MATEMATICAS GRADO ONCE

SEGUNDO PERIODO

TEMAS •

Funciones y Relaciones

•

Parabola

. ..

Funciones y Relaciones

Producto cartesiano Un par ordenada consta de dos elementos

y

, donde nos interesa el orden en que

a esta pareja. Por ejemplo,

aparecen los objetos. Llamemos

. En esencia nos gustaría que todo par ordenado siguiente propiedad:

, pero cumpliera la

si y sólo si [ y ] (dos parejas ordenadas son iguales si y solo sí sus elementos son iguales y aparecen en el mismo orden).

Podríamos definir el par ordenado como el objeto con la propiedad anterior. Pero aún mejor, podríamos invertir los papeles (esto se hace frecuentemente en matemáticas): dar una definición conjuntista de y mostrar que, así definido, este conjunto cumple la propiedad que queremos. Esto es lo que hacemos a continuación:

Definición (Par ordenado) Dados ordenado

elementos (o conjuntos!), definimos el par

así:

es llamado ''el par

coma

'''', o simplemente ``

coma ''.

Por ejemplo,

es el conjunto

, mientras que

. Note que, por ejemplo, (como queríamos) que

es el conjunto

, y por esto concluimos

.

Antes de mostrar la propiedad que mencionamos anteriormente, vale la pena observar los siguientes hechos conjuntistas (cuya demostración dejamos al lector), que utilizaremos constantemente:

si y sólo si

1.

no es un singleton (un singleton es, como su nombre se

indica, un conjunto de un elemento. Por ejemplo, 2.

si y sólo si

es un singleton).

.

Teorema (Propiedad del par ordenado)

si y sólo si [

y

] Demostración. [Prueba] La dirección

es inmediata por la definición de par ordenado. Probemos entonces la

otra dirección. Suponga que

, esto es, . Hay 2 casos:

Caso 1:

: en este caso .

Pero esto implica que Entonces .

, lo cual a su vez implica que

.

son el mismo elemento, y en particular podemos concluir

Caso 2:

: Entonces

implica que

y

tiene 2 elementos (¿por que?), lo cual (siendo el mismo conjunto) tiene 2 elementos. Pero esto

implica (¿por qué?) que

. Como

, entonces

o

. Pero la segunda opción es imposible, luego

, es decir,

. Similarmente

o

,

pero la primera opción es imposible, así que

. Esto implica que

o , pero la primera opción es imposible (pues . concluimos que Dados dos conjuntos

y

y

), luego

podemos formar el conjunto todas las parejas ordenadas

, donde la primera coordenada ( ) viene de , y la segunda coordenada ( ) viene de . A este conjunto lo llamamos el producto cartesiano de y y lo notamos así:

. Formalmente:

Definición (Producto cartesiano)

.

Notación:

.

Ejemplo (Ejemplos de producto cartesiano) A continuación unos ejemplos del producto cartesiano: •

Si

y

, entonces .

•

tiene 2

elementos, tiene 3, y tiene (de ahí la palabra ``producto'' en la definición). Si , entonces es llamado el plano cartesiano. Las caricaturas y demás objetos bidimensionales viven en : un círculo no es otra cosa que (dé un ejemplo). Nosotros, los seres tridimensionales, cierto subconjunto de vivimos en

•

(

para abreviar).

, sin importar qué conjunto sea

(¿por qué?).

Lema (Algunas propiedades del producto cartesiano) 1.

.

2. Para

conjuntos no vacíos,

3. Para

conjuntos no vacíos,

4.

si y sólo si

. si y sólo si

.

5.

.

La prueba del anterior lema es dejada como ejercicio. Así como hemos definido un par ordenado, podemos definir una natural positivo)

-tupla ordenada (

como un objeto tal que:

si y sólo si para todo

,

. La definición de una

-tupla es recursiva. Esto es, para definir una

la definición de una

tupla recurrimos a

-tupla:

Definición Para

natural positivo, definimos recursivamente la

-tupla

así: •

Para

,

•

Para

,

•

Para

,

. . .

Por ejemplo, cuenta, toda

. Como el lector se dará -tupla (

) es un par ordenado! En el ejemplo, la

es el par ordenado cuyas coordenadas son -tupla

es el par ordenado cuyas coordenadas son

y

-tupla

. Y similarmente, la y

.

