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MATRICES

El álgebra matricial tiene múltiples aplicaciones ya que permite utilizar una gran cantidad de datos para organizarlos de manera simple en una tabla que se puede representar mediante una matriz. Su importancia se pone de manifiesto en la simplicidad con que se pueden resolver problemas que se presentan en muchas ramas de la matemática. Una de sus aplicaciones, es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Con el uso de matrices se puede modelar situaciones de la vida real, como el horario de los distintos medios de transporte que se exponen en sus respectivas terminales, la tabla de cotización de la Bolsa en cada día de la semana, el registro en milímetros de lluvia caída durante determinado tiempo, etc. Supongamos que se dispone del registro de los alumnos de 1 er año de la Facultad de Agronomía y Zootecnia en cierto período lectivo, según carrera y sexo, y se lo detalla en una tabla:

Ing. Agrónomo Ing. Zootecnista Médico Veterinario

Varones

Mujeres

245

78

21

37

94

61

Esta colección de elementos se puede expresar como una matriz de la forma:

245 78 21 37

A=

94

61

Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas. Se denota con una letra mayúscula y sus elementos con letras minúsculas:

A=

a 11

a 12

 a 1j 

a 1n

a

a

 a

a

21

 a i1

22

a i2

 a m1 a m 2

2j



 a ij 

2n

 a in

  a m j  a mn

-1-

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Ésta es una matriz de orden ó dimensión m x n. Es decir, el orden de una matriz es igual al número de filas por columnas que posee. Los aij se denominan elementos y no necesariamente son números reales, pueden ser también parámetros, funciones, características descriptivas, etc. El elemento aij está ubicado en la fila i, columna j.

   A=  a ij    

Se denota A = (a i j)

Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si y sólo si tienen el mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales. Si A = (a i j) y B = (b i j) son del mismo orden, entonces: A=B

a ij = b ij

i

j

Ejercicio resuelto

Dadas las matices:

A=

0

0

1

3 ( 2)

y

1

B=

2x2

e 1

3

0

2

, analice si A = B. 2x2

Para que sea A = B, las matrices deben ser del mismo orden; en este ejercicio ambas son de 2x2, y además, los elementos correspondientes deben ser iguales, es decir: a 11 = b 11 = 0

a 12 = b 12 pues e 0 = 1

a 21 = b 21 = 3

a 22 = b 22 pues (– 2) – 1 = –

1

A=B

2

Matriz columna o vector columna Es la matriz que tiene sus elementos dispuestos en una sola columna.

A=

a 11 a 21 a 31  a m1

mx1

El orden de la matriz A es mx1.

Matriz fila o vector fila Es la matriz que tiene sus elementos dispuestos en una sola fila. B=

b 11 b 12 b 13  b 1n

El orden de la matriz B es 1xn.

-2-

1xn

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Matriz cuadrada Cuando el número de filas es igual al número de columnas, la matriz se dice cuadrada.

A=

a 11 a 12 a 21 a 22

a 13 a 23

a 31 a 32

a 33

Los elementos a i j de A, tales que i = j constituyen la diagonal principal. Matriz diagonal Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos 0, excepto los de la diagonal principal.

D=

d 11 0 0 d 22 0

0

0 0 d 33

Ejemplo:

D=

5 0 0 0 1 0 0 0 3

Matriz escalar Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos 0, excepto los de la diagonal principal que son iguales a un mismo escalar k

0.

k 0 0 E=

0 k 0 0 0 k

Ejemplo:

E=

5 0 0 0 5 0 0 0 5

Matriz identidad o unidad Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos 0, excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Se la denota con la letra I.

-3-

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1 0 0 I= 0 1 0 0 0 1

Matriz triangular inferior Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a 0. Si A es una matriz triangular inferior, se cumple que a i j = 0 con i < j.

A=

a a a

0

11 21

a

22

31

a

32

0 0 a

33

Ejemplo:

A=

5 0 0 7 1 0 2 4 3

Matriz triangular superior Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por debajo de la diagonal principal iguales a 0. Si A es una matriz triangular superior, se cumple que a i j = 0 con i > j.

A=

a 11 a 12 0 a 22 0

0

a 13 a 23 a

33

Ejemplo:

A=

1 2 0 9

5 3

0 0

6

Matriz simétrica Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos simétricos respecto a la diagonal principal, iguales. Es decir, los elementos a i j = a j i con i

j.

-4-

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Ejemplo:

5 3

S=

3 7 1 2/3

7 2/3

0

Matriz nula Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0. Se la denota con la letra O.

O=

0 0 0 0 0

0

Matriz opuesta La matriz opuesta de una matriz es la que se obtiene cambiando el signo a todos los elementos de la matriz dada.

– A es la matriz opuesta de A. Si A = (a i j) entonces

– A = (– a i j)

Ejemplo:

1 1/2 7 2

Si A =

8

su matriz opuesta es

–A =

0

1 7

1/2 2

8

0

Matriz transpuesta La matriz transpuesta de una matriz es la que se obtiene intercambiando las filas por las columnas correspondientes. A T es la matriz transpuesta de A.

