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Medida de ángulos Freddie Martinez Sotomayor Pontificia Universidad Católica de PR Introducción Mil años antes de Cristo los babilonios que utilizaban un sistema numérico con base 60 dividieron el círculo en 360 partes y definieron la medida de ángulos que hoy se conoce como grados. Fueron ellos los que dividieron el grado en 60 partes y definieron el minuto y también el segundo. Así que los grados, minutos y segundos los heredamos de los babilonios. En el siglo XIX, para la década de 1870 los señores Thomas Muir y James Thompson introducen el concepto de radián. Esta medida es muy utilizada por los matemáticos y se considera que surge de forma natural. No es hasta mediados del siglo XX que la medida de gradian toma prominencia debido principalmente a la globalización del sistema métrico decimal. La ventaja de esta medida es precisamente que las subdivisiones del ángulo se hacen en potencias de 10 como en todas las medidas del sistema métrico decimal. En los Estados Unidos este progreso se detuvo con la crisis económica que vivió el país durante la presidencia de Ronald Reagan. De otra forma considero que actualmente sería la medida más utilizada, sin embargo cayó en desuso y no se ha vuelto impulsar.

Ubicándonos Un tema que aterra muchos estudiantes cuando toman el curso de geometría o precálculo es el de medida de ángulos. Voy a presentarlo de una forma sencilla con la idea que al leerlo un maestro pueda ver que esta manera es lógica y elemental.

Aprovechamos de una vez y

establecemos la relación entre la longitud de un arco interceptado, la medida del ángulo central correspondiente y el radio del círculo. Comenzamos con el vocabulario necesario para comprender y dominar estos conceptos. 

Circunferencia: Curva plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes de otro punto

fijo, el centro, situado en el mismo plano. La distancia común es el radio r. Tomaremos como hecho que la distancia C, (longitud) alrededor de la circunferencia se consigue con la fórmula

C = 2πr

(Observe que las unidades de C son las mismas que las del radio.)

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

Ángulo central: ángulo cuyo vértice se encuentra en el centro de un círculo.



Arco interceptado: arco en el círculo que comienza en un lado del ángulo central y termina en el otro lado de ese mismo ángulo.



Partición regular: Cuando un objeto se divide en partes y todas esas partes tienen el mismo tamaño.

Principios de sentido común (PSC) PSC 1) Si un objeto de tamaño T se divide en n pedazos (partes) del mismo tamaño entonces el tamaño de cada pedazo es P = tamaño de cada pedazo

=

𝑛

.

O sea que en una partición regular el

𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒐𝒃𝒋𝒆𝒕𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒅𝒂𝒛𝒐𝒔

PSC 2) Despejando para n obtenemos que número de pedazos =

𝑇

𝑛=

𝑇 𝑃

𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒐𝒃𝒋𝒆𝒕𝒐 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒆𝒅𝒂𝒛𝒐

, o sea que en una partición regular el

.

Debemos ir identificando que nuestro objeto será una circunferencia de radio r, y que su tamaño es la longitud C de la circunferencia, o sea el tamaño de nuestro objeto es 𝟐𝝅𝒓 . Ya estamos listos para comenzar a hablar de las medidas de ángulos.

Grados A alguien se le ocurrió hacer una partición regular de la circunferencia con 360 (número sumamente cómodo para hacer cómputos manuales pues tiene muchos divisores) pedazos, cada uno de esos pedazos es un arco, llamémosle arco unitario. El tamaño de cada uno de esos 360 arcos unitarios (pedazos) se consigue aplicando el PSC 1). Por lo que la medida de cada arco unitario

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es

𝟐𝝅𝒓 𝟑𝟔𝟎

=

𝝅𝒓 𝟏𝟖𝟎

.

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A cada arco unitario le corresponde un ángulo central y definimos la medida

de ese ángulo como un grado (1o). O sea que un grado es la medida que le corresponde al ángulo central correspondiente al arco unitario cuando hacemos una partición regular de la circunferencia de 360 partes. Ver Figura 2.

Consecuencias inmediatas de esta definición: 1. Si consideramos la circunferencia completa como un arco, entonces la medida correspondiente al ángulo central de ese arco es 360o, un grado por cada arco unitario. 2. A la cuarta parte de la partición le corresponde o contiene 90 arcos unitarios y el ángulo central correspondiente a esas 90 partes define el ángulo recto cuya medida es 90o. 3. Si un ángulo central mide 40o entonces el arco interceptado contiene 40 arcos unitarios, en general, si la medida de un ángulo es βo entonces el arco interceptado contiene β arcos unitarios.

Relación entre la medida en grados del ángulo central, la medida del arco interceptado y el radio de la circunferencia Sea β un ángulo central con medida βo, sea S la longitud del arco interceptado por el ángulo β, y sea r el radio de la circunferencia. Tenemos que por la consecuencia 3, el arco

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interceptado por β contiene β arcos unitarios cada uno con medida

4

𝜋𝑟

.

Así la longitud de S es

180

(ver Figura 3) 𝝅𝒓 S = βo ∗ 𝟏𝟖𝟎

(A1)

Nota: Es sumamente importante recordar que el ángulo se mide en grados y el arco en unidades de longitud (pies, metros, etc.). No podemos decir que la circunferencia mide 360o, lo que mide 360o es el ángulo central que le corresponde a la circunferencia completa.