Similarmente podemos generalizar el producto cartesiano y definir el producto de conjuntos

así:

Cuando hayamos visto la noción de función veremos cómo podemos definir el producto de infinitos conjuntos. .

EJERCICIOS: 1. ¿Cómo se comparan los siguientes conjuntos? 1.

Vs.

. Vs.

2. ¿Cómo se compara 3. ¿Cómo se compara

Vs.

4. ¿Cómo se compara

.

.

Vs. .

5.

Vs.

. .

2. Muestre que 3. Si tiene elementos y relaciones de a hay?

tiene

elementos (

naturales), ¿cuántas

Relaciones En la mayoría de los casos, por simplicidad, hablaremos de relaciones binarias, en donde la relación se da entre dos objetos. Un ejemplo de tal relación (démosle un nombre, están ''

) es la que ocurre entre personas y libros, en donde una persona -relacionados" si y sólo si

afirmación ''

y están

y un libro

ha leído el libro . Podemos abreviar la

-relacionados" de modo natural, así:

. Visualmente esto

sugiere que los objetos y están ligados por la relación . Diremos que es una relación entre los conjuntos y (conjuntos de todos los seres humanos y todos los libros, respectivamente). Pero lo anterior sugiere que la relación no es un objeto (como y lo son). Sin embargo hay una manera de ``convertir'' a en un objeto, más precisamente en un conjunto!. Lo cual no debe sorprender al lector, pues un conjunto es en muchos casos un objeto que representa ciera información al tener o no ciertos elementos. En nuestro caso, conocer la relación consiste en conocer dos cosas, a saber: 1. Los dos conjuntos entre los cuales es la relación: en este caso, humanos y libros).

y

(seres

2. La lista de todas las parejas relacionadas por la relación : (Jhon Benavides, El extranjero), (Verónica Mariño, Cien años de soledad), (Julián Castillo, El Quijote), ... Naturalmente la lista (o conjunto) de todas las parejas relacionadas por la relación por si sóla nos da la información esencial de la relación . Así que convertimos a en objeto, esto es, en conjunto, en el conjunto de parejas relacionadas por la relación que teníamos en mente:

es un ser humano,

es un ser humano, y

ha leído a

O lo que es igual:

ha leído a

Así las cosas, la afirmación ``

'' será una abreviación de ``

''. Una vez

más, el símbolo (y más precisamente, la noción de pertenencia) ayuda a fundamentar y formalizar conceptos en principio nuevos. Ahora resulta evidente que preguntarse cuáles son todas las posibles relaciones de a equivale a preguntarse cuáles son todos los posibles conjuntos de parejas de la forma , donde y

y

es

. Se conluye que el conjunto de todas las relaciones entre

!.

Las motivaciones anteriores nos llevan a la definición de relación (binaria):

Definición (Relación) Una relación entre subconjunto de

(conjuntos cualquiera) es un

.

Por conveniencia si sobre

y

es una relación entre

y

. Por ende, el conjunto de relaciones sobre

, diremos que

es una relación

es

Antes de continuar es menester ver algunos ejemplos de relaciones:

Ejemplo Sea

la relación descrita mediante el siguiente esquema:

.

.

Entonces

Ejemplo (La relación ser madre de) Sea la relación (entre humanos) ser madre de. Esto es, si y sólo si es madre de . es una relación sobre . Sabemos, por ejemplo, que para todo , , pues nadie puede ser su propia madre. Además si

, entonces

. Esto ilustra que el concepto de relación no es en general simétrico, de modo que al decir los objetos que se relacionan, importa el orden en que éstos se mencionan. Por supuesto hay muchas relaciones simétricas, como la relación ser hermano.

Ejemplo (La relación

)

Sea

: existe

sólo si

si y sólo si

tal que

. Es claro que

, de modo que

si y

.

. Otra forma de escribir esta relación es así:

Ejemplo (La relación vacía) Dado que

, por definición tenemos que

es una relación, la relación vacía o trivial.

Ejemplo (La relación identidad) Dado relación que

un conjunto cualquiera, definimos la

. En otras palabras, .