Ejemplo:

Si A =

1 1/2 4 2 3

0

su matriz transpuesta es A T = 3x2

-5-

1 4 1/2 2

3 0

2x3

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Operaciones con matrices Hemos definido una matriz de orden m x n como un arreglo rectangular de elementos dispuestos en m filas y n columnas. En condiciones adecuadas se pueden sumar, restar y multiplicar matrices. La definición de operaciones entre matrices es lo que determina la utilidad de ellas, ya que tienen un sentido muy preciso e informativo. El álgebra de matrices fue desarrollada por el matemático inglés Arthur Cayley en 1857.

Suma de matrices Es posible sólo si las matrices tienen el mismo orden. En tal caso, se suman elemento a elemento. Sean A = (a i j ) y

B = (b i j ) dos matrices del mismo orden m x n. Entonces la suma de

A + B es la matriz C de orden m x n, cuyos elementos están dados por la suma de los elementos correspondientes.

A + B = (a i j ) + (b i j ) a 11



a 12

a 1n

b 11

 a 2n    a mn

a 21 a 22   a m1 a m 2

A B

C

C = (a i j + b i j )

a 11 b 11 a 21 b 21

a 12 b 12 a 22 b 22

b 12

b 21 b 22   b m1 b m 2



a 1n

b 1n



a 2n

b 2n



b 1n

 b 2n    b mn

    a m1 b m1 a m2 b m2  a m n b m n

Ejercicio resuelto

Dadas las matrices A =

1

3

5

0

3

4

1 5

3 0

3

4

+

3x2

y B= 3x2

0 1

3 5

6

3

0

3

1 6

5 3

= 3x2

-6-

1 4 3

, obtenga la suma. 3x2

0 5 1 3x2

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Propiedades de la suma de matrices La suma de matrices es conmutativa: A + B = B + A El elemento neutro de la suma es la matriz nula: A + O = A. La suma de matrices es asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

Producto de un escalar por una matriz El producto de un número real k, llamado escalar, por una matriz A, es la matriz k . A, que se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho número. Sea k un escalar y A = (a i j ) una matriz de orden m x n. Entonces: k . A = k . (a i j ) = (k . a i j ) a 11 k.A



a 1n

a 21 a 22  a 2 n     a m1 a m 2  a m n

k.

k a 11 k. A

a 12

k a 12



k a 1n

k a 21 k a 22  k a 2 n     k a m1 k a m 2  k a m n

Propiedades del producto de un escalar por una matriz 1.A=A k . (h . A) = (k . h) . A

Diferencia de matrices Se define la diferencia A – B como la suma de una matriz A y la opuesta de otra matriz B. O sea: Si A = (a i j ) y B = (b i j ) son dos matrices del mismo orden m x n . Entonces A – B = A + (– B) donde – B = (– 1) . B Escalar Propiedad de la diferencia de matrices La suma de una matriz y su opuesta, da el elemento neutro de la suma, es decir la matriz nula. A – A = A + (– A) = O Ejercicio resuelto Sea P el vector

fila o matriz de precios de 4 insecticidas (100 50 49 30). Si el comerciante

decide realizar una rebaja del 10 % en dichos productos, calcule la matriz bonificación B y la matriz precio de venta V.

-7-

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Matriz de precios:

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P = (100

50

49

La rebaja del 10 % sería: 0,1 . (100 Matriz bonificación:

B = (10

5

30)

50 4,9

49 3)

P – B = (100 – 10

Matriz precio de venta:

V = (90

30)

45

50 – 5 44,1

49 – 4,9

30 – 3)

27)

Producto de matrices Si bien la suma de matrices y el producto por un escalar se define en forma muy sencilla, el producto de matrices no es tan fácil. Para darle sentido al producto de matrices, comenzaremos multiplicando dos matrices especiales: un vector fila (demanda) y un vector columna (precio). Ejercicio resuelto Un comerciante desea saber el ingreso que le deja la venta de 4 marcas de plaguicidas de las que se conoce el precio unitario. Sea D el vector demanda (cantidad de plaguicidas de cada marca que vende) de 4 plaguicidas D = (30

20

40

10) 1 x 4 y P el vector de precio unitario de cada plaguicida

P=

20 15 18 40 4x1

El ingreso será la suma de la cantidad que vende de cada plaguicida por su precio unitario. Por lo tanto el comerciante obtendrá el ingreso multiplicando D . P:

I=D.P

I = 30 . 20

I=

20 15 30 20 40 10 1 x 4 . 18 40

4 x1

I = 2020

20 .15 40 .18 10 . 40 1 x 1

El orden de la matriz ingreso es 1x1, por lo que el resultado es un escalar. Por lo tanto la venta de plaguicidas le deja una ganancia de $ 2020.

Generalizando:

a 11 a 12

a 13  a 1n

1x n

.

-8-

b 11 b 21 b 31  b n1

es:

nx1

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A . B = (a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 + . . . + a 1n b n1 ) 1 x 1

un escalar.

Dos matrices se pueden multiplicar, si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.

