con $ 10 000, por lo que sólo puede llevar a cabo una de las tres propuestas (es lo que se conoce como proyectos mutuamente excluyentes): 1. Depositar en un Banco $ 10 000 al 10 % anual durante 1 año. 2. Comprar $ 10 000 en bonos que rinden un 8.5 % anual. 3. Invertir hoy $ 10 000 en un proyecto productivo que redituará $ 12 000 en un año. dibu de los tres ‡ujos de fondos De acuerdo con lo que hemos dicho con respecto a la tasa de oportunidad, esta debería ser mayor o igual al 8.5 % anual. Es claro que ninguna de las tres opciones le generan una pérdida de dinero al agente (suponiendo que la in‡ación es menor al 8.5 % anual). La siguiente tabla contiene el valor del VAN para cada unos de estos proyectos usando ambas tasas dadas: VAN VAN1 VAN2 VAN3
i1 = 0:085 138:2488479 0 1059:9078341
i2 = 0:1 0 136:36363636 909:090909
De este cuadro es claro que el VAN mide, en términos absolutos (i.e. en dinero), cuanto rinde hoy la inversión o proyecto en cuestión con respecto a poner los
262
CAPÍTULO 9. PROYECTOS DE INVERSIÓN
fondos a la tasa con la que se calculó el VAN . Por ejemplo, usando como tasa de oportunidad el 8.5 % anual, el proyecto 1 tiene una diferencia al día hoy de $ 138.25 por arriba de $ 10 000 (que es el valor actual de colocar $ 10 000 durante un año al 8.5 % anual). Por otro lado, a la tasa de oportunidad del 8.5 % el proyecto 2 tiene una diferencia al día de hoy de $ 0 con $10 000, mientras que el proyecto 3 tiene un valor al día de hoy de $ 1059.91 por arriba de los $ 10 000. Observemos que pasa si consideramos que la tasa de oportunidad del agente es del 10 % anual. Ahora la diferencia del proyecto 1con respecto a los $ 10 000 iniciales es de $ 0, mientras que la diferencia del proyecto 2 al día de hoy es de $ 136.36 por debajo de los $ 10 000. El signi…cado de esto es que existe una opción con la cual el agente puede ganar más, o que el proyecto no rinde lo que el inversionista pide como mínimo, pero no signi…ca que necesariamente el proyecto produce pérdida (de hecho en este caso se esta ganando un 8.5 % anual). En el caso del proyecto 3, al día de hoy y a la tasa de oportunidad del 10% anual, su diferencia con los $ 10 000 es de $ 909.09 por arriba. De la fórmula (9.2) es claro que el VAN nos indica la diferencia al día de hoy, a una tasa dada, entre los ingresos y los egresos que origina un proyecto de inversión. Si el VAN es positivo, el proyecto es más rentable que poner el ‡ujo de egresos a la tasa de oportunidad hasta la …nalización del proyecto, si el VAN es negativo, signi…ca que es más conveniente poner el ‡ujo de egresos a la tasa de oportunidad hasta la …nalización del proyecto que realizar el proyecto, y si el VAN es nulo, este proyecto es tan bueno como poner el ‡ujo de egresos a la tasa de oportunidad hasta la …nalización del proyecto, por lo cual se suele decir que el agente es indiferente entre realizarlo o no (en cuyo caso se supone que se realiza otro proyecto igual de rentable, como sería colocar el ‡ujo de egresos del proyecto a la tasa de oportunidad hasta la …nalización del proyecto). Ejemplo 9.8 Ud. está pensando en comprar un auto para ponerlo a trabajar de taxi o remis. El vehículo le cuesta unos $ 55 000 en total más $ 5 000 para adquirir la licencia municipal para operar el