1 1 MATRICES Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es

Se simboliza tal matriz por o matriz de orden x (que se lee

y se le llamará una matriz por

x

).

Ejemplos:

Los números

se llaman componentes de la matriz.

Ejemplo: Obtener los elementos: Observación: Notar que la fila y la columna del elemento se indica por su primero y segundo subíndice respectivamente La componente de está ubicada en la fila y en la columna de la matriz , se dice que ocupa el lugar de . Las matrices se indicarán por letras mayúsculas A, B, C,..., mientras que sus elementos se indican con letras minúsculas Observación : 1) Una matriz de orden x se dice 2) Una matriz de orden de x se dice 3) En una matriz, si la matriz se llamará " la forma

" y es de

2 En una matriz cuadrada de orden diagonal de

las componentes

constituyen la

Ejemplo: Clasificar las siguientes matrices según su forma:

IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices el mismo orden y iguales, es decir,

, para cada y cada

=

son iguales si y sólo sí tienen (esto es, entradas correspondientes son

Propiedades : Si (a) (b) (c)

son matrices de la forma

,

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Sea una matriz de la forma . Se llama matriz que se obtiene al cambiar las filas por columnas en Se denota por

Ejemplo : Si

4

2 5

3 , entonces 6

Propiedades : Sean 1) 2) 3)

matrices de la forma

,

2 3

4 5 6

a la

3

ALGEBRA DE MATRICES

SUMA DE MATRICES Sean

, la suma de =

y

es la matriz :

tal que

Ejemplo: 1)

A=

4 -1 -2 0 A+ B =

2)

A=

3 , 7 4 -1 -2 0

3 2 4 , -5 1 2

B =

3 7 4 -5 1 2

3 3 + 7 -5 3 B = -1 4

7 4 7 6 7 = 1 2 -7 1 9 5 0 1

A + B no está definida ya que las matrices no son del mismo tamaño

Propiedades : Para poder efectuar las sumas las matrices deben tener el mismo orden. 1) Clausura : Si son matrices de la forma x entonces también son matrices de la forma x . 2) Propiedad Asociativa : 3) Propiedad Conmutativa : 4) Propiedad del neutro aditivo : A + 0 M = A Se llama matriz cero aquella que tiene todas sus componentes iguales a cero. M

[0ij ]mxn =

5) Propiedad del inverso aditivo : Si designamos por La matriz

es el inverso aditivo de

la matriz pues

Observación : Se puede definir la diferencia o resta de matrices : 6) Propiedad cancelativa aditiva :

M

4

MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.

Se llamará un escalar a cualquier elemento del conjunto de los Reales Sean y un escalar. Se define la multiplicación de la matriz por el escalar a la matriz :

Es decir :

2 Ejemplo

1

6 6 12

3

Propiedades : Si , 1) 2) 3) 4) 5)

y

3 9 21

se tiene :

A = 0,

PRODUCTO DE MATRICES.

Sean

y donde ...

AB =

Observación :

entonces el producto de

por

es la matriz

5

jemplo :

Si

y

no está definido ya que el

numero de columnas de B no es igual al número de filas de A. El producto de matrices no es conmutativo. Propiedades : 1) Si matrices , entonces igual al número de filas de . 2) Si entonces : 3) Si

está definido si el número de columnas de

matrices, de órdenes

y

es

respectivamente ;

, C entonces, siempre que las sumas o productos puedan efectuarse:

4) No existe ley de cancelación para el producto. O sea : Si M no se puede deducir que A t t t 5) (AB) = B A

M

M

Propiedades: 1) Propiedad de Clausura : Si y son matrices de orden matrices de orden 2) Propiedad Asociativa : 3) El producto no es conmutativo 4) Propiedad del neutro multiplicativo : La matriz identidad es el neutro multiplicativo ya que

entonces

son

Si A es una matriz cuadrada y es un número entero positivo, entonces la potencia de A, escrita por A , es el producto de factores de A:

ésima

POTENCIA DE UNA MATRIZ

6 A

A.A.A......A ( factores)

