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MATEMÁTICAS

GRADO 8º

O

UNIDAD N 1

POLINOMIOS 1

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POLINOMIOS

LOGRO: Reconocer la diferencia entre un monomio y un polinomio, realizando las operaciones posibles de llevar a cabo entre monomios y polinomios y las operaciones posibles entre polinomios.

Indicadores de logro: Reconoce las características de los polinomios Suma monomios y polinomios Reconoce las restas entre monomios y polinomios Multiplica y divide monomios y polinomios Multiplica y divide polinomios entre si

¿QUÉ SON LOS POLINOMIOS?

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Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física Universidad de Antioquia Reseña histórica

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones Cuadrática. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo x2-bx=c, con b›0, c›0, aunque estos símbolos (b, c, x, +,= ) no se usaban entonces. Babilonios Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma, ax2+bx+c=0 donde a, b y c pueden ser números cualesquiera. La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica) no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma

Donde a, b,c y d son números cualesquiera, y a≠ 0 Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita. Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo. Scipione del Ferro La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro. Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".

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Girolamo Cardano El episodio completo fue más bien trágico para sus protagonistas. En aquellos tiempos, cuando un matemático descubría algo importante, trataba de guardarlo en secreto, para poder enfrentarse en "duelos matemáticos" con otros, y vencer. Resulta que estos duelos eran una especie de torneo o debate público, en el cual dos matemáticos se retaban mutuamente a resolver problemas planteados por ellos. Se proponían los problemas y se efectuaba el duelo unos 15 días después. Asistía el público y también las autoridades locales, y el perdedor en un duelo de estos podía llegar a perder hasta su empleo en una importante Universidad, como consecuencia del desprestigio. El caso fue que Scipione del Ferro guardó su secreto hasta poco antes de su muerte, cuando decidió revelarlo a dos discípulos suyos: Annibale della Nave y Antonio María Fiore. Este último decidió retar a Tartaglia, quien era profesor de Matemáticas en Venecia, para un duelo. Le propuso 30 problemas, los cuales requerían de la solución de ecuaciones cúbicas. Tartaglia propuso a Fiore otros problemas variados y se dedicó por 15 días a trabajar sobre la ecuación de tercer grado hasta lograr encontrar su solución. En el duelo, Tartaglia sorprendió a todos, pero sobre todo a Fiore, con sus soluciones a todos los problemas planteados. Fiore, por su parte, no pudo resolver casi nada de lo propuesto por Tartaglia, y fue declarado perdedor. A su vez, Tartaglia guardó celosamente el secreto de su descubrimiento, a pesar de que Girolamo Cardano, interesado en conocerlo, trató, por 4 años, de acercarse a él para que compartiera su conocimiento de la solución a la ecuación cúbica. Nicolo Fontana Tartaglia Finalmente, logró Cardano su objetivo, jurando a Tartaglia solemnemente que jamás lo divulgaría. Pero 3 años más tarde, en 1542, Cardano logra obtener permiso para estudiar los escritos del difunto Ferro, y luego decide, en 1545, publicar la obra "Ars Magna", que contenía, entre otros importantes descubrimientos matemáticos, la solución de la ecuación cúbica. Aunque, en su publicación, Cardano reconoce el mérito de Ferro y Tartaglia en ese descubrimiento, Tartaglia nunca lo perdonó por faltar a su juramento. Tras un año de polémicas, Tartaglia acepta un reto de un alumno de 4

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Cardano para un "duelo matemático", en el cual resulta perdedor. Perdió su trabajo de profesor en la Universidad de Brescia y murió 9 años después, humilde, en Venecia. El desarrollo del Álgebra a través de la historia ha sido impulsado principalmente por el interés en resolver ecuaciones. Ecuaciones lineales o de grado 1 (del tipo ax+b=0), ecuaciones Cuadrática o de grado 2 (del tipo ax2+bx+c=0), ecuaciones cúbicas ó de grado 3 (del tipo ax3+bx2+cx+d=0) y ecuaciones de cualquier grado, en general. Es así, cómo se dan a conocer los polinomios, sus operaciones, propiedades entre otros tema de gran interés. Pues fijémonos ahora en el proceso de encontrar dos o más polinomios que al multiplicarse permitan obtener el polinomio original se denomina Factorización de polinomios. Factorizar monomios es muy sencillo, y si el grado del monomio es mayor que 1, hay varias maneras de factorizarlo, por ejemplo:

