Moisés Villena Muñoz

Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

3 3.1 ÁREAS DE REGIONES PLANAS 3.2 APLICACIONES ECONÓMICAS 3.2.1. CAMBIO NETO 3.2.2. EXCESO DE UTILIDAD NETA 3.2.3. GANANCIAS NETAS 3.2.4. EXCEDENTES DE CONSUMIDORES Y EXCEDENTE DEL PRODUCTOR.

OBJETIVOS Se pretende que el estudiante: • Calcule áreas de regiones planas generales • Resuelva problemas de aplicaciones económicas • Calcule valor promedio de funciones de una variable.

35

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

3.1 AREAS DE REGIONES PLANAS 3.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida. Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana

El área del elemento diferencial será:

dA= hdx= f (x)dx b

Por tanto, el área de la región plana es: A =

∫

f ( x ) dx

a

Ejemplo 1

[ ]

Hallar el área bajo la curva y = x en 1,3 SOLUCIÓN: 2

Primero, hacemos un dibujo de la región:

y

y = x2

1

36

3

x

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

El área bajo la curva estará dada por:, 3

A=

∫

3

⎛ x3 ⎞ ⎛ 33 13 ⎞ 27 1 26 x 2 dx = ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ = − = ⎝ 3 ⎠1 ⎝ 3 3 ⎠ 3 3 3

1

Ejemplo 2 ⎧y = x ⎪ Calcular el área de la región limitada por ⎨ y = − x + 6 ⎪y = 0 ⎩ SOLUCIÓN: PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y =

x y y = −x + 6

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.

( x)

2

x = −x + 6 = (− x + 6)2

x = x 2 − 12 x + 36 x 2 − 13x + 36 = 0 (x − 9)(x − 4) = 0 x=9 ∨

x=4

El área está dado por:

4

A=

6

∫ ∫ x dx +

0

3 = 2 (x ) 2 3

(− x + 6)dx

4

6

⎞ ⎛ x2 + ⎜− + 6x ⎟ ⎟ ⎜ 2 0 ⎝ ⎠4 4

2 ⎞ ⎛ 42 ⎞ 3 ⎡ ⎤ ⎛ 6 = ⎢ 2 (4 ) 2 − 0⎥ + ⎜ − + 6(6 )⎟ − ⎜ − + 6(4 )⎟ 3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎣ ⎦ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠

16 − 18 + 36 + 8 − 24 3 22 A= 3 =

37

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

3.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS Si la región plana tuviera la siguiente forma:

El área del elemento diferencial será: dA = hdx = [ f ( x) − g ( x)]dx b

Entonces el área de la región plana esta dada por: A =

∫[

f ( x) − g ( x )]dx

a

CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración. 3. Defina el rectángulo representativo.

diferencial,

el

elemento

4. Defina la integral o las integrales para él área. 5. Evalúe la integral definida. Ejemplo 1 ⎧⎪ y = x + 4 Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨ ⎪⎩ y = x 2 − 2 SOLUCIÓN: PASO 1: Graficamos en un mismo plano y = x + 4 y y = x 2 − 2 PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

x + 4 = x2 − 2 2

x − x−6=0

(x − 3)( x + 2) = 0 x=3 ∨

x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería: 3

A=

∫ [(

)]

(

x + 4 ) − x 2 − 2 dx

−2

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

3

A=

∫

[(x + 4) − (x

−2

2

)]

3

− 2 dx =

∫

[− x

2

]

+ x + 6 dx

−2

3

⎞ ⎛ x3 x2 = ⎜− + + 6x ⎟ ⎟ ⎜ 3 2 ⎠ −2 ⎝ ⎞ ⎞ ⎛ (− 2)3 (− 2 )2 ⎛ 33 3 2 + + 6(− 2 )⎟ = ⎜− + + 6(3) ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ 3 ⎜ ⎟ 2 3 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 9 8 = −9 + + 18 − + 2 − 12 2 3 5 A= 6

Ejemplo 2 ⎧⎪ y = x 3 − x 2 − 6 x Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨ ⎪⎩ y = 0 SOLUCIÓN: PASO 1: Dibujamos y = x3 − x 2 − 6 x PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

(

x3 − x 2 − 6 x = 0

)

x x2 − x − 6 = 0 x(x − 3)( x + 2) = 0 x=0 ∨

x=3 ∨

PASO 4: La integral definida para el área sería: 0

A=

∫

[(x

3

3

]

