Un

m o d e l o de c o n t r o l óptimo p a r a l a determinación de

políticas d e m i g r a c i ó n Absalón Romero Silva* Este artículo presenta el uso de u n modelo de c o n t r o l óptimo basado en el p r i n c i p i o del máximo discreto de P o n t r y a g i n p a r a l a determinación de políticas de migración en el D i s t r i t o F e d e r a l y en el E s t a d o de México entre 1 9 8 2 y 1 9 9 5 .

Introducción

El modelo de control óptimo para determinar políticas de migración en el Distrito Federal y en el Estado de México se basa en el principio del máximo discreto de Pontryagin, y utiliza técnicas de gradiente conjugado y de búsqueda para la solución del problema matemático de dos puntos con valores en la frontera. E l análisis es válido para el periodo 1982-1995. Este modelo vincula los niveles de natalidad, mortalidad y población al inicio del periodo con los niveles de migración. U n a vez conocidos los niveles de natalidad y mortalidad para el periodo de estudio, y la población al inicio del mismo, el modelo determina el saldo neto migratorio y el tamaño de la población para todos los años en el nivel migratorio deseado durante dicho periodo. Contando con proyecciones en los niveles de natalidad y mortalidad, el modelo permite describir el comportamiento futuro de la población según las políticas de migración planteadas. Como soporte para el modelo se elaboró un programa de cómputo en lenguaje C ++, utilizando u n equipo P C , Pentium.

Modelo de control óptimo

Existe u n a diversidad de modelos matemáticos que se han utilizado para describir los fenómenos demográficos, como la migración, nupcialidad, fecundidad y crecimiento de la población, entre otros. El uso de los métodos de optimización en áreas como la ingeniería, economía, finanzas y administración es ampliamente conocido.

* P r o f e s o r - i n v e s t i g a d o r d e l I n s t i t u t o d e Investigación y P o s g r a d o d e l a U n i v e r s i dad

d e las A m é r i c a s , P u e b l a .

[741]

742

E S T U D I O S DEMOGRÁFICOS Y U R B A N O S

Sin embargo, los modelos de investigación de operaciones en las ciencias sociales han sido escasamente aplicados en nuestro país. L a teoría de control óptimo, como herramienta matemática, puede ser utilizada para coadyuvar al establecimiento de políticas de migración en nuestro país, conforme a metas preestablecidas sobre el crecimiento poblacional. L a decisión por este tipo de aplicación se debe en gran medida a la preocupación por el crecimiento descontrolado de algunas zonas de nuestro país; crecimiento no tanto natural sino por distribución espacial, que trae consigo diversas clases de problemas que afectan e impiden el desarrollo regional y nacional. Con este modelo aplicado a la demografía se pretende determinar las políticas de migración para el control de las entradas a las zonas metropolitanas. Consideremos u n sistema hipotético de estados del país. E l objetivo es maximizar u n beneficio social establecido en u n horizonte de planeación de T años. Suponemos conocidos los volúmenes iniciales de población en los estados, el crecimiento natural (nacimientosmuertes) y las condiciones de frontera. L a función objetivo es típicamente no lineal y la formulación del modelo es la siguiente:

T

Max F =

? F ( x i

t

, u ) + 0 ( x t

M

T+1 /

s.a. x

=x ,+ q - u

M

m m ^ X

X

í

+

1

t

< X

+ R u m

a

t

x

[i] [2] [3] [4]

donde: x = población total en el año t t

u = saldo migratorio neto en el año t t

*max. *min

= cotas para la población total en el año t

u

= cotas para la migración neta en el año t

max

,

u

m i n

q = crecimiento natural en el año t (nacimientos - muertes) t

R ij= matriz de rutas. Donde el estado i recibe población del estado j F ( . ) = beneficio social incremental en el periodo t f

0(

X

) = beneficio social en el último periodo

T+1

743

DETERMINACIÓN D E P O L I T I C A S D E MIGRACIÓN

R

1 0

ij =

si el estado i recibe población del estado j otro caso.

Con esta estructura de planteamiento se puede establecer el algoritmo de control óptimo que resuelve dicho problema.