Factorizar binomios, trinomios y polinomios en general, requiere de más trabajo

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Hay algunos casos destacados de productos de polinomios que, por esa importancia que tienen, son llamados productos notables. Son los siguientes:

Otros productos notables son:

1. Esto es cierto porque

Por ejemplo:

2.

3.

Estas dos igualdades se ve que son ciertas, sencillamente aplicando la distributividad del producto respecto a la suma. Por ejemplo:

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El lenguaje algebraico El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico. En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico. El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra. Características del lenguaje algebraico El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve. Ejemplo: El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 · = {±5, ±10, ±15, ...}. En lenguaje algebraico se expresa 5 · n, con n un número entero. El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general. Ejemplo: La propiedad conmutativa del producto se expresa a · b = b · a, donde a y b son dos números cualesquiera. Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos. Ejemplos: El doble de un número es seis se expresa 2 · x = 6. “Un número aumentado en dos unidades es 15”, se expresa x+2=15. “El cuadrado de un número desconocido es 36”, se representa por x2=36.

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TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE

ACTIVIDAD:con tus compañeros del curso, ponte de acuerdo en la mejor forma de representar cada una de las siguientes expresiones del lenguaje normal en un lenguaje algebraico: Enunciado formal

Lenguaje algebraico

El antecesor de un número es 27

............

El sucesor de un número

............

La suma de dos números consecutivos es 75 La suma de dos números pares consecutivos es 46 La suma de dos números impares consecutivos 112 La suma de dos números es 38 La diferencia de dos números es 14 La diferencia positiva de dos números es 32 El producto de dos números es 40 El producto de la suma de dos números por su diferencia ............

............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ es

El cociente de dos números es 25 El inverso aditivo de un número -8 Un número aumentado en 3 unidades es 27 Un número disminuido en 5 unidades es 38 El doble de un número 48 El cuádruplo de un número 36 La mitad de un número 72

............ ...,......... ............ ............ ............ ............ ............

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¿Por qué a las incógnitas o cantidades desconocidas, se las representa con la letra x? De hecho cuando algo no se conoce, se suele decir: «¡Llámale x!» o «¡por x o y motivo!» 8

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Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas; es decir ax +b = y con a y b R Ejemplo: 8x + 6= y 3x + 7y = 8 Valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se indican. Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. Con los monomios podemos realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

E jemplo de monomio Las expresiones -2x2 y ab están formadas por productos de números y letras y se denominan monomios.

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Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. Los números reciben el nombre decoeficientes, y las letras, con sus exponentes, son la parte literal. Cuando en un monomio hay una sola letra, su exponente es el grado del monomio. Y cuando hay dos o más letras, el grado es la suma de todos los exponentes. Ejemplo: En el monomio -2x2, el grado es 2. El grado de ab es 1 + 1 = 2. Grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman. En el caso de la fórmula inversa B= , B es ahora la variable independiente o función (de A) y A es la variable independiente. La constante es ahora

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ACTIVIDAD:Determinar el grado de los siguientes monomios y su coeficiente

8x2 4x5 7x3 9x7 12x 10

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Monomios semejantes Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Si dos monomios semejantes tienen coeficientes con signo contrario, se denominan monomios opuestos. Monomios semejantes: -3x2 y 5x2. Monomios no semejantes: 6ab2 y 2a2b. Monomios opuestos: -3x2 y 3x2. Operaciones con monomios Con los monomios podemos realizar las cuatro operaciones básicas: suma, resta, producto y división. Las operaciones con monomios responden a las mismas propiedades y reglas que las operaciones con números. Cuando en un determinado momento tenemos que sumar un número determinado de x con otro número determinado de x, se suman sus coeficientes y se deja la x; de la misma manera que funciona cuando se suman objetos o elementos, es decir: 12 bananos + 13 bananos = (12 + 13) bananos = 25 bananos 12x + 13x = (12+ 13)x = 25x

