MATEMÁTICAS TEMA 50 Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

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ÍNDICE. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

ESPECIALIDAD

Introducción. El anillo de los polinomios. Potencia de un polinomio. Binomio de Newton. Divisibilidad de polinomios en una indeterminada. Factorización. Fracciones algebraicas. Conclusión. Bibliografía.

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1.- Introducción. El lenguaje algebraico ha sido … 2.- El anillo de los polinomios. Expresión algebraica Tomamos como marco de trabajo el anillo (A, +, ·) conmutativo. Definimos una expresión algebraica con coeficientes en A en varias indeterminadas (símbolos o letras que no pertenecen a A) a expresiones que se obtienen a relacionarlos operaciones. Por ejemplo: En el anillo ( , + , ·) podemos definir multitud de expresiones , expresión algebraica con coeficientes en

en dos indeterminadas

.

Durante este tema trabajaremos, usualmente, en el anillo ( ,+,·), en su cuerpo de fracciones ( ,+,·) y en el cuerpo de los números reales ( ,+,·). Monomios La expresión algebraica más sencilla, es la formada por una/s indeterminada/s, llamada parte literal, y una parte numérica, llamado coeficiente, que indica el número de parte literales que se consideran. Por ejemplo: En ( , + , ·) , monomios en una indeterminada

con coeficiente 4 y parte literal

.

Grado de un monomio Es la suma de los exponentes de las indeterminadas que lo forman. Por ejemplo, en monomios con coeficiente en A en una indeterminada : , ESPECIALIDAD

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, polinomio constante a≠0 , polinomio constante 0

Monomios semejantes Dos monomios diremos que son semejantes si tiene la misma parte literal. Es decir, la parte literal de un monomio es lo que le proporciona su identidad. Operaciones con monomios (en una indeterminada) Adicción (Sólo se podrán sumar monomios semejantes, es decir, no es una operación interna en el conjunto de los monomios en una indeterminada

Producto (Es una operación interna)

Potencia (Es una operación interna)

División (No es una operación interna)

Polinomio en una indeterminada Sea un anillo (A, +, ·) conmutativo y

una indeterminada, es decir, un símbolo que

no pertenece a A, llamamos polinomio con coeficientes en A en

a una expresión

algebraica del tipo:

ESPECIALIDAD

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Donde n

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y

A.

Para simbolizar a un polinomio se le da nombre continuado de la indeterminada entre paréntesis Estos polinomios pueden también expresarse de forma abreviada como

Los polinomios se ordenan de mayor a menor, o al contrario, según el grado de los monomios o términos que lo formen. Por otro lado, todos los polinomios deben estar reducidos, es decir, todos sus términos deben tener distinto grado, en caso contrario se simplificarían. De ahora en adelante trabajaremos con polinomios reducidos y ordenados. Grado de un polinomio Se define como el mayor de los grados de los términos que lo forman. Representamos al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en A en

como

. Sobre este conjunto podemos definir dos operaciones + y · que lo dotan de estructura de anillo. (Las propiedades las tienes en el tema 11, resalto lo más importante) Adicción de polinomios. Propiedades. 1. Es interna 2. Asociativa 3.

elemento neutro. Polinomio nulo

4.

elemento simétrico u opuesto. Dado

5. Conmutativa Producto de polinomios. Propiedades. ESPECIALIDAD

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Se obtiene como una generalización del producto de un monomio por un polinomio (propiedad distributiva del producto respecto la suma)

1. Es interna 2. Asociativa 3.

elemento neutro. Polinomio unidad

4. Conmutativa 5. Propiedad distributiva

Conceptos previos: Un anillo se dice que es un dominio de integridad DI, si no tiene divisores de cero no nulos.

Ejemplo: ( ,+,·) , ( ,+,·), ( ,+,·) son un DI no es un DI

(

Unidad de un anillo u

U(A)

u /1

Si A es DI entonces U(A

)=U(A)

Asociados a, b

Ay

u

U(A) / a=u·b

a y b son asociados.

Irreducible a

A, no unidad, es irreducible si no tiene divisores salvo asociados.

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Dominio de factorización única DFU Un DI es un DFU si todo elemento, no nulo y no unidad, tiene un única factorización en elementos irreducibles. En un DFU irreducible=primo Dominio Euclideo DE Un DI es DE si se le puede asociar una función euclidea δ: •

Δ(ab)≥δ(a),

•

Para todo a, b

que verifica:

a, b A, b≠0, existen q, r

A:

a=bq+r δ(r)