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Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física Universidad de Antioquia

Matemáticas

Grado 9º

Unidad 3

Función lineal y función cuadrática

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LOGRO: Identificar las características principales de las funciones lineal y cuadrática a saber que son unas de las más reconocidas en el ámbito matemático y además de esto reconocer algunos problemas de la cotidianidad en los que dichas funciones tienen su aplicabilidad.

INDICADORES DE LOGRO: Reconoce el método apropiado para hallar un determinante de 2 x 2 Reconocer las principales características de la función lineal. Identificar e interpretar correctamente los datos arrojados por la gráfica de una función lineal. Reconocer la ordenada de origen y la pendiente de la recta Hallar la ecuación de la recta dados la pendiente y la ordenada de origen Hallar la ecuación de la recta dados dos puntos pertenecientes a ella. Reconocer la gráfica de una función cuadrática Identificar los elementos que componen la parábola Desplazar la parábola de una función cuadrática según las variaciones que esta tenga respecto de la grafica fundamental.

¿QUÉ ES UNA PARÁBOLA?, ¿TIENE QUE VER CON LAS ENSEÑANZAS DE CRISTO?

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TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD En las siguientes preguntas debes escribir con tus palabras lo que entiendes de cada concepto: ¿Qué entiendes cuando te dicen que algo es lineal?

¿Qué entiendes cuando te dicen que algo es recto?

¿Qué entiendes por pendiente?

Si te dicen que una pared es muy pendiente, ¿qué se te viene a la cabeza?

¿Qué es para ti una parábola?

Cuando te dicen que un número es el cuadrado de otro, ¿qué entiendes?

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Aprendamos algo nuevo Función lineal: Las funciones cuyas gráficas son líneas rectas las reconocemos como funciones lineales. Los casos de funciones lineales son: La recta y = k · x, correspondiente a una función de proporcionalidad directa. La recta y = k · x + b correspondiente a una recta que pasa por (0 ; b), y no por el (0;0) del sistema de ejes coordenados, donde la letra k, representa un número real cualquiera. La recta constante y = b, la cual gráficamente queda paralela al eje x. Los valores numéricos k y b son de importancia. Tienen nombres especiales. Identificaremos como pendiente de la recta al valor numérico k, y, como ordenada al origen o intercepto al valor numérico b. Para iniciar, abordemos una situación de magnitud directamente proporcional que te permita recordar lo aprendido en grados anteriores para relacionarlo con los conocimientos nuevos de función lineal. Ejemplo 1: Una capacitación sobre Técnicas Innovadoras de cultivo se cobra $35.000 por persona. Tomemos como x a la Cantidad de Personas que se inscribieron y cancelaron el curso, e y a la Recaudación total de dinero.

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a) Confecciona una tabla que relacione la Recaudación según la Cantidad de personas. b) Grafica la función. c) Determina la expresión algebraica para la función. d) El alquiler del salón donde dictar el curso sale $400.000. ¿Cuántas personas deben inscribirse, como mínimo, para cubrir este gasto? Solución: a) La Cantidad de Personas que se inscriban al curso podrían ser 0, 1, 2, 3, ... . Si por cada una de ellas ingresan $35.000, cuando sean 2 las inscritas se habrá recaudado $35.000 x 2; si son 3, $35.000 x 3, etc. Con estos razonamientos ya podemos ir confeccionando la tabla: Número de personas 0 1 2 3 4 5 6

Total dinero 0 35.000 70.000 105.000 140.000 175.000 210.000

b) El gráfico será:

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Número de personas vs dinero 250000 200000 150000 x personas

100000 50000 0 0

2

4

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c) La expresión algebraica preserva las operaciones matemáticas empleada para la confección de la tabla. Será: y = 35.000·x. d) La respuesta la podemos dar dándole continuidad al gráfico y ver que valor de x necesita cuando en y llega a 400.000: la respuesta es 12 o más personas. Veamos otra situación cuya gráfica es una recta, pero no corresponde a una función de proporcionalidad directa: Ejemplo 2: Un comercio local adquirió los derechos exclusivos para ofrecer un espectáculo musical en el parque de Barbosa, a través de cultura de la municipalidad. Su comisión es $500.000 más $1.500 por cada boleto que se venda. Imagínate que eres el dueño del comercio local y estás interesado en hacer especulaciones respecto de la comisión -a ganar- dependiendo de los boletos que se vendan.

