Problemas de Geometría – PAU Andalucia

MATEMÁTICAS II − PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA

Ejercicio 1.— (Junio 2006-A)

Considera el plano π de ecuación 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0 y la recta r de ecuación

𝑥−5 −2

=𝑦=

(a) [1 punto] Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m.

𝑧−6 𝑚

.

(b) [0.75 puntos] Para m = –3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.

(c) [0.75 puntos] Para m = –3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π.

Ejercicio 2.— (Junio 2007-A)

Considera los planos de ecuaciones 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 y 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2 .

(a) [1 punto] Determina la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos dados.

(b) [1.5 puntos] Determina los puntos que equidistan de A(1, 2, 3) y B(2, 1, 0) y pertenecen a la recta intersección de los planos dados.

Ejercicio 3.— (Junio 2008-A) Dada la recta r definida por

𝑥−1 2

=

𝑦+1 3

=

𝑧−2 1

(a) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.

(b) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r. Ejercicio 4.— (Junio 2008-B)

[2.5 puntos] Dados los puntos A(2, 1, 1) y B(0, 0, 1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2. Ejercicio 5.— (Sobrante 2008) Sea la recta r dada por �

2𝑥 + 𝑦 − 𝑚𝑧 = 2 y el plano π definido por 𝑥 + 𝑚𝑦 − 𝑧 = 1. 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −𝑚

(a) [1 punto] ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos?

(b) [1 punto] ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano?

(c) [0.5 puntos] ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0?

Ejercicio 6.— (Sobrante 2008)

[2.5 puntos] Sea la recta r definida por �

𝑥=1 𝑥−𝑦 =0

y sean los planos 𝜋1 , de ecuación 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, y 𝜋2 , de ecuación 𝑦 + 𝑧 = 0. Halla la recta contenida en el plano 𝜋1 , que es paralela al plano 𝜋2 y que corta a la recta r.

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Problemas de Geometría – PAU Andalucia

Ejercicio 7.— (Sobrante 2008)

Se sabe que los planos de ecuaciones 𝑥 + 2𝑦 + 𝑏𝑧 = 1 , 2𝑥 + 𝑦 + 𝑏𝑧 = 0 , 3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 1 se cortan en una recta r. (a) [1.25 puntos] Calcula el valor de b.

(b) [1.25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de r. Ejercicio 8.— (Junio 2009-A)

𝑥=𝜇 𝑥=1 [2.5 puntos] Se considera la recta r definida por � 𝑦 = 1 y la recta s definida por �𝑦 = 𝜇 − 1 . 𝑧 = −1 𝑧 =λ−2

Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s. Ejercicio 9.— (Septiembre 2009-A)

Considera el punto P(1, 0, 0), la recta r definida por 𝑥 − 3 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 1, 0) + λ(−1, 2, 0). (a) [1.25 puntos] Estudia la posición relativa de r y s.

𝑦 2

=

𝑧+1 −2

y la recta s definida por

(b) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s. Ejercicio 10.— (Sobrante 2009)

Considera el punto A(1, –2, 1) y la recta r definida por las ecuaciones �

𝑥+𝑦 =2 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7

(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A. (b) [1.5 puntos] Calcula la distancia del punto A a la recta r.

Ejercicio 11.— (Sobrante 2009)

Considera el punto P(1, 0, –2), la recta r definida por � 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0.

𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 y el plano π de ecuación 𝑦+𝑧−2=0

(a) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a r y es perpendicular a π.

(b) [1.25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por P, corta a r y es paralela a π. Ejercicio 12.— (Sobrante 2009)

Considera el plano π de ecuación 3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 7 y la recta r definida por

𝑥−2 2

=

(a) [1.25 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a π que contiene a r.

𝑦+1 1

=

𝑧−2 2

.

(b) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano ortogonal a π que contiene a r.

Ejercicio 13.— (Sobrante 2009)

[2.5 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 1, –1), es paralela al plano de ecuación 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1 y corta al eje Z.

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Ejercicio 14.— (Sobrante 2009)

Sea el punto P(2, 3, –1) y la recta r definida por �

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1 𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 1

(a) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r. (b) [1.25 puntos] Halla el punto de r que está más cerca de P.

Ejercicio 15.— (Junio 2010-A)

Considera las rectas r y s de ecuaciones:

𝑥−1=𝑦 =1−𝑧

y

(a) [0.75 puntos] Determina su punto de corte.

�

(b) [1 punto] Halla el ángulo que forman r y s.

𝑥 − 2𝑦 = −1 𝑦+𝑧 =1

(c) [0.75 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a r y a s.

Ejercicio 16.— (Junio 2010-B)

Los puntos P(2, 0, 0) y Q(–1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S pertenece a la recta r de ecuación �

4𝑥 + 3𝑧 = 33 . 𝑦=0

(a) [1.5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S. (b) [1 punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo.

