Mecánica y Ondas II (curso 2015-2016) Prof. Juan Carlos Cuevas (Departamento de Física Teórica de la Materia Condensada)

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

´Indice

Lista de Figuras

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1.

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La Teor´ıa de la Relatividad 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18

1.19 1.20

Relatividad newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los postulados de la relatividad . . . . . . . . . . . . . . Las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . Dilataci´ on del tiempo y contracci´on de la longitud . . . El efecto Doppler relativista . . . . . . . . . . . . . . . . Transformaci´ on de las velocidades y aceleraciones . . . . Paradojas relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuadrivectores y espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . Diagramas de Minkowski y causalidad . . . . . . . . . . Tiempo propio y cuadrivelocidad . . . . . . . . . . . . . Momento lineal relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . Energ´ıa relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuadrivector energ´ıa-momento . . . . . . . . . . . . . . Algunas consecuencias de los principios de conservaci´on Colisiones relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El concepto de fuerza en mec´anica relativista . . . . . . Formulaci´ on lagrangiana de la relatividad especial . . . Introducci´ on a la relatividad general . . . . . . . . . . . 1.18.1 El principio de equivalencia . . . . . . . . . . . . 1.18.2 Desviaci´ on de la luz por un campo gravitatorio . 1.18.3 Lentes gravitatorias . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18.4 El corrimiento al rojo gravitacional . . . . . . . 1.18.5 Agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18.6 Ondas gravitatorias . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios del Cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

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1 3 5 9 12 16 19 20 24 28 29 32 36 37 42 45 50 52 52 53 55 56 59 60 60 62

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Ap´endice A

El experimento de Michelson y Morley

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Ap´endice B

Relatividad y electromagnetismo

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B.1 B.2 B.3

Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Electrodin´ amica y relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Lista de Figuras

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30

Sistemas de referencia inerciales movi´endose a velocidad constante el uno con respecto al otro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo de las consecuencias de los postulados de la relatividad especial. Relatividad de la simultaneidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformaciones de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dilataci´ on del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dacaimiento de los muones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El efecto Doppler relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La ley de Hubble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La paradoja de los gemelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paradoja de la p´ertiga y el pajar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas de Minkowski I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas de Minkowski II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas de Minkowski III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas de Minkowski IV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Colisi´ on cl´ asica entre dos part´ıculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Colisi´ on relativista entre dos part´ıculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Creaci´ on de un par electr´ on-positr´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El efecto Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 1.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El principio de equivalencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La desviaci´ on de la luz por un campo gravitatorio. . . . . . . . . . . . . Desviaci´ on de la luz por acci´on del Sol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci´ on esquem´ atica de una lente gravitatoria. . . . . . . . . . . Lentes gravitatorias detectadas por el telescopio Hubble. . . . . . . . . . Origen del corrimiento al rojo gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci´ on esquem´ atica del corrimiento al rojo gravitacional. . . . . Agujero negro detectado por el telescopio Hubble. . . . . . . . . . . . . Periodo de revoluci´ on del sistema binario PSR 1913+16. . . . . . . . . . Problema 1.26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 4 5 5 9 12 13 15 17 19 20 25 26 27 28 29 31 38 40 48 53 54 55 55 56 57 58 59 60 65

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1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38

Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema

1.37. 1.46. 1.48. 1.38. 1.58. 1.71. 1.71. 1.84.

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

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68 70 71 71 73 76 77 79

A.1 Interfer´ ometro de Michelson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Interfer´ ometro de Michelson con viento de ´eter. . . . . . . . . . . . . . .

88 89

Cap´ıtulo 1

La Teor´ıa de la Relatividad

En este cap´ıtulo analizaremos en gran detalle la teor´ıa de la relatividad de Albert Einstein. En particular, nos centraremos en la llamada relatividad especial y haremos una peque˜ na incursi´ on en la relatividad general o teor´ıa relativista de la gravitaci´ on. A menudo repasaremos primero conceptos y fen´omenos ya descritos en la asignatura de Fundamentos de F´ısica III para a continuaci´on profundizar en ellos con una formulaci´ on m´ as avanzada desde el punto de vista matem´atico. Adem´as haremos hincapi´e en diversos aspectos de la teor´ıa que no se abordaron en detalle en el curso anterior como la interpretaci´on geom´etrica de la relatividad especial y su formulaci´ on en t´erminos de cuadrivectores, el concepto de fuerza en relatividad especial, la conexi´ on entre relatividad especial y el electromagnetismo y la formulaci´on lagrangiana de la relatividad especial. 1.1

Relatividad newtoniana

Para entender la novedad del concepto de relatividad desarrollado por Albert Einstein es bueno empezar repasando su significado en la mec´anica cl´asica de Newton. Dicha mec´ anica se resume en las conocidas leyes de Netwon. Recordemos en particular la segunda de ellas: d~v F~ = m = m~a, dt

(1.1)

donde d~v /dt = ~a es la aceleraci´on de la masa m cuando sobre ella se ejerce una fuerza total F~ . La ec. (1.1) contiene a su vez a la primera ley de Newton, o ley de inercia. Esta ley nos dice que en ausencia de fuerzas, la masa m se mueve con velocidad constante (tanto en m´odulo como en direcci´on). Como todos sabemos, las leyes de Newton no son v´alidas en todos los sistemas de referencia. Tan s´ olo lo son en los sistemas de referencia inerciales, es decir, en aquellos en los que se cumple la ley de inercia. Las leyes de Newton tambi´en tienen la propiedad de permanecer invariantes, es decir, no cambian, en cualquier sistema de referencia que se mueva con una velocidad constante con respecto a un sistema inercial. De este modo, todos los sistemas de referencia son equivalentes. 1

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Consideremos dos sistemas inerciales (ver Fig. 1.1) que se mueven el uno con respecto del otro con una velocidad ~v en la direcci´on x y cuyos or´ıgenes coinciden en el instante t = 0.

y

y’ v x

x’

S z

S’ z’

Fig. 1.1 Dos sistemas de referencia inerciales S and S 0 movi´ endose con velocidad relativa constante. En concreto, S 0 se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x con respecto a S.

La transformaci´ on de coordenas de S a S 0 es lo que se conoce con el nombre de transformaci´ on de Galileo: x0 = x − vt

y0 = y

z 0 = z.

(1.2)

N´ otese que no necesitamos considerar c´omo se transforma el tiempo t ya que es considerado como absoluto en la mec´anica de Newton, es decir, no cambia de un sistema de referencia a otro. La correspondiente transformaci´on de las velocidades, conocida como ley de adici´ on de velocidades, se obtiene derivando las expresiones anteriores con respecto al tiempo: u0x = ux − v

u0y = uy

u0z = uz .

(1.3)

Derivando la ec. (1.3) tenemos la relaci´on entre las correspondientes aceleraciones: ~a0 = ~a,

(1.4)

ya que dv/dt = 0. De este modo, F~ 0 = m~a0 = m~a = F~ . Esta es la invarianza a la que hac´ıamos referencia anteriormente. Generalizando este resultado: “Cualquier sistema de referencia que se mueva con velocidad constante con respecto a un sistema de referencia inercial tambi´ en es un sistema inercial. Por tanto, las leyes de Netwon son invariantes ante las transformaciones de Galileo”.

Como es bien sabido, la velocidad de una onda (con respecto al medio en el que se propaga) depende de las propiedades del medio en el que se propaga y no de la velocidad del foco emisor de ondas. Por ejemplo, la velocidad del sonido respecto al aire en reposo depende de la temperatura del aire. La luz y otras ondas electromagn´eticas (ondas de radio, rayos X, etc.) se propagan a trav´es del vac´ıo con una velocidad c ≈ 3 × 108 m/s, predicha por las ecuaciones de Maxwell. Pero, ¿respecto a qu´e se refiere esta velocidad? ¿Cu´al es el equivalente del aire en reposo

La Teor´ıa de la Relatividad

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para las ondas electromagn´eticas? El medio que se propuso para la propagaci´on de la luz se llam´ o ´eter y se supuso que el ´eter estaba extendido por todo el espacio. Se supuso que la velocidad de la luz relativa al ´eter era la velocidad predicha (c) por las ecuaciones de Maxwell. La velocidad de cualquier objeto relativa al ´eter se consider´ o como velocidad absoluta. Albert Michelson y Edward Morley (1887) decidieron medir la velocidad de la Tierra con respecto al ´eter mediante un ingenioso experimento en el cual la velocidad de la luz respecto a la Tierra se comparaba en dos haces luminosos, uno en la direcci´ on del movimiento de la Tierra relativo al Sol y otro perpendicular a la direcci´ on del movimiento terrestre. Los experimentos no mostraron ninguna diferencia, poniendo de manifiesto que el movimiento de la Tierra respecto al ´eter no puede ser detectado. Los detalles de este experimento se describen en el ap´endice A.

1.2

Los postulados de la relatividad

En 1905 Albert Einstein public´o un art´ıculo con el extra˜ no t´ıtulo “Sobre la electrodin´ amica de los cuerpos en movimiento” en el present´o las bases de su teor´ıa de la relatividad especial. En este art´ıculo postulaba que el movimiento absoluto no podr´ıa medirse mediante ning´ un experimento. Es decir, el ´eter no exist´ıa. Su teor´ıa estaba basada en los siguientes dos postulados: Postulado 1. Las leyes de la f´ısica son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. Postulado 2. La velocidad de la luz es independiente del movimiento de la fuente. Es decir, todo observador mide el mismo valor c para la velocidad de la luz. El postulado 1 es una extensi´on del principio de relatividad newtoniano para incluir todos los fen´ omenos f´ısicos (y no s´olo aquellos relacionados con la mec´anica). Este postulado implica que ning´ un sistema de referencia es diferente de otro y, por tanto, el movimiento absoluto no puede detectarse. El postulado 2 describe la constancia de la velocidad en el vac´ıo, es decir, su independencia del estado de movimiento de la fuente luminosa, que corresponde a la predicci´on de las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. Es obvio que algunas de las implicaciones de estos postulados contradicen nuestro sentido com´ un. Veamos un ejemplo. Consideremos un foco luminoso S y dos observadores, R1 en reposo relativo a S y R2 movi´endose hacia S con velocidad v (ver Fig. 1.2). La velocidad de la luz en R1 es c = 3 × 108 m/s. ¿Cu´al es la velocidad para R2 ? La repuesta no es c + v, como esperar´ıamos en mec´anica newtoniana. Seg´ un el segundo postulado, ambos han de medir la misma velocidad. Este ejemplo demuestra que, en particular, la ley de adici´on de velocidades de la mec´ anica newtoniana no es compatible con los postulados de Einstein.

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

(a)

Autor: Juan Carlos Cuevas.

(b)

Fig. 1.2 (a) Foco luminoso en reposo S y observador en reposo R1 , con un segundo observador R2 movi´ endose hacia el foco con velocidad v. (b) En el sistema de referencia en el que est´ a en reposo el observador R2 , el foco luminoso S y el observador R1 se mueven hacia la derecha con velocidad v. Si no puede detectarse el movimiento absoluto, los dos puntos de vista son equivalentes. Como la velocidad de la luz no depende del movimiento de la fuente, el observador R2 mide el mismo valor para dicha velocidad que el observador R1 .

Relatividad de la simultaneidad Los postulados de la relatividad nos conducen a una serie de predicciones acerca de las medidas hechas por observadores en sistemas de referencia inerciales que nos van a parecer parad´ ojicas. La mayor parte de estas paradojas se resuelven comprendiendo la relatividad de la simultaneidad, que se expresa como “Dos sucesos (o eventos) separados espacialmente que aparecen como simult´ aneos en un sistema de referencia no son, en general, simult´ aneos en otro sistema de referencia inercial que se mueve con respecto al primero”.

Un corolario de este hecho es: “Relojes sincronizados en un sistema de referencia, no lo est´ an, en general, en otro sistema inercial que se mueva con respecto al primero”.

Esto significa que seg´ un la relatividad especial, el tiempo no es absoluto, sino que depende del observador, lo cual parece contradecir nuestro sentido com´ un. Vamos a demostrar esta conclusi´ on sorprendente haciendo uso de un ejemplo propuesto por el propio Einstein. Supongamos que un tren se est´a moviendo con velocidad v con respecto al and´en de una estaci´on (ver Fig. 1.3(a)). Tenemos observadores colocados en A0 , B 0 y C 0 en las partes delantera, trasera y en el medio del tren. Consideraremos que el tren est´ a en reposo en el sistema de referencia S 0 y el and´en en S. Ahora suponemos que el tren y el and´en son sacudidos o golpeados por dos rayos en las partes delantera y trasera del tren. Suponemos que estos dos sucesos son simult´ aneos en S. De este modo, un observador colocado en C a mitad de camino de los puntos A y B (donde golpean los rayos) observa los dos flashes al mismo tiempo. Como C 0 est´ a en el medio del tren, estos dos sucesos son simult´aneos olo si el reloj en C 0 mide los flashes al mismo tiempo. Sin embargo, el reloj en S 0 s´ en C 0 mide el flash de la parte delantera antes que el flash trasero. En el sistema S, cuando la luz del flash delantero alcanza C 0 , el tren se ha movido una distancia hacia A, de manera que el flash trasero a´ un no ha alcanzado C 0 (ver Fig. 1.3(b)). De 0 este modo, el observador en C concluye que estos dos sucesos no son simult´aneos.

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Fig. 1.3 Dos rayos golpean las partes delantera y trasera del tren (S 0 ) cuando ´ este se mueve con respecto al and´ en (S) con una velocidad v. (a) Los golpes son simult´ aneos en S, alcanzando al observador en C, situado a medio camino entre los eventos, al mismo tiempo de acuerdo con su reloj, como se muestra en (c). En S 0 el flash de la parte delantera es medido por el reloj en C 0 , situado en el medio del tren, antes que el de la parte trasera del tren (b y c). De este modo, el observador en C 0 concluye que los golpes no fueron simult´ aneos.

N´ otese que en esta discusi´ on hemos usado la definici´on operativa de simultaneidad siguiente: dos sucesos son simult´aneos en un sistema de referencia si las se˜ nales de luz de los eventos alcanzan un observador a mitad de camino entre ellos al mismo tiempo, tal y como mide un reloj en esa posici´on (reloj local). 1.3

Las transformaciones de Lorentz

Vamos a abordar ahora una consecuencia importante de los postulados de la relatividad como es la relaci´ on entre las coordenadas espacio-temporales entre los dos sistemas de referencia inerciales que se mueven con una velocidad constante el uno con respecto al otro. Por simplicidad consideraremos el caso en el que esa velocidad est´ a dirigida a lo largo del eje x y los sistemas de coordenadas coinciden en el instante t = t0 = 0 (ver Fig. 1.4).

Fig. 1.4 Sistemas de referencia S y S 0 movi´ endose con velocidad relativa v. En ambos sistemas existen observadores con reglas y relojes que son id´ enticos cuando se comparan en reposo.

Recordemos que en la f´ısica newtoniana, la relaci´on entre las coordenadas viene dada por la transformaci´ on de Galileo: x0 = x − vt; y 0 = y; z 0 = z; t0 = t

(1.5)

x = x0 + vt; y = y 0 ; z = z 0 ; t = t0 .

(1.6)

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

Como ya ha quedado claro anteriormente, estas transformaciones no son compatibles con los postulados de la relatividad especial. Las correspondientes transformaciones en relatividad especial se conocen con el nombre de transformaciones de Lorentz y pasamos ahora a derivarlas. Supongamos que la ecuaci´ on para x0 es de la forma x0 = γ(x − vt),

(1.7)

donde γ es una constante que puede depender de v y c, pero no de las coordenadas. Como esta ecuaci´ on se debe reducir a la relaci´on cl´asica cuando v  c, esto implica que γ → 1 cuando v/c → 0. La transformaci´on inversa ha de tener la siguiente forma x = γ(x0 + vt0 ). 0

(1.8)

0

Est´ a claro que en nuestro ejemplo y = y y z = z, ya que no hay movimiento en esas dos direcciones. Sin embargo, t0 6= t (¿sabr´ıas decir por qu´e?). Supongamos ahora que un rayo de luz parte del origen de S en t = 0. Ya que t = t0 = 0, el rayo tambi´en estar´a en el origen de S 0 en t0 = 0. El rayo se expande desde el origen como una onda esf´erica. La ecuaci´on para el frente de onda para el observador en S ser´ a x2 + y 2 + z 2 = c2 t2

(1.9)

(x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 = c2 (t0 )2 ,

(1.10)

y para el observador en S 0 ser´ a

donde ambas ecuaciones son consistentes con el segundo postulado de la relatividad. Para satisfacer el primer postulado, la transformaci´on que estamos buscando ha de convertir la ec. (1.9) en la ec. (1.10) y viceversa. Recordemos que   (1 − γ 2 ) x , (1.11) x0 = γ(x − vt); t0 = γ t + γ2 v donde la segunda relaci´ on se obtiene substituyendo la ec. (1.7) en la ec. (1.8) y despejando t0 . Consideremos ahora la ec. (1.10):  2 (1 − γ 2 ) x 2 2 2 2 2 2 γ (x − vt) + y + z = c γ t + . (1.12) γ2 v Es f´ acil convencerse de que para recuperar la ec. (1.9) ha de satisfacerse: γ=q

1 1−

(1.13) v2 c2

Por tanto, las transformaciones de Lorentz adoptan la siguiente forma definitiva:  vx  x0 = γ(x − vt); y 0 = y; z 0 = z; t0 = γ t − 2 (1.14) c

La Teor´ıa de la Relatividad

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y la transformaci´ on inversa  vx0 x = γ(x + vt ); y = y ; z = z ; t = γ t + 2 (1.15) c p A menudo usaremos la notaci´on: β ≡ v/c, con lo cual γ = 1/ 1 − β 2 . Ejemplo 1.1: La llegada de dos muones (µ) procedentes de rayos c´osmicos se detecta en el laboratorio, uno en el instante ta y posici´on xa y el otro en (tb , xb ). ¿Cu´ al es el intervalo de tiempo entre esos dos sucesos en un sistema S 0 que se mueve con velocidad v con respecto al sistema del laboratorio? 0

Soluci´ on. se obtiene

0

0

0



0

Usando la ecuaci´ on para la transformaci´on temporal en la ec. (1.14),

  vxa  γv vxb  t0b − t0a = γ tb − 2 − γ ta − 2 = γ(tb − ta ) − 2 (xb − xa ). c c c De este modo, vemos que el intervalo de tiempo medido en S 0 depende no s´olo del correspondiente intervalo temporal en S, sino tambi´en de la separaci´on de los relojes en S. Esto es simplemente una manifestaci´on del hecho de que los relojes no est´ an sincronizados. • Caso 1 : Si xa = xb , entonces tb −ta se llama intervalo de tiempo propio. En este caso: t0b −t0a = γ(tb −ta ) > (tb −ta ). Es decir, el intervalo de tiempo propio es el intervalo de tiempo m´ınimo que puede medirse entre dos eventos (o sucesos). • Caso 2 : ¿Es posible que estos dos sucesos ocurran de manera simult´anea en un sistema de referencia inercial? La respuesta es s´ı:   γv v tb − ta t0b − t0a = 0 ⇒ γ(tb − ta ) = 2 (xb − xa ) ⇒ β = = c. c c xb − xa  Las transformaciones de Lorentz definen una transformaci´on lineal entre las coordenadas espaciales y temporales en los sistemas de referencia S y S 0 . Dicha transformaci´ on se puede expresar de una forma m´as compacta haciendo uso del algebra matricial. Para ello definimos primero un vector columna de cuatro com´ ponentes x = (ct, x, y, z)T para el sistema de referencia S y de forma equivalente x0 = (ct0 , x0 , y 0 , z 0 )T . Con esta notaci´on, las transformaciones de Lorentz se pueden escribir como:   γ −γβ 0 0  −γβ γ 0 0  ˆ ˆ . x0 = Λx, donde Λ(v) = (1.16)  0 0 1 0 0 0 01 ˆ La matriz 4 × 4 Λ(v), que depende exclusivamente de la velocidad relativa v, tiene las siguientes propiedades: ˆ ˆ T (v) = Λ(v). ˆ • Λ(v) es una matriz sim´etrica: Λ

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

ˆ • det Λ(v) = 1. ˆ −1 (v) = Λ(−v). ˆ • Su inversa viene dada por: Λ ˆ Por otra parte, la matriz Λ(v) se puede reescribir de otra forma definiendo un “´ angulo” φ como γ = cosh φ. Usando que γβ = senh φ, tenemos que   cosh φ −senh φ 0 0   ˆ =  −senh φ cosh φ 0 0  . (1.17) Λ  0 0 1 0 0 0 01 Esta expresi´ on no s´ olo es conveniente en algunos c´alculos, sino que adem´as sugiere que las transformaciones de Lorentz se pueden ver como una rotaci´on en un espacio cuadridimensional. Esta idea ser´a elaborada en detalle m´as adelante en este cap´ıtulo. Ejemplo 1.2: Demostrar que la cantidad (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 es un invariante Lorentz, es decir, que adopta el mismo valor en todos los sistemas de referencia. Soluci´ on. Tenemos que demostrar que (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 = (ct0 )2 − (x0 )2 − 0 2 (y ) − (z 0 )2 . Para ello hacemos uso de las transformaciones de Lorentz: ct0 = (ct) cosh φ − x senh φ x0 = −(ct) senh φ + x cosh φ. De este modo, es trivial demostrar que (ct)2 − x2 = (ct0 )2 − (x0 )2 , lo que nos lleva inmediatamente a la relaci´ on que quer´ıamos demostrar.  Por completitud, acabaremos esta secci´on derivando las transformaciones de Lorentz para el caso m´ as general en el que el sistema de referencia inercial S 0 se mueve con respecto a S con una velocidad ~v constante arbitraria (no necesariamente dirigida a lo largo del eje x). Para ello escribimos la parte espacial de las transformaciones de la ec. (1.14) para ~v dirigida seg´ un el eje x en la forma ~v (1.18) ~x0 = ~x + [γ(x − vt) − x] , v donde ~x = (x, y, z). La aparici´on expl´ıcita de x se puede elimimar utilizando la relaci´ on ~v · ~x = vx, que conduce a ~x0 = ~x + (~v · ~x)

~v (γ − 1) − γ~v t. v2

(1.19)

Usando la notaci´ on β~ = ~v /c, obtenemos que ~x0 = ~x +

~ · ~x)β~ (β ~ (γ − 1) − γ βct β2

(1.20)

La forma correspondiente de la ecuaci´on de transformaci´on del tiempo es ct0 = γ(ct − β~ · ~x)

(1.21)

La Teor´ıa de la Relatividad

9

Estas transformaciones m´ as generales se pueden escribir de forma matricial de acuerdo a la ec. (1.16) con   γ −γβx −γβy −γβz 2 2 2 2   ˆ v ) =  −γβx 1 + (γ − 1)βx /β (γ − 1)βx βy /β (γ − 1)βx βz /β  . (1.22) Λ(~  −γβy (γ − 1)βy βx /β 2 1 + (γ − 1)β 2 /β 2 (γ − 1)βy βz /β 2  y −γβz (γ − 1)βz βx /β 2 (γ − 1)βz βy /β 2 1 + (γ − 1)βz2 /β 2 1.4

Dilataci´ on del tiempo y contracci´ on de la longitud

Dilataci´ on del tiempo Consideremos el siguiente ejemplo. En la Fig. 1.5(a) se muestra un observador A0 a una distancia D de un espejo. El observador y el espejo est´an en una nave espacial que est´ a en reposo en el sistema S 0 . El observador produce un destello y mide el intervalo de tiempo ∆t0 entre el destello original y el momento en que ve el destello que retorna reflejado del espejo. Como la luz viaja con velocidad c, este tiempo es ∆t0 =

(a)

2D . c

(1.23)

(b)

(c)

Espejo Espejo

Fig. 1.5 (a) El observador A0 y el espejo est´ an dentro de una nave espacial en el sistema S 0 . El tiempo que tarda el destello luminoso en llegar al espejo y regresar, seg´ un la medida realizada por A0 , resulta ser 2D/c. (b) En el sistema S, la nave se est´ a moviendo hacia la derecha con velocidad v. Si la velocidad de la luz es la misma en ambos sistemas, el tiempo que tarda la luz en llegar al espejo y regresar es m´ as largo que 2D/c en S porque la distancia recorrida es mayor que 2D. (c) Tri´ angulo rect´ angulo que sirve para calcular el tiempo ∆t en el sistema S.

Consideremos a continuaci´ on estos dos mismos sucesos, el destello luminoso original y la recepci´ on del destello reflejado, seg´ un se observar´ıan en el sistema de referencia S, en el que el observador A0 y el espejo se est´an moviendo hacia la derecha con velocidad v, como se indica en la figura. Los sucesos se producen en dos lugares diferentes x1 y x2 en el sistema S. Durante el intervalo de tiempo ∆t (seg´ un se mide en S) entre el destello original y el de retorno, el observador A0 y su nave espacial han recorrido una distancia horizontal v∆t. En la Fig. 1.5(b) podemos ver que el trayecto recorrido por la luz es m´as largo en S que en S 0 . Sin embargo, seg´ un los postulados de Einstein, la luz se propaga con la misma velocidad c en el sistema S y en el S 0 . Como la luz recorre una longitud mayor en S a la misma

10

Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

velocidad, debe emplear m´ as tiempo en llegar al espejo y regresar. El intervalo de tiempo en S es, pues, m´ as largo que en S 0 . A partir del tri´angulo de la Fig. 1.5(c) se tiene   2 2 2D c∆t v∆t 2D 1 p = = D2 + ⇒ ∆t = √ . (1.24) 2 2 c c2 − v 2 1 − v 2 /c2 Haciendo uso de ∆t0 = 2D/c, se obtiene ∆t = p

∆t0 1 − v 2 /c2

= γ∆t0 ≡ γτ

(1.25)

donde τ ≡ ∆t0 es el intervalo de tiempo propio. La ec. (1.25) describe la dilataci´ on del tiempo, es decir, nos dice que el observador en el sistema de referencia S siempre mide un intervalo de tiempo entre dos eventos mayor que el correspondiente intervalo medido en el reloj localizado en ambos eventos en el sistema donde ocurren en la misma posici´ on. De este modo, observadores en S concluyen que el reloj en A0 0 en S va m´ as lento ya que el reloj mide un intervalo de tiempo m´as peque˜ no entre los dos sucesos. Nota importante: recu´erdese que el mismo reloj debe estar colocado en ambos eventos para que ∆t0 sea el intervalo de tiempo propio τ . El resultado que acabamos de obtener se puede derivar mucho m´as f´acilmente haciendo uso de las transformaciones de Lorentz. Llamando evento 1 al flash inicial y 2 al flash final:     vx0 vx0 (1.26) ∆t = t2 − t1 = γ t02 + 22 − γ t01 + 21 , c c γv γv 0 (x − x01 ) ⇒ ∆t = γ∆t0 + 2 ∆x0 . (1.27) c2 2 c De este modo, si ∆x0 = 0, esto implica que ∆t = γ∆t0 , que es precisamente el resultado de la ec. (1.25). Ejemplo 1.3: Los astronautas de una nave espacial que se aleja de la Tierra a v = 0.6c interrumpen su conexi´ on con el control espacial, diciendo que van a dormir una siesta de 1 hora y luego volver´an a llamar. ¿Cu´al es la duraci´on de su siesta seg´ un se mide en la Tierra? ⇒ ∆t = γ(t02 − t01 ) +

Soluci´ on.

Usamos la expresi´ on ∆t = γτ

(τ = tiempo propio = 1 hora).

Teniendo en cuenta que γ(v = 0.6c) = 1.25, tenemos que ∆t = 1.25 h.

(1.28) 

Contracci´ on de la longitud La longitud de un objeto medida en el sistema de referencia en que dicho objeto se encuentra en reposo se denomina longitud propia Lp . En un sistema de referencia en el que el objeto se est´ a moviendo, la longitud medida es m´as corta que su longitud

La Teor´ıa de la Relatividad

11

propia. Consideremos una varilla en reposo en el sistema S 0 con un extremo en x02 y el otro en x01 . La longitud de la varilla en reposo en este sistema S 0 es su longitud propia Lp = x02 − x01 . Para hallar la longitud de la varilla en el sistema S hay que tener cierto cuidado. En este sistema la varilla se est´a moviendo hacia la derecha con velocidad v, que es la velocidad de S 0 . Se define la longitud de la varilla en el sistema S como L = x2 − x1 , en donde x2 es la posici´on de un extremo en un cierto instante t2 , y x1 es la posici´on del otro extremo en el mismo instante t1 = t2 , medidos en el sistema S. Para calcular x2 −x1 en un cierto instante t es conveniente utilizar la ec. (1.14) x02 = γ(x2 − vt2 ); x01 = γ(x1 − vt1 ).

(1.29)

Como t2 = t1 , tenemos x02 − x01 = γ(x2 − x1 ) ⇒ x2 − x1 =

1 0 (x − x01 ). γ 2

(1.30)

Por tanto, L=

p Lp = Lp 1 − v 2 /c2 < Lp γ

(1.31)

La longitud de la varilla es, pues, m´as corta cuando se mide desde un sistema respecto al cual se est´ a movimiendo. Por razones hist´oricas, esta contracci´on se conoce como la contracci´ on de Lorentz-FitzGerald. Ejemplo 1.4: Una regla tiene una longitud propia de 1 m y se mueve en una direcci´ on a lo largo de su longitud con velocidad relativa v respecto a un observador. Este mide la longitud de la regla y su resultado es 0.914 m. ¿Cu´al es la velocidad v? Soluci´ on. L = Lp

q p 1 − v 2 /c2 ⇒ v = c 1 − L2 /L2p = 0.406c.



Dacaimiento de los muones Un ejemplo interesante de dilataci´on del tiempo o de contracci´on de longitudes lo proporciona la aparici´ on de muones como radiaci´on secundaria de rayos c´osmicos. Los muones se desintegran de acuerdo con la ley estad´ıstica de la radiactividad N (t) = N0 e−t/τ ,

(1.32)

en donde N0 es el n´ umero inicial de muones en el instante t = 0, N (t) es el n´ umero que queda en el instante t y τ es la vida media, que vale ∼ 2 µs en el caso de los muones en reposo. Puesto que los muones se crean (a partir de la desintegraci´on de los piones) a gran altura en la atm´osfera, normalmente a varios miles de metros por encima del nivel del mar, pocos de estos muones deber´ıan alcanzar el nivel del mar. Un mu´ on t´ıpico que se mueve con una velocidad de 0.9978c recorrer´a 600 m

12

Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

(a)

Autor: Juan Carlos Cuevas.