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Para manipular esta situación podemos recurrir a la confección de una tabla y gráficos similar a lo estudiado en el ejemplo anterior: x: cantidad de boletos vendidos. y: comisión y = f( x )

Les damos valores arbitrarios a x, producto de nuestra imaginación especulativa como dueños del comercio y obtenemos los correspondientes de y por medio de cálculos matemáticos, así: Y= (1.500*x)+500.000 y

x 0 50 100 150 200 250 300

500000 575000 650000 725000 800000 875000 950000

El gráfico resultante es:

x 1000000 900000 800000 700000 600000 500000 400000 300000 200000 100000 0

x

0

50

100

150

200

250

300

350

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El gráfico de una función de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el (0,0) del sistema de ejes coordenados. La gráfica resultante de la situación es una recta, pero no pasa por el (0,0) sino por el (0,500.000). Luego, no es una función de proporcionalidad directa. Si observamos las cuentas que nos llevan a la obtención de los valores de y, podemos deducir la expresión algebraica de la función: y = f( x) = 1.500·x + 500.000

Ejemplo 3: Una familia a lo largo de los meses del año 2002 logró mantener fijo su gasto de luz en $25.000, a pesar de la incidencia del tiempo. Si llamamos x a los meses del año e y al gasto de luz por mes, la tabla para esta situación sería: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Y 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 La gráfica:

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Y 30000 25000 20000 15000

Y

10000 5000 0 0

2

4

6

8

10

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El gasto fue constante a lo largo de los meses, no hubo alguna variación. La expresión algebraica para esta gráfica es: y = f( x ) = 25

TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD 1) Para las siguientes situaciones debes conformar una tabla que muestre el comportamiento de cada una de ellas, luego hacer la gráfica de la función, determinar la expresión algebraica para la función y decir si es una función lineal o no. a. Un hombre camina a la misma velocidad durante dos horas. En los primeros 15 minutos recorre 100 metros. 9

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b. Una confeccionista cose 6 uniformes de colegio en dos días. Necesitando coser los uniformes para 42 estudiantes. c. Un tendero vende en su primer mes quedándole una ganancia de $600.000 y cada mes siguiente le queda de ganancia el doble de lo que le quedó el mes anterior. ¿cuánta ganancia tiene en su primer año de ventas? d. Una mamá lava 20 platos en el día, ¿cuántos platos ha lavado al transcurrir un mes? e. Un estudiante lee 2 libros cada 3 meses, ¿cuántos ha leído en un año?. 2) Ingenia tres situaciones de tu cotidianidad en las que encuentres funciones lineales y otras tres situaciones en las que a pesar de ser magnitudes directamente proporcionales, no son funciones lineales.

Aprendamos algo nuevo En la ecuación de la recta y = 1,500x + 500.000 la pendiente es 1,500 y la ordenada al origen es 500.000. La pendiente, 1,500 representa lo que gana por cada un boleto vendido. La ordenada al origen, 500.000 representa que cobrará aunque no haya vendido ningún boleto. En la ecuación de la recta y = 25000 la pendiente es 0 y la ordenada al origen es 25. Gráficamente la recta no tiene inclinación, por eso su pendiente es 0.

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La ordenada al origen o intercepto. La ordenada al origen es el valor de la función obtenido cuando la variable x se le asigna el valor 0. Gráficamente es el lugar sobre el eje y por donde pasa la recta. Haciendo x = 0, en la función y= 3x+25 entonces y= 3· 0 + 25 = 0 + 25 = 25. 25 es la ordenada al origen.

-3

En la gráfica:

-2

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

Claramente se aprecia que la recta intercepta al eje y en 25. La pendiente La pendiente de la recta muestra que tanto crece el eje y mientras se avanza en el eje x, así pues, a medida que la pendiente sea más grande, la función lineal va a avanzar más en el eje y por lo que va a estar más cerca de ser paralela al eje y. Para hallar el valor de la pendiente teniendo la recta o la función de la recta, es necesario tomar dos puntos pertenecientes a la función y luego realizar la división de la diferencia en y sobre la diferencia en x lo que nos mostrará la razón de cambio de y contra x:

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(Y2 – Y1)/(X2 – X1) Por ejemplo: Juan González fabrica guitarras y posee una máquina cuyo costo fue de $2.250. La empresa que se la vendió le informó que la vida útil de la misma era de 60.000 Hs., al cabo de la cuál el Sr. González la podía vender a un valor aproximado de $450. El Sr. González necesita saber cuánto debe ahorrar por hora para que al cabo de la vida útil pueda comprarse otra máquina de las mismas características. Supongamos que vivimos en un país sin inflación. Entendemos que al pasar 60 000Hs de uso deberíamos tener $2.250, pero la guitarra la podremos vender como usada a un valor de $450. Entonces el dinero que necesito ahorrar a lo largo de las 60.000 Hs es: $2.250 - $450. Dinero a ahorrar por hora de uso =

$2250 $450 60000 Hs 0 Hs

$1800 60000 Hs

0,03 $ / Hs

Debemos ahorrar 3 centavos de peso por cada hora. Si x representa las horas de uso transcurrido, e y, el dinero a ahorrar en pesos, podemos confeccionar una tabla: X 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 Y 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 35 La ecuación algebraica que permite calcular el dinero a ahorrar en función de las horas de uso es: Y = f(x) = 0,03x La pendiente de la recta es 0,03.