vehículo. Ud. estima que tendrá unos gastos …jos de $ 4 600, entre el sueldo básico del chofer, seguro, impuestos municipales, y combustible. Ud. asume que el costo de mantenemiento anual será de $ 5 000, el cual se irá incrementando un 15 % cada año. Además debe pagar unos $ 2 500 al …nal de cada año por la revización técnica obligatoría y la renovación anual de la licencia municipal. Su tasa de oportunidad es una TEM del 0.9% y ud. estima que como mínimo ganará $ 7 500 por mes. Ud espera vender el auto al cabo de 5 años en unos $ 20 000. ¿Cuál es el valor actual neto de este proyecto? PONER DIBU El valor actual de los ingresos es V AI = 7500
1
(1 + 0:009) 0:009
60
+
20000 60
(1 + 0:009)
358218:5
El valor actual de los egresos es V AE
=
60000 + 4600 305672:5
1
(1 + 0:009) 0:009
60
5
+ 5000
(1 + 0:15) (1 + 0:113509675) 0:15 0:113509675
5
1
+ 2500
1
(1 + 0:
9.1. VAN
263
Pues como 12
1 + i = (1 + T EM )
tenemos que la tasa anual de oportunidad del inversionista es del 12
i = (1 + 0:009)
1 = 0:113509675
Por lo tanto el valor actual neto del proyecto a una tasa de oportunidad del 0.9 % mensual es VAN = V AI
V AE
358218:5
305672:5 = 52546
Lo cual dice que al realizar este proyecto de inversión el inversionista obtiene hoy unos $ 52 546 por arriba de invertir el ‡ujo de egresos a una tasa del 0.9 % mensual. Una vez que sabemos el valor del VAN de un proyecto de inversión podemos usarlo para tomar una decisión fundada sobre la realización o no del proyecto, pero esto es tema del curso de evaluación de proyectos de inversión. Ejercicio 9.9 ¿Cuánto debería ganar mensualmente el inversionista para obtener un VAN nulo? Ejercicio 9.10 ¿En cuánto deben subir los gastos …jos mensuales para el que VAN del proyecto sea negativo? Ejercicio 9.11 Recalcular el VAN del ejemplo anterior, con las siguientes tasas de oportunidad mensules: i 2 f0:025; 0:03524745675; 0:05g Ejercicio 9.12 Sabemos que la tasa de oportunidad del Sr. Denis es una T N A del 12 %. Él desea saber el VAN de un proyecto que requiere de un desembolso inicial de $ 750 000, el cual tiene un costo mensual de mantenimiento de $ 15 000 y generará unos ingresos mensuales de $ 45 000, y un de mercado de $ 350 000 al …nal de la vida útil del proyecto, la cual es de 4 años. Recalcular el VAN suponiendo que la tasa de oportunidad del Sr. Denis es una T EM del 2 % y del 3 %. Ejercicio 9.13 Un nuevo equipo para la producción de rollos de servilletas cuesta $ 15 000 000, el costo de mantenimiento será de $ 10 000 el primer mes, y se incrementará en un 0.5% cada mes. Este nuevo equipo producirá unas ganancias netas de $ 55 000 al mes durante los 5 años de vida útil del equipo. La política de la empresa es realizar aquellos proyectos con horizonte no mayor a 5 años que incrementen el valor actual de la compañía en al menos $ 2 500 000. Suponer que la tasa de oportunidad de la empresa es una TEA del 12.1%. Ejercicio 9.14 Ud desea poner un negocio de venta de ropa. El alquiler del salón, los sueldos de los empleados, los impuestos y los costos operativos ascenderan a unos $ 12 800 mensuales. Además debe desembolsar $ 120 000 entre impuestos, moviliario y stock inicial. Ud. espera tener unos ingresos mensuales de $ 23 000, y su tasa de oportunidad es del 16% anual. Calcular el VAN del proyecto.