Ejemplo (La relación

)

si y sólo si

. Note

Dado

un conjunto cualquiera, definimos la relación

sobre

así:

si y sólo si Es decir,

Observe que subconjuntos de

está están

hablado, la relación

-relacionado con todos los subconjuntos de -relacionados con

, y todos los

. De modo que, coloquialmente

posee siempre un piso y un techo.

Ahora definimos las nociones de dominio, imagen y campo de una relación:

Definición Sea

una relación de

1. El dominio de

,

2. La imagen de

,

3. El campo de

en

. Definimos los siguientes conjuntos:

. .

,

.

Ejemplo Sea

.

1. 2.

. .

3.

.

Es claro que para toda relación , ,y , de modo que toda relación puede verse como un subconjunto de para un conjunto (no necesariamente único). Esto es, podemos definir relación como un subconjunto de , para un conjunto .

Definición Dada siguientes conjuntos:

una relación, y

un conjunto cualquiera, definimos los

1. La imagen de

bajo

,

: existe

tal que

. 2. La preimagen o imagen inversa de existe

tal que

bajo

,

:

.

Ejemplo Sea

. Tenemos:

1.

;

.

2. . 3. La imagen del conjunto de los pares bajo es el conjunto de los impares y la imagen del conjunto de los impares bajo es el conjunto de los pares. 4. La preimagen del conjunto de los pares bajo es el conjunto de los impares positivos; la imagen de los enteros negativos es igual al conjunto vacío.

Ejemplo Sea

. Tenemos:

1.

.

2.

.

3. 4.

. (en este caso decimos que

5.

deja fijo a

como conjunto).

.

El siguiente lema establece las relaciones básicas entre los conceptos de dominio, imagen, imagen de un conjunto y preimagen de un conjunto:

Teorema Sea

una relación, con

1.

.

2.

.

3.

.

,

. Tenemos:

4.

.

Demostración. [Prueba] La prueba se deja como ejercicio. , definimos su inversa,

Dada una relación

Definición (Relación inversa) Dada

:

una relación, su inversa es la relación

. En otras palabras,

si y sólo si

.

Por ejemplo, la relación inversa de la relación padre es la relación hijo, y la relación inversa de la relación hermano es ella misma. La relación inversa de divide es ser múltiplo. Para antes de seguir leyendo:

1.

.

2.

.

Aquí hemos introducido un problema notacional: denota, por un lado, la ! El siguiente preimagen de bajo , y por otro lado, pero la imagen de bajo lema muestra que los dos conjuntos anteriores siempre coinciden, eliminando así cualquier posibilidad de ambigüedad:

Lema Para

una relación y un conjunto, La imagen inversa de bajo igual a la imagen de bajo . Demostración. [Prueba]Sea la preimagen de bajo , e la imagen de relación . Debemos probar que . Para cualquiera se tiene:

La segunda equivalencia vale ya que Concluimos que

e

si y sólo si

poseen los mismos elementos, luego

es bajo la

. .

Propiedades de las relaciones Definición (Propiedades de las relaciones) Sea conjunto

. Diremos que

1. Reflexiva sobre

es:

si

:

si

2. Irreflexiva sobre 3. Simétrica si

una relación binaria sobre un

. :

.

:

.

4. Asimétrica si

:

5. Antisimétrica si

.

:

6. Transitiva si

.

:

.

Para antes de seguir leyendo: 1. Recuerde que cumple

es una relación sobre

. ¿Qué propiedades de las anteriores

?

2. Recuerde que dado

un conjunto no vacío,

es una relación sobre

¿Qué propiedades de las anteriores cumple

Un orden parcial sobre sobre

. Si

dada por:

es una relación

es un orden parcial sobre si y sólo si

orden parcial estricto sobre ,y

y asociado a

.

?

reflexiva, antisimétrica y transitiva , definimos (para

como la relación sobre ). Diremos que

es el

. Note que conjuntistamente

es una relación irreflexiva, antisimétrica y transitiva.