(b)

Fig. 1.6 Aunque los muones se crean a una gran altura de la atm´ osfera y su vida media es s´ olo de unos 2 µs cuando est´ an en reposo, muchos aparecen en la superficie de la Tierra. (a) En el sistema de referencia terrestre un mu´ on t´ıpico que se mueve a 0.9978c tiene una vida media de 30 µs y recorre 9000 m en este tiempo. (b) En el sistema de referencia del mu´ on, la distancia recorrida por la Tierra es de s´ olo 600 m durante los 2 µs de vida media del mu´ on.

en ∼ 2 µs. Sin embargo, la vida media del mu´on medida en el sistema de referencia terrestre debe incrementarse en el factor γ: s 1 γ= ≈ 15. (1.33) 1 − v 2 /c2 Por tanto, la vida media en el sistema de referencia de la Tierra es 30 µs, y un mu´ on con una velocidad de 0.9978c recorre del orden de 9000 m en este tiempo (ver Fig. 1.6(a)). Desde el punto de vista del mu´on, ´este s´olo vive 2 µs, pero la atm´osfera est´ a movi´endose con respecto a ´el a la velocidad de 0.9978c. La distancia de 9000 m en el sistema terrestre se encuentra as´ı contra´ıda a s´olo 600 m en el sistema del mu´ on (ver Fig. 1.6(b)). ongase que observamos 108 muones a una altitud de 9000 m Ejemplo 1.5: Sup´ en un cierto intervalo de tiempo con un detector de muones. ¿Cu´antos ser´ıan de esperar que se observaran al nivel del mar en el mismo intervalo de tiempo seg´ un las predicciones cl´ asica y relativista? Soluci´ on.

En el caso no relativista: 9000 m t= ≈ 30 µs ⇒ N (t) = N0 e−t/τ = 108 e−15 = 30.6. 0.9978c En el caso relativista, la distancia contra´ıda es 600 m y t = 2 µs. Por tanto, N (t) = 108 e−1 = 3.68 × 107 .

1.5



El efecto Doppler relativista

Para la luz u otras ondas electromagn´eticas en el vac´ıo no podemos distinguir entre los movimientos de la fuente y el receptor. Por lo tanto, las expresiones cl´asicas no pueden aplicarse correctamente a la luz. La raz´on es que en su deducci´on uno supone que los intervalos de tiempo medidos en los sistemas de referencia de la fuente y el receptor son los mismos. Consideremos una fuente de luz que se mueve hacia un receptor A con una velocidad relativa v, como se muestra en la Fig. 1.7. La fuente est´a emitiendo un

La Teor´ıa de la Relatividad

13

Fig. 1.7 Una fuente luminosa se acerca a un observador A y se aleja de un observador B con una velocidad v.

tren de ondas hacia los recepteros A y B mientras se aproxima a A y se aleja de B. Consideremos primero el tren de ondas dirijido hacia A. Durante el tiempo ∆t en el que la fuente emite N ondas, la primera onda habr´a viajado una distancia c∆t y la fuente misma habr´ a recorrido una distancia v∆t. Estas distancias est´an medidas desde el sistema del receptor. De este modo, el receptor (u observador) A medir´a una longitud de onda: c∆t − v∆t N

(1.34)

c cN 1 N = = , λ (c − v)∆t 1 − β ∆t

(1.35)

λ= y la frecuencia f = c/λ ser´ a: f=

donde β = v/c. Por su parte, la frecuencia de la fuente f0 (llamada frecuencia propia) est´ a dada por f0 = c/λ0 = c/(c∆t0 /N ) = N/∆t0 , donde ∆t0 est´a medido en un sistema en reposo con respecto a la fuente. El intervalo ∆t0 es el intervalo de tiempo propio y por tanto, ∆t = γ∆t0 .

(1.36)

De este modo, f=

1 f0 ∆t0 f0 1 = , 1 − β ∆t 1−β γ

(1.37)

o de otra manera p f=

1 − β2 f0 = 1−β

s

1+β f0 1−β

(aproximaci´ on)

(1.38)

Esta expresi´ on s´ olo difiere de la cl´asica en el factor de dilataci´on del tiempo. N´otese que f > f0 para este caso, como es l´ogico. Por tanto, la frecuencia aumenta y se dice que la luz ha sufrido un corrimiento al azul. Cuando el foco y el receptor se mueven alej´andose entre s´ı, un an´alisis similar muestra que: s 1−β f= f0 (alejamiento) (1.39) 1+β

14

Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

N´ otese que f < f0 y en este caso se dice que la luz ha sufrido un corrimiento al rojo. En el caso en el que v  c (β  1), como a menudo ocurre para fuentes luminosas movi´endose en la Tierra, se puede obtener para el caso de acercamiento la siguiente aproximaci´ on:    1 1 2 1 3 2 1/2 −1/2 f = f0 (1 + β) (1 − β) = f0 1 + β − β + · · · 1 + β + β + ··· 2 8 2 8 f ≈ 1 + β (aproximaci´ on) f0 De modo similar, se obtiene que f ≈ 1 − β (alejamiento) f0 En ambos casos se tiene que |∆f /f0 | ≈ β

donde ∆f ≡ f0 − f.

(1.40)

(1.41)

(1.42)

Nota: esta relaci´ on proporciona una forma de obtener la velocidad de la fuente a partir del conocimiento de ∆f . Ejemplo 1.6: La longitud de onda m´as larga emitida por el hidr´ogeno en la serie de Balmer tiene un valor de λ0 = 656 nm. En la luz procedente de una galaxia lejana, el valor medido es λ = 1458 nm. Hallar la velocidad de alejamiento de dicha galaxia respecto a la Tierra. Soluci´ on. s f=

1 − (λ0 /λ)2 1−β f0 ⇒ β = = 0.664. 1+β 1 + (λ0 /λ)2



Ejemplo 1.7: El Sol rota alrededor de su eje una vez cada 25.4 d´ıas. El Sol tiene un radio de 7 × 108 m. Calcular el efecto Doppler que se observa entre los bordes izquierdo y derecho del Sol cerca del ecuador para la luz de longitud de onda λ = 550 nm (luz amarilla). ¿Se corre al rojo o al azul? Soluci´ on.

La velocidad de los bordes es 2πR 2π(7 × 108 ) m v= = = 2000 m/s. T 25.4 × 24 × 3600 s Como v  c, tenemos que ∆f v c ≈ β = ⇒ ∆f ≈ βf0 = β = 3.64 × 109 Hz. f0 c λ0

Como f0 = c/λ0 = 5.45 × 1014 Hz, tenemos que ∆f ≈ 10−5 . f0 El corrimiento es hacia el rojo para el borde que se aleja y hacia el azul para el borde que se aproxima. 

La Teor´ıa de la Relatividad

15

La ley de Hubble En 1929 E.P. Hubble estableci´ o mediante la medida de la frecuencia de diversas l´ıneas espectrales de diferentes galaxias que exist´ıa una relaci´on lineal entre el corrimiento al rojo (z = (f0 − f )/f ) de dichas l´ıneas, que siempre era positivo, y la distancia a la que se encuentran las galaxias de nosotros. En virtud de nuestra discusi´ on sobre el efecto Doppler, esto le llev´o a concluir que todas las galaxias se alejan de nosotros con una velocidad de recesi´on v que es proporcional a la distancia r a la que se encuentran (ley de Hubble):

v = H0 r

(1.43)

donde H0 es la constante de Hubble. El valor aceptado de esta constante es de H0 = 67.80 ± 0.77 km/(s·Mpc), donde 1 pc = 1 parsec = 3.26 a˜ nos-luz. N´otese que H0 tiene las dimensiones de tiempo a la menos uno. La cantidad 1/H0 recibe el nombre de tiempo de Hubble y es igual a aproximadamente 1.44 × 1010 a˜ nos. Esto corresponder´ıa a la edad del universo si la atracci´on gravitatoria sobre las galaxias pudiera ser ignorada. La correcta interpretaci´on de la ley de Hubble se hace con ayuda de la relatividad general y ´esta nos dice que en realidad es el espacio-tiempo el que se est´ a expandiendo.

Fig. 1.8 La ley de Hubble nos dice que la velocidad de recesi´ on de las galaxias es proporcional a la distancia a la que se encuentran.

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

1.6

Transformaci´ on de las velocidades y aceleraciones

Ley de adici´ on de velocidades Se puede hallar la forma en la que se transforman las velocidades de un sistema de referencia a otro derivando las ecuaciones de transformaci´on de Lorentz. Supongamos que una part´ıcula tiene una velocidad u0x = dx0 /dt0 en el sistema S 0 que se est´a moviendo hacia la derecha con velocidad v con respecto al sistema S. Su velocidad en el sistema S es ux = dx/dt. A partir de las transformaciones de Lorentz: dx = γ(dx0 + vdt0 ) y dt = γ(dt0 + vdx0 /c2 ). (1.44) La velocidad en S es pues u0x + v dx γ(dx0 + vdt0 ) dx0 /dt0 + v = . (1.45) ux = = = 0 vu0 dt γ(dt0 + vdx0 /c2 ) 1 + cv2 dx 1 + c2x dt0 Si una part´ıcula tiene componentes de la velocidad a lo largo de los ejes y o z, podemos utilizar la misma relaci´on entre dt y dt0 con dy y dy 0 , y dz y dz 0 : u0 dy dy 0 dy 0 /dt0  y 0 , uy = (1.46) = = 0
= v dx 0 0 2 vu dt γ(dt + vdx /c ) γ 1 + c2 dt0 γ 1 + 2x c

uz =

u0z  γ 1+

vu0x c2

.

(1.47)

La transformaci´ on relativista completa de velocidades es

ux =

u0x + v 1+

vu0x c2

; uy =

u0y 

γ 1+

vu0x c2

 ; uz =

u0z 

γ 1+

vu0x c2



(1.48)

La transformaci´ on inversa se obtiene reemplazando v por −v. N´otese que en el l´ımite de bajas velocidades, ec. (1.48) se reduce al resultado conocido (γ → 1): ux = u0x + v; uy = u0y ; uz = u0z . (1.49) Ejemplo 1.8: Supongamos que dos protones se aproximan a la Tierra desde lados opuestos (ver Fig. 1.9). Las velocidades relativas a la Tierra son v1 = 0.6c y v2 = −0.8c. ¿Cu´ al es la velocidad de la Tierra relativa a cada prot´on? ¿Cu´al es la velocidad de cada prot´ on relativa al otro? Soluci´ on.

La velocidad de la Tierra relativa a cada prot´on es obviamente: 0 00 vx,Tierra = −0.6c; vx,Tierra = 0.8c. 0 Si llamamos u2x a la componente x de la velocidad del prot´on 2 con respecto al prot´ on 1, usando la ec. (1.48) llegamos a −0.8c − 0.6c −1.4c = −0.95c. u02x = = (−0.6c)(−0.8c) 1.48 1+ c2 Por su parte, la componente x de la velocidad del prot´on 1 con respecto al prot´on 2, u001x , vendr´ a dada por 0.6c + 0.8c 1.4c u001x = = 0.95c = −u02x . = (0.6c)(0.8c) 1.48  1+ 2 c

La Teor´ıa de la Relatividad

proton 1

v1

17

v2

Tierra

y’

y

proton 2

y’’

x’

x

S’

x’’

S’’

S

z’

z’’

z

Fig. 1.9

Ejemplo 1.8.

Ejemplo 1.9: Un fot´ on se mueve a lo largo del eje x en el sistema S 0 con 0 velocidad ux = c. ¿Cu´ al es su velocidad en el sistema S? Soluci´ on. ux =

u0x + v 1+

vu0x c2

=

c+v = c. 1 + vc c2

Por tanto, la velocidad en S viene dada por c en ambos sistemas, independientemente de v. Esto est´ a de acuerdo con el segundo postulado de Einstein.  Ley de adici´ on de aceleraciones Podemos f´ acilmente extender el an´alisis anterior para describir la ley de composici´on de las aceleraciones en la relatividad especial. Para ello consideramos un objeto que se mueve con una velocidad arbitraria ~u0 con respecto al sistema de referencia S 0 . La correspondiente velocidad ~u en el sistema S viene dada por la ley de adici´on de velocidades que acabamos de derivar. En particular, hemos visto la componente ux viene dada por ux =

u0x + v , 1 + vu0x /c2

(1.50)

donde v es la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia. Para obtener la correspondiente relaci´ on entre las componentes x de las aceleraciones, tan s´olo tenemos que diferenciar la expresi´on anterior   du0x u0x + v vdu0x dux = − . (1.51) 1 + vu0x /c2 (1 + vu0x /c2 )2 c2 Reagrupando t´erminos llegamos a dux =

du0x , γ 2 (1 + vu0x /c2 )2

(1.52)

p donde como de costumbre γ = 1/ 1 − v 2 /c2 . Ahora usamos las transformaciones de Lorentz para obtener dt = γ(dt0 + vdx0 /c2 ) = γ(1 + vu0x /c2 )dt0 .

(1.53)

18

Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Por tanto, ax =

a0x dux du0x /dt0 = 3 . = 3 0 2 3 dt γ (1 + vux /c ) γ (1 + vu0x /c2 )3

(1.54)

De modo similar, podemos derivar las correspondientes relaciones entre las aceleraciones a lo largo de los ejes y y z. Dichas relaciones vienen dadas por a0y

ay =

γ 2 (1

az =

γ 2 (1

2 + vu0x /c2 ) a0z 2 + vu0x /c2 )

− −

(vu0y /c2 )a0x γ 2 (1 + vu0x /c2 ) (vu0z /c2 )a0x γ 2 (1 + vu0x /c2 )

3

(1.55)

3.

(1.56)

Estas expresiones muestran que, contrariamente a lo que ocurre en la mec´anica newtoniana, en relatividad especial las aceleraciones cambian de un sistema de referencia inercial a otro, es decir, no son invariantes. Lo mismo le ocurre l´ogicamente a las fuerzas, como veremos m´ as adelante. En el siguiente ejercicio haremos uso de las relaciones que acabamos de derivar para comprender las peculiaridades de un movimiento uniformemente acelerado en relatividad especial. Ejemplo 1.10: Un astronauta experimenta una aceleraci´on continua g en su sistema en reposo instant´ aneo. Si parte del reposo desde la Tierra, ¿qu´e distancia ha recorrido al cabo de un tiempo terrestre t? ¿Cu´anto tarda en alcanzar una velocidad c/2? ¿Es posible que supere la velocidad de la luz al cabo de un cierto tiempo? Soluci´ on. Supongamos que el sistema S est´a en reposo con respecto a la Tierra y el S 0 es el sistema en reposo moment´aneo con el astronauta. De este modo, ec. (1.54) nos da la relaci´ on entre las aceleraciones del astronauta, a0x = g, y la de la Tierra, ax (t), que depende del tiempo t, sin m´as que hacer u0x = 0:  3/2 v2 g ax (t) = 3 = g 1 − 2 , γ c donde v(t) es la velocidad del astronauta con respecto a la Tierra en el instante t. El siguiente paso es obtener la velocidad v en el instante t integrando la ecuaci´on anterior que se puede reescribir como  3/2 v2 dv dv =g 1− 2 ⇒ gdt = . ax = 3/2 dt c (1 − v 2 /c2 ) Integrando, Z 0

t

gdt0 =

Z 0

v

dv 0 (1 −

3/2 (v 0 )2 /c2 )

⇒ gt =

v (1 − v 2 /c2 )

Despejamos ahora la velocidad: v(t) = p

c 1 + c2 /(g 2 t2 )

gt =p . 1 + g 2 t2 /c2

1/2

.

La Teor´ıa de la Relatividad

19

De esta expresi´ on podemos ver que cuando t → ∞ entonces v → c, es decir, la velocidad de la luz no se puede superar. Para obtener la distancia, x, que ha recorrido el astronauta al cabo de un tiempo terrestre t tenemos que integrar la expresi´on de la velocidad: Z

x 0

Z

dx = 0

0

t

gt0 dt0 p

1 + g 2 (t0 )2 /c2

⇒ x(t) =

 c2 p 1 + g 2 t2 /c2 − 1 . g

Finalmente, para determinar cuanto tarda el astronautra en alcanzar la velocidad c/2, invertimos la expresi´ on de la velocidad para despejar t en funci´on de v: v c t= p ⇒ t(v = c/2) = √ . 2 2 g 3 g 1 − v /c 

1.7

Paradojas relativistas

La paradoja de los gemelos Homero y Ulises son gemelos id´enticos. Ulises realiza un viaje a una velocidad muy elevada hacia un planeta m´ as all´a del sistema solar y vuelve a la Tierra mientras Homero permanece en ella (ver Fig. 1.10). Cuando se reunen de nuevo, ¿cu´al es el gemelo m´ as viejo, o son ambos de la misma edad? La respuesta correcta es que Homero, el gemelo que permaneci´o en su casa es m´as viejo. ¿Sabr´ıas explicar por qu´e?

Fig. 1.10 Paradoja de los gemelos. La Tierra y un planeta lejano est´ an fijos en el sistema S. Ulises vuela en el sistema S 0 hacia el planeta y luego regresa a la Tierra en S 00 . Su gemelo Homero permanece en la Tierra. Cuando Ulises regresa es m´ as joven que su gemelo. Los papeles que desempe˜ nan los gemelos no son sim´ etricos. Homero permanece en un sistema de referencia inercial, pero Ulises ha de acelerar si quiere volver a casa.

20

Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

La paradoja de la p´ ertiga y el pajar Un corredor lleva una p´ertiga de 10 m de largo y se dirige hacia la puerta abierta de un pajar de 5 m de largo. Un granjero est´a de pie cerca del pajar de manera que puede ver tanto la puerta del pajar como la parte trasera del mismo (ver Fig. 1.11). El corredor entra en el pajar llevando la p´ertiga con una velocidad v, y en el instante en el que el granjero ve que la p´ertiga est´a completamente dentro del pajar cierra la puerta y de este modo, ha conseguido introducir una p´ertiga de 10 m en un pajar de 5 m. La velocidad m´ınima que se necesita para realizar esta operaci´on se calcula f´ acilmente: Lp 1 10 = γ=p = ⇒ v = 0.866c. (1.57) L 5 1 − v 2 /c2 La paradoja surge cuando la situaci´on es vista desde el sistema de referencia del corredor. Para ´el la p´ertiga tiene su longitud p propia de 10 m. Sin embargo, para el corredor el pajar mide L = Lp /γ = 5 1 − v 2 /c2 = 2.5 m. ¿C´omo es posible introducir una p´ertiga de 10 m en un pajar de 2.5 m? La respuesta se deja como ejercicio. Digamos como pista que la respuesta est´a en la relatividad de la simultaneidad.

1.8

Cuadrivectores y espacio-tiempo

Las transformaciones de Lorentz mezclan el espacio y el tiempo, en el sentido de que las ecuaciones para x0 y t0 involucran tanto x como t. El matem´atico ruso-alem´an Hermann Minkowski, antiguo profesor de Einstein en Zurich, sugiri´o en 1908 que

Fig. 1.11

La paradoja de la p´ ertiga y el pajar.

La Teor´ıa de la Relatividad

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esta mezcla de espacio y tiempo implica que el tiempo debe ser combinado con las tres coordenadas espaciales para formar un espacio-tiempo de cuatro dimensiones (conocido tambi´en como espacio de Minkowski ) en el que las transformaciones de Lorentz actuar´ıan como una especie de rotaci´on. Antes de examinar esta idea, es conveniente repasar algunas cuestiones fundamentales sobre las rotaciones en el espacio ordinario de tres dimensiones. Rotaciones en tres dimensiones En el espacio convencional de tres dimensiones el vector de posici´on viene dado por tres components referidas a unos ejes coordernados predeterminados: ~x = (x, y, z)T . Si ahora consideramos otro sistema de ejes que est´e rotado con respecto al anterior, las componentes del vector de posici´on cambiar´an de modo que el nuevo vector de posici´ on ~x0 = (x0 , y 0 , z 0 )T estar´ a relacionado con ~x del siguiente modo: ˆ x, ~x0 = R~ (1.58) ˆ es una matriz 3 × 3 de rotaci´on. Para que nuestra discusi´on no sea muy donde R abstracta pensemos en una rotaci´on alrededor del eje z con ´angulo θ. Es muy f´acil demostrar (se deja como ejercicio) que la matriz de rotaci´on correspondiente viene dada por   cos θ sen θ 0 ˆ z (θ) =  −sen θ cos θ 0  . R (1.59) 0 0 1 Una propiedad fundamental de las rotaciones es que dejan invariantes las longitudes. Esto significa, en particular, que el m´odulo al cuadrado del vector de posici´on ~x · ~x = x2 + y 2 + z 2 preserva su valor despu´es de una rotaci´on, es decir, ~x · ~x = x2 + y 2 + z 2 = (x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 = ~x0 · ~x0 .

(1.60)

Esto se puede comprobar expl´ıcitamente en el caso de la rotaci´on alrededor del eje z definida por ec. (1.59). Esta invariancia implica que ˆ T R~ ˆ x = ~xT ~x ⇒ R ˆT R ˆ = ˆ1, ~x0 · ~x0 = (~x0 )T ~x0 = ~xT R (1.61) ˆT = R ˆ −1 . A una matriz que cumple que su transpuesta es igual es decir, que R a su inversa se le llama matriz ortogonal. As´ı pues, concluimos que las matrices de rotaci´ on han de ser matrices ortogonales, algo que se puede comprobar ˆ z (θ) de la ec. (1.59). Digamos tambi´en que el conexpl´ıcitamente en el caso de R junto de matrices de rotaci´ on en el espacio tridimensional forma un grupo conocido como SO(3). De forma general, podemos definir un vector tridimensional ~a = (a1 , a2 , a3 )T como un conjunto de tres n´ umeros que se transforman en una rotaci´on del mismo modo que lo hacen las componentes del vector de posici´on, es decir, ˆ a ⇒ a0i = ~a0 = R~

3 X j=1

Rij aj .

(1.62)

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

De la discusi´ on anterior, es obvio que cualquier rotaci´on conservar´a el m´odulo al cuadrado de un vector que vendr´a definido por ~a ·~a = ~aT ~a = a21 + a22 + a23 . De forma m´ as general, podemos definir el producto escalar entre dos vectores ~a = (a1 , a2 , a3 )T ~ y b = (b1 , b2 , b3 )T como ~a · ~b = ~aT ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .

(1.63)

Es obvio que el producto escalar es invariante bajo rotaciones: ˆT R ˆ~b = ~aT ~b = ~a · ~b, ~a0 · ~b0 = (~a0 )T ~b0 = ~aT R

(1.64)

ˆ es una matriz ortogonal. donde hemos hecho uso del hecho de que R La importancia de la notaci´ on vectorial en la mec´anica newtoniana es enorme. Cualquier ley de la mec´ anica que se exprese en t´erminos de vectores, como por ejemplo la segunda ley de Newton o la conservaci´on del momento lineal, si es v´alida en un sistema de referencia inercial, lo ser´a en todos los sistemas que est´en conectados con este via una rotaci´ on espacial. Esto es muy f´acil de entender. Supongamos que tenemos una ley que se expresa en un sistema de referencia como la igualdad entre dos vectores p~ y ~q (~ p podr´ıa ser el momento lineal total de un sistema de part´ıculas antes de una colisi´ on y ~q el correspondiente momento despu´es de la colisi´on), es decir, p~ = ~q.

(1.65)

Entonces es obvio que dicha ley ser´a v´alida en cualquier sistema que est´e rotado con respecto al primero, es decir, p~0 = ~q0 .

(1.66)

ˆ en ambos lados de la ec. (1.65): Esto se puede ver sin m´ as que aplicar R ˆ p = R~ ˆ q ⇒ p~0 = ~q0 . R~

(1.67)

As´ı por ejemplo, es completamente trivial demostrar la invariancia de las leyes de Newton bajo rotaciones ya que estas leyes est´an expresadas en t´erminos de vectores. Las transformaciones de Lorentz como rotaciones en el espaciotiempo: cuadrivectores Ahora vamos a proceder por analog´ıa con la discusi´on anterior. En primer lugar, podemos definir un vector de posici´on con cuatro componentes combinando el tiempo con las coordenadas espaciales. As´ı por ejemplo, el vector de posici´on x en el espacio-tiempo vendr´ a dado en el sistema de referencia S por   ct   x  = ct . x= (1.68) y ~x z

La Teor´ıa de la Relatividad

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N´ otese que de ahora en adelante vamos a usar negrita para denotar a los vectores en el espacio-tiempo y reservaremos la flechita para los vectores en el espacio tridimensional convencional. Como hemos aprendido, el vector de posici´on x se transforma en un cambio de sistema de referencia de acuerdo a las transformaciones de Lorentz, es decir, ˆ x0 = Λx, (1.69) ˆ es la matriz 4 × 4 de Lorentz dada por la ec. (1.16). donde x0 = (ct0 , x0 , y 0 , z 0 )T y Λ ˆ con Es evidente que la comparaci´ on de la expresi´on de la ec. (1.17) para la matriz Λ la expresi´ on de la rotaci´ on tridimensional de la ec. (1.59) nos sugiere que podemos ver las transformaciones de Lorentz como rotaciones en el espacio-tiempo o espacio de Minkowski. Para hacer esta analog´ıa m´as formal, nos podemos preguntar si las transformaciones de Lorentz dejan invariante el m´odulo del vector de posici´on x. Es f´ acil mostrar que la cantidad (ct)2 + x2 + y 2 + z 2 no es invariante Lorentz, lo que sugiere a primera vista que no podemos desarrollar la analog´ıa. Sin embargo, hemos visto en el Ejemplo 1.2 que la cantidad (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 s´ı es un invariante Lorentz, lo cual sugiere una redefinici´on del m´odulo de un vector y, en general, del producto escalar de vectores. De este modo, vamos a definir el m´odulo al cuadrado del vector de posici´ on cuadridimensional como x · x ≡ (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 ,

(1.70)

cantidad que no cambia en una transformaci´on de Lorentz, es decir, x · x = (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 = (ct0 )2 − (x0 )2 − (y 0 )2 − (z 0 )2 = x0 · x0 .

(1.71)

Es importante recordar que esta invarianza es sencillamente una consecuencia de la invarianza de la velocidad de la luz. Lo primero que debemos hacer notar es que con esta definici´on del m´odulo del vector de posici´ on, que es una medida de la longitud de un trayecto en el espaciotiempo, esta cantidad puede tener cualquier signo (positivo, negativo o cero), algo a lo que nos debemos acostumbrar. Por otra parte, es obvio que no podemos utilizar la notaci´ on matricial de la manera habitual para describir este nuevo producto escalar, es decir, x · x 6= xT x. Para solventar este problema vamos a introducir la matriz ˆ conocida como m´etrica, que viene dada por 4 × 4 G,   1 0 0 0   ˆ =  0 −1 0 0  . G (1.72)  0 0 −1 0  0 0

0 −1

Con esta definici´ on x · x se puede escribir en notaci´on matricial como ˆ x · x = xT Gx.

(1.73)

Anteriormente vimos que las matrices de rotaci´on son ortogonales. ¿Qu´e tipo de matrices pueden describir una transformaci´on de Lorentz? Para responder a esta pregunta hacemos uso de la invarianza Lorentz del m´odulo del vector de posici´on: ˆ 0 = xT Λ ˆT G ˆ Λx ˆ = xT Gx ˆ = x · x, x0 · x0 = (x0 )T Gx (1.74)

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

lo cual implica que ˆT G ˆΛ ˆ = G. ˆ Λ

(1.75)

Siguiendo con la analog´ıa con el caso tridimensional, podemos definir un vector en el espacio-tiempo o cuadrivector a = (a0 , a1 , a2 , a3 )T como un conjunto de cuatro n´ umeros que se transforman en un cambio de sistema de referencia inercial del mismo modo que lo hacen las componentes del vector de posici´on en el espacio de Minkowski, es decir, ˆ ⇒ a0i = a = Λa 0

3 X

Λij aj .

(1.76)

j=0

De nuevo, es obvio que cualquier transformaci´on de Lorentz conservar´a el m´odulo al ˆ = a2 −a2 −a2 −a2 . cuadrado de un cuadrivector que vendr´a definido por a·a = aT Ga 0 1 2 3 De forma m´ as general, podemos definir el producto escalar entre dos cuadrivectores a = (a0 , a1 , a2 , a3 )T y b = (b0 , b1 , b2 , b3 )T como ˆ = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 . a · b = aT Gb

(1.77)

Es obvio que este producto escalar entre cuadrivectores es invariante Lorentz: ˆ 0 = aT Λ ˆT G ˆ Λb ˆ = aT Gb ˆ = a · b, a0 · b0 = (a0 )T Gb

(1.78)

donde hemos usado la ec. (1.75). La notaci´ on cuadrivectorial tiene una gran importancia en la relatividad especial. Si una ley es expresada en t´erminos de cuadrivectores, es obvio que si es v´alida en un sistema de referencia inercial, lo ser´a en todos los sistemas. Supongamos que tenemos una ley que se expresa en un sistema de referencia inercial como p = q,

(1.79)

donde p y q son dos cuadrivectores. Entonces es obvio que dicha ley ser´a v´alida en cualquier sistema de referencia inercial, es decir, p0 = q0 .