264
CAPÍTULO 9. PROYECTOS DE INVERSIÓN
Poner ejercicios de producción agricola!!! Ahora consideraremos el caso de los proyectos de inversión con horizonte in…nito. Ejemplo 9.15 Ud desea construir un salón comercial para alquilar. El costo del terreno es de $ 130 000. La contrucción del mismo, le demandará $ 25 000 por mes durante los próximos 8 meses. La habilitación municipal y otros impuestos le costarán $ 15 000, y ud. estima que podrá alquilarlo en $ 2 500 mensuales. Además, su tasa de oportunidad es una TNA del 8% anual. Calcular el VAN de este proyecto. PONER DIBU El valor actual de los ingresos es a la tasa de oprtunidad dada es V AI =
1
2500 0:08 12
1+
355590
0:08 8 12
mientras que el valor actual de los egresos es V AE = 130000 + 25000
1
0:08 12 0:08 12
1+
8
1+
0:08 12
+
15000 1+
0:08 9 12
339550
Por lo tanto el valor actual neto del proyecto a la tasa de oportunidad dada es aproximadamente de $ 16 000 pues VAN = V AI
V AE
355590
339550 = 16040
Ejercicio 9.16 Ud. dispone de un terreno, y desea hacer una playa de estacionamiento. Para lo cual necesita desembolsar $ 20 000. Ud estima que el costo de mantenimiento de la playa ascenderá a $ 3 000 mensuales, y espera ganar unos $ 5 000 mensuales. Calcular el VAN del proyecto, considerando que su tasa de oportunidad es una T N A del 14 %. Ejercicio 9.17 El Sr. Elias dispone de un terreno en el centro de la ciudad sobre el cual desea construir un edi…cio. Estima que necesitará invertir unos $ 95 000 durante los próximos 8 meses para términar el edi…cio. Al cabo de esos ocho meses el Sr. Elias espera obtener unos $ 19 000 pesos mensuales libre de gastos por el alquiler de los departamentos. Calcular el VAN del proyecto, considerando que su tasa de oportunidad es una T EA del 15 %.
9.2
Tasa interna de retorno
La tasa interna de retorno (o de rendimiento),TIR, es uno de los índices de evaluación de proyectos de inversión más usados por las instituciones …nancieras. Conceptualmene, no es otra cosa una tasa que anula el V AN del proyecto que se evalua Al igual que las sección anterior, la exposición que realizaremos de la T IR es meramente una introducción al uso de la misma y básicamente nos enfocaremos en cómo calcularla. Consideremos el ‡ujo nete de caja que genera un proyecto de inversión:
9.2. TIR
265
1. Número total de periodos n: 2. Flujo de ingresos que el proyecto genera: Sucesión de capitales I0 ; : : : ; In disponibles a los momentos 0; 1; : : : ; n. Eventualmente varios de estos ingresos son nulos. 3. Flujo de egresos que el proyecto demanda: compuesto de la sucesión de capitales E0 ; : : : ; En disponibles a los momentos 0; 1; : : : ; n. Eventualmente varios de estos egresos son nulos. 4. Flujo neto que el proyecto genera: Fk = Ik
Ek
para k = 0; 1; : : : ; n. Tanto el valor actual de los ingresos como el valor actual de los egresos pueden ser vistos como funciones de una tasa i (dimensionalmente compatible con los períodos de tiempo que formana el ‡ujo neto de fondos). Por lo tanto lo mismo ocurre con el valor actual neto VAN (i)
= VAI (i) VAE (i) n X Ik Ek = k k=0 (1 + i)
(9.4)
De…nición 9.18 Se llama tasa interna de retorno, TIR, de un proyecto de inversión, a toda tasa efectiva anual que anule el valor actual neto del proyecto en cuestión: T IR 2 fi 2 R : V AN (i) = 0g Nota 9.19 Un proyecto de inversión puede tener varias tasas que anulen su VAN , ver ejemplo 9.6. Ejemplo 9.20 Calcular la T IR del siguiente proyecto de inversión: se invierten hoy $ 350 000 y dentro de un año recibiremos $ 550 000. Sólo debemos hallar la tasa anual que anule V AN (i) = 350000 de donde i=
550000 350000
550000 1+i
1 = 0:57142857143:
Observemos que si capitalizamos nuestra inversión inicial a la TIR obtenemos 350000 (1 + 0:57142857143) = 550000 Esto puede inducir a pensar que la T IR es la tasa de rendimiento del proyecto. Pero este no suele ser el caso cuando los ‡ujos de fondos son más complicados. Al igual que con el VAN , esta implícito en el cálculo de la T IR la reinversión
266
CAPÍTULO 9. PROYECTOS DE INVERSIÓN
del ‡ujo de fondos netos a la T IR la …nalización del proyecto. Pues el valor …nal de reinvertir el ‡ujo de fondos netos a la T IR es cero n X
k=0
|
n k
n
Fk (1 + T IR) {z
= (1 + T IR)
n X
k=0
}
Fk
n
k
(1 + T IR)
= (1 + T IR) VAN (T IR) = 0
Valor …nal de reinvertir el ‡ujo neto de fondos a la T IR hasta el …nal del proyecto
En realidad, como la T IR anula el valor actual del ‡ujo neto de fondo del proyecto de fondos en cuestión, por equivalencia …nanciera, la T IR anulará el valor del ‡ujo de fondos netos a cualquier otra fecha focal. Ejemplo 9.21 Consideremos un proyecto de inversión, el cual requiere de tres inversiones: al inicio del proyecto $ 100, al cabo de 2 meses $ 200 y en 6 meses ud. debe invertir $ 400. El proyecto reportará los siguientes ingresos: $ 300 en un mes, 150 en 5 meses y 100 en 11 meses. El valor actual neto de este proyecto en función de una tasa mensual es: V AN (i) =
150 300 100 + + 11 1 + i (1 + i)5 (1 + i)
100
200
400 2
(1 + i)
6
(1 + i)
el cual es nulo para las siguientes tres tasas mensuales (comprobarlo!): i1 i2 i3
= 0:1908889569 = 0:5825724331 = 0:9092113977
De hecho hay 5 zonas bien de…nidas V AN (i) V AN (i) V AN (i) V AN (i) V AN (i)
< > < > <
0 0 0 0 0
si si si si si
i3 < i i2 < i < i3 i1 < i < i2 1 < i < i1 i T IR, entonces V AN < 0, y el proyecto debe ser rechazado, 2. Si io = T IR, entonces V AN = 0, y el proyecto nos resulta indiferente, 3. Si io < T IR, entonces V AN > 0, y el proyecto debe ser aceptado. Ejemplo 9.24 Suponga que invierte 10 000 $ en un proyecto de inversión, por ejemplo, la compra de una franquicia entre varios socios. Este proyecto le reditua 35 000 $ en 5 años. Si su tasa de oprtunidad es del 12.5 % anual (TAE). Es conveniente realizar la inversión Apliquemos el criterio de la TIR, para eso calculamos ( ) 35000 T IR1 = arg 10000 5 =0 (1 + i) Lo que es igual a T IR1 =
r 5
25000 10000
1 = 0:284735158 > 0:125 = io
Lo que nos dice que el proyecto es aceptable. Ejemplo 9.25 Supongamos que con los mismos 10 000 $ Ud. puede realizar una inversión que le reditua 5 pagos, uno al …nal de cada uno de los próximos 5 años, siendo el primero de 1 000, el sugundo de 2 000, el tercero de 4 000, el cuarto de 8 000, y el último de 16 000. Es conveniente realizar esta inversión.
9.3. TASA DE RENTABILIDAD VERDADERA Aplicando el criterio de la TIR, obtenemos ( 5 X 1000 2k T IR2 = arg 10000 k (1 + i) k=1
269
1
)
=0
Lo que es igual a T IR2 = 0:3294398217 > 0:125 = io Esto nos dice que el proyecto es aceptable. Ahora surge una pregunta: ¿cuál de los proyectos es mejor?. El siguiente criterio nos permite usar la TIR para decidir entre un abanico de proyectos posibles: Criterio 9.26 Sea io la tasa de oportunidad de un inversionista, dada una serie de proyectos de inversión P1 ; P2 ; :::; Pk , el criterio de la TIR nos dice que debemos escoger uno cualquiera de los proyectos en arg max fT IRi
io g
i=1;:::;k
+
Si este conjunto es vacío, no debemos escoger ninguno de los proyectos En la de…nición anterior hemos supuesto que las TIR´s hallada son temporalmente compatibles con la tasa io , si no fuera el caso basta calcular la tasa equivalente. De acuerdo con el criterio de la TIR, la opción 2 es la mejor.
La TIR tiene un grave inconveniente como índice de evaluación: puede no ser única. Además tiene un problema de interpretación: se la suele confundir con la tasa de rentabilidad (verdadera) del proyecto en cuestión.