Definición: Sean A = (a i j ) m x p y B = (b i j ) p x n . Entonces el producto de A . B es una matriz C = (c i j ) m x n tal que cada elemento c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + a

A.B=

a 11

a 12

a 21 a i1

a 22 a i2

i3

 a 1p  a 2p 

a ip

b 3 j + . . . + a ip b pj

b 11 b

.

21



a m 1 a m 2  a mp

b p1

 b 1 j  b 1n b 22  b 2 j  b 2 n   

b 12

b p2

bpj

i-ésima fila de A

b pn j-ésima columna de B

c 11

c 12



c 1n

c 21 c 22  c 2 n     c m1 c m 2  c m n

Ejercicio resuelto Dadas las matrices C =

1 0 4 1

y D =

5 3

, determine si se puede realizar el producto de C . D y

en caso afirmativo encuentre su resultado.

Como el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz, ellas pueden multiplicarse.

1 0 4 1

5 3 2x2

( 1).5 0.3 4.5 1.3

2x1

2x1

5 23 2x1

Propiedades del producto de matrices Son válidas siempre que sea posible realizar el producto. El producto de matrices es asociativa: A . ( B . C ) = ( A . B ) . C

-9-

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El elemento neutro del producto es la matriz identidad: A . I = A El producto de matrices es distributivo: A . ( B + C ) = A . B + A . C El producto de matrices no es conmutativo: A . B

B.A

Si puede realizarse A . B, no siempre es posible resolver B . A. Si las matrices son cuadradas se puede realizar A . B y B . A, pero no siempre ambos productos son iguales. . Ejercicio resuelto

Sean

A

1 3 4 5

y

1 3 . 4 5

A .B

2 1 . Pruebe si se cumple la propiedad conmutativa. 3 2

B

2 1 ; 3 2

11 7 23 14

A .B

A.B

2 1 1 3 . ; 3 2 4 5

B. A

2 5

B. A

B.A

1 1

No se cumple la propiedad conmutativa. Vemos que las matrices resultantes son distintas porque a pesar de que son cuadradas no coinciden sus correspondientes elementos. Ejercicio resuelto En una fábrica de pulguicidas para animales se comercializa el producto en frascos de tres tamaños: grande, mediano y chico. El costo de cada frasco es: grande $48; mediano $35 y chico $23. Si se reciben pedidos de tres comercios de acuerdo con la tabla: Comercio/Frascos A B C

Grande 150 100 85

Mediano 80 50 130

Calcule cuánto debe abonar cada comprador por el pedido.

150

80

90

48

100

50

120

35

85

130 100

23 3x3

3x1

A = 150.48 + 80.35 + 90.23

A = 7200 + 2800 + 2070 = 12.070

B = 100.48 + 50.35 + 120.23

B = 4800 + 1750 + 2760 = 9.310

C = 85.48 + 130.35 + 100.23

C = 4080 + 4550 + 2300 = 10.930

- 10 -

Chico 90 120 100

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El comercio A abonará $ 12.070, el B $9.310 y el C $10.930. Ejercicio resuelto

La producción de tabaco Burley en Kg, de 3 establecimientos, con sus respectivos precios para cada clase, se muestran en las tablas. Si P es la matriz de producción y V la matriz de precios de venta. ¿Se puede realizar el producto de P . V? ¿Cuál es el significado de cada elemento de la matriz resultante?

Clase Establ.

1°

2°

3°

A

9000

12000

7000

B

10000

8000

5000

C

17000

6000

15000 Clase

P

9000

12000

7000

10000

8000

5000

17000

6000

15000

1°

1,10

2°

1,00

3°

0,91

1,10 V

1,00 0,91

3x3

P.V

$ por Kg

3x1

9900 12000 6370 11000 8000 4550

P .V

18700 6000 13650

28270 23550 38350

3x1

3x1

Cada elemento de la matriz P . V indica el precio total de venta del tabaco en cada establecimiento. Las matrices constituyen una herramienta muy importante, pero cuando se debe manejar un gran número de datos, se recurre a programas de computación para el almacenamiento, presentación, manipulación y operaciones de dichos datos.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1- Si

A=

1 7

4 2

0 5

1 B= 1 1

2 3

- 11 -

4 7

5 3

4

0

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C=

E=

G=

6

2

3 4

0 1

D=

1 4 2 1

2 1 1

4 0 2

7 7 3

0 5 8

2

4

5

6

1 3

6 7

5 2

1

4

0

F= 1 5

H=

7

0

1

1 9 12 1

1-1) Indique el orden de cada matriz. 1-2) Escriba los elementos de la diagonal principal de las matrices cuadradas. 1-3) Indique los valores de a21, b33, d14, h12, e42, g22, si existen. 1-4) Escriba – A, CT, FT, 3.E. 2- Determine el valor de las letras para que se verifique la igualdad:

a 1

4 b

5 3

1

4 c

4

1 1

=

z

3

x

4 7

y

4

5 6 0

3- Determine los valores de a y b para que el resultado de la operación:

a b

2

2

7 0

+

8 7 a b

sea la matriz identidad.