Ejemplos: Monomios

Coeficientes

Parte literal

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Suma

8x + 6x = 14x

8 + 6 = 14

x

Resta

8x - 6x = 2x

8-6=2

x

Monomios

Coeficientes

Parte literal

Suma 2 3 a b + 1 4 a b = 37 a b

2 3 + 1 4 = 37

ab

Resta 2 3 a b - 1 4 a b = 9 a b

23-14=9

ab

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ACTIVIDAD:Realiza las siguientes sumas y restas de monomios -6x + 7x = -5x – (-6x)= 8x 17x = 3x – 19x = -12x + (-23x) =

Producto de monomios 12

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El producto de monomios cumple las mismas características de la multiplicación en enteros, pero cumpliendo con algunas particularidades adicionales: El producto de dos monomios es otro monomio que tiene: Por coeficiente, el producto de los coeficientes. Por parte literal, el producto de las partes literales. Ejemplos: (2x2y4) · (-3xy3) = 2 · (-3)·x2·x·y4 ·y3 = 2 · (-3) · x2+1 · y4+3 = -6x3y7 Observamos que el grado del resultado es la suma de los grados de ambos factores.

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ACTIVIDAD:Realiza al frente de cada punto las siguientes multiplicaciones de monomios 3x2y3· 7x3y3 =

12x4y · 5xy2 =

19x2y2· 2x2y4=

8x2y3 · 3x3y7=

4a2· 3ab=

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6ab2· 6ba2=

-7x2y3 · (-3x)=

(xy) · (xy) =

División de monomios Al igual que en el producto, no es necesario que dos monomios sean semejantes para poder realizar la división. El cociente de dos monomios es otro monomio que tiene: Por coeficiente, el cociente de los coeficientes. Por parte literal, el cociente de las partes literales. EJEMPLOS:

La división de monomios puede dar como resultado: Un monomio de coeficiente fraccionario o entero. Un número. Una fracción con letras en el denominador (fracción algebraica).

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ACTIVIDAD:Resuelve las siguientes divisiones de monomios: 8x2 ÷ 2x = 33x3 ÷ 3x4 = 19x3 ÷ 7x2 = 72x12 ÷ 3x11 = 6x2 ÷ 3y =

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de dos o más monomios. Los monomios que lo forman se llaman términos del polinomio. La expresión Q(x) indica un polinomio de una variable, x. Q(x) = 6x5 - 3x4 – x3 - 9x + 7 es un polinomio de variable x. La expresión P(x, y) es un polinomio de dos variables x e y. P(x, y) = 2x2y - 3xy2 + 7xy - 2 es un polinomio de dos variables, x e y. Decimos que un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes. Así, el polinomio P(x) = 2x3 + 3x3 - 3x2 + 5x2 - 1 lo podemos reducir sumando sus monomios semejantes: P(x) = 2x3 + 3x3 - 3x2 + 5x2 - 1 = 5x3 + 2x2 – 1

El grado de un polinomio reducido es el grado del término de mayor grado. Por ejemplo, el grado de P(x) = 2x3 - 3x2 - 1 es 3. 15

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El término independiente de un polinomio reducido es el monomio de grado 0. En el polinomio anterior, el término independiente es -1. Un polinomio de grado n es completo cuando contiene todos los monomios de grado inferior a n, y es ordenado cuando los monomios se expresan de forma creciente o decreciente. Cuando trabajemos con polinomios, lo primero que hay que hacer es ordenarlosen sentidodecreciente, y por últimoreducir términos semejantes Reducción de términos semejantes: consiste en sumar o restar todos los términos semejantes que se encuentren en la expresión. Ejemplo: P(x) = 2x3 - 3x2 + 1 no es completo porque no contiene ningún monomio de primer grado. En cambio el polinomio P(x)=2x3 - 3x2 2x+1 si es un polinomio completo. El polinomio opuesto de P(x) es -P(x) y se obtiene cambiando de signo todos los coeficientes de P(x).