Algoritmo de control óptimo

El problema general de optimización puede modelarse como u n problema de control óptimo discreto, utilizando la forma discreta del principio del máximo de Pontryagin. Sin embargo, se requieren consideraciones especiales para las restricciones deí espacio de las variables de estado. U n a de las formas más sencillas de trabajar con este tipo de restricciones es con el uso de términos de penalización cuadráticos. L a definición de la función hamiltoniana para dicho problema será: J=0[x }+í{F (x u ) T+l

t

t+v

+XJ{x

t

r

u +Ru +q -x t

t

t

; + 1

} }+rj Wr¡ 1

[5]

t-i

donde: T? = m a x ( 0 , x , - x '

\ ' _ í+l

) + min ( 0 , x ,- x . )

mas /

.

.,

1 + 1

m

n

Vl^—- IVlatriz diaconal de penalización mu u l tr i p n l i cr a aH rie iragrange Lranae a1 -- m d o r ee ss ae El principio del máximo para resolver el problema de control óptimo antes señalado requiere de l a determinación del conjunto de multiplicadores de Lagrange y de trayectorias admisibles que maximicen la función hamiltoniana. Matemáticamente, lo dicho envuelve la solución simultánea de un conjunto de condiciones de transversatilidad, adjuntas y estacionarias que en conjunto resulta ser lo que se conoce como problema de valor en la frontera de dos puntos ( P V F D P ) . L a ecuación adjunta y la de transversatilidad se obtienen por la diferenciación parcial de la función hamiltoniana con respecto a la variable x en el problema general: l = X

t

+

l

+ V x F (.)+2Wr¡ t+l

t

parat=l,2,...,T-l)

[6]

744

E S T U D I O S DEMOGRÁFICOS Y U R B A N O S

^ =Vx T

í + 1

F (.)+2W77+Vx ¡

( + ]

0(x

¡ + 1

)

parat=T

[7]

L a condición estacionaria se obtiene similarmente mediante la d i ferenciación parcial de la función hamiltoniana con respecto a la variable de control (u): V u J = V u F { u , x ) t

t

+{R-I)> X - Q

[8]

Para u n sistema con dimensión N , las ecuaciones anteriores generan 2 N ecuaciones no lineales y cuya solución determina los valores óptimos A * y tí*. Para la gran mayoría de problemas prácticos no es fácil o posible la solución de estas ecuaciones no lineales, por tal motivo se utilizan con mayor frecuencia los métodos de solución directa. U n enfoque consiste en proponer una solución inicial de la trayectoria de control con l a cual se genera una estimación de los multiplicadores de La¬ grange mediante la solución recursiva de las ecuaciones adjuntas y de transversatilidad. C o n estas estimaciones de X el gradiente de la función hamiltoniana puede calcularse utilizando la ecuación [8] y utilizando u n algoritmo de búsqueda se determina una estimación mejorada de las variables de control. Este procedimiento iterativo se repite hasta que los multiplicadores de Lagrange y la trayectoria de control convergen a sus posibles valores óptimos. Para asegurar la obtención de u n óptimo local se proponen varias trayectorias iniciales para alcanzarlo. E l esfuerzo computacional con este enfoque dependerá directamente de la eficiencia del procedimiento de búsqueda adoptado. Podemos adoptar el método de gradiente conjugado por la sencillez en su programación y por otras ventajas, como velocidad y bajos requerimientos de memoria. Existen otras técnicas de búsqueda de gradiente, pero dichos métodos resultan ser más complejos y la mayoría de ellos requiere del almacenamiento de una matriz hessiana de orden N , donde N es el número de variables de decisión. E l procedimiento para el método de gradiente conjugado es: 1) Determinar u n conjunto de direcciones de búsqueda utilizando la ecuación [8], basándose en la solución inicial dada y en los valores estimados l. Denotemos estas direcciones de búsqueda por d . 2) Utilizar u n procedimiento de búsqueda unidimensional para determinar el tamaño de paso a que maximice la función hamiltoniana, es decir: c

745

DETERMINACIÓN D E P O L I T I C A S D E MIGRACIÓN

Í9]

M a x J ( u , +a d ,x ,X ) a t

t

t

sujeto a ul = u

Q

t

^

u \

=

U

+ad i,

SI W < ¡ (

SÍM,

1>m¿x

w

[10]

x

min

: í

m i n