4- Considerando las matrices del ejercicio 1. 4-1) Indique cuáles se pueden sumar y cuáles multiplicar. 4-2) Calcule: a) G + B

b) D – (1/3) H

c) 2 B + 3 G

d) G . C

e) E . H

f) B – G

5- La tabla muestra la cantidad de nutrientes N 1, N2 y N3 que tiene cada unidad de los fertilizantes X e Y. Fertilizante / Nutriente X Y

N1 3

N2 6

N3 7

1

0

4

Si se emplean 8 unidades del fertilizante X y 5 unidades del fertilizante Y en un jardín. ¿Qué aporte de cada uno de esos nutrientes recibe el sustrato? (Resuelva aplicando matrices). 6- Califique con verdadero o falso. Justifique mencionando la propiedad que aplica. Si A y B son dos matrices cuadradas se verifica que: 6-1) A + B = B + A

6-2) A . B = B . A

- 12 -

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Cátedra Matemática 6-4) (A + B) T = A T + B T

6-3) 2 (A + B) = 2 A + 2 B 7- Escriba una matriz P = (p i j) de orden 4, tal que P T = P. 8- Escriba una matriz Q = (q i j) de orden 2 x 3 tal que q

ij

= i – j.

9- Escriba una matriz simétrica R de 3 x 3, sabiendo que la suma de los elementos, de la diagonal principal, es 7.

10- Si

2 0 6

S=

2 1 4

5 3 , determine la matriz T tal que S + T = O. 0

11- Indique el nombre característico de cada matriz:

4 0 0 11-1)

0 4 0

11-2)

0 0 4

11-3)

11-5)

12-

Si

2 0

0 1

0 0

0

0

4

5 6 8 3

5 8

A=

6 3

y

B=

x

y

w

z

2 0

4 1

5 7

0

0

6

11-4)

1 0 0 0 1 0 0 0 1

11-6)

2 1 1 2

0 7 2 4

0 0 3 5

0 0 0 6

Determine los valores de x, y, w, z para los cuales A + B = I 13-

Dadas las matrices:

1 0 4 5

P=

2 3 1 6

Q=

3 4 7 3

1 1 2 0

¿La igualdad (P + Q) T = P T + Q T, es verdadera o falsa? 14-

Elija la opción que considere correcta, realizando los cálculos correspondientes.

Dada la matriz

a)

c)

A=

1 3 4 1/2

5 1

0

2

1 4

3 1/2

5 1

0 1

0

3

2

4

1 3 5 0

4 1/2 1 1

3

0 1 , 4

A T es:

b)

0 3 2 4

d)

- 13 -

0 3 4 1/2 1 3

2 1 5

0 4 1 3 1/2 3 5 1 2 0 1 4

4 1 0

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0 0 1 15-

Compruebe que si

M

0 0 0

y

N

0 0 7

2

7 3

1

3 0

0

0 0

entonces, M . N es una matriz nula. 16-

Elija la opción que considere correcta, realizando los cálculos correspondientes.

Dada la matriz A =

17-

2 1 2 3

, A2 – 2 A es:

a) – A

b) A – 2 I

c) A (A – 2 I)

d) O

En una fábrica de pulguicidas para animales se comercializa el producto en frascos de tres tamaños: grande, mediano y chico. El costo de cada frasco es: grande $48; mediano $35 y chico $23. Si se reciben pedidos de tres comercios de acuerdo con la tabla: Comercio/Frasco

Grande

Mediano

Chico

A

150

80

90

B

100

50

120

C

85

130

100

Calcule cuánto debe abonar cada comprador por el pedido. 18-

Una veterinaria vende alimento para perros, de 4 marcas: A, B, C y D. Considerando ese orden, la demanda mensual en cada uno de ellos está dado por la matriz

H = (30 40 90 25) y la matriz G =

41 39 22 51

indica la ganancia en pesos, por cada bolsa de

alimento. ¿Cuánto dinero gana la veterinaria por mes por dicha venta? 19-

La matriz Q muestra la cantidad de perros, vacas y caballos presentados en 3 exposiciones A, B y C de la provincia, en los años 2010 y 2011. El dinero recaudado por la venta de los animales en los mismos años, se expresa en la matriz P. A

B

C

34 21 41 Q = 42 51 32 60 54 45

perros vacas

perros vacas caballos

P

caballos

3500 21000 60000 2900 23000 80000

2010 2011

19-1) Encuentre el valor de lo recaudado en la exposición A en los años señalados. 19-2) ¿En qué exposición, del año 2011, la recaudación fue menor? 19-3) ¿Cuál es el valor total de lo recaudado en la exposición B en los 2 años?

- 14 -

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Muchas de las situaciones del mundo real tienen demasiadas variables como para ser modeladas por una sola ecuación. Por ello, los científicos usan muchas ecuaciones, y cada una de ellas contiene varias variables. Estos sistemas de ecuaciones trabajan juntos para describir la situación modelada. Los sistemas de ecuaciones con cientos o hasta miles de variables se usan ampliamente en las industrias de los viajes aéreos y las telecomunicaciones para establecer horarios consistentes y para determinar rutas eficaces para las llamadas telefónicas.