Radianes La medida de ángulos en radianes nos da unas ventajas que no tenemos en grados. Veamos. Para definir grados se escogió el número de pedazos en la partición (360) y se calculó el 𝛑𝐫 tamaño de cada pedazo (arco unitario con longitud ). 𝟏𝟖𝟎 Para definir radianes se escoge el tamaño de cada pedazo en la partición que será la longitud del radio (r). Como C = 𝟐𝝅𝒓 entonces podemos deducir y aplicando el PSC 2 que el radio

𝒓 cabe “𝟐𝝅 o 6.28 veces”

en la circunferencia, o sea que un arco de largo 𝒓 cabe 6 veces

dentro de la circunferencia y sobra un poco de la circunferencia,

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𝐶

2𝜋𝑟

𝑟

𝑟

( =

= 𝟐𝝅 ≅ 6.28 = 6 + 0.28). Figura 4.

5

Se define un radián como la

medida que le corresponde al ángulo central cuando el arco interceptado mide r. Ver Figura 5

Consecuencias inmediatas de esta definición: 4. Si consideramos la circunferencia completa como un arco, entonces la medida correspondiente al ángulo central de ese arco es 𝟐𝝅 rad. 5. A la cuarta parte de la partición le corresponde o contiene ángulo central correspondiente a esas

𝛑 𝟐

𝟐𝛑 𝟒

=

𝛑 𝟐

arcos unitarios y el

partes define el ángulo recto cuya medida en

𝛑

radianes es . 𝟐

6. Si un ángulo central mide βrad entonces el arco interceptado contiene β arcos unitarios (cada uno de largo r), en general si la medida de un ángulo central es βrad entonces el arco interceptado contiene β arcos unitarios. Ver Figura 6

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Relación entre la medida en radianes del ángulo central, la medida del arco interceptado y el radio de la circunferencia Sea β un ángulo central con medida βrad, sea S la longitud del arco interceptado por el ángulo β, y sea r el radio del círculo. Tenemos que por la consecuencia 6, el arco interceptado por β contiene β arcos unitarios cada uno con medida r. Entonces la longitud de S es S = βrad ∗

(A2)

r

Gradianes La medida de ángulos en gradianes nos hubiese dado unas ventajas que no tenemos en grados ni en radianes. Lamentablemente la medida desapareció con los cortes del presidente Ronald Reagan en la década del 80, por razones económicas. Sin embargo muchas calculadoras todavía la incluyen en su programación. Veamos. Para definir gradianes se escogió el número de pedazos en la partición (400) por lo que la medida de cada arco unitario es

𝟐𝝅𝒓 𝟒𝟎𝟎

=

𝝅𝒓 𝟐𝟎𝟎

, (Ver Figura 5). A cada arco unitario le corresponde un

ángulo central y definimos la medida de ese ángulo como un gradián (1gra). O sea que un gradián es la medida que le corresponde al ángulo central correspondiente al arco unitario cuando hacemos una partición regular de la circunferencia de 400 partes. Ver Figura 7

Consecuencias inmediatas de esta definición: 7. Si consideramos la circunferencia completa como un arco, entonces la medida correspondiente al ángulo central de ese arco es 400gra. 8. A la cuarta parte de la partición le corresponde o contiene 100 arcos unitarios y el ángulo central correspondiente a esas 100 partes define el ángulo recto cuya medida es 100gra.

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9. Si un ángulo central mide 40gra entonces el arco interceptado contiene 40 arcos unitarios, en general si la medida de un ángulo es βgra entonces el arco interceptado contiene β arcos unitarios.

Relación entre la medida en gradianes del ángulo central, la medida del arco interceptado y el radio de la circunferencia Sea β un ángulo central con medida βgra, sea S la longitud del arco interceptado por el ángulo β, y sea r el radio de la circunferencia. Tenemos que por la consecuencia 9, el arco interceptado por 𝜋𝑟 β contiene β arcos unitarios cada uno con medida . Entonces la longitud de S es (A3) 200 𝝅𝒓 S = βgra ∗ 𝟐𝟎𝟎 . Ver Figura 8

Cambio de una medida de ángulo a otra medida Sea T un ángulo central, sea S la longitud del arco interceptado por el ángulo T, y sea r el radio de la circunferencia. Ver Figura 9 Si el ángulo T se mide en grados entonces

𝝅𝒓 S =To ∗ 𝟏𝟖𝟎

S =Trad ∗ r 𝝅𝒓 S =Tgra ∗ 𝟐𝟎𝟎

Si el ángulo T se mide en radianes entonces Si el ángulo T se mide en gradianes entonces

Pero la longitud de S es la misma en los tres casos, por tanto: 𝝅𝒓 To ∗ 𝟏𝟖𝟎 = Trad ∗ r

→

To = Trad ∗

𝟏𝟖𝟎 𝝅

*

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𝝅𝒓 To ∗ 𝟏𝟖𝟎 = Trad ∗ r 𝝅𝒓 To ∗ 𝟏𝟖𝟎 = Tgra

∗

→ 𝝅𝒓 𝟐𝟎𝟎

= To ∗

→

𝝅

**

𝟏𝟖𝟎

To = Tgra ∗

8

𝟗 𝟏𝟎

***

*

Esta ecuación nos sirve para convertir radianes en grados.

**

Esta ecuación nos sirve para convertir grados en radianes.

*** Esta ecuación nos sirve para convertir gradianes en grados. Nota:

En la calculadora las unidades se identifican como grados (deg), radianes (rad) y

gradianes (gra). Si definiéramos una medida nueva con una partición de 200 partes, llamémosla “juanes”, ¿cuántos juanes contiene el ángulo recto? Un ángulo de 40 juanes, ¿cuántos grados mide?, ¿cuántos radianes?

Referencias: http://rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/r/radian.htm

Freddie Martínez Sotomayor ([email protected]] Vicepresidente de Asuntos Estudiantiles y ha sido profesor de matemáticas por muchos años en el Departamento de Matemáticas en la Pontificia Universidad Católica de Puerto Rico en Ponce.

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