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TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD Grafica la ecuación anteriormente tabulada.

Ejemplo 2 Una persona compra un auto para su uso familiar. Paga a la concesionaria $18 000.000, por la adquisición. Transcurridos tres años de uso lo vende a un valor de $9.300.000. ¿Cuál fue la desvalorización por año del vehículo, suponiendo que ésta fue constante? Si compra a $18 000.000 y vende a $9.300.000, el dinero que perdió a lo largo de los tres años es: $9300 - $ 18 000. El resultado de esta resta será un valor negativo, el cual describe el estado de “pérdida” monetaria de la persona. El valor perdido por año =

$9300 $18000 3 años 0 años

$ 8700 3 años

$ 2900 por año

El auto, partiendo desde $18 000.000 pierde $2.900.000 por cada año. Con esta información podemos confeccionar una tabla, donde x son los años transcurridos desde la compra e y el valor del auto: x 0 1

Y 18000000 15100000

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2 3 4 5 6

12200000 9300000 6400000 3500000 600000

Para obtener 15.100.000, hicimos 18.000.000-2.900.000; para obtener 12.200.000, hicimos 15.100.000-2.900.000; y así continuamos hasta el final de la tabla. Grafiquemos valor del vehículo en función de los años:

Y 20000000 18000000 16000000 14000000 12000000 10000000 8000000 6000000 4000000 2000000 0

Y

0

1

2

3

4

5

6

7

En el gráfico vemos que la ordenada al origen o intercepto es 18.000.000, pero ¿la pendiente? La pendiente de la recta se define como la razón de la elevación al recorrido. De aquí:

k

elevación recorrido

y2 x2

y1 x1

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Entonces la pendiente de la recta es -2900. Como tenemos los dos valores importantes de la recta, k y b, podemos dar la ecuación de la recta correspondiente a la gráfica y la tabla: y = f ( x ) = - 2900 x + 18000 Ejemplo 2: Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a cada rasuradora eléctrica. Estudia la demanda del público que tiene este comerciante, en función del precio. Solución: Llamemos x a la cantidad de rasuradoras que el público le compra, e y al precio por unidad de las rasuradoras. Con la información de la situación podemos armar la tabla: X (Nº de rasuradotas) 20 30

Y ($) 25 20

Llevemos estos dos puntos a un sistema de ejes coordenados:

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30 20- 25

25 30 -20

Precio

20 15 10 5 0 0

5

10

15

20

25

30

35

Cantidad

Cuando el precio pasa de $25 a $20, la cantidad de rasuradoras compradas pasa de 20 a 30. Es decir, hay un ascenso del número de rasuradoras demandadas a medida que el precio se disminuyó.

TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD Traza la recta que pase por los pares ordenados (20; 30) y (25; 20). ¿Cuál es la pendiente de la recta? La pendiente de la recta =

Pr ecio por rasuradora N º de rasuradora s

20 25 30 20

5 10

1 2

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Significa que por cada $1 que baje el precio de las rasuradora eléctricas su venta se incrementará a razón de 2.

Aprendamos algo nuevo Procedimiento para hallar la ecuación de la recta conociendo dos puntos: La ecuación de la recta es de la forma Y = K*X + b Dónde K es el valor de la pendiente y b es el valor del intercepto con el eje y, por lo tanto para hallar la ecuación de la recta es necesario encontrar los valores de la pendiente y del intercepto. Para hacerlo seguimos el siguiente procedimiento: 1º) Primero calculamos k. Para calcular k seguimos el procedimiento estudiado anteriormente utilizando la ecuación k= (y1 – y2)/(x1 – x2) 2º) Planteamos la expresión general de la ecuación de la recta y = k · x +b 3º) Reemplazamos el valor de k encontrado en 1º), en la expresión de la ecuación de la recta del 2º). 4º) Reemplazamos en la expresión de la recta a x por x1, a y por y1. 5º) Nos quedó una ecuación donde b es la incógnita a descubrir. Despejamos b y precisamos su valor. 6º) Reemplazamos el valor de k y de b hallados en la ecuación de la recta 2º)

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Ejemplo 1: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (20; 35) y (30; 20). Como ya tenemos la pendiente, es