Clausuras de relaciónes Imaginemos una relación cualquiera . Suponga que estamos interesados en transformar a en una relación reflexiva, añadiendo, si se necesita, más elementos a la relación, o en otras palabras, extendiéndola. Por ejemplo, sea siguiente relación sobre :

,y

la

Para que

sea simétrica, debemos agregarle los elementos

y

. Esto es, la

relación es una extensión reflexiva de , es decir, y es reflexiva. Además es claro que es la mínima relación reflexiva que contiene a en el siguiente sentido: Si

es una relación reflexiva y

, entonces

.

El ejemplo anterior ilustra lo que queremos hacer: cerrar una relación, añadiendo el mínimo número de elementos, para que ella se transforme en una relación con la propiedad (donde = reflexividad, simetría o transitividad).

Definición (Clausuras de una relación) Dada siguientes relaciones:

1. La clausura reflexiva de relación reflexiva sobre 2. La clausura simétrica de simétrica y

es la relación y

, definimos las

es una

.

es la relación

es

.

3. La clausura transitiva de y

una relación sobre

es la relación

es transitiva

.

Note que , luego la clausura reflexiva de (lo mismo vale, claro está, para y ).

es siempre una extensión de

Primero veamos que las clausuras cumplen con la propiedad de minimalidad que pretendíamos que tuvieran:

Teorema Dada

una relación sobre

:

es la mínima relación reflexiva que contiene a reflexiva, y para toda relación

sobre

, si

; en otras palabras, , entonces

es .

es la mínima relación simétrica que contiene a

es la mínima relación transitiva que contiene a

.

.

Demostración. [Prueba]

Probamos (1), y el resto se dejan al lector. Para ver que

es reflexiva, sea

. Entonces para toda relación

, es decir,

sobre

reflexiva,

es relación reflexiva sobre Ahora probamos minimalidad: sea

Si

una relación sobre

tiene la propiedad

.

una relación reflexiva que contiene a

es relación reflexiva sobre

Teorema Sea

y

, entonces

y

. Entonces

.

. Entonces para

:

.

Demostración. [Prueba] Si

tiene la propiedad

propiedad

, entonces claramente

que contiene a

es la mínima relación con la

, así que por el teorema 89,

.

Así, por ejemplo, la clausura transitiva de una relación transitiva es ella misma.

Corolario Sea

una relación sobre

:

. Demostración. [Prueba] Se deja como ejercicio al lector.

. Entonces para

Las definiciones de son en principio complicadas. A continuación veremos caracterizaciones de ellas mucho más simples, al menos en el caso de reflexividad y simetría.

Teorema (Caracterización de las clausuras) Sea

una relación sobre

. Entonces:

(a) . (b) . (c) , en donde

,

.

Demostración. [Prueba] (a) Dado

,

,y

, luego

es una

que contiene a . Por ende, relación reflexiva sobre Para la otra inclusión, basta obsetvar que si es una relación reflexiva que contiene a

, entonces

.

. Por el lema 24 es reflexiva y

.

(b) Similar a (a).

EJERCICIOS: RELACIONES 1. Diremos que una relación . Muestre que si

es completa si existe es completa entonces

tal que es simétrica y

transitiva. 2. Sean relaciones sobre . Para cada una de las siguientes afirmaciones, determine si es verdadera o falsa, dando una demostración o un contraejemplo respectivamente: 1. Si y son reflexivas sobre , entonces también lo es. 2. Si y son simétricas, entonces también lo es. 3. Si y son transitivas, entonces también lo es. 3. Sea una relación sobre . 1. Muestre que

es asimétrica si y sólo si

.

2. Muestre que es antisimétrica si y sólo si . 3. Concluya que toda relación asimétrica es antisimétrica, y dé un ejemplo de una relación antisimétrica pero no asimétrica. 4. Una herramienta frecuente y muy importante en matemáticas consiste en construir una cadena o serie de objetos cada vez más complejos, que compartan cierto conjunto de propiedades, y tomar el ``límite'' de tal cadena, que consistirá en un objeto que conservará varias propiedades de sus ``precursores''. En este ejercicio se construirá una relación como el límite (unión) de ciertas , y como se verá, ciertas propiedades de las relaciones relaciones que ``aproximan'' a se preservarán en el límite, esto es, también serán propiedades de . Para cada conjunto

sea

una relación reflexiva, simétrica y transitiva sobre el

, y suponga que para todo

,

. Muestre que

es una relación reflexiva, simétrica y transitiva sobre el conjunto . 5. Para cada

sea

una relación. Muestre que . Vale lo mismo si se cambia

6. Dado

un conjunto y

2. Muestre que si

?

