METODO

ARITMETICO-GEOMETRICO

PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

JUAN

CONTRERAS

GUERRERO

C.P. GUILLERMINA BRITO TELDE

INTRODUCCiÓN.

Hay algunos en ciertos

tipos de problemas

niveles

las ecuaciones.

que calificamos

de E.G.B. por no poseer

Estas se suelen explicar

Problemas

con una gran riqueza

con

de razonamiento ellos

el

La primera

vez que enfrento

a los alumnos

la resolución gráfica

del problema.

del problema

La denominación explica

A continuación alumnos

segundo

entenderse

adquiere

una

problemática.

sin

con estos problemas. la estrategia y

en

de

trimestre

de

pueden

la

empleado.

del método

empleada

uso en

representación

aritmético-gebmétrico.

aritmético

para la resolución

segmentos y bandas geométricas. el alumno en el ciclo medio.

paso a exponer

de sexto y séptimo

técnica

los segmentos.

método

por ser una mixtura

problemas. con los segmento la adquiere

Posteriormente.

usamos del

y manipulen

las

alumno

nueva estrategia para salir airoso de una situación hacer uso de las ecuaciones.

tiras de papel para que entiendan

la

a partir del segundo

en séptimo nivel. siendo reforzadas y ampliadas grado y las bicuadradas en octavo nivel.

muy bien en quinto y sexto nivel. Con

de "no planteables"

los alumnos

algunos

problemas

que

La

noción

resuelvo

nivel sin el empleo de las ecuaciones.

-7-

se de de

con

PROBLEMA

1.- Juan

y

Pedro

tienen juntos·2.500

ptas. más que Pedro. cada uno. La primera dificultad de

problemas

enunciado,

por

interpretan es

vez

una

700 ptd5.

incorrecta,

obligándoles

de papel, una más

a

leer

que según

tipo

errónea

t¡m'tos

los

del

alumnos

ttenen

nuevamente

el

2.500

el problema

de modo que coincida

uno

A continuación

de

sus

lo que tienen Juan y

ptas. La situación

que Pedro.

a Juan es más

problemática

el

Cortamos

juntos,

es

tiras

el dinero

larga

porque

nombre

las colocamos

extremos. Pedro

dos

a representar

tiene más dinero que Pedro. En cada tira escribimos

del

quién tiene

hago que cada alumno recorte

larga que la otra, que vienen

del problema.

enunciado

los datos del problema

que tiene cada uno. La tira que corresponde

represente

con este

Generalmente,

Se dan cuenta' que Juan tiene 700 pts'más

Para explicar

protagonistas

tiene

interpretación

como

Y

dinero

que Pedro tiene 1.800 ptas. Les hago ver que la solución

problema, y preguntándoles más dinero.

es

lectura incorrecta.

que Juan tIene

ptas., deducen

ptas. Juan tiene 700 cuánto

cuando el alumno se encuentra

primera

debido a una

Averigua

de

sobre otra

decir,

la

los mesa

tira las

que 2.500

queda como sigue:

Juan Pedro

~ Pedro

Juan

2.500 ptas.

La estrategia

a seguir es la siguiente:

(la de 2.500 ptas.) ven claramente entonces

Juan.

alumnos Podemos

que afiadiendo 700 ptas. a las 2.500 ptas. se

obtiene

que se obtienen

concluir

afiadir a la tira del total

la tira de las 700 ptas. ¿Qué sucede? dos

tiras

como

la

de

Los

el doble de lo que tiene Juan. 2.500

700 ptas

Juan

Ya se puede entender

que 2.500 ptas. + 700 ptas.

el doble de lo que tiene Juan. Por tanto. Juan 3.200 ptas .. es decir. ¿Cómo obtendremos

tendrá

3.200 ptas. la mitad

es de

1.600 ptas. la parte que corresponde

-8-

a Pedro?

Quitando

a la

tira de Juan

la tira de las 700 ptas .. es

decir.

1.600

ptas.

700

ptas. - 900 ptas: Obsérvese geometria

cómo

plana.

estamos

'reforzando

nociones

como la suma y diferencia

de

importantes

segmentos

de

representados

por tiras de papel. Una vez comprendido

el problema.

asi como la

para salir de la situación

planteada.

pasamos

alumno representa

situación

empleando

las distintas

la misma

cantidades

a

estrategia la

empleada

libreta

segmentos

donde

para

de las tiras de papel. Empleamos

el

el

indicar siguiente

sistema: Datos del problema: Juan

Pedro

700

Immmmnmmnmn-j

2.500 ptas. Con trazos discontinuos r

representamos

la

diferencia

entre

ambos

'egmentos. Desarrollo

del problema:

1.- Doble de lo que tiene Juan: 2.500 ptas. + 700 ptas.

3.200 ptas.

2.- Juan tiene: 3.200 ptas.

2 - 1.600 ptas.

3.- Pedro tiene: 1.600 ptas. - 700 ptas. - 900 ptas. Hay alumnos problema.

que descubren

una

segunda

manera

de

resolver

En lugar de sumar 700 ptas. al total para obtener

lo que tiene Juan. proponen

restar 700 ptas. al total para

doble de lo que tiene Pedro. Evidentemente. es la misma. A partir de ahora expondré el desarrollo

PROBLEMA

los problemas

no sea excesivamente

2.- Se reparten la segunda tercera recibe

la solución usando

este

el doble de obtener

que se

segmentos

el

obtiene para que

largo.