(1.80)

ˆ en ambos lados de la ec. (1.79): Esto se puede ver sin m´ as que aplicar Λ ˆ = Λq ˆ ⇒ p0 = q0 . Λp

(1.81)

Esta idea ser´ a muy u ´til cuando discutamos, por ejemplo, las leyes de conservaci´on de la energ´ıa y el momento lineal. 1.9

Diagramas de Minkowski y causalidad

Como hemos visto en la secci´ on anterior, la relaci´on ´ıntima entre espacio y tiempo en relatividad especial nos conduce de manera natural al concepto de espacio-tiempo cuadridimensional. En esta secci´on profundizaremos en esta idea y discutiremos el

La Teor´ıa de la Relatividad

25

concepto de concepto de causalidad. Para ello haremos uso de los llamados diagramas espacio-temporales o diagramas de Minkowski introducidos por el matem´atico Hermann Minkowski. En estas discusiones, y por simplicidad, nos restringiremos al movimiento espacial de una part´ıcula en una dimensi´on a lo largo del eje x. Un ejemplo de diagrama espacio-tiempo o diagrama de Minkowski se muestra en la Fig. 1.12. Este diagrama describe la historia completa o l´ınea de mundo de un movimiento unidimensional en el sistema de referencia S. N´otese que en este diagrama el eje de ordenadas (vertical) representa la cantidad ct (con dimensiones de longitud), mientras que en el eje de las abscisas (horizontal) se representa la coordenada x. En este diagrama, la l´ınea de mundo de una se˜ nal luminosa dada por x = ct es simplemente una l´ınea recta con pendiente igual a uno, es decir, es una l´ınea que forma un ´ angulo de 45o con el eje x. El punto E en la Fig. 1.12 corresponde a un evento descrito por las coordenadas (x, ct) en el sistema de referencia S. Como de costumbre, los eventos y las l´ıneas de mundo se pueden describir desde otros sistemas de referencia (S 0 ). Curiosamente, estos otros sistemas de referencia tienen ejes ct0 y x0 que no son ortogonales, como se muestra en la Fig. 1.12. ¿Sabr´ıas decir por qu´e y decir qu´e pendiente tienen esos ejes? Para encontrar las coordenadas espacio-temporales de un evento E en un sistema de referencia dado, debemos pintar l´ıneas paralelas a los ejes del sistema de referencia y medir las intersecciones con los ejes de ese sistema, tal y como se muestra en la figura. N´otese tambi´en que la velocidad de una part´ıcula ux es inversamente proporcional a la pendiente de su

Fig. 1.12 Diagrama espacio-temporal o diagrama de Minkowski que muestra la posici´ on de una part´ıcula en una dimensi´ on en diversos instantes. La trayectoria que muestra la historia completa de la part´ıcula se llama l´ınea de mundo de la part´ıcula. Un evento E tiene coordenadas (x, t) en el sistema S y coordenadas (x0 , t0 ) en S 0 .

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Fig. 1.13

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Dos eventos E1 y E2 con coordenadas (x1 , t1 ) y (x2 , t2 ) en el sistema S.

l´ınea de mundo ya que ux = c∆x/∆ct = c/pendiente. En la Fig. 1.13 se muestra un diagrama de Minkowski con dos eventos E1 y E2 que est´ an descritos por las coordenadas (ct1 , x1 ) y (ct2 , x2 ) en el sistema S y por las coordenadas (ct01 , x01 ) y (ct02 , x02 ) en el sistema S 0 . Como hemos visto en la secci´on anterior, ni el intervalo de tiempo ni el de espacio son absolutos en la relatividad especial, pero s´ı que lo es el intervalo ∆s definido como (∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x)2 = (c(t2 − t1 ))2 − (x2 − x1 )2 ,

(1.82)

donde ∆s tiene dimensiones de longitud y se conoce como intervalo espacio-temporal entre dos eventos. La invarianza Lorentz de este intervalo espacio-temporal junto con los diagramas de Minkowski se pueden utilizar para clasificar todo el universo de espacio-tiempo y para clarificar si un evento puede ser la causa de otro. La Fig. 1.14 muestra un diagrama de Minkowski para una dimensi´on con los ejes de dos sistemas de referencia inerciales distintos S y S 0 , que comparten un origen com´ un O en x = x0 = 0 y t = t0 = 0. Las rectas x = ±ct son las l´ıneas de mundo de pulsos de luz que pasan por el origen y se desplazan en la direcci´on x positiva o negativa. Las regiones identificadas como pasado y futuro corresponden a valores negativos y positivos del tiempo, seg´ un se juzga a partir del momento presente (el ahora), que ocurre en el origen. Las regiones identificadas como “en otras partes” no pueden ser alcanzadas por ning´ un objeto cuya l´ınea de mundo pase por O, ya que para llegar a ellas se requiere una pendiente espacio-temporal menor que 1, es decir, una velocidad superior a c. La cantidad (∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x)2 puede usarse para clasificar el intervalo entre dos eventos y determinar si un evento puede ser provocado por otro. Para comprobar esto, consideremos los tres pares de eventos que se muestran en la figura Fig. 1.15, donde para facilitar las cosas se ha considerado que los eventos V , A y C

La Teor´ıa de la Relatividad

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Fig. 1.14 Clasificaci´ on del espacio-tiempo unidimensional en regiones de pasado, futuro y en otras partes. Una part´ıcula con una l´ınea de mundo que pase por O no puede alcanzar regiones marcadas como “en otras partes”.

coinciden con el origen. Para los dos eventos V y W , (∆s)2 > 0 ya que c∆t > |∆x|. El evento V podr´ıa ser la causa del evento W debido a que alguna se˜ nal o influencia podr´ıa cubrir la distancia ∆x desde V hasta W a una velocidad inferior a c y conectar los dos eventos. El intervalo entre V y W se denomina de tipo tiempo. Es importante observar que como (∆s)2 es invariante, si V es la causa de W en el sistema de referencia S, tambi´en es la causa de W en cualquier otro sistema de referencia inercial. As´ı, eventos vinculados causalmente en un sistema de referencia tambi´en lo est´ an en todos los dem´as sistemas de referencia inerciales. Para los eventos A y B, (∆s)2 = 0 ya que c∆t = |∆x|. En este caso la l´ınea de mundo de un pulso de luz une a los eventos puntuales A y B, y se dice que el intervalo espacio-temporal ∆s es de tipo luz. Finalmente, en el caso final de los eventos C y D, (∆s)2 < 0 ya que c∆t < |∆x|. Esto significa que incluso una se˜ nal que se propaga a la velocidad de la luz es incapaz de cubrir la distancia |∆x| entre los eventos C y D, de modo que C no puede ser la causa de D en ning´ un sistema de referencia inercial. As´ı pues, de esta discusi´ on se desprende que el concepto de causalidad en relatividad especial est´ a s´ olidamente definido y, por tanto, la relatividad especial excluye la posibilidad de viajes en el tiempo y de que puedan tener lugar fen´omenos extra˜ nos del estilo de que un hijo pueda nacer antes que su madre, contrariamente a lo que se cree popularmente.

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Fig. 1.15 Tres pares de eventos en el espacio-tiempo: V y W , A y B y C y D. El evento V no puede ser la causa del evento D.

1.10

Tiempo propio y cuadrivelocidad

Antes de pasar a discutir cantidades din´amicas como el momento lineal o la energ´ıa, es conveniente introducir dos nuevas cantidades cinem´aticas. Como hemos visto en secciones anteriores un desplazamiento espacio-tiempo infinitesimal (al cuadrado) ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 de una part´ıcula adopta el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales. As´ı pues, si lo evaluamos en el sistema de referencia en reposo moment´ aneo con la part´ıcula, dicho desplazamiento ser´a ds2 = c2 dτ 2 , donde τ es el tiempo propio, es decir, es el tiempo medido por los relojes en reposo relativo con la part´ıcula. De este modo, vemos que el tiempo propio es un invariante Lorentz (no es de extra˜ nar que todos los sistemas de referencia se pongan de acuerdo en lo que miden los relojes en reposo con la part´ıcula). Adem´as, tendremos que p dt , (1.83) c2 dτ 2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 ⇒ dτ = dt 1 − u2 /c2 = γ(u) donde u es el m´ odulo de la velocidad de la part´ıcula en ese instante. N´otese que la expresi´ on anterior no es m´ as que la expresi´on de la dilataci´on del tiempo que obtuvimos en la secci´ on 1.4. Vimos en la secci´ on 1.6 que la velocidad tridimensional ~u de un cuerpo se transforma de una forma bastante complicada de un sistema de referencia a otro. La raz´ on para ello es f´ acil de entender. La velocidad ~u = d~x/dt es el cociente de un vector tridimensional d~x y dt, que es la primera componente de un cuadrivector. As´ı que no es de extra˜ nar. Uno puede “resolver” este problema definiendo lo que se conoce con el nombre de cuadrivelocidad o velocidad propia del siguiente modo:  T dx dt d~x η= = c , , (1.84) dτ dτ dτ

La Teor´ıa de la Relatividad

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donde τ es el tiempo propio. De este modo, la velocidad propia es el cociente de un cuadrivector y de una cantidad invariante (o escalar Lorentz) y, por tanto, es un cuadrivector. Haciendo uso de la expresi´on del tiempo propio, la velocidad propia se puede escribir como  T dt d~x η=γ c , = γ(c, ~u)T . (1.85) dt dt N´ otese que la parte espacial de este cuadrivector no es exactamente la velocidad ordinaria, ~u, y s´ olo se reduce a ella en el l´ımite de bajas velocidades (u  c). Como η es un cuadrivector, su m´odulo es un invariante Lorentz: ˆ = γ 2 c2 − γ 2 u2 = c2 . η · η = η T Gη (1.86) Adem´ as, sus componentes se transforman de un sistema de referencia inercial S a otro S 0 que se mueva con velocidad relativa v (a lo largo del eje x) de igual modo que las coordenadas, es decir,   vη1  vη0  η00 = γ η0 − ; η10 = γ η1 − ; η20 = η2 ; η30 = η3 (1.87) c c Aqu´ pı, ηi denota la componente i = 0, 1, 2, 3 de la velocidad propia y γ = 1/ 1 − v 2 /c2 .

1.11

Momento lineal relativista

Conservaci´ on no relativista del momento lineal Antes de considerar el momento lineal y la energ´ıa en mec´anica relativista, es instructivo revisar algunas ideas acerca de la conservaci´on no relativista del momento lineal. Consideremos la colisi´ on que se muestra en la siguiente figura desde el punto de vista de dos sistemas de referencia que se mueven el uno con respecto al otro con velocidad β = v/c a lo largo del eje x, ver Fig. 1.16.

Fig. 1.16 Colisi´ on entre dos part´ıculas vista desde dos sistemas de referencia S y S 0 que se mueven con velocidad relativa v a lo largo del eje x. N´ otese que hemos supuesto que las masas de las part´ıculas pueden cambiar durante el choque.

Supongamos que se conserva el momento en S 0 : 0 0 0 0 ma vax + mb vbx = md vdx + me vex 0 ma vay

+

0 mb vby

=

0 md vdy

+

0 me vey .

(1.88) (1.89)

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Utilizando la transformaci´ on no relativista de las velocidades: 0 0 vay = vay ; vby = vby ; etc.

(1.90)

ma vay + mb vby = md vdy + me vey .

(1.91)

obtenemos que

Esta ecuaci´ on expresa simplemente la conservaci´on del momento lineal en el sistema de referencia S, es decir, nos dice que si el momento se conserva en un sistema de referencia inercial, se conserva en todos. En el p´ arrafo anterior s´ olo consideramos la componente y. Sin embargo, el resultado es general. La direcci´on elegida para los ejes x o y es por completo arbitraria. Utilizemos la expresi´ on para la transformaci´on de la velocidad en la direcci´on x: 0 vax = vax − v; etc.

(1.92)

Substituyendo estas expresiones en la conservaci´on del momento en la direcci´on x en S 0 : ma (vax − v) + mb (vbx − v) = md (vdx − v) + me (vex − v),

(1.93)

o lo que es lo mismo ma vax + mb vbx − md vdx − me vex − v(ma + mb − md − me ) = 0.

(1.94)

Como v es una velocidad arbitraria, la u ´nica posibilidad para que se satisfaga esta ecuaci´ on es que ma vax + mb vbx = md vdx + me vex y ma + mb = md + me .

(1.95)

Esto quiere decir que si la conservaci´on del momento lineal debe ser una ley no relativista v´ alida, es decir, una ley v´alida en todos los sistemas inerciales, no s´olo el momento debe conservarse en una colisi´on, sino que tambi´en la suma de las masas antes y despu´es del choque debe ser la misma, es decir, la masa debe conservarse. Este razonamiento nos muestra que la ley de conservaci´on de la masa se puede deducir a partir de la conservaci´on del momento y del principio de relatividad. ¿C´ omo escogemos una expresi´ on para el momento relativista? Las f´ ormulas de adici´ on de las velocidades que resultan adecuadas cuando ´estas son grandes se deducen de las transformaciones de Lorentz y no de las de Galileo que hemos utilizado en la discusi´ on anterior. En este sentido, ser´ıa sorprendente que la expresi´ on cl´ asica del momento lineal, masa por velocidad, pasara sin ninguna modificaci´ on a la mec´ anica relativista. Para “adivinar” la nueva expresi´on del momento lineal vamos a analizar una colisi´ on rasante entre un objeto que se mueve r´apidamente y otro de igual masa que se mueve con una peque˜ na velocidad (ver Fig. 1.17).

La Teor´ıa de la Relatividad

31

Fig. 1.17 (a) En esta colisi´ on, un objeto se acerca por la parte de arriba con una gran velocidad u y se hace rebotar sim´ etricamente con otro objeto de igual masa que se acerca desde abajo verticalmente con velocidad v. Dado que el choque es sim´ etrico, el segundo objeto rebota hacia abajo con velocidad v. (b) El mismo choque visto en S 0 , que se mueve con velocidad u cos θ hacia la derecha con respecto a S.

En esta colisi´ on un objeto de masa m se acerca por la parte de arriba con gran velocidad ~u y se hace rebotar sim´etricamente con una velocidad ~v . Dado que el choque es sim´etrico, el segundo objeto rebota de nuevo hacia abajo con velocidad −~v . Se considera un choque muy rasante porque si bien u puede ser grande, si θ es muy peque˜ no, v puede ser tan peque˜ no que el momento lineal del objeto inferior se puede tratar cl´ asicamente. Supongamos que el objeto que se mueve r´apidamente tiene un momento p~. Si el momento lineal ha de conservarse en esta colisi´on, deber´a tenerse 2p senθ = 2mv ⇒ p senθ = mv.

(1.96)

Por otra parte, la componente horizontal del momento se conserva por simetr´ıa. Desde el sistema S 0 , que se mueve con velocidad u cos θ hacia la derecha con respecto a S, la masa de arriba se mueve verticalmente con una velocidad u0 . Dicha velocidad viene dada por la f´ ormula relativista de adici´on de velocidades1 q 2 2θ u senθ 1 − u cos u senθ c2 0 (1.97) u = =q u u 2 2 1 − c cos θ c cos θ 1 − u cos θ c2

Sin embargo, la simetr´ıa de la colisi´on nos dice que u0 = v. Por tanto, p senθ = mv = mu0 = m q

u senθ 1−

,

(1.98)

u2 cos2 θ c2

lo que a su vez conduce a p= q

mu 1−

.

(1.99)

u2 cos2 θ c2

Para llegar a esta expresi´ on fue necesario suponer que θ era peque˜ no a fin de que la colisi´ on dejara uno de los objetos con una velocidad tan peque˜ na que se 1 Aqu´ ı

hemos usado la expresi´ on

uy , γ(1 − vux /c2 ) donde ux = u cos θ, uy = u senθ y v = u cos θ. u0y =

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

pudiera tratar cl´ asicamente. Por tanto, si tomamos θ = 0, obtenemos la expresi´on relativista para el momento lineal: mu p= p = γmu ⇒ p~ = γm~u 1 − u2 /c2

(1.100)

N´ otese que para velocidades bajas esta expresi´on se reduce a la relaci´on cl´asica p~ = m~u. Conservaci´ on relativista del momento lineal Vamos a comprobar que la expresi´on del momento de la ec. (1.100) se conserva en una colisi´ on en todos los sistemas inerciales, si se conserva en alguno. Consideremos de nuevo el choque de la Fig. 1.16. Supongamos que se conserva el momento lineal en la direcci´ on y en S 0 : p0ay + p0by = p0dy + p0ey ,

(1.101)

es decir, 0 ma vay

p

1 − (va0 )2 /c2

+p

0 mb vby

1 − (vb0 )2 /c2

=p

0 md vdy

1 − (vd0 )2 /c2

+p

0 me vey

1 − (ve0 )2 /c2

.

(1.102)

Ahora debemos comprobar que esto nos lleva a la conservaci´on del momento en el sistema S. Para ello debemos escribir las velocidades con prima en funci´on de las velocidades sin prima, es decir, en el sistema de referencia S. Ejemplo 1.11: Demostrar que 0 viy

p

1−

(vi0 )2 /c2

=p

viy 1 − (vi )2 /c2

(i = a, b, d, e).

(1.103)

Soluci´ on. Este resultado es obvio de la ley de transformaci´on de la velocidad propia de la ec. (1.87): η20 = η2 .  Usando el resultado del Ejemplo 1.11 se llega a que ma vay p

1 − va2 /c2

+p

mb vby md vdy me vey =p +p 1 − vb2 /c2 1 − vd2 /c2 1 − ve2 /c2

(1.104)

que supone la conservaci´ on de la componente y del momento relativista en el sistema S. Como la elecci´ on de los ejes coordenados ha sido arbitraria, esto implica que el momento lineal se conserva en todas las direcciones. 1.12

Energ´ıa relativista

Una vez deducida la conservaci´on del momento lineal, vamos a analizar como dos observadores describir´ıan la conservaci´on del momento a lo largo de la direcci´on de su movimiento relativo, la direcci´on x.

La Teor´ıa de la Relatividad

33

El observador en S 0 escribir´ıa la conservaci´on del momento en la direcci´on x como sigue: 0 0 0 0 p0ax + p0bx = p0dx + p0ex ⇒ ma ηax + mb ηbx = md ηdx + me ηex , (1.105) p 0 0 donde ηax = vax / 1 − (va0 )2 /c2 , etc. Usando las leyes de transformaci´on de la velocidad propia, ver ec. (1.87), se tiene que ! v 0 ηax = γ ηax − p ; etc. (1.106) 1 − va2 /c2

Utilizando estas relaciones podemos escribir la ec. (1.105) como

−vγ

γ (ma ηax + mb ηbx − md ηdx − me ηex ) (1.107) ! mb md me ma p +p =0. −p −p 1 − vb2 /c2 1 − vd2 /c2 1 − va2 /c2 1 − ve2 /c2

La primera l´ınea es igual a cero por la conservaci´on de la componente x del momento lineal en el sistema de referencia S. Sin embargo, si el momento lineal debe conservarse en ambos sistemas de referencia, la expresi´on que figura en el segundo par´entesis debe tambi´en ser cero. Ello significa que ma p

1 − va2 /c2

+p

mb md me =p +p 2 2 1 − vb /c2 1 − vd /c2 1 − ve2 /c2

(1.108)

p En otras palabras, la cantidad m/ 1 − v 2 /c2 = γm sumada a todas las part´ıculas debe conservarse. Esta cantidad se reduce a la masa de la part´ıcula para velocidades bajas. Por esta raz´ on, a la cantidad γm se la suele llamar masa de la part´ıcula en movimiento: m = γm (masa en movimiento) M≡p 1 − v 2 /c2

(1.109)

donde m es la masa en reposo. La masa en movimiento (M ) tambi´en est´a ´ıntimamente relacionada con la energ´ıa. De hecho, si multiplicamos la ec. (1.108) por c2 obtemos la conservaci´ on de la cantidad: E≡p

mc2 1 − v 2 /c2

= M c2 = γmc2 (energ´ıa relativista)

(1.110)

As´ı pues, llegamos a la conclusi´ on de la conservaci´on de la energ´ıa, donde ´esta est´a definida como en ec. (1.110). Si hacemos un desarrollo de Taylor en la ec. (1.110) para velocidades peque˜ nas (v  c), obtenemos que 1 E ≈ mc2 + mv 2 + · · · . 2

(1.111)

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

El primer t´ermino, mc2 , se conoce como energ´ıa en reposo, mientras que el segundo corresponde a la expresi´on cl´asica de la energ´ıa cin´etica. En general, para velocidades arbitrarias, la energ´ıa cin´ etica relativista se define como: K ≡ E − mc2 = (γ − 1)mc2 (energ´ıa cin´ etica relativista)

(1.112)

N´ otese que denotaremos la energ´ıa cin´etica K. Hoy en d´ıa es costumbre dar la masa de una part´ıcula en unidades de energ´ıa. Casi todas las tablas de part´ıculas elementales dan sus masas en MeV, es decir, la energ´ıa que un electr´ on adquiere cuando es acelerado por una diferencia de potencial de 1 mill´ on de voltios. As´ı, el prot´on tiene una masa de 1.673 × 10−27 kg y, por tanto, mp c2 = (1.673 × 10−27 kg) × (2.998 × 108 m/s)2 = 1.504 × 1010 J. Usando que 1 eV = 1.602 × 10−19 J, tenemos finalmente que mp = 938 MeV/c2 . En el caso del electr´ on, su masa es me = 0.511 MeV/c2 . Relaci´ on entre la energ´ıa y el momento lineal En aplicaciones pr´ acticas, en lugar de la velocidad suele conocerse el momento lineal o la energ´ıa de una part´ıcula. Para eliminar la velocidad v, podemos combinar E=p

mc2 1−

v 2 /c2

y p~ = p

m~v 1 − v 2 /c2

,

(1.113)

de manera que E 2 = (pc)2 + (mc2 )2

(1.114)

Para part´ıculas sin masa (m = 0), como el fot´on, se tiene que E = pc. Ejemplo 1.12: Una part´ıcula de masa 2 MeV/c2 y energ´ıa cin´etica 3 MeV choca contra una part´ıcula en reposo de masa 4 MeV/c2 . Despu´es del choque las dos part´ıculas quedan unidas. Hallar (a) el momento lineal inicial del sistema, (b) la velocidad final del sistema de dos part´ıculas y (c) la masa de dicho sistema. Soluci´ on. (a) El momento lineal inicial del sistema es igual al momento de la part´ıcula en movimiento, que llamaremos 1. Usando la relaci´on entre energ´ıa y momento lineal: q E12 = p21 c2 + (m1 c2 )2 ⇒ p1 c = E12 − (m1 c2 )2 . Como E1 = 3 MeV + 2 MeV = 5 MeV y m1 c2 = 2 MeV, tenemos que p1 = 4.58 MeV/c. (b) La velocidad se puede calcular a partir del cociente entre el momento lineal y la energ´ıa: v pc = . c E De la conservaci´ on de la energ´ıa tenemos que: Ef = Ei = E1 + E2 = 5 MeV + 4 MeV = 9 MeV.

La Teor´ıa de la Relatividad

35

De la conservaci´ on del momento lineal tenemos que: pf = pi = 4.58 Mev/c. Por tanto, pf c 4.58 MeV vf = = = 0.509. c Ef 9 MeV (c) La masa final la hallamos a partir de la relaci´on: Ef2 = p2f c2 + (mf c2 )2 ⇒ mf = 7.75 MeV/c2 . N´ otese que la masa del sistema aumenta de 6 MeV/c2 a 7.75 MeV/c2 . Este aumento multiplicado por c2 es igual a la p´erdida de energ´ıa cin´etica del sistema.  Ejemplo 1.13: Un mes´ on π + (tambi´en llamado pi´on) es una part´ıcula responsable de la fuerza nuclear fuerte entre protones y neutrones. Se observa que un mes´ on decae (se desintegra) en reposo convirti´endose en un antimu´on µ+ y un neutrino ν. Como el neutrino no tiene carga y tiene muy poca masa, no deja traza en una c´ amara de burbujas. (Una c´amara de burbujas es una c´amara llena de hidr´ ogeno l´ıquido que muestra el paso de las part´ıculas cargadas creando una serie de peque˜ nas burbujas.) Sin embargo, la traza del antimu´on es visible cuando pierde energ´ıa cin´etica y se para. Si la masa del antimu´on es de 106 MeV/c2 y su energ´ıa cin´etica se mide y resulta ser 4.6 MeV (por la longitud de su traza), encontrar la masa del π + . Soluci´ on. El decaimiento que nos ocupa se describe como: π + −→ µ+ + ν. Usando la conservaci´ on de la energ´ıa: q Eπ = Eµ + Eν ⇒ mπ c2 = (mµ c2 )2 + (pµ c)2 + pν c, donde hemos usado el hecho de que la masa del neutrino es despreciable. Usamos ahora la conservaci´ on del momento lineal: pµ = pν , ya que pπ = 0. De este modo, tenemos que q mπ c2 = (mµ c2 )2 + (pµ c)2 + pµ c. Para obtener pµ , hacemos uso del valor de su energ´ıa cin´etica Kµ : Eµ2 = p2µ c2 + (mµ c2 )2 , p2µ c2 = Eµ2 − (mµ c2 )2 = (Kµ + mµ c2 )2 − (mµ c2 )2 = Kµ2 + 2Kµ mµ c2 . Substituyendo, obtenemos finalmente q q mπ c2 = m2µ c4 + Kµ2 + 2Kµ mµ c2 + Kµ2 + 2Kµ mµ c2 . Usando mµ c2 = 106 MeV y Kµ = 4.6 MeV, obtenemos mπ ≈ 140 MeV/c2 .



36

1.13

Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Cuadrivector energ´ıa-momento

La energ´ıa y el momento lineal se pueden combinar para formar el cuadrivector energ´ıa-momento o cuadrimomento, p, del siguiente modo:  T  T E E p= , px , py , pz = , p~ = mη. (1.115) c c Como p es simplemente el producto de la masa en reposo (un escalar Lorentz) por el cuadrivector velocidad propia, es obvio que es un cuadrivector. Como tal cuadrivector, su m´ odulo es un invariante Lorentz: E2 (1.116) p · p = 2 − p2 = m2 c2 . c Por otra parte, p se transformar´a de un sistema de referencia a otro de acuerdo a ˆ y, por tanto, las transformaciones de Lorentz, es decir, p0 = Λp
E 0 = γ (E − vpx ) ; p0x = γ px − vE/c2 ; p0y = py ; p0z = pz (1.117) p donde v es la velocidad del sistema S 0 con respecto a S y γ = 1/ 1 − v 2 /c2 . Estas relaciones se pueden invertir para obtener
E = γ (E 0 + vp0x ) ; px = γ p0x + vE 0 /c2 ; py = p0y ; pz = p0z (1.118) En las secciones anteriores tuvimos que demostrar que si el momento lineal y la energ´ıa se conservan en un sistema de referencia inercial, lo hacen en todos. Con el uso del cuadrivector energ´ıa-momento, esa demostraci´on es trivial ya que si tenemos que pinicial = pfinal en un sistema de referencia inercial, esa igualdad entre dos cuadrivectores se mantendr´ a en cualquier sistema de referencia inercial. Ejemplo 1.14: Usar las ecuaciones de transformaci´on energ´ıa-momento para derivar las expresiones que describen el efecto Doppler relativista. Usar para ello la relaci´ on de Einstein que nos dice que la energ´ıa de un fot´on viene dada por E = hf , donde h es la constante de Planck y f la frecuencia del fot´on. Soluci´ on. (a) Vamos a hallar la relaci´on entre la frecuencia f 0 medida por un observador (sistema S 0 ) que se aleja de una fuente (sistema S) que emite con una frecuencia f . Para ello, usamos la ley de transformaci´on de la energ´ıa E 0 = γ(E − vpx ). Teniendo en cuenta la relaci´ on de Einstein (E 0 = hf 0 y E = hf ) y el hecho de que para un fot´ on movi´endose a lo largo del eje x tenemos que px = E/c, entonces s  1−β v 0 = hf , hf = γ(hf − vhf /c) = γhf 1 − c 1+β donde β = v/c. As´ı pues, s 0

f =

1−β f, 1+β

que es exactamente el resultado que derivamos en la secci´on 1.5.



La Teor´ıa de la Relatividad

1.14

37

Algunas consecuencias de los principios de conservaci´ on

Procesos inel´ asticos en f´ısica nuclear Una de las predicciones m´ as sorprendentes de la teor´ıa de la relatividad es la no conservaci´ on de la masa en reposo. Dicho de otra forma, la masa de un sistema no tiene por qu´e ser igual a la suma de las masas de sus partes. La f´ısica nuclear proporciona ejemplos de este hecho. Por ejemplo, es bien conocido que la energ´ıa en las estrellas se produce por fusi´ on nuclear en sus n´ ucleos. En concreto, nuestro Sol produce energ´ıa mediante el proceso de fusi´on nuclear conocido como cadena prot´onprot´ on. En esta reacci´ on, de forma neta cuatro protones (o n´ ucleos de hidr´ogeno) se convierten en un n´ ucleo de 4 He. La masa en reposo de los 4 n´ ucleos de hidr´ogeno es igual a 4 × 938.3 MeV/c2 = 3.7532 GeV/c2 , mientras que la masa en reposo del n´ ucleo de 4 He es igual a 3.7284 GeV/c2 . De este modo, en esta reacci´on de fusi´on la masa en reposo se reduce en ≈ 25 MeV/c2 . Esta reducci´on de energ´ıa en reposo se traduce en una energ´ıa liberada que es la que finalmente nos llega hasta la Tierra. La creaci´ on y aniquilaci´ on de part´ıculas Quiz´ as una de las posibilidades m´as notables entre todas las que sugiere la equivalencia masa-energ´ıa es la creaci´ on de part´ıculas nuevas, si se dispone de una cantidad adecuada de energ´ıa. Para crear una part´ıcula de masa en reposo m se necesita una energ´ıa de al menos mc2 . En la pr´actica debe emplearse una energ´ıa superior a ´esta, y en una gran cantidad de casos una energ´ıa much´ısimo mayor. El motivo de ello es doble: (1) Existen leyes de conservaci´ on fundamentales que hacen que en muchos casos sea imposible la creaci´ on de una part´ıcula nueva mediante un proceso de choque. La ley m´ as conocida de ´estas es la que se refiere a la conservaci´on de la carga el´ectrica. Por ejemplo, el primero de los procesos que se descubri´o fue la creaci´on de una pareja electr´ on-positr´on a partir de la energ´ıa de un fot´on de rayos γ (ver Fig. 1.18): γ −→ e− + e+ .

(1.119)

Aunque bas´ andonos en consideraciones energ´eticas, cabr´ıa pensar que un rayo γ de 0.511 MeV fuese suficiente para obtener la energ´ıa en reposo de un electr´on, el u ´nico tipo de proceso permitido en la naturaleza requiere, al menos, el doble de esta cantidad. (2) La otra raz´ on es de car´ acter pr´actico. Surge del hecho de que el proceso de creaci´ on tiene lugar normalmente a partir de choques de alta energ´ıa entre part´ıculas preexistentes. As´ı por ejemplo, los mesones cargados positivamente (piones) pueden obtenerse mediante bombardeo de un blanco de hidr´ogeno con

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Fig. 1.18

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Creaci´ on de un par electr´ on-positr´ on.

protones de elevada energ´ıa: p1 + p2 −→ p + n + π + .