)

− x − 6 x − (0) dx + 2

−2

∫

[(0) − ( x

3

]

− x 2 − 6 x dx

0

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 0

A=

∫ [(

x 3 − x 2 − 6 x − (0) dx +

−2 0

=

]

)

3

∫

[x

∫[

]

(0) − ( x 3 − x 2 − 6 x dx

0

3

3

]

− x 2 − 6 x dx +

−2

∫

[− x

3

]

+ x 2 + 6 x dx

0

0

3

⎛ x4 x3 ⎛ x4 x3 x 2 ⎞⎟ x 2 ⎞⎟ + ⎜− + +6 =⎜ − −6 ⎜ 4 ⎜ 4 3 2 ⎟⎠ 3 2 ⎟⎠ ⎝ 0 −2 ⎝ ⎡ ⎛ (− 2)4 (− 2 )3 (− 2)2 = ⎢0 − ⎜ − −6 3 2 ⎢⎣ ⎜⎝ 4 8 81 = −4 − + 12 − + 9 + 27 3 4 253 A= 12

40

⎞⎤ ⎡⎛ 3 4 3 3 32 ⎟⎥ + ⎢⎜ − + +6 ⎟⎥ ⎢⎜ 4 3 2 ⎠⎦ ⎣⎝

⎤ ⎞ ⎟ − ( 0) ⎥ ⎟ ⎥⎦ ⎠

x = −2

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

3.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y Si la región plana tuviese la siguiente forma:

Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal El área del elemento diferencial será: dA = hdy = xdy = f ( y ) dy d

Entonces el área de la región plana es: A =

∫

f ( y ) dy

c

Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos:

El área del elemento diferencial será: dA = hdy = [ f ( y ) − g ( y )]dy Entonces el área de la región plana esta dada por: d

A=

∫[

f ( y ) − g ( y )]dy

c

41

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

Ejemplo 3 ⎧y = x ⎪ Calcular el área de la región limitada por ⎨ y = − x + 6 ⎪y = 0 ⎩ SOLUCIÓN: PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y =

x y y = −x + 6

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. Anteriormente este problema fue resuelto con el elemento diferencial vertical. Ahora lo resolveremos de la otra forma. SEGUNDO MÉTODO. Escogiendo el elemento diferencial horizontal:

El área está dada por: 2

A=

∫

[(6 − y ) − y ]dy 2

0

2

⎛ y 2 y 3 ⎞⎟ = ⎜6y − − ⎜ 2 3 ⎟ ⎝ ⎠0

⎛ 2 2 23 ⎞⎟ = ⎜ 6(2) − − − (0) ⎜ 2 3 ⎟ ⎝ ⎠ 8 = 12 − 2 − 3 22 A= 3

Ejemplo 4 ⎧⎪ y = x − 1 Calcular el área de la región limitada por ⎨ ⎪⎩ x = 3 − y 2 SOLUCIÓN: PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso

42

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

y + 1 = 3 − y2 y2 + y − 2 = 0

( y + 2)( y − 1) = 0 y = −2 ∨

y =1

Paso 4 y 5: El área de la región sería: 1

A=

∫

[(3 − y )− (y + 1)]dy 2

−2 1

=

∫

[− y

2

]

− y + 2 dy

−2

1

⎞ ⎛ y3 y 2 = ⎜− − + 2y⎟ ⎟ ⎜ 3 2 ⎠ −2 ⎝ ⎞ ⎞ ⎛ (− 2 )3 (− 2)2 ⎛ 13 12 − + 2(− 2 )⎟ = ⎜− − + 2(1)⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 3 2 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 8 1 1 =− − +2− +2+4 3 3 2 9 A= 2

Ejercicios propuestos 3.1 Hallar el área de la región limitada por las curvas: 1.

y = 2 − x 2 , y = x,

2.

y = 4 x − x 2 , y = 0,

3.

y = x − 4,

4.

y = x − 4 x + 3, x − y − 1 = 0 .

5.

y = 2 x,

6.

y=x ,

7.

y = x + 6,

8.

y= x,

9.

y = x3 + 3x 2 , y = 4 x

10.

y = x 3 − 6 x 2 + 8 x,

11.

y 2 − 2 x = 0,

12.

y 2 = x + 2, y = x − 4

entre x = 1 y x = 3 .

y = 0, x = 8 .