Ejemplo: El polinomio opuesto de P(x)=2x3 - 3x2 -2x+1 Es -P(x)=-(2x3 - 3x2 -2x+1)= -2x3 + 3x2 + 2x – 1

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ACTIVIDAD: En los siguientes polinomios diga cuál es el grado, cuales son los términos independientes de cada uno, halle el

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polinomio opuesto y por último escriba un polinomio que sea completo, ´completando el polinomio si es que está incompleto.

2 xy 2

3x 2 yz

5 x 3 3x 2 y 2 xy 2 7 y 4 5z z 4 7 27 x3 9 x 2 3x 10 3x 2 ¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinomios?

a) 1 x3

x 2x

7

7 xy

b)

2

f)

x

c)

x

1 2

y

d)

3

x

2x 3

e)

2

. Suma y resta de polinomios La suma de dos o más polinomios se calcula sumando los monomios semejantes. Para facilitar el cálculo, se pueden disponer los polinomios en columna, haciendo coincidir los monomios semejantes. Ejemplo:

Para restar dos polinomios se suma al minuendo el polinomio opuesto del sustraendo, es decir, P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x)). Ejemplo:

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ACTIVIDAD: 1. Sean los polinomios: 5 3 2 2 7 A( x ) x x x 8 3 4 B( x )

1 x 2

2 3

1 3 x 2

3 4 2 x 5

2. Efectuar las operaciones: a) A(x) – B(x) B(x) – A(x) Sean los polinomios: 1 2 3 2 A( x) x y xy 3xy 3 2 5 2 1 7 2 B( x) x y xy xy 6 3 5 3 2 3 2 5 C ( x) xy x y xy 4 4 6

b) A(x) + B(x)

c)

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3. Halla la suma y la diferencia de los siguientes pares de polinomios: P( x) 3x 2 1 Q( x ) x 2 2x 6

P( x) P( x)

4. Sean los 1 2 A( x) x y 3 5 2 B( x) x y 6 3 2 C ( x) xy 4

5 x 3 x 2 7 x. 2 1 2 x 2x 3 2

5x 3 x 2 1 1 Q( x) x 2 3

Q( x )

polinomios: 3 2 xy 3 xy 2 1 7 2 xy xy 3 5 3 2 5 x y xy 4 6

Realizar las siguientes operaciones: a) A B C b) B C A c) C

d) B

A C

2

e) A B C

A B

f) A B C

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS El producto de dos polinomios se halla multiplicando cada uno de los monomios de uno de ellos por todos los monomios del otro, y sumando después los polinomios obtenidos en esas multiplicaciones. El grado del polinomio resultante es la suma de los grados de los dos polinomios que se multiplican.

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El producto de polinomios puede realizarse más cómodamente utilizando la propiedad distributiva. (2x2 + x) · (2x3+ 1) = 2x2 · (2x3 + 1) + x · (2x3 + 1) = (4x5 + 2x2) + (2x4 + x) = 4x5 + 2x4 + 2x2 + x

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ACTIVIDAD: Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios

x 1

x 1

2b 3 1 x 3

2

2a 5 2x 1

2x 1

x x 2

2

2b 3 b b 3 1 1 2 x x 1 3 3

a2

2a 5 x 2

3

3 x 2

5 x 1

x 3x 5

2

2x 2

5x 4

3

5x 4

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Sacar factor común Sacar factor común es realizar la operación inversa de aplicar la propiedad distributiva. Al sacar factor común se consigue expresar una suma o una resta algebraica por medio de un producto. a · b + a · c = a · (b + c) a · b - a · c = a · (b - c)

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ACTIVIDAD:Saca algebraicas:

factor

común

en

las

siguientes

expresiones

3x 2 5 x 4 5 x 25 x 2 y 7 x 3 14 x 6 a 2 ab ac 8 y 2 12 y 4

10t 3

5t 2

x

x

x-1 2x

POTENCIA DE POLINOMIOS La potencia de un polinomio, P(x)n, es una forma abreviada de escribir el producto del polinomio n veces: P ( x )n = P ( x ) · P ( x ) · ... · P ( x ) ︸ n veces Ejemplo: Calculamos la potencia de un binomio (polinomio de dos términos). (x + y)1 = x + y (x + y)2 = (x + y) · (x + y) = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = (x + y) · (x + y)2 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