(1.120)

Los protones que intervienen en el choque, p1 y p2 , dan origen a un prot´on, un neutr´ on y un pi´ on. Puesto que el neutr´on y el prot´on poseen una masa en reposo casi igual, la u ´nica energ´ıa en reposo nueva que se necesita es la del pi´ on, de unos 140 MeV. Pero si p2 se encuentra en reposo inicialmente y p1 posee una gran cantidad de movimiento, interviene en el citado movimiento de todo el sistema una gran cantidad de energ´ıa cin´etica, la cual no est´a disponible para la conversi´ on en masa en reposo de part´ıculas nuevas. Est´a claro que si p1 y p2 chocasen entre s´ı con un momento igual, pero opuesto, toda la energ´ıa cin´etica estar´ıa disponible para la creaci´on de part´ıculas. Estas cuestiones ser´an discutidas en cierta profundidad en la secci´on 1.15 dedicada a las colisiones relativistas. Absorci´ on de fotones Supongamos que una part´ıcula en reposo, por ejemplo un ´atomo o un n´ ucleo, con una masa en reposo m es alcanzada por un fot´on de energ´ıa Q, el cual es completamente absorbido. El sistema as´ı formado poseer´a una masa (en movimiento) M 0 y retroceder´ a con una velocidad v. Podemos determinar esta velocidad haciendo uso de los principios de conservaci´ on: mc2 + Q = E (conservaci´on de la energ´ıa),

(1.121)

Q = p (conservaci´on del momento), (1.122) c donde E y p son la energ´ıa y el momento lineal del ´atomo o nucleo despu´es de absorber el fot´ on. Combinando estas dos ecuaciones llegamos a que: β=

v pc Q = = c E mc2 + Q

(1.123)

Observar que cuando Q  mc2 resulta simplemente que β ≈ Q/mc2 , lo cual corresponde al tipo de c´ alculo newtoniano en donde un cuerpo con una masa invariable m recibe un impulso de valor Q/c del fot´on.

La Teor´ıa de la Relatividad

39

Emisi´ on de fotones Consid´erese un ´ atomo en reposo con una masa en reposo m que emite un fot´on de energ´ıa Q. Este caso es m´ as complicado que el anterior ejemplo, puesto que el ´atomo emisor experimenta un retroceso. Supongamos que el ´atomo que retrocede posee una masa M 0 (y una masa en reposo m0 ) y una velocidad v. Entonces, aplicando los principios de conservaci´ on: E = mc2 = E 0 + Q (conservaci´on de la energ´ıa), p = 0 = p0 −

Q (conservaci´on del momento), c

(1.124) (1.125)

es decir, E 0 = mc2 − Q y p0 c = Q. Despejamos Q de estas ecuaciones haciendo uso de la relaci´on entre E 0 y p0 para el ´ atomo que retrocede: (m0 c2 )2 = (E 0 )2 − (p0 c)2 = (mc2 − Q)2 − Q2 = (mc2 )2 − 2Qmc2 .

(1.126)

Ahora bien, mc2 y m0 c2 , energ´ıas en reposo del ´atomo en sus estados inicial y final, poseen ciertos valores definidos y la diferencia entre ellos es una energ´ıa fija bien definida. Si definimos Q0 como la diferencia de energ´ıas en reposo antes y despu´es de la emisi´ on, es decir, Q0 = mc2 − m0 c2 ,

(1.127)

(m0 c2 )2 = (mc2 )2 − 2Q0 mc2 + Q20 .

(1.128)

tenemos que

As´ı finalmente,  Q = Q0

Q0 1− 2mc2

 (1.129)

Como la energ´ıa del fot´ on es proporcional a la frecuencia, el retroceso producido en la emisi´ on tiene como consecuencia una reduci´on de la frecuencia del fot´on emi´ tido (o un aumento de su longitud de onda). Unicamente si se puediera impedir de alguna manera que el ´ atomo emisor retrocediese, se transmitir´ıa ´ıntegramente la energ´ıa total desprendida, Q0 . El efecto Compton De todos los fen´ omenos que ponen de relieve las propiedades corpusculares de la radiaci´ on electromagn´etica, el efecto Compton es quiz´as el m´as directo y el m´as convincente. Este efecto consiste en el choque de un fot´on con un electr´on libre, lo que en la pr´ actica significa un electr´on que se encuentra poco ligado a un ´atomo. El choque es el´ astico, en el sentido de que no existe trasvase alguno de energ´ıa cin´etica a otras formas. En esta colisi´ on el electr´on retrocede y, como consecuencia, el fot´on

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Fig. 1.19 El efecto Compton. La dispersi´ on de la luz por un electr´ on puede considerarse como el choque de un fot´ on de momento lineal h/λ0 y un electr´ on en reposo. El fot´ on dispersado posee menos energ´ıa y por lo tanto mayor longitud de onda.

dispersado posee una energ´ıa menor y, por tanto, una longitud de onda mayor que la del fot´ on incidente. El estudio sistem´atico de este fen´omeno que a lo largo de los a˜ nos 1919-1923 llev´ o a cabo A.H. Compton, con el empleo de fotones de rayos X, le vali´ o el premio Nobel de f´ısica en 1927. El proceso de dispersi´ on Compton es, en esencia, un proceso de choque relativista, como viene descrito en la Fig. 1.19. En dicha figura podemos ver como un fot´ on de energ´ıa Q0 incide sobre un electr´on a lo largo de la direcci´on descrita por el vector unitario n ˆ 0 . Despu´es del choque el fot´on es dispersado con un ´angulo θ (medido con respecto a la direcci´on incidente) y posee una energ´ıa Q. Por su parte, el electr´ on retrocede formando un ´angulo φ con la direcci´on del fot´on incidente, posee una energ´ıa total E y un momento lineal p~e . Nuestro objetivo es obtener una expresi´on para la variaci´on de la longitud de onda del fot´ on como funci´ on del ´angulo θ y de la masa en reposo del electr´on m. Para ello aplicaremos los principios de conservaci´on: Q0 + mc2 = E + Q (conservaci´on de la energ´ıa),

(1.130)

Q Q0 =n ˆ + p~e (conservaci´on del momento), (1.131) c c donde n ˆ es el vector unitario que describe la direcci´on del fot´on dispersado. Como nos interesa el fot´ on que se dispersa, reagrupamos las dos ecuaciones anteriores del siguiente modo: n ˆ0

(Q0 − Q) + mc2 = E,

(1.132)

(ˆ n0 Q0 − n ˆ Q) = p~e c.

(1.133)

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones (Q0 − Q)2 + (mc2 )2 + 2(Q0 − Q)mc2 = E 2 , Q20

2

+ Q − 2Q0 Q cos θ =

p2e c2 .

(1.134) (1.135)

La Teor´ıa de la Relatividad

41

Restando ambas ecuaciones, 2Q0 Q(1 − cos θ) − 2(Q0 − Q)mc2 = 0

(1.136)

Por lo cual, 1 1 1 (1 − cos θ). (1.137) − = Q Q0 mc2 Si la energ´ıa cu´ antica es Q, la longitud de onda viene dada por la relaci´on de De Broglie: hc Q = hf = , (1.138) λ −34 donde h = 6.626068 × 10 J·s es la constante de Planck. Entonces, la variaci´on de la longitud de onda del fot´ on dispersado en el efecto Compton puede escribirse como: λ − λ0 = λC (1 − cos θ)

(1.139)

donde λC = h/mc es la longitud de onda de Compton y para el caso de los electrones vale 0.02426 ˚ A. Lo que Compton hizo fue verificar experimentalmente que la longitud de onda de rayos X dispersados por diversos cristales satisfac´ıa la expresi´on anterior. Es instructivo repetir el c´ alculo que acabamos de hacer usando el lenguaje de cuadrivectores. En este lenguaje, la conservaci´on del cuadrimomento se escribe como pe,0 + pγ0 = pe + pγ , T

(1.140) T

T

donde pe,0 = me c(1, 0, 0, 0) , pγ0 = (Q0 /c)(1, n ˆ 0 ) , pe = (E/c, p~e ) (Q/c)(1, n ˆ )T . Ahora, despejamos pe en la ecuaci´on anterior

y pγ =

pe,0 + (pγ0 − pγ ) = pe ,

(1.141)

y elevamos al cuadrado (multiplicando un vector escalarmente por sigo mismo) pe,0 · pe,0 + (pγ0 − pγ ) · (pγ0 − pγ ) + 2pe,0 · (pγ0 − pγ ) = pe · pe ,

(1.142)

Ahora usamos que pe,0 · pe,0 = pe · pe = (mc)2 , (pγ0 − pγ ) · (pγ0 − pγ ) = pγ0 · pγ0 + pγ · pγ + 2pγ0 · pγ = 2pγ0 · pγ , para obtener pγ0 · pγ = pe,0 · (pγ0 − pγ ).

(1.143)

Usando las expresiones de los diversos cuadrimomentos, la ecuaci´on anterior se convierte en Q0 Q(1 − cos θ) = mc2 (Q0 − Q),

(1.144)

donde hemos usado que n ˆ0 · n ˆ = cos θ. Esta ecuaci´on coincide con la ec. (1.136) y el resto de la derivaci´ on es id´entica. Este c´alculo muestra la u ´tilidad y elegancia del formalismo de cuadrivectores, pero tambi´en ha de quedar claro que no contiene f´ısica nueva.

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1.15

Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Colisiones relativistas

De la secci´ on anterior es obvio que las leyes de conservaci´on de la energ´ıa y del momento lineal juegan un papel fundamental en el an´alisis de colisiones. En esta secci´ on vamos a profundizar en esta cuesti´on con la discusi´on de varios ejemplos de colisiones relativistas donde haremos uso de la maquinaria de cuadrivectores. Ejemplo 1.15: Una part´ıcula relativista con masa ma , energ´ıa Ea y velocidad ~va choca con otra part´ıcula en reposo y de masa mb . Si las dos masas se fusionan en una sola despu´es de la colisi´ on, ¿cu´al es la masa m y la velocidad ~v de la part´ıcula compuesta? Soluci´ on. Para encontrar la masa final, vamos a hacer uso del hecho de que el m´ odulo al cuadrado del cuadrimomento es invariante e igual a m2 c2 . Si denotamos el cuadrimomento final como pf , entonces pf · pf = m2 c2 . Por conservaci´on de energ´ıa y momento tendremos que pf = pi , donde pi es el cuadrimomento total inicial, es decir, pi = pa + pb , de donde se deduce que pi · pi = (pa + pb ) · (pa + pb ) = pa · pa + pb · pb + 2pa · pb = m2a c2 + m2b c2 + 2Ea mb , donde el u ´ltimo t´ermino surge del hecho de que pb = (mb c, 0, 0, 0)T . Como pf ·pf = 2 2 m c y pf = pi , llegamos a q m = m2a + m2b + 2Ea mb /c2 . Para determinar la velocidad final, hacemos uso de la relaci´on ~v = p~f c2 /Ef . Por conservaci´ on del cuadrimomento, podemos reemplazar las componentes de pf por las de pi para llevar a γa ma~va p~a c2 = , 2 Ea + mb c γa ma + mb donde γa corresponde al factor γ para la part´ıcula a. N´otese que para va  c, este resultado se reduce al resultado no relativista ~v = ma~va /(ma + mb ).  ~v =

En mec´ anica no relativista, el concepto de sistema de referencia del centro de masas (CM) es muy u ´til. Este sistema de referencia se caracteriza por que el moP mento lineal total es cero, P~ = p~ = 0. Esta definici´on es igualmente v´alida en la mec´ anica relativista, lo que significa que siempre podemos encontrar un sistema de referencia (el del CM) donde el momento tridimensional total se anula. De P este modo, el cuadrimomento total en el sistema CM P = p adopta la forma P = (P0 , 0, 0, 0)T . Ocurre a menudo que un problema de colisiones es muy f´acil de resolver en el sistema de referencia CM. De este modo, si necesitamos resolver el mismo problema en otro sistema de referencia S, lo que podemos hacer es transformar de S a CM, resolver el problema, y transformar de vuelta al sistema S, como ilustramos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.16: Consideremos una colisi´on frontal entre un proyectil con masa ma y velocidad ~va y un objetivo estacionario con masa mb . Supongamos adem´as

La Teor´ıa de la Relatividad

43

que las dos part´ıculas se mueven despu´es de la colisi´on a lo largo de la direcci´on en la que incide el proyectil. Calcular la velocidad final ~vb de la part´ıcula b. Soluci´ on. Denotemos con S el sistema de referencia del laboratorio en el que tiene lugar el experimento (con b inicialmente en reposo) y tomemos la direcci´on de la velocidad incidente como el eje x. Para resolver el problema directamente en S, deber´ıamos escribir las ecuaciones de conservaci´on de la energ´ıa y el momento y resolverlas para determinar la velocidad final ~vb . Esto es ciertamente posible, pero es un tanto tedioso y vamos a ver como el uso del sistema de referencia CM simplifica las cosas. En el sistema CM los dos momentos tridimensionales incidentes son iguales y opuestos y es f´ acil mostrar que despu´es de la colisi´on invierten su signo. De este modo, el procedimiento que vamos a seguir es el siguiente: (i) transformar pb al sistema CM, (ii) cambiar el signo de su parte espacial p~b y (iii) transformar de vuelta a S y calcular la velocidad. Antes de hacer todo esto, necesitamos encontrar la velocidad del CM relativa a S. Como el cuadrimomento total es T  Ea + mb c2 , p~a , P= c ~ = ~v /c que hay transformar al CM es la velocidad (adimensional) en cuesti´on β β~ =

p~a c . Ea + mb c2

Ahora podemos seguir los tres pasos que describ´ıamos antes. En el sistema S del laboratorio, el cuadrimomento inicial del objetivo b es pib = (mb c, 0, 0, 0)T . ~ tenemos que el corAplicando las transformaciones de Lorentz con la velocidad β, respondiente cuadrimomento en el sistema CM es p0bi = γmb c(1, −β, 0, 0)T . En el sistema CM la colisi´ on simplemente invierte los signos de las componentes espaciales de este cuadrimomento. De esta manera, el correspondiente cuadrimomento final es p0bf = γmb c(1, β, 0, 0)T . Finalmente, transformando de vuelta al sistema S, tenemos que pfb = γ 2 mb c(1 + β 2 , 2β, 0, 0)T . Por tanto, la correspondiente velocidad final de la part´ıcula b viene dada por ~vb =

~ 2β c. 1 + β2



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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Energ´ıa unmbral en reacciones de f´ısica de part´ıculas La mayor parte de las part´ıculas elementales que han sido descubiertas se encontraron cuando fueron producidas en colisiones de otras part´ıculas. Por ejemplo, el pi´ on negativo π − se puede producir en una colisi´on entre un prot´on y un neutr´on p + n −→ p + p + π − .

(1.145)

De forma similar, el primer antiprot´on que se observ´o se produjo en una colisi´on prot´ on-prot´ on en la reacci´ on p + p −→ p + p + p + p ¯.

(1.146)

Una cantidad crucial en f´ısica de part´ıculas es la energ´ıa umbral, definida como la energ´ıa m´ınima de las part´ıculas iniciales para que la reacci´on de creaci´on de nuevas part´ıculas se produzca. Consideremos una reacci´on de la forma a + b −→ d + · · · + g.

(1.147)

T´ıpicamente, en un experimento una de las part´ıculas originales (digamos la b) est´a en reposo en el sistema del laboratorio. De este modo, el problema es conocer la energ´ıa umbral para una reacci´ on de este tipo en el sistema del laboratorio. A primera vista esto parece un problema sencillo. La energ´ıa m´ınima posible de las part´ıculas P finales es simplemente su energ´ıa en reposo mf c2 . As´ı que da la impresi´on de que P la energ´ıa umbral es simplemente mf c2 . Sin embargo, este argumento es incorrecto. El problema es que en el sistema del laboratorio el momento tridimensional inicial total no es cero. Por tanto, la conservaci´on del momento lineal (tridimensional) requiere que el correspondiente momento final sea tambi´en distinto de cero y, de este modo, las part´ıculas no pueden estar todas en reposo. As´ı pues, la energ´ıa P en reposo debe ser mayor que mf c2 . ¿Cu´al es entonces? La forma m´ as sencilla de responder esta pregunta es darse cuenta de que en el sistema CM, donde el momento tridimensional total es cero, todas las part´ıculas P pueden estar en reposo. As´ı pues, ECM ≥ mf c2 y la igualdad aqu´ı es posible cuando todas las part´ıculas est´en en reposo. Ahora podemos encontrar la energ´ıa umbral en el sistema del laboratorio comparando los cuadrimomentos totales en ambos sistemas de referencia. En el CM el cuadrimomento total tiene la forma PCM = (ECM /c, 0, 0, 0)T . En el laboratorio Plab = pa +pb , donde pa = (Ea /c, p~a )T y pb = (mb c, 0, 0, 0)T son los cuadrimomentos de las dos part´ıculas originales. Ahora, la invariancia del producto escalar, PCM · PCM = Plab · Plab , nos lleva a 2 ECM /c2 = (pa + pb ) · (pa + pb ) = pa · pa + pb · pb + 2pa · pb = m2a c2 + m2b c2 + 2Ea mb , (1.148) y despejando Ea tenemos que

Ea =

2 ECM − m2a c4 − m2b c4 . 2mb c2

(1.149)

La Teor´ıa de la Relatividad

45

P Insertando el valor m´ınimo para ECM , es decir, ECM = mf c2 , obtenemos que la energ´ıa m´ınima para el proyectil a en el sistema del laboratorio viene dada por Eamin

P ( mf )2 − m2a − m2b 2 = c 2mb

(1.150)

Un famoso ejemplo del uso de esta ecuaci´on fue el dise˜ no del experimento para verificar la existencia del antiprot´on en la reacci´on de la ec. (1.146). En esta reacci´on P mf = 4mp , mientras que ma = mb = mp , de modo que la energ´ıa umbral es 7mp c2 . Por tanto, la m´ınima energ´ıa cin´etica de los protones para producir antiprotones en la reacci´ on de la ec. (1.146) fue de 6mp c2 ≈ 5600 MeV. La reacci´on en cuesti´ on se produjo por primera vez en Berkeley, usuando protones acelerados a esta energ´ıa por un acelerador conocido como Bevatron, que hab´ıa sido dise˜ nado espec´ıficamente para acelerar protones hasta unos 6000 MeV, lo suficiente para producir la reacci´ on mencionada. Una caracter´ıstica importante de la ec. (1.150) es que el t´ermino dominante es P proporcional a ( mf )2 . De este modo, si la part´ıcula que uno espera producir es muy pesada, Eamin puede ser prohibitivamente grande. Por ejemplo, la part´ıcula conocida como ψ (o J/ψ) tiene una masa de unos 3100 MeV/c2 y fue descubierta en la reacci´ on e+ + e− −→ ψ, donde el positr´on y el electr´on tienen masas de unos 0.5 MeV/c2 . Esto significa seg´ un la ec. (1.150) que la energ´ıa umbral deber´ıa ser formidable (del orden de 107 MeV), que s´olo hoy en d´ıa empieza a ser posible. La forma de solventar este problema es colisionar haces de estas part´ıculas, con los electrones y los positrones incidiendo los unos sobre los otros con momentos aproximadamente iguales y de signo contrario. De este modo, el experimento se realiza en el sistema de referencia CM donde la energ´ıa umbral es de tan s´olo 3100 MeV. Este experimento ilustra claramente las ventajas de los colisionares frente a los aceleradores de part´ıculas convencionales.

1.16

El concepto de fuerza en mec´ anica relativista

Puede sorprender que no hayamos introducido todav´ıa el concepto de fuerza en relatividad, ya que es el concepto central en la mec´anica no relativista. Una de las razones para ello es que el concepto de fuerza juega un papel mucho menos importante en la mec´ anica relativista. Ello se debe principalmente al hecho de que no es una cantidad invariante bajo las transformaciones de Lorentz, como es evidente de nuestra discusi´ on de las aceleraciones. Otra complicaci´on es que al igual que la masa o la velocidad, la fuerza se puede definir de varias formas. Una dificultad m´as est´ a relacionada con el hecho de que la masa en reposo de un objeto puede cambiar, por ejemplo, en colisiones inel´ asticas. A continuaci´on, eludiremos hablar de esos casos y s´ olo prestaremos atenci´on a fuerzas que no cambian las masas en reposo de los objetos sobre los que act´ uan. Afortunadamente, esto incluye muchas fuerzas

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importantes en relatividad especial como por ejemplo la fuerza de Lorentz ~ + ~v × B), ~ F~ = q(E

(1.151)

~ y un campo donde una carga q se mueve en presencia de un campo el´ectrico E ~ magn´etico B. Probablemente la definici´ on m´as u ´til de fuerza (tridimensional) en relatividad es la siguiente: d~ p F~ = dt

(1.152)

donde p~ es el momento lineal relativista p~ = γm~u (~u es aqu´ı la velocidad de la part´ıcula). Con esta definici´ on, el concepto de fuerza relativista est´a de acuerdo con el de la mec´ anica no relativista cuando u  c. Otra propiedad que recomienda la definici´ on anterior es que los experimentos muestran que con esta definici´on la fuerza que aparece sobre una carga q en un campo electromagn´etico es la fuerza de Lorentz de la ec. (1.151). Otro motivo importante para escoger esta definici´on es que nos lleva hasta el teorema que relaciona el trabajo con el cambio de la energ´ıa cin´etica. Esto se puede demostrar del siguiente modo. Recordemos que en relatividad E 2 = (pc)2 + (mc2 )2 . Diferenciando en ambos lados con respecto al tiempo, vemos que E

d~ p dE = p~c2 · = p~c2 · F~ . dt dt

(1.153)

Dividiendo ahora ambos miembros por E y recordando que p~c2 /E = ~u, dE = ~u · F~ . dt

(1.154)

Multiplicando ambos lados por dt tenemos que dE = F~ · d~x,

(1.155)

donde d~x denota el desplazamiento d~x = ~udt. Finalmente, ya que E = mc2 + K y como estamos suponiendo que m no cambia, encontramos que dK = F~ · d~x,

(1.156)

que es precisamente la generalizaci´on del teorema trabajo-energ´ıa cin´etica al caso relativista. Ejemplo 1.17: Una part´ıcula cargada se mueve a lo largo de una l´ınea recta en un campo el´etrico uniforme E con velocidad v. Si el movimiento y el campo el´ectrico est´ an en la direcci´ on x, demostrar que el m´odulo de la aceleraci´on de la carga q est´ a dada por  3/2 dv qE v2 a= = 1− 2 . dt m c

La Teor´ıa de la Relatividad

47

Soluci´ on. La componente x de la versi´on relativista de la segunda ley de Newton se escribe como ! d d mv p Fx = qE = (γmv) = dt dt 1 − v 2 /c2 p p 1 − v 2 /c2 + (v 2 /c2 )/ 1 − v 2 /c2 ⇒ qE = mdv/dt 1 − v 2 /c2 3/2  mdv/dt ma dv qE v2 ⇒ qE = . = ⇒ a = = 1 − 3/2 3/2 dt m c2 (1 − v 2 /c2 ) (1 − v 2 /c2 ) En definitiva, la part´ıcula cargada seguir´ıa un movimiento acelerado similar al del astronauta en el ejemplo 1.10.  Ejemplo 1.18: Recordemos que la fuerza magn´etica ejercida sobre una carga q ~ es igual a q~v × B. ~ Si una en movimiento con velocidad ~v en un campo magn´etico B part´ıcula cargada se mueve en una ´orbita circular con una velocidad constante v en presencia de un campo magn´etico constante, demostrar que la frecuencia angular de su movimiento orbital es  1/2 v2 qB 1− 2 . ω= m c ¿Cu´ al ser´ıa el correspondiente resultado no relativista? Soluci´ on. Como la fuerza es perpendicular a la velocidad, dicha fuerza no realiza trabajo y, por tanto, no cambia la energ´ıa cin´etica, lo que significa en la pr´actica que el m´ odulo de la velocidad permanece constante. De este modo, la componente centr´ıpeta de la segunda ley de Newton se escribir´a en este caso como mv 2 /r qvB = γmaN = p , 1 − v 2 /c2 donde r es el radio de la ´ orbita. Si expresamos la velocidad en funci´on de la frecuencia angular, ω, como v = ωr, tendremos que  1/2 qB v2 ω= 1− 2 . m c En el caso no relativista (v  c), la expresi´on anterior se reduce a ω = qB/m, que es independiente de la velocidad. Este resultado tiene consecuencias muy importantes en el contexto de los aceleradores de part´ıculas.  Ejemplo 1.19: Demostrar que el momento lineal de una part´ıcula con carga e movi´endose en un c´ırculo de radio R en un campo magn´etico B est´a dado por p = 300BR, donde p est´ a en MeV/c, B en teslas y R en metros. Soluci´ on.

Del an´ alisis del ejemplo anterior se deduce que evB = γmv 2 /R = pv/R ⇒ p = eBR. Ahora, para expresar el momento lineal en MeV/c, hacemos lo siguiente: c MeV BR = 300BR MeV/c, p = eBR = MV c donde el campo magn´etico est´ a expresado en teslas y el radio en metros.



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on K 0 es un mes´on neutro que se desintegra en dos piones Ejemplo 1.20: El ka´ cargados de acuerdo con K 0 −→ π + + π − . Los piones tienen cargas opuestas y masas id´enticas e iguales a mπ = 140 MeV/c2 . Supongamos que el K 0 se desintegra en reposo en una c´ amara de burbujas en presencia de un campo magn´etico de 2.0 T (ver Fig. 1.20). Si el radio de curvatura de los piones es 34.4 cm, calcular los momentos lineales y las velocidades de los piones y la masa del mes´on K 0 .

Fig. 1.20

Soluci´ on.

Ejemplo 1.20.

Por conservaci´ on del momento lineal se tiene que pπ+ = pπ− ≡ pπ .

Por su parte, usando la relaci´ on del apartado (a) tenemos que pπ = 300BR = 300 × 2 × 0.344 MeV/c = 206.4 MeV/c. Para determinar el m´ odulo de la velocidad de los piones (el mismo para ambos), calculamos primero la correspondiente energ´ıa p Eπ = (pπ c)2 + (mπ c2 )2 = 249.17 MeV, de donde se deduce que la velocidad es igual a vπ pπ c = = 0.828. c Eπ Por otra parte, para determinar la masa en reposo del ka´on usamos la conservaci´ on de la energ´ıa: mK 0 c2 = 2Eπ ⇒ mK 0 = 498.35 MeV/c2 .



Energ´ıa potencial Puede ocurrir que, al menos en un sistema de referencia S, la fuerza F~ sobre un objeto sea el gradiente de una funci´on U (~x), es decir, F~ = −∇U (~x) y la fuerza es conservativa. Este es el caso, por ejemplo, en el cual una carga q movi´endose en un campo electrost´ atico. Cuando esto ocurre, el trabajo hecho sobre el objeto cuando

La Teor´ıa de la Relatividad

49

se desplaza una cantidad d~x es F~ · d~x = −∇U · d~x = −dU . Combinando esto con el teorema trabajo-energ´ıa cin´etica de la ec. (1.156), encontramos que dK = −dU o d(K + U ) = 0, es decir, encontramos que como en mec´anica no relativista, si la fuerza que act´ ua sobre el objeto es conservativa, K + U se conserva. Cuadrifuerza La fuerza F~ = d~ p/dt no es la parte espacial de un cuadrivector. El problema es que mientras d~ p es la parte espacial de un cuadrivector, dt no es un escalar. En este sentido, la fuerza F~ es como la velocidad ordinaria ~v = d~x/dt, y sus ecuaciones de transformaci´ on de un sistema de referencia a otro son complejas. De este modo, nos podemos preguntar si es posible construir un cuadrivector que est´e relacionado con el concepto de fuerza. La respuesta es afirmativa y se puede construir esta cuadrif uerza sin m´ as que derivar el momento lineal relativista con respecto al tiempo propio, τ , es decir, K=

dp dτ

(1.157)

(No hay notaci´ on ampliamente aceptada para la cuadrifuerza, pero K es una de las m´ as usadas. Esperemos que no se confunda con la energ´ıa cin´etica.) Como dp es un cuadrivector y dτ es un escalar, es obvio que K es un cuadrivector. Como dτ = dt/γ, podemos escribir K como T  p 1 dE d~ T ~ , = γ(F~ · ~u/c, F~ )T , (1.158) K = (K0 , K) = γ c dt dt donde ~u es la velocidad de la part´ıcula y la u ´ltima igualdad se deduce de la ec. (1.154). Vemos que la parte espacial de la cuadrifuerza es γ veces la fuerza tridimensional F~ . Como de costumbre, las ventajas del uso de una caudrifuerza tienen que ver con el hecho de que es un cuadrivector y, por tanto, se transforma de forma sencilla de acuerdo a las transformaciones de Lorentz (ver siguiente ejemplo). La principal desventaja de la cuadrifuerza es que da la derivada del momento con respecto al tiempo propio, mientras que la fuerza convencional da la derivada con respecto al tiempo en el sistema de referencia correspondiente. Como normalmente estamos interesados en el movimiento de un objeto en t´erminos del tiempo en un sistema de referencia determinado, la fuerza tridimensional es, en este sentido, m´as u ´til. Ejemplo 1.21: (a) Demostrar que las leyes de transformaci´on relativistas de las componentes de la fuerza F~ = (Fx , Fy , Fz )T vienen dadas por Fx0 =

Fy /γ Fz /γ Fx − (v/c2 )(F~ · ~u) ; Fy0 = ; Fz0 = 1 − vux /c2 1 − vux /c2 1 − vux /c2

(1.159)

donde ~u es la velocidad de la part´ıcula en sistema de referencia S y v esp la velocidad relativa del sistema S 0 con respecto a S (a lo largo del eje x) y γ = 1/ 1 − v 2 /c2 .

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(b) Particularizar estas relaciones al caso en el que el sistema S es el sistema en reposo instant´ aneo con la part´ıcula. Soluci´ on. (a) La idea m´ as sencilla es hacer uso del concepto de cuadrifuerza y de que esta cantidad se transforma como un cuadrivector, es decir, ~    ~0 0   γ −γβ 0 0 F · ~u/c F · ~u /c    Fx0   −γβ γ 0 0  ˆ  γ(u)  Fx  ,   K0 = Λ(v)K ⇒ γ(u0 )     F0  =  0 0 10 Fy  y 0 0 01 Fz Fz0 p p 0 2 2 2 2 donde p γ = 1/ 1 − v /c , β = v/c, γ(u) = 1/ 1 − u /c y γ(u ) = 0 2 2 1/ 1 − (u ) /c . Si ahora hacemos uso de γ(u0 ) dt0 = = γ(1 − vux /c2 ), γ(u) dt es sencillo llegar a las expresiones de la ec. (1.159). (b) Si S es el sistema en el que la part´ıcula est´a en reposo instant´aneo, entonces ~u = 0. De este modo, la ec. (1.159) se reduce a Fx0 = Fx ; Fy0 = Fy /γ; Fz0 = Fz /γ.