2

y = 2 x − 4, x = 0 . y = −x 2 + 4x

2

2x y = x3 , y = − 4 2 y = x −2

.

y = x 2 − 4x

y 2 + 4 x − 12 = 0

43

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

3.2 APLICACIONES ECONÓMICAS 3.2.1 CAMBIO NETO Suponga que para un determinado proceso se dispone de la derivada de la ecuación de los ingresos, del costo, de la utilidad, etc.; entonces el valor neto de los ingresos, del costo, de la utilidad, como fuera el caso, en un período determinado, es el área bajo la curva respectiva en ese período. Esto también es llamado Cambio Neto. Ejemplo En cierta fábrica el Costo Marginal esta dado por C´(q ) = 3(q − 4) 2 dólares por unidad , cuando el nivel de producción es q unidades ¿En cuánto aumentará el costo de fabricación si el nivel de producción aumenta de 6 a 10 unidades? SOLUCIÓN: Se conoce el costo marginal que es la derivada del costo, es decir C´(q ) =

dC = 3(q − 4) 2 . Por dq

tanto el costo se lo calcula de la siguiente manera: 10

C (q) =

∫

C´(q )dq = C (10) − C (6)

6 10

=

∫

3(q − 4 )2 dq

6

= (q − 4 )3 = $208 Una interpretación gráfica, del cambio neto en el costo sería:

44

10 6

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

3.2.2 EXCESO DE UTILIDAD NETA Teniendo la derivada de los ingresos y la derivada de los costos, ya mencionamos que el área bajo la curva respectiva daría los ingresos y los costos, entonces como por definición la Utilidad es la diferencia de los ingresos con los costos, esta pueda ser interpretada como el área entre las curvas. Ejemplo Suponga que dentro de " t " años una inversión generará utilidad a razón de P1´(t ) = 50 + t 2 cientos de dólares al año, mientras que una segunda inversión

generará utilidad a razón de P2´(t ) = 200 + 5t cientos de dólares al año. a) ¿Durante cuántos años la tasa de rentabilidad de la segunda inversión excederá la de la primera? b) Calcule el exceso de utilidad neta durante el período determinado en el literal anterior. Interprete SOLUCIÓN: Empecemos interpretando gráficamente el Exceso de Utilidad neta, graficando en un mismo plano las ecuaciones de ambas inversiones.

a) Interceptando las dos curvas tenemos: 50 + t 2 = 200 + 5t t 2 − 5t − 150 = 0

(t − 15)(t + 10) = 0

t = 15 ∨ t = −10

Por tanto la segunda inversión es más rentable que la primera durante los primeros 15 años. b) El exceso de utilidad neta está dado por:

45

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

t0

∫[

P2 ´(t ) − P1´(t )]dt

Exceso de Utilidad Neta =

0 15 =

∫(

⎡ 2 ⎞⎤ ⎛ ⎢ 200 + 5t ) − ⎜⎝ 50 + t ⎟⎠⎥ dt ⎣ ⎦

0 15 =

∫

⎡− t 2 + 5t + 150⎤ dt ⎥⎦ ⎢⎣

0 15 ⎛ t3 ⎞ t2 = ⎜⎜ − +5 + 150t ⎟⎟ ⎜ 3 ⎟ 2 ⎝ ⎠0 ⎛ 153 ⎞ 15 2 = ⎜⎜ − +5 + 150(15)⎟⎟ − (0) ⎜ ⎟ 3 2 ⎝ ⎠ = $1687.50

3.2.3 GANANCIAS NETAS Ejemplo Suponga que una máquina genera ingresos a razón de R´(t ) = 5000 − 20t 2 dólares al año y que los costos se acumulan a razón de C´(t ) = 2000 + 10t 2 dólares al año. a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. SOLUCIÓN: Graficando ambas curvas para interpretar las ganancias netas, tenemos:

a) Igualando las ecuaciones, tenemos: 5000 − 20t 2 = 2000 + 10t 2 30t 2 = 3000 t = 10 Por tanto los ingresos son superiores a los costos, período de rentabilidad, durante los primeros 10 años.

b) Las ganancias Netas están dada por :

46

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

10

Ganancias Netas =

∫[

R´(t ) − C´(t )]dt

0 10

=

∫

[(5000 − 20t )− (2000 + 10t )]dt

∫

[− 30t

0 10

=

2

2

2

]

+ 3000 dt

0

(

= − 10t 3 + 3000t

)

10 0

= $20000

3.2.4

EXCEDENTES DE CONSUMIDORES EXCEDENTES DE PRODUCTORES.