, sea (

1. ¿Qué conjunto es

por

? ¿e

). ?

, entonces

.

3. Dados

, ¿cómo se comparan

y

?

4. Dados

, ¿cómo se comparan

y

?

Funciones Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto, de modo que elemento del primer conjunto se asocia con uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Visto de otro modo, una función es una máquina que transforma elementos en otros elementos, y cada elemento puede transformarse en un único elemento.

Definición (Función) Una función propiedad: si existe un único

es una relación que cumple la siguiente

, entonces

. En otras palabras, para cada

tal que

.

Ejemplo (La función identidad) Dado , entonces identidad es también una función.

La relación divide

un conjunto, y

es una función, pues si

, luego

. Así, la relación

no es una función pues un entero puede dividir más de un

número. Por ejemplo, y , pero función, pues todo ser humano tiene una única madre.

Dada

una función y

que

. La relación ``madre'' es

un elemento de su dominio, llamaremos

. Por lo tanto, las proposiciones

,

a el único y

tal

son

se asume implícitamente que

equivalentes. Note que al utilizar la expresión

. El lector debe ser cuidadoso con esta sutileza. Concluimos que si es una función, entonces

La expresión

.

significará lo siguiente:

es una función,

. Una manera común de definir una función y dar una definición para

, dado

es especificar su dominio

. Por ejemplo:

e

Ejemplo Sea

la siguiente función: su dominio es . Por ejemplo

,

,

,

, etc. Note que para todo

, luego podemos afirmar lo siguiente:

Una manera equivalente de decir a

, y dado

es

y se lee f manda, envía o asocia

. Por ejemplo la función

es aquella dada por conjuntista de

, con dominio los enteros no nulos. Una descripción

es:

Si nos preguntamos quién es

, tenemos problemas. Por un lado,

no es ningún

número: si pensamos en como una máquina, no podemos introducir al cero o descompondremos la máquina (ésta se enloquecerá al intentar dividir por cero). Por otro lado, no es un elemento del dominio de , luego la expresión no tiene referencia alguna, no representa ningún objeto. Lo mismo sucede con la función el rey de, que no tiene a Colombia en su dominio, pues a ninguna persona.

el rey de Colombia no se refiere

Recordando la definición de imagen de una relación, tendremos para función:

una

Por ejemplo, para la función del ejemplo 95, sabemos que embargo la igualdad no se da: note que

. Sin

.

Ejemplo (Funciones dadas como tuplas) Dado conjunto cualquiera, una función

y

un

puede representarse mediante la

-tupla

. Por ejemplo la tupla

representa la función constante

, es decir,

, para

.

Sabemos que la intersección de dos relaciones es una relación, pues si , entonces funciones se cumplirá lo mismo:

Lema Si

. Para el caso de las

y

, entonces

función, e Demostración. [Prueba]

Ya hemos notado que

y

es una

.

es una relación. Si

, entonces existe

tal que

, lo que implica que

.

Similarmente se puede probar que

Finalmente probemos que entonces en particular

.

es una función: si

,

. Como

es una función, concluimos que

.

Composición de funciones Definición (Composición de relaciones) Si relación

existe tal que

y

son relaciones, definimos la y

.

Dos funciones pueden componerse, dado que son relaciones: consideremos el caso particular en que

,y

son funciones. Por definición de

composición:

, para algún , para algún

Note que

.

es una función, pues si

, entonces

.

es el conjunto de parejas de la forma

Por lo anterior,

la analogía con las máquinas, si que funciona así:

1.

recibe un elemento

2.

introduce a

3. En resumen,

y

son máquinas, entonces

y lo introduce en la máquina

en la máquina

En el anterior proceso la máquina

es la máquina

para obtener

para obtener

ha transformado a

requiere que

. Volviendo a

.

en

le aplica

. a

. Para que esto tenga sentido se

. Ahora, si

, entonces

, luego

puede aplicarse a

tiene sentido (está definido). Además, nos permite concluir que

y . Lo anterior

, y que

, es decir,

Lo anterior lo resumimos en el siguiente lema (que es prácticamente una definición):

Lema (composición de funciones) Sean Entonces

[Es decir,

es la siguiente función:

.]

