DEPARTAMENTO FISICA / CATEDRA DE TERMODINAMICA / MONOGRAFIA CONDUCCIÓN TÉRMICA EN METALES Objetivos • Análisis de la ecuación general del calor en régimen estacionario • Medida de la conductividad térmica de un metal (cobre y aluminio) • Medida de la conductividad eléctrica de un metal (cobre y aluminio) • Comprobación de la ley de Wiedemann-Franz Fundamento teórico Si en un medio material existe un gradiente de temperatura, se produce una transferencia de calor por conducción, que, de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica, se llevará a cabo desde los puntos de mayor temperatura hacia los de menor temperatura. Este flujo de calor, viene dado por la ley de Fourier de la conducción: donde: q es el flujo de calor (dQ/dt), ∂ T/ ∂ x, el gradiente de temperatura en la dirección, x, de propagación del calor, A, el área a través de la que se produce la conducción y k es una constante característica del material denominada conductividad térmica. Por otro lado la distribución de temperatura en el material, suponiendo que no hay generación interna de calor, viene dada por la ecuación general de la conducción: donde: ρ y c son la densidad y el calor específico del material. Consideremos una barra metálica de longitud L, conectada por sus extremos a dos focos de calor de temperaturas constantes T1 y T2 donde por definición (T1 > T2) y conductividad térmica constante k al cabo de cierto tiempo, se alcanza un estado de régimen estacionario, en el que la temperatura de cada punto de la barra no varía con el tiempo, como muestra la figura de

referencia. calor q constante:

Dicho estado está caracterizado por un flujo de y una distribución de temperatura que variará linealmente

con la distancia x al origen de la barra: En el caso de los metales, el aporte más importante a la conducción térmica se debe a los electrones responsables, también, de la conductividad eléctrica, lo que nos lleva a una relación de proporcionalidad directa entre la conductividad térmica k y la conductividad eléctrica denominada σ dada por la ley de Wiedemann-Franz:

donde L es el número de Lorentz:

y KB es la constante de Boltzman.

Material • Barra de un material del que se desea determinar sus propiedades (cobre, aluminio, hierro) • Estudio de la conductividad térmica, equipos necesarios: • Medidor de temperatura digital con tres termómetros de resistencia de platino, (Pt100), dos de contacto y uno de inmersión. • 2 calorímetros, hervidor de inmersión, agua, hielo, agitador magnético, barras, trípode y pinzas para el montaje, calibre y balanza. • Para el estudio de la conductividad eléctrica: Amperímetro, voltímetro, amplificador de tensión, reóstato y cables de conexión. Método experimental 1. Determinación de la conductividad térmica. Para el estudio de conductividad térmica dispondremos la barra metálica tal como se indica en la figura 1. Estableceremos un régimen estacionario de transmisión de calor manteniendo el extremo superior de la barra a la temperatura constante de ebullición del agua y el inferior a la temperatura de fusión de la misma, con hielo fundente. Posteriormente, retiraremos el hielo y observaremos el aumento progresivo de la temperatura del extremo frío. Para ello: a) Llene de agua el calorímetro superior, sumerja el calentador de resistencia y conéctelo. b) Llene de agua con hielo el calorímetro inferior, tápelo, introduzca la sonda de inmersión para medir temperatura y conecte el agitador magnético. Las sondas de contacto se utilizarán para medir la temperatura de diferentes puntos de la barra. - La resistencia de inmersión nunca debe estar encendida fuera del agua (se quemaría) - Asegúrese de que el agua con hielo esté continuamente agitado. c) Anote el material de la barra metálica que está analizando (cobre o aluminio), la distancia entre las muescas y el diámetro de la misma. Con objeto de reducir las pérdidas de calor laterales, la barra metálica que se va ha analizar, ésta recubierta con una capa de un material aislante transparente, salvo a unos 2 cm de los extremos y en las 10 muescas, practicadas equidistantes a lo largo de la misma, para medir el gradiente de temperatura. Para asegurar un buen contacto térmico entre los extremos de la barra y los dos focos térmicos, así como entre los puntos de la barra y los medidores de temperatura, usaremos pasta conductora. d) Cuando transcurran unos 10 minutos desde que el agua haya comenzado a hervir, observe las temperaturas de los puntos de la barra y cuando se alcance el estado estacionario, anote las temperaturas correspondientes a las 10 muescas practicadas a lo largo de la barra. e) Retire los trozos de hielo del calorímetro inferior y anote cada 3 minutos la temperatura del mismo. f) Finalizamos las medidas térmicas apagando la resistencia de inmersión. g) Determine la masa de agua que contiene el calorímetro inferior. Para ello péselo lleno y luego vacío. Anote el valor de las dos pesadas. h) Anote el valor de la capacidad calorífica del calorímetro inferior

2. Determinación de la conductividad eléctrica. Para el estudio de conductividad eléctrica del metal procederemos a medir la caída de tensión entre dos puntos de la barra, para distintas intensidades de corriente. La ley de Ohm:

nos permitirá obtener la resistencia eléctrica, R, y la conductividad eléctrica:

Para ello utilizaremos una fuente de alimentación de corriente continua de 6 V, un reóstato (resistencia variable) que nos permitirá variar la intensidad. Las tensiones serán del orden del µV, por lo que para medir la diferencia de potencial será necesario amplificar la señal. El montaje del circuito se muestra en la figura 2. a) Realice la conexión en serie de la barra metálica, el reóstato (con la resistencia máxima), la fuente de alimentación (salida CD y nivel de tensión 6) y el amperímetro (escala de 10 A) b) Escoja el modo “Low Drift” del amplificador y conéctelo a la red. Para su correcto funcionamiento debe de estar encendido unos 15 minutos antes de realizar la medición c) Conecte el voltímetro a la salida (OUT) del amplificador y realice el ajuste del cero: tensión de salida 0 V para una tensión de entrada cero , el potenciómetro generalmente se está en el centro del amplificador. d) Conecte los puntos de la barra a la entrada del potenciómetro (IN). Seleccione el factor de amplificación del potenciómetro y la escala del voltímetro adecuadas para obtener la medida con la mayor precisión posible e) Realice 6 medidas de tensión e intensidad, para diferentes valores de la intensidad de corriente (con una diferencia ~ 0,5 A). No sobrepasar una intensidad máximo admitido por la fuente Resultados y cuestiones 1. Conducción térmica. 1.1. Distribución de temperatura. Haga la representación gráfica de la temperatura de los distintos puntos de la barra frente a la distancia a uno de los extremos de la misma. Interprete la gráfica: ¿Puede realizarse un ajuste lineal? Determine los parámetros del ajuste ¿Qué nos indica la pendiente de la misma? 1.2. Determinación de la conductividad térmica. La conductividad térmica la determinaremos a partir de la ecuación 1. Para ello necesitamos determinar el flujo de calor, q, y el gradiente de temperatura, ∂ T/ ∂ x. 1.2.1. A partir la gráfica anterior, T(x), determine el gradiente de temperatura, ∂ T/ ∂ x. 1.2.2. Para determinar el flujo de calor realice la representación gráfica de la temperatura del calorímetro frente al tiempo, Tcal(t), ¿Qué nos indica la pendiente? Interprete le gráfica. La pendiente en cada punto nos permitirá determinar la potencia calorífica transmitida al mismo

que debe coincidir con el calor transmitido al agua por conducción, en la unidad de tiempo, es decir, el flujo de calor, q, a través de la misma. ma es la masa de agua contenida en el calorímetro ca es el calor específico del agua y Calorímetro la capacidad calorífica del calorímetro. Justifique esta última afirmación y la igualdad: Para los cálculos desprecie el valor de la capacidad calorífica del calorímetro 1.2.3. Determine el valor de la conductividad térmica, k, indicando la precisión del mismo. Compare el valor obtenido con los datos de la bibliografía.

2. Determinación de la conductividad eléctrica La conductividad eléctrica la determinaremos a partir de la ley de Ohm 2.1. Realice la representación gráfica de la tensión frente a la intensidad de corriente. ¿Qué nos indica la pendiente? Interprete la gráfica. 2.2. Determine el valor de la conductividad eléctrica del metal con su precisión 3. Comprobación de la ley de Wiedemann-Franz Compruebe la ley de Wiedemann-Franz (5)

Apartado A La ley de Wiedemann-Franz establece la relación entre las conductibilidades térmica y eléctrica o bien conociendo el Nº de Lorenz donde k es como: la constante de Boltzmann, e es la carga del electrón y T la temperatura en grados Kelvin. Aunque la expresión J = ·E de la densidad de corriente eléctrica es la relación fundamental de la conducción eléctrica es más cómodo en la práctica trabajar con intensidades de corriente y diferencias de potencial. Partiendo de la fórmula: i = - A(dV/dx) consideraremos un conductor de longitud L y sección constante A por el cual circula una intensidad de corriente i. Sean Va y Vb los potenciales en sus extremos. Y establezcamos también que es constante independiente de J.

Va

Vb

B

A

B

i B

L

B

B

Para las condiciones dadas la ecuación puede integrarse fácilmente tomando el eje X a lo largo del hilo y el origen en su extremo a, se tiene: i dx = −σ A dV

i

∫

L 0

dx = −σ A

∫

Vb

dV

Va

i L = σ A(V a − V b ) σ A (Va − Vb ) i = L Esta es la relación entre la intensidad de la corriente y la diferencia de potencial en los extremos del hilo. El factor A/L se denomina conductancia del hilo y se indica con la letra G. En la práctica se utiliza la inversa de la conductancia denominada resistencia eléctrica y es indicada con la letra R. R = L/ A

También se utiliza la propiedad inversa a la conductibilidad llamada resistividad indicada con la letra . R = L/A En función de la resistencia la intensidad de la corriente puede ponerse como: (Va − Vb ) Vab i = = R R o bien que: V ab = i R observándose que esta expresión es válida sólo si entre los extremos a y b existe una resistencia pura (no hay generadores, motores, etc.). Esta proporcionalidad directa entre la intensidad de la corriente y la diferencia de potencial en los extremos de un conductor fue descubierta por el físico alemán Georg Ohm y se la conoce como ley de Ohm. La unidad de resistencia en el sistema internacional es el voltio por amperio, denominada Ohm u ohmio, y se le indica con . La recíproca, unidad de la conductancia es el mho indicada con la letra griega omega invertida, , también llamado siemens, S. Vimos que la resistencia está dada por la relación R = L/A, es decir que la resistencia de un conductor es directamente proporcional a la longitud del conductor e inversamente proporcional a su sección transversal. Si la longitud y la sección son unitarias la resistencia es igual, numéricamente, a la resistividad. En el sistema internacional la unidad de longitud es el metro, con lo que resulta que la resistividad está dada en ohmio-metro. En la práctica se utilizan unidades híbridas, por ejemplo ohmio-metro/milímetro cuadrado para los cables y alambres conductores de energía. La resistividad de una sustancia depende de su composición, su temperatura, además de otros parámetros como la iluminación, presión hidrostática, etc.