Si A es de orden , se define A0 = I

Ejemplo: 1 1 Solución: Si A =

0 2

calcular A3

A3 =A2 A =

1 3

0 4

1 1

0 1 0 = 2 7 8

Evaluación de un polinomio en una matriz Sean : coeficientes en

un polinomio en la variable matriz de orden la evaluación de para

y

cuando

(matriz cero), diremos que

, con es :

es solución matricial de la ecuación

Ejemplo : es solución de

pues

MATRICES ESPECIALES MATRIZ DIAGONAL

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada tal que todas sus componentes que se encuentran fuera de la diagonal principal son ceros. es matriz diagonal

Ejemplo:

A=

2 0

0

0

7 MATRIZ IDENTIDAD La matriz identidad de orden , denotada por I , es la matriz diagonal cuyas entradas en la diagonal principal son numeros uno.

In

1 I2 = 0

1 0

0 1

0 0

0

0

1

0 , 1

1 I3 = 0 0

x

0 0 1 0 0 1

MATRICES TRIANGULARES

Una matriz cuadrada se dice triangular superior si todas sus componentes que se encuentran bajo de la diagonal principal son ceros. Sea entonces : es matriz triangular superior

Ejemplo:

A=

2 0

4

6 3 5

Una matriz cuadrada se dice triangular inferior si todas sus componentes que se encuentran sobre la diagonal principal son ceros. Sea entonces : es matriz triangular inferior 2 0 0 0 Ejemplo : A= 8 4 3 5 Observación: Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que es triangular superior e inferior a la vez. MATRICES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS

Sea

Mnxn , A =[aij ] Se define matriz simétrica matriz antisimétrica

Ejemplos:

A

2 3

, es decir, a ij = a ji , es decir, a ij=

a ji

3 es matriz simétrica.

8

es matriz antisimétrica.

Propiedades : 1) oda matriz antisimétrica tiene en su diadonal principal sólo elementos no nulos. 2) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica 3) Sea A una matriz de orden a) y son matrices simétricas. b) es matriz antisimétrica. 4) Una matriz A se puede escribir como una suma de una matriz simétrica y una antisimétrica de la siguiente forma

MATRICES: IDEMPOTENTE, INVOLUTIVA Y NILPOTENTE DE INDICE K

Sea A Mnxn , se dice que A es : Idempotente si y sólo si A2=A Involutiva si y sólo si A2 = In Nilpotente de índice k, k si y sólo si A k= 0 M MATRIZ INVERSA

Si es una matriz cuadrada y existe una matriz C tal que CA = I , entonces C es llamada la inversa de A, y se dice que A es invertible ( o no singular) Ejemplo: 1 2 y C= 3 7 la matriz C es la inversa de A

7

Sea A =

como CA =

1 0

0 = I, 1

Puede demostrarse que una matriz invertible, tiene una , y sólo una, inversa, ésto es, la inversa es única. La inversa de A se denota por A

La matriz inversa es tal que : a)

si

es no-singular

9 b)

siempre que

son no-singulares en

No toda matriz 0 es invertible. Por tanto si es singular o no-invertible.

no posee inversa. Se dice que

MATRICES EQUIVALENTES TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

Las Transformaciones Elementales (T.E.) son funciones matriciales que producen cambios o bien en una fila(renglón) (o bien en una columna) de una matriz. Estas transformaciones elementales son de tres tipos tanto para filas (como para columnas), como se ve en el cuadro siguiente : 1) Intercambio de dos filas de una matriz 2) Multiplicación de una fila de una matriz por un escalar diferente de cero. 3) Suma de un múltiplo de una fila de una matriz a una fila diferente de esa matriz Notación: 1) f Es la T.E. que intercambia la fila con la fila

o (R R) 2) f es la T.E. que multiplica la fila por o ( R 3) f es la T.E. que suma a la fila , la fila multiplicada por permanece igual

o ( R

el renglón R

Observación:

Las operaciones también se pueden realizar en columnas Ejemplo : 1 4 5

0 -2 1 0 -2 1 -4f +f2 0 -2  0 3 5 0

-2 5 0 3 9 f13 0 -2 9  3 5 0 -2

MATRIZ ESCALONADA. MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA.