Y

funciones.

.

Si

y y

son como arriba y

, entonces decimos que

es una factorización de

. Esto lo podemos expresar mediante cualquiera de los siguientes diagramas:

Ejemplo Sea

la función

y

. Entonces

la función

es la función . Por otro lado, es la función

que

y

. Note

son funciones distintas (por ejemplo

, luego

). La composición de funciones no es necesariamente conmutativa.

Observación

Para antes de seguir leyendo: Si 1.

.

2.

.

, entonces:

Finalmente observamos que la composición de funciones es asociativa. Esto es, si ,

y

, entonces:

Lo anterior vale pues ambas funciones tienen el mismo dominio ( , .

), y para todo

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Definición (Funciones inyectivas, sobreyectivas o biyecciones) Sea

.

Diremos que: 1.

es inyectiva o 1:1 (o

es una inyección) si y sólo si para todos

implica

,

.

2.

es sobreyectiva si y sólo si

3.

es biyectiva (o

.

es una biyección) si

es inyectiva y sobreyectiva.

Para antes de seguir leyendo: 1. Demuestre que para cualquier conjunto, la función identidad una biyección.

es

2. Diremos que una función es constante si es un singleton. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que una función constante sea una biyección. 3. la función es una biyección. [ ¿Qué ocurriría si no fuera 1:1? ¿Qué ocurriría si no fuera sobreyectiva?]. Note que las propiedades de sobreyectividad y biyectividad no dependen exclusivamente de la función

, sino también del conjunto

ejemplo, es más correcto decir:

Ejemplo Sea

es una sobreyección de

la función

, de modo que, por en

.

. Veamos que

es una

biyección:

1. Inyectividad: si y

, entonces

. Por ende

.

2. Sobreyectividad: Hay que mostrar que Para la otra inclusión, sea

. Es fácil ver que si

. Es claro que

. , entonces

, y esto prueba que real

Ejemplo Sea

la función , luego

pero quién es

(dado que

es imagen bajo

. Es fácil ver que

es sobreyectiva. Pero

no es inyectiva:

. En otras palabras, si sabemos quién es .

es invertible, si y sólo si

es también una función.

la relación

Recuerde que

, luego si ,e

la función

modo que

.

, de

. Si , entonces

. Esto prueba que

invertible. Sea

y es una función, luego

es

. Es claro que

además que

Lema Para

es invertible, entonces

.

Ejemplo Sea

,y

. , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

es inyectiva.

2. Para todos 3.

,

, no sabemos con seguridad

Definición (Función invertible) Diremos que una función

1.

de algún

).

,

implica

.

es invertible.

La prueba se deja como ejercicio.

Note que si es invertible, entonces inyectiva, por el teorema anterior).

, luego

es invertible (e

Muchas funciones pueden expresarse como composición de varias funciones básicas. Para determinar la inyectividad de una función, en varios casos bastará con estudiar la inyectividad de las funciones básicas que la componen. Lo mismo ocurre con la sobreyectividad.

Teorema Para

,

, tenemos:

1. Si

y

son inyectivas, entonces

2. Si

y

son sobreyectivas, entonces

3. Si

y

son biyectivas, entonces

es inyectiva. es sobreyectiva. es biyectiva.

Demostración. [Prueba] (a) . Entonces por inyectividad de

Si inyectividad de

,

,

. Esto prueba la inyectividad de

. Por .

(b) Dado

, por sobreyectividad de

sobreyectividad de

, existe

existe

tal que

tal que

, y esto prueba la sobreyectividad de

. Por

. Por ende,

.

(c) Se deduce de (a) y (b).

¿Valen los conversos de las propiedades anteriores? La respuesta es negativa en general. Pero al menos podemos concluir lo siguiente:

Teorema Para

,

, tenemos:

1. Si

es inyectiva, entonces

es inyectiva.

2. Si

es sobreyectiva, entonces

es sobreyectiva.

Demostración. [Prueba]

(1): Suponga

. Entonces . Por inyectividad de

, e.d., , concluimos

.