Ejercicio 17.— (Septiembre 2010-B)

Considera los planos 𝜋1 , 𝜋2 y 𝜋3 dados respectivamente por las ecuaciones 𝑥+𝑦 =1,

𝑎𝑦 + 𝑧 = 0

y

𝑥 + (1 + 𝑎)𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎 + 1

(a) [1.5 puntos] ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común? (b) [1 punto] Para a = 0, determina la posición relativa de los planos. Ejercicio 18.— (Junio 2011-B General)

Considera los puntos A(1, 0, –1) y B(2, 1, 0), y la recta r dada por �

𝑥+𝑦 =1 . 𝑥+𝑧 =2

(a) [1’75 puntos] Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B.

(b) [0’75 puntos] Determina si la recta que pasa por los puntos P(1, 2, 1) y Q(3, 4, 1) está contenida en dicho plano. Ejercicio 19.— (Junio 2011-A Específico)

Considera los puntos A(1, 0, 2) y B(1, 2, –1).

(a) [1'25 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuación de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B.

𝑥−1 3

=

𝑦 2

= 𝑧 que verifica que el triángulo

(b) [1'25 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano de ecuación 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 6 con el eje OX.

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Ejercicio 20.— (Junio 2011-B Específico)

[2'5 puntos] Considera los planos 𝜋1 , 𝜋2 y 𝜋3 dados respectivamente por las ecuaciones 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 4 = 0 ,

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 ,

𝑥+𝑧−4=0

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, 1, –1), es paralela al plano 𝜋1 y corta a la recta intersección de los planos 𝜋2 y 𝜋3 . Ejercicio 21.— (Septiembre 2011-A)

Considera los puntos A(–1, k, 3), B(k+1, 0, 2), C(1, 2, 0) y D(2, 0, 1).

�����⃗, 𝐵𝐶 �����⃗ y 𝐶𝐷 �����⃗ sean linealmente (a) [1’25 puntos] ¿Existe algún valor de k para que los vectores 𝐴𝐵 dependientes?

(b) [1’25 puntos] Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen 1. Ejercicio 22.— (Septiembre 2011-B)

Dado el plano π de ecuación 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 y la recta r de ecuaciones �

3𝑥 − 𝑦 = 5 . 𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −13

(a) [1’75 puntos] Halla el punto de intersección del plano π y la recta r.

(b) [0’75 puntos] Halla el punto simétrico del punto Q(1, –2, 3) respecto del plano π.

Ejercicio 23.— (Examen 1 − Junio 2012 Específico − Opción A)

El punto M(1, −1, 0) es el centro de un paralelogramo y A(2, 1, −1) y B(0, −2, 3) son dos vértices consecutivos del mismo. (a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.

(b) [1'5 puntos] Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo. Ejercicio 24. — (Examen 1 − Junio 2012 Específico − Opción B)

[2'5 puntos] Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de ecuaciones

= 4 2 x − 3 y  0 2 x − 3 y − z =

Ejercicio 25. — (Examen 2 − 2012 − Opción A) Dadas las rectas r ≡

x +3 y −9 z −8 = = −6 4 4

y

s≡

x −3 y −9 z −8 = = 3 −2 −2

(a) [1 punto] Determina la posición relativa de las rectas r y s. (b) [1'5 puntos] Calcula la distancia entre r y s.

Ejercicio 26. — (Examen 2 − 2012 − Opción B)

[2'5 puntos] Los puntos A(1, 1, 5) y B(1, 1, 2) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C, consecutivo a B, está en la recta = x

y − 6 z +1 . Determina los vértices C y D. = −2 2

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Ejercicio 27. — (Examen 3 − Septiembre 2012 − Opción A)

Sean los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, −1), C(0, 1, −2) y D(1, 2, 0).

(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C. (b) [0'5 puntos] Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. (c) [1 punto] Calcula la distancia del punto D al plano π.

Ejercicio 28. — (Examen 3 − Septiembre 2012 − Opción B)

[2'5 puntos] Halla el punto simétrico de P(2, 1, −5) respecto de la recta r definida por �

𝑥−𝑧 =0 𝑥+𝑦+2=0

Ejercicio 29. — (Examen 4 − Junio 2012 General − Opción A)

De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(2, −1, 0), B(−2, 1, 0) y C(0, 1, 2). (a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene. (b) [0'75 puntos] Halla el área de dicho paralelogramo. (c) [0'75 puntos] Calcula el vértice D.

Ejercicio 30. — (Examen 4 − Junio 2012 General − Opción B) Sean r y s las rectas dadas por

6 x + y − z = r≡ = 3 x + z

s≡

x −1 y +1 z = = −1 6 2

(a) [1'25 puntos] Determina el punto de intersección de ambas rectas.

(b) [1'25 puntos] Calcula la ecuación general del plano que las contiene.