1.17



Formulaci´ on lagrangiana de la relatividad especial

En esta secci´ on discutiremos brevemente c´omo se puede describir la din´amica relativista desde un punto de vista de una formulaci´on lagrangiana. Para hacerlo recurriremos al principio de Hamilton y simplemente buscaremos una funci´on L para la cual las ecuaciones de Euler-Lagrange, obtenidas del principio variacional Z t2 δS = δ Ldt = 0, (1.160) t1

est´en de acuerdo con las ecuaciones de movimiento relativista que hemos derivado en la secci´ on anterior. Un lagrangiano relativista para una part´ıcula que est´a sometida a fuerzas conservativas independientes de la velocidad viene dada por p (1.161) L = −mc2 1 − β 2 − U, donde U es la funci´ on energ´ıa potencial, que s´olo depende de la posici´on, y β = v/c, donde v es la velocidad de la part´ıcula en el sistema de referencia que estemos considerando. Veamos que efectivamente este lagrangiano nos lleva a las ecuaciones de movimiento correctas. Para ello escribimos primero las ecuaciones de Lagrange:   d ∂L ∂L − = 0. (1.162) dt ∂vi ∂xi

La Teor´ıa de la Relatividad

51

Como el potencial es independiente de la velocidad, tenemos que ∂L mvi = pi . =p ∂vi 1 − β2 Por tanto, las ecuaciones de Lagrange adoptan la forma ! d ∂U mvi p =− = Fi , 2 dt ∂x i 1−β

(1.163)

(1.164)

lo que est´ a de acuerdo con la ec. (1.152). N´otese que el langrangiano relativista ya no es igual a K − U , pero la derivada parcial de L con respecto a la velocidad es igual al momento. Por otra parte, es obvio que podemos extender el lagrangiano de la ec. (1.161) al caso de sistemas de muchas part´ıculas y cambiar las coordenadas cartesianas por coordenadas generalizadas q. Los momentos can´onicos, p, se seguir´ıan definiendo como pi =

∂L . ∂ q˙i

(1.165)

Adem´ as, si L no depende expl´ıcitamente del tiempo, entonces existe una constante del movimiento X H= q˙i pi − L. (1.166) i

Usando la ec. (1.161), tenemos que p mv 2 mc2 H=p + mc2 1 − β 2 + U = p + U = K + U + mc2 = E. (1.167) 1 − β2 1 − β2 As´ı pues, podemos identificar esta constante del movimiento H como la energ´ıa total E. Ejemplo 1.22: Usar la formulaci´on lagrangiana para derivar la ecuaci´on de movimiento de una part´ıcula relativista sometida a una fuerza constante. Soluci´ on. Sin p´erdida de generalidad podemos tomar el eje x como la direcci´on de la fuerza constante. De este modo, el lagrangiano viene dado por p L = −mc2 1 − β 2 + max, donde β = x/c ˙ y a es una constante que determina la magnitud de la fuerza por unidad de masa. La ecuaci´ on de movimiento ser´a obviamente ! d β a p = . 2 dt c 1−β Una primera integraci´ on nos da β at + α at + α p = ⇒β= p , c c2 + (at + α)2 1 − β2

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donde α es una constante de integraci´on. Una segunda integraci´on sobre t desde 0 hasta t y sobre x desde x0 hasta x nos da Z t (at0 + α)dt0 p , x − x0 = c c2 + (at + α)2 0 nos conduce a la soluci´ on completa i p c hp 2 x − x0 = c + (at + α)2 − c2 + α2 . a Si la part´ıcula comienza en reposo desde el origen tenemos que x0 = 0 y v0 = 0 = α, entonces la soluci´ on anterior se reduce a  2 c4 c2 − c2 t2 = 2 , x+ a a que es la ecuaci´ on de una hip´erbola en el plano x, t. Recordemos que bajo las mismas condiciones, el movimiento no relativista corresponde a una par´abola. El l´ımite no relativista se obtiene de la soluci´on completa considerando que (at + α) es peque˜ no frente a c.  1.18

Introducci´ on a la relatividad general

La generalizaci´ on de la relatividad a sistemas de referencia no inerciales fue llevada a cabo por Albert Einstein en 1915 y se conoce como la teor´ıa general de la relatividad. Dicha teor´ıa puede considerarse como una generalizaci´on de la teor´ıa de la gravedad de Newton. Desgraciadamente, la teor´ıa de la relatividad general es considerablemente m´ as complicada desde el punto de vista matem´atico que la relatividad especial. Sin embargo, debido a su importancia en ´areas como la astrof´ısica o la cosmolog´ıa, es interesante hacer aqu´ı una primera aproximaci´on a este hermosa teor´ıa. La descripci´ on detallada de la relatividad general requiere el uso de an´alisis tensorial y geometr´ıa diferencial y, por tanto, est´a fuera del alcance de nuestro curso. Lo que haremos a continuaci´ on es introducir el principio de equivalencia, en el que se fundamenta la relatividad general, y despu´es repasaremos de forma cualitativa algunas de las predicciones b´ asicas de esta teor´ıa. 1.18.1

El principio de equivalencia

El fundamento de la teor´ıa general de la relatividad es el principio de equivalencia, que nos dice: “Un campo gravitatorio homog´ eneo es completamente equivalente a un sistema de referencia uniformemente acelerado”.

Este principio surge en la mec´anica newtoniana debido a la igualdad entre la masa inercial y la masa gravitatoria. Para entender mejor el significado del principio de equivalencia, consideremos un compartimento situado en el espacio, alejado de toda materia y que se encuentra sometido a una acelaraci´on uniforme ~a, tal y

La Teor´ıa de la Relatividad

53

Fig. 1.21 Los resultados de los experimentos en un sistema de referencia uniformemente acelerado no pueden distinguirse de los realizados en un campo gravitatorio uniforme (b) si la aceleraci´ on ~a y el campo gravitatorio ~g tienen el mismo m´ odulo.

como se muestra en la Fig. 1.21(a). No se puede llevar a cabo ning´ un experimento mec´ anico en el interior del compartimento que permita distinguir si ´este se encuentra acelerando en el espacio o se encuentra en reposo (o movi´endose con velocidad constante) en presencia de un campo gravitatorio uniforme ~g = −~a, como se muestra en la Fig. 1.21(b). Si dentro del compartimento se sueltan algunos objetos, caer´an hacia el “suelo” con una aceleraci´on ~g = −~a. Si una persona est´a sobre una balanza de muelle, leer´ a que su “peso” tiene un valor ma. Einstein supuso que el principio de equivalencia se aplica a todas las ramas de la f´ısica y no s´ olo a la mec´ anica. Supuso que no pod´ıa existir ning´ un experimento que distinguiese entre un movimiento uniformemente acelerado y la presencia de un campo gravitatorio. Como el principio de equivalencia establece que un sistema en presencia de un campo gravitatorio se asemeja a un sistema acelerado, esto significa que la relatividad especial no se aplica a sistemas bajo la acci´on de la gravedad. Esto le llev´o a Einstein a desarrollar una teor´ıa de la gravitaci´on compatible con los postulados de la relatividad especial. Esta teor´ıa introducida en 1916 se conoce con el nombre de teor´ıa de la relatividad general. En las pr´oximas subsecciones discutiremos algunas de las predicciones fundamentales de esta teor´ıa. 1.18.2

Desviaci´ on de la luz por un campo gravitatorio

Una de las consecuencias m´ as importantes del principio de equivalencia es la desviaci´ on de la luz en un campo gravitatorio. Para entender este hecho, consideremos la Fig. 1.22 que nos muestra un rayo de luz que entra en un compartimento que est´ a acelerando con aceleraci´on ~a. En esta figura se muestran varias posiciones

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Fig. 1.22 (a) Haz de luz movi´ endose en l´ınea recta a trav´ es de un compartimento que experimenta una aceleraci´ on uniforme. La posici´ on del haz se muestra a intervalos iguales de tiempo t1 , t2 , t3 y t4 . (b) En el sistema de referencia del compartimento la luz describe una trayectoria parab´ olica como lo har´ıa una pelota si fuera lanzada horizontalmente. Para mayor claridad, los desplazamientos verticales en (a) y (b) est´ an muy exagerados.

sucesivas a intervalos de tiempo iguales. Como el compartimento se est´a acelerando, la distancia que recorre en cada intervalo de tiempo se incrementa con el tiempo. El camino del rayo de luz, tal y como se observa desde dentro del compartimento, es por tanto una par´ abola. Pero de acuerdo con el principio de equivalencia, no hay forma de distinguir entre un compartimento acelerado y uno con velocidad constante en un campo gravitatorio uniforme. Por tanto, podemos concluir que el rayo de luz se acelerar´ a en un campo gravitatorio como cualquier objeto con masa en reposo. As´ı por ejemplo, cerca de la superficie de la Tierra la luz caer´a con un aceleraci´ on de 9.8 m/s2 . Esto es dif´ıcil de observar debido a la enorme velocidad de la luz. Por ejemplo, en una distancia de 3000 km, que es recorrida por la luz en 0.01 s, un rayo de luz deber´ıa caer unos 0.5 mm. Einstein se˜ nal´o que la desviaci´on de la luz en un campo gravitatorio podr´ıa observarse cuando la luz de una estrella lejana pasase cerca del Sol. Einstein calcul´ o en su art´ıculo original (1915) el ´angulo de deflexi´on α que sufre un haz de luz procedente de una estrella al pasar por las inmediaciones del Sol, ver Fig. 1.23, y obtuvo como resultado α=

4GM Rc2

(1.168)

donde R es la distancia m´ınima al centro Sol, M es la masa del Sol (M = 1.99×1030 kg) y G es la constante de gravitaci´on universal. Suponiendo que el rayo pasa justo por la superficie del Sol, entonces R = 6.96 × 108 m, lo cual da α = 1.75 segundos de arco. En realidad, como se muestra en uno de los problemas avanzados al final de este cap´ıtulo, este resultado (salvo un factor 2) se puede obtener cl´asicamente suponiendo que un fot´ on posee una masa en reposo igual a p/c, donde p es su momento lineal. La predicci´ on de la ec. (1.168) fue comprobada en 1919 por el astr´ onomo brit´ anico Eddington.

La Teor´ıa de la Relatividad

55

Fig. 1.23

Desviaci´ on (muy exagerada) de un haz de luz debido a la atracci´ on gravitatoria del Sol.

1.18.3

Lentes gravitatorias

La desviaci´ on de la luz por parte de un campo gravitatorio juega hoy en d´ıa un papel crucial en la astronom´ıa y la astrof´ısica a trav´es del fen´omeno conocido como efecto de lente gravitatoria (gravitational lensing). Este fen´omeno, predicho por Einstein en 1936 [A. Einstein, Science 84, 506 (1936)], consiste en la distorsi´on y amplificaci´ on de la imagen de objetos lejanos (como galaxias) producida por la desviaci´ on de la luz por parte de objetos como estrellas o galaxias, que act´ uan de forma similar a como lo hace una lente ordinaria. El principio de lente gravitatoria se ilustra de forma esquem´ atica en la Fig. 1.24.

Fig. 1.24 Lentes gravitatorias que curvan la luz procedente de objetos distantes. Las flechas naranjas indican la posici´ on aparente de los objetos, mientras que las blancas indican el camino que la luz ha seguido realmente.

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Fig. 1.25 “Anillos de Einstein” captados por el telescopio Hubble. Galaxias el´ıpticas situadas a unos 2000-4000 millones de a˜ nos-luz act´ uan como lentes gravitatorias deformando la imagen de otras galaxias situadas a una distancia dos veces m´ as grande.

El propio Einstein era bastante esc´eptico acerca de la posibilidad de observar este fen´ omeno y durante muchos a˜ nos fue considerado como una curiosidad acad´emica. La situaci´ on cambi´ o a finales de los a˜ nos 1970 cuando D. Walsh y sus colaboradores descubrieron en 1979 una doble imagen del quasar QSO 0957. Desde entonces, se han observado miles de ejemplos del efecto de lente gravitatoria. En la Fig. 1.25 mostramos algunos ejemplos de los llamados “anillos de Einstein” captados por el telescopio espacial Hubble. Esta deformaci´on lum´ınica se produce cuando la fuente, la lente y el observador est´ an completamente alineados; de no ser as´ı, el anillo es parcial. Las lentes gravitatorias han cobrado una importancia capital para los astr´ onomos ya que proporcionan un m´etodo ideal para estudiar la existencia y la naturaleza de la materia oscura en el universo. 1.18.4

El corrimiento al rojo gravitacional

Otra predicci´ on importante de la relatividad general est´a relacionada con el efecto que tiene un campo gravitatorio sobre el ritmo de los relojes y sobre las frecuencias de la luz. De nuevo, esto es una consecuencia directa del principio de equivalencia, como pasamos a demostrar. Consideremos dos fuentes de luz id´enticas (A y A0 ) situadas en dos naves espaciales id´enticas (S y S 0 ), como se ilustra en la Fig. 1.26. La nave S 0 en la Fig. 1.26(b) est´a situada lejos de cualquier masa. En el instante t = 0, S 0 comienza a acelerar, y simult´aneamente un ´atomo en la fuente A0 emite un pulso de luz con una frecuencia f0 . Durante el tiempo t = h/c que necesita la

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Fig. 1.26 (a) Sistema de referencia S en reposo en el campo gravitatorio de un planeta. (b) Nave espacial S 0 , lejos de cualquier masa, que acelera con ~a = −~g .

luz para viajar de A0 a B 0 , B 0 adquiere una velocidad v = at = gh/c, y el detector B 0 , que retrocede con respecto a la posici´on original de A0 , mide una frecuencia de la luz incidente igual a f que est´a corrida al rojo por una fracci´on dada por (f0 − f )/f0 ≈ β para v  c (ver secci´on 1.5). De este modo, (f0 − f )/f0 = ∆f /f0 ≈ β = v/c = gh/c2

(1.169)

N´ otese que el miembro de la derecha de la ecuaci´on anterior es igual a la diferencia de potencial gravitatorio (es decir, la energ´ıa potencial gravitatoria por unidad de masa) ∆φ = gh entre A y B, dividida por c2 . De acuerdo con el principio de equivalencia, el detector B en S debe tambi´en medir una frecuencia igual a f para la luz incidente, aunque S est´ a en reposo con respecto al planeta y, por tanto, el corrimiento no tiene nada que ver con el efecto Doppler. Ya que el ´atomo emisor que produjo el pulso en A puede ser considerado como un reloj, el observador en B debe concluir que el reloj en A corre m´as lento que el reloj en B. Ya que A est´a situado en el punto de menor potencial gravitatorio, el observador concluye que los relojes corren m´ as despacio cuanto menor sea el potencial gravitatorio. Este corrimiento del ritmo de los relojes hacia frecuencias m´as bajas, o hacia mayores longitudes de onda, al disminuir el potencial gravitatorio se conoce con el nombre de corrimiento al rojo gravitacional. En el caso m´ as general de una masa esf´erica M que no rota, el cambio de potencial gravitatorio entre la superficie a una distancia R del centro y un punto en el infinito viene dada por Z ∞ GM GM dr = (1.170) ∆φ = 2 r R R y el factor por el cual la gravedad corre la frecuencia de la luz es ∆f /f0 = (f0 − f )/f0 = GM/c2 R

(1.171)

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

Fig. 1.27 Corrimiento al rojo de un haz luminoso cuando se mueve hacia arriba en un campo gravitatorio.

o f /f0 = 1 − GM/c2 R (corrimiento al rojo gravitacional)

(1.172)

Este corrimiento al rojo se ilustra de forma esquem´atica en la Fig. 1.27. Si la luz se mueve en sentido opuesto, es decir, desde valores grandes a valores peque˜ nos del potencial gravitatorio, los l´ımites de integraci´on en la ec. (1.170) se invierten y la ec. (1.172) se convierte en f /f0 = 1 + GM/c2 R (corrimiento al azul gravitacional)

(1.173)

El an´ alisis de los corrimientos gravitacionales de las frecuencias de la luz procedente de estrellas es extremadamente dif´ıcil debido a varios factores. Por ejemplo, la luz se corre hacia el rojo cuando sale de una estrella y se corre hacia el azul cuando llega a la Tierra. El corrimiento al azul al llegar a la Tierra suele ser despreciable. Sin embargo, el corrimiento al rojo de estrellas y galaxias debido a su movimiento de recesi´ on con respecto a nosotros debido a la expansi´on del universo suele ser mucho mayor que el corrimiento al rojo debido a efectos gravitatorios. Una complicaci´on adicional proviene del ensanchamiento t´ermico de las frecuencias en las atm´osferas estelares. En realidad, la primera comprobaci´on experimental del efecto gravitatorio sobre las frecuencias de la luz se realiz´o sobre la superficie de la Tierra. En 1960 primero y despu´es en 1964, R.V. Pound y sus colaboradores midieron el corrimiento en la frecuencia de rayos gamma de 14.4 keV emitidos por n´ ucleos de 57 Fe cayendo desde una altura de h = 22.5 m. Usando el efecto M¨ossbauer, las medidas de Pound y sus colaboradores estaban de acuerdo con el corrimiento al azul predicho (gh/c2 = 2.45 × 10−15 ) con un error del 1%. Los detalles sobre estos experimentos se pueden encontrar en R.V. Pound and G.A. Rebka, Jr. Phys. Rev. Lett. 4, 337 (1960) y R.V. Pound and J.L. Snider Phys. Rev. Lett. 13, 539 (1964).

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Fig. 1.28 Un disco de polvo de 3700 a˜ nos-luz de di´ ametro rodea a un agujero negro situado en el centro de la galaxia el´ıptica NGC 7052 y que tiene una de masa de 300 millones de veces la del Sol.

1.18.5

Agujeros negros

Los agujeros negros fueron predichos por primera vez por J.R. Oppenheimer and H. Snyder en 1939. De acuerdo con la teor´ıa general de la relatividad, si la densidad de un objeto como una estrella es suficientemente grande, la atracci´on gravitatoria ser´a tan grande que nada puede escapar de su superficie, ni siquiera la luz o cualquier otra radiaci´ on electromagn´etica. Una propiedad notable de un agujero negro es que nada de lo que ocurre en su interior puede estar comunicado con el exterior. Esto ocurre cuando el potencial gravitatorio en la superficie de una masa M es tan grande que la frecuencia de la radiaci´on emitida desde la superficie se corre al rojo hasta tener frecuencia cero. Seg´ un la ec. (1.172) esto ocurrir´a cuando el radio de la masa alcance el valor cr´ıtico RG = GM/c2 . Este resultado es una consecuencia del principio de equivalencia, pero la ec. (1.172) s´olo es v´alida cuando v  c. Una derivaci´ on precisa del valor cr´ıtico RG , conocido como radio de Schwarzschild da 2GM (1.174) c2 Para que un objeto con la masa del Sol fuera un agujero negro, su radio deber´ıa ser de 3 km. Durante mucho tiempo se cuestion´o la existencia de estos objetos, pero en los u ´ltimos a˜ nos se han identificado muchos agujeros negros, incluyendo uno supermasivo en el centro de nuestra galaxia. Un ejemplo de agujero negro observado con el telespocio espacial Hubble se muestra en la Fig. 1.28. Es interesante se˜ nalar que la ec. (1.174) fue derivada por primera vez en el siglo XIX por el f´ısico franc´es Pierre Laplace usando la mec´anica newtoniana. Lo que RG =

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

Fig. 1.29 El sistema binario PSR 1913+16 pierde energ´ıa debido a la emisi´ on de ondas gravitacionales. Este gr´ afico compara el cambio en el tiempo de revoluci´ on calculado (l´ınea continua) y medido (puntos).

´el hizopfue calcular la velocidad de escape ve de un planeta esf´erico de masa M , ve = 2GM/r, y la igual´ o a la velocidad de la luz (c). Esto le llev´o directamente a la ec. (1.174). Laplace obtuvo el resultado correcto cometiendo dos errores fundamentales que se cancelan el uno al otro. 1.18.6

Ondas gravitatorias

La teor´ıa de la relatividad general predice la existencia de ondas gravitacionales. Al igual que una carga el´ectrica genera ondas electromagn´eticas, una masa acelerada deber´ıa generar ondas gravitacionales que se propagar´ıan a la velocidad de la luz. Estas ondas son distorsiones de espacio-tiempo que se propagan a la velocidad de la luz. Hasta hace unos d´ıas tan s´olo exist´ıa evidencia indirecta de la existencia de ondas gravitacionales. En 1974 R.A. Hulse y J.H. Taylor descubrieron el primer pulsar binario, es decir, un par de estrellas de neutrones orbitando una alrededor de la otra, una de las cuales estaba emitiendo pulsos de radiaci´on electromagn´etica. En un preciso experimento, demostraron que el decrecimiento en el periodo orbital del par estaba en buen acuerdo con las predicciones de la relatividad general para el ritmo de p´erdida de energ´ıa gravitacional por medio de la emisi´on de ondas gravitatorias (ver Fig. 1.29).

1.19

Bibliograf´ıa recomendada

Para una introducci´ on o repaso de la relatividad especial sin excesivas complicaciones matem´ aticas, se recomienda:

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• Cap´ıtulo 39 de “F´ısica para la ciencia y la tecnolog´ıa, Vol. 2C” (6a edici´on) de Tipler y Mosca, editorial Revert´e. • Cap´ıtulo 1 de “Modern Physics” (6th edition) de Tipler y Llewellyn, W.H. Freeman. • Cap´ıtulo 1 de “Modern Physics” (3rd edition) de R.A. Serway, C.J. Moses and C.A. Moyer, Thomson/Brook Cole (2005). En particular, el libro de Tipler y Llewellyn contiene una descripci´on detallada del experimento de Michelson y Morley y una discusi´on amplia de los diagramas espacio-temporales. En este libro tambi´en se puede encontrar un an´alisis de las dos paradojas mencionadas en la secci´on 1.7. Sin duda el mejor libro de introducci´on a la relatividad especial es: • “Introducci´ on a la Relatividad Especial”, J.H. Smith, editorial Revert´e. El nivel de matem´ aticas que presupone el autor en este texto es incluso un poco inferior al de nuestro curso. Este libro contiene, en especial, la descripci´on de muchos de los experimentos fundamentales que contribuyeron a confirmar la relatividad especial. Adem´ as, el libro de French contiene descripciones muy detalladas, por ejemplo, del experimento de Michelson y Morley, de los diagramas espacio-tiempo, del experimento original sobre la dilataci´on del tiempo para los muones producidos en rayos c´ osmicos y de la paradoja de los gemelos. Su u ´ltimo cap´ıtulo (cap´ıtulo 8) acerca de la conexi´ on entre relatividad especial y electromagnetismo es sencillamente genial. Para nuestro curso recomiendo la lectura de los cap´ıtulos del 3 al 7. Otras tres referencias cl´ asicas muy recomendables para aprender la interpretaci´ on ge´ ometrica de la relatividad especial y sobre la formulaci´on lagrangiana de esta teor´ıa son: • Cap´ıtulo 5 de “Mec´ anica Cl´asica”, John R. Taylor, editorial Revert´e. • Cap´ıtulo 7 de “Classical Mechanics” (3rd edition), Herbert Goldstein, Charles Poole y John Safko, editorial Addison Wesley. • Cap´ıtulo 14 “Classical Dynamics of Particles and Systems” (5th edition), Stephen T. Thornton and Jerry B. Marion, editoral Thomson Brooks/Cole. Para aquellos que deseen una introducci´on m´as seria y profunda a la relatividad general, yo les recomendar´ıa: • “Relativity, Gravitation and Cosmology: A Basic Introduction”, Ta-Pei Cheng (Oxford Master Series in Physics). Este texto proporciona una introducci´on muy gradual a la relatividad general y a todo su aparato matem´ atico (tensores y geometr´ıa diferencial) que se puede seguir sin muchas problemas. Finalmente, para aquellos que les guste la literatura de divulgaci´on cient´ıfica, tres recomendaciones:

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

• “Sobre la Teor´ıa de la Relatividad Especial y General”, Albert Einstein, Alianza Editorial. • “Einstein’s Telescope” Evalyn Gates, W.W. Norton and Company 2009. • “Brev´ısima Historia del Tiempo”, Stephen Hawkings, Editorial Cr´ıtica, 2005. Siempre es bueno leer al autor de una teor´ıa y el libro de Einstein de 1916, dirigido a todos los p´ ublicos, nos proporciona una idea muy clara de su motivaci´on para desarrollar la teor´ıa de la relatividad. Los aficionados a la astronom´ıa no deber´ıan perderse el libro de Evalyn Gates, donde se relata de una forma muy amena la importancia de las lentes gravitatorias en la astronom´ıa moderna y, en particular, en la b´ usqueda de la materia y la energ´ıa oscura.

1.20

Ejercicios del Cap´ıtulo 1

Cuestiones de cin´ ematica relativista (1) Dos sucesos ocurren en el mismo punto x00 en los instantes t01 y t02 en el sistema S 0 , que se est´ a moviendo con velocidad v (a lo largo del eje x) con respecto al sistema S. (a) ¿Cu´ al es la separaci´on espacial entre estos dos sucesos en el sistema S? (b) ¿Cu´ al es la separaci´on temporal de estos dos sucesos en el sistema S? Soluci´ on: (a) x1 − x2 = γv(t01 − t02 ); (b) t1 − t2 = γ(t01 − t02 ). (2) Un observador ve un sistema formado por una masa que oscila en el extremo de un muelle que pasa frente a ´el con una velocidad u y determina el periodo T de oscilaci´ on. Otro observador, que se mueve con el sistema masa-muelle, mide tambi´en su periodo. ¿Cu´ al es p la relaci´on entre ambos periodos? Soluci´ on: T 0 = γ(u)T = T / 1 − u2 /c2 . (3) Una nave espacial se dirige a una estrella que se halla a 35 a˜ nos-luz a una 8 velocidad de 2.7 × 10 m/s. ¿Cu´anto tarda en llegar a la estrella (a) seg´ un se mide desde la Tierra y (b) seg´ un se mide desde la propia nave? Soluci´ on: (a) 38.88 a˜ nos; (b) 16.94 a˜ nos. (4) La vida media propia de un mu´on es 2 µs. Un haz de muones se est´a moviendo a 0.999c. (a) ¿Cu´ al es su vida media en el sistema del laboratorio? (b) ¿Qu´e distancia recorrer´ an en valor medio antes de desintegrarse? Soluci´ on: (a) 44.73 µs; (b) 13.42 km. (5) Una regla que tiene una longitud propia de 1 m se mueve en una direcci´on a ´ lo largo de su longitud con velocidad relativa v respecto a un observador. Este mide la longitud de la regla y su resultado es 0.914 m. ¿Cu´al es la velocidad v? Soluci´ on: 0.293c. (6) En un sistema de referencia S, un evento B ocurre 2 µs despu´es de un evento A y a una distancia ∆x = 1.5 km del evento A. (a) ¿A qu´e velocidad se debe mover un observador a lo largo del eje +x para que vea que los dos eventos ocurren simult´ aneamente? (b) ¿Es posible que haya un observador para el cual

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(7)

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el evento B ocurra antes que el A? Soluci´ on: (a) 0.4c; (b) s´ı, siempre que su velocidad sea mayor que 0.4c. Un rayo de luz se mueve a lo largo del eje y 0 con velocidad c en el sistema de referencia S 0 , que se est´ a moviendo hacia la derecha (eje x) con una velocidad v con respecto al sistema S. (a) Determinar las componentes ux y uy de la velocidad del rayo de luz en el sistema S. (b) Demostrar que el m´odulo de la velocidad del rayo en S es c. Soluci´ on: (a) ux = v y uy = c/γ; (b) u = c. Una fuente luminosa que se est´a acercando a la Tierra con velocidad v emite luz de sodio de 620 nm de longitud de onda. En el sistema de referencia de la Tierra el valor medido es de 589 nm. Hallar v. Soluci´ on: v = 0.0512c. Una galaxia se est´ a alejando de nosotros con una velocidad de 1.85 × 107 m/s. Calcular el desplazamiento relativo hacia el rojo (λ−λ0 )/λ0 en la luz procedente de esta galaxia. Soluci´ on: (λ − λ0 )/λ0 = 0.0637 ¿A qu´e velocidad te deber´ıas mover hacia una luz roja (λ = 650 nm) para que te parezca amarilla (λ = 590 nm)? Soluci´ on: 0.0965c.

Cuestiones de din´ amica relativista (11) Una part´ıcula se mueve con velocidad menor que c/2. Si su velocidad se dobla, ¿qu´e ocurre con su momento lineal? Soluci´ on: Se hace infinito. (12) Dar un argumento f´ısico para demostrar que es imposible acelerar un objeto de masa m hasta alcanzar la velocidad de la luz, aunque una fuerza constante est´e actuando sobre ella. Soluci´ on: Se requerir´ıa una energ´ıa infinita. (13) El l´ımite superior para la velocidad de un electr´on es la velocidad de la luz c. ¿Significa esto que el momento lineal tambi´en tiene un l´ımite superior? Soluci´ on: El momento lineal no est´a acotado, puede ser infinito. (14) Los fotones tienen masa cero. ¿C´omo es posible que tengan un momento finito? Soluci´ on: Tienen un momento finito porque tienen una energ´ıa finita: p = E/c. (15) Un electr´ on (cuya energ´ıa en reposo es 0.511 MeV) se mueve a una velocidad de 0.6c con respecto al sistema de referencia del laboratorio. Determinar (a) el factor γ, (b) el m´ odulo del momento lineal p en unidades de MeV/c, (c) su energ´ıa total E y (d) su energa cintica K. Soluci´ on: (a) 1.25; (b) 0.383 MeV/c; (c) 0.638 MeV; (d) 0.127 MeV. (16) La velocidad orbital del Sol relativa al centro de la v´ıa l´actea es de 250 km/s. ¿Cu´ al es el cociente entre los valores relativistas y newtonianos del momento lineal y de la energ´ıa cin´etica del Sol?