1 , el problema se reduce a 2

encontrar la ordenada, b. La ecuación de la recta correspondiente a la gráfica será del tipo: Y = f (x) = k · x + b La pendiente ya es dato, reemplacemos a k por el valor de la pendiente. 1 x+b 2 Pero esta ecuación es la que corresponde a la tabla:

Y = f (x) =

X (Nº de rasuradoras)

Y $

20 30

25 20

Si reemplazamos en la fórmula a x = 20, el valor que deberíamos obtener para y es 25 Y = 25 =

1 ·x+b 2 1 · 20 + b 2

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20 = - 10 + b Despejemos b: 20 + 10 = 30 = La ecuación de la recta será: y = f (x) =

b b 1 x + 30 2

35 30 25

Precio

20 15 10 5 0 -10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

-5 -10

Cantidad

Repasemos lo que hicimos en los dos últimos ejemplos. Teníamos que hallar la ecuación de la recta y nos daban como datos los pares ordenados (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ). Para dar la ecuación de la recta necesitamos hallar los valores de k y b. Expliquemos como procedimos:

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Aquí quedó escrito lo requerido por el ejercicio.

TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD 1) a) Marca los puntos (-2; 1) coordenados.

y (1; 7) en un sistema de ejes

b) Traza la recta que pase por esos dos puntos.

c) Encuentra la pendiente de la recta que pase por esos dos puntos.

d) Expresa la ecuación de la recta que corresponda a esa tabla.

e) Confecciona una tabla con al menos 5 renglones. Toma otros valores de x distintos a -2 y 1.

f) Verifica que esos nuevos 5 pares ordenados gráficamente quedan sobre la recta trazada en b).

2) a) Grafica las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:

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I. (-1; 4) y (3; 2) II. (2; 5) y ( -2; -1) III. (2; 5) y ( -1; 5) b) Indica la pendiente y el intercepto (ordenada al origen) de cada una. 3) Las ventas totales de una compañía se pueden aproximar mediante una función lineal del tiempo (en años). Las ventas en 1990 fueron de $2,4 millones, mientras que en 1995 ascendieron a $7,4 millones. a) Halla la ecuación que de las ventas de la compañía como función del tiempo. b) ¿Cuáles fueron las ventas en 1993?

Aprendamos algo nuevo Gráfico de una recta dadas su pendiente y su intercepto (ordenada al origen). Si conocemos la pendiente y ordenada al origen de la recta no es útil para graficarla. Veamos cómo hacerlo con la función y = 3 x – 1 La pendiente es 3, y la ordenada al origen es -1. La pendiente podemos expresarla en forma fraccionaria:

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3 1 1º) Como la ordenada al origen es -1, la recta cortará al eje y en (0; -1). Marca ese punto en el gráfico.

La pendiente = 3 =

3

2

1

0 -3

-2

-1

0

1

2

x

3

-1

-2

-3

2º) Como la pendiente es 3, significa que por cada una unidad que crece x, y crece 3. Entonces desde el punto que marcamos antes avanzamos 1 unidad, nos movemos una unidad hacia la derecha en sentido horizontal, y a continuación 3 unidades hacia arriba, en sentido vertical. Allí marcamos otro punto.

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3 2 1 3 0 -3

-2

-1

0

1

2

x

3

-1 -2

1

-3

3º) Marcamos la recta que pase por esos dos puntos. Ejemplo 2: y

3 3 x 2 . La ordenada al origen es -2 y la pendiente es la fracción . 2 2

1º) Marcamos la ordenada -2 sobre el eje y, como un punto. 2º) Desde allí nos desplazamos 2 unidades hacia delante en sentido horizontal, luego 3 unidades hacia arriba en sentido vertical. Marcamos un segundo punto. 3º) Trazamos la recta que pasa por esos dos puntos.

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3

y 2

1

0

-3

-2

-1

0

1

2

x

3

-1

3 -2

2 -3

-4

Si la recta a graficar fuera y = -3x – 1, la ordenada al origen es -1 y la pendiente es -3. Expresando la pendiente en forma de fracción sería: 3 . 1 1º) Marcamos el punto (0; -1). 2º) Desde el lugar (0; -1) avanzamos 1 unidad en sentido horizontal y luego bajamos 3 unidades en sentido vertical. Allí marcamos el segundo punto. 3º) Traza la recta que pase por los dos puntos.