Ejercicio 31. — (Examen 5 − 2012 − Opción A)

Se consideran los vectores 𝑢 �⃗ = (𝑘, 1, 1), 𝑣⃗ = (2, 1, −2) y 𝑤 ��⃗ = (1, 1, 𝑘) , donde k es un número real. (a) [0'75 puntos] Determina los valores de k para los que 𝑢 �⃗, 𝑣⃗ y 𝑤 ��⃗ son linealmente dependientes. (b) [1 punto] Determina los valores de k para los que 𝑢 �⃗ + 𝑣⃗ y 𝑣⃗ − 𝑤 ��⃗ son ortogonales.

(c) [0'75 puntos] Para k = −1, determina aquellos vectores que son ortogonales a 𝑣⃗ y 𝑤 ��⃗ y tienen módulo 1. Ejercicio 32. — (Examen 5 − 2012 − Opción B)

[2'5 puntos] Encuentra los puntos de la recta r ≡

π ≡ x − 2 y + 2z = 1 vale cuatro unidades.

Ejercicio 33. — (Examen 6 − 2012 − Opción A)

[2'5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡ coordenadas y del punto A(3, 2, 1).

x −1 2 − y = = z − 3 cuya distancia al plano 4 2

x+3 y +5 z+4 que equidista del origen de = = 2 3 3

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Ejercicio 34. — (Examen 6 − 2012 − Opción B)

Considera el punto P(1, 0, 2) y la recta r dada por las ecuaciones �

2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0

(a) [1 punto] Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. (b) [1'5 puntos] Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.

Ejercicio 35. — (Examen 1 − Reserva 2 Junio 2013 − Opción A) [2’5 puntos] Determina el punto de la recta r ≡ 𝜋1 ≡ 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 2 = 0

x −1 y == z + 1 que equidista de los planos 3 2

y

𝑥 = −4 + λ − 3𝜇 𝜋2 ≡ � 𝑦 = 1 + λ 𝑧= 𝜇

Ejercicio 36. — (Examen 1 − Reserva 2 Junio 2013 − Opción B)

Considera los puntos A(0, 5, 3), B(−1, 4, 3), C(1, 2, 1) y D(2, 3, 1).

a) [1’75 puntos] Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un rectángulo. b) [0’75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo.

Ejercicio 37. — (Examen 2 − Septiembre 2013 − Opción A) Considera el plano π de ecuación 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 6 = 0.

a) [1’5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados. b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados.

Ejercicio 38. — (Examen 2 − Septiembre 2013 − Opción B)

Considera los puntos A(1, 0, 2), B(−1, 3, 1), C(2, 1, 2) y D(1, 0, 4).

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C.

b) [1’5 puntos] Halla el punto simétrico de D respecto del plano 𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 + 9 = 0. Ejercicio 39. — (Examen 3 − Reserva 1 Septiembre 2013 − Opción A)

Considera los puntos A(1, 2, 1), B(−1, 0, 2) y C(3, 2, 0) y el plano π determinado por ellos.

a) [1’75 puntos] Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B son simétricos respecto de r. b) [0’75 puntos] Calcula la distancia de A a r.

Ejercicio 40. — (Examen 3 − Reserva 1 Septiembre 2013 − Opción B) Considera las rectas r y s dadas por

𝑥 = 2 − 3λ 𝑟 ≡ � 𝑦 = 3 + 5λ 𝑧= λ

a) [1 punto] Determina la posición relativa de r y s. b) [1’5 puntos] Calcula la distancia entre r y s.

y

𝑠≡�

𝑥+𝑦 −1=0 𝑧−5=0

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Ejercicio 41. — (Examen 4 − Reserva 2 Septiembre 2013 − Opción A)

Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(−1, 0, 3), B(2, −1, 1) y C(3, 2, −3). a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo. c) [0’5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice D.

Ejercicio 42. — (Examen 4 − Reserva 2 Septiembre 2013 − Opción B) Considera los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 0, 4).

a) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales.

b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A y es perpendicular al segmento AB.

Ejercicio 43. — (Examen 5 − Reserva 1 Junio 2013 − Opción A) [2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas

r≡x= y= z

y

s ≡ x −1 = y − 2 = z − 3 .

Ejercicio 44. — (Examen 5 − Reserva 1 Junio 2013 − Opción B) [2’5 puntos] Considera las rectas

𝑟≡𝑥=𝑦=𝑧

𝑠≡�

𝑥=2 𝑦=1

Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a t.

y

𝑥 = 1 + 2λ 𝑡≡�𝑦= 3λ 𝑧 = −1 + λ

Ejercicio 45. — (Examen 6 − Junio 2013 − Opción A)

Sea r la recta que pasa por el punto (1, 0, 0) y tiene como vector dirección (a, 2a, 1) y sea s la recta dada por

 −2 x + y = −2   −ax + z = 0

a) [1 punto] Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas. b) [1’5 puntos] Calcula, para a = 1, la distancia entre r y s.

Ejercicio 46. — (Examen 6 − Junio 2013 − Opción B) Considera los puntos P(2, 3, 1) y Q(0, 1, 1).

a) [1’75 puntos] Halla la ecuación del plano π respecto del cual P y Q son simétricos. b) [0’75 puntos] Calcula la distancia de P a π.

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