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Para apreciar las regularidades entre los coeficientes de las distintas potencias en un binomio ordenamos los resultados. Potencia

Resultado

Coeficientes

(a + b)1

a+b

11

(a + b)2

a2 + 2ab + b2

121

(a + b)3

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

1331

(a + b)4

a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

14641

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ACTIVIDAD:Halle el valor de las siguientes potencias de polinomios 1. (x+y)2 = 2. (x - y)2 = 3. (x + y)3 = 4. (x - y)3 = 5. (x2 + y2)2 = 6. (x3 + y3 )2 = 7. (x2 - y2)2 = 8. ( x3 + y3 )3 = 9. ( x3 - y3 )2 = 10. ( 2x+ 2y)2 =

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RECOLECTEMOS LO SEMBRADO

1. Fíjate en las siguientes frases y escribe en tu cuaderno su traducción al lenguaje algebraico para un número x: Su opuesto Su sexta parte Su inverso La tercera parte de su Su doble doble Su cuadrado El número que le excede El cuadrado de su doble en tres unidades El doble de su cuadrado 2. Expresa en el lenguaje algebraico: El doble de un número más su cuadrado Un número disminuido en 7 La tercera parte de un número más la cuarta parte de otro El cuadrado de la suma de dos números Un número más la mitad de otro El producto de un número por su siguiente La diferencia de los cubos de dos números Cuatro veces un número más su triple 3. Halla los siguientes valores numéricos: A( x) 4 x 5 6 x 2 3 para x 1 B (t )

4t 2

3t 1

C ( z)

z2

3z 7

D( p, q) E ( x)

p p q x2

x 1 x 1

para t

para z

2; t

1 4

3 2

q 2 para p para x

3 yt

2;x

1 y q 2

1 2

1; x 1

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4. Expresa por un monomio el volumen de cada una de las siguientes figuras:

3x

5x 4

2x

2x

3x

x

5x

3x x

5. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinomios?

a)

1 x

x3

2x

7

7 xy

b) f)

2

c)

x

1 2

y

d)

3

x

e)

2x 3

x 2

6. Indica el grado de los siguientes polinomios: 5 x 3 3x 2 y 2 xy 2 7 y 4 2 xy 2 3x 2 yz

5z

z4

7

7. Dado el polinomio 5 x 2 x 4 x 3 2 x 4 Ordénalo de mayor a menor ¿Cuál es el término de 2º grado grado? ¿Cuál es su grado? ¿Cuál es el coeficiente del ¿Cuál es su coeficiente líder? término de 3ergrado? ¿Cuál es su término independiente? 8. Halla la suma y la diferencia de los siguientes pares de polinomios: P( x) 3x 2 1 Q( x ) x 2 2x 6

5x 3 x 2 2 1 1 P( x) Q( x) x 2 3 1 3 x 3 x 4 ; B( x) 9. Dados los polinomios A( x) 2 calcula: A( x) B( x) C ( x) b) A( x) B( x) C ( x) P( x)

5 x 3 x 2 7 x. 2 1 2 x 2x 3 2

Q( x )

3x 2

5 x 7 y C ( x)

4x 2

3,

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10. Calcula el producto de las siguientes parejas de polinomios: P( x) 27 x 3 9 x 2 3x 10 y Q( x ) 3 x 2 8x 2 4 x 2 y Q( x) 3x 2 x 5 1 2 3 1 1 P( x) x 2x y Q( x) x 2 2 2 3 11. Realiza las siguientes operaciones: 3x 2 x 5 x 2 4 x 2 7 x 3 4 x 2 5 3x 3 2 x 2 8 P( x)

3x 2 x 8 7 2 x2 3

x 2 3x xx 3

12. Dados los polinomios calcula: 2 A( x) 3B ( x)

A( x)

x2

2 x 4 ; B( x)

x3

2 x 1 y C ( x)

2 x 2 1,

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