Matriz reducida: Una matriz se dice reducida (escalonada reducida o matriz triangular modificada MTM) si se satisface lo siguiente: 1) Si una fila no consiste solamente en ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en la fila, llamada la entrada principal, es 1, mientras que todas las demás entradas en la columna en la que el 1 aparece son ceros. 2) En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada diferente de cero de cada fila arriba de él. 3) Todas las filas que consistan únicamente en ceros, están en la parte inferior de la matriz. Observación:

10

Es posible reducir una matriz A a una matriz triangular modificada MTM. La secuencia de pasos que se utiliza para reducir una matriz no es única; sin embargo, la forma reducida si es única Ejemplo : Reducir la matriz A=

0 3 6

0 1 2 -6 -3 0 -12 2 11

Solución: 0 A= 3 6

0 -6 -12

1 2 -3 0 2 11

1 -2 0 0 0 0

.....

0 0 1 0 0 1

RANGO DE UNA MATRIZ

Es el número de filas diferentes de 0 que tiene la matriz triangular modificada ( reducida) Ejemplo: El rango de la matriz A es 3 , se denota

rag

Método para encontrar la inversa de una matriz Si M es una matriz invertible de , formar la matriz de x , [M I]. Después realizar operaciones elementales sobre filas hasta que la primeras columnas formen una matriz reducida igual a I (Identidad). Las últimas columnas serán M-1 [M I ] ... [ I M-1 ] Si una matriz M no se reduce a I, entonces M -1 no existe. Ejemplo: -1

Determinar A si A es invertible,

A=

1 4 1

0 -2 -2 1 2 -10

Solución: Siguiendo procedimiento anterior, se puede obtener

[A I]=

1 4 1

0 -2 1 0 0 -2 1 0 1 0 2 -10 0 0 1

...

1 0 0 1 0 0

0 -9 0 - 41 2 -1 -5

2 4 1

2 9 2

1

=[I A-1 ]

11

A-1 =

-9 - 41 2 -5

2 4 1

2 9 2

1

EQUIVALENCIA DE MATRICES

Sean 1) 2) 3)

matrices de orden es equivalente por filas con se obtiene a partir de por una sucesión de T.E. filas. es equivalente por columnas con se obtiene a partir de por una sucesión de T.E. columnas. es equivalente con se obtiene a partir de por una sucesión de T.E. filas y/o columnas.

Ejemplos : es equivalente con

ya que :











SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Es natural encontrarse en casi todos los campos de estudio, tales como: matemática, física, química, biología, ciencias económicas y administrativas, todas las ramas de la ingeniería, etc., con sistemas de ecuaciones lineales de ecuaciones, plantearlos, resolverlos e interpretarlos.

Una ecuación para las variables ecuación lineal, donde

y los coeficientes ,

Un sistema de ecuaciones lineales de

Ejemplos: 1)

ecuaciones con

(constantes) se llama

incógnitas es de la forma:

12

2)

Para el sistema a)

= =

se tiene :

Los se dicen los coeficientes del sistema, los son las incógnitas y los , los términos constantes. El sistema se dirá un sistema de o bien un sistema de ecuaciones con incógnitas.

b) Una solución del sistema es un conjunto de elementos de , tales como que tienen la propiedad de satisfacer cada una de las ecuaciones del sistema. c)

Si el sistema tiene a lo menos una solución se dice que es compatible, en caso contrario, o sea, si no hay soluciones, se dice que es incompatible. d) Si el sistema se llama homogéneo. La solución se denomina solución trivial del sistema homogéneo asociado a Notación Matricial de un sistema de ecuaciones Usando la multiplicación de matrices un sistema tal como simplemente por X=

se puede denotar

Los coeficientes del sistema se puede ordenar en una matriz :

llamada la matriz de los coeficientes del sistema.

Análogamente los términos constantes se ordenan en una matriz columna

b

que es la matriz de las constantes del sistema.