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TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD 1) Realiza la gráfica sacando los puntos a partir de cada una de las siguientes funciones: a) y

3 x 2

2

b) y 2x 3 c)

y

d) y

2 5

x

5 x 3 2

e) y= -5x+3 2) Determina la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas: a) y = 2x b) y = x + 2 c) 2x – y = 4 d) y = -x e) 2x + 3y – 4 = 0

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f) 2y – x = 6 g) y = -2 h) y = 4 3) Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) (2, 1) y (3, 2) b) (-2, 6) y (5, -8) c) (-1, -4) y (2, 8) d)

1 ,2 2

e)

3 2 , 4 3

y y

1,

1 3

1 1 , 4 2

Aprendamos algo nuevo Raíz o Cero de la función La raíz o cero de una función es el punto dónde la recta corta el eje x, es decir, el punto donde la ordenada y vale cero. El procedimiento adecuado para hallar el cero de la función lo veremos por medio del siguiente ejemplo. Ejemplo 1:

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La función que describió la ley “demanda de las rasuradoras eléctricas” fue: 1 x + 30 y= 2 ¿Para qué cantidad x el precio de la demanda se anula? Continuando con el ejercicio, entendemos que pregunta para qué valor, x, de las rasuradora eléctricas es, y, el precio de demanda igual a 0. Reemplazando a y por 0 en la expresión de la ecuación de la recta 1 x + 30 es: y= 2 1 x + 30 y= 2 1 0 = - x + 30 2 Con lo cual nos queda una ecuación de una incógnita a descubrir. Despejando x: 1 x 0 – 30 = 2 1 x -30 = 2 30 x 1 2 60 = x Para una cantidad de 60 rasuradoras, el precio por unidad será 0. En la gráfica significa que la recta pasa por el par ordenado (60; 0). En otras palabras, la recta corta al eje x en 60.

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TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD En tu cuaderno debes hallar los ceros o puntos de intersección de las siguientes funciones con el eje x, luego grafícalas y saca una tabla de valores para cada una de ellas. a) Y=8x+4 b) Y= 3x+2 c) Y=x d) Y= -x e) Y= - 2x-2 f) (2, 1) y (3, 2) g) (-2, 6) y (5, -8) h) (-1, -4) y (2, 8) i)

1 ,2 2

j)

3 2 , 4 3

y y

1,

1 3

1 1 , 4 2

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Aprendamos algo nuevo Grafico de la recta por ordenada y ceros de la función. Para graficar la recta por la ordenada y ceros de la función, sencillamente es necesario localizar los dos puntos a los que estamos haciendo referencia: al punto (0,b) y el punto (c,0) siendo c el valor del punto que corta el eje x. Ejemplo: Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que expresa el costo total anual, y, en función de la cantidad de unidades producidas, x. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de $ 54.000. También han estimado que los costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a $ 5.50 y que los de mano de obra son de $ 1.50 en el departamento de montaje por cada unidad, $ 0.75 en el cuarto de acabado por cada unidad y $ 1.25 en el departamento de empaque y embarque por unidad. X es la cantidad de productos elaborados, o unidades fabricadas. Y es el costo total de la empresa La función costo total será el resultado de sumar los costos fijos a los costos variables por las unidades producidas. Los costos fijos son los que posee una empresa aunque no haya producción, esté parada. Por ejemplo, el gasto de alquiler, impuesto inmobiliario, etc. En contraposición, los costos variables, son costos que fluctúan dependiendo de la cantidad fabricada. En el caso de la situación, los costos variables constan de dos componentes: los costos de materias

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primas y los de mano de obra. Los costos por mano de obra se calculan al sumar los respectivos costos de mano de obra de los tres departamentos. Entonces, el costo total se define por medio de la función: COSTO TOTAL = COSTOS VARIABLE

+

COSTOS FIJO

Y = (Costo materia prima + Costo Mano Obra Montaje + Costo Mano Obra acabado + Costo Mano Obra embarque) + Costo fijo y = (5,50 x + 1,50 x + 0,75 x + 1,25 x) + 54000 y = 9 x + 54000 El 9 es la pendiente de la recta, representa el costo por unidad fabricada. Los 54000 es la ordenada al origen o intercepto, representa el costo fijo. Al marcar la ordenada al origen sobre el eje y vemos que es necesario decidir qué escala es la adecuada. Tomemos 1cm: $9000. ¿Y para el eje x, cuál será la adecuada? Busquemos el valor de x por el cual y es 0, o sea, el cero de la función: Y = 9 x + 54000 0 = 9 x + 54000 0 – 54000 = 9 x -54000 = 9 x -54000/9 = x -6000 = x Marquemos el eje x con la escala 1cm: 1000 unidades. Para graficar por ordenada y pendiente necesitamos las escalas en los ejes de 1 en 1. Este no es el caso.