Modelado con sistemas lineales

En las aplicaciones del álgebra a las ciencias y a otros campos, se utilizan con frecuencia ecuaciones lineales que pueden contener muchas variables. Por ahora, consideremos un ejemplo que contiene sólo tres variables: Un médico recomienda que un paciente tome diariamente 50 mg de niacina, 50 mg de riboflavina y 50 mg de tiamina para aliviar la deficiencia de vitaminas. En el botiquín de su casa, el paciente encuentra tres marcas de píldoras de vitaminas. Las cantidades de las vitaminas por píldora se proporcionan en la tabla.

VitaMax

Vitron

Vitaplus

Niacina (mg)

5

10

15

Riboflavina (mg)

15

20

0

Tiamina (mg)

10

10

10

¿Cuántas píldoras de cada tipo debe ingerir a diario para conseguir 50 mg de cada vitamina?

Solución: Sean x, y y z las cantidades de pastillas de VitaMax, Vitron y Vitaplus, respectivamente, que la persona debe tomar todos los días. Esto quiere decir que obtendremos 5x mg de niacina del VitaMax, 10y mg del Vitron y 15z mg del Vitaplus, para tener 5x + 10y + 15z mg de niacina en total. Puesto que lo que se requiere de niacina es 50 mg, entonces obtenemos la primera ecuación: 5x + 10y + 15z = 50.

Mediante un razonamiento similar para la riboflavina y para la tiamina obtenemos el sistema siguiente:

5x

10 y

15 z

50 50

15 x

20 y

0z

10 x

10 y

10 z

- 15 -

50

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

Es posible resolver este sistema mediante la eliminación de Gauss o de Gauss-Jordan, que veremos más adelante. El resultado es el siguiente: x = 2 , y = 1 , z = 2. La persona debe consumir todos los días 2 pastillas de VitaMax, 1 pastilla de Vitron y 2 pastillas de Vitaplus. En general Si el sistema está formado por m ecuaciones con n variables (incógnitas) tendría la siguiente forma:

a 11 x 1 a 12 x 2 ... a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 ... a 2n x n b 2     a m1 x 1 a m2 x 2 ... a mn x n b m

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

Estos sistemas pueden tener: una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. En particular, una ecuación lineal con tres variables tiene como gráfica un plano en el sistema de coordenadas tridimensional. Si se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres variables, surgen las siguientes situaciones:

Los tres planos se cortan en

Los tres planos se cortan en

Los tres planos carecen de un

un solo punto

más de un punto

punto en común

El sistema tiene solución única

El sistema tiene infinitas

El sistema no tiene solución

soluciones

Así, en el sistema del ejemplo anterior:

5x 15 x 10 x

10 y

15 z

50

0z

50

10 z

50

20 y 10 y

cuya solución única es x = 2 , y = 1 , z = 2, la representación gráfica nos muestra a los tres planos que se intersectan en el punto de coordenadas (2, 1, 2):

- 16 -

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

Resolución de un sistema triangular usando sustitución

Resolver un sistema consiste en realizar operaciones entre las ecuaciones para obtener sistemas equivalentes al dado, es decir, que tienen las mismas soluciones. Hay varios métodos para obtener la solución de un sistema. Uno de los más fáciles de aplicar es el método de sustitución cuando el sistema es, por ejemplo, de la forma:

x

2y y

3 z 40 z 14 z 10

ya que reemplazando z en la segunda ecuación se encuentra el valor de y, y reemplazando estos dos valores en la primera ecuación se encuentra x. Se dice que este sistema presenta forma escalonada porque está expresado de tal modo que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

En este libro se desarrollarán dos métodos para resolver sistemas: Eliminación de Gauss y Eliminación de Gauss-Jordan. Para aplicar estos métodos se debe expresar el sistema de ecuaciones en forma de matriz. A modo de ejemplo, consideraremos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

a 11 x 1 a 12 x 2 a 21 x 1 a 22 x 2

a 13 x 3 a 23 x 3

b1 b2

a 31 x 1 a 32 x 2

a 33 x 3

b3

(1)

Los coeficientes de las ecuaciones se expresarán como elementos de una matriz denominada matriz de coeficientes:

- 17 -

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Si a esta matriz le agregamos la columna de los términos independientes, se obtiene la matriz ampliada:

a 11 a 12 a 21 a 22

a 13 a 23

b1 b2

a 31 a 32

a 33

b3

Esta matriz representa al sistema lineal (1). Realizando operaciones con esta matriz podemos darle una forma adecuada para llegar a obtener fácilmente la solución. Operaciones elementales con renglones (o filas)

Las operaciones que se utilizan para resolver sistemas lineales corresponden a operaciones en los renglones (o filas) de la matriz ampliada del sistema y son: 1) Multiplicar o dividir un renglón por un número diferente de cero. 2) Sumar a un renglón el resultado de la operación 1). 3) Intercambiar dos renglones. Con estas operaciones se llega a obtener, partiendo de una matriz ampliada, una matriz escalonada o una matriz escalonada reducida por renglones (o filas). Una matriz escalonada tiene la forma:

1

2 5

4

0

5 6

1

0

0 2

3

Una matriz escalonada reducida tiene la forma:

1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 1

Se utiliza la siguiente notación para describir las operaciones que se realizan con los renglones:

- 18 -

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

Símbolo

Significado

k Ri

Multiplicar el i-ésimo renglón por k

Ri

Intercambiar los renglones i-ésimo y j-ésimo

Rj

Ri + k Rj

Cambiar el i-ésimo renglón por la suma de él

Ri

más k veces el j-ésimo renglón

Ejercicio resuelto

Resuelve el siguiente sistema:

x

2y x

2z

2y x

2

z

3

3y

1

1 2 2 2

su matriz ampliada es

1 2 1 3 1 3 0 1

Al proceso por el cual se eliminan algunos términos se suele llamar “hacer ceros”. Para conseguir hacer ceros se realizan las operaciones con renglones. Como el elemento a11 = 1, se puede lograr ceros con mucha facilidad en el resto de la columna:

1 2 2 2

(– 1) R2 + R3

1 2 1 3

R3 + R1

R2 R3

1 3 0 1

1 2

2

2

2 1

1

2

0 5

2

3

Se cambia el renglón 2 por la suma de él multiplicado por (– 1) más el renglón 3. Se cambia el renglón 3 por la suma de él más el renglón 1.

1 2

2

2

2 1

1

2

0 5

2

3

1 2 2 2

R2 + 2 R1

R2

0 5 3 2 0 5 2 3

Se cambia el renglón 2 por la suma de él más 2 por el renglón 1. 1 2 2 2 0 5 3 2

R3 + (– 1) R2

R3

0 5 2 3

1 2

2 2

0 5

3 2

0 0

1 1

Se cambia el renglón 3 por la suma de él más el renglón 2 multiplicado por (– 1). 1 2 0 5 0 0

2 2 3 2 1 1

R2 + 3 R3 1 5

R2

R2

R2

1 2

2 2

0 1

0 1

0 0

1 1

Se cambia el renglón 2 por la suma de él más el renglón 3 multiplicado por 3.

- 19 -

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

Se cambia el renglón 2 por él multiplicado por

1

.

5 1 2

2 2

0 1 0 0

R1 + 2 R3

R1

1 2

0 4

0 1

0 1

0 1

1 1

0 0

1 1

Se cambia el renglón 1 por la suma de él más el renglón 3 multiplicado por 2.

1 2

0 4

R1 + (– 2) R2

0 1

0 1

(– 1) R3

0 0

1 1

R1

R3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 1 1

Se cambia el renglón 1 por la suma de él más el renglón 2 multiplicado por (– 2). Se cambia el renglón 3 por él multiplicado por (– 1).

Queda el sistema:

x

2

y

1

z

1

Este sistema tiene solución única.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

Consiste en reducir la matriz ampliada a la forma escalonada, escribir el nuevo sistema de ecuaciones y resolver por sustitución.

Ejercicios resueltos

Resuelve los siguientes sistemas y clasifícalos según la solución: 1) x

2y x

3x

2y

3z

40

z

16

2z

34

y

Para resolver este sistema se escribe la matriz ampliada del sistema:

1 2 3 40 1 1 1 16 3 2 2 34

Se reduce la matriz a la forma escalonada:

- 20 -

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

R3 + (– 3) R2

1 2 3 40

R3

1

2

3

40

1 1 1 16

1

1

1

16

3 2 2 34

0

1

1

14

R2 + (– 1) R1

R2

1

2

3

40

1

2

3

40

1

1

1

16

0

1

2

24

0

1

1

14

0

1

1

14

1

2

3

40

(– 1) R2

R2

0

1

2

24

(– 1) R3

R3

0

1

1

14

R3 + (– 1) R2

1 2 3 40 0 1 2 24 0 1 1 14

R3

1 2

3

40

R2 + R3

R2

0 1

2

24

(– 1) R3

R3

0 0

1

10

x

Se obtiene el sistema equivalente:

1 2 3 40 0 1 2 24 0 1 1 14

1 2

3

40

0 1

2

24

0 0

1

10

1 2 3 40 0 1 1 14 0 0 1 10

2y y

3z

40

z

14

z

10

resolviendo por el método de sustitución se obtienen los valores de x e y. y + 10 = 14

y=4

x + 2.4 + 3.10 = 40

x=2

por lo tanto el sistema tiene solución única; es decir, los tres planos se intersectan en un punto:

- 21 -

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

2) x 4y 2z 2x y 5z 8 x 5 y 11z

3 12 30

Para resolver este sistema se escribe la matriz ampliada del sistema:

1

4

2

3

2

1

5

12

8

5

11

30

Se reduce la matriz a la forma escalonada:

1

4

2

3

R2 + (– 2) R1

R2

1

4

2

3

2

1

5

12

0

9

9

18

8

5

11

30

8

5

11

30

1

4

2

3

0

9

9

18

8

5

11

30

1

4

2

3

0

1

1

8

5

11

1 9

R2

R2

R3 + (– 8) R1

R3

1

4

2

3

0

1

1

2

8

5

11

30

1

4

2

3

2

0

1

1

2

30

0

27

27

54

1

4

2

3

0

1

1

2

0

27

27

54

1

4

2

3

0

1

1

0

1

1

1

1

4

2

3

0

1

1

2

0

1

1

2

1

4

2

3

2

0

1

1

2

2

0

0

0

0

27

R3

R3

R3 + (– 1) R2

x

R3

4y

Se obtiene el sistema equivalente:

2z y

0x

0y

3

z

2

0z

0

la última ecuación se verifica para cualquier valor de x, de y, y de z por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones; es decir, los tres planos se intersectan en una recta (infinitos puntos):

- 22 -

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

3) x

y

3z

3

4x

8y

32 z

24

2x

3y

11z

4

Para resolver este sistema se escribe la matriz ampliada del sistema:

1

1

4

8 32 24

3

3

2

3 11

4

Se reduce la matriz a la forma escalonada:

R2 + (– 4) R1

R2

R3 + (– 2) R1

R3

1 4 2

1 3 3 8 32 24 3 11 4

1 0 0

1 3 4 20 1 5

1

1

3

3

0

1

5

3

0

1

5

2

0

3 12 2

(–

1 4

) R2

R3 + R2

R2

R3

x

Se obtiene el sistema equivalente: 0x

1 0 0

1 3 4 20 1 5

3 12 2

1

1

3

3

0

1

5

3

0

1

5

2

1

1

3

3

0

1

5

3

0

0

5

y

3z

y

5z

3 3

0y

0z

5

la última ecuación no se verifica para ningún valor de x, de y, y de z por lo tanto el sistema no tiene solución; es decir, los tres planos carecen de un punto en común:

- 23 -

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN

Consiste en reducir la matriz ampliada a la forma escalonada reducida; de esta manera no se necesita sustituir para resolver el sistema. Ejercicios resueltos

Resuelve los siguientes sistemas y clasifícalos según la solución: 1) x

2x

y

z x 3z 5y 3z

1 18 52

Para resolver este sistema se escribe la matriz ampliada del sistema:

1

1

1

1

1

0

3

18

2

5

3

52

Se reduce por renglones la matriz a la forma escalonada reducida:

1

1

1

1

1

0

3

18

R2 + R1 2. R1 + R3

2

5

3

52

1

1

1

1

0

1

2

19

0

3

5

50

R3 + 3 R2

R2 R3

R3

1

1

1

1

0

1

2

19

0

3

5

50

1 2 1

1 19 7

1 1 0 1 0 0

- 24 -

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

1 1 0 1 0 0

1 2 1

1 19 7

1 1 0 1 0 0

1 0 1

1 5 7

1 0 0

R2 – 2 R3

1 1 0 1 0 0

R2

1 0

5

0

0 1

7

1 5 7

1 0 0

R1 – R2 + R3

R1

3

0

1 0 1

(– 1) R1

R1

x y z

Se obtiene el sistema equivalente:

3

0

1 0

5

0

0 1

7

1 0 0

3

0 1 0

5

0 0 1

7

3 5 7

esto significa que el sistema tiene como única solución x = 3, y = – 5, z = – 7.

2) 2x

4y

4x 2x

6z

18

6z

24

12 z

30

5y 7y

Se escribe la matriz ampliada del sistema y se reduce por renglones la matriz a la forma escalonada reducida:

2 4

6 18

1

4 5

6 24

2

R1

R1

2 7 12 30 1 2

3

9

4 5

6

1 2

3

9

4 5

6

24

2 7 12 30

R2 + (– 4) R1

R2

1

2

3

9

24

0

3

6

12

2 7 12 30

2

7

12

30

1

2

3

9

R3 + (– 2) R1

R3

1

2

3

9

0

3

6

12

0

3

6

12

2

7

12

30

0

3

6

12

1

2

3

9

1

2

3

9

0

3

6

12

0

3

6

12

0

3

6

12

0

0

0

0

R3 + R2

R3

- 25 -

Serie Didáctica

Cátedra Matemática

1

2

3

9

1

0

3

6

12

3

0

0

0

0

R2

1 2 3 9

R2

0 1 2 4 0 0 0 0

R1 – 2 R2

1 2 3 9

R1

1 0

1 1

0 1 2 4

0 1

2 4

0 0 0 0

0 0

0 0

x

Se obtiene el sistema equivalente:

y

z 2z

1 4

como son dos ecuaciones con tres incógnitas el sistema tiene infinitas soluciones.