Como escribir en notación matricial :

resulta que el sistema

se puede

13

donde

Luego tenemos :

es solución del sistema

Llamamos matriz ampliada del sistema

a la matriz :

=

EJEMPLO: Para el sistema

se tiene que

es su matriz de los coeficientes y

que la matriz ampliada es:

DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Dado un sistema de ecuaciones lineales, denotado matricialmente : podemos buscar sus soluciones de distintas maneras, según el caso : a) En caso que sea una matriz cuadrada e invertible, entonces podemos multiplicar por por la izquierda a la ecuación matricial y obtenemos : que sería la única solución del sistema.

b) Si es cualquier matriz de orden , entonces la alternativa es efectuar transformaciones en el sistema para eliminar incógnitas en algunas ecuaciones ( método de Gauss). Este método es válido cualquiera que sea y es el que se desarrollará

14 Dado el sistema , observemos que las "transformaciones" que se hacen para "eliminar" incógnitas, corresponden a T.E.(transformaciones elementales) por filas en la matriz ampliada del sistema.

TEOREMA 1 Dados los sistemas se tiene que : si | es equivalente por filas con entonces y tienen exactamente el mismo conjunto solución (se dice que, en este caso, los sistemas y son equivalentes) OBSERVACION Si se hace una T.E. fila en la matriz ampliada donde es una escalonada reducida de |

......

.....

obtenemos una matriz

MTM |

TEOREMA 2

Dado el sistema a)

con

Si a

a

b) Si a

a

c)

a

Si a

Además en este caso

incógnitas :

, entonces

no tiene solución.

, entonces y

, entonces

incógnitas dependen de las

tiene una única solución. tiene infinitas soluciones. - restantes.

d) Un sistema homogéneo es un sistema de ecuaciones lineales de la forma :

Propiedades : a) Todo sistema homogéneo tiene solución ya que : , y esta se llama la solución trivial de b) Si

con a a

es siempre solución de

incógnitas, entonces : tiene una única solución que es la trivial tiene infinitas soluciones

15 EJEMPLOS 1) Dado el sistema :

Se tiene :

es su matriz de los coeficientes y

la matriz ampliada

Hacemos T.E. fila en

para escalonar :

=

1

0 0

 ...... 0

1 0 0

concluímos que

= 41 5

1

- 95

41 5 - 95 - 75

- 75

2) Dado

Su matriz ampliada es :

Obtenemos una escalonada para

 ....... Esta última matriz escalonada corresponde al sistema :

cuya última ecuación no tiene sentido. O sea, no hay solución. Luego el conjunto solución del sistema dado es .

16

Notemos que en este caso, mirando la matriz escalonada que se obtuvo, se tiene que: a

y a

son distintos

3) Dado el sistema : 2 1 +3 1

entonces :

.. 

¿Cómo son los rangos de la matriz ampliada con el de la matriz de los coeficientes? y con el número de incógnitas? ¿Qué puede concluir al respecto según teorema anterior? O sea :

,

,

¡Hay infinitas soluciones! El conjunto solución del sistema dado es :

DETERMINANTES Se introducirá una nueva función llamada . Aquí las entradas serán matrices cuadradas, pero las salidas serán números reales. Si A es una matriz cuadrada, entonces la función determinante asocia con exactamente un número real llamado " " de A. Denotado por A , se puede pensar la función determinante como A A matriz cuadrada número real = determinante de A

Para cada , su imágen será el "determinante de ". Esta función se llama la función determinante de orden , y anotamos por det A o por A

si

entonces A

17

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 1 Si

definimos

det.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2 Si

entonces definimos det. O sea :

Ejemplo : 2 3 si

1

2

4 2 3

1 4

4

,

1

3

A

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3

Para el caso de una matriz cuadrada de orden 3, se tiene

A=

el determinante se puede obtener como: A Ejemplo

1) Verificar si A = 27 , para A=

2) Calcular A , si A=

2 3

2 4 -1 3 1 0 -2 3 4

Nota: Se debe hacer notar que para una determinante anterior para calcular el determinante.