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

Soluci´ on: prel /pclas = 1.000000347; Erel /Eclas = 0.99936. (17) En una reacci´ on de fusi´ on nuclear dos ´atomos 2 H se combinan para producir un 4 atomo He. (a) Calcular el decrecimiento de la masa en reposo. (b) ¿Cu´anta ´ energ´ıa se libera en esta reacci´on? (c) ¿Cu´antas reacciones de este tipo han de tener lugar por segundo para producir una potencia de 1 W? Nota: el ´atomo de 2 H tiene una masa de 2.014102u y el de 4 He de 4.002602u, donde u = 1.66054 × 10−27 kg = 931.494 MeV/c2 es la unidad de masa at´omica. Soluci´ on: (a) 23.84 MeV; (b) 23.84 MeV; (c) 2.61 × 1011 . (18) Demostrar que los procesos siguientes son imposibles: (a) Un fot´on choca con un electr´ on en reposo y le cede toda su energ´ıa al electr´on. (b) Un fot´on situado en el espacio libre se transforma en un electr´on y un positr´on. (c) Un positr´on r´ apido y un electr´ on en reposo se destruyen mutuamente dando lugar a un solo fot´ on. (19) El Sol irradia al espacio una energ´ıa de unos 4.0 × 1026 J por segundo. (a) ¿Cu´ anta masa se convierte en energ´ıa por segundo? (b) Si la masa del Sol es de 2.0 × 1030 kg, ¿cu´ anto tiempo sobrevivir´a el Sol si sigue emitiendo a este ritmo? Soluci´ on: 4.4 × 109 kg; (c) 1.427 × 1013 a˜ nos. Cuestiones de relatividad general (20) Dos relojes id´enticos est´ an en la misma casa, uno en el dormitorio del piso de arriba y el otro la cocina en el piso de abajo. ¿Cu´al de los dos relojes marca un menor tiempo? Soluci´ on: El reloj de la cocina va m´as despacio. Problemas de cinem´ atica relativista (21) La vida media propia de los mesones π (piones) es de 2.6 × 10−8 s. Si un haz de estas part´ıculas tiene una velocidad de 0.9c, (a) ¿cu´al es el tiempo de vida media medido en el laboratorio?, (b) ¿qu´e distancia recorren en promedio antes de decaer?, (c) ¿cu´ al ser´ıa la respuesta a la pregunta (b) si despreciamos la dilataci´ on del tiempo? Soluci´ on: (a) 5.96 × 10−8 s; (b) 16.10 m; (c) 7.02 m. (22) Un astronauta desea ir a una estrella que est´a a cinco a˜ nos-luz. (a) Calcular la velocidad de la nave con respecto a la Tierra de manera que el tiempo, medido en el reloj del astronauta, sea de un a˜ no. (b) ¿Cu´al ser´a el tiempo de la misi´on medido por un observador terrestre? Soluci´ on: (a) 0.98c; (b) 5.02 a˜ nos. (23) Dos naves espaciales se mueven en direcciones opuestas. Un pasajero en la nave A, que sabe que su nave mide 100 m, ve que la nave B se mueve con una velocidad de 0.92c y que su longitud es 36 m. ¿Cu´ales son las longitudes de las dos naves medidas por un pasajero en la nave B? Soluci´ on: 39.19 m (nave A) y 91.85 m (nave B).

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(24) Un sat´elite artifical completa una ´orbita alrededor de la Tierra a una altura de 600 km en 100 minutos. ¿Cu´antos segundos por d´ıa atrasar´a un reloj en este sat´elite comparado con un reloj fijo en la Tierra? Nota: suponer por simplicidad que la Tierra es un sistema de referencia inercial e ignorar los efectos debidos al campo gravitatorio terrestre. El radio de la Tierra es 6370 km. Soluci´ on: 2.55 × 10−5 s. (25) Un destello luminoso es emitido desde el punto x1 del eje de las x y es absorbido en el punto x2 = x1 + l. En un sistema de referencia que se mueve a una velocidad v = βc seg´ un el eje de las x, (a) ¿cu´al es la separaci´on espacial l0 entre el punto en que se emite la luz y el punto en el que se absorbe? (b) ¿Cu´ anto tiempo ptranscurren entre la emisi´on y la absorci´on de la luz? Soluci´ on: (a) l (1 − β)/(1 + β); (b) (1 − β)γl/c. (26) Un destello de luz es emitido en el punto O y se absorbe despu´es en el punto P (ver Fig. 1.30). En el sistema de referencia S la l´ınea OP tiene una longitud l y forma un ´ angulo θ con el eje x. En el sistema S 0 que se mueve con respecto a S con una velocidad constante v a lo largo del eje x: (a) ¿cu´anto tiempo t0 transcurre entre la emisi´ on y la absorci´on de la luz? (b) ¿Cu´al es la separaci´on espacial l0 entre el punto de emisi´on y el de absorci´on? P l O Fig. 1.30

θ

x

Problema 1.26.

(27) Una nave parte de la Tierra con una velocidad constante igual a 3c/5. Cuando un reloj en la nave indica que ha transcurrido una hora, el cohete emite una se˜ nal luminosa hacia la Tierra. (a) De acuerdo con los relojes terrestres, ¿cu´ando se emiti´ o la se˜ nal? (b) De acuerdo con los relojes terrestres, ¿cu´anto tiempo despu´es de la partida de la nave lleg´o la se˜ nal a la Tierra? (c) De acuerdo con los relojes de la nave, ¿cu´ anto tiempo despu´es de la partida de la nave lleg´o la se˜ nal a la Tierra? (d) ¿Qu´e relojes atrasan? Soluci´ on: (a) 1.25 h; (b) 2 h; (c) 1.6 h; (d) atrasa el reloj de la nave. (28) A las doce del mediod´ıa un cohete espacial pasa frente a la Tierra con una velocidad de 0.8c. Los observadores de la nave y los de la Tierra est´an de acuerdo en que, efectivamente, es mediod´ıa. (a) A las 12:30 seg´ un un reloj situado en la nave, ´esta pasa por delante de una estaci´on interplanetaria que se encuentra en reposo con respecto a la Tierra. ¿Qu´e hora es en la estaci´on? (b) ¿A qu´e distancia de la Tierra (en coordenadas terrestres) se encuentra la estaci´on? (c) A las 12:30, hora de la nave, se establece comunicaci´on con la Tierra desde la nave. ¿Cu´ ando (en tiempo de la Tierra) recibe ´esta la se˜ nal? (d) La estaci´on

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

terrestre contesta inmediatamente. ¿Cu´ando se recibir´a la respuesta (hora de la nave)? Soluci´ on: (a) 12:50; (b) 7.2 × 1011 m; (c) 13:30; (d) 16:30. Dos naves espaciales A y B se mueven en direcciones opuestas. Cada una mide la velocidad de la otra y resulta ser (3/5)c (en m´odulo). Las naves se cruzan y en ese instante ponen sus relojes a cero. La nave A recibe un mensaje luminoso en el instante t = 320 horas, seg´ un sus relojes, indicando que ha habido una explosi´ on en la nave B que ha destruido sus plantas generadoras de ox´ıgeno y que les ha dejado tambi´en sin la posibilidad de alterar su velocidad. Los ocupantes de la nave B saben que s´ olo tienen ox´ıgeno para sobrevivir 1000 horas (seg´ un sus relojes). La nave A, inmediatamente despu´es de recibir el mensaje, manda una nave de salvamento C a la nave B. La velocidad de C, medida desde A, es de (4/5)c. (a) ¿Cu´ anto tiempo tiene que esperar la tripulaci´on de B para ser rescatados seg´ un la nave A (desde que mandan el mensaje hasta que llega la nave C)? (b) ¿Cu´ anto tiempo transcurre para los tripulantes de B? ¿Son o no rescatados? Soluci´ on: (a) 1080 h, (b) 864 h (son rescatados). Sospechando que el Sol est´ a apunto de estallar, se envia desde la Tierra una nave lejos del Sol a una velocidad de (4/5)c. Los relojes de la nave marcan t = 0, al igual que los relojes en la Tierra, cuando comienza el viaje. Cuando los relojes de la nave indican 2 a˜ nos, se detectan en la nave rayos gammas procedentes de la explosi´ on del Sol. (a) En el sistema de referencia de la nave, ¿a qu´e distancia est´ a la nave del Sol cuando se recibe la se˜ nal? (b) De acuerdo con observadores en la nave, ¿cu´ ando explot´ o el Sol? (c) ¿Cu´ando ocurri´o el desastre desde el punto de vista de observadores en la Tierra? (d) Para los viajeros de la nave, ¿a qu´e distancia del Sol estaban cuando ´este explot´o? (e) Para observadores en la Tierra, ¿a qu´e distancia estaba la nave cuando ocurri´o la explosi´on? Nota: despreciar la distancia entre el Sol y la Tierra. Soluci´ on: (a) 8/5 a˜ nos-luz, (b) 10/9 a˜ nos, (c) 2/3 a˜ nos-luz, (d) 8/9 a˜ nos-luz, (e) 8/15 a˜ nos-luz. Un nave espacial de longitud L (en el sistema de referencia de la nave) parte de la Tierra a una velocidad 4c/5. M´as tarde, se emite tras ´el una se˜ nal luminosa que llega a la cola de la nave en el instante t = 0 seg´ un los relojes de la nave y los de la Tierra. (a) ¿Cu´ ando alcanzar´a la se˜ nal la parte delantera de la nave seg´ un los relojes de la misma? (b) ¿Y seg´ un los relojes de la Tierra? Posteriormente, la se˜ nal luminosa se refleja en la parte delantera de la nave y se dirige hacia la parte trasera. (c) ¿Cu´ ando alcanza la cola seg´ un los relojes de la nave? (d) ¿Y seg´ un los relojes de la Tierra? Soluci´ on: (a) L/c; (b) 3L/c, (c) 2L/c; (d) 10L/(3c). Una regla tiene una longitud propia Lp y forma un ´angulo θ con el eje x en el sistema S. Demostrar que el ´angulo formado con el eje del sistema S 0 , que se mueve a lo largo del eje +x con una velocidad v, viene dado por tgθ0 = γtgθ y

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que la longitud de la regla en S 0 es L0 = Lp



1 cos2 θ + sen2 θ γ2

1/2 .

(33) La longitud propia de una nave espacial es tres veces la de otra. Las dos naves est´ an est´ an viajando en la misma direcci´on y, mientras se cruzan, un observador en la Tierra mide la misma longitud para ambas naves. Si la nave m´as lenta se mueve con una velocidad de 0.35c con respecto a la Tierra, determinar la velocidad de la nave m´ as r´ apida (a) con respecto a la Tierra y (b) con respecto a la nave mas lenta. Soluci´ on: (a) 0.95c; (b) −0.975c. (34) Una barra de longitud propia l0 se encuentra en reposo en un sistema S 0 . Se encuentra en el plano (x0 , y 0 ) y forma un ´angulo arcsen (3/5) con el eje x0 . Si S 0 se mueve con una velocidad constante v a lo largo del eje x del sistema S, (a) ¿cu´ al ser´ a el valor de v si, en S, se mide que la barra forma un ´angulo de 45o con el eje x? (b) ¿Cu´ al es la longitud de la barra medida en S bajo estas condiciones? √ √ Soluci´ on: (a) c 7/4; (b) 3 2l0 /5. (35) Las estrellas A y B se encuentran en reposo respecto a la Tierra. La estrella A est´ a a 27 a˜ nos-luz de la Tierra y la estrella B, vista desde la Tierra, se encuentra a´ un m´ as all´ a de la estrella A. (a) Una nave espacial viaja desde la Tierra hasta la estrella A a una velocidad tal que el trayecto dura 12 a˜ nos seg´ un los relojes de la nave. ¿Cu´ al es su velocidad respecto de la Tierra? (b) Despu´es de llegar a la estrella A, la nave acelera y se dirige hacia la estrella B con una velocidad tal que el factor γ es ahora el doble que en el apartado anterior. El trayecto desde la estrella A a la B dura 5 a˜ nos (tiempo de la nave). ¿Qu´e distancia separa en a˜ nos-luz las estrellas A y B en el sistema de referencia de la Tierra y las dos estrellas? (c) Al llegar a la estrella B, la nave se dirige hacia la Tierra con la misma velocidad que en el apartado (b). Tarda 10 a˜ nos (tiempo de la nave) en regresar a la Tierra. Si un ni˜ no naci´o en la Tierra el d´ıa de salida de la nave y permaneci´ o en la Tierra, ¿cu´al es su edad el d´ıa en que la nave regresa a la Tierra? Soluci´ on: (a) 0.913c; (b) 23.98 a˜ nos-luz; (c) 102.9 a˜ nos. (36) Un cohete, cuya longitud propia es de 60 m, se mueve alej´andose directamente de la Tierra. La nave lleva espejos en cada extremo. Una se˜ nal luminosa enviada desde la Tierra se refleja en los dos espejos. La primera se˜ nal se recibe en la Tierra despu´es de 200 s y la segunda 1.74 µs despu´es. (a) Hallar la distancia del cohete a la Tierra (medida desde el punto de vista de la Tierra) en el instante en el que se refleja la primera se˜ nal. (b) Determinar el tiempo medido desde el cohete que tarda la primera se˜ nal en regresar a la Tierra. (c) Calcular la velocidad relativa del cohete con respecto a la Tierra. Soluci´ on: (a) 3 × 107 km, (b) 457.96 s, (c) 0.8996c.

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

(37) Un cohete espacial de longitud propia l0 se mueve a velocidad constante v relativa a un sistema S (ver Fig. 1.31). La punta del cohete (A0 ) pasa por el punto A de S en el instante t = t0 = 0 y en este instante se emite una se˜ nal desde A0 hasta B 0 . (a) ¿Cu´anto tardar´a la se˜ nal en t´erminos del tiempo del cohete (t01 ) en alcanzar la cola (B 0 ) de la nave? (b) ¿En qu´e instante t1 , medido en S, alcanza la se˜ nal la cola (B 0 ) de la nave? (c) ¿En qu´e instante t2 , medido en S, pasa la cola de la nave (B 0 ) por el punto A? v B’

A’

A

Fig. 1.31

Problema 37.

(38) Un cohete de 100 m de longitud propia, que se mueve con v = 0.6c, lleva un receptor de radio en su punta. Se emite un pulso de radio desde una estaci´on espacial en reposo en el momento en que pasa frente a ella la cola del cohete. (a) ¿A qu´e distancia de la estaci´on espacial se encuentra la punta del cohete en el instante de llegada de la se˜ nal de radio a la punta? (b) En t´erminos del tiempo de la estaci´ on espacial, ¿cu´al es el intervalo de tiempo entre la llegada de esta se˜ nal y su emisi´ on desde la estaci´on? (c) ¿Cu´al es el intervalo de tiempo de acuerdo con las medidas en el sistema en reposo del cohete? Soluci´ on: (a) 200 m, (b) 6.67 × 10−7 s, (c) 3.33 × 10−7 s. (39) Un observador en un sistema de referencia S ve como dos rayos impactan simultaneamente en dos puntos separados por 100 m. El primer impacto tiene lugar en x1 = y1 = z1 = t1 = 0 y el segundo en x2 = 100 mm, y2 = z2 = t2 = 0. (a) ¿Cu´ ales son las coordenadas de estos dos eventos en un sistema de referencia S 0 en la configuraci´ on habitual con una velocidad relativa a S de 0.7c? (b) ¿Cu´al es la distancia entre los dos eventos en el sistema S 0 ? (c) ¿Son simultaneos en S 0 ? Si no lo son, ¿cu´ al es la diferencia de tiempos entre los dos eventos y cu´al ocurri´ o en primer lugar? (40) Un observador en el sistema S situado en el origen observa dos destellos de luz de color separados espacialmente por ∆x = 2400 m. Primero se produce un destello azul, seguido 5 µs despu´es por un destello rojo. Un observador en que se mueve a lo largo del eje x con una velocidad v relativa al sistema S observa tambi´en destellos separados entre s´ı 5 µs y con una separaci´on de 2400 m, pero observa primero el destello rojo. Hallar el valor y el sentido de v. Soluci´ on: ≈ 0.9c (se mueve hacia la derecha). (41) (a) Determinar mediante un c´alculo directo la matriz de Lorentz que describe un cambio de sistema de referencia S a otro S 0 que se mueve con respecto a S

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con velocidad constante en una direcci´on contenida en el pano xy y que forma un ´ angulo θ con el eje x. (b) Demostrar que ese resultado se puede obtener mediante la aplicaci´ on sucesiva de una rotaci´on alrededor del eje z con ´angulo θ, una transformaci´ on de Lorentz a lo largo del eje x y una rotaci´on alrededor del eje z con ´ angulo −θ. (42) Demostrar que la ecuaci´ on de ondas que describe la propagaci´on de la luz 1 ∂2Ψ =0 c2 ∂t2 es invariante bajo las transformaciones de Lorentz, pero no lo es bajo las transformaciones de Galileo. (43) La dilataci´ on del tiempo implica que cuando un reloj se mueve relativo al sistema S, medidas precisas hechas por observadores en S encontrar´an que el reloj atrasa (el tiempo marcado por ese reloj transcurre m´as lentamente). Esto es no significa que un observador individual en S tenga que ver (en el sentido literal de la palabra) que dicho reloj atrase. Para entender esto debemos recordar que lo que vemos viene determinado por la luz que llega a nuestros ojos. Consideremos un observador situado cerca del eje x cuando un reloj se aproxima a ´el con una velocidad v a lo largo de dicho eje. Cuando el reloj se mueve de la posici´on A a la B marcar´ a un tiempo ∆t0 , pero cuando se mide entre los dos eventos (reloj en A y reloj en B) dicho tiempo es ∆t = γ∆t0 . Sin embargo, como B est´ a m´ as cerca del observador que A, la luz desde el reloj en B alcanzar´a al observador en un intervalo de tiempo m´as corto que desde A. Por tanto, el tiempo ∆tver entre que el observador ve el reloj en A y lo ve en B es menor que ∆t. (a) Demostrar que s 1−β ∆tver = ∆t(1 − β) = ∆t0 . 1+β ∇2 Ψ −

(b) ¿Qu´e tiempo ver´ a el observador una vez que el reloj le haya pasado y se aleje de ´el? (44) Como la dilataci´ on del tiempo, la contracci´on de la longitud no puede ser vista por un u ´nico observador. Para explicar esto, imaginemos una varilla de longitud propia l0 que se mueve a lo largo del eje x de un sistema de referencia S y un observador est´ a lejos del eje x y a la derecha de la varilla. Medidas precisas de la longitud de la varilla en un instante dado en el sistema S dar´ıan como resultado l = l0 /γ. (a) Explicar por qu´e la luz que llega a los ojos del observador en un instante dado debe haber salido de los extremos A y B de la varilla en instantes distintos. (b) Demostrar que el observador ver´ıa una longitud m´as grande que l. (c) Demostrar que si el observador est´a cerca del eje x, ver´a que la longitud es mayor que l0 , es decir, ver´a que la varilla se ha expandido en lugar de contraerse. (45) Vistos desde la Tierra, dos naves espaciales A y B se est´an acercando a lo largo de direcciones perpendiculares. Si la velocidad de la nave A para un observador

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

en la Tierra es ~vA = −0.9c yˆ y la de la nave B es ~vB = +0.9c x ˆ, encontrar la velocidad de la nave A medida por el piloto de la nave B. (46) Un observador en un cohete se mueve hacia un espejo con una velocidad v = 0.8c relativa al sistema de referencia S tal y como muestra la Fig. 1.32. El espejo est´ a en reposo con respecto a S. Un pulso de luz emitido por el cohete viaja hacia el espejo, se refleja en ´el y vuelve al cohete. La parte delantera del cohete est´ a a una distancia d del espejo (tal y como lo mide un observador en S) en el momento en que el pulso de luz sale del cohete. ¿Cu´al es el tiempo total que necesita el pulso para regresar al cohete medido (a) por un observador en S y (b) por un observador en la parte delantera del cohete?

Fig. 1.32

Problema 46.

Soluci´ on: (a) (d/c)(2 − v/c); (b) (d/γc)(2 − v/c). (47) Un profesor de f´ısica en la Tierra da un examen a sus estudiantes que est´an en una nave espacial viajando a una velocidad v relativa a la Tierra. El examen comienza en el instante en que la nave pasa por donde est´a el profesor. Si ´este desea que los estudiantes tengan un tiempo T0 (medido desde la nave) para completar el examen, demostrar que el profesor deber´a esperar un tiempo (medido desde la Tierra) dado por s 1 − v/c T = T0 1 + v/c antes de enviar una se˜ nal luminosa para pedirles que paren. (48) Dos naves espaciales, cada una de 100 m de longitud (cuando se miden en reposo) viajan una hacia la otra con velocidades de 0.85c relativas a la Tierra. (a) ¿Qu´e longitud tiene cada nave medida por un observador desde la Tierra? (b) ¿Qu´e velocidad tiene cada nave medida por un observador de la otra nave? (c) ¿Qu´e longitud tiene cada nave medida por un observador de la otra nave? (d) En el tiempo t = 0 se ve desde la Tierra que las dos naves tienen sus extremos frontales en contacto, es decir, comienzan a cruzarse. ¿En qu´e momento se ver´ an juntos desde la Tierra los extremos posteriores? Soluci´ on: (a) 52.678 m; (b) 0.987c; (c) 16.07 m; (d) 2.07 × 10−7 s. (49) Dos naves espaciales, cada una de las cuales mide 100 m en su propio sistema en reposo, se cruzan entre s´ı. Los instrumentos de medida situados en la nave

La Teor´ıa de la Relatividad

Fig. 1.33

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Problema 48.

A se˜ nalan que la parte delantera de la nave B invierte 5 × 10−6 s en recorrer toda la longitud de A. (a) ¿Cu´al es la velocidad relativa de ambas naves? (b) Un reloj situado en el extremo frontal de la nave B se˜ nala exactamente la una al pasar por el extremo frontal de A. ¿Cu´al ser´a la lectura del reloj al pasar por el extremo posterior de A? Soluci´ on: (a) 2 × 107 m/s; (b) 1 en punto m´as 4.99 × 10−6 s. (50) Un prot´ on procedente de un rayo c´osmico atraviesa un laboratorio con una velocidad de 0.85c formando un ´angulo de 50o con el eje +x (en el plano xy del laboratorio). Calcular la velocidad (m´odulo y direcci´on) del prot´on desde el punto de vista de un sistema referencia que se mueve con una velocidad de 0.72c dirigida a lo largo del eje x del sistema de referencia del laboratorio. Soluci´ on: u0x = −0.286c, u0y = 0.744c. (51) Una nave se aleja de la Tierra a con velocidad v y dispara una c´apsula espacial hacia adelante a una velocidad v con respecto a la nave. El piloto de la c´apsula lanza un objeto con velocidad v con respecto a ´el. Determinar (a) la velocidad de la c´ apsula espacial con respecto a la Tierra y (b) la velocidad del objeto lanzado con respecto a la Tierra. (52) Un observador S ve luz que le llega en una direcci´on que forma un ´angulo de 30o con la direcci´ on de movimiento de un objeto A que pasa por el laboratorio a una velocidad de 0.99c ¿Cu´al es el ´angulo de emisi´on medido desde un sistema de referencia en reposo con A?

A 30o v = 0.99c

S Fig. 1.34

Soluci´ on: 29.64o .

Problema 38.

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

(53) Demostrar que si una part´ıcula se mueve formando un ´angulo θ con el eje x y con una velocidad u en el sistema S, se mover´a formando un ´angulo θ0 con el eje x0 en S 0 (un sistema que se mueve con una velocidad v a lo largo del eje x con respecto a S) dado por tgθ0 =

senθ . γ(cos θ − v/u)

(54) Una nave de longitud propia 100 m se mueve a una velocidad v = (3/5)c relativa a nosotros y contiene un pasajero que est´a en su parte trasera. El pasajero dispara una bala hacia la parte delantera de la nave. La velocidad de la bala es de (3/5)c relativa a la nave. (a) ¿Con qu´e velocidad viaja la bala con respecto a nosotros? (b) ¿Cu´al es la longitud de la nave en nuestro sistema de referencia? ¿Y en el sistema de la bala? (c) ¿Cu´anto tarda la bala en alcanzar la parte delantera de la nave seg´ un el pasajero en la nave y seg´ un nosotros? Soluci´ on: (a) (15/17)c, (b) 80 m, (c) 9.44 × 10−7 s. (55) El movimiento de un medio como el agua influencia la velocidad de la luz. Este efecto fue medido por primera vez por Fizeau en 1851. Consid´erese un rayo de luz atravesando una columna horizontal de agua que se mueve con una velocidad v. (a) Demostrar que si el rayo viaja en la misma direcci´on del flujo de agua, la velocidad de la luz medida en el sistema del laboratorio viene dada por   c 1 + nv/c , u= n 1 + v/nc donde n es el ´ındice de refracci´on del agua. Nota: usar la ley inversa de transformaci´ on de velocidades y notar que la velocidad de la luz con respecto al sistema en movimiento es c/n. (b) Mostrar que para v  c la expresi´on anterior est´a de acuerdo con el resultado experimental de Fizeau: v c u ≈ + v − 2. n n Esto demuestra que la transformaci´on de las velocidades de Lorentz y no la de Galileo es la correcta para la luz. (56) (a) Seg´ un un observador en un sistema de referencia S, un rayo de luz se mueve en el plano x-y formando un ´angulo θ con el eje x. Demostrar que el ´angulo θ0 que forma dicho rayo en un sistema de referencia S 0 que se mueve con respecto al sistema S con una velocidad v a lo largo del eje x satisface la siguiente relaci´on: cos θ0 =

cos θ − v/c 1 − (v/c) cos θ

(b) En 1727 el astr´ onomo ingl´es James Bradley descubri´o el fen´omeno conocido como la aberraci´ on de la luz. Este fen´omeno consiste en un movimiento aparente de las estrellas que al ser observadas a trav´es de un telescopio parecen describir un peque˜ no movimiento circular a lo largo del a˜ no. El di´ametro angular de los c´ırculos descritos por las estrellas es del order de 41 segundos de arco. Utiliza el resultado del apartado anterior para explicar el origen de este fen´omeno.

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(57) Consideremos dos sistemas inerciales, S y S 0 , relacionados de la manera usual. (a) En t = 0 un fot´ on parte de S y marcha en una direcci´on que forma un angulo de 45o con el eje x. ¿Qu´e ´angulo forma su trayectoria con el eje x0 de ´ S 0 ? (b) Repetir la parte (a) para el caso de un cuerpo que se mueve en S con un m´ odulo de la velocidad p p u. √ 2 /c2 /(1 − 1 − v 2v/c)], (b) arctg [ 1 − v 2 /c2 /(1 − Soluci´ o n: (a) arctg [ √ 2v/u)]. (58) Tres transmisores de radio id´enticos A, B y C, cada uno de los cuales transmite a la frecuencia f0 en su propio sistema en reposo, se encuentran en movimiento como muestra la Fig. 1.35. (a) ¿Cu´al es la frecuencia de las se˜ nales de B que recibe C? (b) ¿Cu´ nales de A que recibe C? pal es la frecuencia de las se˜ Soluci´ on: (a) ν0 (1 − β)/(1 + β); (b) ν0 (1 − β)/(1 + β). A

B

C

−v

v Fig. 1.35

Problema 58.

(59) El sistema de referencia S 0 viaja a velocidad v1 a lo largo del eje x del sistema S. Un sistema S 00 se mueve a velocidad v2 a lo largo del eje x0 de S 0 . Aplicar dos veces las transformaciones de Lorentz para encontrar las coordenadas x00 , y 00 , z 00 , t00 de cualquier evento en t´erminos de x, y, z, t. Demostrar que esta transformaci´ on es en realidad la transformaci´on de Lorentz est´andar con un velocidad v que es la suma relativista de v1 y v2 . (60) Dos naves espaciales id´enticas A y B, con longitud en reposo l0 = 1 km, avanzan paralelas la una a la otro con velocidades c/2 y c/4, respectivamente, con respecto a un sistema de referencia inercial S. Inicialmente, la nave A est´a por detras de la nave B. (a) Calcular la longitud de cada nave medida en el sistema de referencia S. (b) Hallar la velocidad y la longitud de la nave A medidas desde la nave B. (c) Obtener el tiempo que tarda la nave A en adelantar a la nave B (es decir, obtener el intervalo de tiempo entre que la parte delantera de la nave A alcanza a la parte trasera de la nave B y la parte trasera de la nave B sobrepasa la parte delantera de B) seg´ un un reloj en S, seg´ un un reloj en la nave A y seg´ un un reloj en la nave B. (61) Supongamos que una nave espacial parte de la Tierra y se aleja de ella con una aceleraci´ on constante a0 , tal y como se mide desde el interior de la nave. (a) Describir c´ omo cambia la velocidad con el tiempo, v(t), desde el sistema de referencia de la Tierra (suponer que en el instante t = 0 la nave estaba en reposo). Si la nave contin´ ua acelerando durante mucho tiempo, ¿podr´ıa superar la velocidad de la luz? (b) Calcular la distancia recorrida como funci´on del tiempo, x(t), desde el sistema de la Tierra. (c) ¿Cu´anto tardar´ıa la nave en alcanzar la estrella α-Centauro que dista 4 a˜ nos-luz de la Tierra si a0 = 10 m/s2 ?