Y

Suponga que se dispone de la derivada de la demanda, el área bajo la curva daría la DISPOSICIÓN A GASTAR DE LOS CONSUMIDORES por adquirir una determinada cantidad q0 de artículos; es decir: q0

Disposición a gastar =

∫

D( q ) dq

0

Pero lo cierto es que, el precio p0 del artículo en el mercado da un al adquirir las q0 unidades de ese artículo. El EXCEDENTE DE LOS CONSUMIDORES estará dado por la diferencia entre la disposición a gastar con el gasto real; es decir: GASTOS REAL

Excedente de los consumidores = Disposición a Gastar − Gasto Re al ⎡ q0 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ D (q )dq ⎥ − p0 q0 ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦

∫

O más simplemente: q0

Excedente de los consumidores =

∫[

D( q ) − p0 ]dq

0

47

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

Ejemplo 1 Suponga que la función demanda de los consumidores de cierto artículo es D ( q ) = 100 − 4q 2 dólares por unidad. a) Hallar la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuestos a pagar por 3 unidades del artículo. Interpretando gráficamente:

q0

Disposición a gastar =

∫

D (q )dq

0

3

=

∫(

)

100 − 4q 2 dq

0

3

⎛ q3 ⎞ = ⎜100q − 4 ⎟ ⎜ 3 ⎟⎠ ⎝ 0 ⎛ 33 ⎞ = ⎜100(3) − 4 ⎟ ⎜ 3 ⎟⎠ ⎝ = $264

b) Hallar el gasto real que realizan los consumidores por adquirir las 3 unidades. La interpretación gráfica del gasto real sería:

( )

D (3) = 100 − 4 32 D (3) = $64

48

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

Gasto Re al = p0 q0 $ ⎞ ⎛ = ⎜ 64 ⎟(3 unid ) ⎝ unid ⎠ = $192

c) Hallar el excedente de los consumidores por las 3 unidades. Interpretando gráficamente el excedente de los consumidores:

Excedente de los consumidores = Disposición a Gastar − Gasto Re al q0

=

∫

D(q)dq − p0 q0

0

= $264 − $192 = $72

En cambio, para la ecuación de la derivada de la oferta, él área bajo la curva significaría la expectativa de ingresos que tendría el productor cuando se venden q0 unidades de un artículo. El EXCEDENTE DEL PRODUCTOR estaría dado por la diferencia entre el gasto real y sus expectativas de ingreso; es decir:

Excedente del Pr oductor =

=

Gasto Re al de los consumidores

[ p0 q0 ]

−

Cant. total de dinero que el productor podría recibir por q0 unid . ⎡ q0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ S (q )dq ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

∫

−

O simplemente

⎡ q0 ⎤ ⎢ ⎥ Excedente del Pr oductor = ⎢ [ p0 − S (q )]dq ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦

∫

49

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

Ejemplo 2 Un fabricante de cierto artículo estima que los consumidores comprarán (demandarán) q miles unidades del artículo cuando el precio sea p = D ( q ) = −0.1q 2 + 90 dólares por unidad. Y el mismo número de unidades del

producto se suministrarán cuando el precio es p = S (q ) = 0.2q 2 + q + 50 dólares por unidad. a) Hallar el precio y la cantidad de equilibrio b) Hallar el Excedente de los consumidores en el equilibrio. c) Hallar el excedente de los productores en el equilibrio. SOLUCIÓN: Interpretando gráficamente, tenemos:

Igualando las ecuaciones para determinar el punto de equilibrio: D(q) = S (q) 2

− 0.1q + 90 = 0.2q 2 + 50 + q 0.3q 2 + q − 40 = 0 3q 2 + 10q − 400 = 0

(3q + 40)(q − 10) = 0

Por tanto q0 = 10 y p0 = 80 b) El excedente del consumidor sería: ⎤ ⎡q0 ⎥ ⎢ Excedente de los consumidores = ⎢ D(q )dq ⎥ − [ p0 q0 ] ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎦ ⎣

∫

10

=

∫(

)

− 0.1q 2 + 90 dq − [(80)(10 )]

0

10

⎞ ⎛ q3 = ⎜ − 0.1 + 90q ⎟ − 800 ⎟ ⎜ 3 ⎠0 ⎝ = 866.67 − 800 = $66.67

c) El excedente del productor sería:

50

Moisés Villena Muñoz

Cap. 3

Excedente del Pr oductor =

Aplicaciones de la Integral

Cant. total de dinero Gasto Re al − de los consumidores que el productor podría recibir por q0 unid .