Hasta el momento no hemos dado la interpretación …nanciera de la TIR: escencialmente, la TIR es la tasa que se paga sobre los capitales aun no recuperados en cada momento. Para clari…car esta a…rmación necesitamos introducir la:
9.3
Tasa de rentabilidad verdadera
Para calcular la rentabilidad real de un proyecto de inversión, debemos reinvertir los ingresos parciales a la tasa de oportunidad supuesta, hasta el …nal de la vida util del proyecto de inversión en cuestión. La tasa de rentabilidad verdadera es la que iguala el valor …nal de los ingresos con el valor …nal de los egresos. Por ejemplo la tasa de rentabilidad verdadera de la Opción 1 es la tasa que convierte 10 000 $ de hoy en 35 000 $ en 5 años: 5
10 000 (1 + T RV1 ) = 35 000 lo que implica que T RV1 = 0:284735158 = T IR1
270
CAPÍTULO 9. PROYECTOS DE INVERSIÓN
En este caso, hay concidencia entre la TIR y la TRV del proyecto de inversión, esto se debe hay que no hay ingresos intermedios (entre el momento inicial y …nal). Ahora calculemos la TRV de la opción 2. Primero debemos calcular el valor …nal de todos los ingresos al momento n (al …nal de la vida útil del proyecto de inversión), para hacerlo debemos capitalizarlos usando la tasa de oportunidad del inversor, la cual es io = 12:5% (TEA) 5 X
1000 2k
1
5 k
(1 + io )
= 34511:96289
k=1
Luego la TRV de la opción 2 es la tasa que convierte 10 000 $ en 34 511.96289 $ es 5 años: 5 10 000 (1 + T RV2 ) = 34511:96289 lo que implica que T RV2 = 0:281132157 < 0:3294398217 = T IR2 En este caso la TRV y la TIR no coinciden, la razón, hay pagos parciales antes de que el proyecto …nalize. Si llamamos V F (I) y V F (E) al valor …nal de los ingresos y al valor …nal de los egresos, respectivamente, tenemos que ambos son funciones de la tasa con la cual se realicen las respectivas capitalizaciones: V F (I) (i) = V F (E) (i)
=
n X
k=0 n X
n k
Ik (1 + i)
n k
Ek (1 + i)
k=0
De…nición 9.27 Sea io la tasa de oportunidad de un inversionista. La tasa de rentabilidad real, TRV de un proyecto de inversión para el mencionado inversionista es la tasa que iguala el valor …nal de los egresos, con el valor …nal de los ingresos generados por el proyecto capitalizados con la tasa de oportunidad del inversor io . Una tasa de rentabilidad verdadera es cualquier tasa del conjunto T RV 2 arg (V F (E) (i) = V F (I) (io )) i2R
De la de…nición de TRV, es claro que este indice adolece del mismo defecto que la TIR, pueden ser varias las tasas en el conjunto anterior. Este concepto nos da un criterio para decidir si un proyecto es aceptable o no, y un criterio para decidir entre una serie de proyectos de inversión: Criterio 9.28 Dado un proyecto de inversión y un tasa de oportunidad del inversionista io , 1. Si io > T RV , entonces el proyecto debe ser rechazado, 2. Si io = T IR, entonces el proyecto nos resulta indiferente, 3. Si io < T IR, entonces el proyecto debe ser aceptado.
9.4. PF
271
Observe que de acuerdo con el criterio de la TRV, ambas opciones son aceptables: T RV1 T RV2
= 0:284735158 > 0:125 = io = 0:281132157 > 0:125 = io
Criterio 9.29 Sea io la tasa de oportunidad de un inversionista, dada una serie de proyectos de inversión P1 ; P2 ; :::; Pk , el criterio de la TRV nos dice que debemos escoger uno cualquiera de los proyectos en arg max fT V Ri
io g
i=1;:::;k
+
Si este conjunto es vacío, no debemos escoger ninguno de los proyectos. Ahora, de acuerdo con el criterio de la TRV para la selección entre diferentes proyectos de inversión, la opción 1 es la mejor. lo cual es contradictorio con lo que nos aconsejaba el criterio de la TIR. ¿Que proyecto llevamos acabo? bueno yo calcularía el VAN de ambos.
