´diz Universidad de Ca Departamento de Matem´aticas

´ MATEMATICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas

Tema 6 Trigonometr´ıa. Resoluci´on de tri´angulos

Elaborado por la Profesora Doctora Mar´ıa Teresa Gonz´alez Montesinos

´Indice 1. Medidas de un ´ angulo: grados sexagesimales y radianes

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2. Razones trigonom´ etricas 2.1. Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Reducci´ on al primer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 4 5

3. Teoremas de adici´ on

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4. Resoluci´ on de tri´ angulos 4.1. Tri´ angulos rect´ angulos . . . . . . . . . . 4.1.1. Resoluci´ on de tri´ angulos is´ osceles 4.1.2. Aplicaci´ on a pol´ıgonos regulares 4.1.3. Medici´ on de alturas y distancias 4.2. Resoluci´ on de tri´ angulos oblicu´angulos . 4.3. F´ ormulas del a´rea de un tri´ angulo . . . 5. Ejercicios propuestos

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Tema 6

1. Medidas de un ´angulo: grados sexagesimales y radianes Un ´ angulo es la porci´ on del plano limitado por dos semirrectas, denominados lados, que tienen un origen com´ un llamado v´ertice. Los a´ngulos siempre se medir´ an en el sentido contrario de las agujas del reloj, y para realizar dicha medida se hace uso de los denominados grados sexagesimales y radianes.

90◦ 45◦

135◦

r 0◦ 360◦

180◦

1 rad

r

r 315◦

225◦ 270◦

Figura 1: Grados sexagesimales y radi´ an.

Llamaremos grado sexagesimal a cada una de las 360 partes iguales en las que se puede dividir una circunferencia. Cada grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales, llamadas minutos, y cada minuto a su vez se divide en 60 partes iguales, llamadas segundos: 1◦ = 60′ ,

1′ = 60′′ .

Obs´ervese la semejanza de estas divisiones con las fracciones horarias. Los a´ngulos medidos en grados sexagesimales pueden expresarse en forma compleja y en forma incompleja. As´ı, por ejemplo, el a´ngulo 46◦ 50′ 24′′ est´ a expresado en forma compleja, y su expresi´ on en ′ ◦ forma incompleja ser´ıa 46 84 . El paso de una forma a otra se realiza f´ acilmente con una calculadora cient´ıfica. Por otro lado, dada una circunferencia de radio r, se llama radi´ an al a´ngulo que abarca un arco de longitud r. La relaci´ on entre grados sexagesimales y radianes viene dada por 180◦ = π rad . A partir de la igualdad anterior, haciendo uso de reglas de tres, se tiene que 0◦ 0 rad

30◦ π rad 6

45◦ π rad 4

60◦ π rad 3

90◦ 180◦ π rad π rad 2

270◦ 360◦ 3π rad 2π rad 2

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Es fundamental el hecho de que el a´ngulo no depende en absoluto de la circunferencia elegida, es decir, cualquiera que sea la circunferencia que se considere, el a´ngulo no var´ıa. 4π rad en grados sexagesimales s´ olo debemos hacer: 7 ) 4π π rad −→ 180◦ 180 4 · 180 =⇒ x = 7 = ≃ 102′ 857◦ . 4π rad −→ x π 7 7

Ejemplo 1.1 Para expresar el a´ngulo

Ejemplo 1.2 Expresemos el a´ngulo de 125◦ en radianes:  25π 125π 180◦ −→ π rad rad = rad . =⇒ x = 125◦ −→ x 180 36

2. Razones trigonom´etricas 2.1. Definiciones fundamentales Como se muestra en la figura 2, dado un a´ngulo α, si desde un punto cualquiera de uno de sus lados se traza la perpendicular al otro lado, se construye un tri´ angulo rect´ angulo. Sobre este tri´ angulo

a b α c

Figura 2: Tri´ angulo rect´ angulo de hipotenusa a, y de catetos b y c.

rect´ angulo definiremos las llamadas razones trigonom´ etricas del a´ngulo α: Seno de α: sen α =

cateto opuesto b = . hipotenusa a

cos α =

cateto contiguo c = . hipotenusa a

Coseno de α:

Tangente de α: tg α =

cateto opuesto sen α b = = . cateto contiguo cos α c

Estas tres razones trigonom´etricas son las fundamentales. A partir de ´estas se pueden definir estas tres:

3

Tema 6

β

a′ β

a α

b

b′

c c′

Figura 3: Tri´ angulos equivalentes.

Cosecante de α: cosec α =

1 a = . sen α b

Secante de α: sec α =

1 a = . cos α c

Cotangente de α: ctg α =

1 cosec α cos α c = = = . tg α sec α sen α b

Observemos ahora la figura 3: En ella vemos representados dos tri´ angulos rect´ angulos, uno de lados ′ ′ ′ a, b, c, y otro de lados a , b , c ; no obstante, los a´ngulos agudos de ambos tri´ angulos, α y β, son exactamente iguales, esto es, los tri´ angulos son semejantes, lo cual quiere decir que sus lados son proporcionales. De este modo, se puede afirmar que las razones trigonom´etricas de α –y tambi´en las de β– ser´ an las mismas, independientemente del tri´ angulo que usemos para calcularlas, es decir, tenemos que b b′ c c′ b b′ sen α = = ′ , cos α = = ′ , tg α = = ′ . a a a a c c An´ alogamente se tendr´ıa para el resto de las razones trigonom´etricas. Visto esto y recordando lo que dec´ıamos en la secci´ on anterior en relaci´ on a que un a´ngulo no depende de la circunferencia donde se represente, consideremos la circunferencia centrada en el origen de coordenadas, esto es, en el punto O(0, 0) y de radio 1, que se denomina circunferencia goniom´ etrica. Haremos uso de esta circunferencia para ver exactamente c´omo se representan geom´etricamente el seno y el coseno de cualquier a´ngulo. En la figura 4 se han representado el seno y el coseno de a´ngulos de cada uno de los cuatro cuadrantes, y se han denotado por x e y respectivamente. N´ otese que en cada una de las gr´ aficas anteriores aparece un tri´ angulo rect´ angulo cuya hipotenusa mide 1, esto es, el radio de la circunferencia; por lo tanto: sen α =

y =y 1

cos α =

x = x. 1

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Y

Y

1

1

αy

α

y X

x

sen>0, cos>0,tg>0

X

x

sen>0, cos