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Hacemos los siguiente: marcamos en el sistema de ejes coordenados los puntos (0; 54000) y (-6000; 0). Luego trazamos la recta que atraviese esos dos puntos.

TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD 10) Grafica la función costo con lápiz negro, según el procedimiento descrito. Interpretemos esta gráfica. Nos ha quedado un trazado de la recta a la izquierda del eje y, y otro a la derecha. Por ejemplo, ha quedado el par ordenado (-6000; 0) o el (-5000; 9000) o (-4000; 18000) o (-1000; 45000) como pertenecientes a la recta y a la solución de la situación. En los casos mencionados los valores de x son negativos. Estaríamos diciendo que para una fabricación de -5000 unidades tuvimos un costo de $9000. Pero -5000 unidades es una cantidad por debajo de 0, es decir ¡no fabriqué! Una empresa fabrica o no fabrica. Si no fabrica - la variable x es 0 - y sólo tiene costos fijos, si además fabrica – la variable x toma valores positivos-, y se le suma a los costos fijos, los variables. Entonces este gráfico sólo tiene sentido para valores de x ≥ 0. Lo que hacemos es borras la parte de la recta que está a la izquierda del eje y.

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TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD 1) Un fabricante tiene costos fijos mensuales de $ 60 .000 y un costo de producción unitario de $ 10. El producto se vende por $ 15 por unidad. ¿Cuál es la función de costos? Grafique dicha función.

2) En el mercado un kilo de naranjas cuesta $1. 800. Completa la siguiente tabla sobre los precios de las naranjas según vamos variando el peso , forma la función y halla la pendiente y el intercepto.

Peso

1

Precio

1800

2

3

4

1,5

0,5

2,5

3,5

3,1

0

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Aprendamos algo nuevo Ecuación implícita de la recta. Estudiemos este tema a partir de un ejemplo: Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del primer producto requiere 2 horas- máquina y cada unidad del segundo requiere 5 horas-máquina. Hay 280 hora-máquinas disponibles cada semana. Si x representa las unidades del primer tipo e y unidades del segundo tipo que se fabrican cada semana, ¿cómo será la expresión que relaciona las incógnitas x e y con los datos 2, 5 y 280? El total de horas-máquinas consumidas para las x unidades es: 2·x +

El total de horas-máquinas consumidas para las y unidades es: 5·y El 280

total

de

horas

La ecuación que relaciona x e y es:

máquinas

disponibles

es

2 x + 5 y = 280

Es una ecuación de la recta, llamada implícita; no está dada en la forma y = k · x + b. Para transformarla a esta forma podemos comenzar por despejar y. 2 x + 5 y = 280 => 5 y = 280 – 2 x

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=> y =

280 2 x 5

280 5

2 2 x 56 x 5 5

2 x 56 5

2 x 56 expresa la cantidad de unidades del 5 segundo tipo en función de la cantidad de unidades del primer tipo.

La ecuación de la recta y

TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD 1) Según el ejemplo anterior responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Qué representa? b. ¿Cuántas unidades del segundo producto pueden fabricarse si se producen 40 unidades del primero cada semana? c. Interpreta el par ordenado (0; 56). d. Calcula el cero de la función. Interpreta dicho resultado. e. Grafica la recta sin hacer tabla. Usa alguno de los dos procedimientos descriptos. 2) ¿Para qué valores de x tiene sentido esta recta? ¿Por qué? 3) La compañía FACA fabrica productos X e Y. Cada unidad de X requiere 3 horas-trabajo y cada unidad de Y requiere 4 horastrabajo. Hay 120 horas- trabajo disponible cada día.

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a) Si x unidades de X e y unidades de Y se fabrican al día y se emplean todas las horas de trabajo, encuentre la relación entre x e y. b) Grafique. c) De la interpretación física de la pendiente de la relación lineal obtenida. d) ¿Cuántas unidades de x pueden fabricarse en un día si se producen 15 unidades de Y en el mismo día? e) ¿Cuántas unidades de Y pueden producirse en un día si se fabrican 16 unidades de X en el mismo día? 4) Suponga que se espera que un objeto de arte adquirido por $500 aumente su valor a una razón constante de $50 por año durante los próximos 5 años. a) Escriba la ecuación que prediga el valor de de la obra de arte en los próximos cinco años. b) ¿Cuál será su valor tres años después de la fecha de adquisición? 5) Supongamos que se ha aceptado un empleo como vendedor. El patrón ha dicho que el sueldo dependerá del número de unidades que venda a la semana. La variable y es el sueldo semanal; x, el número de unidades vendidas a la semana; y, la ecuación del sueldo es: y = 3x + 25: a) ¿Cuánto es la pendiente? b) ¿Cuánto es la ordenada?