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

p Cuando t → ∞, entonces Soluci´ on: (a) v(t) = a0 t/ 1 + a20 t2 /c2 . v → c, pes decir, la velocidad de la luz no se puede superar; (b) x(t) = nos. (c2 /a0 )( 1 + a20 t2 /c2 − 1); (c) 4.85 a˜ (a) ¿A qu´e velocidad y en qu´e direcci´on se debe estar moviendo una galaxia A para que una l´ınea de absorci´on, cuya longitud de onda en la Tierra es de 550 nm (verde), tenga una longitud de onda de 450 nm (azul)? (b) ¿A qu´e velocidad y en qu´e direcci´ on se debe estar moviendo una galaxia B para que esa misma l´ınea aparezca a 700 nm (rojo)? Soluci´ on: (a) 0.198c (la galaxia A se est´a acercando); (b) 0.236c (la galaxia B se aleja). Se detecta radiaci´ on procedente de una galaxia en Hydra con una longitud de onda de 803.77 nm. Esta radiaci´on se identifica como la l´ınea Hα del ´atomo de hidr´ ogeno cuya longitud de onda en la Tierra es de 656.28 nm. (a) ¿A qu´e velocidad se mueve esa galaxia con respecto a la Tierra? ¿Se aleja o se acerca a nosotros? (b) Utilizar la ley de Hubble para determinar a qu´e distancia se encuentra dicha galaxia. (c) Si esta galaxia pas´o frente a la Tierra hace T a˜ nos y se ha movido a velocidad constante desde entonces, ¿cu´al es el valor de T ? Nota: Hydra es un cluster de galaxias que contiene m´as de 100 galaxias brillantes (puedes ver una foto suya en http://apod.nasa.gov/apod/ap010416.html). Las galaxias m´ as lejanas que podemos detectar con el telescopio Hubble se alejan de nosotros con un par´ ametro de desplazamiento al rojo z = (f0 − f )/f = 5. (a) ¿Cu´ al es la velocidad de estas galaxias con respecto a nosotros expresada como fracci´ on de la velocidad de la luz? (b) La ley de Hubble afirma que la velocidad con la que se alejan las galaxias de la nuestra propia viene dada por v = Hr, donde v es la velocidad de alejamiento, r la distancia y H la constante de Hubble dada por H = 71 km/(s Mpc) (1 pc = 3.26 a˜ nos-luz). Hacer una estimaci´ on de la distancia a estas galaxias usando esta informaci´on. Soluci´ on: (a) 0.946c; (b) 299788.7 Mpc. Algunas observaciones efectuadas sobre un cuerpo celeste (quasar 3C-9) hacen pensar que, cuando emiti´ o la luz que acaba de llegar a la Tierra, se estaba moviendo alej´ andose de la Tierra a una velocidad de 0.8c. (a) Una de las l´ıneas identificadas en su espectro posee una longitud de onda de 120 nm cuando se emite desde una fuente estacionaria. ¿A qu´e longitud de onda debe haber aparecido esta l´ınea en el espectro observado para el quasar? (b) Los quasars emiten energ´ıa a un ritmo tan sumamente elevado que los astr´ onomos son de la opini´ on que deben quemarse por completo en un tiempo nos medido relativamente corto. Si el tiempo de vida del 3C-9 se supone de 106 a˜ en su propio sistema de reposo, ¿durante qu´e intervalo de tiempo terrestre se recibir´ıa radiaci´ on procedente de ´el en la Tierra? (Sup´ongase que su velocidad relativa a la Tierra permanece constante). Soluci´ on: (a) 360 nm; (b) 3 × 106 a˜ nos. Efecto Doppler transversal: En 1907 Einstein sugiri´o que una forma de

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confirmar experimentalmente la relatividad especial ser´ıa la de medir la longitud (o frecuencia) de onda aparente de la luz emitida transversalmente al sentido de movimiento de una fuente luminosa. El objetivo de este ejercicio es entender esta afirmaci´ on estudiando lo que se conoce como efecto Doppler transversal, un fen´ omeno que no existe en la mec´anica newtoniana. Para ello, consideremos el caso en el que la luz de una fuente m´ovil le llega a un observador formando un ´ angulo θ (medido por el observador). Demostrar que la relaci´on entre la frecuencia medida por el observador, f , y la frecuencia emitida, f0 , viene dada por 1 f = , f0 γ(1 − β cos θ) p donde β = v/c y γ = 1/ 1 − β 2 . Explicar lo que sucede en el caso θ = π/2. (67) Dos gemelos Speedo y Goslo emigran de la Tierra al planeta X que est´a a 20 a˜ nos-luz de distancia seg´ un se mide desde un sistema de referencia donde ambos planetas est´ an en reposo. Los gemelos parten al mismo tiempo en diferentes naves espaciales. La nave de Speedo viaja a velocidad constante de 0.95c y la de Goslo a 0.75c. Calcular la diferencia de edad entre los gemelos cuando la nave de Goslo alcance el planeta X. ¿Cu´al de los dos es m´as viejo? Soluci´ on: 5.45 a˜ nos (Goslo ser´a m´as viejo). (68) Paradoja de los gemelos: A y B son gemelos. A marcha hacia α Centauro (a una distancia de 4 a˜ nos-luz) y regresa de nuevo a la Tierra. En ambos trayectos su velocidad con respecto a la Tierra es de 0.6c y transmite una se˜ nal de radio cada 0.01 de a˜ no en su sistema. Su hermano gemelo B emite de forma an´aloga una se˜ nal cada 0.01 de a˜ no en su propio sistema en reposo. (a) ¿Cu´ antas se˜ nales de las emitidas por A antes de iniciar el regreso recibe B? (b) ¿Cu´ antas se˜ nales recibe A antes de iniciar el regreso? (c) ¿Cu´ al es el n´ umero total de se˜ nales que recibe cada gemelo procedente del otro? (d) ¿Qui´en es m´ as joven al final del viaje? ¿Cu´anto m´as joven es? Demostrar que los dos gemelos se muestran de acuerdo con este resultado. (69) La paradoja de √ la p´ ertiga y el pajar: un corredor se dirige hacia un pajar a una velocidad de 3c/2 con una p´ertiga de 20 m de larga en su propio sistema de referencia. El pajar tiene sus dos puertas, delantera y trasera, abiertas y las separa una distancia de 10 m. (a) Calcula la longitud de la p´ertiga en el sistema de referencia del pajar (sistema S). (b) Calcular la longitud del pajar en el sistema del corredor (sistema S 0 ). (c) Ll´amemos PA y PB a los extremos delantero y trasero, respectivamente, de la p´ertiga y BA y BB a las puertas delantera y trasera del pajar. Sea t = 0, x = 0, y t0 = 0, x0 = 0 cuando PA se encuentra con BA . Calcular en ambos sistemas de referencia el tiempo y la posici´ on de los siguientes eventos: (i) PA se encuentra con BB , (ii) PB se encuentra con BA y (iii) PB se encuentra con BB . Discutir en ambos sistemas de referencia la cuesti´ on: ¿cabe la p´ertiga en el pajar?

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

(70) Consideremos la siguiente paradoja que est´a muy relacionada con la paradoja de la p´ertiga y el pajar. Una l´amina muy fina de acero con un agujero circular de 1 m de di´ ametro est´ a centrada en el eje y y reside en el plano xz en el sistema de referencia S, ver Fig. 1.36. Dicha l´amina se mueve en la direcci´on +y con una velocidad constante vy . Por otra parte, una vara de medir de 1 m est´ a orientada a lo largo del eje x y se mueve en la direcci´on +x con una velocidad v. La l´ amina de acero llega al plano y = 0 al mismo tiempo que el centro de la vara de medir alcanza el origen de S. Como la vara de medir se observa contra´ıda desde el sistema S, pasa a trav´es del agujero de la l´amina sin problemas. La paradoja aparece cuando uno considera que un observador en S 0 , el sistema en reposo con la vara, observa que el agujero en la l´amina est´a contra´ıdo en la direcci´ on x y, por tanto, resulta demasiado peque˜ no para que lo atraviese la vara de medir. ¿Podr´a pasar la vara de medir por el agujero? Resuelve la paradoja.

Fig. 1.36

Problema 71.

(71) La paradoja del mago relativista: La asistenta de un mago mide 160 cm. Ella est´ a tumbada en una mesa completamente estirada. Al lado de la mesa hay dos verdugos separados por una distancia de 1 m y blandiendo sendas hachas por encima de sus cabezas (ver Fig. 1.37). El mago asegura que es capaz de hacer que los dos verdugos bajen a la vez sus hachas cortando la mesa y dejando a la asistente entre ellas (de una sola pieza y permaneciendo estirada). Para lograrlo, el mago relativista planea hacer pasar a su asistente y a la mesa al lado de los verdugos a una velocidad v = (4/5)c. De este modo, en el sistema de referencia de los verdugos ella sufrir´a la contracci´on de Lorentz y tan ´solo medir´ a 96 cm, ya que γ(v = 4c/5) = 5/3, y cabr´a entre las dos hachas de los verdugos. As´ı pues, parece que no hay problema en realizar la experiencia. Sin embargo, la asistente no est´a tan convencida. Para ella es la distancia entre los verdugos la que se contrae, de modo que ahora dicha distancia es de

La Teor´ıa de la Relatividad

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(1 m/γ) = 60 cm, as´ı que parece imposible que una persona de 160 cm pueda caber en un espacio de tan s´olo 60 cm. Obviamente, los dos no pueden tener raz´ on. ¿Qui´en est´ a equivocado o equivocada y por qu´e? Nota: no intentar la experiencia en casa.

Fig. 1.37

Problema 71.

(72) Demostrar el siguiente resultado, conocido como teorema de la componente cero: sea q un cuadrivector y supongamos que una componente es cero en todos los sistema de referencia. (Por ejemplo, q0 = 0 en todos los sistemas). Entonces, todas las componentes de q son cero en todos los sistemas. P (73) (a) Supongamos que el momento total tridimensional P~ = p~ de un sistema aislado se conserva en todos los sistemas de referencia. Demostrar que si esto es cierto, entonces la componente cero P0 del cuadridomento total P = (P0 , P~ ) debe conservarse tambi´en. (b) Usar el teorema de la componente cero para demostrar el siguiente resultado: si una componente del cuadrimomento total se conserva en todos los sistemas de reference, entonces todas las componentes se conservan. (74) Deducir la ley de adici´ on de velocidades relativista a partir de las leyes de transformaci´ on de la cuadrivelocidad o velocidad propia. Problemas de din´ amica relativista (75) Una part´ıcula con masa en reposo m y energ´ıa cin´etica 2mc2 choca contra una part´ıcula en reposo cuya masa es 2m y se adhiere a ella. Calcular la masa en reposo M de la √ part´ıcula compuesta. Soluci´ on: M = 17m. (76) Un fot´ on de energ´ıa E choca contra una part´ıcula parada de masa en reposo m y es absorbido. ¿Cu´ al es la velocidad de la part´ıcula compuesta resultante? Soluci´ on: c/(1 + mc2 /E).

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(77) Una part´ıcula con masa en reposo m que se mueve a una velocidad 4c/5 choca con una part´ıcula id´entica que est´a en reposo y se forma entonces una part´ıcula compuesta. ¿Cu´ al es la masa en reposo de la part´ıcula compuesta y cu´al es su velocidad? √ Soluci´ on: 4m/ 3, c/2. (78) Un electr´ on y un positr´ on colisionan y se aniquilan dando lugar a un par prot´onantiprot´ on. Obtener la energ´ıa cin´etica m´ınima que han de tener las part´ıculas iniciales para que el proceso sea posible en (a) el sistema de referencia del centro de masas y (b) en el sistema de referencia del laboratorio en el que el positr´on est´ a inicialmente en reposo. (79) Supongamos que un acelerador puede proporcionar a los protones una energ´ıa cin´etica de 200 GeV. La masa en reposo de un prot´on es 0.938 GeV. Calcular la mayor masa en reposo de una part´ıcula X que se puede producir en el impacto de uno estos protones energ´eticos sobre un prot´on en reposo en el siguiente proceso: p + p −→ p + p + X. (80) El neutr´ on libre se desintegra en un prot´on, un electr´on y un antineutrino (de masa en reposo despreciable) de acuerdo a n −→ p + e + ν¯. Esta reacci´on recibe el nombre de desintegraci´ on β − . Si el neutr´on est´a inicialmente en reposo (en el sistema de referencia del laboratorio), ¿cu´al debe ser la energ´ıa cin´etica total de los productos finales de esta reacci´on? Si adem´as el momento lineal del antineutrino fuera despreciable, ¿cu´ales ser´ıan las energ´ıas cin´eticas del electr´on y del prot´ on? Nota: la masa en reposo del neutr´on es 939.6 MeV/c2 , la del prot´ on 938.3 MeV/c2 , la del electr´on 0.511 MeV/c2 y la del antineutrino es despreciable. Soluci´ on: Ktotal = 0.789 MeV, Ke = 0.788 MeV, Kp = 0.001 MeV. (81) Una part´ıcula inestable de masa 3.34×10−27 kg est´a inicialmente en reposo. La part´ıcula se desintegra en dos fragmentos que se mueven con velocidades 0.987c y -0.868c. Determinar las masas en reposo de los dos fragmentos. Soluci´ on: 2.51 × 10−28 kg y 8.82 × 10−28 kg. (82) Una part´ıcula A en reposo se desintegra en dos part´ıculas B y C (A −→ B +C). (a) Demostrar que la energ´ıa total de las part´ıculas resultantes (B y C) en t´erminos de las masas de las part´ıculas vienen dadas por m2 + m2C − m2B 2 m2 + m2B − m2C 2 c y EC = A c . EB = A 2mA 2mA (b) Demostrar que los m´ odulos del momento lineal de las part´ıculas resultantes vienen dados por q c λ(m2A , m2B , m2C ), pB = pC = 2mA donde λ(x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 −2xy −2xz −2yz es la llamada funci´ on tri´ angulo. (c) Aplicar los resultados anteriores para determinar la velocidad de un mu´on en la desintegraci´ on (en reposo) del pi´on negativo: π − −→ µ− + ν¯µ , donde ν¯µ es un antineutrino mu´ onico, cuya masa en reposo es despreciable. Nota: la masa del pi´ on es 139.56 MeV/c2 y la de mu´on es 105.66 MeV/c2 .

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(83) Una part´ıcula de masa m movi´endose a lo largo del eje x con una velocidad +u colisiona frontalmente con una part´ıcula de masa m/3 movi´endose a lo largo del eje x en sentido contrario con una velocidad −u. Despu´es del choque las dos part´ıculas permanecen unidas. ¿Cu´al es la masa M de la part´ıcula resultante? (84) Consid´erese la colisi´ on el´ astica que se muestra en la Fig. 1.38. En el sistema del laboratorio S la part´ıcula b est´a inicialmente en reposo, la part´ıcula a se aproxima con un cuadrimomento pa y se dispersa formando un ´angulo θ y la part´ıcula b retrocede formando un ´angulo φ. En el sistema de referencia S 0 del centro de masas (CM), las dos part´ıculas se aproximan y emergen con cuadrimomentos iguales y opuestos y la part´ıcula a se dispersa con un ´angulo θ0 . (a) Demostrar que la velocidad del CM relativa al sistema del laboratorio es ~ = p~a c2 /(Ea + mb c2 ). (b) Transformando el momento final de a del sistema V CM al sistema del laboratorio, demostrar que sen θ0 , tg θ = γV (cos θ0 + V /va0 ) donde va0 es la velocidad de a en el CM. (c) Demostrar que en el l´ımite de que todas las velocidades son mucho m´as peque˜ nas que c, este resultado se reduce al resultado no relativista. (d) Particularizar ahora al caso ma = mb y demostrar que en este caso V /va0 = 1. Encontrar, adem´as, una f´ormula para tg φ. (e) Demostrar que el ´angulo entre los momentos salientes est´a dado por tg (θ + φ) = 2/(βV2 γV sen θ0 ). Mostrar que en el l´ımite V  c se recupera el conocido resultado no-relativista θ + φ = 90o .

a

a b

θ

a φ

sistema del laboratorio Fig. 1.38

a

θ′

x b

b

sistema del CM Problema 84.

(85) En un experimento en un acelerador, los bariones Λ0 se pueden identificar por su desintegraci´ on Λ0 −→ π − + p ya que ambas part´ıculas finales dejan trazas en detectores como una c´ amara de niebla. En una desintegraci´on particular se miden los momentos del pi´on y del prot´on y resultan ser 0.75 GeV/c y 4.25 GeV/c, respectivamente, y el ´angulo entre sus trayectorias es de 9o . Las masas del pi´ on y del prot´ on son 139.6 MeV/c2 y 938.3 MeV/c2 . (a) Calcular la masa 0 del Λ . (b) En promedio, se observa que los bariones Λ0 con esta energ´ıa se desintegran a una distancia de 33.6 cm del punto de producci´on. Calcular el tiempo de vida media del Λ en el sistema de referencia en reposo con esta part´ıcula.

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

Soluci´ on: (a) 1115.36 GeV/c2 , (b) 2.5 × 10−10 s. (86) Encontrar el ´ angulo m´ aximo de apertura entre los fotones producidos en la desintegraci´ on π 0 −→ γ + γ si la energ´ıa del pi´on neutro es de 10 GeV. Nota: la masa del pi´ on es mπ = 135 MeV/c2 . Soluci´ on: 1.547o . (87) El cohete de fotones. (a) Un nave espacial de masa M0 est´a inicialmente en reposo en un cierto sistema de referencia en el espacio exterior. De repente, la nave comienza a expulsar fotones por su parte trasera. Como los fotones tienen momento lineal, la nave comienza a avanzar en la direcci´on contraria a los fotones por simple conservaci´on de momento. La nave, por tanto, se ha convertido en un cohete de fotones. Demostrar que despu´es de cierto tiempo la nave habr´ a alcanzado una velocidad dada por 1 − (M/M0 )2 v , = c 1 + (M/M0 )2 donde M es la masa restante de la nave en ese instante. (b) Si la fracci´on de masa restante de la nave es M/M0 = 1/2, ¿cu´al es la velocidad que ha alcanzado la nave? (c) Invierte el resultado del apartado (a) para encontrar la f´ormula para la fracci´ on de masa restante en funci´on de v/c. (d) Si la nave alcanza v = (4/5)c, ¿qu´e fracci´ on de la masa inicial resta a´ un? (88) Un electr´ on con energ´ıa cin´etica de 1 GeV colisiona frontalmente con un positr´on en reposo. En la colisi´ on las dos part´ıculas se aniquilan y se crean dos fotones γ de igual energ´ıa, cada uno viajando en una direcci´on que forma el mismo ´angulo θ con la direcci´ on del electr´on original. Calcular la energ´ıa E, el momento p y el ´ angulo de emisi´ on θ de los rayos γ. (89) La part´ıcula K 0 tiene una masa de 497.9 MeV/c2 . Se desintegra en un π + y un π − , cada uno de masa 139.6 MeV/c2 . Despu´es de la desintegraci´on de una part´ıcula K 0 , uno de los piones queda en reposo en el sistema del laboratorio. Determinar la energ´ıa cin´etica del otro pi´on y la de la part´ıcula K 0 antes de desintegrarse. Soluci´ on: Kπ = 608.7 MeV y KK 0 = 390 MeV. (90) Un antiprot´ on p¯ tiene la misma energ´ıa en reposo que un prot´on. Esta part´ıcula se crea en la reacci´ on p + p −→ p + p + p + p¯. En un experimento, los protones que se encuentran en reposo en el laboratorio son bombardeados con protones de energ´ıa cin´etica KL , que debe ser lo suficientemente grande como para que pueda convertirse una energ´ıa cin´etica igual a 2mc2 en la energ´ıa en reposo de las dos part´ıculas. En el sistema de referencia del laboratorio, la energ´ıa cin´etica total no puede convertirse exclusivamente en energ´ıa en reposo debido a la conservaci´ on del momento lineal. Sin embargo, en el sistema de referencia de momento lineal total cero donde los dos protones se est´an moviendo el uno hacia el otro con la misma velocidad u, la energ´ıa cin´etica total puede convertirse en energ´ıa en reposo. (a) Hallar la velocidad de cada prot´on u de modo que la energ´ıa cin´etica total en este u ´ltimo sistema de referencia sea 2mc2 . (b)

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Transformar al sistema del laboratorio en el que un prot´on est´a en reposo y hallar la velocidad del otro prot´on. (c) Demostrar que la energ´ıa cin´etica del 2 prot´ on m´ o√ vil en el sistema √ de referencia del laboratorio es KL = 6mc . Soluci´ on: 3c/2; (b) 4 3c/7. Una part´ıcula de masa 1 MeV/c2 y energ´ıa cin´etica 2 MeV choca con una part´ıcula en reposo de masa 2 MeV/c2 . Despu´es de la colisi´on, las part´ıculas quedan adheridas. Hallar (a) la velocidad de la primera part´ıcula antes del choque, (b) la energ´ıa total de la primera part´ıcula antes del choque, (c) el momento lineal total inicial del sistema, (d) la energ´ıa cin´etica total despu´es del choque y (e) √ la masa del sistema despu´es del choque. Soluci´ on: (a) 8c/3; (b) 3 MeV; (c) 2.828 MeV/c; (d) 4.123 MeV; (e) 4.123 MeV/c2 . Una part´ıcula inestable de masa en reposo M se desintregra en dos part´ıculas id´enticas, cada una de masa en reposo m. Obtener una expresi´on para las velocidades de las dos part´ıculas resultantes en el sistema de referencia del laboratorio (a) si M est´ a en reposo en el laboratorio y (b) si M tiene una energ´ıa total igual a 4mc2 cuando se desintegra y las part´ıculas resultantes se mueven a lo largo de la direcci´on de M . El pi´ on neutro π 0 posee una masa de 135 MeV/c2 . Esta part´ıcula puede crearse en una colisi´ on prot´ on-prot´on: p + p −→ p + p + π 0 . Determinar la energ´ıa cin´etica umbral para la creaci´on de un π 0 en el choque de un prot´on m´ovil y otro en reposo. Nota: la masa en reposo del prot´on es 938.3 MeV/c2 . Soluci´ on: 278.8 MeV. El pi´ on neutro π 0 se descompone en dos rayos γ (y nada m´as). Si un π 0 (cuya masa en reposo es de 135 MeV/c2 ) se mueve con una energ´ıa cin´etica de 1 GeV: (a) ¿cu´ ales son las energ´ıas de los rayos γ si el proceso de desintegraci´on hace que sean emitidos en sentido opuesto seg´ un la trayectoria original del pi´on? (b) ¿Qu´e ´ angulo forman los rayos γ si son emitidos formando un ´angulo igual con respecto a la direcci´ on del movimiento del pi´on? Soluci´ on: (a) 1.131 GeV y 4 MeV; (b) 6.831o . Un fot´ on de alta energ´ıa choca y es dispersado por un prot´on que se encuentra inicialmente en reposo y puede retroceder libremente. El prot´on retrocede formando un ´ angulo de 30o (con la direcci´on incidente) con una energ´ıa cin´etica de 100 MeV. (a) ¿Cu´ al era la energ´ıa del fot´on incidente? (b) ¿Cu´al es la direcci´on y energ´ıa del fot´ on dispersado? Soluci´ on: (a) 328 MeV; (b) θ = 104.5o , Q = 228 MeV. Un antiprot´ on p¯ con una energ´ıa cin´etica de 2/3 GeV choca contra un prot´on p que se encuentra en reposo en el laboratorio. Se destruyen mediante la reacci´on p + p¯ −→ γ1 + γ2 , dando lugar a dos fotones que marchan en sentido directo o inverso seg´ un la l´ınea que recorr´ıa el antiprot´on al incidir. La energ´ıa en reposo del prot´ on y del antiprot´ on es de 1 GeV cada una. (a) ¿Cu´ales son las energ´ıas que poseen los fotones? (b) ¿En qu´e direcci´on marcha cada fot´on? (c) ¿Qu´e

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energ´ıa posee cada uno de los fotones medido en el sistema de referencia ligado al antiprot´ on incidente? Soluci´ on: (a) E1 = 2 GeV y E2 = 2/3 GeV; (b) el fot´on 1, que es el m´as energ´etico, se mueve en el sentido del antiprot´on y el 2 en el sentido contrario; (c) E1 = 2/3 GeV y E2 = 2 GeV. Un pi´ on puede desintegrarse espont´aneamente en un mu´on y en un antineutrino mu´ onico seg´ un la reacci´ on: π − −→ µ− + ν¯µ . Experimentos recientes sugieren que la masa del ν¯µ es menor que 190 keV/c2 . Suponiendo que el pi´on se desintegra en reposo en el sistema de referencia del laboratorio, calcular las energ´ıas y los momentos lineales del mu´on y del antineutrino mu´onico si la masa del antineutrino fuera 190 keV/c2 . Nota: la masa del pi´on es 139.56 MeV/c2 y la de mu´ on es 105.66 MeV/c2 . Soluci´ on: Eµ = 109.77 MeV, Eν = 29.78 MeV, pµ = pν = 29.78 MeV/c. Un pi´ on π − choca con un prot´on en reposo y produce un ka´on K 0 (mes´on neutro) y una part´ıcula Λ0 (bari´on neutro): π − + p −→ K 0 + Λ0 . ¿Cu´al es la energ´ıa cin´etica m´ınima del pi´on para que esto pueda ocurrir? Las masas de las part´ıculas son: pi´ on 139.6 MeV/c2 ; prot´on 938.3 MeV/c2 ; ka´on K 0 493.7 2 0 MeV/c ; Λ 1116 MeV/c2 . Soluci´ on: 761.51 MeV. Un positr´ on con una energ´ıa cin´etica de 0.51 MeV choca inel´asticamente con un electr´ on en reposo dando lugar a un ´atomo de positronio que retrocede libremente. El electr´ on y el positr´on que forman el positronio se aniquilan mutuamente en vuelo, dando lugar a dos rayos γ. (a) ¿Cu´al es la velocidad del atomo de positronio? (b) ¿Cu´al es la energ´ıa m´axima posible para uno de los ´ fotones producidos mediante este proceso de destrucci´on mutua? √ Soluci´ on: (a) 3c/4; (b) 1.20 MeV. (a) Si un prot´ on con una energ´ıa cin´etica de 437 MeV choca el´asticamente con un prot´ on en reposo y los dos protones rebotan con energ´ıas iguales, ¿cu´al es el angulo existente entre ambos? [R.B. Sutton et al., Phys. Rev. 97, 783 (1955), ´ hallaron experimentalmente el valor 84.0o ± 0.2o .] (b) Si el prot´on incidente posee una energ´ıa total de 33 GeV, ¿cu´al es el ´angulo que forman ambos despu´es del choque? Soluci´ on: (a) 84.01o ; (b) 26.46o . La teor´ıa usual del efecto Compton considera el caso de un electr´on libre en reposo que es alcanzado por un fot´on resultando dispersado un fot´on de energ´ıa menor. Supongamos que un fot´on (de energ´ıa Q) choca con un electr´on en movimiento (de masa en reposo m). ¿Qu´e velocidad inicial deber´a poseer el electr´ on si, como consecuencia del choque, el fot´on retrocede con la misma energ´ıa Q que p el fot´ on incidente? Soluci´ on: Qc/ Q2 + (mc2 )2 . Para comprobar las predicciones de la relatividad especial y general sobre la dilataci´ on del tiempo, en 1971 se llevaron relojes at´omicos a bordo de cuatro

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aviones que volaron alrededor de la Tierra dirigi´endose dos de ellos hacia el oeste y los otros dos hacia el este. (a) Si los aviones que se dirigen hacia el oeste volaran a una velocidad promedio de 1500 km/h relativa a la superficie de la Tierra, ¿cu´ anto tiempo deber´ıan estar volando para que el reloj de abordo retrasara 1 s con respecto a un reloj en la superficie de la Tierra? (b) En el experimento real los aviones volaron alrededor de la Tierra una vez y la discrepancia con los relojes en la Tierra fue de 273 ns. ¿Cu´al fue la velocidad promedio de estos aviones? Nota: tener en cuenta las correcciones debidas tanto a la relatividad espacial (dilataci´on del tiempo) como a la relatividad general (influencia de un campo gravitatorio en el tiempo). En un experimento mental sencillo, Einstein demostr´o que existe una masa asociada con la radiaci´ on electromagn´etica. Consideraremos una caja de longitud L y masa M apoyada sobre una superficie sin rozamiento. En la pared izquierda de la caja existe una fuente luminosa que emite radiaci´on de energ´ıa E, la cual es absorbida por la pared de la derecha de la caja. De acuerdo con la teor´ıa cl´ asica del electromagnetismo, esta radiaci´on transporta un momento lineal de valor p = E/c. (a) Hallar la velocidad de retroceso de la caja de forma que se conserve dicho momento lineal cuando se emite la luz. (Como p es peque˜ no y M es grande, se puede utilizar la mec´anica cl´asica). (b) Cuando la luz es absorbida por la pared de la derecha de la caja, ´esta se para, de modo que sigue siendo nulo el momento lineal total. Si despreciamos la velocidad extremadamente peque˜ na de la caja, el tiempo que tarda la luz en atravesar la caja es ∆t = L/c. Hallar la distancia que ha recorrido la caja en ese tiempo. (c) Demostrar que si el centro de masas del sistema ha de permanecer fijo en el mismo sitio, la radiaci´ on debe poseer una masa m = E/c2 . Soluci´ on: (a) E/M c, (b) EL/(mc2 ). Un pi´ on positivo en reposo se desintegra en un antimu´on y un neutrino mu´onico: + π −→ µ+ + νµ . Las masas involucradas son mπ = 140 MeV/c2 , mµ = 106 MeV/c2 y mν ≈ 0. Demostrar que la velocidad del antimu´on viene dada por: β = (m2π − m2ν )/(m2π + m2µ ). Evaluar esta velocidad num´ericamente. Hacer lo mismo para la desintegraci´ on π + −→ e+ + νe . En un sistema de referencia del laboraorio, un electr´on con energ´ıa cin´etica K0 = 4me c2 impacta contra un positrn en reposo. Como resultado, las dos part´ıculas se aniquilan y se emiten dos fotones cuyas frecuencias son f1 y f2 no son necesariamente iguales. (a) Obtener la velocidad del centro de masas (CM) del sistema medida en el sistema de referencia del laboratorio. (b) Calcular la energ´ıa total del sistema en sistema CM. ¿Cu´al es la frecuencia de cada uno de los fotones resultantes en el sistema del CM? (c) Si el ´angulo que forman los momentos lineales de los fotones en el sistema del laboratorio es θ = π/2, obtener las frecuencias en dicho sistema de referencia. Se cree que la dispersi´ on Compton por fotones procedentes de estrellas puede ser un mecanismo de degradaci´on energ´etica de electrones de elevada energ´ıa

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en el espacio interestelar. Se ha propuesto un experimento [por R. Milburn, Phys. Rev. Lett. 10, 75 (1963)] en el cual este fen´omeno puede observarse en el laboratorio mediante la dispersi´on de un haz de electrones de elevada energ´ıa contra el flujo intenso de fotones visibles producido por un laser t´ıpico. Demostrar que en tal proceso la energ´ıa del laboratorio del fot´on dispersado viene dada con una aproximaci´on excelente (β ≈ 1) por   λ(1 − β cos θ0 ) , E2 ≈ γmc2 1 + λ(1 − cos θ0 ) en donde λ = 2γE1 /mc2 (E1 es la energ´ıa del fot´on incidente) y θ0 es el ´angulo de dispersi´ on del fot´ on en el sistema en reposo del electr´on. Demostrar tambi´en que θ, ´ angulo de dispersi´ on del fot´on, viene dado por tgθ =

senθ0 . γ(cos θ0 − β)