200 ptas. entre recibe

tres personas

10 ptas. más

tanto como cada una?

-9-

las

otras

de modo

que la primera. dos

juntas.

y

que la

¿Cuánto

Datos: Primera

persona

Segunda

persona

Tercera

persona

10 ptasl

10 ptas¡

{

Total

200 ptas.

Desarrollo:

Es evidente

obtiene el cuádruplo 1.- Cuádruplo

que

quitando

de lo que recibe

de la cantidad

20

ptas.

la primera

al

total.

se

persona.

que corresponde

a la primera

persona:

200 ptas. - 20 ptas. = 180 ~tas. 2.- Cantidad

que corresponde 180 ptas.

3.- Cantidad

a la primera

persona:

: 4 - 45 ptas.

que corresponde

a la segunda

persona:

45 ptas. + 10 ptas. = 55 ptas. 4.- Cantidad

que corresponde

a la tercera

persona:

45 ptas. + 55 ptas. = 100 ptas. Una segunda

estrategia

cuádruplo de la cantidad Antes de trabajar

hacer

este

con las tiras

situación

de

problemática

PROBLEMA

es sumar 20 ptas. al total para obtener

que corresponde desarrollo papel.

y entienda

a la segunda en

para

la

libreta

que

el

perfectamente

3.- La suma de cuatro

es

alumno

impares

importante

vivencie

la estrategia

números

el

persona. la

seguida.

consecutivos

es

512. ¿Cuáles son esos cuatro números?

Antes de empezar números

impares

con

consecutivos

Datos:

Primer

este van

problema

hay

de

dos.

dos

en

que

recordar

2

Cuarto número

Se ve claramente

2.-

Primer

3.

Segundo

2

2

2

2 2

que quitando

del primer número:

512 - 12 - 500 500

número:

4 = 125

125 + 2 = 127

número:

-10-

j

12 al total. se obtiene

cuatro veces el valor del primer número. 1.- Cuádruplo

los

número

Segundo número Tercer número

Desarrollo:

que

4.

Tercer número:

127 + 2

129

5.

Cuarto número:

129 + 2

131

El otro camino es sumar número mayor.

PROBLEMA

12 al total para obtener

4.- En Un corral hay 25 cabezas En total cuántos

Este es un problema

contamos conejos

80

el cuádruplo

y

entre gallinas

patas.

¿Cuántas

del

conejos.

gallinas

y

hay?

que en la mayoría

clasificado dentro del grupo de los sistema de ecuaciones.

de los libros de texto viene

problemas

para

resolver

con

un

Datos: Número de gallinas

25

Número de conejos

[1I

I

Total

25

Patas de gallinas

,

25L {25~:

Patas de conejos

{,:

:

I

;1

,

1

Total

80

Desarrollo:

Aquí el proceso

es un poco más

en quitar al número total de patas obteniendo

el

doble

complicado.

del

número

de

Consiste cabezas

así el doble del número de conejos.

1.- Doble

80

del número de conejos:

2 ~. 15 25 - 15 ~ 10

3.- Número de gallinas: Los alumnos

entienden

cuando trabajamos

muy bien

con las tiras de

simple he obtenido A continuación que puede aplicarse

resultados expongo

50 ~ 30

30

2.- Número de conejos:

muy

la

Con

de

esta

este

problema

metodología

tan

positivos.

otro problema

a cualquier

estra,tegia

papel.

para resolver

otro modelo

-11-

de problema.

con este método

PROBLEMA

5.- La suma de dos números ¿De qué números

es 132

y

su diferencia

es

40

se trata?

Datos: Primer

número

Segundo

40

número

Total Des~rrollo:

.

Es evidente

doble del riúmero menor.

132

que restando

40 al total

Se

obtIene

el

Por tanto:

1.- Doble del número menor:

132 - 40 = 92

2.- El número menor es:

92

3.- El número mayor

46 + 40 = 86

es:

Es claro que sumando

2 ~ 46

40 al total, se obtiene

el doble

del

número

mayor. A continuación

explico

Este tipo de problemas séptimo,

para hacerla

un problema

prefiero mediante

"de edades"

dejarlo

para el

una ecuación,

por

segundo

este

método.

trimestre

pues aquí es más

de

rentable

el método algebraico.

PROBLEMA

6.- Un padre

tiene 49 años

y

su hijo 11 años. ¿Dentro

de

cuánto tiempo la edad del padre será triple de la del hijo? Datos:

,,1 pedido

49 at'los

11 at'los I 11 at'los s f-------t

1

11 at'los Tiempo

Desarrollo:

el doble de los at'lospedidos.

1.- Doble de los at'lospedidos:

49 - 33

2.- At'lospedidos:

16

-12-

1 l

pedido

Del dibujo se deduce que si de 49 se resta el

de la edad del hijo, resulta

-

11 at'los

=

16

2 = 8 at'los

triplo