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c) Confecciona una tabla d) Grafica e) ¿Qué representa la pendiente en el contexto de esta situación? Es decir, ¿cómo se interpreta?, ¿qué significado tiene? f) ¿Qué representa la ordenada al origen? Es decir, ¿cómo se interpreta?

Aprendamos algo nuevo Función cuadrática La función cuadrática no es mas que una función polinómica de grado dos; ésta tiene la forma f(x)=ax2+bx+c con a,b y c є R y a≠0. Expresiones como y=f(x)=5x2, y=f(x)=7x2 + 8, y=f(x)= 7x2 + 8x +8 son ejemplos de funciones cuadráticas. La función cuadrática más simple es y=f(x)= x2, si evaluamos esta función con algunos valores tendremos lo siguientes datos: x 0 1 2 3 4 5 6 Cuya grafica correspondiente es:

Y 0 1 4 9 16 25 36

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y 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0

y

15,0 10,0

5,0 ,0 0

1

2

3

4

5

6

7

TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD En tu cuaderno toma cada una de las siguientes funciones cuadráticas y evalúalas haciendo una tabla con números naturales, luego traza la gráfica según lo visto en el ejemplo anterior y escribe un comentario describiendo que diferencias ves en cada una de ellas respecto a la función y=f(x)= x2.

. 1) y=f(x)= 2x2

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2) y=f(x)= x2/2 3) y=f(x)=-x2 4) y=f(x)=-x2+5 5) y=f(x)=-x2-5 6) y=f(x)= 2x2 + 5 7) y=f(x)= 2x2 - 5

Aprendamos algo nuevo Estas graficas que realizaste se llaman semiparábolas, pero si a la función le damos valores de enteros positivos y negativos también, tendremos que: x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25

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6

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Y si vemos ahora la gráfica correspondiente sería: 40 35 30 25 20

Series1

15 10 5 0 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Esta gráfica recibe el nombre de parábola y es la representación gráfica de la función cuadrática.

Elementos de la parábola: En toda parábola se distinguen los siguientes elementos: Abertura: Está determinada por el signo de “a” (el coeficiente de x2); si a0 entonces la parábola abre hacia arriba. Vértice: es el punto v= (h,k) donde h=

y k= f(

si la parábola

abre hacia abajo, el vértice es el valor máximo; si la parábola abre hacia arriba, es el valor mínimo.

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Eje de simetría: es la recta que pasa por el vértice y es paralela al eje y. recibe el nombre pues al doblar el plano por esta recta los dos brazos de la parábola coinciden en todos sus puntos. Y-intersecto. Es el punto (0,c); dicho valor se halla al reemplazar x por 0 en la expresión Y=f(x)=ax2+bx+c. X-intersecto. Son los puntos de corte de la gráfica con el eje x y se hallan al sustituir y o f(x) por 0 en la expresión Y=f(x)=ax2+bx+c.

TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD Graficar las siguientes parábolas y señalar sus elementos. 1) y=f(x)= 2x2 2) y=f(x)= x2/2 3) y=f(x)=-x2 4) y=f(x)=-x2+5 5) y=f(x)=-x2-5 6) y=f(x)= 2x2 + 5 7) y=f(x)= 2x2 – 5 8) y=f(x)= 3x2+ 3x - 2

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Aprendamos algo nuevo Ceros, raíces o soluciones de la función cuadrática: Las raíces o ceros de una función cuadrática son los puntos donde la gráfica de la función corta el eje x, se representan tres casos. 1) La gráfica de la función corta al eje x en un solo punto. En este caso, se dice que la función tiene una sola raíz real y está ubicada en el vértice. Para lograr que la función tenga una sola raíz real es necesario que la función se desplace por el eje x partiendo de la función original y=f(x)=x2 para esto solo tenemos que sumar o restar un número real cualquiera c de tal manera que al sumarlo (y=f(x)=(x+c)2), la gráfica se desplazará a la izquierda c veces y al restarlo (y=f(x)=(x-c)2) la grafica se desplazará a la derecha c veces. Ejemplo: Dada la función y=f(x)=(x+3)2 Podemos apreciar que su vértice se desplazó tres unidades a la izquierda del punto cero. Y realizando los respectivos cálculos podremos comprobar que el vértice queda en el punto (0,-3).