no hay método equivalente al

18 Hay una manera más práctica de obtener el determinante para una matriz de orden 3, escribiendo a continuación de la matriz A, las dos primera columnas y efectuar la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y de las paralelas a ellas, y luego hacer lo mismo con la diagonal secundaria pero en este caso restando, el resultado de esas operaciones es el determinante, es decir:

Si

anotamos las dos primeras columnas a la derecha de

y

entonces los productos de las componentes de las

diagonales a la derecha se suman y las otras se restan. Así se obtiene det Ejemplo:

Efectuar para la matriz

A=

2 3

En el caso de una matriz de orden mayor a tres se debe efectuar lo siguiente: Desarrollo de un determinante por sus cofactores Definición . Sea A = [ una matriz de orden Sea la submatriz de se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de A. El determinante M ij se llama menor del elemento Definición . Sea A= [ una matriz de orden

el cofactor

de

se define por

M ij

EJEMPLOS : Sea

un orden menor, que

obtener los cofactores :

19

cof

1 1

11

M 11 =

cof

,

0

cof

,

cof

, etc

Entonces para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada A de orden n (mayor que 2), seleccionar cualquier fila (o columna de A ) y multiplicar cada entrada en la fila (o columna ) por su cofactor. La suma de estos productos será el determinante de A, llamado determinante de orden

Ejemplo: 2 3

Obtener por desarrollo por primera fila el determinante de si A=

,

comprobar usando desarrollo por la segunda columna.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1

Si

tiene una fila o columna de ceros, entonces det

.

Ejemplo:

2.

Si

Ejemplo:

tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces det 2 5 2 5 -2 0 6 0

.

2 1 2 6 =0 -2 5 6 1

3. Si es una matriz triangular superior ( o inferior) entonces detA es igual al producto de las entradas de la diagonal principal

Ejemplo:

2 0 0 0

5 5 0 0

2 2 -2 019

1 6 =( )( )( 5 1

)( )=

20

4. Si es la matriz obtenida sumando un múltiplo de una fila (o columna) de A a otra fila (o columna ) , entonces el 5. Si en se intercambian 2 filas o columnas consecutivas, cambia el signo de su determinante. 6. Si en se multiplica solo una fila (o columna) por un factor determinantes de la matriz resultante es det 7.

El determinante de

es igual a det

.

O sea, det

, entonces el

det

8. El determinante de un producto de matrices cuadradas es el producto de las determinantes de cada una. O sea, det det det 9.

En general det

det

det

.

Observación: Las propiedades de 1 a 6 son útiles en la evaluación de ya que nos dan una manera de expresar en forma triangular (se dice triangulamos), entonces por la propiedad 3, se considera el producto de sus diagonales Ejemplo: Comprobar por triangulación que el determinante de la matriz

es

Matriz Inversa: Otra manera de calcular la matriz inversa es usando la matriz de los cofactores MATRIZ DE LOS COFACTORES

Sea , la Matriz de los cofactores de componentes son los cofactores de lugar de cof Llamamos matriz adjunta de O sea : Adj EJEMPLOS :

cof

x

con

es la matriz de orden . Anotamos : cof

a la transpuesta de la matriz de los cofactores de

cuyas

21

Sea

entonces :

cof

,

cof

,

cof

cof

, etc

Así cof

y Adj

2) Obtener Ud. la matriz adjunta de

Teorema :

Si

entonces :

Adj

(det

)

Adj

Corolario :

Sea

Entonces

y en este caso :

es invertible

det

det

Adj

EJEMPLO

a)

Si

, entonces det

, y así

no es invertible, o sea

es singular.

b) Si

, entonces det

y por lo tanto

es invertible.

22 Se tiene, por lo visto en ejemplo anterior, Adj

SISTEMAS DE ECUACIONES USANDO DETERMINANTES Regla de Cramer: Sea un sistema de

ecuaciones lineales con

incógnitas como sigue

Si el determinante de la matriz de los coefcientes es distinto de cero, entonces el sistema tiene solución única . La solución está dada por

donde k es el determinante de la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima columna de A por la columna de las constantes. Ejemplo: Resolver el sistema siguiente utilizando la regla de Cramer

Respuesta: Como

3

2

=

3

2

2

entonces

3

2

23