Si los electrones de un haz incidente se aceleran con una energ´ıa de 6 GeV y los fotones son producidos por un laser de rub´ı de 694.3 nm (de forma que su energ´ıa sea 1.79 eV), ¿cu´al ser´a la energ´ıa m´axima de los fotones que se dispersan? (107) Un resultado muy conocido de la mec´anica newtoniana nos dice que si una part´ıcula en reposo es alcanzada por otra part´ıcula id´entica y el choque es el´ astico, el ´ angulo que forman sus trayectorias subsiguientes es de 90o . El objetivo de este problema es demostrar que este resultado deja de ser cierto en la mec´ anica relativista. Para ello consideraremos el caso especial en el que despu´es del choque las dos part´ıculas marchan sim´etricamente formando el mismo angulo θ/2 con la direcci´ ´ on de la part´ıcula incidente. Suponiendo que la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula incidente es K1 y la energ´ıa en reposo de las part´ıculas es E0 , demostrar que el ´ angulo θ viene dado por: cos θ =

K1 . K1 + 4E0

(108) Dos part´ıculas con masas en reposo m1 y m2 se mueven a lo largo del x de un sistema de referencia una hacia la otra con velocidades v1 y v2 . Despu´es de la colisi´ on se fusionan en una sola part´ıcula con masa en reposo m3 que se mueve con velocidad v3 con respecto al sistema de referencia. Encontrar m3 y v3 en funci´ on de m1 , m2 , v1 y v2 . ¿Ser´ıa posible que la part´ıcula resultante fuera un fot´ on si las part´ıculas originales no lo son? (109) Un fot´ on de energ´ıa E1 colisiona con otro fot´on de energ´ıa E2 formando un angulo θ. Demostrar que el valor m´ınimo de E1 para que se cree un par de ´ part´ıculas de masa m viene dado por E1,min =

2m2 c4 . E2 (1 − cos θ)

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(110) Consid´erese un objeto de masa m (que suponemos constante) sobre el que act´ ua ~ una fuerza F . Mostrar que F~ = γm~a + (F~ · ~v )~v /c2 , donde ~a = d~v /dt es la aceleraci´on del objeto. De este resultado es obvio que en relatividad especial F~ = m~a no es cierto. Tampoco es cierto que F~ = mvar~a, donde mvar sea una masa variable mvar = γm, excepto en el caso en el que F~ sea perpendicular a ~v . En general, F~ y ~a ni siquiera tienen la misma direcci´on. (111) La expresi´ on de la fuerza relativista es ! m~u d ~ p . F = dt 1 − β2 Suponer que ~u est´ a dirigida en la direcci´on x y calcular las componentes de la fuerza. Mostrar que Fx = ml ax , Fy = mt ay , Fz = mt az , p donde ml = m/(1 − β 2 )3/2 y mt = m/ 1 − β 2 . (112) Una part´ıcula de masa m, energ´ıa cin´etica K y carga q se mueve en la direcci´on perpendicular a un campo magn´etico B como en un ciclotr´on. Encontrar la relaci´ on entre el radio r de la trayectoria de la part´ıcula en t´erminos de m, K, q y B. (113) Una masa m es lanzada desde el origen en t = 0 con trimomento inicial p0 en la direcci´ on y. Si est´ a sometida a una fuerza constante F0 en la direcci´on x, hallar su velocidad ~v como funci´on de t, e integrando ~v encontrar su trayectoria. Comprobar que en el l´ımite no relativista la trayectoria es una par´abola, como es de esperar. Problemas de relatividad general (114) La luz que viaja en la direcci´on en la que se incrementa el potencial gravitatorio experimenta un corrimiento hacia el rojo en su frecuencia. Calcular el cambio de la longitud de onda de un haz de luz de longitud de onda λ = 632.8 nm que sube por un tubo vertical de altura h = 100 m. Soluci´ on: (λ − λ0 )/λ0 = 1.08 × 10−14 . (115) Derivar una expresi´ on para el corrimiento al rojo gravitacional en t´erminos de la longitud de onda. Usar este resultado para determinar el corrimiento de la longitud de onda de la luz emitida por una enana blanca a 720 nm. Sup´ongase que la enana blanca tiene la misma masa que el Sol (1.99 × 1030 kg), pero un radio igual al 1% del radio del Sol (6.99 × 108 m). Soluci´ on: λ = λ0 /(1 − GM/Rc2 ), 720.15 nm. (116) Sirio B es una enana blanca que forma con la estrella Sirio A un sistema binario. Un an´ alisis de la ´ orbita de esta enana blanca indica que su masa es 2 × 1030 kg,

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

que es aproximadamente la masa del Sol. Una comparaci´on de las l´ıneas espectrales emitidas por esta estrella con aquellas del mismo elemento en la Tierra muestra un corrimiento relativo de la frecuencia igual a 7 × 10−4 . Suponiendo que este corrimiento se debe exclusivamente al corrimiento al rojo gravitacional, calcular la densidad de esta enana blanca. Nota: la densidad media del Sol es 1409 kg/m3 . Soluci´ on: 5 × 1010 kg/m3 . (117) Imaginemos que el Sol colapsa para convertirse en una esfera de radio Rg tal que el trabajo necesario para extraer una peque˜ na masa m de la superficie fuera igual a su energ´ıa en reposo mc2 . Encontrar el valor de Rg . A este radio se le conoce como radio gravitacional del Sol. Soluci´ on: Rg = GM/c2 = 1.475 km. (118) El objetivo de este problema es estimar la desviaci´on que sufre un rayo de luz cuando pasa cerca del Sol. Suponer que la luz consiste en part´ıculas de masa m que viajan a la velocidad de la luz c Ry cuya desviaci´on al pasar por el Sol ∞ es peque˜ na. (a) Usar la relaci´on ∆px = −∞ Fx dt para mostrar que el ´angulo de deflexi´ on θ est´ a dado por θ = 2GM/(bc2 ), donde ∆px es el cambio total del momento lineal de las part´ıculas de luz incidiendo en el Sol, b es el par´ametro de impacto (distancia m´ınima entre la part´ıcula y el centro del Sol si no hubiera interacci´ on entre ellos) y M es la masa del Sol. (b) Para b igual al radio del Sol (R = 6.99 × 108 m), demostrar que θ = 4.2 × 10−6 rad.

Ap´ endice A

El experimento de Michelson y Morley

Albert Michelson y Edward Morley realizaron en 1887 uno de los experimentos m´as famosos de la historia de la f´ısica. En ´el se propusieron medir la velocidad absoluta de la tierra con respecto al ´eter, que se supon´ıa por aquel entonces que era el medio en el que todos los objetos estaban sumergidos. Este experimento era una versi´on mejorada del realizado por Michelson2 en 1881 y que pasamos a describir.3 En este experimento, Michelson hizo uso del aparato que se describe esquem´aticamente en la Fig. A.1 y que se conoce con el nombre de interfer´ ometro de Michelson. En este dispositivo la luz procedente de una fuente S incide sobre una l´amina de cristal ´ inclinada P que posee una capa de metal semitransparente en su cara anterior. Esta divide a la luz en dos partes. Una parte atraviesa la l´amina y alcanza el espejo M1 . A continuaci´ on recorre el camino seguido en sentido inverso hasta que llega al punto en donde el haz se desdobl´ o inicialmente, y una fracci´on de ´el es reflejado a tav´es de la l´ amina hacia el telescopio T . La otra parte del haz original es enviada por reflexi´ on al espejo M2 y vuelve. Una l´amina de compensaci´on C hace pasar este segundo haz a trav´es del mismo espesor de cristal que el primero (para conseguir la simetr´ıa ´ optica) antes de que se re´ unan de nuevo y se introduzcan en el telescopio. Si esta placa P est´ a inclinada 45o y las superficies de los espejos est´an entre s´ı casi pero no exactamente a 90o , se obtendr´an franjas parecidas a las formadas por un prisma de ´ angulo muy peque˜ no. Con un ajuste adecuado de los espejos estas franjas pueden hacerse horizontales. Si se designa por l1 y l2 los caminos ´opticos (P M1 y P M2 ) que dan origen a una franja particular tenemos la condici´on 2(l1 − l2 ) = mλ,

(A.1)

en donde m es un n´ umero entero y λ es la longitud de onda de la luz. Supongamos ahora que el interfer´ometro de Michelson se encuentra en movimiento a lo largo de direcci´on P M1 con una velocidad v medida con respecto al sistema inercial definido por el ´eter hipot´etico. Desde el punto de vista del laboratorio, existe un “viento de ´eter” que est´a soplando sobre el aparato (ver Fig. A.2). La luz que marcha desde P hasta M2 y en sentido contrario debe penetrar en el 2 Albert 3 A.A.

Michelson recibi´ o el premio Nobel de f´ısica en 1907. Michelson, Am. J. Sci. 122, 120 (1881). 87

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

M2

C

P S Metalizada

M1

T

Fig. A.1

Esquema de la disposici´ on del interfer´ ometro de Michelson.

viento formando un ´ angulo tal que la velocidad resultante est´e dirigida seg´ un P M2 . De acuerdo con la ley de composici´on de velocidades de Galileo el valor de la ve√ locidad resultante relativa al interfer´ometro es c2 − v 2 . La luz que marcha entre P y M1 tendr´ıa (de nuevo con relaci´on al interfer´ometro) una velocidad resultante c − v cuando marchase hac´ıa M1 y una velocidad resultante c + v en el recorrido de retorno. Podemos, por tanto, calcular los tiempos que emplea la luz en ir desde P hasta los espejos y volver: l1 l1 2l1 c 2l1 /c t1 = + = 2 = , (A.2) c−v c+v c − v2 (1 − v 2 /c2 ) 2l2 2l2 /c t2 = √ =p . (A.3) 2 2 c −v 1 − v 2 /c2 Esto define una diferencia de tiempos ∆t, que para v  c viene dada aproximadamente por:     2l1 v2 2l2 v2 ∆t = t1 − t2 ≈ 1+ 2 − 1+ 2 , (A.4) c c c 2c es decir, 2(l1 − l2 ) 2l1 v 2 l2 v 2 + 3 − 3 . (A.5) ∆t ≈ c c c o Si el aparato en su conjunto se gira 90 , de forma que P M2 se˜ nale ahora en el sentido del movimiento, obtenemos una nueva diferencia de tiempos ∆t0 : 2(l1 − l2 ) l1 v 2 2l2 v 2 ∆t0 = t01 − t02 ≈ + 3 − 3 . (A.6) c c c La variaci´ on en la diferencia de tiempos dar´a lugar a un corrimiento de la figura de interferencia en una cantidad correspondiente a δ franjas, en donde δ = c(∆t − ∆t0 )/λ, es decir, (l1 + l2 )v 2 . (A.7) δ= λc2

El experimento de Michelson y Morley

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M2 l2 ´ "Viento de eter" C

v

P S

l1 M1

T

Fig. A.2

Fundamento del experimento de Michelson-Morley en funci´ on del “viento de ´ eter”.

Si l1 = l2 = l, podemos expresar este resultado de la manera siguiente: δ=

2(v/c)2 . λ/l

(A.8)

Los valores de λ, l y c son conocidos, pero, ¿qu´e valor deberemos dar a v? Para Michelson y para todos aquellos que investigaron el problema una contribuci´on claramente identificable era la velocidad de la Tierra alrededor de su ´orbita, es decir, unos 30 km/s. Esto supone que v/c ≈ 10−4 . Podemos hacer λ ≈ 6×10−7 m, y como para el primer aparato de Michelson l = 1.2 m, se tiene que λ/l ≈ 5×10−7 . Teniendo en cuenta todo esto se obtiene δ ≈ 0.04 franjas. Este efecto es muy peque˜ no, pero medible. Sin embargo, para sorpresa y disgusto de Michelson, cuando dispuso su interfer´ ometro y lo gir´ o no se produjo ning´ un corrimiento apreciable de la figura de interferencia. Este resultado era tan inesperado y tan dif´ıcil de explicar que exigi´o una confirmaci´ on adicional. As´ı fue como Michelson, ahora en colaboraci´on con E.W. Morley, emprendi´ o una investigaci´ on mucho m´as precisa, basada en caminos ´opticos unas 10 veces m´ as largos que en el primer experimento. El corrimiento esperado ahora era de unas 0.4 franjas, pero en los resultados obtenidos se observ´o un corrimiento de unas 0.005 franjas, a lo sumo. Esta versi´on refinada del experimento, llevada a cabo en 1887,4 ha sido considerada durante mucho tiempo como uno de los pilares experimentales b´ asicos sobre los que descansa la relatividad especial. El art´ıculo original de Michelson and Morley se puede encontrar en el siguiente enlace: http://www.aip.org/history/gap/PDF/michelson.pdf.

4 A.A.

Michelson and E.W. Morley, Am. J. Sci. 134, 333 (1887).

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Autor: Juan Carlos Cuevas.

Ap´ endice B

Relatividad y electromagnetismo

El objetivo de este ap´endice es discutir brevemente la conexi´on entre la teor´ıa de la relatividad y el electromagnetismo. En primer lugar, es importante dejar claro que la teor´ıa de la relatividad no modifica la teor´ıa electromagn´etica, resumida en las ecuaciones de Maxwell, pero s´ı proporciona una forma muy intuitiva de entender muchos fen´ omenos electromagn´eticos y, en particular, establece una conexi´on muy profunda entre los campos el´ectrico y magn´etico. Para entender esta conexi´on es conveniente hacer uso del lenguaje de tensores y, por ello, haremos primero una breve incursi´ on en el formalismo de tensores. Este ap´endice est´a basado en las secciones 15.17 y 15.18 del libro “Mec´anica Cl´asica” de J.R. Taylor.

B.1

Tensores

Una discusi´ on detallada del ´ algebra tensorial requiere la maquinaria de vectores “covariantes” y “contravariantes”, pero para nuestros prop´ositos aqu´ı vamos a prescindir de ese formalismo. Por razones did´acticas vamos a discutir primero el concepto de tensor en un espacio tridimensional para despu´es generalizarlo al caso del espacio-tiempo cuadridimensional.

Vectores y tensores en tres dimensiones Empezemos por recordar que un vector en un espacio tridimensional est´andar denotado por ~a = (a1 , a2 , a3 ) es un objeto con tres componentes (en un sistema de referencia dado) que se transforman bajo rotaciones del mismo modo que las coordenadas del vector de posici´ on, es decir, ~a0 = R~a ⇒ a0i =

3 X

Rij aj ,

(B.1)

j=1

donde R es una matriz 3 × 3 de rotaci´on. N´otese que en este ap´endice escribiremos esas matrices de rotaci´ on en negrita, al igual que los tensores que estamos apunto 91

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

de introducir. Recordemos tambi´en que una rotaci´on deja invariante el producto escalar de dos vectores, es decir, ~a · ~b = ~a0 · ~b0 , donde ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . Este producto escalar tambi´en se puede escribir en notaci´on matricial como ~a · ~b = ~aT ~b. La invarianza del producto escalar implica que las matrices de rotaci´on deben ser matrices ortogonales, es decir, RT R = 1. Un tensor tridimensional T posee 9 elementos o componentes Tij (en un sistema de referencia), donde i and j toman valores desde 1 hasta 3. (Para ser precisos, un tensor con 9 components Tij es un tensor de rango 2. De forma m´as general, un tensor de rango n tiene 3n componentes, pero nosotros s´olo necesitaremos los tensores de rango 2.) Para encontrar las propiedades de transformaci´on de un tensor, consideremos el ejemplo de un tensor con componentes Tij = ai bj ,

(B.2)

donde ai y bj son las componentes de dos vectores cualesquiera. Las leyes de transformaci´ on de este tensor se deducen de las correspondientes leyes de transformaci´on de los dos vectores: ! 3 ! 3 3 X X X 0 0 0 Tij = ai bj = Rik ak Rjl al = Rik Rjl Tkl . (B.3) k=1

l=1

k,l=1

Esta transformaci´ on se puede escribir de forma m´as compacta en notaci´on matricial como sigue: T 0 = RT RT .

(B.4)

Cualquier tensor de rango 2 tridimensional se transforma de acuerdo a esta ecuaci´on y cualquier conjunto de 9 elementos que se transforme de esta manera formar´a un tensor. Una de las operaciones m´ as importantes que se puede realizar con un tensor es su multiplicaci´ on por un vector. Esta operaci´on, que se define como en el ´algebra matricial, da como resultado un vector, como vamos a ver. Sea T un tensor y ~a un vector. Supongamos que ~b es un objeto definido por ~b = T~a. Veamos que ~b se transforma bajo rotaciones como un vector: ~b0 = T 0~a0 = (RT RT )(R~a) = RT (RT R)~a = RT~a = R~b,

(B.5)

donde hemos usado el hecho de que R es una matriz ortogonal. De este modo, queda claro que ~b se transforma como un vector y es, por tanto, un vector. Vectores y tensores en el espacio-tiempo La discusi´ on de vectores y tensores en el espacio-tiempo cuadridimensional es una sencilla generalizaci´ on de la correspondiente discusi´on en el espacio tridimensional. Un vector en el espacio-tiempo es una columna de 4 n´ umeros (en un sistema de referencia) que se transforman bajo transformaciones de Lorentz como a0 = Λa

Relatividad y electromagnetismo

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de un sistema de referencia S a otro S 0 . Esta transformaci´on deja invariante el producto escalar de vectores, que en notaci´on matricial se escribe como a · b = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 = aT Gb, donde b es otro cuadrivector y G es la m´etrica, una matriz 4 × 4 dada por   +1 0 0 0  0 −1 0 0   G=  0 0 −1 0  . 0 0 0 −1

(B.6)

(B.7)

Recordemos que el producto escalar es invariante bajo transformaciones de Lorentz, lo que es una consecuencia de la relaci´on ΛT GΛ = G.

(B.8)

Al conjunto de matrices 4 × 4 que satisfacen esta condici´on se le conoce con el nombre de grupo de Lorentz. Un tensor cuadridimensional de rango 2 se define como el conjunto de 16 n´ umeros Tµν (definidos en un sistema de referencia inercial S), donde los ´ındices toman valores de 1 a 4, que satisfacen T 0 = ΛT ΛT .

(B.9)

Del mismo modo que formamos el producto escalar de dos cuadrivectores con la ayuda de la m´etrica G, podemos definir el producto de un tensor por un vector de la siguiente manera: T · a = T G · a.

(B.10)

Es f´ acil demostrar que si T es un tensor cualquiera y a un vector cualquiera, entonces b = T · a es un cuadrivector. Del mismo modo, se puede demostrar que si a y b son dos cuadrivectores y b = T · a en cada sistema de referencia S, entonces T es un tensor en el espacio-tiempo. Con estas definiciones y propiedades estamos ahora en posici´on de discutir la relaci´ on entre relatividad y electromagnetismo. B.2

Electrodin´ amica y relatividad

Las leyes cl´ asicas del electromagnetismo establecen que la luz viaja con una velocidad c en todas las direcciones y sin importar el sistema de referencia inercial, lo cual es el punto de partida de la teor´ıa especial de la relatividad. Esto sugiere que el electromagnetismo cl´ asico es consistente con los principios de la relatividad (y de hecho lo es). La forma m´ as sencilla de demostrar este hecho es mostrar que las leyes de la electrodin´ amica se pueden escribir en t´erminos de esalares, vectores y tensores en el espacio-tiempo, de modo que su invariancia Lorentz sea evidente. Aqu´ı lo

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

mostraremos para el caso de una ley, la ley de Lorentz que describe la fuerza que ~ y un campo magn´etico B: ~ sufre una carga q en presencia de un campo el´ectrico E ~ + ~u × B), ~ F~ = q(E

(B.11)

donde ~u es la velocidad de la carga. En el proceso de demostrar que esta fuerza se puede expresar de forma covariante, es decir, en t´erminos de escalares, cuadrivectores y tensores, vamos a derivar las leyes de transformaci´on de los campos el´ectrico y magn´etico. Antes de empezar, es importante remarcar que es un hecho experimental que la carga q de una part´ıcula tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia, es decir, q es un escalar Lorentz. Aqu´ı adoptaremos la visi´ on de que la ec. (B.11) es un hecho experimental v´alido en todos los sistemas de referencia inerciales, lo cual es cierto. La ec. (B.11) no parece ser invariante relativista y nuestra tarea es reescribirla para que lo sea. La primera pista para ver c´ omo podemos hacer esto es darse cuenta de que la ec. (B.11) define F~ como una funci´ on lineal de ~u. El siguiente paso natural es reescribir esta relaci´ on lineal en t´erminos de la cuadrifuerza K y de la cuadrivelocidad u. Recordemos que K = γ(F~ · ~u/c, F~ ) y u = γ(c, ~u).

(B.12)

Multiplicando ambos miembros de la ec. (B.11) por γ, podemos ver que K es una funci´ on lineal de u. De hecho, es sencillo (se deja como ejercicio) mostrar que la cuadrifuerza se puede escribir como K = qF · u = qF Gu,

(B.13)

 0 −Ex /c −Ey /c −Ez /c  Ex /c 0 −Bz By  . F =  Ey /c Bz 0 −Bx  Ez /c −By Bx 0

(B.14)

donde 

Como K y u son cuadrivectores, entonces F tiene que ser un tensor en el espacio-tiempo. As´ı pues, vemos que se puede expresar la fuerza de Lorentz de un modo manifiestamente invariante bajo transformaciones Lorentz y de paso, podemos hacer uso de las leyes de transformaci´on de los tensores para determinar c´omo se transforman los campos el´ectrico y magn´etico. Al tensor F , que es antisim´etrico (Fij = −Fji ), se le conoce como tensor del campo electromagn´etico. Transformaciones de Lorentz del campo el´ ectrico y magn´ etico ~ yB ~ en un sistema de referencia S dado. Como El tensor F especifica los campos E F es un tensor en el espacio-tiempo, su valor en otro sistema de referencia S 0 viene dado por [ver ec. (B.9)] F 0 = ΛF ΛT .

(B.15)

Relatividad y electromagnetismo

95

De esta expresi´ on es sencillo derivar las leyes de transformaci´on de los campos el´ectrico y magn´etico en un cambio de sistema de referencia. As´ı por ejemplo, si consideramos la disposici´ on habitual donde el sistema S 0 se mueve con velocidad constante v a lo largo del eje x del sistema S, los campos en ambos sistemas de referencia estar´ an relacionados del siguiente modo: Ex0 = Ex ,

Ey0 = γ(Ey − βcBz ),

Bx0 = Bx ,

By0 = γ(By + βEz /c),

Ez0 = γ(Ez + βcBy ) Bz0 = γ(Bz − βEy /c),

(B.16)

donde como siempre β = v/c. Lo m´as sorprendente de estas transformaciones es que mezclan los campos el´ectrico y magn´etico. De este modo, una situaci´on donde s´olo ~ = 0 porque la distribuci´on haya campo magn´etico en un sistema de referencia S (B de carga es est´ atica), corresponder´a necesariamente a una situaci´on en otro sistema de referencia S 0 donde el campo magn´etico no sea cero. As´ı pues, vemos que en relatividad la existencia de un campo el´ectrico requiere o exige de la existencia de un campo magn´etico y viceversa. En otras palabras, la relatividad especial nos ense˜ na que los campos el´ectrico y magn´etico no son m´ as que dos caras de la misma moneda. Una importante ventaja de conocer las propiedades de transformaci´on de los campos electromagn´eticos es la siguiente: si queremos determinar los campos debidos a ciertas distribuciones de carga y de corriente en un sistema de referencia S, es posible encontrar un sistema de referencia S 0 en el que los campos sean m´as sencillos de evaluar. Si esto ocurre, entonces la estrategia m´as sencilla es la de determinar los campos en S 0 y transformarlos de vuelta al sistema S. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo B.1: Determinar los campos el´etrico y magn´etico generados por un hilo cargado con una densidad lineal uniforme de carga λ que est´a colocado a lo largo del eje z de un sistema de referencia S y que se mueve con una velocidad v en la direcci´ on +z. Soluci´ on. Obviamente este problema se puede resolver usando las leyes de Gauss y de Amp`ere y el resultado es ˆ ~ = 2kλ ρˆ y B ~ = µ0 I φ, E ρ 2π ρ donde k = 1/(4π0 ) es la constante de Coulomb, I = λv es la corriente el´ectrica a lo largo del eje z y ρ, φ, z son las coordenadas polares cil´ındricas (ρ es la distancia perpendicular al eje z y φ es el ´angulo azimutal). Vamos a rederivar este resultado transformando al sistema de referencia S 0 que viaja con las cargas. En S 0 no hay corriente y, por tanto, s´olo hay un campo el´ectrico radial E 0 = 2kλ0 /ρ0 . Este campo apunta en la direcci´on del vector unitario ρˆ0 = (x0 /ρ0 , y 0 /ρ0 , 0). Por tanto, podemos escribir 0 0 ~ 0 = 2kλ ρˆ0 = 2kλ (x0 , y 0 , 0). E ρ0 (ρ0 )2

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Mec´ anica y Ondas II: La Teor´ıa de la Relatividad

Autor: Juan Carlos Cuevas.

Antes de transformar el resultado al sistema S, es importante darse cuenta de que las densidades de carga λ y λ0 no son iguales. La invariancia de la carga implica que la carga total contenida en un segmento del eje z debe ser igual en ambos sistemas de referencia, de modo que λ∆z = λ0 ∆z 0 . Teniendo en cuenta la contracci´ on de la longitud: ∆z = ∆z 0 /γ, tenemos que λ = γλ0 . ~0 y B ~ 0 = 0 de vuelta al sistema S. Ahora debemos transformar los campos E Para hacerlo, debemos darnos cuenta de que S 0 viaje a lo largo del eje z y no del eje x, como en la dispoci´ on habitual. De este modo, debemos primero reescribir las relaciones de la ec. (B.16) e invertirlas para obtener los campos en S en funci´on de los campos en S 0 . El resultado de esas operaciones viene dado por Ex = γ(Ex0 + βcBy0 ), Bx = γ(Bx0 − βEy0 /c),

Ey = γ(Ey0 − βcBx0 ),

Ez = Ez0

By = γ(By0 + βEx0 /c),

Bz = Bz0 .

~ 0 = 0 y la expresi´on de E ~ 0 , tenemos que Substituyendo B 0 ~ = γ 2kλ (x, y, 0) = 2kλ ρˆ, E 2 ρ ρ

donde hemos usado que p x e y no se alteran en el cambio de sistema y, por tanto, tampoco lo hace ρ = x2 + y 2 . Adem´as, hemos usado que γλ0 = λ. N´otese que el resultado obtenido para el campo el´ectrico est´a de acuerdo con la expresi´on que se obtiene al usar la ley de Gauss. An´ alogamente, el campo magn´etico vendr´a dado por 0

~ = γβ 2kλ (−y, x, 0). B cρ2 Si ahora usamos que γλ0 = λ, β = v/c, k/c2 = 1/(4π0 c2 ) = µ0 /4π, y ˆ entonces (−y/ρ, x/ρ, 0) = φ, ˆ ~ = µ0 λv φ, B 2π ρ que teniendo en cuenta que λv = I, coincide con el resultado esperado. Lo sorprendente de esta derivaci´on es que no se ha hecho uso de la ley de Amp`ere. La ley de Gauss, combinada con las transformaciones de Lorentz para los campos, ha sido suficiente para obtener un resultado que normalmente se ve como una consecuencia de la ley de Amp`ere.  B.3

Problemas

~ ·B ~ y E 2 − c2 B 2 son invariantes bajo transformaciones (1) (a) Demostrar que E ~ y B ~ son de Lorentz. Usar estos resultados para demostrar que: (b) si E perpendiculares en un sistema de referencia S, entonces son perpendiculares en cualquier otro sistema de referencia S 0 , y (c) si E > cB en un sistema S, entonces no puede existir un sistema de referencia en el que E = 0.

Relatividad y electromagnetismo

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(2) (a) Usar las leyes de transformaci´on de los campos electromagn´eticos para ~ = 0 en un sistema de referencia S, entonces E 0 = ~v × B 0 demostrar que si E 0 ~ = 0 en el sistema S, entonces en S . (b) An´ alogamente, demostrar que si B 0 0 2 ~ B = −~v × E /c . Usar este resultado para derivar la expresi´on de campo magn´etico que genera una carga puntual q que se mueve con una velocidad ~v en un sistema de referencia dado. Pista: usar para ello la ley de Coulomb que describe el campo el´etrico generado por un carga puntual en el sistema de referencia en reposo moment´aneo con la carga. (3) (a) Demostrar que el tensor de campo electromagn´etico viene dado por la ec. (B.14). (b) Usar la ley de transformaci´on de un tensor en el espaciotiempo para demostrar que las leyes de transformaci´on de los campos electromagn´eticos vienen dadas por la ec. (B.16). (4) Derivar la expresi´ on de la fuerza de Lorentz a partir de la ley de Coulomb del siguiente modo: (a) si una carga q est´a en reposo en el sistema S 0 , entonces ~ 0 . Usar las leyes la ley de Coulomb nos dice que la fuerza sobre q es F~ 0 = q E ~ de transformaci´ on de la fuerza para escribir la fuerza F vista en el sistema ~ 0 por el momento). (b) Usar las S. (Dejar la respuesta en t´erminos de E expresiones de la ec. (B.16) para reescribir la respuesta anterior en t´erminos ~ yB ~ y demostrar que F~ = q(E ~ + ~v × B). ~ de E (5) Dos cargas id´enticas q se mueven al lado la una de la otra a lo largo de direcci´ on positiva del eje x del sistema de referencia S. La distancia entre ellas es r y su velocidad en S es v. Determinar la fuerza que aparece sobre cada carga de las dos formas siguientes: (a) encontrar la fuerza en el sistema de referencia S 0 en reposo con las cargas y transformar de vuelta al sistema S usando las leyes de transformaci´on de la fuerza. (b) Encontrar el campo el´ectrico y magn´etico en S 0 , transformar estos campos al sistema S y escribir la fuerza de Lorentz sobre cada carga en S. Comparar las magnitudes de las fuerzas el´ectrica y magn´etica y mostrar que se vuelven del mismo orden cuando v → c. (6) Una carga q se mueve con velocidad constante v a lo largo del eje x del sistema S y su posici´ on viene dada por vtˆ x. (a) Escribir el campo el´ectrico y 0 magn´etico en el sistema S en reposo relativo con la part´ıcula. (b) Usar las leyes de transformaci´ on de los campos electromagn´eticos para demostrar que el campo el´ectrico en S en la posici´on ~r y en el instante t viene dado por ~ = E

ˆ R kq(1 − β 2 ) , 2 2 3/2 (1 − β sen θ) R2

~ = ~r − vtˆ donde R x es el vector que comienza en la posici´on de la carga y ~ con el eje x. acaba en el punto de observaci´on ~r y θ es el ´angulo que forma R (c) Representar esquem´ aticamente la intensidad del campo como funci´on de θ para un R fijo y pintar las l´ıneas de campo en un instante dado t.