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y 90 80 70 60 50 y

40 30 20 10 0 -15

-10

-5

0

5

10

2) La gráfica de la función corta al eje x en dos puntos, en este caso se dice que la función tiene dos raíces reales diferentes. Para conseguir esto debemos partir de la función cuadrática mas simple y=f(x)=x2 y sumarle un valor cualquiera c si la función tiene abertura hacia abajo (y=f(x)=-x2 + c) haciendo que se desplace hacia arriba c veces y restarlo si la función tiene abertura hacia arriba (y=f(x)=x2 – c) haciendo que se desplace hacia abajo c veces. Ejemplo: Dada la función y=f(x)=x2+20 Podemos observar que la gráfica de la función se desplaza veinte unidades hacia arriba en el eje y, pero si en vez de sumarle 20 unidades se las restáramos, entonces la función no se desplazaría hacia arriba sino hacia abajo.

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180 160 140 120 100 Series1

80 60 40 20 0 -15

-10

-5

0

5

10

15

3) La grafica de la función no corta al eje x, en cuyo caso se dice que la función no tiene solución real. Es decir, sus raíces son números complejos.

y 80

70 60

50 40

y

30 20

10 0 -5

0

5

10

15

Para lograr esta gráfica tenemos una combinación de las dos anteriores, por lo que esta función es: y=f(x)=(x-5)2+20

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TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD En tu cuaderno determina hacia dónde abre la parábola, el vértice y los puntos de corte con el eje x de las funciones dadas, además intenta graficarlas sin hacer una tabla siguiendo las pautas estudiadas recientemente: 1) y=(x-5)2 2) y=(x+5)2 3) y=(x-9)2 4) y=(x+9)2 5) y= 5x2 + 3x

RECOLECTEMOS LO SEMBRADO

1) 1) Hallar la ecuación de una recta que corta el eje de ordenadas en el punto

A( 0, 1), y cuya pendiente es

-2

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2) Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto M(1, -1), y que 3 corta el eje x en el punto de coordenadas ( , 0) 2 3) Las rectas “a” y “b” pasan por los puntos de coordenadas ( -1, 4) , y ( 1, -1), respectivamente. Ambas rectas se cortan en el punto P(2 ,1). Hallar las ecuaciones de dichas rectas y la pendiente de cada una. Determinar a cuál de las dos rectas pertenece el punto de coordenadas (3, 2) 4) Una recta “r” pasa por los puntos ( -1, 1) y (1 , 3) Hallar la ecuación de las rectas “m” y “p” sabiendo que: i) la recta “m” es paralela a “r” y pasa por el origen ii) la recta “p” es paralela a “r” y pasa por el punto M (3, 5) 5) Sean un par de ejes coordenados y tres puntos A(-2, 1) , B(1, 5) , C( 4, 3) , que son vértices de un triángulo, SE PIDE: Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo, graficar una recta que corta los ejes coordenados en los puntos P( -3, 0) , y Q( 0, 4) y establecer la ecuación de la misma.

6) Sea la función f(x) = 2x - 1 i) hallar su raíz función

ii) Hallar

SE PIDE: f(0)

iii)

Hallar la imagen de -3 en dicha

iv) graficarla y determinar si el punto N( 2, 4) pertenece a dicho gráfico

7) Para cada uno de los casos siguientes, hallar la expresión algebraica de una función lineal “f” sabiendo que su gráfico es una recta tal que: i) Tiene una pendiente 8, y la ordenada en el origen es -3 ii) pasa por el origen, y el punto A(2, -4) pertenece a dicho gráfico iii) Es paralela a la recta de ecuación y= -2x + 1 y pasa por el punto (2, 2)

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8) Determinar la expresión algebraica de la función f(x) sabiendo que su gráfico es una paralela a la recta de ecuación 5)

y = 4x + 3, y pasa por el punto (1,

12) La entrada para un espectáculo deportivo cuesta $ 15.000. Por la televisación de dicho evento se recaudan $ 40.000.000. Establecer la expresión algebraica de la función que representa la recaudación total obtenida y determinar cuántas entradas se deben vender para que dicha recaudación total ascienda a $ 115.000.000

13) Un vendedor percibe un sueldo mensual de $500.000, y $ 3.000 de comisión por cada artículo que vende. Determinar la expresión algebraica de la función que representa el ingreso mensual total que percibe dicho vendedor, y cuántos artículos debe vender para que dicho ingreso sea de $ 1.500.000 14) Determinar para qué valores de “x” las funciones f(x) = 2 x + 3 -x + 2 son simultáneamente positivas.

y g(x) =

15) Sea f(x) = mx + p; Determinar la expresión algebraica de la función sabiendo que su gráfico pasa por el punto (3, -3), y corta el eje vertical en el punto (0, 3)

16) Determina las coordenadas del vértice, la abertura, los interceptos con los ejes coordenados y las graficas de las siguientes funciones cuadráticas. a) y2 =12x

b) y2 = -4x

c) x2 = 8y

d) (x - 3)2 = 16y

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