=

[ p0q0 ]

−

=

[(80)(10)]

−

⎡ q0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ S (q )dq ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

∫

10

)

∫(

0.2q 2 + q + 50 dq

0

=

−

800

10

2 ⎛ ⎞ ⎜ 0.2 q + q + 50q ⎟ ⎜ ⎟ 3 2 ⎝ ⎠0 3

= 800 − 616.67 = $183.33

Ejercicios propuestos 3.2 1.

Suponga que una máquina genera ingresos a razón de R´(t ) = 75 − t 2 dólares al año y que los costos se acumulan a razón de C´(t ) = 10 +

t2 dólares al año. 64

a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente. 2.

Suponga que una máquina genera ingresos constantes a razón de R´(t ) = 105 dólares al

año y que los costos se acumulan a razón de C´(t ) = 5 + t 2 dólares al año. a. ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b. Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente 3. Suponga que una máquina genera ingresos constantes a razón de R´(t ) = 1050 dólares al año y que los costos se acumulan a razón de C´(t ) = 50 + 10t dólares al año. a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente. 4.

Cuando cierta maquinaria industrial tiene " x " años genera ingresos a la razón de R( x) = 4575 − 5 x 2 dólares por año y produce costos que se acumulan a la razón de C ( x) = 1200 + 10 x 2 dólares por año. a) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? b) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el período del literal a)? c) Interprete gráficamente las ganancias netas halladas en el literal b) como el área entre dos curvas.

5.

Suponga que cuando tiene

x

años una máquina industrial genera ingresos a razón de

R( x) = 6537e −0.3x dólares por semana y origina costos que se acumulan a razón constante de $593 dólares por semana. a) Durante cuantas semanas es rentable el uso de la maquinaria. b) ¿Cuánta ganancia neta generará durante ese período? 6.

Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es D(q) = 30 − 2q − q 2 dólares por unidad. a) Halle la cantidad de unidades que se comprarán si el precio de mercado es US$15 por unidad. b) Calcule la disposición a gastar de los consumidores para obtener la cantidad de unidades del literal a). c) Calcule el excedente de los consumidores cuando el precio de mercado es US$15 por unidad. d) Trace la curva de demanda e interprete como áreas la disposición a gastar y el excedente de los consumidores.

7.

Para un producto la ecuación de demanda es p = (q − 5)2 y la ecuación de la oferta es p = q 2 + q + 3 donde p es el precio q de unidades.

51

Moisés Villena Muñoz

Cap. 3 a) b) 8.

Aplicaciones de la Integral

Grafique las curvas de la oferta y de la demanda en un mismo plano. Determine el Excedentes de los consumidores y el de los productores bajo el equilibrio del mercado.

Suponga que las funciones de demanda y oferta de cierto artículo son:

D(q) = 38 − q 2 y S (q) = 13 (q 2 + 2q + 4) Si la cantidad vendida y el precio correspondiente se determinan de manera que la oferta es igual a la demanda, halle el correspondiente excedente de los consumidores y el excedente del productor e interprételo gráficamente. 9.

Determine el Excedente del consumidor y el Excedente del productor dadas las siguientes funciones de Oferta y Demanda, suponga que se ha establecido el equilibrio del mercado.

D: p =

231 q +1

O : p = 1 + 2q

10. Encuentre e interprete gráficamente el excedente del consumidor y el excedente del productor bajo el equilibrio para las siguientes demandas y ofertas 16 D(q) = −3 q+2

s (q ) = 1 (q + 1) 3

11. Determine el Excedente del consumidor y el Excedente del productor dadas las siguientes funciones de Oferta y Demanda, suponga que se ha establecido el equilibrio del mercado.

D: p =

56 q+8

O : p = 2 5q + 9

12. Encuentre e interprete gráficamente el excedente del consumidor y el excedente del productor bajo el equilibrio para las siguientes demandas y ofertas: 8p = q +8

q = 25 − p 2 90 − 2 , y la ecuación de la oferta es q = p − 1 . p Determine el excedente de los consumidores y el de los productores cuando se ha establecido el equilibrio del mercado.