9.4
Promedio …nanciero
El promedio …nanciero, PF, también conocido como costo de capital anualizado o costo anual uniforme equivalente, es un método para decidir entre dos o más alternativas de inversión (con vidas útiles iguales o diferentes). El promedio …nanciero de un proyecto de inversión es coherente con valor actual neto del proyecto, en el sentido que ambos lo aceptan (si el valor de corte es cero), lo rechazan o son indiferentes, i.e., ambos dan el mismo resutado. Escencialmente el promedio …nanciero reemplaza un ‡ujo de fondos arbitrario por una renta constante pospagable de igual duración y valor actual que el ‡ujo, y su objetivo es darnos una idea del promedio de pérdida o ganancia por unidad de tiempo que obtiene un proyecto dado. De…nición 9.30 Dado un ‡ujo de caja de un proyecto de inversión de t años de duración, y una frecuencia temporal m, el m-promedio …nanciero del proyecto de inversión, P F (m) , es el término de una m-renta constante pospagable con igual valor actual que el valor actual neto del proyecto de inversión: P F (m) =
1
V AN (1+i(m) ) i(m)
mt
i(m) V AN
= 1
1 + i(m)
mt
(9.5)
donde i(m) una tasa equivalente a la tasa de oportunidad del agente. Es claro, a partir de la de…nición anterior que ambos criterios, el VAN y el PF, coinciden para cualquier proyecto de inversión. Ejemplo 9.31 Ud. desea construir un salón comercial para alquilar. El costo del terreno es de $ 130 000. La contrucción del mismo, le demandará $ 25 000 por mes durante los próximos 8 meses. La habilitación municipal y otros impuestos le costarán $ 15 000, y ud estima que podrá alquilarlo en $ 2 500. Además, su tasa de oportunidad una TNA del 8% anual.
272
CAPÍTULO 9. PROYECTOS DE INVERSIÓN
Sabemos que el VAN de este proyecto es de unos $ 16 040 (aproximadamente), el promedio …nanciero mensual es P F (12)
0:08 12 16000 1 + 0:08 12
=
1 106; 9333333
1
=
0:08 16040 12
Es decir, este proyecto de inversión es equivalente a recibir una renta perpetua de unos $ 107. Criterio 9.32 (de aplicación del PF) Dado un proyecto de inversión de t años de duración, para un agente determinado si 1. P M (m) agente.
corte entonces el proyecto de inversión es aceptable para el
2. P M (m) < corte entonces el proyecto de inversión no es aceptable para el agente. Donde corte es un monto no negativo de dinero que establece el agente. Por ejemplo, si en el ejemplo previo, su corte para horizonte in…nito en $ 1 000, entonces decidirá no realizar este proyecto. El Promedio …nanciero nos premite comparar dos o más proyectos de inversión sin importar sus horizontes temporales. Criterio 9.33 (PF aplicado a la comparación de proyectos de inversión) Dada una serie de proyectos de inversión P1 ; P2 ; :::; Pk , y una frecuencia temporal m, para un agente dado, este debe escoger entre los proyectos aceptables, i.e., entre aquellos que superen el criterio de corte establecido por el agente n o A = i 2 f1; : : : ; ng : P F (m) (Pi ) > corte
lo que ofrezcan una mayor rentabilidad promedio:
arg maxfP F (m) (Pi )g i2A
9.5
Efecto de la in‡ación
Capítulo 10
Tópicos de Finanzas 10.1
Obligaciones y bonos
10.2
Acciones
1 x f (x) = sin(x) x20 e
273
274
CAPÍTULO 10. FINANZAS
10.2. ACCIONES
275
Bertsekas, D. P. (1998). Network Optimization: Continuous and Discrete Models. Athena Scienti…c, Belmont, Massachusetts.
276
CAPÍTULO 10. FINANZAS
Bibligrafía [1] Dumrauf, Guillermo L., 2006, Finanzas Corporativas. Alfaomega, México. [2] Joseph W. Kitchen, 1992, Cálculo. McGraw Hill. México. [3] Joanna Place, 2005. Análisis básico de bonos. Ensayos 72. Centro de estudios monetarios latinoamericanos. México. http://www.cemla.org/ensayos.htm
277