(2): Sea

. Como

es sobre, existe . Esto prueba que

tal que .

Definición (Inversa a derecha e inversa a izquierda de funciones) Sea una función. 1. Una inversa a izquierda de

es una función

tal que

. 2. Una inversa a derecha de .

es una función

tal que

La existencia de inversas a derecha e izquierda de una función es una caracterización de inyectividad y sobreyectividad:

Teorema Para

:

1.

es 1-1 si y sólo si

tiene una inversa a izquierda.

2.

es sobreyectiva si y sólo si

tiene una inversa a derecha.

La prueba se deja como ejercicio.

Corolario Si

, entonces

es inyectiva y

Suponga el caso en que tiene inversas izquierda y derecha, respectivamente. La existencia de de

. Además, la existencia de

con dominio

garantiza que

es sobreyectiva. y garantiza que

es invertible, luego

a es la imagen es función

.

Bajo las anteriores condiciones podemos concluir que más aún, son iguales a

. Veamos la demostración:

Sabemos que

, luego

y

son la misma función, y

. Así,

. Ahora,

, luego , y así,

. A continuación enunciamos un criterio muy útil para verificar si cierta función es biyectiva:

Teorema Sean

,

, entonces y

y

funciones. Si

y

son biyectivas y mutuamente inversas, esto es,

.

Demostración. [Prueba]Como corolario

tiene a

como inversa a izquierda y derecha, por el

es biyectiva. De manera análoga podemos concluir que

es una biyección.

Por la demostración anterior al enunciado del teorema concluimos que Entonces

,

.

Lema Sean

y

conjuntos disyuntos,

, función definida por:

y

conjuntos disyuntos, y

funciones. Sea

la

Entonces: 1. Si

y

son inyectivas, entonces

2.

también lo es.

(en particular, si entonces

y

son sobreyectivas,

también lo es).

Demostración. Probamos la primera propiedad, dejando la segunda al lector. Sean tales que supongamos que

. Como (el caso

y

son disyuntos,

es similar). Entonces

(de lo contrario se tendría Similarmente

, y consecuentemente

.

. Entonces

. Como

es

inyectiva, concluimos que

Imagen e imagen inversa de funciones De las definiciones de imagen e imagen inversa de una relación, en particular tendremos, para una función

1.

y conjuntos

.

Ejemplo Sea

,

dada por la tupla ejemplo:

(esto es,

.

2.

.

3.

. .

4. 5.

.

6.

.

Para antes de seguir leyendo:

1. 2.

:

. 2.

1.

,

. .

,y

la función , etc.). Entonces por

A continuación estudiamos las propiedades de (la imagen inversa de

bajo

Teorema Para

bajo

)y

):

,

1. (monotonía)

(la imagen de

, tenemos:

implica

.

2.

.

3.

.

Demostración. [Prueba]

(1): Suponga

y mostremos

: por hipótesis,

: si

,

para un

, luego por definición,

, e.d.,

.

(2): (

): Si . Si

(

,

con

, entonces

): Como

. Si

, entonces

. Por ende,

.

, por monotonía (1) tenemos que .

(3): (

): Como

, por monotonía

luego

(

): Si

por definición

Teorema Para

,

.

,

, para

y

. Luego

, e.d.,

,

y .

, tenemos:

,y

1. (monotonía)

implica

.

2.

.

3.

.

EJERCICIOS: FUNCIONES 1. Sea la función . ¿Quién es ? ¿Es 11? ¿Y sobreyectiva? 2. . 1. Dé un ejemplo de dos funciones cuya composición sea inyectiva pero alguna de ellas no lo sea. 2. Dé un ejemplo de dos funciones cuya composición sea sobreyectiva pero alguna de ellas no lo sea. y

3. Dada

, definimos inductivamente

. Dado tal que 4. Sea

,

Encuentre una función

sea el mínimo natural ,

así:

tal que

,

,

.

.

1. Muestre que la igualdad?).

(¿bajo qué condición sobre

vale siempre

2. Muestre que la igualdad?).

(¿bajo qué condición sobre

vale siempre

3. Concluya que 5. Para

y

, sea

.

una biyección. Muestre que .

. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas 6. Sea (dar una prueba o un contraejemplo): 1. Para disyuntos.

, si

y

son disyuntos entonces

y

son

2. Para son disyuntos. 7. Sea, para cada natural

, si ,

y

son disyuntos entonces

una función cualquiera.

1. Muestre que

es también una función. (Recuerde que

el conjunto

es

).

2. ¿Cómo se comparan los conjuntos

8. Sea

y

y

?

3. ¿Cómo se comparan los conjuntos y ? un conjunto no vacío. Demuestre que existe una biyección que no fija puntos, esto es, que verifica

todo

para

.

9. Pensemos en

como el conjunto

, sea

la función: si

biyección.

y sea

. Note que

un conjunto cualquiera. Dado si . Muestre que

, es una

Parábola

Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cónicas a partir de su definición como lugares geométricos y no como la intersección de un cono con un plano, como se hizo en la antigüedad. Ya conocemos que la gráfica de una función cuadrática con , es una parábola. Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente definición.

Definición

Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la directriz de la parábola) que no contiene a (figura 1).

Figura 1.

El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola.Se puede observar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.

Teorema (ecuación

canónica de la parábola)

La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice directriz

es

El eje de la parábola es vertical y el foco Si

está a

unidades (orientadas) del vértice.

, la parábola abre hacia arriba y el foco está en

, la

(eje horizontal), la ecuación es

El eje de la parábola es horizontal y el foco vértice. Si

; si

.

parábola abre hacia abajo y el foco está en Si la directriz es

y

está a

unidades (orientadas) del

, la parábola abre hacia la derecha y el foco está en

, la parábola abre hacia la izquierda y el foco está en

; si

.

Observación : la demostración de este teorema no es difícil, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 1).Para el caso en el cual el eje de la parábola es vertical, tenemos que

Ejemplo 1. Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es

Solución Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la parábola tenemos que

De donde obtenemos que

y el vértice

hacia la derecha y tiene el foco en muestra en la figura 2.

, por lo tanto, la parábola abre , la recta directriz es

. La gráfica se

Figura 2.

Ejemplo 2 Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en foco en

.

y

Solución Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además abre hacia abajo y

La directriz es

, entonces la ecuación está dada por:

.La gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 3.

Ejemplo 3 Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el punto

y recta directriz

. Solución Observe que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por lo que, el teorema no nos ayuda en nada y debemos recurrir a la definición misma. Como el eje de la parábola es ortogonal a la directriz y debe pasar por el vértice entonces debe tener ecuación . Para hallar el valor de debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales y calcular la distancia al vértice.

Puesto que la solución es

, entonces

y el foco sería

Para hallar la ecuación de la parábola suponga que el punto esta sobre ella, entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz debemos hallar la recta que pasa por este punto y es paralela al eje de la parábola. Dicha recta tienen ecuación

Ahora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la idea de calcular la distancia que buscamos

La solución de este sistema es

con lo cual la ecuación de la parábola es

Figura 4.

Propiedades de la parábola Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión.O recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco.Este hecho es útil en la construcción de linternas, faros automotrices y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa esta en el foco.Igualmente, en los telescopios y receptores de radar, las señales de una fuente remota entran paralelas al eje y se reflejan pasando por el foco, mediante un reflector parabólico.La potente concentración que produce un reflector parabólico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar señales luminosas muy pequeñas.

Teorema

(propiedad de reflexión)

La tangente a una parábola en un punto : La recta que pasa por La recta que pasa por incidencia).

forma ángulos iguales con

y por el foco (ángulo de reflexión). y es paralela al eje de la parábola (ángulo de

La propiedad de reflexión se muestra en la figura 5.

Figura 5.

Ejercicios 1. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en

y foco en

.

2. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje y pasa por los puntos

3. Determine la ecuación canónica de la parábola

4. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje y pasa por los puntos

Respuesta:

5. Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje vertical y pasa por

los puntos

.

6. Determine la ecuación canónica de la parábola que pasa por los puntos .

7. Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en

y directriz

.

8. Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola que satisface simultáneamente las siguientes condiciones a.) vértice en

.

b.) contiene al punto c.) la distancia de

con

a la directriz es 10.

9. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en .

y directriz