13. La ecuación de la demanda para un producto es q =

q +5. 14. La ecuación de la demanda de un producto es q = 400 − p 2 y la ecuación de la oferta es p = 60 Encuentre el excedente de productores y consumidores bajo equilibrio del mercado. p − 10 . 2 Grafíquelas y determine el excedente de los consumidores y el excedente del productor bajo el equilibrio del mercado. Interprete.

15. La ecuación de la demanda de un producto es q = 100 − p , y la ecuación de la oferta q =

52

Moisés Villena Muñoz

Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

3.3 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE El valor medio o valor promedio de una función f , continua en el

intervalo [a, b] , está dado por:

b

∫

1 Valor Medio = f = f ( x)dx . b−a a Ejemplo Las estadísticas indican que " t " meses después del principio de año, el precio de la carne de res era p(t ) = 0.09t − 0.2t + 1.6 dólares por libra. ¿Cuál fue el precio medio de la carne durante los 3 primeros meses?. 2

SOLUCIÓN: El promedio del precio durante los 3 primeros meses es: b

1 p= b−a

∫ p(t)dt a 3

=

1 3−0

∫ (0.09t

2

)

− 0.2t + 1.6 dt

0

⎤ 1 ⎡ 0.09t 3 0.2t 2 = ⎢ − + 1.6t ⎥ 3 ⎣⎢ 3 2 ⎦⎥

3

0

1 = [0.81 − 0.9 + 4.8] 3 p = $1.57

Ejercicios Propuestos 3.3 1.

Los registros indican que

p(t ) = 0.1t − t + 10 2

t

meses después de principios de año el precio de un artículo era

dólares por libra. ¿Cuál fue el precio promedio del artículo durante los 6

primeros meses del año?

53

Moisés Villena Muñoz

Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

Misceláneos 1. Encuentre el área entre las curvas: 1 x

,

y = x2 , x =

1 2

,

1.

y=

2.

y = 4x − x2 + 8

3.

y = x − 3 , y = x 2 + 4 , x = −1 , x = 2

4.

y = x2 − 9 , y =

5.

y = x3 − 4 x 2 + 4 x , y = x

6.

x + 2 y = 2 , y − x = 1 , 2x + y = 7

7.

y = x3 − 6x 2 , y = − x 2

8.

y=

9.

y = x 2 − 4 x + 4,

8 x

,

y= x

,

x=2

y = x2 − 2x

9 x2 − 3x + 2 2

,

,

x = −2 , x = 4

y =0, x =8 y = 10 − x 2 ,

10. y = −3 x + 6 , y = 4 x − x

x = 2,

x=4

2

11. y 2 = 2 x − 2 , y = x − 5

2. Suponga que cuando tiene x años una máquina industrial genera ingresos a razón de R´( x) = 200 − 4 x 2 dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de C´( x) = 92 + 8 x 2 dólares por año. a) Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria. b) ¿Cuánta ganancia neta generará durante ese período? c) Interprete geométricamente las Ganancias Netas.

3. Suponga que cuando tiene x años una máquina industrial genera ingresos a razón de

R( x) = 6025 − 8 x 2 dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de C ( x) = 4681 + 13x 2 dólares por año. a) Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria. b) ¿Cuánta ganancia neta generará durante ese período?

4. Suponga que la ecuación de demanda para un producto es: ( p + 20)(q + 10) = 800 y la ecuación de oferta es: q − 2 p + 30 = 0 Bajo equilibrio del mercado, halle: a) El Excedente de los Consumidores e interprételo gráficamente. b) El Excedente del Productor e interprételo gráficamente.

5. La ecuación de demanda para un producto es p = 215−q y la ecuación de oferta es p = 2 q +3 , donde p es el precio por unidad (en cientos de dólares), cuando q unidades se demandan o se ofrecen. Determine el excedente del productor y el excedente del consumidor.

6. Los repuestos para una pieza de maquinaria pesada lo vende el fabricante en unidades de 1000 . El precio en dólares por unidad q está dado por p = 110 − q , y el precio total de producción de tales q unidades es C (q ) = q 3 − 25q 2 + 2q + 3000 a) ¿Para qué valor de q se MAXIMIZAN las utilidades del fabricante? b) Halle el EXCEDENTE de los consumidores en el precio que corresponde a la utilidad máxima.

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