3) 2 x 4 y 6 z 18 4 x 5 y 6 z 24 2 x 7 y 12 z 40

2 4

6

18

4 5 6 24 2 7 12 40

Se escribe la matriz ampliada del sistema y se reduce por renglones la matriz a la forma escalonada reducida:

18

1

4 5 6 24 2 7 12 40

2

2 4

6

R1

R2 + (– 4) R1

1 2 3 9 4 5 6 24 2 7 12 40

1 2 3 9 4 5 6 24 2 7 12 40

R1

R2

R3 + (– 2) R1

R3

1

2

3

9

0

3

6

12

2

7

12

40

1

2

3

9

1

2

3

9

0

3

6

12

0

3

6

12

2

7

12

40

0

3

6

22

1

2

3

9

0

3

6

12

0

3

6

22

1 0 0

2 3 0

3 6 0

9 12 10

1 0 0

2 3 0

3 6 0

9 12 10

1 2 3 9 0 1 2 4 0 0 0 10

R3 + R2

1 3

R2

R1 + (– 2) R2

R3

1 2 3 9 0 1 2 4 0 0 0 10

R2

R1

1 0 0 1 0 0

- 26 -

1 1 2 4 0 10

Serie Didáctica

1 0 0 1 0 0

Cátedra Matemática

1

1 1 2 4 0 10

10

R3

R3

1 0

1 1

0 1

2 4

0 0

0 1

El sistema equivalente obtenido es: x 0x

z

1

y

2z

4

0y

0z

1

Se observa que la última ecuación carece de solución pues para ningún valor de x, y y z se verificará, esto significa que el sistema no tiene solución.

EJERCICIOS PROPUESTOS Método de Eliminación de Gauss 1-a) Resuelve utilizando el método de Gauss b) Clasifica el sistema

x 1 1)

3x 2x

1 3)

1 5)

y

z

2

2y

z

7

2z

3

3y

3y

2x

z 1

3x

2z

8

5y

3z 1

x

2y

x

z

y

6

3y

z

5

2x

3x

5

2 (z

2 y)

1 2)

3x

y

z

3

2x

y

z

2

5z

5

x

y 2a

3

a

3c

3b

c

1 4)

b

3a

2b 1 2 (1 2 a)

a b c d 2 2a b d 5 1 6) 3a c d 1 2 (a b c) 3 d

Método de Eliminación de Gauss-Jordan 1-a) Resuelva utilizando el método de Gauss- Jordan b) Clasifica el sistema

1

2 1 1)

2

4

2x

1

x x

y

2

4 1 4

y

1 2) x 3x

3

- 27 -

3y 6y 3y

z

2

3z

2

2z

2

Serie Didáctica

1 3)

a

b

c

9a

5 (5 a

2x 1 5)

Cátedra Matemática

3x 4z

c

b)

y 3 3y

2x

4 9 3b 18

3z

1 4)

c

4

z x

2y

1 6)

1

4y z 0 2 x z 2 3 4( y z) 6

5a 3b c 2d 1 2a 3c d 2 b 3 a 2 c 2 b 3 (1 d) 2 a 5 (b d) c 4

Problemas de Aplicación Plantea el sistema de ecuaciones y resuelve utilizando el método de Gauss ó el método de GaussJordan: 1- Una persona compra una mezcla de abono para su jardín de 3.25 kg por un precio de 225 pesos. Si el kg de ácido fosfórico cuesta 80 pesos y el kg de salitre potásico 60 pesos, ¿cuánto lleva de cada tipo la mezcla? 2- Un supermercado mayorista ha puesto en promoción tres lotes de artículos de librería. El lote L 1 incluye: 12 resmas de papel, 16 carpetas y 8 cajas de lápices de colores, el lote L 2 contiene 20 resmas de papel, 12 carpetas y 28 cajas de lápices de colores, mientras que el lote L 3 contiene 32, 28 y 36 respectivamente. Una librería minorista desea aprovechar la oferta para comprar 220 resmas de papel, 264 carpetas y 176 cajas de lápices de colores. Determine todas las combinaciones posibles de unidades de los lotes L 1, L2 y L3 que satisfagan los requerimientos de la librería. 3- Para preparar tres tipos de fertilizantes se deben combinar tres compuestos. Una unidad del fertilizante del tipo A requiere 10 kg del compuesto C1, 30 kg del compuesto C2 y 60 kg del compuesto C3. Una unidad del fertilizante del tipo B requiere 20 kg del compuesto C 1, 30 kg del compuesto C2, y 50 kg del compuesto C3. Una unidad del fertilizante del tipo C requiere 50 kg del compuesto C1 y 50 kg del compuesto C3. Si hay disponibles 1600 kg del C1, 1200 kg del C2 y 3200 del C3. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible? 4- Un granjero incluye en la dieta de sus animales tres tipos de vitaminas V1, V2 y V3. Pagó en el primer mes un total de 70000 pesos por 20 bolsas de vitamina V 1, 40 bolsas de vitamina V2 y 50 bolsas de vitamina V3. Al mes siguiente compró 30 bolsas de vitamina V 1, 20 de vitamina V2 y 50 bolsas de vitamina V3 por un total de 66250 pesos. El tercer mes compró 40 bolsas de vitamina V 1, 10 de vitamina V2 y 70 de vitamina V3 con un costo de 82500 pesos. ¿Si el precio por bolsa no ha variado en los tres meses que precio tiene cada bolsa de vitamina?

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Serie Didáctica

Cátedra Matemática

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación lineal con dos variables es una expresión de la forma: ax+by>c

(1)

ax+by≥c

(3)

ax+by ó